Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Lembit Pallase materjalid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
sioon, punk, integ, rtus, integraa, integraal, artus, piirkon, muutuja, mise, tuletis, aide, tame, rtuse, piirv, teoreem, argi, pide, ratud, dina, sioonid, diferent, graafi, graafik, koordi, tingi, tatud, lest, rand, kaha, ordinaat, arctan, tult, tades, konnas, avaldis, nide, konstan, juhu, likult, korru, osatu, argu, osatuletis, hend, dala, arelikult. . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . .
6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . 22 2 Piirv¨a¨ artus ja pidevus 27 2.1 Muutuva suuruse piirprotsessid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Jada piirv¨a¨artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 L~opmatult kahanevad, l~opmatult kasvavad ja t~okestatud suurused. 30 2.4 Funktsiooni piirv¨a¨ artus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Funktsiooni u ¨hepoolsed piirv¨a¨artused. . . . . . . . . . . . . . .
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust.
¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on paljude v¨aidete t~oestused, mille esi- tamiseks napib loengutel aega. Samuti on tunduvalt mahukam n¨aite¨ ulesannete hulk. ¨ Uhtses kontekstis on lisatud ka keskkoolis-g¨ umnaasiumis matemaatilisest anal¨ uu¨sist esi- ~ tatu
f(x) - f(a) /g(x) - g(a)=f'(c) /g'(c) 2. x < a. J¨allegi, Cauchy teoreemi p~ohjal leidub vahemikus (x,a) punkt c nii, et f(a) - f(x) /g(a) - g(x) = f'(c)/ g'(c) Kuna eelduse kohaselt f(a) = g(a) = 0, siis j¨areldub v~ordus f(x)/ g(x) = f'(c)/ g'(c) . Kui x a, siis c a, sest c paikneb x ja a vahel. J¨arelikult lim xa f(x) /g(x) = lim xa f'(c)/ g'(c) = lim ca f'(c)/ g'(c) Muudame avaldise paremal poolel asuva piirv¨a¨artuse lim ca f'(c)/ g'(c) t¨ahistust asendades seal muutuja c muutujaga x, st lim ca f'(c)/ g'(c) asemel kirjutame lim xa f'(x)/ g'(x). Tulemusena saame valemi . Eelduse kohaselt eksisteerib valemi paremal poolel olev piirv¨a¨artus lim xa f'(x) /g'(x). J¨arelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirv¨a¨artus lim xa f(x)/ g(x). Teoreem on t~oestatud. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Funktsiooni y = f(x) n-j¨arku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - j¨arku tuletise tuletist ja t¨ahistatakse f(n)
ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}.
¨ 51 punktile voi~ kahe to¨ o¨ punktide summa vahemalt¨ 111. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2 / 25 Diferentsiaalarvutus I Kasutatav sumboolika. ¨ ~ Funktsiooni moiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3 2x limx (( 2x)
0 x x0 + 0 y Kaldasümptoot y = kx + b , kus k = lim ja b = xlim ± ( y kx) x ± x Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus: on , kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 x x0 : y y 0 puudub, kui lim lim f ( x, y ) lim lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 võib olla ja võib ka mitte olla, kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y )
0 x x0 + 0 y Kaldasümptoot y = kx + b , kus k = lim ja b = xlim ± ( y kx) x ± x Vertikaalasümptoot asub selles punktis, kus esineb teist liiki katkevus. Võrrand x = a Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus: on , kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 x x0 : y y 0 puudub, kui lim lim f ( x, y ) lim lim f ( x, y ) x x0 y y 0 y y 0 x x0 võib olla ja võib ka mitte olla, kui lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y )
Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Kui aga pöördfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad vahetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis
. . . . . . . . . . 62 6.3 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.4 Funktsiooni ekstreemumid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 6.5 Funktsiooni kumerus ja nõgusus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.6 Funktsiooni graafiku joonestamine * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 Algfunktsioon ja määramata integraal 69 7.1 Sissejuhatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.2 Algfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.3 Määramata integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunktsioonidest . . . . . . . . . . .
usteemi x1 = 1 (t) x2 = 2 (t) (6.2) ... xm = m (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (6.2) m¨a¨arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla ruumi Rm punkti P = ¨ (x1 , x2 , . . . , xm ). Uldiselt vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨ artustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks. V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid.
.............21 Lähendite jada koondumine............................................................................................................21 31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis-, kahanemis-ja konstantsustingimused. ......................21 32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. ............................................... 22 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. ........................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). ............................................................................................23 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. ..................................................................... 23 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. ...........................24 Osamurdude integreerimine................................
Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y) täisdiferentsiaaliks.
..,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahuldab tingimust PA, funktsiooni väärtus f(P) läheneb arvule b Mitmemuutuja funktsiooni pidevus Olgu antud mitmemuutuja funktsioon z=f(P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis A kui AD; eksisteerib piirväärtus lim f ( P ) ; lim f ( P ) = f ( A) PA PA
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2
= cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o
= cos y cos y cos 2 y sin 2 y + cos 2 y = 1 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 13 Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Definitsioon 1 Ühe muutuja funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul, kui nii argument x kui ka funktsiooni väärtus y on antud parameetri (t ) funktsioonis. x = u (t ) (9.1) y = v(t ) Näide: x = R cos t (ringjoone parameetriline võrrand) y = R sin t x 2 + y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 x2 + y2 = R Teoreem 1 Parameetriliselt esitatud funktsiooni (9.1) tuletis avaldub kujul o y o (9.2) y' = o
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
(f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis eksisteerib kaldas., kui ei, siis mitte. 35. Määramata integraali omadused Selles punktis tõestame kolm määramata integraali omadust ja kasutame neid omadusi integreerimisel. Omadus 1. [ f ( x ) + g ( x )]dx = f ( x )dx + g ( x )dx , s.t. kahe funktsiooni summa määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide summaga. Kaks määramata integraali on võrdsed, kui nad erinevad teineteisest ülimalt konstandi võrra ehk nende tuletised on võrdsed. Näitame seda. Võttes vasakult poolt tuletise, saame punkti 4.1.1 järelduse 1 abil, et ( [ f ( x ) +g ( x )]dx ) = f ( x ) +g ( x ) . Paremalt poolt tuletist võttes kasutame sama järeldust ja tuletise vastavat omadust:
Paaridf-n *Def. Y=f(x) on paarisf-n juhul kui f(-x)=f(x) x MP graafik sum y telje suhtes, Nt y=x 2 =(-x)2 3. Paaritu f- n- sel korral paaritu kui f(-x)= -f(x), x MP, graafik sümm 0-punkti suhtes 4.Perioodiline f-n-parajasti siis, kui leidub niisugune reaalarv t, et tekib võrdsus iga MP punkti puhul. Märkus: kui f-n perioodiline=> t on lõpmata palju=> min t =T periood=> näit ting f-nil t>0 4. Liitfunktsioon Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid
trigonomeetrilise funktsiooni väärtus on null. Seepärast on otstarbekohane teada, et sin x = 0 x = n , cos x = 0 x = n + , 2 tan x = 0 x = n , n Z . 4. MATEMAATILINE ANALÜÜS 4.1 Funktsiooni üldised omadused 22 Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y.
x 1 Samas |sin | 1 ja lim x0 x2 = 0, seega A = 0. x Teoreem 4. (piirväärtuse monotoonsus) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib g(x) < f(x), () siis ka lim xa g(x) lim xa f(x). () Teoreem 5. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbruses g(x) f(x) h(x) ja lim xa g(x) = lim xa h(x) = A , siis eksisteerib ka piirväärtus lim xa f(x) = A. Teoreem 6. Kui f on elementaarfunktsioon ja a X, siis lim xa f(x) = f(a). 3. Ühepoolsed piirväärtused Vaatleme piirprotsesse: 1. x a, x > a lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.
f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b f ( x ) dx = S a abBA Kui kõverjoonne trapets asub allpool x telge, annab määratud integraal tema pindala märgiga "-", sest kõik f ( i ) < 0 . NEWTON-LEIBNIZ'i VALEM Saime kaks valemit kõverjoonse trapetsi pindala arvutamiseks S abBA = F ( b ) - F ( a ) , kus F ( x ) = f ( x ) b S abBA = f ( x ) dx a b Need valemid arvutavad sama pindala, seega f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) , kus F ( x ) = f ( x )
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x,
f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b f ( x ) dx = S a abBA Kui kõverjoonne trapets asub allpool x telge, annab määratud integraal tema pindala märgiga "-", sest kõik f ( i ) < 0 . NEWTON-LEIBNIZ'i VALEM Saime kaks valemit kõverjoonse trapetsi pindala arvutamiseks S abBA = F ( b ) - F ( a ) , kus F ( x ) = f ( x ) b S abBA = f ( x ) dx a b Need valemid arvutavad sama pindala, seega f ( x ) dx = F ( b ) - F ( a ) , kus F ( x ) = f ( x )
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi
Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)?
· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )
Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x).
Seepärast on otstarbekohane teada, et sin x 0 x n , cos x 0 x n , 2 tan x 0 x n , n Z . 4. MATEMAATILINE ANALÜÜS 4.1 Funktsiooni üldised omadused 22 Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja vastavalt funktsiooni y ka sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni y määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna Y.
annaabi.ee 
