¨ Ulesanne Lahendage LVS Crameri valemite abil 2x + y + z = 3 x+y+z =6 1 x + 2y + z = 0 2 −x + y + z = 0 x + y + 2z = 9 x−y+z =2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N⊂ Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste Arvhulkade vahel valitseb seos N⊂Z⊂ Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kompleksarvu m˜oiste
K~oik hulga G sisepunktid sisalduvad hulgas G. Hulga G rajapunktide seas v~oib olla selliseid punkte, mis paiknevad hulgas G ja ka selliseid punkte, mis ei paikne hulgas G. Lahtised ja kinnised hulgad. Kui hulk koosneb ainult sisepunktidest, siis nimetatakse seda hulka lahtiseks. Kui hulk sisaldab k~oiki oma rajapunkte, siis nimetatatakse seda hulka kin- niseks. Lahine kera on lahtine hulk ja kinnine kera on kinnine hulk. Sidusa hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse sidusaks, kui selle hulga iga kahte punkti saab u ¨hendada pideva murdjoonega, mille k~oik punktid kuuluvad hulka G. T~okestatud hulga m~ oiste. Hulka G nimetatakse t~okestatuks, kui leidub (kin- nine v~oi lahtine) kera, mille alamhulgaks on hulk G. 4)Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted. Mitmem~ o~ otmelised muutuvad suurused. Olgu x1 , x2 , . . . , xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1 , x2 ,
I. Determinandid 1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1).
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (...
rektse t~ oestuse. ~ Oppevahendi eesm¨ argiks on tutvustada lugejat matemaatilise anal¨ uu ¨si p~ohit~odedega u ¨he muutuja funktsiooni korral. Matemaatiline anal¨ uu¨s on matemaatika osa, milles funktsioone ja nende u ¨ldistusi uuritakse piirv¨a¨artuste meetodil. Piirv¨a¨artuse m~oiste on tihedalt seotud l~ opmata v¨ aikese suuruse m~oistega. V~oib ka v¨aita, et matemaatiline anal¨ uu¨s uurib funktsioone ja nende u ¨ldistusi l~opmata v¨aikeste meetodil. Nii tehnikas kui ka looduses uuritavate protsesside kirjeldamisel kasutatakse funktsionaalseid seoseid ja nende uurimiseks matemaatilist anal¨ uu ¨si. Antud ~oppevahendis k¨asitletakse klassikalist
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an-
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an-
Oige pea Te m¨arkate, et matemaatilise teks- ti omandamine on t~oesti meeldiv tegevus. Hea lugeja, j~oudu s¨ ustemaatilisele t¨o¨ole. K¨aesoleva ~oppevahendi joonised on arvutil teinud u ¨li~opilane Marge Ilmosaar. S¨ udamlik t¨anu talle selle eest. 1 SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m~oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6
Oige pea Te m¨arkate, et matemaatilise teks- ti omandamine on t˜oesti meeldiv tegevus. Hea lugeja, j˜oudu s¨ ustemaatilisele t¨o¨ole. K¨aesoleva ˜oppevahendi joonised on arvutil teinud u ¨li˜opilane Marge Ilmosaar. S¨ udamlik t¨anu talle selle eest. 1 SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m˜oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste
8 jaapani u ¨ldkasutatav kanji , vana m¨ark , k¨asikirjaline m¨argikuju , m¨argifondi kuju 9 . 4 Pean siin silmas Tang ajastu riigiametniku eksamiteks fikseeritud tr¨ukikirja m¨ argikuju. 5 Vt. lk. 15 6 Vt. lk.14 7 ( ) ja (). 8 Eespool toodud vana m¨argi m~oiste on laiem, siin viitav `vana m¨ark' enne ii Maailmas~oda u ¨ldlevinud m¨ argikujule. Vt. ka lk.92. 9 K¨aesolev t¨oo¨ kasutab jaapani fondil kahte kuju: tekstis minch¯ o ja pealkirjades ning rasvases tr¨ukis gooti fonti. 12 Korrektne Vana Mugandatud Eri-
u ¨mbrus. Tingimuste (7.2) ja (7.3) t˜ottu U ∩ A ⊂ U ∩ (∪ni=1 V (yi )) = ∪ni=1 (U ∩ V (yi )) ⊂ ∪ni=1 (U (yi ) ∩ V (yi )) = ∪ni=1 ∅ = ∅, st U ∩A = ∅ ehk U ⊂ X A. Seega on n¨aidatud, et iga punkti x ∈ X A jaoks leidub tema selline u ¨mbrus U , mis sisaldub hulgas X A. Siit j¨areldub, et hulk X A on lahtine ehk hulk A on kinnine. J¨argnevalt iseloomustatakse kompaktsust tsentreeritud hulkade s¨ usteemi m˜oiste abil. Definitsioon 7.6 Olgu S mis tahes hulk ja S tema teatav ¨ alamhulkade hulk, S ⊂ P(S). Oeldakse, et S on tsentreeri- tud hulkade s¨ usteem hulgal S, kui iga l˜opliku arvu hulgast S v˜oetud hulga S alamhulkade u ¨hisosa on mittet¨uhi, st iga n ∈ N ja A1 , . . . , An ∈ S korral ∩ni=1 Ai = ∅. Teoreem 7.29 J¨argnevad kolm v¨ aidet topoloogilise ruumi X kohta on samav¨a¨arsed: 10 X on kompaktne;
参考 反対 ⇒詔 ⇒黙 参考 部首 ⇒詩 ⇒ 説 1 u¨ tlema, selgelt v¨alja u¨ tlema 4 siin v. mina, esimese isiku ases˜ona 2 s˜ona, v¨alja o¨ eldu 5 J: sotsiaalses lingvistikas LANG 3 s˜onade hulk m˜oiste 夜 ¨ OKE LO ¨ SAGEDUS B . KANJI SHOHO 8 255 100 114 54 ✄ だい げつ ✂ 会意 ✁Koosneb suurest inimesest 大, mille k¨uljel Kuu 月. 〔説文〕seletab kui
annaabi.ee 
