Telgmeridiaaniks loetakse meridiaane, mis asuvad üksteisest 6o kaugusel alates 3o meridiaanist. Telgmeridiaanid on meridiaanid, mille pikkuseks on 3o, 9o, 15o jne. Telgmeridiaane on kokku 60. Igas 6o tsoonis kehtib omaette ristkoordinaatide süsteem. Punkti koordinaatide määramisel võetakse aluseks punktile lähim telgmeridiaan. Joonistel kujutatakse koordinaattelgi ristuvate sirgetena. X ehk abstsiss on positiivne ekvaatorist põhja pool ja negatiivne lõuna pool. Y ehk ordinaat on positiivne telgmeridiaanist ida pool ja negatiivne lääne pool. Telgmeridiaanil on ordinaadi väärtus 500 km. Y-koordinaadi kolm viimast numbrit tähistavad kilomeetreid ja esimesed tsooni numbrit. 2 Koostanud: Ene Ilves Põhjalaius BA=58º10'+ΔB 60ʺ=3,7cm ΔBʺ=4,35cm ΔBʺ=70ʺ=1'10ʺ
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
läbiks samas kõiki usaldusalasid. Joonis 7. Katsepunktide lähendamine sujuva kõveraga. Joonisel 7 esitatud lähenduskõvera mingi punkti A ordinaadi määramatuse leidmiseks fikseeritakse tema abstsiss (näiteks xA) ja mõõdetakse punkti A ümbruses sümmeetriliselt asetseva n katsepunkti kõrvalekalded lähendussirgest y-telje sihis yi yi . Siin on y i katsepunkti ordinaat kohal xi ja y i lähendussirgel oleva punkti ordinaat sama xi kohal. Fikseeritud abstsissi x A määramatus loetakse võrdseks nulliga, teise koordinaadi y A A- tüüpi laiendmääramatus U A ( y A ) arvutatakse aga valemiga (eeldades, et hälbed yi yi on jaotunud normaalselt): n y i yi 2
Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat y0 puutepunkti ordinaat ehk y-koordinaat - puutuja tõusunurk k puutuja tõus k = y ( x 0 ) Puutuja võrrand k = tan y - y 0 = k ( x - x0 ) Puutuja võrrandi väljakirjutamiseks peavad olema teada x0, y0 ja k.
Kõrgemal kujutatud jooned AA, A´3 ja A´8 vastavad atmosfäärirõhule. Joonte vahekaugus on 1,01.105 Pa. Keskel on kujutatud rõhu muutus torustiku pikkusel: kogurõhk pideva joonega ja staatiline rõhk kriipsjoonega. Viirutatud ala kujutab dünaamilist rõhku. 3 PNEUMOTRANSPORDISÜSTEEMI ARVUTUS Joonis 3. Rõhkude skeem imev-puhuvsüsteemis /1/ Lõikes 5 kujutab ordinaat H5 suhtelist kogurõhku (mõõdetuna atmosfääri rõhu suhtes (negatiivne väärtus), ordinaat P5 absoluutset kogurõhku, ordinaat Hst.5 suhteline staatiline rõhk (negatiivne väärtus), Pst.5 absoluutne staatiline rõhk, Pdün.5 dünaamiline rõhk. Suhteline kogurõhk ja staatiline rõhk on imevosas alati negatiivsed, aga surveosas positiivse märgiga. Dünaamilise rõhu suurus on kogu torustiku pikkuses ühesugune ja alati positiivse märgiga.
Lineaarfunktsioon Funktsiooni, mida saab esitada kujul y = ax+ b nimetatakse lineaarfunktsiooniks. Avaldis ax on lineaarliige. Arv b on vabaliige, b väärtus vastab argumendi (x) väärtusele 0. Arv a näitab, mille võrra muutub funktsioon (y), kui argument (x) suureneb ühe võrra. Lineaarfunktsiooni y = ax + b graafikuks on sirge, mis lõikub y-teljega punktis (0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks.
sirge võrrand? y=2 Milline on sirge üldkuju? ax+by+c=0 2x+5y+3=0 Millal on sirge nurgapoolitaja? Kui iga punkti kaugus x-ja y- A(-2;2) teljest kui nurga haaradest on B(3:-3) sama. Mida tähendab, kui y=5 Kõigil punktidel sirgel on ordinaat 5. Kuidas koostatakse sirge X-x1 = y-y1 võrrand, kui teada on üks punkt s1 s2 ja sihivektor? (s1;s2)=sihivektor Kui suur võib olla sirge 0°a<180° tõusunurk? Kui suur on sirge tõusunurk, 90° kui see on x- teljega risti?
Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse hulga Y üks kindel element y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. Määramispiirkond koosneb nendest x väärtustes, mille korral saab välja arvutada y väärtuse. Arvestada tuleb: 1)nulliga ei saa jagada 1)paarisarvulise juuriga juurt saab võtta ainult positiivsetest arvudest või arvust 0. 1)määramispiirkond- leian jooniselt need x väärtused, mille korral on võimalik paralleelselt y teljega liikuda graafikuni. 2)muutumispiirkond-leian y teljelt. 3)nullkohad-selline x väärtus, mille korral funktsiooni graafik läbib või puudutab x telge. Y=0 4)positiivsuspiirkond-kui graafik asub ülevalpool x telge, on funktsiooni väärtused positiivsed. y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leia...
2 =1 - (2.134 -2.092)2 +(1.923-1.902)2 +(1.723 -1.723)2 +(1.526 -1.526 )2 +(1.314 -1.335)2 () = -2, = 3,2 = 4,250 10-2 (-2) 5(5-2) Kus kogumi punktide arv, eksperimentaalse punkti ordinaat, - lähendusjoone punkti ordinaadid. 4 385 0,160 0,00018 0,757 = = 0,113 0,03982 60 2 2 2
2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 19. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = - x - 2 ja ruutfunktsiooni y = x 2 - 4 graafikud
võrra. Kui põikjõud on negatiivne, siis see püüab pöörata vardaosa vastupäeva. Seega põikjõu õige suuna saamiseks pööratakse ristlõike normaal vastupäeva 90° võrra. Paindemomendi puhul: Paindemomentide epüüri ehitatakse varda tõmmatud kihtide poole (kumerale küljele). Seetõttu, epüürist võetud paindemomendi suund tuleb valida nii, et moment tekitaks kumeruse sellel varda küljel, kus paikneb epüüri ordinaat. Lisaküsimustega võib pöörduda dots. Alexander Ryabchikovi poole
= 1 2 - (-1) 0 - (-3) -3 A 0 x y +1 x + 3 = -1 3 3 -2 B1 y = x + 2. (s1) Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand Algordinaat on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja algordinaat b, on y = kx + b y A(0; b) 0 x Tõusu ja ühe punktiga määratud sirge võrrand Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt A(x1; y1) sirgelt, on y - y1 = k ( x - x1 ) . y A(x1; y1)
(Näide12) 13.ruutvõrrand on kus ax2 -ruutliige,bx-lineaarliige,c-vabaliige 2 Täielik ruutvõrrand on ax +bx+c=0 Mittetäielik ruutvõrrand on ax2+c=0 või ax2+bx=0 Taandatud ruutvõrrandi üldkuju on kus p ja q on konstandid. Taandatud ruutvõrrandi lahendid on Viète'i teoreemi järgi peavad lahendid rahuldama samasusi ja 14-23.(Näide 13-22) 24.Funktsiooni väärtus-y-väärtus Argument-x-väärtus Ordinaat-y-väärtus Abstsiss-x-väärtus 25-27.(Näide 23-25) 28. Ruut: (Näide26) S = a² (pindala = alus x alus) P = 4a Ristkülik: S = ab ( pindala = pikem külg x lühem külg) P = 2(a + b) 29. Rööpkülik:paralleelsete vastaskülgedega neli nurk.(Näide 27) S = ah (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Omadused: 1)rööpküliku diagonaal jaotab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks 2)Rööpküliku vastas küljed on võrdsed 3)rööpküliku vastas nurgad on võrdsed
Paindemomendi mõjujoon koosneb kahest sirgjoonest. Mc = ab/l. Mõjujoone vasak- ja parempoolne sirge lõikuvad lõike c vertikaalil. Ühikjõu liikumisel lõikest c kuni parempoolse toeni väheneb paindemoment jällegi nullini. 10. Mõjujoonte kasutamine.Selgitada etteantud valemi kasutamist, muutujate tähendust, lk 73 Tuleb teada, kuidas kasutada mõjujooni toereaktsioonide, sisejõudude ja siirete leidmiseks. Mõjujoone iga ordinaat i näitab otsitavat suurust ühikulisest koormusest Fi=1 Kui talale mõjub koormus Fi, siis leiame otsitava suuruse Zk avaldisest Zk = Fi*i Mitme koondatud jõu olemasolul summeerime need. Zk on sisejõud. Zk=F1*1 + F2* 2+ ... +Fi*i F1, Fi - koondatud jõud ja 1, i - vastavate jõudude all olevad ordinaadid mõjujoonel. 11. Varraskonstruktsiooni liigitamisel võetakse arvesse järgmisi varrassüsteemi omadusi: lk 79 1
iseloomustab nüüd lõik 1-4. Kui samamoodi toimida teistel vooluväärtustel ning saadud punktid ühendada, saabki ühise pinge-voolu tunnusjoone I = f (U ) . Saadud tunnusjoon võimaldab lahendada antud ahelat mitmel viisil. Kui näiteks on antud ahela kogupinge U , saab määrata voolu ja osapinged. Selleks tuleb rõhtteljel võtta kogupingele vastav lõik. Olgu see 0-5. Tõmmates nüüd punktist 5 ristsirge, saab lõikumisel pinge-voolu tunnusjoonega punkti 4. Selle punkti ordinaat väljendabki antud kogupingele vastavat voolutugevust. Kui läbi punkti 4 tõmmata rõhtjoon, siis saadud lõigud 1-2 (0-7) ja 1-3 (0-6) vastavad osapingetele U 1 ja U 2 . Kui on teada näiteks osapinge U 2 , võib samamoodi leida voolu I ning pinged U 1 ja U . Kui teadaoleva voolu I korral on vaja leida pingeid, tuleb võtta püstteljel voolutugevusele vastav lõik 0-1. Kui nüüd läbi punkti 1 tõmmata rõhtjoon, väljendavad lõigud 1-2, 1-3 ja 1-4 vastavalt pingeid U 1 , U 2 ja U .
Esimesele naatriumtiosulfaadi lahusele (katseklaas 1) valatakse varem välja möödetud kogus (6 cm3) väävelhappe lahust, katseklaas suletakse korgiga ja segatakse katseklaasi kiiresti, seda kahel korral ümber pöörates. Möödetakse aeg lahuste kokkuvalamise hetkest kuni hägu tekkimiseni. Hägu ilmumiseks kulunud aeg (sekundites) kantakse tabelisse. Samuti tuleb toimida teiste naatriumtiosulfaadi lahustega (katseklaasid 2, 3, 4). Katse andmete põhjal koostada graafik. Ordinaat teljele märgitakse reaktsiooni kiirus (v) möödetuna aja pöördväärtusena (1/t) ja abtsiss teljele naatriumtiosulfaadi konsentratsioon. Soovitatav mastaap: minimaalne Na 2S2O3 sisaldud lahuses 3 cm ja maksimaalne kiirus 8 cm. Katseklaasi Na2S2O3 lahus cm3 H2O Na2S2O3 lahuses Aeg Kiirus nr a b a/(a+b) t, s 1/t, s-1
sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand. Võrrandeid x-x1/s1= y-y1/s2= z-z1/s3 nim sirge kanoonilisteks võrranditeks ruumis. X-x1/s1=y-y1/s2 on sirge kanoonilinr võrrand tasandil. Kahe antud punkti läbiva sirge võrrand Ruumis on antud 2 punkti M1(x1,y1,z1) ja M2(x2,y2,z2). Et leida võrrandit sirgele mis läbib
2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14
1.5. Laeva koordinaatide süsteem Laeva staatikas on kasutusel ristkoordinaatide süsteem, mis on laevaga seotud nii, et algpunkt on lõikepunkt kolme omavahel risttasandil: CL-tasand e. keskliinitasand (varem ka venepärane diametraaltasand DT e. ); BL-liin e. baasliinitasand; miidlitasand e. MS-tasand (MS asendatakse sageli sümboliga ). Positiivseks koordinaatide suunaks on: 0x e. abstsiss miidlist vööri (lääne kirjanduses sageli vastupidi); 0y e. ordinaat CL-tasandist paremale (tüürpoordi); 0z e. aplikaat BL-tasandist üles, mis antakse reeglina miidli kiilupunktist, näiteks laeva masskeskme aplikaat ZG asemel KG.
Esimesele naatriumtiosulfaadi lahusele (katseklaas 1) valati varem väljamöödetud kogus (6 cm 3) väävelhappe lahust, katseklaas suleti korgiga ja segati katseklaasi kiiresti, seda kahel korral ümber pöörates. Möödeti aeg lahuste kokkuvalamise hetkest kuni hägu tekkimiseni. Hägu ilmumiseks kulunud aeg (sekundites) kanti tabelisse. Samuti toimiti teiste naatriumtiosulfaadi lahustega (katseklaasid 2, 3, 4). Katse andmete põhjal koostati graafik. Ordinaat teljele märgiti reaktsiooni kiirus (v) möödetuna aja pöördväärtusena (1/t) ja abtsissteljele naatriumtiosulfaadi konsentratsioon. Soovitatav mastaap: minimaalne Na2S2O3 sisaldud lahuses 3 cm ja maksimaalne kiirus 8 cm. Saadud tulemuste põhjal koostati järeldus reaktsiooni sõltuvuse kohta reageerivate ainete kontsentratsioonist. Katse andmed ja tabel: Katseklaasi Na2S2O3 lahus cm3 H2O Na2S2O3 lahuses Aeg Kiirus
abc A1x + B1y + C1 = 0 S= L( x 0 ; y 0 ) 4R 34. Vekor tasandil. Joone võrrand. Punkti koordinaadid tasandil A2x + B2 y + C2 = 0 y-telg ordinaat x-telg abstsiss 35. Kahe punkti vaheline kaugus d = ( x 2 - x1 ) + ( y 2 - y1 ) 48. Ringjoone võrrand 2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37
Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. xi 1, xi i Valime igal osalõigul vabalt ühe punkti . 1 , 2 , , n Saame . Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis f 1 , f 2 , , f n vastavalt . f 1 x1 , f 2 x2 , , f n xn Nende ristkülikute pindalad on . Kõigi niisuguste ristkülikute pindalade summa annab arvutatava pindala ligikaudse väärtuse:
Parabooli haripunkt on punkt, mis asub parabooli sümmeetriateljel. See jaotab parabooli kaheks haruks. Paralleelsed sirged on sirged, mis pikendamisel üksteisega kunagi ei ristu. Sirged a ja b ning sirged d ja e on paralleelsed. Piirdenurk on nurk, mille tipp on ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont nimetatakse piirdenurgaks Punkti abtsiss ehk x - koordinaat on esimene punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus. Punkti ordinaat ehk y - koordinaat on teine punkti koordinaatidest ühe-, kahe- või kolmemõõtmelises koordinaadistikus. Pöördarvudeks nimetatakse kahte arvu, mille korrutis võrdub 1-ga. Antud nullist erineva arvu pöördarvuks nimetatakse arvu 1 ja antud arvu jagatist. Pöördvõrdelises seoses on kaks muutujat, kui nende korrutis on konstantne ehk muutumatu. Püströöptahukas on püstprisma, mille põhitahkudeks on rööpkülikud.
3 3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n ) Nende ristkülikute pindalad on f (1 ) x1 , f (2 ) x2 , , f (n ) xn . Kõigi niisuguste ristkülikute pindalade summa annab arvutatava pindala ligikaudse väärtuse n S abBA f ( 1 ) x1 + f ( 2 ) x2 + + f ( n ) xn = f ( i ) xi i =1
abstsiss- ja ordinaattelje ning läbi raskuskeskme. Veeliini-tasand on määratud järgmiste poolordinaatidega alates ahtrist. Laeva pikkus on LPP = 220m, s.t. L = 220/10 = 22 m. Calculate the area, position of the flotation and the second moments of area about the two principal axes of the waterplane defined by the following ordinates, numbered from aft. It is 220 m long. Ordinaadi nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ½ ordinaat m 0,0 6,3 8,6 9,2 9,4 9,0 8,1 6,7 4,6 2,4 0,2 f(A) f(M) f(Jy) y3 f(Jx) 3 Ord. y TM 23 Õlg 45 Õlg 67 [2] 93 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 3 3 MÄÄRATUD INTEGRAALI MÕISTE Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. Jaotame lõigu [a, b ] n osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame x1 , x2 , , xn Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. Valime igal osalõigul [ xi -1 , xi ] vabalt ühe punkti i Saame 1 , 2 , , n Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis vastavalt f ( 1 ) , f ( 2 ) , , f ( n ) Nende ristkülikute pindalad on f (1 ) x1 , f (2 ) x2 , , f (n ) xn . Kõigi niisuguste ristkülikute pindalade summa annab arvutatava pindala ligikaudse väärtuse n S abBA f ( 1 ) x1 + f ( 2 ) x2 + + f ( n ) xn = f ( i ) xi i =1
f) Joonestage funktsioonide y = 2x ja y = x graafikud piirkonnas x > 0 ja määrake graafikute lõikepunkti koordinaadid täpsusega 10-1 Vastus: ( 0,6 ; 1,6) -4- - 1 2 g) Joonestage funktsioonide y = lnx ja y = x graafikud samasse teljestikku ning leidke mõlema graafiku esimese veerandi nende punktide, mille ordinaat on 1, vaheline kaugus. Vastus: Kaugus on e-1 . 1. y log 2 x 2 2. y 3 3x 3. y 2 0,5 x 4. y log 1 x 4 h) Joonestada funktsioonide graafikud: 3 5. Logaritmvõrrandid
x pöördf-n y = - X = [0 ; ) Y = (- ; 0] 1 x2 f) Joonestage funktsioonide y = lnx ja y = graafikud samasse teljestikku ning leidke mõlema graafiku esimese veerandi nende punktide, mille ordinaat on 1, vaheline kaugus. Vastus: Kaugus on e-1 . 1. y log 2 x 2 2. y 3 3x 3. y 2 0,5 x 4. y log 1 x 4 3 g) Joonestada funktsioonide graafikud: 5
Tüüpiliselt sisaldab see osa palju kokkuvõtvaid tabeleid, diagramme, jooniseid. Väga tähtis on lugemisel aru saada kõigist tabelitest ja joonistest. Jooniste puhul peab olema selge, kuidas on kujutatud sõltuvad ja sõltumatud muutujad. Tavaliselt kujutatakse sõltumatu (eksperimentaatori poolt varieeritav) muutuja (independent variable) abstsiss- e. x-teljel; sõltuv (registreeritav, mõõdetav) muutuja (dependent variable) ordinaat- e. y-teljel. 6. arutelu . See on artikli kõige "loomingulisem" osa. Siin autor interpreteerib, mida saadud tulemus sisuliselt tähendab (võib juhtuda, et autor eelistab endale soodsat mõttekäiku ja võib jätta kõrvale alternatiivsed seletused). Ühtlasi on see ka formaalsete nõuete järgi, mida APA Publication Manual esitab, kõige vabamalt esitatav osa artiklist. 7. viited. Psühholoogias on tavaks artikli lõpul esitada täielikud viited refereeritud
Tõusva sirge tõus on pos, langeva sirge tõus neg. · Punkti ja tõusuga määratud sirge. Antud on sirge üks punkt A ja tõus k (või tõusunurk). Võttes üheks punktiks A ja teiseks sirge mis tahes punkti saame · Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge. Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtst, kus sirge lõikab y- telge. Teisiti öeldes, algordinaat on sirge ja y-telge lõikepunkti ordinaat (tähistatakse b). Kui on antud sirge tõus k ja algordinaat b, siis on sisuliselt antud k ja sirge punkt A(0;b). 7.2 Sirge üldvõrrand Lineaarset võrrandit Ax+By+C=0, kus vähemalt A0 või B0, nimetatakse sirge üldvõrrandiks. Meeldejäävamaks sihivektoriks on aga vektor s=-B·s1=(-B;A) seega, Ax+By+C=0 s=(-B;A) 7.3 Kahe sirge vastastikused asendid · Sirgete ühtimine sis kui on samad tõusunurgad ja sirged lõikavad y-telge samas punktis.
2bc 2ac 2ab Koosinusteoreem võimaldab lahendada kolmnurka, kui on antud 1) kaks külge ja nende vaheline nurk 2) kolm külge. IV Vektor tasandil Sissejuhatuseks arvtelg. B(-2,5), A(2) Arvteljel punkti asukoha määramiseks läheb vaja ühet koordinaati. x abstsiss; y ordinaat. Koordinaattasand (Descaartes'i ristkoordinaadistik) Punkti asukoha määramiseks arvteljel on vaja kahte koordinaati. 30 Lõigu pikkus A(x1;y1); B(x2;y2) A´B´ = |x2 x1| A°B° = |y2 y1|
Näiteks nurkade 360, 180, 90, 45 suurused absoluutmõõdus on vastavalt 2, , , . Üldiselt o -se 2 4 nurga suurus absoluutmõõdus on . 180 Olgu nurga AOP suurus absoluutmõõdus x. Siis punkti P ordinaat P'P kujutab suurust sin x. Lõik AQ, kus Q tähendab sirge OP lõikepunkti u-telje punktis A võetud ristsirgega, kujutab nurga x sin x tangentsit. Et funktsioon on paarisfunktsioon, siis tarvitseb vaadelda vaid positiivseid nurga x x väärtusi, kusjuures üldsust kitsendamata võib eeldada, et x on teravnurk, s.o. 0 < x < , sest
ja tähistatakse zA). Kuna ekraanid on omavahel risti, on tegemist ristkoordinaadistikuga. X , y ja z on koordinaatteljed, nende lõikepunkt 0 on koordinaatide alguspunkt. Koordinaatide alguspunkt jaotab kõik teljed positiivseteks ja negatiivseteks suundadeks. Mistahes ruumipunkti asukohta teljestiku suhtes võib väljendada koordinaatidega. Nii on selel 12 punkti A koordinaadid A (xA,yA,zA): xA on x- koordinaat ehk abstsiss, yA on y-koordinaat ehk ordinaat, zA on z-koordinaat ehk aplikaat. Esi -, põhi- ja külgekraan lõikuvad omavahel paarikaupa mööda jooni x, y ja z, mis on üksteise suhtes risti, moodustades ristteljestiku Oxyz. Punkt O on telgede ühispunkt. Nüüd pööratakse ekraanid ε1 ja ε3 koos nendele projekteerunud punkti kujutistega vastavalt nooltega näidatud suunas ühtivusse esiekraaniga ε2 (sele12b). Tekib punkti kolmvaade. Seejuures on telg y nähtav kahes kohas: z – telje
Koordinaattasand - Koordinaattasand on tasand, millel on koordinaatteljestik. Koodinaatteljestik koosneb kahest ristuvast arvteljest. Abstsisstelg ehk xtelg on joonisel positiivse suunaga vasakult paremale, tema koordinaate nimetatakse abstsissideks. Punkti abstsiss näitab, kui kaugel asub punkt yteljest. Ordinaattelg ehk ytelg on joonisel positiivse suunaga alt üles, tema koordinaate nimetatakse ordinaatideks. Punkti ordinaat näitab, kui kaugel asub punkt x teljest. Koordinaatteljed jaotavad tasandi neljaks koordinaatveerandiks: I veerand, II veerand, III veerand, IV veerand. Tasandeid üldvõrranditega x1 = 0; x2 = 0 ja x3 = 0 nimetatakse vastavalt x2x3- koordinaattasandiks, x1x3-koordinaattasandiks ja x1x2-koordinaattasandiks. Üldasendis olev tasand me ütleme, et tasand on üldasendis, kui ta ei ole paralleelne mitte ühegi koordinaatteljega ning ei läbi reeperi alguspunkti.
Tõenäosus, et juhuslik suurus X satub piirkonda A...B: p(A < X < B) = F(B) F(A) = (( ) (A ))/ = (B A)/( ) Normaaljaotusseadus: On tõestatud, et piisavalt suure hulga sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate), suvalistele jaotusseadustele alluvate juhuslike suuruste summa allub ligilähedaselt normaalsele jaotusseadusele: f(x) = 1/(x2)*e astmes (- (x-Ex)2/2x2). Normaaljaotuse jaotuskõver on sümmeetriline, '' künkakujuline'' Gaussi kõver. Maksimaalne ordinaat on 1/x2, millele vastab abstsissteljel punkt X = Ex, asümmetriategur ax = 3X/3x = 0; Ekstsess exx = 4(X)/4x 3 = 0 Mx = Mex = Ex Juhusliku suuruse mingisse etteantud vahemikku sattumise tõenäosus võrdub jaotusfunktsiooni juurdekasvuga selles vahemikus: p( X < ) = F() F() Normaaljaotuse funktsioon: F(x) = 1/2 * (--st kuni (x-Ex)/x)* e astmes(-t2/2)dt Normeeritud kuju: (x) = 1/2 * (--st kuni x-ni)* e astmes(-t2/2)dt
määramispiirkonna alamhulgaga 0; . Illustreerimie olukorda järgmisel joonisel:
4
Vaatleme ringi raadiusega 1. Ringi kaarel on fikseeritud punkt P nii, et nurk
aplikaadi (e. z-koordinaadi) muutu. Tõestus. Funktsiooni z = f (P ) diferentseeruvus kohal P = ( x0 , y 0 ) tähendab geomeetriliselt, et pinnal z = f (P ) on punktis P = (x0 , y 0 , z 0 ) z 0 = f (x0 , y 0 ) olemas z-teljega mitteparalleelne puutujatasand (z - z 0 ) = f x (P )( x - x0 ) + f y (P )( y - y 0 ) . Et leida täisdiferentsiaali df geomeetrilist tähendust, vaatleme puutujatasandil punkti S = ( x, y, z ) , mille abtsiss on x = x0 + h ja ordinaat y = y 0 + k . Asendades need kaks koordinaati puutujatasandi võrrandisse, saame punkti S aplikaadi z jaoks: (z - z 0 ) = f x (P )h + f y (P )k = df , kus vahe z - z 0 kujutab puutujatasandi aplikaadi muutu RS . Siin R = ( x, y , z 0 ) . Niisiis, geomeetriliselt tähendab funktsiooni f täisdiferentsiaal funktsiooni f graafiku puutujatasandi aplikaadi muutu. 5
Jäik (ülipüstuv) laev stiff ship suure metatsentrilise kõrgusega (seega suure taastava õla ja -momendiga) laev. Kaadumisnurk angle of vanishing stability k kreeninurk, mille juures püstuvus kaob s.t. taastav õlg GZ omandab nullväärtuse; numbriliselt sama, mis püstuvuse ulatus (range of stability). KG laeva raskuskeskme kõrgus kiilust. KN tinglik taastav (püstiv) õlg, oletades, et laeva raskuskese asub kiilul; püstuvuse ristkõvera ordinaat. Kihiparandus layer correction DISm trimmiga laeva keskmise süvise järgi määratud veeväljasurve korrektuur, mis tuleneb miidli ja ujuvuskeskme F erinevatest asenditest piki laeva; positiivne, kui F-ile lähem laeva ots on "all"ja negatiivne, kui see on "ülal". Korrigeeritud (vedel) KG või GM fluid KG or GM laeva KG või GM peale vabapinnaparanduste tegemist. Kreenikatse inclining test laeva raskuskeskme kõrguse määramine kaalu põiksuunas
y v¨a¨artus 3 jne. Teiseks funktsiooni esitusviisiks on graafik. N¨ aide 1.2. Graafik esitab y y0 P x0 x Joonis 1.1: Funktsiooni esitusviis graafikuna t~oepoolest u ¨laltoodud definitsiooni m~ottes funktsiooni, sest argumendi v¨a¨artusele x0 vastab graafiku punkt P . Selle punkti ordinaat y0 on u ¨heselt m¨aa¨ratud, seega igale argumendi x v¨a¨artusele seab graafik vastavusse u ¨he kindla y v¨a¨artuse. Kolmandaks funktsiooni esitusviisiks on anal¨ uu¨tiline esitusviis. Siin eris- tame funktsiooni esitust ilmutatud kujul, ilmutamata kujul ja funktsiooni parameetrilist esitusviisi. Funktsioon esitatakse ilmutatud kujul v~ordusena y = f (x), kus vasakul pool v~ordusm¨arki on y ja paremal mingisugune anal¨ uu¨tiline avaldis muutuja x suhtes
Kui Q=constant ja T jagatud ΔT intervallideks (tavaliselt 10päeva), siis ühe intervalli jooksul ΔW = Q ΔT. Kandes saadud andmed täisnurksesse koordinaatide süsteemi, kusjuures ordinaatides on summeritud äravooluandmed, so integraalne äravoolumaht, ja abstsisiks aeg, so ajavahemik Δ t, ühendates punktid saame kõvera – nn äravoolumahu integraalkõvera. Integraalkõveral on järgmised omadused: 1. iga ordinaat kujutab endast summeritud äravoolumahtu aja algmomendist kuni antud momendini 2. ordinaatide vahe integraalkõvera kahe punkti A ja B vahel võrdub antud punktidele vastava ajavahemiku Δ t äravoolu mahuga (lõik BC) 3. kui äravool on konstantne, siis integraalkõver on sirge W=Q*t 4. Sirgjoone tõusunurga tan α vastab keskmisele äravoolule ajavahemikul Δ t tanα = BC/AC= Δ W/ Δ t=Qkesk. 29
.. 3.14 dt µt kus µ ja µt on vastavalt nurkkiiruse ja aja mastaabitegurid graafikul, i - graafiku i-nda punkti puutuja tõusunurk b) lähtudes seosest r = r (r ) , on d µ ri = r r = µ yi tgi , ... 3.15 d r µ kus yi - vända pöördenurgale ri vastava graafiku punkti ordinaat, i - sama punkti puutuja tõusunurk. Kui redutseeritud motoorne moment sõltub redutseerimislüli nurkkiirusest (Trm = Trm (r )) ja redutseeritud takistusmoment sõltub redutseerimislüli nurkpaigutusest (Tr = Tr ( r )) samuti nagu redutseeritud inertsmomentki I r = I r (r ) , t t esitame võrrandi 3.11 kujul I r r2 I ro ro2 Tr ( r ) d - Tr ( )d = 2 - 2 .
Tüüpiliselt sisaldab see osa palju kokkuvõtvaid tabeleid, diagramme, jooniseid. Väga tähtis on lugemisel aru saada kõigist tabelitest ja joonistest. Jooniste puhul peab olema selge, kuidas on kujutatud sõltuvad ja sõltumatud muutujad. Tavaliselt kujutatakse sõltumatu (eksperimentaatori poolt varieeritav) muutuja (independent variable) abstsiss- e. x-teljel; sõltuv (registreeritav, mõõdetav) muutuja (dependent variable) ordinaat- e. y-teljel. 6) arutelu (Discussion). See on artikli kõige "loomingulisem" osa. Siin autor interpreteerib, mida saadud tulemus sisuliselt tähendab (võib juhtuda, et autor eelistab endale soodsat mõttekäiku ja võib jätta kõrvale alternatiivsed seletused). Ühtlasi on see ka formaalsete nõuete järgi, mida APA Publication Manual esitab, kõige vabamalt esitatav osa artiklist. 7) viited (References)
y= Mastaap y-teljel normaaljaotuskõverale vastavalt eeltoodud valemile. Kui x=0, siis 2 ehk 0,4/ µm-1. -1 -1 Vabalt valitava mastaabiteguri b kohaselt vastab teljel 1/ µm = b mm ja 1 µm = b mm joonisel. Siit y = 0,4/ µm-1 = b 0,4/ µm-1. Juhul kui soovitakse, et teoreetilise jaotuskõvera suurim ordinaat oleks suuruselt lähedane hajuvusulatusega, siis tuleks valida 0,4b=6a, millest b=15a. Analoogselt määratakse normaaljaotuskõvera teiste ordinaatide pikkused millimeetrites, kasutades normeeritud normaaljaotuse andmeid. Jrk nr z=±x/ y(z) Jrk nr z=±x/ y(z) 0 0 0,3989 4 2 0,0540 1 0,5 0,3521 5 2,5 0,0175
iseloomustab nüüd lõik 1-4. Kui samamoodi toimida teistel vooluväärtustel ning saadud punktid ühendada, saabki ühise pinge-voolu tunnusjoone I = f (U ) . Saadud tunnusjoon võimaldab lahendada antud ahelat mitmel viisil. Kui näiteks on antud ahela kogupinge U , saab määrata voolu ja osapinged. Selleks tuleb rõhtteljel võtta kogupingele vastav lõik. Olgu see 0-5. Tõmmates nüüd punktist 5 ristsirge, saab lõikumisel pinge-voolu tunnusjoonega punkti 4. Selle punkti ordinaat väljendabki antud kogupingele vastavat voolutugevust. Kui läbi punkti 4 tõmmata rõhtjoon, siis saadud lõigud 1-2 (0-7) ja 1-3 (0-6) vastavad osapingetele U 1 ja U 2 . Kui on teada näiteks osapinge U 2 , võib samamoodi leida voolu I ning pinged U 1 ja U . Kui teadaoleva voolu I korral on vaja leida pingeid, tuleb võtta püstteljel voolutugevusele vastav lõik 0-1. Kui nüüd läbi punkti 1 tõmmata rõhtjoon, väljendavad lõigud 1-2, 1-3 ja 1-4 vastavalt pingeid U 1 , U 2 ja U .
annaabi.ee 
