] 3URILLO/[[ X ,Y FP :Y FP -}XG)P}MXEXY WDVDQGLV XVLKLV Y )$ N1 )% N1 N1...
osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z...
eaei-ttu.extra.hu 1) Elementide omaduste perioodilisusseadus: Keemiliste elementide ja nendest moodustunud liht- ja lihtsamate liitainete omadused on perioodilises sõltuvuses elementide aatomite tuumalaengust (elementide aatommassidest). (Iga periood v.a. esimene algab aktiivse metalliga, lõpeb väärisgaasiga. Periodi piires elementide järjenumbri kasvamisel nõrgenevad metallilised ja tugevnevad mittemetallilised omadused. Suurtes perioodides nii pea- kui ka kõrvalalarühmade elementide omadused korduvad perioodiliselt. Kahe esimese peaalarühma elemendid asuvad perioodi paarisarvulistes, ülejäänud paarituarvulistes ridades. Paarisarvulistes ridades on ülekaalus metallilised omadused. Metallilised omadused tugevnevad peaalarühmas ülalt alla, mittemetallilised omadused aga nõrgenevad. VII peaalarühmas on tüüpilised mittemetallid. Alates III peaalarühmast nim suurte perioodide paarisarvuliste ridade elemente siirdeelementideks....
Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendat...
parajasti siis kui need vektorid on komplanaarsed (x,y,z)=0óx,y,z komplanaarsed 4)Vektorid x,y,z
moodustavad paremakäe kolmiku kui nende segakor on posit, vektorid x,y,z mood vasakukäekolmiku
kui nende segakorrutis on neg (nürinurk=vasakukäe, tervanurk=paremakäe)
Tasandi üldvõr A1x+B1y+C1z+D=0
Sirge u parameetriline võr{x1=c1+s1t;x2=c2+s2t,...xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited: , (mõlemad on polünoomid). Saab leida , 2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet! Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised. Näited: , 3. Mis on polünoomi kordajad , aste ja juured? Tooge 2 näidet! Polünoomi üldkuju: polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks) , polünoomi astmeks on arv n, polünoomi juurteks (nullkohtadeks) on need argumendi x reaal- või kompleksarvulised väärtused, mille korral polünoom f(x)=0 (nullkohad). Näited: Leian polünoomi kõik juured. 6 5 4 f ( x) := x + 30x + 4x + 7 7...
18. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutjuurte teisendusi k 2a = k a Selgitus. 2) ül 4 (103-125) Ruutvõrrand. Ruutvõrrandi kordajad . Ruutliige, lineaarliige, vabaliige. Normaalkujuline Ruutvõrrand. Mittetäielikud ruutvõrrand, täielik 13. 19. 09. 06 Ruutvõrrand. ruutvõrrandid. Selgitus. 3) lk 39, 45, ül 134 138, 159-164...
22) p~ohjal suunatuletise fs (A) jaoks j¨argmise valemi 1 fs (A) = f (A)s1 + fx2 (A)s2 + . . . + fxm (A)sm . (6.23) |s| x1 18) Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega. Funktsiooni z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) nimetatakse diferentseeruvaks punktis A kui selle funktsiooni t¨aismuudu z saab esitada j¨argmise summana: z = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cm xm + , (6.24) kus C1 , C2 , . . . , Cm on konstandid, mis u ¨ldiselt s~oltuvad punktist A ja on...
aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x ....
Molaarmassi arvutamiseks tuleb liita kokku aatommassid, arvestades indekseid. Näide: M(H2SO4) = 1*2 + 32 + 16*4 = 98 Gaaside molaarruumala (ühe mooli mistahes gaasi ruumala normaaltingimustel) Vm = 22,4 Avogadro arv (osakeste arv ühes moolis ) NA = 6 * 10 23 Tihedus (ruumalaühiku mass) r = Gaaside korral r = = Gaaside tiheduste võrdlemiseks piisab nende molaarmasside võrdlemisest. Õhu keskmine molaarmass on 29. Reaktsioonivõrrandi kordajad näitavad reaktsioonis osalevate ainete moolide arve. Lahus = lahusti + lahustunud aine 100 % x % 7.1 Näiteülesanded. 7.1.1 Ülesanded lahuse koostisosade massivahekorra kohta (lahuse % leidmine lah.aine ja lahusti masside järgi, lah.aine ja lahusti masside leidmine lahuse massi ja % järgi, lahuse massi leidmine lah.aine massi ja % järgi). Mitme protsendiline lahus saadi, kui 380 g vees lahustati 20 g soola? Lahuse m = 380 g + 20 g = 400 g...
Leia parabooli y=x 2 -x+2miinimumpunkt lõigus [-2; 4] x tingimused changing cells : 0,5 0,5 (constraints) 0,5 funktsioon target cell: 1,75 Ülesanne 4. kordajad siia x1 x2 tingimused 4x1+x2>=18 4 1 18 48 5x1+6x2<=174 5 6 174 174 (-7x1)+2x2<=6 -7 2 6 6...
n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = + , kus A ja B on konstandid...
Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises...
Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon)....
. . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st 1 = 2 = . . . = n = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE. Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest i , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE. DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid, st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e 1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI. DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS....
-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfu...
Vastavalt Lagrange'i valemile
Kui x
tegur (x2+px+q)k ; (x- -i )(x- +i )=x2-2 x+( 2+ 2)=x2+px+q=>p=-2
IR, q=( 2+ 2) IR; q-p2/4= 2+ 2-4 2/4= 2>0 *Korrap murdrats f-n
Pn(x)/Qm(x), n
Seejuures ei ole vaja arvutada käitumist ajas saab siiski kirjeldada statistiliste Kui ülalvaadeldud süsteemi ülekande H(z) paiknevate siinuste lahutamiseks: autokorrelatsioone. Meetod võimaldab sageli parameetritega, mis teatud keskmistena võivad olla avaldises(vt. 3) on kõik kordajad a nullid, siis lahutada lähedaste sagedustega siinussignaale, ka determineeritud suurused. Muutuja x() k...
Meedium ja meedia, multimeedia määratlus. (mmt01.pdf) - ; - (DCT) (32 , () - . (, s(i)): . ). 63 7 st [i ] = M [i, k ] × ( C[k + 64 j ] × x[ k + 64 j ]) ...