Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks
5 6 1.1. 6x2y ; - a3bc5 ; 1,6xyz - üksliikmed 1 9 1.2. 3,5x2y3z ; 2 3 -2,7 x y z ; x2y3z - sarnased üksiilmed 5 6 1.3. 6 x2y- a3bc5+1,6xyz -hulkliige (üksliikmete summa) Hulkliikme kordajad 1.4. Korrastatud hulkliige ehk normaalkujuline hulkliige on hulkliige,kus liikmed on asetatud astmenäitajate summa kahanevasse järjekorda. 1.5. Kõige viimaseks kirjutatakse alati vabaliige. 1.6. Hulkliige, mis on kahe üksliikme summa nimetatakse kaksliikmeks. 1.7. Hulkliige, mis on kolme üksliikme summa nimetatakse kolmliikmeks. 2. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 2.1. Kõigepealt tuleb avada sulud ja seejärel koondada sarnased liikmed. 2.2
y/x . On lihtne näha, et võrrand on homogeenne, kui A(x,y) ja B(x,y) on sama järku homogeensed. Et homogeenne võrrand (4.2) teisendub kujule (4.2)' , siis teeme teisenduse (4.4) , Siit saame leida ja Asendades võrrandisse (4.2)' saame , mis on juba eralduvate muutujatega võrrand. 5. Lineaarne esimest järku võrrand Def 5.1 esimest järku dif.võr on lineaarne kui sel on lineaarne funktsioon y ja selle tuletise y' suhtes y ja y' esinevad vaid esimeses astmes ja nende kordajad sõltuvad vaid x-ist. (5.1) Siin , sest vastasel juhul pole dif.võr. Jagades võrrandi (5.1) mõlemad pooled läbi a(x)-ga, saame: (5.1)' , kus Leiame võrrandi lahendi, otsime korrutist kujul: (5.2) Diferentseerides saame Asendades võrrandisse (5.1)' leiame, et . Võttes ühise teguri sulgude ette, saame: , Et ühe teguri selles korrutises võime vabalt valida, valime selle nii, et: See on eralduvate muutujatega võrrand. Leiame erilahendi
redutseerijast). Redoksprotsessis reageerivad omavahel ühe redokssüsteemi oksüdeeritud vorm ning teise redokssüsteemi redutseeritud vorm. Redoksprotsessi tasakaal on nihutatud vähemaktiivse oksüdeerija ja vähemaktiivse redutseerija tekke suunas. redoksreaktsiooni tasakaalustamine: 1) elektronbilansi meetod liidetud ja loovutatud elektronid leitakse elementide oksüdatsiooniastmete muutuse järgi liidetud ja loovutatud elektronide alusel leitakse kordajad oksüdeerijale ja redutseerijale, ülejäänud kordajad nende põhjal Elektronbilansi meetodi põhimõte: 1. Määra kõigi elementide o.a 2. Kirjuta välja elektronvõrrandid nende elementide kohta, mille o.a muutus (arvestades indekseid) 3. Korruta elektronvõrrandeid selliste arvudega, et liidetud ja loovutatud elektronide arvud saaksid võrdseteks. Leitud arvud ongi vastavate elementide (ainult nende
aijT = a ji aijT AT aij A Maatriksi transponeerimisel vahetatakse maatriksi read ja veerud omavahel ära V = ( A1 ;...; Ak ) R m×n Lineaarne kombinatsioon 1 A1 + ... + k Ak Sama dimensiooniga maatriksite (vektorite) hulga lineaarne kombinatsioon saadakse iga maatriksi (vektori) korrutamisel mingi arvuga ja korrutiste liitmisel 1 ;...; k R Lineaarse kombinatsiooni kordajad Lineaarne sõltumatus 1 A1 + ... + k Ak i 0 A1 + ... + 0 Ak = k lineaarselt sõltumatu mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon saab võrduda nullmaatriksiga (nullvektoriga) ainult siis, kui kõik lineaarse kombinatsiooni kordajad võrduvad nulliga kui siis 1 A2 = - A1 - 3 A3 ... - k Ak 2 2 2 k lineaarselt sõltuva mitte nullmaatriksi (vektori) lineaarne kombinatsioon
molekulmassiga (või aatommassiga) M(H2O) = 2·1 + 16 = 18 g mol n= m M Molaarruumala Vm Molaarruumala Vm on ühe mooli aineosakeste ruumala Ühesugustes tingimustes sisaldavad erinevate gaaside võrdsed ruumalad võrdse arvu molekule Normaaltingimused (nt.) t = 0oC ja p = 1 atm Gaaside molaarruumala (nt.) dm 3 Vm = 22,4 mol V V n= = Vm 22,4 Arvutused reaktsioonivõrrandite järgi Reaktsioonivõrrandi kordajad näitavad reaktsioonis osalevate ainete moolide suhet 2H2 + O2 = 2H2O 2 mol 1 mol 2 mol 2·2g + 32 g = 2·18g Aine massi jäävuse seadus: lähteainete mass = saaduste mass Näiteülesanne 1 Mitu mooli hapnikku kulub 6 mooli vesiniku põlemiseks? 6 mol x 2H2 + O2 2H2O 2 mol 1 mol x = 6 mol ⋅1mol = 3 mol O2 2 mol Näiteülesanne 2 Mitu mooli vesinikkloriidhapet kulub reageerimiseks 6,2 g naatriumoksiidiga? Näiteülesanne 3
432=4*100+3*10+2 Sama ka teistes arvusüsteemides: 2536=26*1006+56*106+36 1.2 Kümnendsüsteemi arvude teisendamine erinevatesse arvusüsteemidesse Näide kuidas teisendada kümnendsüsteemi arvu 2217 kaheksandsüsteemi. Kui teame, kuidas teisendada kaheksandsüsteemi arvu 42518 kümnendsüsteemi arvuks, võime kirjutada: 42518=4*83+2*82+5*8+1*80=2217. Kaheksandsüsteemi arvu numbrid on antud summaks kaheksa astmete kordajad. Peame leidma algoritmi, mille abil need kordajad leida. Võrdusest 4*83+2*82+5*8+1=2217 näeme, et jagades arvu 2217 kaheksagasaame vastuseks arvu 4*82+2*81+5=277 ja jäägiks arvu 1. Jagades omakorda saadud jagatise 4*82+2*81+5=277 kaheksaga, saame vastuseks arvu 4*81+2=34 ja jäägiks arvu 5. Arvu 34 jagamisel kaheksaga saame vastuseks 4 ja jäägiks 2. Ja lõpuks, jagades 4 kaheksaga saame vastuseks 0 ja jäägiks 4. Kokkuvõttes näeme, et saadud
et vesi tõepoolest taime lehtedest aurub ning sõltuvalt taime lehtede arvust saab isegi välja uurida, kui palju vett imab teatud hulk taime lehti mingi kindla aja jooksul. Uurimisküsimus: Kas vee aurumine lehtedest mõjutab vee hulka anumas, kuhu antud taime oks ehk elupuu oks on asetatud ning kui nii, siis kuidas sõltub imatud vee hulk antud taime oksa lehtede arvust? Sõltuv tegur antud katses on imatud vee hulk. Sõltumatu tegur antud katses on taime lehtede arv. Kordajad antud katses on ühe, kahe, kolme ja nelja lehega elupuu oksad. Hüpotees: Rohkemate lehtedega elupuu oks imab rohkem vett sama aja jooksul kui vähema arvu lehtedega elupuu oks. Katsevahendid: Neli veega täidetud anumat (antud juhul 0,5 liitrise mahuga Saarema vee plastpudelid, mille korkides on kaks auku: üks taimele, teine kõrrele), viis elupuu oksa, erinevate lehtede arvuga, viis painutatud joogikõrt. Meetod: Katse läbiviimiseks alustasin katse üles seadmisega:
0 1 105 52.5 juhtrida 10000 10000 0 seda rida enam ei kasuta 0 0 -1950000 uus sihifunktsioonirida y7 y8 b1 1 -0.5 37.5 37.5 0 0.5 52.5 tuleb uus tabel teha, sest sihifunktsiooni reas negatiivsed kordajad. 0 14000 -480000 y7 y8 b1 1 -0.5 37.5 75 juhtrida 0 0.5 52.5 105 8800 9600 -150000 tuleb uus tabel teha, sest sihifunktsiooni reas negatiivsed kordajad.
sihifunktsioonile otsitakse minimaalset väärtust ja tundmatud on mittenegatiivsed. Ülesande kuju: max z = c1 x1 + c 2 x 2 +...+ c n x n + c 0 a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1 a x + a x + ... + a x b 21 1 22 2 2n n 2 ... am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn bm x1 , x2 , ... , xn 0 , ( ) c1 , c2 , ... , cn sihifunktsiooni kordajad c j , j = 1,2,..., n c0 -- sihifunktsiooni vabaliige; aij -- kitsenduste süsteemi kordajad, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n); bi -- kitsendussüsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m). Lineaarse planeerimisülesande saamiseks tuleb teha järgmist: 1. Defineerida majandusprobleem ( mida tahetakse saavutada) 2. Defineerida sihifunktsioon 3. Selgitada ressursside olemasolevad suurused ja kulunormid ( kitsendussüsteem) 4
0 1 105 52.5 juhtrida 10000 10000 0 seda rida enam ei kasuta 0 0 -1950000 uus sihifunktsioonirida y7 y8 b1 1 -0.5 37.5 37.5 0 0.5 52.5 tuleb uus tabel teha, sest sihifunktsiooni reas negatiivsed kordajad. 0 14000 -480000 y7 y8 b1 1 -0.5 37.5 75 juhtrida 0 0.5 52.5 105 8800 9600 -150000 tuleb uus tabel teha, sest sihifunktsiooni reas negatiivsed kordajad.
Valemid saak ilma väetamata mullal ja - saagi võrrandi kordajad x- väetise kogus saame suurima saagi. X maj= Väetise kogus millest saadakse kõige suurem kasum enamsaak =x maj- saak mis aadud väetiste arvelt Saak väetamata mullalt y=(-2,1+0,38*boniteet)*100=... st/ha Kogusaak enamsaak+saak väetamata mullalt=... Kogusaagi võrrand Y=x-+a0 Tulu Kogusaak*vilja myygi hind Kulu kogusaak*Ch+Co+Cf*x maj Kasum Tulu-Kulu=kasum Kg omahind kulu-kogusaak= omahind Rt= =..% tootmise tasuvus. Keskmine saaks = kg/N toiteelemendi kohta
t. n< m. Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B = + , kus A ja B on konstandid
3 E* =1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 jne... 0 0 1 0 0 0 0 34. Koodisõnad ja hulkliikmed, erinevad esitused. Konspekt 13. Koodisõna hulkliige saadakse: Koodisõna v.j. am-1 , ............. , a1, a 0 n.j. m -1 Hulkliige v.j. am -1 z + ... + a1 z + a0 n.j. Siin am-1, a1, a0 Mingite heade omadustega kordajad Kahendkoodi hulkliige: Koodisõna v.j. 1 0 1 0 0 1 0 1 1 Hulkliige on f n -1 ( Z ) = f 8 ( z ) = 1 z 8 + 0 z 7 +1 z 6 + 0 z 5 + 0 z 4 +1 z 3 + 0 z 2 +1 z 1 + 1 z 0 = = z 8 + z 6 + z 3 + z +1 Selliste koodide kirjeldamiseks ja analüüsiks sobivate hulkliikmete tehete jaoks on kõige sobivam kasutada kordajaid, mis kuuluvad mingisse lõplikku korpusesse. 35. Tehted lõpliku korpuse elementidega.Konspekt 13.
⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarkombinatsiooniks. Reaalarvud λ 1 , λ2 , … , λ k on lineaarkombinatsiooni kordajad. Triviaalne – kui lineaarkombinatsioon kordajad on võrdsed nulliga λ1= λ2=…=λ k =0 Triviaalne lineaarkombinatsioon esitab alati nullvektori, sest 0⃗ a1 +0 ⃗ ak =⃗0 .
Sellise murru saab lahutada teatud arvu lihtsamate, nn osamurdude summaks. Olgu Q( x ) = 0 lahendid erinevad ja reaalsed Q( x ) = c0 ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) , siis sellise Q ( x ) puhul P( x ) A1 A2 A = + + m = Q( x ) x - c1 x - c2 x - cm A1 ( x - c2 ) ( x - cm ) + A2 ( x - c1 )( x - c3 ) ( x - cm ) + + Am ( x - c1 ) ( x - cm -1 ) ( x - c1 )( x - c2 ) ( x - cm ) Selleks, et leida kordajad A1 , A2 , , Am viime murrud ühisele nimetajale. 5 Kirjutame välja lineaarse võrrandisüsteemi, milles on m võrrandit ja m tundmatut, mida lahendades saame A1 , , Am . Kaks võimalust, kas anda x-le m erinevat väärtust või koostada iga x erineva astme (0 kuni m-1) kordajatest võrrand. Kui nimetaja tegurid on lineaarsed ja esimeses astmes, saame lahutada murru kaheks osamurruks. Näide 1: 2 x -1 A B
TASANDID Anna Karin Ericson 12.klass Tasand • - normaalvektor • a, b, c – telglõigud • A, B, C, D – kordajad tasandi üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse
arvust, siis toimub see nagu sarnaste liidetavate koondamine ehk mitu neid kokku saab 10.Teguri viimine ruutjuure märgi alla - Ül.1315 positiivset arvu, mis seisab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla NB juuremärgi all tuleb saadud arvud omavahel korrutada või jagada 2 11.Ruutvõrrand - võrrand ax +bx+c=0, Ül.1321,1324 milles antud arvud a,b,c (a 0), tundmatu Määrata kordajad ja liikmed. 2 2 1)2x +5x+7=0 x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige kordajad a=2 b=5 c=7 bx; vabaliige c 2 liikmed: ruutliige 2x ; lineaarliige 5x; vabaliige 7
4.ptk Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem 8.klass Õpitulemused Näited 1.Kahe tundmatuga lineaarvõrrand - Ül.908 normaalkuju ax+by=c, esimese tundmatuga lineaarliige ax, teise teise | 12 tundmatuga lineaarliige by ja vabaliige c; tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6
· Kahe üksliikme summa kuup võrdub esimene liige kuubis pluss kolmekordne esimese liikme ruudu ja teise liikme korrutis pluss kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis pluss teine liige kuubis · Kahe üksliikme vahe kuup võrdub esimene liige kuubis miinus kolmekordne esimese korrutis miinus teine liige kuubis · Liitmisvõte 1. Teisendan võrrandid normaalkujule 2. Korrutan võrrandi(d) sobivalt valitud arvu(de)ga nii, et ühe paari tundmatute kordajad oleksid teineteise vastandarvud 3. Liidan võrrandite vastavad liikmed 4. Lahendan saadud võrrandi 5. Asendan saadus tundmatu väärtuse ühte võrrandisse, lahendan võrrandi 6. Teen Kontrolli esialgse süsteemi põhjal 7. Kirjutan vastuse
3.5 x1 + 0.5 x2 + 3 x4 850 3 x1 + 2.5 x2 + 4.5 x3 + 3 x4 1250 x1 + 3 x2 + 2.5 x3 670 2 x2 + x3 + 3 x4 900 x1, x2, x3, x4 0 Lahendamine: Selle probleemi lahendamist on mugav teostada Excel'is. Selleks on vaja kanda kõiki andmeid sisse. · Sihifunktsiooni valemiks on: , muutujate summa koos vastava kasumiga kui kordajad. · Kulud on arvutatud iga materjali kohta eraldi. Nende valemiks on muutujate summa koos vastavate kuluühikutega kui kordajad. Niiti kulud Puuvillariide kulud Täitematerjali kulud Karusnaha kulud Plüüsi kulud Max funktsiooni ja muutujate optimaalseid väärtusi arvutame välja Exceli Solveri abil. Selle jaoks määrame sihifunktsiooni, mis vajab optimiseerimist ning allpool määrame vajatud kitsendused (tootmiskulud ei saa olla rohkem kui olemasolevad piiratud ressursside kogused).
2.ptk Hulkliikmed 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkliige - üksliikmete summa üksliikmed: ; ; ; 2.Hulkliikme liikmed ja kordajad - korrastatud hulkliige liikmed: üksliikmed, mille liitmisel hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe
Optimaalsuskriteerium - juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang, näiteks võimalikult suur kasum, vähimad tootmiskulud jne. Optimeerimine - fikseeritud kitsendustele ja püstitatud optimaalsuskriteeriumile vastava parima lahendi leidmine. MAX-põhikuju, MIN-põhikuju Sihifunktsiooni otsitava väärtuse z ja muutuvate suuruste (tundmatute) xj kõrval esinevad lineaarses planeerimisülesandes max põhikujul veel ka järgmised suurused: C1,c2....cn-sihfunktsiooni kordajad-(cj) , j= 1,2...n c0 ⎯ sihifunktsiooni vabaliige; aij ⎯ kitsenduste süsteemi kordajad, (i = 1, 2, ... , m; j = 1, 2, ..., n); bi ⎯ kitsenduse süsteemi vabaliikmed (i = 1, 2, ...,m). n m Seega lineaarne planeerimisülesanne on max-põhikujul, kui : a) nõutakse sihifunktsiooni maksimumi; b) kõik tundmatud võivad omandada ainult mittenegatiivseid väärtusi (≥ 0); c) kõik kitsendused on antud võrratustena ≤ (väiksem või võrdne).
baasilahendid kanoonilisel kujul (simpleksmeetidiga) 14. Millised on simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtveerg - sihifunksiooni kõige suurema absoluutväärtusega negatiivne arv Juhtrida - vabaliikmete ja juhtveeru elemendi minimaalne jagatis min(Va / Je) 15. Milline on simplekstabeli optimaalsuse tunnus? kui simplekstabelis sihifunktsioonile vastavas kordajate reas puuduvad negatiivsed kordajad, siis vastav baaslahend on optimaalne ja vabaliige sihifunktsioonile vastavas kordajate reas annab sihifunktsiooni optimaalse väärtuse 16. Mida näitavad simpleksmeetodi puhul lisamuutujate optimaalsed väärtused? See näitab ülejääki 17. Millised on duaalse simpleksmeetdi puhul juhtveeru ja juhtrea valiku reeglid? Juhtrida - Kõige väikseima absoluutväärtusega negatiivne vabaliige Juhtveerg - juhtrea elemendi ja sihifunksiooni elemendi maksimaalne jagatis, ainult
3. Korrapärase murdratsionaalse funktsiooni lahutamine ALGMURDUDEKS: a) Leida nimetaja Qm(x) REAALSED TEGURID: x-a, (x-a)k, x2+px+q, (x2+px+q)k, q-p2/4 > 0. b) Kirjutada välja teguritele vastavad ALGMURRUD: A/ (x-a); A1/(x-a), ... , Ak / (x-a)k; (Bx+C) / (x2+px+q); (B1x+C1) / (x2+px+q), ... ,(Bkx+Ck) / (x2+px+q)k. NB! Neid on nii mitu, kui palju on ERINEVAID REAALSEID TEGUREID. NB! TUNDMATUID KORDAJAID on m tükki. c) Kordajad Ai , Bi , Ci arvutatakse, kasutades I. MÄÄRAMATA KORDAJATE MEETODIT : võrdsete polünoomide x samade astmete kordajad on võrdsed. 11 II. ERIVÄÄRTUSTE MEETODIT : võrdsed polünoomid on võrdsed iga argumendi väärtuse puhul. NB! Leitakse nii mitu kordajat, kui mitu erinevat reaalset juurt on nimetajal Qm(x). Ülejäänud leitakse määramata kordajate meetodil. 4
kasum oleks suurim) 2. Optimaalse segu (dieedi) koostamine (etteantud nõuetele vastava odavaima segu kosotamine) Põhireeglid majandusprobleemi formuleerimiseks LPÜ-na 1. Defineerida majandusprobleem, analüüsida seda. Määratleda muutujad, mille väärtused on otsitavad ( nende suuruste kohta langetatakse otsus xj) 2. Defineerida sihifunktsioon. Määratleda sihifunktsiooni kordajad, mis otseselt mõjutavad z-ni kuuluvate muutujate väärtuse kujunemist. 3. Määratleda kitsendused, nende sisu ja mõju juhtimiseesmärkide saavutamisele. 4. Selgitada ressursside olemasolu ja nende kulunormid (kitsendussüsteemi kordajad) 5. Mittenegatiivsuse nõue 6. Majandussituatsiooni iseloomustavad tunnused ja tingimused tabelisse. 7. Formaliseerida matemaatiliste funktsioonidena sihifunktsioon ja kitsendused.
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat a11 x1 + a12 x 2 + ...a1n xn = b1 süsteemi. Tema üldkuju on: (3) a 21 x2 + a 22 x 2 + ...a 2 n x n = b2 Arve a ij nimetatakse võrrandisüsteemi .................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + ...a mn x n = bm
3.Võrrandsüsteemi lahendiks on arvupaar x=1 ja y=2. See kirjutatakse x=1 loogelise sulu abil kokku, nagu olid esialgsed võrrandidki. Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2 Mida teha võrrandisüsteemiga, milles kummagi tundmatu kordajad ei ole ei võrdsed ega vastandarvud? Sel juhul peame võrrandid teisendama vajalikule kujule. Selleks korrutame ühe võrrandi või mõlemad võrrandid läbi sobiva arvuga nii, et saaksime ühe tundmatu ette vastandarvud.
] 3URILLO/ [ [ X ,Y FP :Y FP -}XG)P}MXEXY WDVDQGLV XVLKLV Y )$ N1 )% N1 N1 ...
Üksliikmete korrutamine ja jagamine Kui üksliikmete algebralises summas esineb sarnaseid liikmeid, siis need koondatakse, s. t. asendatakse kõik sarnased liikmed üheainsa liikmega, mille kordaja võrdub asendatavate liikmete kordajate summaga. Näited 4 x 2 3xy 5 x 2 xy x 2 4 xy abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse. Näide (5 x 2 y 3 z ) (2 xy 2 z 2u ) 10 x 3 y 5 z 3 u Üksliikmete jagamisel kordajad jagatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad lahutatakse. Näide (5 x 2 y 3 z 4v) : (2 xy3 z 2 ) 2,5 x 21 y 33 z 42 v 2,5 xz 2v algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Hulkliikmed ja nende liitmine-lahutamine
REAKTSIOONIVÕRRANDID (LOTE I) Ainete valemite koostamisel arvesta laenguid ühendis (risti alla indeksiteks). Võrrandi tasakaalustamiseks loe aatomeid ja pane teisele poole reaktsiooninoolt kordajad, kuni mõlemale poole saab võrdne arv aatomeid. Kordaja korrutab indekseid! 1. Element + hapnik = oksiid Põlemisreaktsioon C+O2->CO2 süsiniku põlemine 4Fe+3O2->2Fe2O3 raua roostetamine Harjuta ( oksiidi valemi koostamiseks kasuta aatomi väliskihi elektronide arvu, vaadates tabelist A-rühma nr- sellest tulenes elemendi aatomi oksüdatsiooniaste ühendis) S+O2-> P+O2-> 2
REAKTSIOONIVÕRRANDID (LOTE I) Ainete valemite koostamisel arvesta laenguid ühendis (risti alla indeksiteks). Võrrandi tasakaalustamiseks loe aatomeid ja pane teisele poole reaktsiooninoolt kordajad, kuni mõlemale poole saab võrdne arv aatomeid. Kordaja korrutab indekseid! 1. Element + hapnik = oksiid Põlemisreaktsioon C+O2->CO2 süsiniku põlemine 4Fe+3O2->2Fe2O3 raua roostetamine Harjuta ( oksiidi valemi koostamiseks kasuta aatomi väliskihi elektronide arvu, vaadates tabelist A-rühma nr- sellest tulenes elemendi aatomi oksüdatsiooniaste ühendis) S+O2-> P+O2-> 2
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu)
Hõredatel gaasidel on joonspekter. Gaasides on aatomid hõredad, järelikult aatomite spektrid on joonspektrid. Igale joonele spektris vastab kindel kiirguse lainepikkus ja sagedus. Igal kindlal sagedusel on kindel energia. (Footoni energia E=f(sagedus)*h(Planki konst), 1eV=1,610 -19J) Vahepeal tuleb aatomit ergastada, et ta saaks uuesti kiirata. (kiiritada valgusega/kuumutamine) 3. Seisulained-lained millel on täisarvulised kordajad. Elektron lainetab ja tema laineid nim tõenäosus e. leiulaineteks (tähis psii Ψ ) elektroni lainepikkus λ =h(konstant)/p(impulss) p=mv 4.orbitaallaine-tal on kindlad orbiidid. Lained täisarv kordsed. Kvantarv-iseloomustab elektroni võimalikku seisulainet (3). n-peakvantarv(määrab ära energia nivoo kuhu elektron kuulub 1,2,3 jne), l-kõrval kvantarv (orbitaal)-määrab ära orbitaali ruumilise kuju 0,1,2 (n-1)) me-magnet kva(orbitaallaine tiirlemistelje
.., z ¿=0 Selle DV lahendiks z=f(x,C1,C2,..,Cn-k). y k =f ( x ,C 1,. . , Cn−k ) Kõrgemat järku lineaarsed DV-d. Lahendite vahelised seosed.n-järku lin DV-d-otsitava fn-i ja selle tuletiste suhtes lineaarset võrrandit nim n–järku lineaarseks DV-ks ning tähistatakse p0(x)y(n)+p1(x)y(n-1)+...+pn(x)y=f(x) (1) Moodustame Cauchy ülesande,selleks lisame lineaarsele võrran-dile n algtingimust: y(x 0)=y0; y'(x0)=y0(1);...;y(n-1(x0)=y0(n-1)Teoreem:Kui võrrandi(1) kordajad p0(x),p1(x),...,pn(x) (p0(x)≠0) ja vabaliige f(x) on pidevad vahemikus (a;b) ja x0є(a;b),y0,y0(1),...,y0(n-1)є(-∞,∞),siis võrrandil(1) leidub parajasti üks lahend y=y(x),mis rahuldab tingimusi(2).Aditiivsuse tõestus:L(y1+y2)=p0(x)(y1+y2)(n)+p1(x)(y1+y2)(n-1)+..+pn(x) (y1+y2)=p0(x)(y1 +y2 )+p1(x)(y1 +y2 )+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1) +..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n- (n) (n) (n-1) (n-1) 1) +..+pn(x)y2=Ly1+Ly2
Avogadro arv (osakeste arv ühes moolis ) NA = 6,02 • 10 - 6,02 • 10 mol kmol Tihedus (ruumalaühiku mass) p Vee tihedus p = I g/cm3 = 1000 kg/m3 Gaaside tihedus p Gaaside tiheduste vördlemiseks piisab nende molaarmasside vördlemisest. Öhu keskmine molaarmass on 29 g/mol. Aine massi jäävuse seadus: lähteainete mass = saaduste mass 135 Reaktsioonivörrandi kordajad näitavad reaktsioonis osalevate ainete moolide suhet (gaaside korral ka ruumalade suhet). Lahus = lahusti + lahustunud aine 100% 135 NB! Kui ei ole eraldi ôeldud, siis kâib protsent massi kohta (s.o massiprotsent)! Saagis nâitab, mitu protsenti moodustab tegelikult tekkinud ainekogus teoreetiliselt vôimalikust (vòrrandi jargi arvutatud) ainekogusest.
..,y(n)) nim.
lin n-järku HDV-ks, kui ta onlineaarne otsitava ja tema tuletise suhtes ehk on kirjut kujul **p 0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... +
pn(x)y = f(x) (3) ** f(x)=0 lin hom dv f(x)0 lin. Mittehom dv **normaalkuju y (n)=g(x;y;y';..;y(n-1)) **Moodustame
Cauchy ülesande, selleks lisame lineaarsele võrrandile n algtingimust:** {y(x 0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1)
(kus xo,yo,yn-1 on konstandid) (4) **Teoreem: Kui võrrandi (3) kordajad p 0(x), p1(x), ..., pn(x) ja vabaliige f(x) on
pidevad vahemikus (a, b) ja x 0 (a, b), y0, y0(1), ..., y0(n-1) (-,), siis võrrandil (3) leidub parajasti üks lahend y = y(x), mis
rahuldab tingimusi (4). ***Cauch teor põhjal Lin dv lahenduv tõestus: Kasut C.teor D={(x,y): x(a,b); -
Olgu meil esimese tootmismaht x1 = 40 ning toomiskulud y1 = 22 000. Teine tootmismaht x2 = 65 ning toomiskulu y2 = 33 000. a) Kulufunktsioon lineaarsel kujul, kus q toodete arv, c ühe toote valmistamise muutuvkulu, C F - püsikulud. C(q) = cq + C F , == = 440 C F = y1-cx1 C F = 22000-440*40 = 22000-17600 = 4400 C(q) = 440q+4400 Vastus: C(q) = 440q+4400 b) Nõudlusfunktsioon lineaarsel kujul, kus p hind ja a,b kordajad. p(q) = aq + b = = -52 b = y2-ax2 b = 5700-(-52)*65 = 5700+3380 = 9080 p(q) = -52q+9080 Vastus: p(q) = -52q+9080 c) Kasumifunktsioon, kus R(q)- tulufunktsioon. P(q) = R(q)-C(q) R(q) = pq = q(-52q+9080) = -52q2+9080q P(q) = -52q2+9080q-440q-4400 = -52q2+8640q-4400 P(q) = -52q2+8640q-4400 Vastus: P(q) = -52q2+8640q-4400 d) Optimaalne tootmismaht ja vastav kasum.
kaitsekiht ja nad passiveeruvad. Elektronbilansi meetod · Määrata kõigi elementide o.a. · Kirjuta välja elektronvõrrandid nende elementide kohta, mille o.a muutus. · Korruta elektronvõrrandeid selliste arvudega, et liidetud ja loovutatud elektronide arvud saaksid võrdseteks. Leitud arvud ongi vastavate elementide kordajateks. · Aseta need võrrandisse vastavate valmite ette. · Olejäänud kordajad leia tavalisel teel. N. PbS + HNO3 PbSO4 ja NO ja H2O N. S(-2)......-8e.....--S(6) N(5).......+3e ---N(2) S(-2)...... -8e ---S(6).......korrutad 3-ga N(?) ..... -3e ....-N(2) ..... korrutad 8-ga + TV lk 24, harjutus 2. + midagi veel .
ax2 + bx + c = 0 reaalarvulised juured. Kui lahendid puuduvad, kuvada vastavates lahtrites tekst ei ole. Soovitus. Leida eraldi diskriminandi D väärtus: D=b2 4ac. Kui D<0, siis lahendid puuduvad. Valemites kasutada nimesid!!! 2) Teha ruutparabooli y = ax2 + bx + c graafik vahemikus (5; 5). 3) Teha VBA makro, mis loeb töölehelt kordajad ning leiab ja kirjutab töölehele juured x1, x2 või teated nende puudumise kohta Ruutparabool: 50 ax2+bx+c 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -50 B3: 1) Koostada valemid, mis võimaldavad leida ruutvõrrandi
B . Lõpmatumõõtmeline – kui eelnevalt mainitud baasi ei leidu. TEOREEM: Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv ei sõltu baasi valikust. DEF2: Vektorruumi V baasivektorite arv on vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Lin.kombo ⃗x =x 1 ⃗ e 1 + x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en kordajad x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) on vektori ⃗x koordinaadid antud baasi suhtes. LAUSE: Vektorruumi Vn mistahes n -lineaarselt sõltumatute vektorite süsteem moodustab baasi. LAUSE: Vektori koordinaadid fikseeritud baasi suhtes on määratud üheselt. Tõestus: Olgu ruumis Vn fikseeritud baas B={⃗ e1 , ⃗ e2 , … , ⃗
p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y = f(x) (1) Moodustame Cauchy ülesande, selleks lisame lineaarsele võrrandile n algtingimust: {y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) { ... (2) {y(n-1)(x0) = y0(n-1) Teoreem: Kui võrrandi (1) kordajad p0(x), p1(x), ..., pn(x) (p0(x) ≠ 0) ja vabaliige f(x) on pidevad vahemikus (a, b) ja x0 є (a, b), y0, y0(1), ..., y0(n-1) є (-∞,∞), siis võrrandil (1) leidub parajasti üks lahend y = y(x), mis rahuldab tingimusi (2). Lahendite vahelised seosed: Ly = p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y Siis võrrandi p0(x)y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pny = f(x) võime lühidalt kirjutada
4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem ortogonaalne lõigul [a,b]. Def. Funktsionaalrida . nim ortogonaalreaks süsteemi järgi. Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame Seose paremas võib pooles muuta integreerimise ja summeerimise järjekorda. Saan Et süsteem { k (x)} on ortogonaalne lõigul [a, b] , siis , saame Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga , omandab valem kuju Def
4. Võrrandite lahendamine. 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral: Olgu integreeruva ruuduga funktsioonide süsteem ortogonaalne lõigul [a,b]. Def. Funktsionaalrida . nim ortogonaalreaks süsteemi järgi. Oletame, et vaadeldav rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x), s.o Avaldame seosest kordajad ck funktsiooni f(x) kaudu. Korrutades seose (3) mõlemat poolt suurusega k(x) ja integreerides seejärel saadud seose mõlemat poolt, saame Seose paremas võib pooles muuta integreerimise ja summeerimise järjekorda. Saan Et süsteem { k (x)} on ortogonaalne lõigul [a, b] , siis , saame Erijuhul, kui tegemist on ortonormeeritud süsteemiga , omandab valem kuju Def
. Kui nüüd süsteemis olevate võrrandite vastavad pooled liita, siis saame võrrandi, kus enam tundmatut x ei ole, -3y = -3, millest y = 1. Asendame saadud y väärtuse süsteemi esimese võrrandisse, siis saame, et 2x + 1 = 3, millest x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1). Liitmisvõtte puhul ei pea võrrandeid ilmtingimata liitma, neid võib teineteisest ka lahutada. Näide 2. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Et mõlemas võrrandis on x kordajad võrdsed, siis võime kohe lahutada esimese võrrandi vastavatest pooltest teise võrrandi vastavad pooled. Lahutamise tulemusena saame võrrandi y - (-8y) = 6 - (-3), millest 9y = 9 ehk y = 1. Nüüd on juba lihtne leida, et x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1) Mitte igal võrrandisüsteemil ei pruugi lahendeid olla. Leidub ka selliseid süsteeme, millel pole ainult üks lahend, vaid lahendeid on lõpmata palju. Näide 3. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega.
põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited: , (mõlemad on polünoomid). Saab leida , 2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet! Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised. Näited: , 3. Mis on polünoomi kordajad, aste ja juured? Tooge 2 näidet! Polünoomi üldkuju: polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks) , polünoomi astmeks on arv n, polünoomi juurteks (nullkohtadeks) on need argumendi x reaal- või kompleksarvulised väärtused, mille korral polünoom f(x)=0 (nullkohad). Näited: Leian polünoomi kõik juured. 6 5 4 f ( x) := x + 30x + 4x + 7 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 Määramatus 10 4.1 Määramatuse erinevus veast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 A-tüüpi määramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 B-tüüpi määramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4 Studenti kordajad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.5 Liitmääramatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.6 Tehted määramatusega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.7 Näide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.8 Märgitest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2,781093 Ülesanne 3. Leia parabooli y=x 2 -x+2miinimumpunkt lõigus [-2; 4] x tingimused changing cells : 0,5 0,5 (constraints) 0,5 funktsioon target cell: 1,75 Ülesanne 4. kordajad siia x1 x2 tingimused 4x1+x2>=18 4 1 18 48 5x1+6x2<=174 5 6 174 174 (-7x1)+2x2<=6 -7 2 6 6
c d a b c d d c 0 c a2 b2 475. Lahenda võrrand. Järeldus: Selleks, et võrrandisüsteemil oleks ühene lahend, ei tohi tundmatute 2 x x 2 x 1 3 k k 1 kordajad olla võrdelised. a) 0 b) 7 c) x 8 x 3 x 4 4 3 3 7 2. Olgu süsteemi determinant D = 0 ja ülejäänud determinantidest üks (näiteks 5 6x 5x x 3 x x Dx) samuti võrdne nulliga. Näitame, et sel juhul determinant Dy = 0.
kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon).
annaabi.ee 
