Matemaatiline analüüs I 1. teooria KT (0)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs 1

5 VÄGA HEA

Arvtelje mõiste.
Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt,
pikkusühik ja positiivne suund.
Absoluutväärtuse mõiste.
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu:
|a| =a kui a ≥ 0; −a kui a Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel .
Absoluutväärtuse omadused:
1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a||b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ ||a| − |b||
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused.
Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε,a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε,a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| Tõkestatud hulgad.
Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A ⊂ (a,b).

Jäävad ja muutuvad suurused.
Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks.
Muutumispiirkonna mõiste.
Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni mõiste.
Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks.
Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka<
nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks.
Funktsiooni esitusviisid.
Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi.
Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus.
Graaﬁline esitusviis. Funktsioon esitatakse graaﬁkuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk - tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graaﬁkuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graaﬁku deﬁnitsioon järgmine:<.
Graaﬁku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P ”kõrgusena” x- telje suhtes. Kui f(x) > 0, siis on graaﬁku ”kõrgus” positiivne, st graaﬁk paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) teljest allapoole

Paaris- ja paaritud funktsioonid.
Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).
Perioodilised funktsioonid.
Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid.
Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 f(x1) > f(x2),
siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graaﬁk tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
Astmefunktsioon
on funktsioon järgmisel kujul
y = xa,
kus a on nullist erinev konstantne astendaja . Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graaﬁk sõltuvad oluliselt astmest a.
Eksponentfunktsioon
on funktsioon järgmisel kujul:
y = ax ,
kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei võrdu 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral
X = R ja Y = (0,∞).
Graaﬁk on juhtudel a > 1 ja 0 kvalitatiivselt erinev . Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 Trigonomeetrilised funktsioonid
y = sinx , y = cosx , y = tanx ja y = cotx
radiaanides antud argumendiga x.
Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
y = sinx : X = R, Y = [−1,1],
y = cosx : X = R, Y = [−1,1],
y = tanx : X = R \{(2k + 1)/ 2 *π ||k ∈ Z }, Y = R,
y = cotx : X = R \, Y = R.
Funktsioonid y = sinx ja y = cosx on perioodilised perioodiga 2π ning y = tanx ja y = cotx perioodiga π. Funktsioonid y = sinx, y = tanx ja y = cotx on paaritud ning y = cosx paaris.

Üksühese funktsiooni mõiste.
Kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse.
Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon.
Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i.

Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.
Funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes: kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon.
Funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graaﬁkud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes

Logaritmfunktsioon .
Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus. a > 0 ja ei võrdu 1.
X = (0,∞) ja Y = R.
Graaﬁk on juhtudel a > 1 ja 0 y = loga x graaﬁk on y = ax graaﬁku peegeldus sirge y = x suhtes.
Arkusfunktsioonid.
Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid on nn. arkusfunktsioonid.
y = sinx, x ∈ [−π/2,π/2] x = arcsiny : X = [−1,1], Y = [−π /2,π /2]
y = cosx, x ∈ [0,π] x = arccosy : X = [−1,1], Y = [0,π]
y = tanx, x ∈ (−π/2,π/2) x = arctany : X = R, Y = (− π /2 , π /2 )
y = cotx, x ∈ (0,π) x = arccoty : X = R, Y = (0,π)
Arkusfunktsioonide graaﬁkud on trigonomeetriliste funktsioonide ahendite graaﬁkute peegeldused üle sirge y = x.

Algebralised tehted funktsioonidega.
y = (f + g)(x) = f(x) + g(x)
y = (f − g)(x) = f(x) − g(x)
y = (fg)(x) = f(x)g(x)
y = (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Liitfunktsiooni mõiste.
z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)]
Liitfunktsiooni määramispiirkond.
Xg◦
Põhilised elementaarfunktsioonid:
konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, y = loga x, y = arcsinx, y = arccosx, y = arctanx ja y = arccotx.
Elementaarfunktsiooni definitsioon.
funktsioon, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
Polünoom ja ratsionaalfunktsioon.
n- astme polünoom on deﬁneeritud avaldisega:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an−1xn−1 + anxn ,
kus a0,a1,a2,...,an−1,an on konstandid ja an ei võrdu 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis

Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid.
Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi
Parameetriliselt antud joone mõiste.
Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x = ϕ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina
x = ϕ(t)
y = ψ(t), t ∈ [T1,T2].
Süsteem määrab iga t ∈ [T1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = (ϕ(t),ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
Parameetrilisel kujul antud funktsioon.
Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon, st
x = ϕ(t).
Siis saab ka muutuja y avaldada parameetri t kaudu. Seega, tähistades ψ = f ◦ ϕ saame võrrandi y = ψ(t). Võtame need kaks võrrandit kokku ühte süsteemi. Kui parameetri t muutumispiirkond on lõik [T1,T2], näeb see süsteem välja järgmine:
x = ϕ(t)
y = ψ(t), t ∈ [T1,T2]
Neid nimetatakse funktsiooni y = f(x) parameetrilisteks võrranditeks. Võrranditega antud joon on ühtlasi funktsiooni y = f(x) graaﬁkuks.
Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi, väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi).
sinhx =ex − e−x /2− hüperboolne siinus,
coshx =ex + e−x /2− hüperboolne kosinus,
tanhx =sinhx /coshx − hüperboolne tangens,
cothx =coshx /sinhx − hüperboolne kotangens .
Hüperboolse siinuse ja kosinuse kaudu on deﬁneeritud veel
sechx =1 /coshx=2 /ex + e−x− hüperboolne seekant :
cschx =1 /sinhx=2 /ex − e−x− hüperboolne koseekant.
x = arsinhy − areasiinus
x = arcoshy − areakosinus
x = artanhy − areatangens
x = arcothy − areakotangens

Järjestatud muutuva suuruse mõiste.
Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon.
Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a−ε,a+ ε), st rahuldavad võrratust |x− a| kirjutatakse
x → a või limx = a.
Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
Ühepoolsete piirprotsesside deﬁnitsioonid saame üldisest piirväärtuse deﬁnitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a−ε,a+ε) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a−ε,a] või [a,a+ε).
Piirprotsesside x → ∞ ja x → −∞ definitsioonid.
Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,∞), st rahuldavad võrratust x > M.
Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞,−M), st rahuldavad võrratust x Jada piirväärtuse definitsioon.
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1,x2,x3,... piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε,a + ε).
Koonduvad ja hajuvad jadad .
Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.

Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid.
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui limα = 0. Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|α| = ∞.
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem ).
Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ α on lõpmatult kasvav.
Tõkestatud suuruse definitsioon.
Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud.
Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest.
Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev.

Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu.
Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graaﬁku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x → a, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graaﬁku jooksev punkt P = (x,f(x)) ühele ja samale punktile A = (a,b).
Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ±∞ ja b = ±∞ . Funktsioonil f on piirväärtus ∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a−, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a+, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
Sõnastada teoreem funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse omavahelise seose kohta.
Piirväärtus lim x→a f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused lim x→a− f(x) ja lim x→a+ f(x). Peale selle, piirväärtuse lim x→a f(x) olemasolu korral kehtib valem:
lim x→a f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x).
10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega .
1. lim x→a [f(x) + g(x)] = lim x→a f(x) + lim x→a g(x),
2. lim x→a [f(x)g(x)] = lim x→a f(x) lim x→a g(x),
3. lim x→a f(x) g(x)=lim x→a f(x) lim x→a g(x) kui lim x→a g(x)ei võrdu 0.
4. lim x→a [Cf(x)] = lim x→a C lim x→a f(x) = C lim x→a f(x), C − konstant,
5. lim x→a [f(x) − g(x)] = lim x→a [f(x) + (−1)g(x)] = lim x→a f(x) + lim x→a [(−1)g(x)] = lim x→a f(x) + (−1) lim x→a g(x) = lim x→a f(x) − lim x→a g(x).
Liitfunktsiooni piirväärtuse valem.
Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x) ja z = g(y). Kui lim x→a f(x) = b, siis kehtib valem
lim x→a g[f(x)] = lim y→b g(y).

Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid.
Funktsioon α(x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x → a siis ja ainult siis, kui 1 /α(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis.
Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest
L˜opmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise p¨o¨ordarvud.
Tõkestatud funktsiooni definitsioon.
Funktsiooni α(x) nimetatakse t˜okestatuks, kui selle funktsiooni v¨a¨artuste hulk on t˜okestatud.
Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest.
Kui suurus α on l˜opmatult kahanev ja suurus β on t˜okestatud, siis nende korrutis αβ on l˜opmatult kahanev.
12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).
1. Kui eksisteerib l˜oplik nullist erinev piirv ¨a¨ artus lim x→a
α(x)/ β(x), siis nimetatakse suurusi α ja β sama j¨arku l˜opmatult kahanevateks suurusteks.
2. Kui lim x→a
α(x)/ β(x) = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks l˜opmatult kahanevateks suurusteks m¨arkides seda kujul α ∼ β.
3. Kui lim x→a
α(x) /β(x) = 0, siis nimetatakse suurust α k˜orgemat j¨arku l˜opmatult kahanevaks suuruseks β suhtes.
Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste α ja β vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev α suhtes.
Kui α ja β on ekvivalentsed l˜opmatult kahanevad suurused, siis α − β on k˜orgemat j¨arku l˜opmatult kahanev suurus nii α kui β suhtes.
T˜oestus. Kuna vastavalt eeldusele on α ja β ekvivalentsed l˜opmatult kahanevad suurused, siis
lim β(x)/α(x) = 1/lim α(x)/β(x) = 1.
x→a x→a
Seega, lim α(x) − β(x) /α(x)= lim [ 1 −β(x)/α(x)]= 1 − lim β(x)/α(x)= 1 − 1 = 0.
x→a x→a x→a
Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).
1. Kui eksisteerib l˜oplik nullist erinev piirv¨a¨artus lim x→a α(x) /β(x), siis nimetatakse suurusi α ja β sama j¨arku l˜opmatult kasvavateks suurusteks.
2. Kui lim x→a α(x) /β(x) = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks l˜opmatult kasvavateks suurusteks m¨arkides seda kujul α ∼ β.
3. Kui lim x→a /α(x) /β(x)/ = ∞, siis nimetatakse suurust α k˜orgemat j¨arku l˜opmatult kasvavaks suuruseks β suhtes.
13. Pideva funktsiooni definitsioon.
Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui
1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a ∈ X,
2. eksisteerib l˜oplik piirv¨a¨artus lim x→a f(x),
3. lim x→a f(x) = f(a).
Pidevuse geomeetriline sisu.
Geomeetriliselt t¨ahendab funktsiooni pidevus joone pidevust. T¨apsemalt: argumendi v¨a¨artusel x = a pideva funktsiooni graaﬁk on punktis A = (a,f(a)) pidev joon
Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile .
Pideva funktsiooni muut l¨aheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut l¨aheneb nullile.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral.
1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f −g, korrutis fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0 ka jagatis f /g.
2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a.
14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste.
Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks.
Katkevuspunktide liigitus.
1. Kui punktis a eksisteerivad l˜oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim x→a− f(x) ja lim x→a+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid:
a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v˜ ordus lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x) = lim x→a f(x),
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f k˜orvaldatavaks katkevus - punktiks.
b) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v˜orratus lim x→a− f(x) ei võrdu lim x→a+ f(x),
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hu¨ppepunktiks (hu¨ppekohaks).
2. Kui v¨ahemalt u¨ks u¨hepoolsetest piirv¨a¨artustest lim x→a− f(x) v˜oi lim x→a+ f(x) puudub v˜oi ei ole l˜oplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks. (Lu¨ hemalt : teist liiki katkevuspunktid on k˜oik need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.)
15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid.
Uhepoolselt pidevad funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse vasakult pi- devaks punktis a, kui
1. f on m¨a¨aratud argumendi v¨a¨artusel a, st a ∈ X,
2. eksisteerib l˜oplik vasakpoolne piirv¨a¨artus lim x→a− f(x),
3. lim x→a− f(x) = f(a).
Analoogiliselt deﬁneeritakse ka paremalt pidev funktsioon.
Vahemikus ja lõigul pidevad funktsioonid.
Kui funktsioon f on pidev vahemiku (a,b) k˜oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a,b).
Kui funktsioon f on m¨a¨aratud l˜oigul [a,b], pidev vahemikus (a,b) ning l˜oigu otspunktides a ja b vastavalt paremalt ja vasakult pidev, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on pidev l˜oigul [a,b].
Elementaarfunktsioonide pidevus.
k˜oik elementaarfunktsioonid on oma m¨aa¨ ramispiirkonnas pidevad
16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul.
Kui leidub punkt x1 l˜oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l˜oigult kehtib v˜orratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suuri- maks v¨a¨artuseks (absoluutseks maksimumiks) l˜oigul [a,b].
Kui leidub punkt x2 l˜oigult [a,b] nii, et iga teise punkti x korral samalt l˜oigult kehtib v˜orratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f v¨ahimaks v¨a¨artuseks (absoluutseks miinimumiks) l˜oigul [a,b].
17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega.
L˜oigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l˜oigul.
L˜oigul pidev funktsioon saavutab sellel l˜oigul iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel.
Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga.
Kui funktsioon f on pidev l˜oigul [a,b] ja omandab selle l˜oigu ots- punktides erineva m¨argiga v¨a¨artusi, siis leidub sellel l˜oigul v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0.
T˜oestus. Omadus 3 j¨areldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev l˜oigul [a,b], siis ta saavutab sellel l˜oigul oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse. Peale selle, kuna funktsioonil f on l˜oigu otspunktides erineva m¨argiga v¨a¨artused, siis on selle funktsiooni suurim v¨a¨artus positiivne ja v¨ahim v¨a¨artus negatiivne. Teisest ku¨ljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga v¨a¨artuse oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahel. Kuna antud juhul 0 j¨a¨ab suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse vahele, siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama v¨a¨artuse 0. See t¨ahendabki, et l˜oigul [a,b] leidub v¨ahemalt u¨ks punkt c, kus f(c) = 0.
18. Funktsiooni tuletise definitsioon.
Funktsiooni f tuletis punktis a on de- ﬁneeritud j¨argmiselt:
f’(a) = lim x→a f(x) − f(a) /x − a
Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted.
Kui funktsioon f omab punktis a l˜oplikku tuletist, siis ¨oeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv . Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.
Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu.
∆x = x − a − argumendi muut kohal a,
∆y = f(x) − f(a) − funktsiooni muut kohal a.
Siis f’(a) = lim x→a f(x) − f(a)/ x – a = lim x→a ∆y /∆x= lim ∆x→0 ∆y /∆x
Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev.
Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
T˜oestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on m¨a¨aratud punktis a, siis on t¨aidetud pidevuse deﬁnitsioonis toodud 1. tingimus. J¨a¨ab veel n¨aidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb t˜oestada, et lim x→a f(x) eksisteerib ja v˜ordub arvuga f(a). Kuid see j¨areldub j¨argmisest v˜orduste reast:
lim x→a f(x) = lim x→a [f(x) − f(a)] + f(a)= lim x→a f(x) − f(a)/ x – a * lim x→a (x − a) + f(a) = f’(a) · 0 + f(a) = f(a).
Tuletis kui funktsioon.
Kui funktsioon f on diferentseeruv oma m¨a¨aramispiir- konna alamhulga D k˜oigis punktides, siis ¨oeldakse, et see funktsioon on dife- rentseeruv hulgas D.
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised .
1) C’ = 0, C − konstant,
2) (xa)’ = a x a−1 ,
3) (ax)’ = ax lna , sealhulgas (ex)’ = ex ,
4) (loga x)’ = 1 /xlna , sealhulgas (lnx)’ = 1 /x
5) (sinx)’ = cosx,
6) (cosx)’ = −sinx,
7) (tanx)’ = 1 /cos2 x ,
8) (cotx)’ = − 1 /sin2 x
9) (arcsinx)’ = 1/ √ 1 − x2
10) (arccosx)’ = − 1 /√ 1 − x2
11) (arctanx)’ = 1/ 1 + x2
12) (arccotx)’ = − 1 /1 + x2
19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon.
Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f’(a) ja argumendi muudu ∆x = x−a korrutist ja t¨ahistatakse dy v˜oi df. Seega deﬁnitsiooni kohaselt
dy = f’(a)∆x.
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena.
f’(a) = dy /dx
20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral.
1. (f + g)’ = f’ + g’,
2. (fg)’ = f’g + fg’,
3.(f /g)’= f’g−fg’/ g2
Tõestada korrutise reegel.
(fg)’(x) = lim ∆x→0 f(x + ∆x)g(x + ∆x) − f(x)g(x) ∆x =
= lim ∆x→0 1/ ∆x / [f(x + ∆x) − f(x)]g(x + ∆x) + f(x)[g(x + ∆x) − g(x)] /=
= lim ∆x→0 f(x + ∆x) − f(x)/∆x * lim ∆x→0 g(x + ∆x) +
+f(x) * lim ∆x→0 g(x + ∆x) − g(x) ∆x=
= f’(x)g(x) + f(x)g’(x) = (f’g + fg’)(x).
Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid.
J¨argnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y = f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodus - tatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada s˜oltuva muutuja ja a rgumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja s˜oltuv muutuja y, siis kirju tades valemi u¨les punktis x, saame f’(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja s˜oltuv muutuja z. Esitame g tuletise s˜oltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g’(y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja s˜’ = dz /’ = dz /dx = dzdy /dydx = dz/dy * dy/dx = g’(y)f’(x) = g’[f(x)]f’(x).
Seega oleme t˜oestanud j¨argmised reeglid liitfunktsiooni tuletise jaoks:
6. dz /dx = dz /dy * dy /’ = g’[f(x)]f’(x).
21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine .
Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul v˜orrandiga F(x,y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada v˜orrand F(x,y) = 0 muutuja y suhtes. ˜ Onneks saab ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerida ka nii, et teda ei ole vaja eelnevalt ilmutada. Tuletise v˜oib arvutada otseselt, l¨ahtudes funktsiooni m¨a¨aravast v˜orrandist F(x,y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et k˜oik y-it sisaldavad liikmed selles v˜orrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x)
Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem).
Olgu u¨ksu¨ hese funktsiooni y = f(x) p¨o¨ordfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem
g’[f(x)] = 1/f’(x) .
T˜oestus. Funktsiooni f argument on x ja s˜oltuv muutuja y. Seega f’(x) = dy /dx. P¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) argument on y ja s˜oltuv muutuja x. J¨ arelikult g’(y) = dx /dy. Kasutades neid valemeid arvutame: g’[f(x)] = g’(y) = dx/dy = 1/dy/dx = 1/f’(x) .
Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem).
Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul v˜orranditega
x = ϕ(t)
y = ψ(t).
Siis kehtib valem
F’(x) = ψ’(t)/ ϕ’(t)
. T˜oestus. Funktsiooni f argument on x ja s˜oltuv muutuja y. Seega f’(x) = dy /dx. Funktsiooni x = ϕ(t) argument on t ja s˜oltuv muutuja x. J¨arelikult ϕ’(t) = dx /dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = ψ(t), mille argument on t ja s˜oltuv muutuja y, tuletise jaoks seose ψ’(t) = dy /dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f’(x) = dy /dx = dy dt/ dx dt = ψ’(t)/ ϕ’(t)
22. Joone puutuja definitsioon.
Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graaﬁk). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema l˜oikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P l¨ahenemisel punktile A m¨o¨oda joont y = f(x)
Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) .
Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v˜orrand. K˜oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p˜ohjal avaldub puutuja s v˜orrand punktis A = (a,f(a)) kujul
y − f(a) = p(x − a)
kus p on s t˜ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L˜oikaja AP t˜ous on ¯ p = tanβ. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et
¯ p = tanβ =f(x) − f(a)/x − a
. Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x). Vastavalt puutuja deﬁnitsioonile l¨aheneb l˜oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l˜oikaja t˜ous ¯ p puutuja t˜ousule p. J¨arelikult, tuletise deﬁnitsiooni p˜ohjal
p = lim x→a ¯ p = lim x→a f(x) − f(a) /x – a = f’(a)
saamegi puutuja v˜orrandi y − f(a) = f’(a)(x − a).
Joone normaalsirge definitsioon.
Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) .
Normaalsirge v˜orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t˜ousu p = tanϕ. Kuna ϕ = α + π /2 ja tanα = f’(a), siis
p = tanϕ = tan(α +π/2)= −1/tanα= −1/f’(a)
y − f(a) = −1/f’(a) * (x − a)
Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
argumendi v¨a¨artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graaﬁk on punktis A = (a,f(a)) sile joon, mille puutuja t˜ousunurk ei ole π 2.

.DOCX Laadi alla originaalfail 10 lk · .docx · 119 allalaadimist

Matemaatiline analüüs I 1-teooria KT #10

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 10 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2014-01-06 Kuupäev, millal dokument üles laeti

119 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

p2rlin Õppematerjali autor

Nende vastustega sain teooria KT eest max punktid.

matemaatiline analüüs kontrolltöö vastused

Sarnased õppematerjalid

142

pdf

Matemaatiline analüüs I

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio

Matemaatika

142

pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaos

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll?

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on

Matemaatiline analüüs

pdf

Matemaatiline analüüs 1, teooria, spikker, kontrolltöö 1, matan

Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa

Algebra ja analüütiline geomeetria

Rohkem sarnaseid