b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2 log-1x log log-1x = Logaritmimise reeglid ja nende järeldused I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. logabd = logab + logad Järeldus: Logaritmide summa on võrdne korrutise logaritmiga. logab + logad = logabd II Jagatise logaritmimise reegel Jagatise logaritm on võrdne lugeja ja nimetaja logaritmide vahega. Järeldus: Logaritmide vahe on võrdne jagatise logaritmiga. III Astme logaritmimise reegel Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega.
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Logaritm Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N. Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. Jagatise logaritm on võrdne jagatava ja jagaja logaritmide vahega. Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. Potentseerimiseks nimetatakse avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist. Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = logaX, kus a > 0 ja a 1. Logaritmvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses. logaN = r ar = N alog N = N a logN = log10N lnN = logeN logaN1N2 = logaN1 + logaN2 loga N1/N2 = logaN1 logaN2
ARVUDE LOGARITMIMINE JA POTENSEERIMINE Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t Loga N1 * N2 = loga N1 * loga N2 Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t loga N1 / N2 = loga N1 loga N2 Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega, s.t loga Nc = c* loga N Neet kolm valemit on logaritmimise eeskirjad. Need valemid on potenseerimise eeskirjad, kui vasak ja parem pool ära vahetada: s.t loga N1 * loga N2 = Loga N1 * N2 s.t loga N1 loga N2 = loga N1 / N2 s.t c* loga N = loga Nc Näited (logaritmimine): 1
Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
a2+log a N =a2alog a N =a2N a2-log a N= a2 : (alog a N)= a2 : N a-log a N= N-1 Kümnendlogaritm Logaritmi aluseks on arv 10, mida ei kirjutata logN (log10N) Naturaallogaritm Logaritmi aluseks on arv e, mida ei kirjutata lnN (lneN) Avaldise logaritmimine ja potentseerimine Logaritminime avaldise logaritmi leidmine Potentseerimine avaldise logaritmi järgi avaldise leidmine · Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga logaN1N2= logaN1+ logaN2 · Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega loga(N1 : N2)= logaN1 logaN2 · Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega logaNc = c logaN Üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele log b N log a N = log b a
7) ln x=-2 8) log 1 x =¿ 4 9) 2 log 0,1 x=-1 9 3 10) log x 64=6 11) log x 2 12) log x 8= 16 4 1 -2 13) log x = 2 3 2. Logaritmide põhiomadused Omadus 1. Korrutise logarithm võrdub tegurite logaritmide summaga. log a b1 b2=log a b1 +log a b2 . Omadus 2. Jagatise logarithm võrdub jagatava (lugeja) ja jaga logaritmide vahega. b1 log a =log a b1-log a b2 . b2 Omadus 3. Astme logarithm võrdub astendaja ja astme aluse
ARVUTITE PÕLVKONNAD NING TÄHTSAMAD MEHED · John Napier - arvutuspulgad, 1617,Logaritmide arvutamiseks · Wilhelm Schickard - 1623, väitis olevat,leiutanud mehaanilise hammasratastega arvutusmasin · Jean Falcon- 1728, kangastelgede mehaaniline juhtimine ; leiutas perfokaardi juhtimise põhimõtte · Joseph-Marie Jacquard - 1805 konstrueeris täisautomaatsed kangasteljed · Blaise Pascal- 1642 leiutas mehaanilise arvutusmasina paskaliini, mis oskas + - · Gottfried Wilhem Leibniz -1671 leiutas arvutusmasina, mis oskas + - / * ; ·
Hakkas ise Moskva Ülikooli professoriks Saadeti St. Petersburgi 1849 kaitses oma doktorantuuri Aastad 1840-1846 1840-41 osales ta Ülikooli võistlusel, kus seletas ära funktsiooni y = f (x) ( avaldati alles 1950 ) 1842 kirjutas artikli kordsete integraalide kohta, mis avaldati 1843 1844 kirjutas uurimuse Taylor'i seeriate kohta 1846 avaldas tõenäosusteooria täiendatud teooria ( suurte numbrite nõrk seadus) Aastad 1847-1850 1847 tegi uurimuse teemal "Integraalide leidmine logaritmide tähenduse abil" (avaldati alles peale tema surma) 1849-1853 avaldas erinevaid uurimusi numbrite teooria teemadel 1849 avaldas raamatu "Teooriate võrdlus" 1845 Bertrand väitis, et alati on n ja 2n vahel vähemalt üks arv, mis on n>3. Chebyshev tõestas Bertrand's väidet 1850 Aastad 1852-1887 1852 reisis ta Euroopas ning hakkas huvituma mehhaanikast 1854 avastas ortogonaalsed polünoomid Alates 1852 veetis ta kõik suved kas Lääne Euroopas või Tallinnas
Arvutite ajalugu Abacus · Ladnakeelne sõna, tuletatud kreeka sõnast abax või abacon (tähendab tabel) · 300 aastat ekr Babüloonias John Napier · Arvutuspulgad, 1617 · Logaritmide arvutamiseks John Napier · leiutas lükati · Ehitati valmis Inglismaal 1632 Wilhelm Schickard · 1623, väitis olevat leiutanud mehaanilise hammasratastega arvutusmasina · Vähetuntud, leiutaja suri varsti katku Jean Falcon · 1728, kangastelgede mehaaniline juhtimine · Kangastelgede täiustaja puitliistudes olevate aukudest jooksid läbi kangastelgede juhtnõelad (50 cm pikkused ja 20 cm laiused puitliistud, kindlates kohtades 1 cm suurused augud)
a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c a loga c = x log a a x = x log a 1 = 0 , kui a>0 ja a 1 log a a = 1 , kui a>0 ja a 1 b log a (b c) = log a b + log a c log a = log a b - log a c c 1
2x + 6 log > log 10 . 15 - x Kuna logaritmfunktsioon on igal alusel ]1;[ (praegu alusel 10) rangelt kasvav, siis 2x + 6 > 10, mille lahendiks on ]12;15[. 15 - x Et MP eelnevat piirkonda ei kitsenda (jääb tervikuna selle sisse), siis on esialgse logaritmvõrratuse lahendiks ]12;15[. NB! Kui ülesandes on logaritmide alus vahemikus ]0;1[, siis muutub võrratuse märk logaritmide ärajätmisel vastupidiseks. Näiteks log0,5 (x+2) < log0,5 (x-3) x+2 > x-3. Ülesandeid. I Lahendada järgmised võrratused. 2x - 1 1) >2 2) (5x - 8)(3 + 4x)(5 - 8x) < 0 x -1 ( x + 1) 4 4x + 9 3) <0 4) 2 x( x 2 - 1) x -5 x ( x - 2)
Pöördfunktsiooni määramispiirkond Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond X = (-; 1). 13 Elementaarsed põhifunktsioonid Elementaarsed põhifunktsioonid Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = xa , kus a on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv. Logaritmfunktsioon: y = log a x, kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, 15 y = arctan x, y = arccot x. Astmefunktsioon y = xa, a on positiivne täisarv y y = x4 y y = x3
leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 3. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, muutumispiirkonnad ja graafikud. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = x , kus on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv. x Logaritmfunktsioon: y = log a x , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1
Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x · Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1). · Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. · Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arc cot x . Kui meil on kaks funktsiooni f(x) ja g(x) ning kui nendest funktsioon f[g(x)], siis on tegemist nö liitfunktsiooniga. 5. Polaarkaugus ja polaarnurk, polaarkoordinaadid
logaritmimine. Kui mõlemal pool võrdusmärki on üks logaritm samal alusel, siis võib logaritmid ära kaotada ja võrrelda ainult sisemist osa. Seda võtet nimetatakse potentseerimiseks. Näide: log57 + log53x = log5105 -> log521x=log5105 -> (Potentseerimine) 21x=105|:21 -> x=5 Kindlasti tuleb teada logaritmide omadusi, mis on kirjas ülevalpool. Kui muutuja on logaritmi aluses, siis tuleb kasutada logaritmi definitsiooni ning siis tekib kas ruut- või eksponentvõrrand. Logaritmvõrrandit tuleb alati kontrollida, võib tekkida võõrlahendeid! 11. Tõenäosusteooria Klassikaline tõenäosus Tõenäosus näitab, kui suur on võimalus, et mingi sündmus juhtub.
Mudelite interpreteerimiseks PEAB OSKAMA ümber käia logaritmidega. yi = a + b zi + ui zi = xi yi = a + bxi + ui Moodles on materjal logaritmide kordamiseks: valemid ja harjutused (2 lk). 9
astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b (a > 0 ja a ≠ 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse log a b a =b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10 log b = b . Naturaallogaritmide korral: el n b = b . Logaritmide omadused 1. log a 1 = 0 . 2. log a a = 1 . 3. log a mn = log a m + log a n , kui m > 0 ja n > 0 . m 4. log a = log a m − log a n , kui m > 0 ja n > 0 . n 5. log a b n = n log a b , kui b > 0 . 1 6. log a n b = log a b , kui b > 0 . n 7. log a a = b . b log c b 8. log a b = . log c a 1 9. log a b = . log b a Märkus
1610 Galilei märkab Saturni rõngaid, kuid ei oska neid rõngasteks pidada. 1610 Kepler väidab, tuginedes faktile, et öötaevas on tume, universumi lõplikkust. 1611 Kepler avastab täieliku sisepeegeldumise, väikeste nurkade all langevate kiirte murdumisseaduse ja töötab välja õhukeste läätsede optika. 1613 Galilei näitab päikesel olevate plekkide abil tema pöörlemist. 1614 John Napier avaldab esimese logaritmide tabeli. 1619 Kepler avaldab oma kolmanda seaduse (planeetide tiirlemisperioodi ruudud on võrdelised keskmiste kauguste (päikesest) kuupidega ). 1620 Francis Bacon avaldab teose "Novum Organum", väidab, et loodusseadused tuleb tuletada katsete abil. 1621 Willebrord Snellius avastab, et optiliselt hõredamast tihedamasse keskkonda leviv valgus murdub pinna normaali poole (murdumisseadus). 1622 William Oughtred leiutab arvutuslükati.
suurusi, mida mõõdetakse erinevate mõõtühikutega. Selliseks suuruseks, mis ei sõltu võrreldavate suuruste mõõtühikutest, on protsentides mõõdetav elastsus. Astmefunktsioon Astmefunktsioon Y=a0*Xa1*e ei ole lineaarne muutujate suhtes. Regressioonimudeli parameetrite hindamiseks kasutatakse lineariseerimist (võrrandi mõlemad pooled logaritmitakse) lnY=lna0+a1lnX Nüüd on mudel lineaarne parameetrite suhtes ja lineaarne ka muutujate Y ja X logaritmide suhtes. Log-log või log-lineaarne mudel Kui astmefunktsiooni mudel on teisendatud logaritmilisele kujule lnY=c0+a1*lnX+e siis nim sellist mudelit log-log mudeliks, kuna nii sõltuv kui sõltumatu muutuja on logaritmitud kujul. Ning log-lineaarseks mudeliks, kuna sellises mudelis on muutujad logaritmitud kujul, mudel on aga parameetrite suhtes lineaarne. Konstantse elastsusega mudeli korral on muutujad mudelis logaritmitud kujul. Poollogaritmiline mudel
Arvu b logaritmiks antud alusel a nimetatakse niisugust arvu c, millega on vaja astendada arvu a, et saada arv b. log a b = c , kui a c = b ( a > 0 a 1) . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b = b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b = b . Naturaallogaritmide korral: eln b = b . Logaritmide omadused 1. log a 1 = 0 . 2. log a a = 1 . 3. log a mn = log a m + log a n , kui m > 0 ja n > 0 . m 4. log a = log a m - log a n , kui m > 0 ja n > 0 . n 5. log a b = n log a b , kui b > 0 . n 1 6. log a n b = log a b , kui b > 0 . n 7. log a a = b . b log c b 8. log a b = . log c a 1 9. log a b = . log b a Märkus
astendada arvu a, et saada arv b. 15 log a b c , kui a c b a 0 a 1 . Asendades teises võrduses c, saame samasuse a loga b b . Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 10log b b . Naturaallogaritmide korral: eln b b . Logaritmide omadused 1. log a 1 0 . 2. log a a 1 . 3. log a mn log a m log a n , kui m 0 ja n 0 . m 4. log a log a m log a n , kui m 0 ja n 0 . n 5. log a b n log a b , kui b 0 . n 1 6. log a n b log a b , kui b 0 . n 7. log a a b . b log c b 8. log a b . log c a 1 9. log a b . log b a Märkus
lõppkapital K=2 2 ' 1 @ 1,09n perioodide arv n = ? log 2 n ' log1,09 2 ' .8 *läheme üle kümnendlogaritmidele log 1,09 Kontroll: 1,098 . 2 Vastus: Sellise intressimäära korral kroon kahekordistub 8 aastaga. Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga log a (b @ c) ' loga b % loga c Näiteks log2 (8 @ 16) ' log2 8 % log2 16 ' 3 % 4 ' 7 . b Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega log a ' loga b & loga c
= x sin x + x(sin x) - sin x = sin x + x cos x - sin x = x cos x. J¨ areldus 4.3. Konstantse teguri saab tuua tuletise m¨argi alt v¨alja: [c · u(x)] = c · u (x). T~oepoolest teoreemi 4.2 p~ohjal [c · u(x)] = c · u(x) + c · u (x) = c · u (x). 6 Selle j¨arelduse abil saame j¨arjekordse p~ohilise elementaarfunktsiooni y = loga x (a > 0, a = 1) tuletise, kasutades selleks logaritmide aluse mut- ln x mise valemit loga x = . Saame ln a 1 1 1 1 1 (loga x) = ln x = (ln x) = · = . ln a ln a ln a x x ln a Seega 1 (loga x) = . x ln a
juba rääkinud nii ilusate arvude peatükis [lk 102] kui äsja eksponentsiaalfunktsiooni juures. Temaga on tore koostööd teha. Logaritmi tähendus arvutusajaloos Logaritmid on ajalooliselt panustanud tublisti ka loodusteaduste ja eriti just astro- noomia arengusse: nad võimaldasid juba enne arvutite leiutamist inimestel korru- tada suuri ja keerulisi arve. Logaritmide abi oli nii määrav, et uhke astronoom ja matemaatik Laplace oli omal ajal logaritmidest lausa joovastuses: „Imetlusväärne nõks, mis taandab mitme kuu 296 töö vaid mõnele päevale, kahekordistades nõnda astronoomi elu ja hoides teda pikkade arvutustega kaasnevatest vigadest ja tülgastusest.” Kust see kõik tuleb? Kõige motiveerivam on ilmselt veidi peast arvutada: ! Õudus! Mida küll teha sellise tehtega
annaabi.ee 
