6. kl matem (Harilik murd) Hariliku murru mõiste; liht- ja liigmurd; murdude taandamine, laiendamine. Harilik murd 4/7 näitab, et tervik on jaotatud võrdseks osaks, millest on välja valitud osa. Murrujoonel on tähendus. Vali, kas toodud võrdus on tõene või väär: 4 = 1/4 4 = 12/3 4 = 20/5 4 = 4/1 4 = 8/4 Vali välja murrud, mis on võrdsed oma lugejaga: 3/1 1/8 9/3 10/1
a Harilik murd: murrujoon b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1 Näited = 1/ 2 = 1: 2 = 0,5 Loe: "kaks koma kolm perioodis" 2 7 = 7 / 3 = 7 : 3 = 2,333... = 2, (3) 3 Liht- ja liigmurd Kui murru nimetaja on suurem lugejast ( b > a, ehk a / b < 1 ), siis nimetame murdu lihtmurruks, vastupidisel ( b a, ehk a / b 1 ) juhul liigmurruks. 5 1 3 4 Näited Lihtmurrud: , , , . 13 3 4 16 5 4 100 1 Liigmurrud: , , , . 3 2 12 1
MÕISTED: naturaalarv, harilik murd, selle lugeja ja nimetaja, lihtmurd, liigmurd, segaarv. 7 14 2 3 Esita naturaalarv hariliku murruna 7 = = = ... või 7 = 6 = 6 = .... nii nagu 1 2 2 3 ülesandes parajasti vaja on 17 2 Teisenda liigmurd segaarvuks = 3 . 5 läheb 17-sse 3 korda, see on täisosa, üle jääb 2, 5 5 see on uus lugeja ja nimetaja jääb samaks 2 5 3 + 2 17 Teisenda segaarv liigmurruks 3 = = 5 5 5 Taandamine murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga ( 2-ga jaguvad paarisarvud; 3-ga jaguvad arvud, mille ristsumma jagub 3-ga; 5-ga jaguvad arvud, mis
1. Kuidas liidetakse harilikke murdusid? Kõigepealt teisendatakse murrud ühenimelisteks. Harilike murdude liitmisel liidetakse murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. (Liigmurrud teisendame segaarvuks juhul, kui vastuseks on liigmurd.) 2. Kuidas korrutada harilikke murdusid? Harilike murdude korrutamisel korrutame lugeja lugejaga ning nimetaja nimetajaga. 3. Kuidas jagada harilikke murdusid? Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5. Kuidas teisendada kümnendmurd segaarvuks?
harilikmurd liigmurd segaarv 3 murru lugeja 6 7 1 - murru joon - - = 2- 4 murru nimetaja 5 3 3 MURRUD LIITMINE Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited LAHUTAMINE Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited KORRUTAMINE Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. Näited JAGAMINE Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Näited ERINIMELISED MURRUD LIITMINE Erinimeliste murdude li...
8 12 48 Nende murdude vähim ühine nimetaja on: Otsusta, kas murrud on õigesti ühenimeliseks teisendatud: 2/3 = 6/12 ja 1/4 = 3/12 7/5 = 42/30 ja 5/6 = 25/30 11/20 = 33/60 ja 9/10 = 45/60 8/12 = 2/3 ja 9/36 = 1/3 2/5 = 12/30, 7/10 = 21/30 ja 4/15 = 8/30 Võrdle murde: 2/3 10/15 7/8 3/4 4/3 5/7 12/24 18/36 5/6 8/11 Teisenda liigmurd segaarvuks: 11/3 = 51/5 = 13/2 = 38/7 = 40/8 = 23/6 = 83/30 = Teisenda segaarv liigmurruks: 1 3/5 = 2 4/7 = 5 1/3 = 7 2/9 = 12 1/4 = 8 3/10 = 6 7/15 =
viieks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et värvitud on 3 sellist osa. MURRU JAGAMISEKS NATURAALARVUGA KORRUTAME MURDU NATURAALARVU PÖÖRDARVUGA. SEKTORDIAGRAMM TEEMADE JÄRJEKORD: 1. Murd 21.Harilike murdude korrutamine 2. Murd 22.Lihtmurdude korrutamine 3. Lihtmurd 23.Lihtmurdude korrutamine 4. Liigmurd 24.Harilike murdude korrutamine täisarvuga 5. Segaarv 25.Harilike murdude korrutamine segaarvuga 6. Liigmurru teisendamine segaarvuks 26.Segaarvu korrutamine täisarvuga 7. Murru taandamine 27.Segaarvu jagamine lihtmurruga 8. Murdude teisendamine ühenimelisteks 28.Segaarvu jagamine täisarvuga 9. Näide: Murdude teisendamine ühenimelisteks 29
loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Murdudega seoses kasutatakse mõisteid harilik murd, liigmurd ja lihtmurd. On ka veel kümnendmurd. Kümnendmurd on murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene koht pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud
Algarv- algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv- positiivne naturaalarv,mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama arvuga. Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine 1 ja sama arvuga. Liigmurd- harilik murd mille lugeja on suurem või võrdne kui nimetaja. Lihtmurd- harilik murd. Mille lugeja on väiksem, kui nimetaja. Sirgnurk- on nurk, mille haarad moodustavad sirge. Kõrvunurgad- on nurgad, millel on 1 ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. Tippnurgad- on nurgad, millel on ühine tipp ja haarad moodustavad sirged. Täisnurk- on pool sirgunurgast väiksemad nurgad. Teravnurgad- on täisnurgast väiksemad nurgad. Nürinurk- on täisnurgast suuremad nurgad.
Arvuhulgad
● Arvuhulgad jagunevad reaalarvudeks.
● Reaalarvud on
naturaalarvud N=(1;2;3;4;...)
täisarvud Z=(...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...)
ratsionaalarvud Q=(...;-12;...;3;...;-4;...;-½;0)
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
Võrdkülgne kolmnurk kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Kolmnurga kõrgus alusele selle vastastipust joonistatud ristlõik. Algarv ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Kordarv positiivne naturaalarv, mis jagub peale 1 ja iseenda veel mõne arvuga. Naturaalarv - sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ... Täisarv arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena. Liigmurd harilik murd, mille lugeja absoluutväärtus ei ole väiksem nimetaja absoluutväärtusest (NT 4/3). Lihtmurd harilik murd, mille lugeja absoluutväärtus on väiksem kui nimetaja absoluutväärtus (NT 3/4). Murru taandamine murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Murru laiendamine murru lugeja ja nimeraja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Nurk geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks ühest ja samast punktist väljuvat kiirt.
Algarv- Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga. Lihtmurd- murd, mille nimetaja on lugejast suurem Liigmurd- murd, mille lugeja on nimetajast suurem või temaga sama suur Naturaalarvu tegur- iga naturaalarv, millega antud arv jagub Naturaalarvu kordne- iga naturaalarv, mis antud arvuga jagub Murru laiendamine- murru lugeja ja nimetaja korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Murru taandamine- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga Arvu absoluutväärtus-selle arvu kujutava punkti kaugusega nullpunktist Üks protsent- üks sajandik osa
Tippnurgad-ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused üle nende ühise tipu Täisnurk-nurk, mis on 90 kraadi Nürinurk-nurk, mis on suurem kui 90 kraadi, kuid väiksem kui 180 kraadi Teravnurk-nurk, mis on väiksem kui 90 kraadi Tipunurk-võrdhaarse kolmnurga haarade vaheline nurk Harilik murd-näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud Lihtmurd-lugeja on väiksem kui nimetaja Liigmurd-lugeja on suurem kui nimetaja Segaarv-koosneb täisarvust ja murdosast Algarv-1-st suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga Kordsed-kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad Naturaalarv-arv, mis saadakse loendamise teel Täisarv-arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena; murdosata arv Ratsionaalarv-arv, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena
Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga.
korrutan mõlemad pooled läbi ja saan: Kui , siis ehk Kui , siis ehk Seega Kontroll mathcadiga: Mathcadis võib kasutada ka Symbolics---Variable---Convert to Partial Fraction 13. Mis on ratsionaalfunktsioon? Tooge 2 näidet! Ratsionaalf-niks nim. f-ni , kus p(x) ja q(x) on polünoomid. Näited: , 14. Mis on liigmurd, lihtmurd ratsionaalfunktsioonide puhul? Esitage 2 näidet! Kui murru lugeja aste on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu lihtmurruks, vastasel juhul liigmurruks. Näited: lihtmurd: , liigmurd: , 15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet! Osamurd on murd kujul , kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12 16
· Avalda murd naturaalarvuna: 1) 2) 3) 5 51 3 12 + 32 10 20 4,8 5,5 + 22,5 · Arvuta: 1) 2) 3) 1,2 4) 8 0,5 87 - 76 5 2. Lihtmurd ja liigmurd Lihtmurd on murd, mille lugeja on nimetajast väiksem. 1 2 4 Näiteks , , 8 5 7 Lihtmurd on alati väiksem arvust 1 1 5 Näiteks < 1, <1 5 8 Liigmurruks nimetatakse murdu, mille lugeja on võrdne nimetajaga või sellest suurem. 5 9 3 Näiteks ; ; 4 7 3 Kui liigmurru lugeja ja nimetaja on võrdsed, siis on see murd võrdne arvuga 1
võrdsed. Hulknurka nimetatakse kumeraks, kui see asetseb ühel pool mis tahes sirget, mis on saadud mingi külje pikendamise teel, n-nurga sisenurkade summa, s = (n-2) * 180 Kõrvunurkadeks nimetatakse kaht nurka, millel üks haar on ühine ja mille teised haarad moodustavad sirge. Nurgad ja on kõrvunurgad. Näide. Nurga suurus on 45o. Leiame, kui suur on nurk . 180o - 45o = 135o Vastus. Nurk on 135o. Lihtmurd on murd, mille lugeja on väiksem kui nimetaja. 3<4 Liigmurd on murd, mille lugeja on suurem kui nimetaja või nimetajaga võrdne . Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrdsust, milles lineaaravaldis on võrdsustatud nulliga ax + b = 0 Sirget, mis on risti lõiguga ja läbib lõigu keskpunkti , nimetatakse selle lõigu keskristsirgeks Lõigu keskristsirge omadus: lõigu keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Kui kaks punkti ühendada sirge joonega, saame sirglõigu
..+bn x n nimetaja vabaliikmed, a1 , a 2 ,..., a m vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 ,..., bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n , nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud näidetest kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest kõigepealt täisosa, s.t. liigmurd esitatakse hulkliikme e. täisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab täisosa eraldada ratsionaalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades. 39. Osamurrud Vaatleme kolme liiki osamurdusid ( A, B, a , b ja c tähistavad konstante): A 1) , x -a A 2) , kus k > 1 ja ( x - a) k Ax + B
Kui x= (t) , siis f(x ) dx= f((t ))(t ) dt 2 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. Ratsionaalfunktsiooni integreerimine Seega on antud lihtmurru lahutus osamurdudeks: (X2+2)/(x+1) 3*(x-2)= (-2/9)/(x+1)+(1/3)/(x+1)2+-1/(x+1)3+(2/9)/(x-2) 23 Ratsionaalfunktsiooni integreerimisel tuleb: 1) liigmurd teisendada polünoomi ja lihtmurru summaks. 2) lihtmurd lahutada osamurdudeks; 3) integreerida saadud polünoomi ja osamurde. 3 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. Osamurrud Ratsionaalseid lihtmurde alltood kujul nimetatakse vastavalt I, II, III ja IV tüüpi osamurdudeks. A I x -a A
. . , am vastavate x atsmete arvulised kordajad lugejas ning b1 , b2 , . . . , bn vastavate x astmete kordajad nimetajas. Juhul kui m < n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks lihtmurruks ja kui m n, nimetatakse ratsionaalavaldist ratsionaalseks liigmurruks. Seega toodud n¨aidetest (6.1) kaks esimest on ratsionaalsed lihtmurrud, kaks viimast aga ratsionaalsed liigmurrud. Ratsionaalse liigmurru korral eraldatakse sellest k~oigepealt t¨aisosa, st liigmurd esitatakse hulkliikme ehk t¨aisosa ja ratsionaalse lihtmurru summana. Lihtsamatel juhtudel saab t¨aisosa eraldada ratsio- naalset murdu sobiva arvuga samaaegselt korrutades ja jagades ja lugejale sobivaid suurusi liites ja lahutades, st tehes elementaartehteid, mis murru v¨a¨artust ei muuda. 9 x2 N¨ aide 6.1. Eraldame ratsionaalse liigmurru t¨aisosa ja integreerime
annaabi.ee 
