Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon Kui hulga x igale elemendile on mingi eeskirjaga seatud vastavusse hulga y kindel elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid ...
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nim mittenegatiivset reaalarvu IaI, mis on defin seosega IaI=a, kui a0,,-a, kui a0 Arvu a ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka U(a)={xIa-x} Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka [a; a + ) = {xIax+a} Suuruse + M-ümbruseks, kus M > 0, nimetatakse vahemikku (M;+). Kui M > 0, siis M-ümbruseks nim ühendit (-;-M) ja(M) Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafik...
Funktsiooni määramispiirkonnaks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral saab leida f-ni väärtust. Funktsiooni muutumispiirkonnaks nim. funktsiooni väärtuste hulka. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni nullkohaks nim. argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus võrdub 0-ga. y = 0 Funktsiooni positiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed. y > 0 Funktsiooni negatiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooniväärtused on negatiivsed. y < 0 ____________________________________________________________________________________________ Funktsiooni pöördfunktsiooni leidmiseks tuleb a.) vahetada muutujad x ja y b.) saadud avaldisest avaldada y Funktsiooni graafik ja tema pöördfunktsiooni graaf...
Ühe muutuja funtsiooni diferentsiaal- ja integraalarvutuse põhivalemid Funktsioon Diferentseerimisvalem Põhiintegraal Konstant a '=0 adx =axC n-1 n1 Astmefunktsioon x ' ' ' =nx x x ' ' dx = n1 C 1 2 x '= 2 x xdx = 3 x 3C x x x Eksponentfunktsioon a ' =a ln a a x dx= lna a C e x dx=e...
FUNKTSIOON Järgnevas on muutuv suurus selline suurus, mis võib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest eri...
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv
punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. Kõrgemat järku tuletised funktsiooni f' tuletist nim funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''. Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 31. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud kaks funktsiooni g : X Y ja f : Y1 Z. Kui leidub vähemalt üks selline x X, et g(x) Y1 ja seega f[g(x)] Z, siis on meil defineeritud uus funktsioon F(x) = f[g(x)], mille määramispiirkonna X1 moodustavad kõik sellised funktsiooni u = g(x) määramispiirkonna X elemendid x, mille korral g(x) kuulub funktsiooni f(u) määramispiirkonda Y 1. Saadud
) 1ag1ln xxxnx x xx (arcsin (arccos (tan (log e ) xe = =nx (arctan = 1 -ln2 xxcos x1a -x xx 1+ x 2 Arcusfunktsioon Eksponentfunktsioon Trigonomeetrilised funktsioonid Logaritmfunktsioon Liitfunktsioon Eksponentfunktsioon Astmefunktsioon
Kui selline vastavus on üks-ühene, st kui kehtib tingimus ( ) ( ) , siis öeldakse et funktsioonil y=f(x) eksisteerib pöördfunktsioon f -1: ( ) Pöördfunktsiooni f -1 määramispiirkonnaks on funktsiooni f muutumispiirkond Y ning uutumispiirkonnaks määramispiirkond X. Kehtivad seosed: ( )] ja ( )] Näiteks y=x2 ja y= on üksteise pöördfunktsioonid ja nende graafikud on sümmeetrilised sirge y=x suhtes: 8. Defineerige liitfunktsioon. Kirjeldage näite varal, kuidas on defineeritud liitfunktsiooni ahelakuju. Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide kompositsiooniks nim. funktsiooni, mis saab kahe või enam funktsiooni järjesst rakendamisel. Kui y=f(u), kus u = g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Liitfunktsiooni y=f[g(x)] ahela kuju: y=f(u) u=g(x) Liitfunktsiooni y=f{g[h(x)]} ahela kuju: y=f(u) u=g(v) v=h(x) 9. Kirjeldage oma sõnadega sümbolite 1
f ( x + x ) - f ( x) g ( x + x) - g ( x) y ' = lim + x 0 x x y' = f' (x) + g' (x) x = x (t ) 5. tuletada parameetrilisel kujul antud funktsiooni y = y (t ) diferentseerimise reegel. -1 Eeldame,et x = x(t ) t = x ( x) ning y (t ) on liitfunktsioon . 1 y' y y ' x = y 't *t ' x = y 't * = t = . t'x t'x t 6. Tuletada funktsiooni y = x , a R diferentseerimise valem kasutades a logaritmilise diferentseerimise võtet. y = x a ln y = a ln x 1 a * y' = y x ay y' = x 7
kaudselt. Näide. Selge taeva korral sõltub päikesekiirguse intensiivsus I päikese kõrgusnurgast h, see aga omakorda sõltub ajast t, nii et päikesekiirguse intensiivsus on ka aja t funktsioon. I sõltuvus ajast t pole aga otsene, vaid kaudne; vahendavaks muutujaks suuruste t ja I vahel on nurk h: I = F (h), h = (t ), nii et I = F [ (t )]. See tähendab, et kiirguse intensiivsus I on aja t liitfunktsioon. Funktsiooni F argumentfunktsiooniks on (t ) . 28 Liitfunktsiooni definitsioon Kui y on muutuja u funktsioon: y = f (u) ja u on omakorda muutuja x funktsioon: u = g (x), siis ka y sõltub muutujast x: y = f [g(x)] Nii defineeritud funktsiooni y nimetatakse liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nimetatakse liitfunktsiooni y koostisosadeks e. komponentideks.
kõige enam kasutatakse kolme järgmist esitusviisi: tabelina, graafikuna, analüütiliselt. Näitena suvaline x ja y väärtustega tabel. Loomulik määramispiirkond. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon
Funktsiooni graafiku teisendused Heldena Taperson www.welovemath.ee y f (x) ....graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafiku peegeldamisel x- telje suhtes. y 3x 4 y (3 x 4) 3 x 4 y f ( x) ....graafik saadakse funktsiooni y=f(x) graafiku peegeldamisel y- telje suhtes. y 3x 4 y 3 x 4 y b f (x) ....graafiku saame kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti ordinaati korrutame arvuga b. y 3x 4 y 2(3 x 4) 6 x 8 y f (k x) ... graafiku joonestamiseks vajalikud punktid saame, kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti abtsissi korrutame arvuga k ning seejärel arvutame ordinaadi väärtuse. ...
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu ε...
Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y=(f-g)x=f(x)-f(g), korrutis y=(fg)x=f(x)g(x) ja jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x)0. Def. Kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-I väärtustel hulgas Xf, mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: · Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon · Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def
Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f+g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y=(f+g)x=f(x)+g(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide f ja g vahe y=(f-g)x=f(x)-f(g), korrutis y=(fg)x=f(x)g(x) ja jagatis y=(f/g)x=f(x)/g(x). Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise määramispiirkond koosneb kõigist sellistest x X, mille korral g(x)0. Def. Kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)]. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-I väärtustel hulgas Xf, mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Def. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: · Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon · Astmefunktsioon · Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def
y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud funktsioonid y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx protsessis lõplik piirväärtus, siis on ta selles protsessis tõkestatud 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. V:Funktsiooni f nim ülalt tõkeskatud(alt tõkestatud) funktsiooniks hulgal X1 U X1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = kui leidub selline reaalarv M(m), et iga x e X1 korral kehtib võrratus f(x) M g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g Tõkestatud fun-fun f mis on nii alt kui ülalt tõkestatud
Def. Muutuva suuruse kõigi väärtuste hulka nimetatakse selle muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Def. Muutuvat suurust nimetatakse kasvavaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast suurem. Muutuvat suurust nimetatakse kahanevaks, kui tema iga järgnev väärtus on eelnevast väiksem. Vastavalt definitsioonile on funktsioon antud, kui on teada : a) funktsiooni määramispiirkond X, b) eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. Funktsiooni väärtused, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X, moodustavad funktsiooni muutumispiirkonna. Funktsiooni esitusviise: I Analüütiline esitus valemi abil II Geomeetriline esitus graafiku abil III Numbriline esitus tabeli abil Tabelilisel esitamisel kirjutatakse kindlas järjekorras argumendi väärtused 1 2, , ... ,n x x x ja neile vastavad funktsiooni väärtused 1 2 , , ... ,n y y y . 7. Funktsioonide liike Paaris- ja paaritud funktsioon...
ka funktsioonid f ( x) f ( x ) + g ( x ), f ( x ) - g ( x ), f ( x ) * g ( x ), g ( x) on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(a) 0. NT: Funktsioon y = 2 x - e on pidev piirkonnas R, sest 2 x u = 2, v = x2 , z = e x on pidevad selles piirkonnas. Liitfunktsiooni pidevus Liitfunktsioon f [g (x)] on pidev kohal a, kui g (x) on pidev kohal a ja f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x y = cos 3 NT: Funktsioon 2 on kõikjal pidev, sest tema koostisosad x v= y = u , u = cos v ja 3
sin x tan x = , cos x sin x ja cos x on pidevad kõikjal, seega tan x on pidev igal kohal x, kus cos x 0. Et punktid x, kus cos x = 0 (s.o. punktid x = + k , k Z ), 2 ei kuulu funktsiooni tan x määramispiirkonda, siis tan x on 29 pidev oma määramispiirkonnas. Liitfunktsiooni pidevus Teoreem. Liitfunktsioon f [g (x)] on pidev kohal a, kui g (x) on pidev kohal a ja f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x Näide 1. y = cos 3 on pidev kõikjal, 2 x sest tema koostisosad y = u , u = cos v, v = 3
Kordamisküsimused 1) Funktsioon, tema esitusviisid. Funktsiooni võib esitatakse enamasti seose y f (x) abil, kuid mõnikord ka y y(x) . Funktsioon on antud, kui on teada: 1) funktsiooni määramispiirkond, 2) eeskiri, mis seab elemendile x vastavusse elemendi y. Analüütiline esitus ehk esitus valemi abil. Graafiline esitus ehk esitus graafiku abil. Tabelina esitus. 2) Nõudlus - ja pakkumisfunktsioonid. Turutaskaal. Hind ja toodete arv on omavahel sõltuvuses. Seda seost saab kirjeldada nõudlusfunktsiooniga p = f(x). Nõudlusfunktsioon on kahanev funktsioon. Pakkumisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p =g(x), kus x ja p on suurem/võrdne nulliga, kus p on pakutava kauba ühikuhind ja x toote ühikute arv. Pakkumisfunktsioon on kasvavfunktsioon. Turutasakaalupunkt on see koht kus pakkumis ja nõudlus ristuva 3) Sirge võrrandi erinevad kujud. ...
*Ruutfunktsioon parabool; kuupfunktsioon hüperbool. 14. Funktsiooni graafiku teisendused 15. Pöördfunktsioon olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni muutumispiirkonna Y igale elemendile vastab üks ja ainult üks element x hulgast X nii, et y = f (x), siis on hulgal Y määratud funktsioon, mida nimetatakse esialge funktsiooni pöördfunktsiooniks. 16. Juurfunktsioon funktsioon, kus x asub juure all (?). 17. Liitfunktsioon funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. (Olgu antud funktsioonid y = f (u) ja u = g (x). Nendest moodustatud funktsiooni y = f [g (x)] nimetatakse liitfunktsiooniks.)
Elementaar funktsioon funktsioon, mis on saadud elementaar põhifunktsioonist ja const lõpliku arvu aritmeetriliste tehete ning liitfunktsioonide ja pöördfunktsioonide moodustamise reegli abil. Hulka X nimetatakse funktsiooni y= f'(x) määramis piirkonnaks y = {y (y = f(x)) x X} Muutuja x väärtuste hulka X, mille puhul funktsioon f(x) väärtus on lõplik (reaalarvulina väärtus) nimetatakse funktsiooni y = f(x) määramis piirkonnaks 8. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsioon. Tuletise geomeetriline tähendus. Kõrgema järku tuletised. Diferentsiaal. · y'= f '(xn) Fuktsiooni tuletis on joone y=f(x) tõus punktis M0 (x0; y0) · y= f(u), kus u = g(x) Diferentsiaal funktsioonide tuletiste leidmine 9. Funktsiooni uurimine 10. L Hospitali reegel (piirväärtuse leidmine) 11. Määramata integraal (defenitsioon, omadused), arvatamine, muutuja vahetuse ja ositi integreerimise abil. 12. Määratud integraal
Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y. Funktsiooni määramispiirkond. Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsiooni y muutumispiirkonnaks Y nimetatakse funktsiooni väärtuseid, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X. Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f ( x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paaritu funktsiooni ...
= (cos x) ·x avaldada saab ka kujul: Kõrgemat järku tuletised Kui piirkonnas X diferentseeruva funktsiooni f tuletisfunktsioonil f' leidub tuletis (f')' oma määramispiirkonna mingis punktis x, siis nimetatakse seda tuletist (f')' esialgse funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''(x). Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 28. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks funktsioon, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud liitfunktsioon F(x)=f[g(x)]. Kui funktsioon g on diferentseeruv kohal x ja funktsioon f on diferentseeruv kohal u=g(x), siis on diferentseeruv ka liitfunktsioon sellel kohal x, kusjuures F'(x) = f'(g(x))· g'(x) Näiteks funktsioon F(x) = (1 - x3)2 on seesmise funktsiooni g(x) = 1 - x3 ja f(u) = u2 liitfunktsioon, mis on määratud kogu reaalarvude hulgal R. 29
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist eri...
Xf ja z = g(y) maaramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f maaramispiirkond ei tarvitse kattuda f maaramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on maaratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g maaramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruseg[f(x)]. Seega on g f maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne, astme, eksponent, trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud
Alt tõkestatud hulga suurimat alumist tõket nimetatakse selle hulga alumiseks rajaks ning tähistatakse inf X. Teoreem (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, muutumispiirkond, graafik. Funktsiooni põhilised esitusviisid. Liitfunktsioon, pöördfunktsioon. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsioonid. Funktsioon - Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y , siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja kirjutatakse y=f(x), x X Määramis ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja hulka
Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusüuhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvteljepunktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui sel...
y=f(x) nihutada mööda y-telge log b x log a x = y = f ( x) log b a F-ni y=|f(x)| graafiku saame siis, kui 73. Logaritmfunktsioonigraafik fraafiku y=f(x) osad, mis paiknevad x- Eksponentf-ni y=ax pöördf-ni y=logax teljest allpool, peegeldame x-teöje suhtes F-nid y=ax ja y=logax on teineteise 64. Liitfunktsioon pöördf-nid 65. Pöördfunktsioon I. Nende graafikud on sümm.sirge y=x Pöördf-nide graafikud on sümmeetrilised suhtes sirge y=x suhtes II. F-ni y=ax määr.pk (X)on f-ni y=logax 66. Astme mõiste üldistamine muut.pk (Y) Vt. Punkt 2 III. F-ni y=a muut.pk (Y)on f-ni y=logax 67
määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f määramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax,
w on funktsioon muutujatest x1;x2;...;xn. xi R, i = 1,2,...,n. n-môôtmeline vektor (x1;x2;...;xn) |Rn. w=f(x1;x2; ...;xn). Elementaarfunktsioonid funktsioonid, mida saab moodustada pôhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y = x2 + 2x + 2, y = log(2x-3). Pôhielementaarfunktsioonid: f(x) = c; xa;ax;logax; sinx;...;...arccotx. Liitfunktsioonid: y=f(t) ja t = g(x) y = f[g(x)] y on argumendi x liitfunktsioon. 29. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub y=f(x) piirväärtus limx0(y/x) = limx0[f(x0+x) f(x0)]/ x, siis seda piirväärtust nim. funkts. tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f'(x0). Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. 30. Liitfunktsioon ja selle tuletis.
Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. Mitmene funktsioon. Kui igale x väärtusele, mis kuulub teatavasse piirkonda, vastab mitte üks, vaid mitu või isegi lõpmatu hulk y väärtusi, siis nimetatakse funktsiooni mitmeseks funktsiooniks. Näide: 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide). Perioodiline funktsioon (funktsioon y = x [x]). Liitfunktsioon, selle komponendid (näide). Paarisfunktsioon. Funktsiooni y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsioobiks, kui x X kehtib võrdus f(-x)= f(x) Näide: y = x2 Paaritu funktsioon. Funktsioon y = f(x), mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui x X kehtib võrdus f(-x)=-f(x). Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon
määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g ◦ f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g ◦ f määramispiirkond ei tarvitse kattuda f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g ◦ f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g ◦ f määramispiirkond järgmine: Xg◦f = {x || x ∈ Xf , f(x) ∈ Yg} . Põhilised elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks on järgmised funktsioonid: konstantne funktsioon, y = xa, y = ax,
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
DIFERENTSEERIMISE ja INTEGREERIMISE VALEMID y dy Tuletis y = lim = = f ( x) x 0 x dx Integraal f ( x)dx = F ( x) +c , kus d [ F ( x) + c ] = f ( x)dx Diferentseerimise reeglid Diferentseerimise reeglid Integreerimise reeglid Lihtfunktsioon y=(x) Liitfunktsioon y=(u), u=(x) (u +v)'=u'+v', kus u,v=(x) (ux +vx)'=ux'+ vx' (u + v)dx = u dx + v dx (u v)'=u' v' (ux vx)'=ux' vx' (u v)dx = u dx v dx ( u·v ) ' = u'v + v'u (ux·vx)'=ux'v+ vx'u u dv = uv v du ( C·u ) ' = C u' ( C·ux ) ' = C ux' Cu dx= C u dx (u·v·w)' = u'vw + v'uw + w'uv
Summa vahe ja korrutise korral X=R b. Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga X ja z=g(y) määramispiirkonnaga . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline soes on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsiooni sümboliga g o f. f ja g liitfunktsioon z=(g o f)(x)=g[f(x)] c. Liitfunktsiooni määramispiirkond Liitfunktsiooni g o f määramispiirkond ei tarvitse ühtida f määramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g o f on määratud x-i väärtustel hulgas , mille korral f(x) asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Ainult sel juhul saab leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. d. Põhilised elementaarfunktsioonid
Liitfunktsiooni mõiste: Olgu antud kaks funktsiooni y = f(x), määramispiirkonnaga Xf ja z = g (y) MP Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on liitfunktsiooniga. Tähistame seda f-ni sümboliga g f, kirjutame võrduse: z = (g f)(x) = g[f(x)]. Liitfunktsiooni g f MP ei pruugi kattuda f MP-ga. Liitfunktsioon g f on määratud ainult sellistel x-i väärtustel X f, mille korral f(x) asub funktsiooni g MP-s. Ainult siis saame leida f-ni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruse g[f(x)]. Seega on g f MP selline: Xg f = x x Xf , f(x) Yg Elementaarfunktsiooni mõiste Põhilised neist on: konstantne funktsioon, y = , y = , y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = , y = arcsin x, y = arccos x, y= arctan x ja y = arccot x.
2g Esimene valem annab lõppkiiruse v, mille keha omandab kõrguselt h langedes. Teine valem annab kõrguse h, millelt keha peab langema, et omandada lõppkiirus v. Funktsioonid v ja h on teineteise suhtes pöördfunktsioonid. Pöördfunktsiooni näited (3) Näide. Leiame funktsiooni y = log(1 - x) pöördfunktsiooni. Lahendus Kuna funktsioonid z = 1 x ja y = log z on üksühesed funktsioonid, siis on seda ka liitfunktsioon y = log(1 - x) ja pöördfunktsioon on leitav. Funktsiooni y = log(1 - x) määramispiirkonnaks saame: 0 < 1 - x < + - < x < 1. Muutumispiirkonnaks on logaritmfunktsiooni muutumispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni arvutuseeskirja saamiseks avaldame võrrandist y = log(1 - x) muutuja x: y = log(1 - x) 10 y = 1 - x x = 1- 10 y x = f -1 ( y ) = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond: Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond: X = (-; 1).
Suurust d(df) nimetatakse funktsiooni f(x; y) teist järku täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse d2f Funktsiooni f(x; y) n-järku täisdiferentsiaal defineeritakse kui esimest järku täisdiferentsiaal n-1-järku täisdiferentsiaalist, s.t dnf=d(dn-1f) Liitfunktsiooni osatuletised: Olgu g1(x1,...xm) ,...,gn(x1,...,xm) m- muutuja funkts-id punkti ARm mingis ümbruses U ja diferentseeruvad punktis A. Lisaks eeldame, et n-muutuja funkts f(y1,...,yn) on diferentseeruv punktis P(g1(A),...,gn(A)). Liitfunktsioon h(x1,...,xm)=f(g1(x1,...,xm),...,gn(x1,...,xm) on diferentseeruv punktis A, kusjuures h/xi(A)= f/y1(P) g1/x1(A)+...+ f/xyn(P) gn/x1(A), 1im Ilmutamat funktsiooni osatuletised:Olgu funktsioon y(x) antud ilmutamata võrrandiga F (x; y) = 0 ja P (x; y) olgu selle joone punkt. Kui F on diferentseeruv punktis P ja F/y(P ) 0, F ( P) - x F ( P) siis dy/dx= y
· Kasvavaks, kui a < b f (a) < f (b) · Monotoonselt kasvavaks, kui a < b f (a) f (b) · Kahanevaks, kui a < b f (a) > f (b) · Monotoonselt kahanevaks, kui a < b f (a) f (b) Tõkestatud funktsioonid. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatud funktsiooniks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 2. Liitfunktsioon, pöörfunktsioon, elementaarfunktsioon. o Pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) (x X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f-1 (y), mis igale arvule y Y = y (X) seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise
on positiivne täisarv ja a reaalarvud. 8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0 8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur. Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused.
Kui x = 1 ja , siis ( ... ) + (...muutub järjest väiksemaks...) Lähtudes tuletise definitsioonist lim(xx0) = f ' ( x ) = f ' ( x ) , kus lim(xx0) Korrutades viimast võrdust , saame ( + kõrgemat järku lvs suhtes kui 0 Definitsioon: Funktsiooni f (x) muudu peaosa f ( x ) nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse dy. dy = f' (x) Erijuhul: y = x, siis = Kokkuvõttes: dy= f'(x) Kui y = f(x) on liitfunktsioon, kus x = g(x), siis dy= f'(x) 't * dt = f' (x) dx Lähtudes diferentsiaali definitsioonist f'(x)dx ehk dy ( dy = f'(x) Sellest järeldub: ( = f'(x) ehk ( f (x) + (*) Näitena vaatame ülesannet: Näide 2: Arvutada ligikaudu kasutades ligikaudset võrdust (*) Abifunktsioon: y = x=8 4. Sõnastada ja tuletada kahe funktsiooni summa diferentseerimise reegel.
ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline soes on antud Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. () kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsiooni sümboliga g o f. kahanevaks suuruseks suhtes. 3.Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised f ja g liitfunktsioon z=(g o f)(x)=g[f(x)] Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste ja vahe on kõrgemat järku funktsioonid. Kasvavad ja Liitfunktsiooni määramispiirkond 8
II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x · Logaritmfunktsioon: , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1).
Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y). 2) Pinna z = (x, y) projektsioon xy-tasandile langeb kokku funktsiooni määramispiirkonnaga D. 3) Suvaline z-teljega paralleelne sirge saab pinda z = (x, y) lõigata maksimaalselt ühes punktis (vt sirge s ja punkt M joonise). 6) Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon. · Tehted mitmemuutuja funktsiooniga z = (P) ja z = g(P) 1) Funktsioonide ja g summa: z = ( +g) (P) = (P) + g (P) 2) Funktsioonide ja g vahe: z = ( -g) (P) = (P)-g(P) 3) Funktsioonide ja g korrutis: z = ( g) (P) = (P)g(P) 4) Funktsioonide ja g jagatis: z = ( /g) (P) = (P)/g(P) · Liitfunktsiooni mõiste.
Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y). 2) Pinna z = (x, y) projektsioon xy-tasandile langeb kokku funktsiooni määramispiirkonnaga D. 3) Suvaline z-teljega paralleelne sirge saab pinda z = (x, y) lõigata maksimaalselt ühes punktis (vt sirge s ja punkt M joonise). 6) Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon. · Tehted mitmemuutuja funktsiooniga z = (P) ja z = g(P) 1) Funktsioonide ja g summa: z = ( +g) (P) = (P) + g (P) 2) Funktsioonide ja g vahe: z = ( -g) (P) = (P)-g(P) 3) Funktsioonide ja g korrutis: z = ( g) (P) = (P)g(P) 4) Funktsioonide ja g jagatis: z = ( /g) (P) = (P)/g(P) · Liitfunktsiooni mõiste.
Vähimat positiivset väärtust, mille korral see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon - olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9
argumendist P = (x1 , x2 , . . . , xm ) s~oltuvad m-muutuja funktsioonid. Peale selle olgu z = F (u1 , u2 , . . . , un ) argumendist (u1 , u2 , . . . , un ) s~oltuv n-muutuja funk- tsioon. Vaatleme liitfunktsiooni z = f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . Kehtib j¨argmine v¨aide. Kui funktsioonid 1 , 2 , . . . , n on pidevad punktis A ja funktsioon F on pidev punktis B = (1 (A), 2 (A), . . . , n (A)), siis on liitfunktsioon f pidev punktis A. 13) Funktsiooni suurim ja vähim väärtus piirkonnas. Kinnises tõkestatud piirkonnas pidevate funktsioonide omadusi. Funktsiooni suurim ja v¨ ahim v¨ a¨artus piirkonnas D. Kui leidub punkt P1 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib v~orratus f (P1 ) f (P ), siis nimetatakse arvu f (P1 ) funktsiooni f suurimaks v¨a¨ artuseks piirkonnas D.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
