Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem. n sn = f (k ) xn [a; b] (joon) b-a jagame n osalõiguks h=b-a/n. Siis xo=a; x1=a+h; x2=a+kh;...; xn=b (=a+nh) juhul k =1 kui h0n (joon) k-nda trapetsi pindala: [(xk-1)+(xk)]/2h jne. Pindala saab kui kõikidest väikestest pindaladest võtta b b -a integraal rajades a-b ja valem on siis: f ( x)dx a 2n ( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ... + 2 yn -1 + yn ) Pindala arvutamine ristkoordinaatides b [a;b] (joon) y=(x); y=g(x) ja (x)g(x) ning S = [ f ( x) - g ( x) ]dx Kui aga joon on antud parameetrilisel kuju...
5. Tuletada funktsiooni y = arc cos x tuletise valem. 6. Tuletada funktsiooni y = xn tuletise valem. Praktilist laadi ülesanded (1) 1. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis (loengus näide funktsiooni y = x2 kohta). 2. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = ex. 3. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x . 4. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 5. Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus ristkülikvalemi abil. 7. Leida antud mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. Vt üles 8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 9. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. otsi ise vahelduseks:P 10. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
. 10 Omadus 6........................................................................................................... 10 Omadus 7........................................................................................................... 11 1.5. Newton-Leibniz’i valem..................................................................................12 Näide 2............................................................................................................... 13 2. TRAPETSVALEM..................................................................................................... 14 3. VEAHINNANGUD. TRAPETSIVALEMI NÄITED..........................................................16 Näide 1............................................................................................................... 16 Näide 2............................................................................................................... 17 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL................
x, h=0,04 F(x) Trapetsvalem 4 2,14536621146E-008 4,04 0,000000022 2,8343105134764E-009 4,08 0,00000002 4,12 1,62854474184E-008 4,16 1,17560908187E-008 a=4 4,2 7,13501988695E-009 b=10 4,24 0,000000003 C=3 4,28 -3,7791917505E-010 4,32 -2,7406755908E-009 4,36 -4,1020485382E-009 4,4 -4,5679187100E-009 4,44 -4,3229425036E-009 4,48 -3,5896402954E-009 4,52 -2,5927210973E-009 4,56 -1,5315037204E-009 4,6 -5,6180770859E-010 4,64 2,12666863717E-010 4,68 7,40548729955E-010 4,72 0,000000001 4,76 1,07020501185E-009 4,8 0,000000001 4,84 7,31092118574E-010 4,88 4,61823698382E-010 4,92 1,98432797123E-010 4,96 -2,1489421144E-011 5 -1,7651005206E-010 5,04...
................................................................................................10 Määratud integraali arvutamine Newton-Leibnizi valemiga............................................................11 Määratu integraali ligikaune arutamine. Kvadratuurvalemid...........................................................13 Keskmine ristkülikvalem.............................................................................................................13 Trapetsvalem................................................................................................................................15 Simpsoni valem...........................................................................................................................16 Trapetsivalemi näited. Veahinnangud..............................................................................................17 Näide 1....................................................................
3) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b], kuid leidub c (a
Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte, on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus. 11. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral. 12 Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral. 13 Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = e (lk104) x 14. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x .(lk104) 15. Tuua näiteid mitme muutuja funktsioonide kohta. Kahe muutuja funktsiooni näited: 1) Ristküliku pindala: S (x,y) = xy U I (U , R ) = 2) Ohmi seadus: R
funktsioonil on algfunktsioon ja see avaldub elementaarfunktsioonina. Sel juhul me saame määratud integraali täpse väärtuse. Kuid on ka selliseid elementaarfunktsioone, millel küll leidub algfunkt- sioon, kuid see ei avaldu elementaarfunktsioonina. Sellistel juhtudel kasutatakse mitmesuguseid määratud integraali ligikadse arvutamise meetodeid. Räägitakse ka funktsioonide numbrilisest in- tegreerimisest, mille tuntumad meetodid on ristkülikvalem, trapetsvalem ja Simpsoni valem (vt [4], lk 243-246; [5], lk 441-451). Loomulikult sobivad loetletud meetodid ka selliste funktsioonide määratud integraalide ligikaudseks leidmiseks, mille algfunktsioon avaldub elementaarfunktsiooni- na. 4.5 Kõvertrapetsi pindala Olgu funktsioon y = f (x) määratud, pidev ja mittenegatiivne lõigus [a, b]. Kujundit, mis on ülalt piiratud funktsiooni f graafikuga, alt x-teljega ning külgedelt sirgetega x = a ja x = b, nimetatakse kõvertrapetsiks.
Ligikaudne arvutamine b ba Ristkülikvalem f ( x)dx = a n ( y 0 + y1 + y 2 + y 3 + + y n 1 ) b ba Trapetsvalem f ( x)dx = a 2n [( y 0 + y n ) + 2( y1 + y 2 + y 3 + + y n 1 )] b ba Simpsoni valem f ( x)dx = a 3n
Ligikaudne arvutamine b ba Ristkülikvalem f ( x)dx = a n ( y 0 + y1 + y 2 + y 3 + + y n 1 ) b ba Trapetsvalem f ( x)dx = a 2n [( y 0 + y n ) + 2( y1 + y 2 + y 3 + + y n 1 )] b ba Simpsoni valem f ( x)dx = a 3n
Üldine soojusbilanss. 17-18 reaktsiooni kiiruse seadus -diferentsiaalsel tõttu -CA madalaim). Gaasifasiliste reaktsioone tuleks Pidevalt statsionaarses rezhiimis keemilise reaktori -substraat.-Karbamiidi lagunemine ureaasi(E) toimel X1 meetodil, PR katseandmetest-On rakendatav, kui Trapetsvalem- X0 [ h ] f ( X ) dX = 2 f ( X 0) + f ( X 1) reaktsioon on praktiliselt -pöördumatu ja reaktsiooni -läbi viia rõhu all inertgaasideta, vedelfaasiliste
b-a h := , n n Sn (f ) = h f (a + hi) i=1 ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 14 / 18 Ma¨ aratud ¨ integraal Kvadratuurvalemid Trapetsvalem Trapetsvalemi saame kui valime i selliselt, et f (i ) = 12 (f (xi-1 ) + f (xi )) ~ (osaloigul [xi-1 , xi ] pideva funktsiooni f korral selline i [xi-1 , xi ] leidub) n 1 Sn (f ) = f (xi-1 ) + f (xi ) xi 2 i=1 b-a Valides uhtlase ¨ tukelduse
47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨
annaabi.ee 
