Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt. Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt...
Järeldus: kui f(x)<=g(x) lõigul [a,b], siis sama võrdus kehtib ka integraalide puhul. (tõestada geomeetrilise näite põhjal) b b 4) f ( x)dx f ( x) dx a a 5) kui vahetada rajad integraalis , siis tuleb miinus märk ette. Tõestada geom. näite põhjal b c b 6) f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx - c ei pea olema a ja b vahel a a c b 7) m(b - a ) f ( x) dx M (b - a ) , kus m on f(x) vähim väärtus [a;b] ja M suurim a b 8) Keskväärtuse omadus...
( x; y )dy = F ( x) 1 ( x) ( x ; y ) Muutuja vahetus kolmekordses integraalis x = x(u; v; f ( x; y; z )dxdydz = F (u; v; ) J dudvd; y = y (u; v; ) Eeldus: need on ühesed, V z = z (u; v; ) xu x v x...
Kirjutage üles Newton-Leibnizi valem! Esitage 2 näidet selle valemi kasutuse kohta! Näide: , F(x) on sel juhul Valemist saan: Kontroll mathcadiga: 13. Mis on muutujavahetuse mõte määramata integraalis ? Esitage 2 näidet! Muutujavahetuse mõte määramata integraalis on lihtsustada integreerimist. Näide: v.t. näiteid punktis 11. 14. Millisel juhul kasutatakse enamasti ositi integreerimist? Esitage käsitsi arvutuse näide! Ositi integreerimist kasutatakse peamisel niisuguste avaldiste integreerimisel, milles on kahe avaldise korrutis. Näide: Leida antud määramata integraal ositi integreerimise võttega. Kontrollida tulemust Mathcadiga. NB...
Jaaniso Pinnasemehaanika 1. SISSEJUHATUS Kõik ehitised on ühel või teisel viisil seotud pinnasega. Need kas toetuvad pinnasele vundamendi kaudu, toetavad pinnast (tugiseinad), on rajatud pinnasesse (süvendid, tunnelid) või ehitatud pinnasest (tammid, paisud) (joonis 1.1). a) b) c) d) J o o n is 1 .1 P in n a s e g a s e o tu d e h i tis e d v õ i n e n d e o s a d .a ) p i n n a s e le t o e t u v a d ( m a d a l - j a v a iv u n d a m e n t) b ) p i n n a s t t o e t a v a d ( t u g is e in a d ) c ) p in n a s e s s e r a j a tu d ( tu n n e li d , s ü v e n d i d d ) p in n a s e s t r a j a tu d ( ta m m i d , p a is u d ) Ehitiste koormuste ja muude mõjurite tõttu pinnase pingeseisund muutub, pinnas deformeerub ja võib puruneda nagu k...
Rahuldagu piirkond V järgmisi tingimusi 1) V on alt piiratud pinnaga z=1(x,y) ja ülevalt pinnaga z=2(x,y) 2) V projektsioon D xy-tasandile on regulaarne y-telje suhtes ning leiduvad ab ja funktsioonid 1(x)2(x), mis määravad D võrratustega axb ja 1(x)y2(x). Kui V rahuldab tingimusi 1) ja 2), siis b 2 ( x ) 2 ( x , y ) f ( P)dV = dx dy f ( x, y, z )dz V a 1 ( x) 1 ( x, y ) 21. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis . Silinder- ja sfäärikoordinaadid Olgu antud f ( x, y, z )dxdydz V ning u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) ja w=w(x,y,z). Igale punktile (x,y,z)V seatakse vastavusse arvupaar (u,v,w). Kui (x,y,z) muutub läbi V, siis kujutispunkt (u,v,w) kujundab teatud ruumilise piirkonna V'. Eeldame, et a) punkt (x,y,z)V on üheselt taastatav punkti (u,v,w)V' põhjal...
M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H...
4. Kui ratsionaalavaldis on kujul R (cos x ) sin x , siis integraali R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x . Siis dt = - sin xdx ja integraal (8) teiseneb jälle ratsionaalavaldise integraaliks: R(cos x ) sin xdx =- R( t )dt. 5.Kumbagi kahest viimasest muutuja vahetusest ei saa kasutada siis, kui integraalis sin m x cos n xdx naturaalarvud m ja n on mõlemad paarisarvud. Niisugust tüüpi avaldiste integreerimiseks kasutatakse poolnurga siinuse ja koosinuse valemeid: 1 - cos 2 x sin 2 x = , 2 1 + cos 2 x cos 2 x = ....
2) Aga avaldis F(x) + C tähistab ju tohutut funktsioonide parve, mille kõikide tuletised võtavad ühesuguse kuju f(x). 3) Geomeetriliselt tähendab F(x) + C kimp lõpmata arvu funktsioonidest, et on parv lõpmatu hulk jooni, mis asuvad üksteise alla y-telje suhtes, mis omakorda annavadki ju kahemõõtmelise kujundi pinna!!!! Määratud integraalis on vaid ära piiratud lõik, millele kujund nii-öelda toetub! y Kimp F(x) + C annab kokku sellise kujundi pinna aa bb x ANTUD JUHUL PIIRAVAD FUNKTSIOONIDE KIMPE SIRGED x=a ja x=b ja x-telg ja f(x) 0 · Niisiis on määratud integraal selline elukas: n...
VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta. 9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1. Kas on tegemist TABELIINTEGRAALIGA? 2. Kas on võimalik jõuda tabeliintegraalideni, kasutades ALGEBRALISI või TRIGONOMEETRILISI teisendusi? 3. Kas on võimalik lihtsustada integraali, kasutades LINEAARSUSE OMADUST? 4. ASENDUSVÕTE: a) üldiselt: f(x)dx = f((x)) ´(x)dx z =a(x)+b; b) alati: f(ax+b)dx z=ax+b. 5. OSITI INTEGREERIMINE: u dv = uv - v du. a) Pn(x) sin x, Pn(x) cos x, Pn(x) ex u(x) = Pn(x);...
n n b lim |f (k )xk | = lim |f (k )|xk = |f (x)|dx. 0 0 a k=1 k=1 Omadus 5. Kui vahetada m¨aa¨ratud integraalis rajad, muutub m¨ark in- tegraali ees vastupidiseks: a b f (x)dx = - f (x)dx. b a T~oestus. M¨a¨aratud integraali definitsioonis ei v~oi piirv¨a¨artus s~oltuda sel- lest, kuidas on antud l~oik osal~oikudeks jaotatud. Seega v~oime m~olema integ-...
u ( x ) + v( x ) = U ( x ) + V ( x ) = [U ( x ) + V ( x ) ] [u ( x ) + v( x )]dx = [U ( x ) + V ( x )] dx = U ( x ) + V ( x ) + C = [U ( x ) + C u ] + [V ( x ) + C v ] = =u ( x )dx + v( x )dx · Funktsiooni f(x)dx määramata integraal: f ( x)dx = f ( x)dx R korral TÕESTUS: .... 27. Ositi integreerimine* ja muutujavahetus* määramata integraalis . Ositi integreerimine määramata integraalis: Kui piirkonnas X funktsioonid u = u ( x ) ja v = v( x ) on diferentseeruvad ning on olemas integraal vdu , siis selles piirkonnas X on olemas ka integraal udv ja kehtib seos: udv = uv -vdu TÕESTUS: Korrutise diferentseerimise reegli põhjal: [u ( x )v( x ) ] = u ( x )v ( x ) + v( x )u ( x ) [u ( x )v( x )] dx = [u ( x )v ( x ) +v( x )u ( x )]dx = u ( x )v ( x )dx +v( x )u ( x )dx = u ( x )dv( x ) +v( x )du ( x )...
4) kui D ei ole regulaarne, siis tuleb ta jaotada regulaarseteks osadeks, arvutada integraalid vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele kahekordses integraalis Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J D x xv tähistab teisenduse : D jakobiaani: J = u...
Järelikult mingi µ = f ( ) korral ( a b ) on , s.t. b f (x )dx =f ()(b - a) a . 23. MUUTUVA ÜLEMISE RAJAGA INTEGRAAL (teoreem 5.3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga,...
Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja . Näitame, et funktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Tõesti, = [kasutame tuletise lineaarsuse omadust] = , st eksisteerib määramata integraal funktsioonist , ja [suvaliste konstantide lineaarkombinatsioon on suvaline konstant] = . Muutujate vahetus määramata integraalis x = (t)t T (T) = X D(t) -1 t = '(x) Tõestus. Kui funktsioon x = (t) (rangelt monotoonne), siis . Lause3 (muutujate vahetus määramata integraaliks). Kui funktsioon x = ( t ) on rangelt monotoonne hulgal T, kusjuures ( T ) = X ja ( t ) D ( t ), siis . Lause4 Lause 3 eeldustel peab paika algoritm, mis kannab diferentsiaali märgi alla viimise võtte nime. Tõestuseks piisab seosest muutuja t asendamist muutujaga x....
Avaldist kujul F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nim funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x)dx = F ( x) +C Kui f-il f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis f-il f(x) eksisteerib määramata integraal (hulgal X). Muutujate vahetus määramata integraalis : f(x)dx Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üks ühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) . Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du...
1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus...
Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis . Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne...
Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks...
Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine. Tuletise rakendused Lopitali valem Ligikaudne arvutamine Ritta arendamine Rolli ja lagrange teoteemid Funktsiooni uurimine Joone puutuja ja võrrand Numbriline arvutamine Kiirused ja kiirendused-füüsikalised rakendused Integraali arvutamine tabeli kaudu Mõne valemi tõestamine. Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis . Vaatleme määramata integraali f(x)dx . (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) . (5.3) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame...