SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt. Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt
( x; y )dy = F ( x) 1 ( x) ( x ; y ) Muutuja vahetus kolmekordses integraalis x = x(u; v; f ( x; y; z )dxdydz = F (u; v; ) J dudvd; y = y (u; v; ) Eeldus: need on ühesed, V z = z (u; v; ) xu x v x
a a a 2) konstandi saab tuua integraali ette, sellest järeldub et ka lahutamistehe sarnaselt liitmisega ekisteerib 3) kui f(x)>=0 [a;b] siis on ka integraal rajades a'st b'ni f(x)'ist >= 0'iga. Järeldus: kui f(x)<=g(x) lõigul [a,b], siis sama võrdus kehtib ka integraalide puhul. (tõestada geomeetrilise näite põhjal) b b 4) f ( x)dx f ( x) dx a a 5) kui vahetada rajad integraalis, siis tuleb miinus märk ette. Tõestada geom. näite põhjal b c b 6) f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx - c ei pea olema a ja b vahel a a c b 7) m(b - a ) f ( x) dx M (b - a ) , kus m on f(x) vähim väärtus [a;b] ja M suurim a b 8) Keskväärtuse omadus
Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14. Määratud integraal ja selle omadused 15. Määratud integraal ülemise raja funktsioonina. Newton-Leibnizi valem. Muutujate
Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas X, kui iga x X korral kehtib võrdus F '(x) = f(x). Avaldist kujul F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nim funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x)dx = F ( x) +C Kui f-il f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis f-il f(x) eksisteerib määramata integraal (hulgal X). Muutujate vahetus määramata integraalis: f(x)dx Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üks ühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) . Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du
lim max 0 =1(1 1 ( ) + 2 2 ( )) = 3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) *Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata
ekstreemumite mõisted, nende leidmine. Ekstreemumi leidumise tarvilikud ja piisavad tingimused. 26. Tinglikud kriitilised punktid. Lagrange’i kordajate meetod tinglike ekstreemumite leidmiseks 27. Gradient, tuletis antud antud suunas. 28. Kahekordse integraali mõiste ja geomeetriline tõlgendus - kõversilindri ruumala, tasandilise kujundi pindala. Kahekordse integraali omadused, arvutamine. 29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja
i =1 on osapiirkonna si mingi punkt. Võrduse parem pool on funktsiooni f(x,y) integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n ja osapiirkondade si suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga üle piirkonna D. 3. Muutujate vahetus kahekordses integraalis (koordinaatide teisendamise valem, funktsionaaldeterminant, ülemineku valem ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele). Valem koordinaatide teisendamiseks: f ( x, d )dxdy = F (u, v) I dudv . Selles D D' valemis determinant I on funktsioonide (u, v) ja (u, v) nn. x x
Lause2 Kui eksisteerivad määramata integraalid ja , siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal , kusjuures . Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja . Näitame, et funktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Tõesti, = [kasutame tuletise lineaarsuse omadust] = , st eksisteerib määramata integraal funktsioonist , ja [suvaliste konstantide lineaarkombinatsioon on suvaline konstant] = . Muutujate vahetus määramata integraalis x = (t)t T (T) = X D(t) -1 t = '(x) Tõestus. Kui funktsioon x = (t) (rangelt monotoonne), siis . Lause3 (muutujate vahetus määramata integraaliks). Kui funktsioon x = ( t ) on rangelt monotoonne hulgal T, kusjuures ( T ) = X ja ( t ) D ( t ), siis . Lause4 Lause 3 eeldustel peab paika algoritm, mis kannab diferentsiaali märgi alla viimise võtte nime. Tõestuseks piisab seosest muutuja t asendamist muutujaga x.
3).(Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine.) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, Määratud integraali rakendused. kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null. Hulga D c R Lebesgue mõõt on null siis, kui iga ε>0 korral saame leida hulka D katva vahemike süsteemi, mille pikkuste summa on väiksem kui ε. See peab näiteks paika lõpliku arvu punktide korral, st kui D= {xk є R| k=1,2,…..n} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/n), sauti kui punkte on lõpmata palju, aga me saame nad nummerdada(loenduv hulk) , st D={ xk є R|kєN} (xk sisaldava vahemiku pikkus < ε/2 astmes k. Leidub ka muidu hulki, mille Lebesgue mõõt on null. Seega vastavalt Lebesgue’i teoreemile on integreeruv tõkestatud funktsioon, millel on lõplik või loenguv hulk ...
ülesannet. Esimene ülesanne oli kergem ning teine läks juba raskemaks. 1 ülesanne oli kõige lihtsam, mis oli võetud alustuseks, et teemast üldse aru saada. Ning 4 oli kõige raskem, mis võttis rohkem aega. Ülesanded tehti kirjalikult ning räägiti suuliselt juurde, kuidas seda lahendada tuleb. Esimeses ülesandes tuli osata integreerida ehk näidati, kuidas arvud seadma peab. Viimane ülesanne põhines valemis. Videos ei olnud toodud valemeid eraldi kõrvale, mida läheb integraalis vaja. Selle jaoks on väga hea õppida õpikust, kus on samamoodi toodud näited koos lahendustega ja seal on ka valemid olemas. Video ei meeldinud mulle sellepärast, et ei olnud eraldi valemeid toodud ning kogu teema toodi välja väga üksluiselt. Video meeldis mulle sellepärast, et video oli lühike ja sai aru, kuidas teema käib. Raskemate ülesannetega jääb hätta, kuid lihtsamaid on hea selle video abiga ära teha. Ei soovitaks seda videot neile, kes soovivad
+ ja/või =c (c ). 2. Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator. Operaatorit L:V W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: 1° L(f+g) = L(f) + l(g) kui f,g (aditiivsus) 2° L(cf) = cL(f) kui f V ja c (homogeensus) Määramata integraal on lineaarne operaator, st +g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx 3. Ositi integreerimine määramata integraalis. Valemi tuletamine. *Kui u(x) ja v(x) on differentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata integraal , siis eksisteerib kindlasti ka määramata integraal . Tõestus: Olgu u(x) ja v(x) differentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna . Eeldades, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast poolest määramaa integraal. Et siis
Et on pidev funktsioon, siis omandab ta iga väärtuse m ja M vahelt. Järelikult mingi µ = f ( ) korral ( a b ) on , s.t. b f (x )dx =f ()(b - a) a . 23. MUUTUVA ÜLEMISE RAJAGA INTEGRAAL (teoreem 5.3) Olgu määratud integraalis alumine raja fikseeritud ja ülemine raja muutuv. Siis muutub ka integraali väärtus, s.t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga,
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus
1 + tan 2 x 1 + t 2 ja 1 1 cos2 x = = . (6) 1 + tan x 1 + t 2 2 3. Kui ratsionaalavaldis on kujul (või hõlpsasti teisendatav kujule) R (sin x ) cos x , siis integraalis R(sin x ) cos xdx (7) kasutatakse muutuja vahetust t = sin x. Sellisel juhul dt = cos xdx ja integraal (7) teiseneb ratsionaalavaldise integraaliks R(sin x ) cos xdx = R( t )dt. 4. Kui ratsionaalavaldis on kujul R (cos x ) sin x , siis integraali R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x
Järelikult integraal üle piirkonna D väljendab ruumalade vahet. Tasandilise piirkonna pindala arvutamine. Koostades funktsiooni f(x,y)1 integraalsumma üle piirkonna D, saame summa, mis piirkonna iga jaotusviisi puhul võrdub selle pindalaga S: Minnes võrduse paremal poolel piirile, saame: Kui piirkond D on regulaarne, siis pindala avaldub kaksikintegraaliga Sulgudes oleva integraali arvutamisel leiame, et 4. Muutuja vahetus kahekordses integraalis: muutuja vahetuse jakobiaan ning valem (21.4) (valemi tuletamist pole vaja); kahekordne integraal polaarkoordinaatides (muutujavahetus, jakobiaan ning valem(22.1)). Kahekordses integraalis minnakse muutujatelt x ja y muutujatele u ja v seoste (22.1.) abil. Eeldame, et kahe muutuja funktsioonid x=(u,v) ja y=(u,v) on vaadeldavas uv-tasandi piirkonnas ühesed, pidevad ning omavad pidevaid osatuletisi mõlema muutuja järgi. Lisaks eeldame, et võrrandispsteem (22.1
Contents 1.Kordse integraali mõiste. Kahekordne intgeraal. Kahekordse integraali omadused...............1 2.Regulaarsed ja normaalsed piirkonnad. Kaksikintegraal. Kahekordse integraali arvutamine kaksikintegraali abi..................................................................................................................... 1 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid.....................................2 4.Kolmekordne integraal ja selle arvutamine rist-, silinder- ja sfäärkoordinaatides..................3 5.Teist liiki joonintegraal ja Greeni valem.................................................................................4 6.Diferentsiaalvõrrandi mõiste...................................................................................................5 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne......................
n n b lim |f (k )xk | = lim |f (k )|xk = |f (x)|dx. 0 0 a k=1 k=1 Omadus 5. Kui vahetada m¨aa¨ratud integraalis rajad, muutub m¨ark in- tegraali ees vastupidiseks: a b f (x)dx = - f (x)dx. b a T~oestus. M¨a¨aratud integraali definitsioonis ei v~oi piirv¨a¨artus s~oltuda sel- lest, kuidas on antud l~oik osal~oikudeks jaotatud. Seega v~oime m~olema integ-
See on avaldis F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C on suvaline konstant . 2) Aga avaldis F(x) + C tähistab ju tohutut funktsioonide parve, mille kõikide tuletised võtavad ühesuguse kuju f(x). 3) Geomeetriliselt tähendab F(x) + C kimp lõpmata arvu funktsioonidest, et on parv lõpmatu hulk jooni, mis asuvad üksteise alla y-telje suhtes, mis omakorda annavadki ju kahemõõtmelise kujundi pinna!!!! Määratud integraalis on vaid ära piiratud lõik, millele kujund nii-öelda toetub! y Kimp F(x) + C annab kokku sellise kujundi pinna aa bb x ANTUD JUHUL PIIRAVAD FUNKTSIOONIDE KIMPE SIRGED x=a ja x=b ja x-telg ja f(x) 0 · Niisiis on määratud integraal selline elukas: n
F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi integreerimine u=u(x), v=v(x), xX. d(uv)=(uv)'dx=u'vdx+uv'dx. d(uv)=vdu+udv. L. Kui funktsioonid u=u(x) ja v=v(x) ja u(x)*v(x) on diferentseeruvad hulgal xX, siis peab paika väide N. N. 2.5 Polünoomi lahutamine teguriteks Olgu .Kõik arvulised kordajad. Olgu polünoomi kompleksarvuline nullkoht. Seega Pn()=0. Ja kui see on nii, siis kehtib ka võrdus .Summa kompleks
puutuja igas punktis kulgeb ülapool (allpool) seda joont. Kui y teine tuletis on suurem kui 0 siis on nõgus aka HAPPY face. Kui y teine tuletis on väiksem kui 0 siis on kumer aka SAD face. 25) Funktsiooni globaalsed ekstreemumid. 26) Newtoni meetod http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.htm osa 2.2 27) Algfunktsioon ja määramata integraal. 28) Integreerimise põhivalemid. 29) Tehetega seotud integreerimisreeglid. 30) Muutujate vahetus määramata integraalis. Muutujate vahetuse valem: For more information go to porns lecture nr 11 31) Ositi integreerimine. For more information go to porns lecture nr 11 32) Määratud integraal. 33) Tasandilise kujundi pindala. 34) Pöördkeha ruumala. 35) Määratud integraali ligikaudne arvutamine.
Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu integraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Integraaltunnus: Olgu positiivsete liikmetega rida, kusjuures Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida .
1 1 arvutada valemitest xc= mD x (x , y )dxdy ja yc= mD y ( x , y ) dxdy D D Muutuja vahetus Kui x=x(u,v) ja y=y(u,v), siis kahekordses integraalis f ( x , y ) dxdy= f ( x (u , v ) , y ( u , v ) )J ( u , v )dudv , kus J(u,v) on teisenduse D D' jakobiaan J(u,v)= |xy '' uu xy'' vv| !=0 Üleminek Kui x=r*cos, y=r*sin ja teisenduse jakobiaan J(r,)=r, siis polaarkoordinaatidele r 2 () f ( x , y ) dxdy= d f ( rcos , rsin ) rdr
∫ f ( x ) dx (c ∈R ). a Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse пn igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud 5.Muutujavahetus.Muutujate vahetus määramata integraalis, valemi tuletamine. ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida xϵ[xi-1;xi ] xϵ[xi-1;xi ] *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = φ (x) on diferentseeruv, siis kehtib muutujate Darboux’ ülemsumma
¨ Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 4 / 25 Integraalarvutus Ma¨ aramata ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aramata ¨ integraalide tabel. Muutujate vahetus ma¨ aramata ¨ integraalis. Ositi integreerimine ma¨ aramata ¨ integraalis. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahutamine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Trigonomeetriliste ja huperboolsete ¨ funktsioonide integreerimine. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. Ma¨ aratud ¨ integraal ja selle omadused. Ma¨ aratud
-x x n +1 x 1. x n dx = + C , n -1 n +1 (xn) dx = n * x(n-1) dx xn+c= n * x(n-1) dx : n (xn+c)/n = x(n-1) dx Tähistame a=n-1 ja n=a+1 ja saame xa dx = xa+1/a+1 + c Integraali arvutamine tabeli kaudu- INTEGRAALI TABEL Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis- määramata integraali korral- keerukama avaldise korral võetakse integreerimismuutujaks uus muutuja (tähistame näiteks t, z u), mille sõltuvus x-st valitakse nii, et integraal teiseneks põhivalemite abil võetavaks. Peale integreeritava funktsiooni tuleb avaldada uue muutuja kaudu ka integreerimismuutuja x = ( t ) dx = ( t ) dt diferentsiaal dx
Sealjuures 1 ja 2 on lõigul a, b pidevad funktsioonid. Siis integraali b 2 x b 2 x ID dx f x, y dy f x, y dy dx a 1 x a 1 x nimetatakse funktsiooni f kaksikintegraaliks. See võrdus ütleb, et kaksikintegraali arvutamine toimub kahe määratud integraali arvutamise teel. Sisemises integraalis 2 x f x, y dy x 1 x vaadeldakse muutujat x konstandina ja arvutataks see integraal kui x:i funktsioon x. Seejärel arvutatakse juba integraal b ID x dx. a Saadud arv ongi kaksikintegraali väärtuseks. Näide 19. Arvutada kaksikintegraal
Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab võrduma integraalialuse funktsiooniga. Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine. Tuletise rakendused Lopitali valem Ligikaudne arvutamine Ritta arendamine Rolli ja lagrange teoteemid Funktsiooni uurimine Joone puutuja ja võrrand Numbriline arvutamine Kiirused ja kiirendused-füüsikalised rakendused Integraali arvutamine tabeli kaudu Mõne valemi tõestamine. Muutujavahetus määratud ja määramata integraalis. Vaatleme määramata integraali f(x)dx . (5.2) Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) . (5.3) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame
Kui f c C(D), kus D={(x,y)|(a <= x <= b) (c <= y <= b)}, siis f(P)dS = badxcdf(x,y)dy = cddy = abf(x,y)dx. x=x(t) Kui f c I(D), kus D={(x,y)|(a<=x<=b) ((x) <= y <= (x))}, siis f(P)dS = abdx(x) (x)f(x,y)dy. y=y(t) z=z(t) Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. t c [a,b], siis Xdx + Ydy + Zdz = ab(X(x(t), y(t), z(t))x(t) + Y(x(t),y(t),z(t))y(y) + Z(x(t),y(t),z(t))z(t))dt. Teisendust (u,v) (x,y) nimetatakse regulaarseks, kui Greeni valem: Kui funktsioonid X ja Y ning nende osatuletised Xy ja Yx on pidevad xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon
Järgnevalt leiame konstandi C väärtuse. Selleks paneme eelnevas avaldises muutuja x võrduma a-ga. Saame võrduse mille vasak pool võrdum nulliga määratud integraali omaduse 1 põhjal. Seega, , millest tuletame valemi konstandi C jaoks. Nüüd saame kirjutada võrduse Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi valemini. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraalis arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. a. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraalis arvutamisel Vaatleme määratud integraali Teeme integraali all asenduse, valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-ist järgmiselt . Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Saame Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena .
d (y) f (x, y )dxdy = dy f (x, y )dx . D c (y) 13 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 4. Muutujavahetus kahekordses integraalis Def. Teisendust x = x(u , v ) , y = y (u , v ) (u, v ) nimetatakse regulaarseks, kui 1. see teisendus on üks-ühene; 2. piirkonnas eksisteerivad pidevad osatuletised xu , xv , y u , y v ; xu xv 3. jakobiaan I (u , v ) = 0 piirkonnas . yu yv Regulaarne teisendus teisendab kinnise piirkonna kinniseks piirkonnaks, sisepunkti sisepunktiks ning rajapunkti rajapunktiks. Väide
integraalsumma üle piirkonna D. Kahekordse integraali olemasolu teoreemist järeldub, et kui n -> lõpmatus ja osapiirkondade ∆sj suurim läbimõõt läheneb nullile, siis on sellel summal olemas piirväärtus, mis võrdub funktsiooni f(x,y) kahekordse integraaliga ülre piirkonna D. Minnes võrduses piirile, saame ehk . Kaksikintegraali avaldise väljakirjutamisel saame lõpuks . 3.Muutujavahetus kordses integraalis. Jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x ϵ Rn, nimetatakse regulaarseks , kui Ta on üksühene osatuletised xk(t), k=1,…..,n on pidevad piirkonnas Ω teiseduse jakobiaan n Kui funktsioon f on pidev piirkonnas Ω R ja teisendus t →x ϵ Ω on regulaarne n piirkonnas Ω’ R ning teisendub piirknna Ω’ piirkonnaks Ω, siis
b) y´´< 0 graafik on kumer, c) üleminekupunktid kumeruselt nõgususele või vastupidi KÄÄNUPUNKTID. VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta. 9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1. Kas on tegemist TABELIINTEGRAALIGA? 2. Kas on võimalik jõuda tabeliintegraalideni, kasutades ALGEBRALISI või TRIGONOMEETRILISI teisendusi? 3. Kas on võimalik lihtsustada integraali, kasutades LINEAARSUSE OMADUST? 4. ASENDUSVÕTE: a) üldiselt: f(x)dx = f((x)) ´(x)dx z =a(x)+b; b) alati: f(ax+b)dx z=ax+b. 5. OSITI INTEGREERIMINE: u dv = uv - v du. a) Pn(x) sin x, Pn(x) cos x, Pn(x) ex u(x) = Pn(x);
algul võtta kasutusele teine muutuja, siis asendus, tagurpidi tuletis + C & siis teha tagasiasendus (a) (b) õige tuletis mathcadiga õige mathcadiga 12. Kirjutage üles Newton-Leibnizi valem! Esitage 2 näidet selle valemi kasutuse kohta! Näide: , F(x) on sel juhul Valemist saan: Kontroll mathcadiga: 13. Mis on muutujavahetuse mõte määramata integraalis? Esitage 2 näidet! Muutujavahetuse mõte määramata integraalis on lihtsustada integreerimist. Näide: v.t. näiteid punktis 11. 14. Millisel juhul kasutatakse enamasti ositi integreerimist? Esitage käsitsi arvutuse näide! Ositi integreerimist kasutatakse peamisel niisuguste avaldiste integreerimisel, milles on kahe avaldise korrutis. Näide: Leida antud määramata integraal ositi integreerimise võttega. Kontrollida tulemust Mathcadiga. NB
41. M¨aa¨ramata integraali omadusi 42. Integreerimine muutuja vahetusega 43. Ositi integreerimine 44. Osamurrud ja nende integreerimine 45. Ratsionaalse murru lahutamine osamurdudeks 46. M~onede trigonomeetriliste funktsioonide klasside integreerimine 47. Irratsionaalavaldiste integreerimine 48. M¨aa¨ratud integraali m~oiste 49. M¨aa¨ratud integraali omadused 50. M¨aa¨ratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem 51. Muutuja vahetus m¨aa¨ratud integraalis 52. Ositi integreerimine (m¨aa¨ratud integraali korral) 53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H
abil, näide Olgu xyz-ruumis R3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond V. Olgu piirkonnas V defineeritud pidev fn. u=f(x,y,z).3kordseks int-ks piirkonnas V nim piirväärtust kui see eksisteerib. Kui 3 muutujaga fn-l on olemas 3xint,nim f-ni integreeruvaks. Kolmikintegraal üle pinna V: 9. Kolmekordse integraali arvutamine silinder- ja sfäärikoordinaatides, näiteid Kui integreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis üle minna silinderkoord. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z; φЄ[α;β]. V=ʃʃʃf(ρcosφ, ρsinφ, z)ρdρdφdz Kui integeerimispiirkond on sfäär või selle osa, aitab üleminek sfäärikoordinaatidele x=rcosφsinθ, y=rsinφsinθ, z=rcosθ V=ʃʃʃf(rcosφsinθ, rsinφsinθ, rcosθ)r2sinθdrdφdθ 10. Kolmekordse integraali rakendused: ruumilise kujundi ruumala, mass, masskese, inertsmomendid, näide 1)Keha ruumala: Kui f(x,y,z)=1, siis kolmekordne integraal üle piirkonna V
Võrrandi y' = f(x, y) üldlahendiks piirkonnas D nimetatakse 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 𝜕𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) 6. Muutujavahetus kordses integraalis. Mida iseloomustab jakobiaan. Polaarkoordinaadid. Teisendust t →x statsionaarne punkt ,s.t. =0, = 0. Siis punktis 𝑃0 (𝑥0 , 𝑦0 ): 1) On funktsioonil f(x,y) lokaalne suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y = y(x, C), mis rahuldab tingimust: iga punkti (x0, y0) ϵ D korral
summaga. Kui a on konstant, siis af(x)dx = af(x)dx, st konstantse teguri saab tuua integraali märgi ette. [f(x)-g(x)]dx = f(x)dx - g(x)dx, st kahe funktsiooni vahe määramata integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega. 82. Ositi integreerimise valem Viimasest võrdusest saame ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. 83.Muutuja vahetus määramata integraalis. 84.Millist funktsiooni nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks? Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 85.Määratud integraali mõiste 86.Millist funktsiooni nimetatakse integreeruvaks antud lõigul?
u ( x ) + v( x ) = U ( x ) + V ( x ) = [U ( x ) + V ( x ) ] [u ( x ) + v( x )]dx = [U ( x ) + V ( x )] dx = U ( x ) + V ( x ) + C = [U ( x ) + C u ] + [V ( x ) + C v ] = =u ( x )dx + v( x )dx · Funktsiooni f(x)dx määramata integraal: f ( x)dx = f ( x)dx R korral TÕESTUS: .... 27. Ositi integreerimine* ja muutujavahetus* määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis: Kui piirkonnas X funktsioonid u = u ( x ) ja v = v( x ) on diferentseeruvad ning on olemas integraal vdu , siis selles piirkonnas X on olemas ka integraal udv ja kehtib seos: udv = uv -vdu TÕESTUS: Korrutise diferentseerimise reegli põhjal: [u ( x )v( x ) ] = u ( x )v ( x ) + v( x )u ( x ) [u ( x )v( x )] dx = [u ( x )v ( x ) +v( x )u ( x )]dx = u ( x )v ( x )dx +v( x )u ( x )dx = u ( x )dv( x ) +v( x )du ( x )
integreerimisjärjelord määratakse vastavalt integreerimispiirkonna kujule nii, et arvutisi oleks võimalikult vähe ja nad oleksid võimalikult lihtsad. 4) kui D ei ole regulaarne, siis tuleb ta jaotada regulaarseteks osadeks, arvutada integraalid vastavalt eeltoodud valemitele ja kasutada lõpliku vastuse saamiseks aditiivsuse omadust ehk siis tulemused kokku liita. Üleminek ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele kahekordses integraalis Teoreem: kui funktsioon w=f(x,y) on pidev kinnises piirkonnas D(x,y) ja (u , v) on piirkond, mille võrranditega x=x(u,v), y=y(u,v) määratud regulaarne teisendus kujutab piirkonnaks D, siis kehtib kahekordsete integraalide jaoks võrdus: f ( x, y)dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J dudv , kus J D x xv tähistab teisenduse : D jakobiaani: J = u
1. Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine. Muutujavahetus päratus integraalis (𝒌 = 𝟐𝒋 ). Integraaltunnus: Olgu 𝒔 = ∑∞ 𝒊=𝟏 𝒂𝒊 positiivsete liikmetega rida, kusjuures 𝒂𝟏 ≥
2 Normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersioon on DX =σ 15. Tulenevalt tihedusfunktsiooni omadustest visandada tema graafik. Tihedusfunktsiooni graafik on sümmeetriline sirge x=μ suhtes, moodiks on punkt x=μ ja asumptoodiks on x-telg. Nimetatakse ka Gaussi kõveraks. 16. Üleminek standardiseeritud normaaljaotusele ja mida see sisuliselt tähendab. Üleminekul standardiseeritud normaaljaotusele teeme integraalis muutujavahetuse x−μ z= σ , mis sisuliselt tähendab koordinaattelgede alguspunkti nihutamist juhusliku suuruse keskväärtusele vastavasse punkti μ ja jagamine σ-ga muudab skaalat võttes kasutatavaks ühikuks standardhälbe. 2 x z −z 1 P( X < x )=F (x)= ∫ φ ( x ) dx = ∫ e 2 dz=Φ ( z)
Rahuldagu piirkond V järgmisi tingimusi 1) V on alt piiratud pinnaga z=1(x,y) ja ülevalt pinnaga z=2(x,y) 2) V projektsioon D xy-tasandile on regulaarne y-telje suhtes ning leiduvad ab ja funktsioonid 1(x)2(x), mis määravad D võrratustega axb ja 1(x)y2(x). Kui V rahuldab tingimusi 1) ja 2), siis b 2 ( x ) 2 ( x , y ) f ( P)dV = dx dy f ( x, y, z )dz V a 1 ( x) 1 ( x, y ) 21. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis. Silinder- ja sfäärikoordinaadid Olgu antud f ( x, y, z )dxdydz V ning u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) ja w=w(x,y,z). Igale punktile (x,y,z)V seatakse vastavusse arvupaar (u,v,w). Kui (x,y,z) muutub läbi V, siis kujutispunkt (u,v,w) kujundab teatud ruumilise piirkonna V'. Eeldame, et a) punkt (x,y,z)V on üheselt taastatav punkti (u,v,w)V' põhjal
0 2 sin 2 cos Parempoolne integraal jaguneb kaheks integraaliks järgmiselt: ad ae2 cos 2 d D ,milles esimene integraal on tabeli integraal, teises integraalis teeme 0 cos 0 1 e 2 sin 2 asenduse e sin sin , siis e cos d sin d ja 1 e2 sin 2 cos ad aed Seega D 0 cos 0 cos ja seda integreerides D a ln tan 45 2 a ln tan 45 2 Selleks, et projektsioon oleks võrdne, peab paralleel projektsioonil asuma ekvaatorist kaugusel D
Seega, a 0=F (a)+C , millest tuletame valemi C=-F (a) konstandi C jaoks. Nüüd saame kirjutada võrduse x f ( t ) dt=F ( x )-F (a) Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton- a Leibnitzi valemini. 41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraalis arvutamisel Vaatleme määratud integraali b f ( x ) dx Teeme integraali all asenduse, valides uueks muutujaks u, mis sõltub x-ist järgmiselt a u=( x) . Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame pöördfunktsiooni -ga. Saame dx x= (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena = ' (u) .
Määramata integraali omadused 1) (f( x) dx)'= f (x) 2) dF (x ) = F(x ) +c 3) (f (x) ±g(x )) dx= f(x ) dx± g(x) dx 4) a f(x ) = a f(x) dx Ositi integreerimine Ositi integreerimise valem Kui u = u(x) ja v = v(x) on diferentseeruvad funktsioonid ning leidub, siis leidub ka , kusjuures udv= uv-vdu Muutuja vahetus Muutuja vahetus määramata integraalis Kui x= (t) , siis f(x ) dx= f((t ))(t ) dt 2 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. Ratsionaalfunktsiooni integreerimine Seega on antud lihtmurru lahutus osamurdudeks: (X2+2)/(x+1) 3*(x-2)= (-2/9)/(x+1)+(1/3)/(x+1)2+-1/(x+1)3+(2/9)/(x-2) 23 Ratsionaalfunktsiooni integreerimisel tuleb:
u (x ) + v(x ) = U (x ) + V (x ) = [U (x ) + V (x )] [u (x ) + v(x )]dx = [U (x ) + V (x )] dx = U (x ) + V (x ) + C = [U (x ) + C ] + [V (x ) + C ] = u v = u ( x )dx + v( x )dx Järeldused: [u ( x ) ± v( x )]dx = u ( x )dx ± v(x )dx , u (x )dx = u ( x )dx Muutujate vahetus määramata integraalis Teoreem: Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F piirkonnas X ja x = (t ) on diferentseeruv piirkonnas T, kusjuures (t ) X t T , siis kehtib võrdus f (x )dx = f [ (t )] (t )dt . Tõestus: Liitfunktsiooni diferentseerimise reegli põhjal (F ) = F ( )
12.7 Trigonomeetriliste funktsioonide integ- reerimine Trigonomeetriliste avaldiste korral saab kasutada tuntud teisendusi ja va- lemeid, kuid teisenduste läbiviimine võib ise osutuda üpris keeruliseks et- tevõtmiseks. Lisaks on vaja teada või üles otsida kõiki neid ,,tuhandeid" teisendusvalemeid. Sageli on võimalik ka teisiti. Trigonomeetrilisi murde ja lihtavaldisi saab viia ratsionaalseteks funktsioonideks universaalse muu- tujavahetusega. Teeme integraalis f (x) dx muutuja vahetuse x t = tan , kui x (-, ). (12.12) 2 Sel juhul 2dt x = 2 arctan(t), dx = , (12.13) 1 + t2 ja 2t 1 - t2
1 2 (arccotx) dx N¨ aide. Arvutame -1 1+x2 . Teeme asenduse u = arccotx. Siis dx du = - . 1 + x2 127 Taolise asenduse puhul lihtsustub integraalialune avaldis kujule -u2 du. Arvu- tame rajad uues integraalis: arccot(-1) = 3 4 , arccot 1 = 4 . Seega 1 4 [ ( )3 ] (arccotx)2 dx u3 4 1 ( )3 3 13 3 2 = - u du = - 2 = - - = . -1 1+x 3 4
annaabi.ee 
