Hulktahk Sirge ja tasand Hulktahu lõige Pöördkeha lõige
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali. 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0
PÖÖRDKEHAD Silinder Koonus V = Sp*h = r2*h Sk = rm St = 2Sp+Sk = 2r(r+h) Sp = r2 Sp = r2 St = Sk+Sp = rm + r2 Sk = c*h = 2r*h Kera S = 4r2
2 1 3 1 63 V r 2 H 63 3 tan 32 13514 cm 3 r . Vastus. Koonuse külgpindala on ligikaudu 2384 cm² ja ruumala 13514 cm³. 6) Võrdhaarne kolmnurk haaraga 8 cm ja alusnurgaga 30o pöörleb ümber ühe haara. Leidke tekkinud pöördkeha ruumala ja pindala. Lahendus. C 8 A´ Kolmnurga pöörlemisel tekib pöördkeha, mis koosneb kahest koonusest, milledel on ühine põhi. Ühe koonuse ristlõige on võrdhaarne 8 8 kolmnurk ABA´ ja teisel AA´C. Leiame pöörleva kolmnurga aluse 2x. AO
37) paremal poolel seisab funktsiooni S integraalsumma l~oigul [a, b]. J¨arelikult saame pikima osal~oigu pikkuse n l¨ahenemisel nullile j¨argmise t¨apse valemi keha ruumala jaoks ristl~oigete pindalade j¨argi: b V = S(x) dx . (5.38) a 135 Erijuht: p¨oo ¨rdkeha ruumala. Olgu antud funktsioon f l~oigul [a, b]. Eeldame, et f (x) on pidev ja f (x) 0. Vaatleme joontega y = f (x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud k~overtrapetsit K (joonis 5.7 vasakul). Paneme kujundi K p¨o¨orlema u ¨mber x-telje. Tulemusena saame p¨oo¨rdkeha V (joonis 5.7 paremal). Keha V l~ oikamisel x-teljega ristuva tasandiga tekkiv l~oige on ring, mille raadius v~ordub f (x)-ga (sest kujundi K k~orgus punktis x on f (x)). Seega on ristl~oike pindala
y f (x) B y= f (k ) x=b A x=a a xk-1 xk b x Joonis 5.19. P¨oo¨rdkeha l¨ahendamine silindrite ruumalade summaga K~oikide niisuguste silindrite ruumalade summa n f 2 (k )xk k=1 on funktsiooni f 2 (x) integraalsumma. Selle summa piirv¨a¨artus piirprotsessis b max xk 0 on v~ordne integraaliga f 2 (x)dx. Seega on joone y =
annaabi.ee 
