Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
Teoreemid Kiirteteoreem: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega. Kiirteteoreemi järeldus: Kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis tekivad võrdeliste külgedega kolmnurgad. k sarnasustegur Kaks hulknurka on teineteisega sarnased, kui nende hulknurkade vastavad nurgad on võrdsed ja küljed on võrdelised. Teoreem: Kahe sarnase hulga ümbermõõtude suhe võrdub vastavate külgede suhtega ehk sarnasusteguriga. P / P 1= k Teoreem: Kahe sarnase hulknurga pindalade suhe võrdub nende hulknurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. Kitsam variant: Kahe sarnase kolmnurga pindalade suhe võrdub nende kolmnurkade vastavate külgede suhte ruuduga ehk sarnasusteguri ruuduga. KNK (kolmnurkade sarnasuse tunnus kahe külje ja nendevahelise nurga järgi): Kui ühe kolmnurga kaks k...
Võrdhaarne trapets Kui trapetsi haarad on võrdsed, siis nimetatakse trapetsit võrdhaarseks. Võrdhaarse trapetsi teoreemid: · Kui trapets on võrdhaarne, siis aluste keskristsirge läbib diagonaalide lõikepunkti. · Kui trapets on võrdhaarne, siis aluste keskristsirge jaotab trapetsi kaheks võrdseks täisnurkseks trapetsiks. · Kui trapets on võrdhaarne, siis trapetsi alused on paralleelsed. · Kui trapets on võrdhaarne, siis trapetsi diagonaalid on võrdsed. · Kui trapets on võrdhaarne, siis tema alusta keskristsirge on sümmeetriateljeks.
Phytagorase teoreem.
a2+b2=c2
Siinus.
sin =a/c sin =b/c
Teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe.
0
TEOREEMID 1. Kahega jaguvuse tunnus - Arv jagub 2-ga siis, kui arvu üheliste number on paarisnumber, vastasel juhul mitte 2. Kolmega jaguvuse tunnus - Arv jagub 3-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 3-ga, vastasel juhul mitte 3. Viiega jaguvuse tunnus - Arv jagub 5-ga siis, kui arvu üheliste number lõppeb 0 või 5-ga, vastasel juhul mitte 4. Üheksaga jaguvuse tunnus - Arv jagub 9-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 9-ga, vastasel juhul mitte 5. Kümnega jaguvuse tunnus - Arv jagub 10-ga siis, kui arvu üheliste numbes lõppeb 0-ga, vastasel juhul mitte 6. Tippnurkade omadus - Tippnurgad on võrdsed 7. Kõrvunurkade omadus - Kõrvunurgad on kõrvuti nind need on võrdsed 8. Võrdhaarse kolmnurga alusnurkade omadus - Alusnurgad on võrdsed 9. Võrdhaarse kolmnurga kõrguse omadus - Kõrgus poolitab aluse 10. ...
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. ...
Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks. Kokkulepped sulgude kohta: 1. Tehete prioriteet kõrgemast madalamani on , &, V, ->, <->. 2. Vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse. tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsu...
Kolmnurk: S = a x h : 2 (pindala = alus x kõrgus : 2) P=a+b+c Trapets: S = (a + b) : 2 x h (pindala = alus1; + alus2 : 2 x kõrgus) P=a+b+c+d Rööpkülik: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Romb: S = a x h (pindala = alus x kõrgus) P = 2(a + b) Ring: C = 2r ( ringi pikkus = 2 x 3,14 x raadius) S = r² ( pindala = 3, 14 x raadius ruudus) Kera: S = 4 r² V = 4 : 3 r³ Silinder: Sp = r² Sk = rm St = 2Sp + Sk V = 1/3 r²h Koonus: Sp = r² Sk = rm St = Sp + Sk V = 1/3 r²h Kuup: S = 6 x a² V = a³ Risttahukas: S = 2(ab + ac + bc) V = abc Pythagorase teoreem: a² + b² = c² c=c² (täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusi (c) ruut võrdub kaatetite (a ja b) ruutude summaga.) Eukleidese teoreem: a² = f x c (kaateti a ruut võrdub tema projektsiooni (f) ja hüpotenuusi korrutisega) b² = g x c (kaateti b ruut võrdub tema projektsiooni (g) ja hüpotenuusi korrutisega) Teoreem kõrgusest: h² = h x g (kõrgus võrdub kaatetite projektsioonide korruti...
MATANAAL 2.TEOORIA 22. INTEGRAALI KESKVÄÄRTUSTEOREEM Omadus 5 Kui funktsioon f ( x) on lõigul [ a , b] pidev, siis leidub sellel lõigul niisugune punkt , et kehtib võrdus b f (x )dx = a )f ( (b - ) a . (5) TÕESTUS f ( x) Vaatleme juhtu a < b . Kui m ja M on vastavalt funktsiooni vähimaks ja suurimaks väärtuseks löigul [ a , b] , siis valemi (4) kohaselt 1 b m f (x )dx M ...
ROMB Romb on nelinurkne tasapinnaline kujund, mille kõik küljed on võrdsed. Rombi teoreemid: · Kui nelinurk on romb, siis diagonaal jaotab rombi kaheks võrdseks võrdhaarseks kolmnurgaks. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid jaotavad rombi neljaks võrdseks täisnurkseks kolmnurgaks. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaal poolitab vastasnurgad. · Kui nelinurk on romb, siis saab tema pindala arvutada diagonaalide kaudu. · Kui nelinurk on romb, siis tema diagonaalid on risti.
N st ka antud juhul p¨aratu integraal hajub. dx Seega p¨aratu integraal koondub, kui > 1 ja hajub, kui 1. a x Paljudel juhtudel on vaja v¨alja selgitada, kas p¨aratu integraal koonub v~oi hajub. Integraali tegelik v¨aa¨rtus seejuures ei olegi oluline. Koonduvuse v~oi hajuvuse u¨le otsustamisel on abiks j¨argmised teoreemid. S~onastame need 12 l~opmatu u ¨lemise rajaga p¨aratu integraali korral, aga kehtima j¨a¨avad need ka l~opmatu alumise rajaga ja m~olema l~opmatu rajaga p¨aratu integraali puhul. Teoreem 3. Kui pooll~oigul [a; ) m¨a¨aratud ja pidevad funktioonid f (x) ja (x) rahuldavad tingimust 0 f (x) (x) ja p¨aratu integraal
MUUTUJA VAHETUS MÄÄRAMATA INTEGRAALIS Meil on funktsioon y = f(t). See tähendab, et suurus t on suuruse igrek funktsioon, y sõltub suurusest t. ÄRME UNUSTA, ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)]. Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja aval...
Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile tõmmatud kõrguse ruut võrdub kaatetite projektsioonide korrutisega..h*=fg EUKLEIDES:täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.... a*=fc,b*=gc.PYTHAGOROS:täisnurksekolmn. kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga..a*+b*=c* Täisnurkses võrdhaarses kolmnurgas on hüpotenuus 2 korda pikem kaatetist..c=2a
MÄÄRATUD INTEGRAAL, SELLE RAKENDUSED 1.1 Määratud integraali rakendused 1.2 SISSEJUHATUS MÄÄRATUD INTEGRAALI a) Integraalne alam ja ülemsumma · On antud funktsioon y= f(x), mis on PIDEV lõigul [a;b] (argumendi väärtused) · Sellel lõigul eksisteerib kaks olulist väärtust: funktsiooni suurim väärtus ja funktsiooni vähim väärtus. · Tähistame funktsiooni f(x) suurima väärtuse tähega M ja väikseima väärtuse tähega m · Funktsiooni väärtusi näitab graafiliselt y-telg (alati!) N2 B A xn=b · Nüüd jaotame selle lõigu [a, b] mitmeteks osadeks, alamlõikudeks... kuna pole lõplik otsus, mitmeks, siis ütleme, et jaotame selle lõigu n osaks. ...
Aritmeetiline jada: an = a1+(n-1)d d = an-an-1 Sn = Geomeetriline jada: an = a1qn-1 Sn = Hääbuv jada: S = Trigonomeetria: sin 2 2 2 = sin +cos = 1 1+tan = sin2 = 2cossin cos2 = 2cos2-1 tan2 = siinusteoreem: (ümberringjoone raadius) koosinusteoreem: a2=b2+c2-bccos erikülgne kolmnurk: S= n Põhivõrrandid: sinx= a x=(-1) +180n, n Z cox= a x=+360n, n Z tanx= a x= +180n, n Z Kaare pikkus: l= Sektori pindala: S= n Liitintress: c= a(1) a-algväärtus Vektorid: pikkus paralleelsus || ristseis X1X2+Y1Y2= 0 nurk vektorite vahel cos = Sirge võrrand: kahe punktiga tõusu ja algkoordinaadiga y= kx+b (lp y-teljega) tõusu ja punktiga y-y1=k(x-x1) Kahe sirge vastastikused asendid: paralleelsed...
Referaat Kurt Gödel 18.05.2013 Sisukord: · Sissejuhatus · Loogika · Elulugu · Viini ring ja Kurt Gödel · Gödel Princetoni perspektiivsete uuringute instituudis. · Gödeli täielikkuse ja mittetäielikkuse teoreemid · Kokkuvõte · Kasutatud allikad Sissejuhatus. Selles referaadis annan teile ülevaate loogikast ja ühest Austria-Ameerika loogikust, matemaatikust ja filosoofist, Kurt Gödel'ist. Loogika Loogika on teadus, mis uurib mõtlemise reegleid. Loogikat peetakse ka veel mõtlemismudeliks. On olemas eri liiki loogikaid, neid on umbkaudu 17, võib-olla isegi rohkem , aga kõige tuntumad ja levinumad on matemaatiline loogika ehk sümbolloogika, formaalloogika
on joon rangelt kumer, ja teiselt poolt rangelt nõgus. Leidmine: 1) kui teine tuletis on väiksem nullist piirkonnas X, siis joon on kumer selles piirkonnas 2)kui teine tulestis on suurem nullist piikronnas X, siis joon on nõgus selles piirkonnas 3)käänupunkt on kohas, kus kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi 24. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta. Definitsioon: funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x)=f(x) piirkonnas X Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks
Kolmnurk P=a+b+c Kolmnurga liigid Nurkade järgi: 1. täisnurkne kolmnurk Täisnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on 90°. 2. nürinurkne kolmnurk Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on suurem kui 90°. 3. teravnurkne kolmnurk Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik nurgad on kõik väiksemad kui 90° Külgede järgi: 1. erikülgne kolmnurk Erikülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on ebavõrdsed 2. võrdhaarne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 3. võrdkülgne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed. · Kolmnurga kõrguseks nimetatakse ristlõiku kolmnurga tipu ja külje vahel. (...
geomeetria haru, milles kõrgemat matemaatikat kasutamata uuritakse lihtsamate kujundite põhilisi omadusi. See teos oli ilmumisajast kuni 20. sajandi alguseni kasutusel matemaatika ja geomeetriaõpikuna. Selles leidunud põhitõdesid kutsutakse nüüd Eukleidese geomeetriaks. Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis. Näiteks on kolmnurga
Kas haridusteel õpitakse toetuma empiirilistele või aprioorsetele argumentidele? Mis on haridustee? Noored alustavad oma haridusteed esimeses klassis. Iga individuaali jaoks on kool erineva raskusastmega, kuid ilma hariduseta tänapäeval hakkama ei saa. Koolis hakkavad noored õppima erinevaid reaal- ja humanitaaraineid. Need ained aga toetuvad empiirilistele ja aprioorsetele argumentidele. Alustatakse esimest klassist, mis on kõige kergem ja lõpetatakse 9-s, mis on kõige raskem. Edasine haridustee on iga ühel võimalik ise valida: gümnaasium või kutsehariduskeskused jne. Matemaatika, füüsika, keemia need on reaalained, kus toetutakse empiirilistele argumentidele. Nendes ainetes on faktid ja valemid juba kirja pandud ajaloos tuntud tarkade isikute poolt, mida kasutatakse tänapäevalgi. Kuulsamad on Pythagorase ja Eukleidese teoreemid. Keemias on tuntud Mendelejevi tabel. Geograafias ja ajaloos toetutakse samuti empiirilistele arg...
Võrrandid: sin x = m x= cos x = m x= tan x = m x= Eukleidese teoreem: Teoreem kõrgusest: Siinusteoreem: 2R = Koosinusteoreem: NB! p pool ümbermõõtu, r siseringjoone raadius, R ümberringjoone raadius Ebatavalised pindala valemid: S = 0,5 bc sin S = pr S = abc/4R NB! Vaata üle ka nt Thalese teoreem JADA Aritmeetiline jada an = Sn = Geomeetriline jada an = Sn = Hääbuva jada summa: Sn = Potentseerimise teoreemid: NB! a^ loga N = N loga Nm = Uuele alusele viimine: loga N = loga N1 · N2 = loga N1 / N2 = KUJUNDID Sektori pindala: Ringi pindala: Ringjoone ümbermõõt: Kera ruumala: Kera pindala: Koonuse ruumala: Koonuse pindala: Püramiidi ruumala: Trapetsi pindala: Rombi pindala: TULETIS [f(x) · g(x)]´ = [f(x) / g(x)]´ = y = f[g(x)]; y´ = (ln x)´ = (ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND
· Üldrelatiivsusteooria · Kvantgravitatsioon · Hawkingi uuringud mustade aukude olemuse, relatiivsusteooria, gravitatsiooni ja kosmoloogia alal on esileküündivad ning on oluliselt mõjutanud paljusid teisi teadlasi. · Hawking ei ole imearvutaja nagu paljud tänapäeva füüsikateoreetikud. Tema mudelid põhinevad lihtsatel ning loogilistel lähte-eeldustel ja viivad üllatavate tulemusteni. Nt: musta augu kvant-aurustumine. Singulaarsuse teoreemid · 1965. aastal Roger Penrose(Inglismaa) näitas, et üldrelatiivsusteooria kohaselt koondub omaenese raskuse all kollapseeruva tähe mass ühte matemaatilisse so lõpmata väiksesse punkti. Tihedus saab lõpmata suureks, nii et tekib singulaarsus, mille nimi on must auk. · Penrose'iga liitus Stephen Hawking. 1970. aastal näitasid nad ikka üldrelatiivusteooriast lähtudes et suur pauk oli tõepoolest samasugune singulaarsus, ainult et hoopis suuremas mastaabis.
,,Eukleides" Eukleides: Eukleides oli Kreeka matemaatik, keda tuntakse ka ,,geomeetria isana". Eukleides oli esimeste peaaegu täielikult säilinud matemaatikateoste autor. Eukleidese tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria. See tohutu suur, 465 lauset (definitsioonid, aksioomid, teoreemid) hõlmav töö on kirjutatud ranges loogilises järjekorras ja on olnud paljude aastasadade vältel geomeetriaõpikute koostamise aluseks. Eukleidese aksioomid : Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse. Selle 13nest raamatustt I VI on pühendatud planimeetriale, VII IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI XIII stereomeetriale. ...
Positron- Elektroni antiosake, mille mass on sama mis elektronil, kuid laeng on +1e 2) Bohri bostulaadid(2-3) 1) Elektronid võivad tiirelda vaid kindlatel orbiitidel, millest igaühele vastab kindel energia. Nendel orbiitidel liikuvad elektronid ei kiirga elektromagnetlaineid. 2) Aatom kiirgab valgust(elektromagnetlaineid) kui tema elektron(id) läheb(vad) suurema energiaga orbiidilt madalama energiaga orbiidile. 3) Gödeli teoreemid (3) 1) Igas vähegi terviklikus teooriate süsteemis on alati võimalik püstitada küsimus, millele süsteemisiseste vahenditega vastata ei saa 2) Üheks selliseks küsimuseks on süsteemi enese terviklikkuse kohta 4) Kuidas tekib alfakiirgus, mis see on ja mis seda peatab? Tekib näiteks uraani lagunemisel või kergete aatomituumade ühinemisel ehk tuumasünteesil. Mahapestav, kõige jämedam, moodustab heeliumi tuumasid. 2 prootonit, 2 neutronit. Alfa ja Beeta eksisteerivad koos
Huvitavad punktid kolmnurgas Huvitavad punktid kolmnurgas I seeria • Külgede keskristsirgete lõikepunkt • Nurgapoolitajate lõikepunkt • Mediaanide lõikepunkt • Kolmnurga kõrguste või nende pikenduste lõikepunkt Neid huvitavaid punkte käsitletakse koolis Kolmnurga külje keskristsirge Keskristsirge (ehk mediatriss) – antud küljega selle keskpunktis ristuv sirge. Keskristsirge iga punkt on lõigu otspunktidest võrdsel kaugusel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt - R Kolmnurga keskristsirgete lõikepunkt võib asetseda ka väljaspool kolmnurka või kolmnurga küljel. Külgede keskristsirgete lõikepunkt on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks. Kolmnurga nurgapoolitaja Nurgapoolitaja (ehk bisektor) – kiir, mis lähtub nurga tipust ja poolitab nurga, s.t. jaotab selle kaheks võrdseks nurgaks. Nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kagu...
peamoment? lk. 36. joonis 57.Kirjutada vektorvõrrandid jõupaari momendi arvutamiseks. 58.Millega võrdub jõupaari moodustavate üksikjõudude momentide summa suvalise punkti suhtes? 59.Kas jõupaari võib üle kanda mingile teisele kohale samal mõjutasapinnal? Selle mõju jäigale kehale. vt.punkti.60. 60.Kas jõupaari võib üle kanda teistele tasapindadele võrreldes esialgse mõjutasapinnnaga? Selle mõju jäigale kehale. Teoreemid : · Jõupaari mõju jäigale kehale ei muutu, kui jõupaar kanda antud tasapinnast mis tahes teise, paralleelsesse tasapinda. · Ilma kehale avaldatavat mõju muutmata võib jäigale kehale mõjuvat jõupaari asendada mis tahes teise jõupaariga, mis asetseb samas tasapinnas ning omab antud jõupaariga sama pöördesuunda ja momendi moodulit.
Mis on tekkinud Tema kaudu, oli elu, ja elu oli inimeste valgus." See, mis on alguses, annab sisemise tähenduse kõigele järgnevale. Küsimus ei ole mitte ajalises mõttes, vaid olulisuses. Ehkki võib see teooria tunduda muinasjutuliselt ilusana on see minu jaoks ebapiisav. 20. sajandil ei kasutata maailma tekkimisest ja elu mõttest rääkimisel enam ammu mütoloogiliselt kõlavat piiblikeelt. Müütide, muistendite ja lugulaulude poeesia asemele on tulnud teoreemid ja valemid, kõrgem matemaatika ning tuumafüüsika. Teaduses tegeleb universumi algusega kosmoloogia, mis põhineb astronoomilistel vaatlustel ning füüsika seadustel. Üldtunnustatud teaduslik teooria kõige oleva alguseks on paariteist miljardi aasta eest toimunud Suur Pauk. Teooria on, et universum hakkas kujuteldamatult suurest tihedusest plahvatuslikult paisuma, mille tagajärjel tekkis tänapäeval meile tuttav aeg, ruum ja mateeria. See on muidugi
ja seda ei saa omand. ainult raamatutest, nt, oskus mängida mingit pilli. M.Polanyi- on olemas mõistete ja väidete abil väljendatav teadmine ning keele abil väljendamatu teadmine nt oskus rääkida meie emakeeles, oskus kõndida, kirjutada, hoida tasakaalu. Teadmine- on põhjendatud tõene uskumus. Jah, võivad, sest tema arvates on teadmised küll inimeste mõttetöö vili, kuid nad moodaustavad justkui omaette maailma. 1.Teaduslikud teadmised(välja töötatud teoreemid, def. valemid,; phyt. teoreem, kehamahlade teooria) 2. Argiteadmised( elutarkus(äikesega ära uju), vanasõnad(käbi ei kukku kännust kaugele), kõnekäänud)v sisi 1. empiirilised- teadmised, mis tulevad meelelisest kogemusest(ma tean et tuli kõrvetab)ei peaolema isiklik, kuu tagaküljel on mäed)2.aprioorsed-teadmised, mis on kogemusest sõltumata(meelelised): mõistuspärased e loogilised(inim, ei saa olla korraga elus ja surnud) konventsioonid e
Kui vektor on Determinant ei muutu kui tema read ja enne nii, et ta kõrgeimat järku esitatud mingite vektorite lineaarse veerud omavahel ümber paigutada. See nullist erinev miinor tuleks kombinatsioonina, siis öeldakse, et omadus väljendub determinantide ridade ja veergude samaväärsust. Seega maatriksi ülemisse vasakpoolsesse ta on arendatud nende vektorite kõik teoreemid ja omadused, kehtivad, nurka. Selleks vajatakse järgmisi järgi. Tehted: Kahemõõtmelises mis kehtivad determinantide ridade nn elementaar-teisendusi Need on: ruumi Cartesiuse kohta kehtivad ka tema veergude kohta. l"maatriksi rea (veeru) korrtumine ristkoordinaadistikus kasuatasime 2.omadus. nullist erineva teguriga a x- ja y-telje
1. Määratud integraali mõiste.
Olgu antud f(x) [a;b] ja geom. tõlgenduse jaoks f(x)>=0. a=x0
veinipäradega. Nii mehed kui ka naised kandsid parfüüme, mis olid tehtud lilledest ja vürtsidest. Make up oli Kreeklaste omast palju värvikam ja sarnanes rohkem kreeka prostituutide omaga. Meigi põhi oli valge ja nagu Kreeka naisedki, saavutati see puuderdades nägu seatina pulbriga. Antiik-Kreekast said alguse kuurordid: mineraalvee- ja kuumaveeallikad. Kirjakeel mida tunneme tänapäevalgi. Pythagorase ja Eukleidese teoreemid on ka tänapäeval kasutusel. Hippokratesi vanne, mis lubab kaitsta patsiendi elu, annavad tänapäevalgi arstid. Archimedesi leiutatud kruvi on asendamtu ka tänasel päeval. Antiik-Roomast saime teed, nende äärde ehitati külalistemaju ja kõrtse ehk tavernid. Veel ka tallid, sissesõiduhoovid ja postijaamad. 12 tahvli seadsusest saanud alguse Rooma seadusandlus, pani aluse õigusteaduse tekkele. Rooma on kunsti- ja arhitektuurimälestiste
Üldiseks teist järku joonintegraaliks nim. järgmist joonintegraalide summat: Teist liiki joonintegraali definitsioonist järeldub vahetult kaks omadust: 1. Kui muuta teist liiki joonintegraalis joone läbimise suunda, siis märk integraali ees muutub vastupidiseks, s.t. 2. Kui C on suvaline joonel AB asuv punkt, siis 10. Rida. Rea summa: vastavate mõistete definitsioonid; rida koondumine ja hajumine; teoreemid 33.1 33.3 tõestustega; rea koonduvuse tarvilik tingimus tõestusega. Avaldist u1+u2+...+un+...= nim. arvreaks (33.1.). Arve u1+u2+...+un+... nim. seejuures realiikmeteks. Rea esimese n liikme summat nim. rea n-ndaks osasummaks: sn= u1+u2+...+un. Kui eksisteerib piirväärtus , siis seda nim. rea (33.1.) summaks ja öeldakse, et rida koondub. Kui piirväärtus ei eksisteeri (näiteks sn, kui n), siis öeldakse, et rida (33.1.) hajub ja tal puudub summa. Teoreem 33.1
millega ta olevat määranud laevade kauguse merel." See, et Thales mõõtis laevade kaugust merel, nagu ka püramiidi kõrgust, ei tähenda veel, et ta pidi nimetatud teoreemi teadma. Tegemist on Aahmesi seqt'i-leidmise protseduuri rakendamisega. Kuid egiptlased ei kasutanud seda protseduuri niisuguste ülesannete lahendamiseks. Thalese puhul pidi olema tegemist kas analoogia või üldise meetodiga. See, et need teoreemid võivad pärineda Thaleselt, on vähem kaheldav, kui päris "Thalese teoreem". Kuuendaks konkreetseks geomeetriliseks saavutuseks on paljukiidetud püramiidide kõrguse mõõtmine. Thales joonistas ringi sisse täisnurkse kolmnurga. Babüloonia ja Egiptuse preestritele oli see teada, kuid Hellasele oli see avastuseks. Põhimõtteliselt uus seisnes selles, et juba Thales hakkas matemaatikat õpetama mitte ainult empiirilises, vaid ka abstraktses vormis. Van der Waerden
Demokritose seletuse järgi koosnes maaillm tühjusest. Pythagorase meelest põhines maailmakorraldus arvulistel suhetel. Sofistika elufilosoofia. Sokrates Ateena filosoof ning tema meelest oli selle peamine mõte vooruse olemuse mõistmine. 8) Vana-Kreeka kultuurisaavutused? Lk.129-136, 147-156 Kiri ja kirjandus: loodi alfabeet foiniikia tähestiku põhjal, koolid-õpetlase, Homerose kangelaseeposed ,,Ilias" ja ,,Odüsseia". Teadus: teoreemid, Hipokratese vanne. Arhitektuur : templid, sambad nt: Hera tempel Paestumis. Kujutav kunst: vaasimaal, amforat. Skulptuur: vabaplastika, nt: Myron-,,Kettaheitja" 9) Hellenistlik aeg? Lk.141-146 Aleksander Suure valitsemisaeg 336-323 eKr. Ta tegi kreeklaste ja makedoonlaste ühisretke Aasiasse pärslaste vastu. Vallutas Väike-Aasia, Süüria ja Palestiina, Egiptuse, Mesopotaamia ja Iraani.
Seosed täisnurkses kolmnurgas neljapäev, 29. jaanuar 2015. a Teoreem: Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab selle kolmnurga kaheks kolmnurgaks, mis on sarnased esialgse kolmnurgaga ja C omavahel. B A D A A C D B D C D C B BDC BCA (NN tunnus) CDA BCA (NN tunnus) BDC CDA (NN tunnus) m.o.t.t. Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest x a b Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile ...
regressioonhajuvu 32. Mida iseloomustab jääkstandardhälve? Jääkstandardhälve e. prognoosiviga iseloomustab funktsioontunnuse erinevust regressioonijoonest. 33. Milleks kasutatakse dispersioonanalüüsi? Analüüsi lugemisoskus. 34. Mis on funktsioontunnus? 35. Mis on argumenttunnus? 36. Ronald Fisher oli inglise matemaatik ja evolutsiooniteoreetik. Ta formaliseeris loodusliku valiku teooria ja formuleeris loodusliku valiku teoreemid. Ta tegeles statistiliste meetoditega ning arendas katse planeerimise teooriat. Carl Friedrich Gauss oli saksa matemaatik, astronoom, polühistor ja füüsik. Gaussi peetakse oma varajase matemaatilise võimekuse tõttu imelapseks. Gauss on olulise panuse andnud paljudesse teaduse valdkondadesse, sealhulgas arvuteooria, statistika, matemaatiline analüüs, diferentsiaalgeomeetria, geodeesia, geofüüsika, elektrostaatika, astronoomia ja optika. Gauss oli imelaps.
Operaatori abil (*)-arvutatavatest funktsioonidest saadud funktsioonide (*)-arvutatavus Tallinn 2014 Sissejuhatus Käesolevas referaadis keskendume operaatori abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavusele, need funktsioonid on osaliselt rekursiivsed. Selleks, et uurida selliseid protsesse toome sisse vajalikud mõisted ja definitsioonid ning tõestame lemma, mis tõestab, et (*)-arvutatavatest funktsioonidest operaatori abil saadud funktsioonid on samuti (*)-arvutatavad. Anname ka sellise teoreemi tõestamise idee, mis ütleb, et iga osaliselt rekursiivne funktsioon on Turingi mõttes arvutatav ehk antud juhul (*)-arvutatav. 1. Osaliselt rekursiivsed funktsioonid. Operaatori µ abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavus. Enne põhiosa juurde asumist toome sisse mõned vajalikud definitsioonid. Definitsioon 1.1. ([1], 9) Algfunktsioonideks nimetatakse järgmisi naturaalarvulisi funktsioone: Funktsioone n...
Kordamisküsimused matemaatilise analüüsi (II) II osaeksamiks 2013 1. Kahekordne integraal (integraalsumma, kahekordse integraali definitsioon, kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis
tôn en thalattêi ploiôn apostasin di' hoy tropoy phasin ayton deiknynai, toytôi proskhrêsthai phêsin anagkaion." See, et Thales mõõtis laevade kaugust merel, nagu ka püramiidi kõrgust, ei tähenda veel, et ta pidi nimetatud teoreemi teadma. Tegemist on Aahmesi seqt'i-leidmise protseduuri rakendamisega. Kuid egiptlased ei kasutanud seda protseduuri niisuguste ülesannete lahendamiseks. Thalese puhul pidi olema tegemist kas analoogia või üldise meetodiga. See, et need teoreemid võivad pärineda Thaleselt, on vähem kaheldav, kui päris "Thalese teoreem" (Diog. Laert. I 24j). Kuuendaks konkreetseks geomeetriliseks saavutuseks on paljukiidetud püramiidide kõrguse mõõtmine. Thales joonistas ringi sisse täisnurkse kolmnurga. Babüloonia ja Egiptuse preestritele oli see teada, kuid Hellasele oli see avastuseks. Põhimõtteliselt uus seisnes selles, et juba Thales hakkas matemaatikat õpetama mitte ainult empiirilises, vaid ka abstraktses vormis
võti Amsterdami kirjastaja kätte, kui ta ise on läinud igavikku. Pühapäeval, 20.veebruaril 1677 läks pererahvas kirikusse. Kui tagasi tuldi, leiti filosoof igavikuvaikuses. SPINOZA MATERIALISTLIK FILOSOOFIA Samuti nagu Descartes püüdis ka Spinoza rajada filosoofiat absoluutselt tõsikindlatele lähte-eeldustele. Tõsikindluse ja range tõestatuse musterkujuks pidas Spinoza geomeetriat, kus aksioomidest rangelt dedutseeritakse teoreemid. Sellepärast kirjutas ta oma peateose "Eetika" niinimetatud geomeetrilisel meetodil. "Eetika" alguses on antud definitsioonid, siis on sõnastatud aksioomid , edasi on nende definitsioonide ja aksioomide alusel tõestatud teoreemid. Seejuures käsitletakse aksioome seisukohtadena, mille tõestus on intuitiivselt selge. Kõik ülejäänud tõed tulenevad aksioomidest ja definitsioonidest kui oma loogilisest alusest.
1.Kreeka linnriigid: ühiskond, valitsemine, kodanikkond, eluolu, Sparta ja Ateena võrdlus. -Kreeka oli orjanduslik ühiskond. Demokraatlik.Linnriiki valitsesid ja põhilist võimu omasid kodanikud(põliselanikud mehed).Kõik kodanikud võisid osaleda rahvakoosolekutel, selle kõrval eksisteeris ka rikastest kodanikest koosnev nõukogu. Igal aastal valis rahvakoosolek riigiametnikud, kelle kohus oli juhtida polise sõjaväge jne. Enamik polise elanikke olid talupojad, olid ka käsitöölised ning kõige mõjukam osa olid aristokraadid. Vaesed kodanikud olid tihti rahulolematud, aristokraadid võitlesid suurema mõjuvõimu eest. Võrdlus: Sparta oli sõjanduslik ühiskond, Ateena orjanduslik. Spartas ei keskendutud kooliharidusele, pigem sõjandusele. Spartas jagunes ühiskond rohkem laiali, kõik meessoost kodanikud olid sõdurid. Platoni õpetuses jagunes ühiskond 3 kihti: töölised-sõdurid-valitsejad 2.Hellenite kasvatus, haridus ja igapäevaelu. -Kreeklased e. ...
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele ...
Kordamine arvestustööks 1. Üldkogum (uurimisobjekt, populatsioon) on teatud nähtuste (objektide) hulk, mida soovitakse objektiivsete meetoditega tundma õppida. 2.. Valimiks nimetatakse teatud hulka üldkogumi elemente, mille mõõtmisandmed on uurija käsutuses. Esinduslik valim. 3. Valimi mõõtmisandmed moodustavad andmestiku. Rühmitamata ja rühmitatud andmestik. 4. Arvuline tunnus pidev, diskreetne. Pidev võib omada väärtusi mingil lõigul. Diskreetne arvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni sk...
*funktsiooni α(x) nimetatakse lõpmata suureks suurusekspiirprotsessis x-> a, kui limα(x)=∞ x-> a Ekvivalentsed - Lõpmata väikesed (suured) suurused α(x) ja β(x) piirprotsessis x-> a , kui lim α(x) / β(x)=1 x-> a 9.Hulgal pidevad funktsioonid. Lõigul pidevad funktsioonid. Ülemine ja alumine raja. Pidevuse aksioom. Weierstrassi teoreemid ja Bolzano-Cauchy teoreem. Hulgal pidev funktsioon - Öeldakse, et funktsioon f(x) on pidev hulgal X c R, kui f(x) on pidev hulga X igas punktis. Lõiguv pidev funktsioon - Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1.Ǝ f(a) 2. Ǝ lim f(x) 3. lim f(x)=f(a) x-> a x-> a Ülemine raja – Hulga ∅ ≠ X c R vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sup X
kahepoolne piirväärtus lim xa f(x) = A eksisteerib parajasti siis, kui f(a+) = f(a-)= A. Ühepoolsed piirväärtused on ka lim x f(x) ja lim x - f(x). Definitsioon 3. Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks protsessis x (x ), kui iga arvu > 0 korral leidub arv K > 0, nii et f( x) - A | < , alati, kui x > K ( x < -K). Kirjutame lim x f(x) = A ( lim x - f(x) = A). Märkus. Teoreemid 2-5 kehtivad ka lõplike ühepoolsete piirväärtuste puhul. Märkus. Asendades definitsioonis 3 tingimuse |f(x) - A |< tingimustega f(x) > N (vastavalt f(x) < -N), saame defineerida piirväärtused lim x f(x) = ± ( lim x - f(x) = ± ). Näide Tõestada, et 3 x +1 3 lim x = . 2 x -1 2 Olgu > 0 suvaline. Võime kirjutada:
neid nimetatakse vaikivateks teadmisteks- keele abil väljendamatu teadmine, mis ilmneb oskustes, vilumustes ja mida ei saa omandada vaid raamtutest (oskus mängida mingit pilli). 3. Selgita mõiste teadmine. K.Popper kas teadmised võivad esineda ka ilma nendeta, kes teavad? Loe lisaks õpik lk. 15-16. Teadmine on põhjendatud tõene uskumus. Miks põhjendatud? - sest pime usk ei saa olla teadmiseks. Põhjenduseks sobivad valemid, teoreemid, reeglid, faktid jms. Miks tõene? sest ei saa olla teadmist, mis on vale. Mõiste teadmine seostub mõistega tõde. Miks uskumus? Kui keegi väidab, et ta midagi teab, siis peab ta seda ka uskuma. Kui inimene ei usu teadmist, siis on ta vaid infokandja. K.Popper väitis, et teadmised võivad esineda ka ilma nendeta , kes teavad, sest tema arvates on vaimne looming omaette maailm nii-öelda ,,kolmas maailm" Sinna
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge....
( n + 1)! ( n + 1)! 1 1 1 1 f ( x) = f ( a) + f ( a )( x - a ) + f ( a )( x - a ) + f ( a )( x - a ) + .... + f ( n ) ( a )( x - a ) + Rn ( x ) 2 3 n 1! 2! 3! n! 7. Teoreemid funktsiooni kasvamise ja kahanemise ning funktsiooni tuletise vahelistest seostest tõestuseta. Nende teoreemide geomeetriline tõlgendus. 1) Kui lõigul [ a, b] diferentseeruv funktsioon on sellel lõigul kasvav, siis on funktsioonil lõigul [ a, b] mittenegatiivne tuletis, s.t. f ( x ) 0 . 2) Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja vahemikus ( a, b ) diferentseeruv, kusjuures a< x 0 , siis see funktsioon lõigul [ a, b] kasvab.
KREEKA. PERIOODID: 1.) KREETA-MÜKEENE PERIOOD (2000-1100 eKr) -minoiline tsivilisatsioon -Knossose kujunemine -1600 eKr Mükeene kujunemine Mandri-Kreekas -1200 eKr doorlaste sissetung 2.) TUME AJAJÄRK (1100-800 eKr) -allakäik -lossid hüljatud -kiri ununenud -elanikkonna arvukuse langemine -raua kasutamine 3.) ARHAILINE PERIOOD (800-500 eKr) -VIII saj eKr >> linnad, elanikkonna tõus, rikkurid -soojad suhted Idamaadega -u 800 eKr >> kiri uuesti kasutusele -776 eKr Olümpiamängud -VIII saj eKr >> kolonisatsioon -600 eKr raha müntimine -linnriiklik korraldus(Sparta, Korintos, Ateena) -seadused 4.) KLASSIKALINE PERIOOD (500-338 eKr) Pärsia sõjad 500-478 eKr: -VI saj teisel poolel Kreeka linnriigid Pärsiale -490 eKr Maratoni lahing >> Kreeka võit -Salamise merelahing >> Pärsia kaotus Kreeka hiilgeaeg 480-431 eKr: -Sparta ja Ateena võimsus -Ateena > demokraatia -Ateenast tähtsaim majandus- ja ...
Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame punkti i =[xi-1,xi] 4
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
