Majandusmatemaatika (2)

MAJANDUSMATEMAATIKA I
Ako Sauga
Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine . Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ruutvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Protsentülesannete põhitüübid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Hinnad ja palgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Lihtintressid. Aritmeetiline rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Liitintressid. Geomeetriline rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. LINEAARSED VÕRRANDSÜSTEEMID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Asendus- ja liitmisvõte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Determinantide kasutamine võrrandsüsteemi lahendamisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Võrrandsüsteemi graafiline lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6. LINEAARSED FUNKTSIOONID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Võrdeline ja lineaarne seos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Lineaarse mudeli parameetrite leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Sirge võrrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Eelarvejooned Sirge üldvõrrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. ELEMENTAARFUNKTSIOONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Pöördvõrdeline sõltuvus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Eksponentfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Arv e. Pidev juurdekasv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Eksponentsiaalsed mudelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Logaritmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Eksponentvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
© Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid
Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Näiteid maatriksalgebra kasutamisest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Oleku- ja üleminekumaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Lineaarvõrrandsüsteemi lahendamine maatriksvõrrandi abil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
MATEMAATIKAS KASUTATAVAID TÄHISTUSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
KASUTATUD KIRJANDUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
NÄITED NÄIDE 1.1. Lõppkapitali arvutamise mudel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 NÄIDE 1.2. Toodangukasvu mudel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 NÄIDE 2.1. Nädala läbimüük kui funktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 NÄIDE 2.2. Funksiooni analüütiline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 NÄIDE 2.3. Kulufunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 NÄIDE 2.4. Tulufunktsiooni leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 NÄIDE 2.5. Kasumifunktsiooni leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 NÄIDE 2.6. Tulu- ja kasumifunktsiooni leidmine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 NÄIDE 2.7. Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 NÄIDE 3.1. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NÄIDE 3.2. Kumb teenustepakkuja valida? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NÄIDE 3.3. Tasuvuspunktid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NÄIDE 3.4. Turu tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NÄIDE 4.1. Protsendi leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NÄIDE 4.2. Arvu leidmine protsendi järgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NÄIDE 4.3. Osa leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NÄIDE 4.4. Protsentuaalne kasv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 NÄIDE 4.5. Sisseostuhind , omahind ja jaehind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 NÄIDE 4.6. Netopalga põhjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 NÄIDE 4.7. Lihtintress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 NÄIDE 4.8. Lihtintress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 NÄIDE 4.9. Lihtintress perioodiliste sissemaksete korral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 NÄIDE 4.10. Laenu tagasimaksmine võrdsetes osades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 NÄIDE 4.11. Liitintress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 NÄIDE 4.12. Raha tulevikuväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 NÄIDE 4.13. Liitintress perioodiliste maksete korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 NÄIDE 5.1. Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 NÄIDE 5.2. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega. . . . . . . 32 NÄIDE 5.3. Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine liitmisvõttega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 NÄIDE 5.4. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 NÄIDE 5.5. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 NÄIDE 5.6. Võrrandsüsteemi lahendamine determinantide abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 NÄIDE 6.1. Võrdeline sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 NÄIDE 6.2. Lineaarse kulufunktsiooni parameetrite leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 NÄIDE 6.3. Kiiruse leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 NÄIDE 6.4. Tulufunktsioon lineaarse nõudlusfunktsiooni korral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 NÄIDE 6.5. Kahe sirge lõikepunkti leidmine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 NÄIDE 6.6. Eelarve jooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 NÄIDE 6.7. Palgapiirangu sirge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 NÄIDE 6.8. Eelarve joonte muutumine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid 3
NÄIDE 7.1. Püsikulud tooteühiku kohta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 NÄIDE 7.2. Nõutava koguse ja hinna vaheline seos konstantse tulu korral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 NÄIDE 7.3. Keskmine kulu tooteühiku kohta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 NÄIDE 7.4. Kogukulude mudel, lineaarne ja pöördvõrdeline osa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 NÄIDE 7.5. Internetiühenduste eksponentsiaalne kasv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 NÄIDE 7.6. Liitintress eksponentfunktsioonina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 NÄIDE 7.7. Amortisatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 NÄIDE 7.8. Eesti finantssektori eksponentsiaalsed mudelid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 NÄIDE 7.9. Maakera rahvaarv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 NÄIDE 7.10. Töö efektiivsuskõver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 NÄIDE 7.11. Perioodide arvu leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 NÄIDE 7.12. Logaritmiline kasv Eesti pangandussektoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 NÄIDE 7.13. Eksponentvõrrandi lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 NÄIDE 8.1. Maatriksesituse kasutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 NÄIDE 8.2. Maatriksesituse kasutamine turu analüüsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 NÄIDE 8.3. Transponeeritud maatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 NÄIDE 8.4. Maatriksite korrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 NÄIDE 8.5. Tootmiseks vajalike komponentide arvu leidmine maatriksarvutuse abil . . . . . . . . . . 65 NÄIDE 8.6. Maatriksalgebra kasutamine tootmise planeerimisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 NÄIDE 8.7. Koguse-, kulu-, hinna- ja tulumaatriks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 NÄIDE 8.8. Oleku- ja üleminekumaatriksid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 NÄIDE 8.9. Turujaotuse muutumine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 NÄIDE 8.10. III järku determinandi leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 NÄIDE 8.11. III järku determinandi leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid 4
1. MUDELID MAJANDUSES Mudeli mõiste.
Igapäevases majandustegevuses tuleb pidevalt langetada otsuseid. Eesmärgiks võib olla efektiivne tegutsemine piiratud ressursside tingimustes, suurema turuosa hõivamine, kapitali võimalikult kasulik investeerimine .
Intuitiivne otsustamine põhineb kujutlusel . Puudused: olemasolevat informatsiooni; Ratsionaalne otsustamine eeldab oskust probleeme matemaatiliselt formuleerida ning kasutada mitmesuguseid matemaatilisi ja statistilisi meetodeid . Matemaatiline formuleering võimaldab kasutada otsustamisprotsessil arvuti abi ning teha täpsemaid prognoose majandussituatsiooni muutumisel. Kuna majanduses võib katsetamine osutuda sageli väga kulukaks, on otstarbekas kasutada majandusnähtuste ja -protsesside uurimisel mudeleid .
Mudel on objekt, mis on kindlas vastavuses mingi teise objektiga, originaaliga., asendab seda tunnetamisel ja võimaldab saada selle kohta vahendatud andmeid.
Võib öelda ka, et mudel on reaalsuse ülevaatlik, eesmärgipäraselt lihtsustatud peegeldus. Mudeleid kasutatakse juhul, kui originaali otsene uurimine on võimatu, raske, kulukas.
Mudel peab tooma originaali iseloomulikud jooned; Matemaatiline mudel on märkmudel, kus originaali uurimine taandub matemaatiliste seoste uurimisele. MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid 5
Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid
Teoreetilised mudelid võimaldavad uurida üldisemaid seaduspärasusi. Rakenduslikud mudelid võimaldavad hinnata konkreetse majandussubjekti funktsioneerimist ja formuleerida soovitusi praktiliseks tegevuseks.
Staatilised mudelid kirjeldavad objekti konkreetsel ajamomendil või perioodil. Dünaamilised mudelid sisaldavad ka ajalist muutust, võimaldavad kirjeldada protsesside dünaamikat.
Determineeritud mudelites on suuruste vahelised seosed ranged. Stohhastilised mudelid hõlmavad ka juhuslikke kõrvalekaldumisi ja neis kasutatakse tõenäosusteooria ning matemaatilise statistika meetodeid.
Tasakaalumudelid kirjeldavad tasakaalus olevavaid süsteeme. Tasakaalumudelitel on suur tähtsus makroökonoomikas (näiteks nõudmise ja pakkumise tasakaal).
Optimeerimismudelid võimaldavad selgitada parimat lahendit, mis on kooskõlas juhtimiseesmärgi ja kitsendavate tingimustega. Simuleerimismudelid võimaldavad saada infot selle kohta, mis ühe või teise otsuse või valiku tulemusena võib juhtuda. "Mis siis, kui...." (What if analysis ). Simuleerimismudeleid kasutatakse, kui optimeerimismudeleid pole võimalik konstrueerida .
Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu
Matemaatiliste mudelite korral tuleb eristada nende matemaatilist kuju (struktuuri) ja mudelite sisu tõlgendamist, interpreteerimist.
NÄIDE 1.1. Lõppkapitali arvutamise mudel Härral X on pangas tähtajalisel hoiusel 12 000 kr. Kui suur summa on tal pangaarvel aasta pärast. kui aastane intress on 9%? Võtame kasutusele järgmised tähistused Seos lõppkapitali arvutamiseks algkapital K0 ' 12 000 kr K1 ' K0 % r K0 ' K0 (1%r) aastaintresss r ' 9 % lõppkapital K1' ? Leiame lõppkapitali väärtuse K1 ' 12000 (1 % 0,09) ' 12000 @ 1,09 ' 13080 Vastus: Aasta pärast on pangaarvel 13 080 kr.
NÄIDE 1.2. Toodangukasvu mudel Aasta algul oli tehase toodang 12000 toodet kuus. Uue tehnoloogia kasutuselevõtt suurendab tootlikkust 9%. Kui suur on kuu toodang peale tehnoloogia uuendamist?
Võtame kasutusele järgmised tähistused
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 6 Seos uue tootmismahu arvutamiseks esialgne tootmismaht q0 ' 12 000 q1 ' q0 % r q0 ' q0 (1%r) tootmismahu suurenemise määr r ' 9,5% uus tootmismaht q1' ? Leiame uue tootmismahu q1 ' 12000 (1 % 0,09) ' 12000 @ 1,09 ' 13080
Vastus: Peale tehnoloogia uuendamist on tootmismaht 13 080 ühikut kuus..
Mõlema näite korral on mudelite matemaatiline kuju ühesugune: X1 ' X0 (1%r) ,
kokku langevad ka lähteandmete arvväärtused. Erinev on aga mudelite poolt kirjeldatav majandussituatsioon ja saadud tulemuse interpreteerimine.
Probleemi lahendamisel ei piisa mudeli matemaatilise kuju kirjapanekust ja arvutuste sooritamisest, tingimata on vajalik ka saadud tulemuste tõlgendamine. Näiteks tekstülesande korral on alati vajalik välja kirjutada vastus.
2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA Arvud ja nende hulgad
Loendamisel saadud arve nimetatakse naturaalarvudeks: N = {0; 1; 2; 3; ...}. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. See tähendab, et kahe naturaalarvu liitmisel või korrutamisel on tulemuseks alati naturaalarv. Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes.
Täiendades naturalarvude hulka vastandarvudega, saame täisarvude hulga: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}. Täisarvude hulk kooosneb positiivtest täisarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja arvust 0. Arvu null ei loeta positiivseks ega negatiivseks. Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Negatiivsed arvud võeti esmakordelt kasutusele Indias võla, kahju, väljamineku märkimiseks.
Et mistahes kahe täisarvu jagamine oleks alati võimalik, on Joonis 5 Arvuhulgad täisarvude huka laiendatud murdarvudega. Täisarvud koos positiivsete ja negatiivsete murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Seega ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena:
n /0 m Q' m 0Z, n 0Z, n...0
Kõiki harilikke murde saab esitada kümnendmurruna, kusjuures tekib kas lõplik või lõpmatu 1 2 perioodiline kümnendmurd. Näiteks ' 0,2 ; ' 0,66666... ' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7 Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel asub lõpmata palju ratsionaalarve. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 7
Irratsionaalarvud on arvud, mida ei saa esitada täisarvude jagatisena. Näiteks /2, , sin 15E. Need on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Näiteks arvu esimesed 500 kohta 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862\ 089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811\ 174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337\ 867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066\ 063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469\ 519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495\ 673518857527248912279381830119491...
Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga R.
Funktsionaalne sõltuvus
Vaatleme kaht hulka X ja Y. Seost, mille puhul igale elemendile x0 X vastab üks ja ainult üks element y0 Y, nimetatakse funktsionaalseks. Funktsiooni definitsioon ei nõua, et hulga Y iga element vastaks ainult ühele hulga X elemendile. Näiteks ühesugune hind võib olla erinevatel kaupadel. Küll peab aga igale hulga X elemendile vastama üks ja ainult üks hulga Y element. Näiteks ühel ja samal kaubal ei saa olla korraga mitu erinevat jaehinda.
Joonis 6 Joonis 7 On funktsioon Ei ole funktsioon
Esimese hulga elementi x nimetatakse argumendiks ja temale vastavat teise hulga elementi y selle argumendi funktsiooniks. Tähistused y=f (x), y= g (x), ... Funktsiooni määramispiirkond on argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsioon on määratud. Funktsiooni muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk.
NÄIDE 2.1. Nädala läbimüük kui funktsioon Tabelis 1 on toodud banaanide läbimüük. Igale nädalapäevale vastab üks konkreetne kilogrammide arv. Tabel 1
Päev E T K N R
Läbimüük, kg 200 100 170 150 100
Sama funktsiooni võib esitada nooldiagrammi (joonis 8), tulpdiagrammi (joonis 9) või joondiagrammina (joonis 10).
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 8
Joonis 8
Joonis 10 Joonis 9
NÄIDE 2.2. Funksiooni analüütiline kuju Tabelis on toodud müüja palga sõltuvus poe läbimüügist. Tegemist on funktsionaalse Läbimüük x Palk y sõltuvusega. Selle sõltvuse võib kirja panna ka kujul y ' 1500 % 0,05 x . 50000 4000 Viimast nimetatakse funktsiooni analüütiliseks esituseks. 60000 4500 70000 5000 Funktsiooni esitusviisid 80000 5500 Mitte igat funktsiooni ei saa esitada analüütiliselt, valemi abil (vt näide 2.1).
Majanduses kasutatava matemaatilise modelleerimise korral püütakse erinevate suuruste vahel valitsevaid seoseid kirjeldada analüütiliselt, valemi abil.
ÜLESANDED 2.1 Joonisel 11 on erinevatel graafikutel suuruse x väärtustele seatud vastavusse suuruse y väärtused. Millised graafikud kujutavad funktsionaalset sõltuvust y=f(x) ?
Joonis 11
Astendamine. Polünoomid.
Kui n on positiivne täisarv, siis xn tähendab, et x on iseendaga korrutatud n korda: xn = x@ x @ x @ ... @ x. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 9
Astendamise reeglid
1 x a (x b ) ' x a%b ' x &a a x x a a&b 'x x ' x 1/2 xb a (x a ) b ' x ab x ' x 1/a b (xy)a ' x a y a x a ' x a/b a x xa ' y ya
NÄITEID
x 2 (x 3) ' (x @ x) (x @ x @ x ) ' x @ x @ x @ x @ x ' x 5 ehk x 2 (x 3) ' x 2 % 3 ' x 5 ; x 6 x@x@x@x@x@x x6 ' ' x @ x @ x ' x 3 ehk ' x 6&3 ' x 3 ; x 3 x@x@x x3 ( x 4)2 ' (x @ x @ x @ x ) (x @ x @ x @ x ) ' x 8 ehk ( x 4 )2 ' x 4 @ 2'x 8 (xy)4 ' (xy) (xy) (xy) (xy) ' x @ y @ x @ y @ x @ y @ x @ y' x 4 y 4
Avaldises 5x2 on x muutuja 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat. Näiteks 23 x 105 x 2 y 5 25 x 3 y z
Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi Näiteks 4x3 + 5x2 - 2x + 10; 15x4 - 3x2 + 2x - 3; x4 +1.
Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist an x n % an&1 x n&1 % ... % a1x % a0
kus an, an-1, a1 on polünoomi kordajad ja x muutuja.
Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid. Näiteks 4x5 + 9x5 = 13x5; 12xy - 3xy = 9xy; 3x3 + 5x2 + 2y + 4x3 + 7y = 7x3 + 5x2 +9y
Korrutamisel korrutatakse nii kordajaid kui muutujaid Näiteks (5x) (2y 3) ' 10 x y 3 (3x 3 y 2) (4 x 4 y 4) ' 12 x 7 y 6
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 10
Jagamisel jagatakse nii kordajaid kui muutujaid 15x 4 y 3 z 6 4x 2y 5z 3 y2 Näiteks ' 5x 2yz 3 ' 3x 2 y 2 z 3 8x 5y 3z 4 2x 3z
Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse Näiteks (6 x % 7y) (4 x % 9 y) ' 24 x 2 % 54x y % 28 x y % 63y 2' 24 x 2 % 82 x y % 63 y 2
Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga Näiteks 8x 3 & 24 x 2' 8 x 2 (x & 3) 15 x 4y 2 & 45 x 2y 2 % 5 x 3 y 3 ' 5 x 2 y 2 (3 x 2 &9 % x y)
ÜLESANDED 2.2 Lihtsusta !
a) x 4 x 5 b) x 2 x 1/2 c) (5 x) (13 y 2) d) x 7 x &3 e) x 6 x f) (7 x 3 y 5) (4 x 2y 4) 3 4 5 7 g) x &2 x &4 h) x x i) y y
2.3 Leida funktsioonide f ja g summa f + g, vahe f - g ja korrutis fg a) f(x) = 4x - 7 g(x) = 2x + 6 b) f(x) = 10x2 + 2x +1 g(x) = 5x - 5 c) f(x) = - 4 x2 - 2x g(x) = 10x d) f(x) = 3x + 1 g(x) = -2x
2.4 Lihtsusta! 3 x x2 x2 y3 12x 2 % 3x a) b) c) d) x 3 x x y 3 4x % 1
Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon.
Matemaatiliste meetodite kasutamisel majandusprotsesside analüüsimisel puututakse kokku mitmesuguste funktsioonidega. Mikroökonoomikast on tuntuimad kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon ning nõudlus- ja pakkumisfunktsioon . Kulufunktsioon on funktsionaalne seos tootmismahu (tegevuse mahu) q (quantity) ja kulude C ( cost ) vahel. Kulufunktsioon koosneb kahest komponendist ­ fikseeritud kuludest ja muutuvkuludest. Kulufunktsioon = fikseeritud kulud + muutuvkulud C (q) ' CF % cv q
kus q on tootmismaht; CF on fikseeritud kulud; cv on muutuvkulu tooteühiku kohta.
C Fikseeritud kulud ehk püsikulud on kulud, mis ei sõltu toodangu mahust. Näiteks rent, bürootöötajate palgad jms. Fikseeritud kulud antakse kindla ajavahemiku (aasta, kuu) kohta. C Muutuvkulud on kulud, mille suurus sõltub otseselt toodangu mahust. Näiteks kulud materjalile, töötasu.
NÄIDE 2.3. Kulufunktsioon Olgu ühe ajalehe trükkimiseks tehtavad muutuvkulud 6 kr. Fikseeritud kulud päevas on 3000 kr. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 11 a) Leiame kulufunktsiooni C(q), mis kirjeldaks päevas tehtavate kulutuste sõltuvust ajalehtede arvust (tootmismahust) q. Vastus: Kulufunktsioon on C(q) ' 3000 % 6 q . b) Leiame summaarsed kulud 100 ajalehe trükkimisel päevas: C (100) ' 3000 % 6 @100 ' 3000 % 600 ' 3600 Vastus: 100 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 3600 kr päevas. c) Leiame summaarsed kulud 3000 ajalehe trükkimisel päevas: C (3000) ' 3000 % 6 @3000 ' 3000 % 18000 ' 21000 Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas.
Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Sobiv on selleks kasutada tabelarvutust:
Teades funktsiooni kuju, võime me selle funktsiooni tabuleerida: leida funktsiooni väärtuse erinevate argumendi väärtuste korral.
Tabelarvutust kasutades võime me muuta ka algandmeid, "läbi mängides" erinevaid võimalusi, uurida "mis juhtub, kui..". Näiteks võime leida, kuidas muutuvad summaarsed kulud, kui õnnestub vähendada fikseeritud kulusid 2500 kroonini päevas või kui muutuvkulud ühiku kohta suurenevad
7 kroonini. Peale kulufunktsiooni tabuleerimist võime kulude muutumise iseloomustamiseks kasutada graafikut .
Joonis 15 Kulufunktsiooni graafik
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 12
Müües teenust või toodet, saab firma tulu ( revenue ). Tulufunktsioon on funktsionaalne seos müüdud tooteühikute (või tegevusmahu ) ja brutotulu R vahel. Lihtsaimal juhul on seos võrdeline ja võrdeteguriks on hind (price) p.
Tulufunktsioon = nõutav kogus · hind R (q) ' q @ p
kus q on nõutav kogus (tootmismaht) p on tooteühiku hind
Et tulufunktsioon oleks reaalselt interpreteeritav, peavad kehtima tingimused q > 0 ; p > 0 (kogus ja hind on positiivsed).
NÄIDE 2.4. Tulufunktsiooni leidmine Juku müüb koolis mudelautosid hinnaga 5 kr tükk. Leida tulufunktsioon, mis kirjeldab müügist saadud tulu sõltuvust müüdud autode arvust q. Vastus: Tulufunktsioon on R(q) = 5q.
Firma tegevuse üheks põhieesmärgiks on kasumi ( profit ) maksimeerimine. Kasum P on tulud miinus kulud.
Kasumifunktsioon = tulufunktsioon - kulufunktsioon P(q) = R(q) - C(q), kus: q on tegevuse maht; P(q) on kasumifunktsioon; R(q) on tulufunktsioon; C(q) on kulufunktsioon.
Kasumifunktsiooni asemel kasutatakse mõnikord ka terminit puhastulufunktsioon.
NÄIDE 2.5. Kasumifunktsiooni leidmine Olgu meil leitud firma kulufunktsioon C(q) = 40q + 1500. ja tulufunktsioon R(q) = 55q Kasum on tulude ja kulude vahe: P(q) = R(q) - C(q) = 55q - (40 q + 1500) = 15q - 1500. Toote nõudlus (demand) ja toote hind on omavahel seotud. Nõudlusfunktsioon