Majandusmatemaatika (2)

MAJANDUSMATEMAATIKA I
Ako Sauga
Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine . Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. VÕRRANDID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ruutvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Protsentülesannete põhitüübid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Hinnad ja palgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Lihtintressid. Aritmeetiline rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Liitintressid. Geomeetriline rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5. LINEAARSED VÕRRANDSÜSTEEMID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Asendus- ja liitmisvõte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Determinantide kasutamine võrrandsüsteemi lahendamisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Võrrandsüsteemi graafiline lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6. LINEAARSED FUNKTSIOONID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Võrdeline ja lineaarne seos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Lineaarse mudeli parameetrite leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Sirge võrrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Eelarvejooned Sirge üldvõrrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. ELEMENTAARFUNKTSIOONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Pöördvõrdeline sõltuvus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Eksponentfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Arv e. Pidev juurdekasv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Eksponentsiaalsed mudelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Logaritmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Eksponentvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
© Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid
Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Näiteid maatriksalgebra kasutamisest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Oleku- ja üleminekumaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Lineaarvõrrandsüsteemi lahendamine maatriksvõrrandi abil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
MATEMAATIKAS KASUTATAVAID TÄHISTUSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
KASUTATUD KIRJANDUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
NÄITED NÄIDE 1.1. Lõppkapitali arvutamise mudel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 NÄIDE 1.2. Toodangukasvu mudel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 NÄIDE 2.1. Nädala läbimüük kui funktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 NÄIDE 2.2. Funksiooni analüütiline kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 NÄIDE 2.3. Kulufunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 NÄIDE 2.4. Tulufunktsiooni leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 NÄIDE 2.5. Kasumifunktsiooni leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 NÄIDE 2.6. Tulu- ja kasumifunktsiooni leidmine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 NÄIDE 2.7. Liitfunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 NÄIDE 3.1. Tasuvusanalüüs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NÄIDE 3.2. Kumb teenustepakkuja valida? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NÄIDE 3.3. Tasuvuspunktid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NÄIDE 3.4. Turu tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NÄIDE 4.1. Protsendi leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NÄIDE 4.2. Arvu leidmine protsendi järgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NÄIDE 4.3. Osa leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NÄIDE 4.4. Protsentuaalne kasv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 NÄIDE 4.5. Sisseostuhind , omahind ja jaehind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 NÄIDE 4.6. Netopalga põhjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 NÄIDE 4.7. Lihtintress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 NÄIDE 4.8. Lihtintress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 NÄIDE 4.9. Lihtintress perioodiliste sissemaksete korral.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 NÄIDE 4.10. Laenu tagasimaksmine võrdsetes osades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 NÄIDE 4.11. Liitintress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 NÄIDE 4.12. Raha tulevikuväärtus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 NÄIDE 4.13. Liitintress perioodiliste maksete korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 NÄIDE 5.1. Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 NÄIDE 5.2. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega. . . . . . . 32 NÄIDE 5.3. Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine liitmisvõttega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 NÄIDE 5.4. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 NÄIDE 5.5. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 NÄIDE 5.6. Võrrandsüsteemi lahendamine determinantide abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 NÄIDE 6.1. Võrdeline sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 NÄIDE 6.2. Lineaarse kulufunktsiooni parameetrite leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 NÄIDE 6.3. Kiiruse leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 NÄIDE 6.4. Tulufunktsioon lineaarse nõudlusfunktsiooni korral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 NÄIDE 6.5. Kahe sirge lõikepunkti leidmine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 NÄIDE 6.6. Eelarve jooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 NÄIDE 6.7. Palgapiirangu sirge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 NÄIDE 6.8. Eelarve joonte muutumine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid 3
NÄIDE 7.1. Püsikulud tooteühiku kohta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 NÄIDE 7.2. Nõutava koguse ja hinna vaheline seos konstantse tulu korral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 NÄIDE 7.3. Keskmine kulu tooteühiku kohta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 NÄIDE 7.4. Kogukulude mudel, lineaarne ja pöördvõrdeline osa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 NÄIDE 7.5. Internetiühenduste eksponentsiaalne kasv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 NÄIDE 7.6. Liitintress eksponentfunktsioonina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 NÄIDE 7.7. Amortisatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 NÄIDE 7.8. Eesti finantssektori eksponentsiaalsed mudelid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 NÄIDE 7.9. Maakera rahvaarv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 NÄIDE 7.10. Töö efektiivsuskõver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 NÄIDE 7.11. Perioodide arvu leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 NÄIDE 7.12. Logaritmiline kasv Eesti pangandussektoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 NÄIDE 7.13. Eksponentvõrrandi lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 NÄIDE 8.1. Maatriksesituse kasutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 NÄIDE 8.2. Maatriksesituse kasutamine turu analüüsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 NÄIDE 8.3. Transponeeritud maatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 NÄIDE 8.4. Maatriksite korrutis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 NÄIDE 8.5. Tootmiseks vajalike komponentide arvu leidmine maatriksarvutuse abil . . . . . . . . . . 65 NÄIDE 8.6. Maatriksalgebra kasutamine tootmise planeerimisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 NÄIDE 8.7. Koguse-, kulu-, hinna- ja tulumaatriks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 NÄIDE 8.8. Oleku- ja üleminekumaatriksid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 NÄIDE 8.9. Turujaotuse muutumine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 NÄIDE 8.10. III järku determinandi leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 NÄIDE 8.11. III järku determinandi leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid 4
1. MUDELID MAJANDUSES Mudeli mõiste.
Igapäevases majandustegevuses tuleb pidevalt langetada otsuseid. Eesmärgiks võib olla efektiivne tegutsemine piiratud ressursside tingimustes, suurema turuosa hõivamine, kapitali võimalikult kasulik investeerimine .
Intuitiivne otsustamine põhineb kujutlusel . Puudused: olemasolevat informatsiooni; Ratsionaalne otsustamine eeldab oskust probleeme matemaatiliselt formuleerida ning kasutada mitmesuguseid matemaatilisi ja statistilisi meetodeid . Matemaatiline formuleering võimaldab kasutada otsustamisprotsessil arvuti abi ning teha täpsemaid prognoose majandussituatsiooni muutumisel. Kuna majanduses võib katsetamine osutuda sageli väga kulukaks, on otstarbekas kasutada majandusnähtuste ja -protsesside uurimisel mudeleid .
Mudel on objekt, mis on kindlas vastavuses mingi teise objektiga, originaaliga., asendab seda tunnetamisel ja võimaldab saada selle kohta vahendatud andmeid.
Võib öelda ka, et mudel on reaalsuse ülevaatlik, eesmärgipäraselt lihtsustatud peegeldus. Mudeleid kasutatakse juhul, kui originaali otsene uurimine on võimatu, raske, kulukas.
Mudel peab tooma originaali iseloomulikud jooned; Matemaatiline mudel on märkmudel, kus originaali uurimine taandub matemaatiliste seoste uurimisele. MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid 5
Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid
Teoreetilised mudelid võimaldavad uurida üldisemaid seaduspärasusi. Rakenduslikud mudelid võimaldavad hinnata konkreetse majandussubjekti funktsioneerimist ja formuleerida soovitusi praktiliseks tegevuseks.
Staatilised mudelid kirjeldavad objekti konkreetsel ajamomendil või perioodil. Dünaamilised mudelid sisaldavad ka ajalist muutust, võimaldavad kirjeldada protsesside dünaamikat.
Determineeritud mudelites on suuruste vahelised seosed ranged. Stohhastilised mudelid hõlmavad ka juhuslikke kõrvalekaldumisi ja neis kasutatakse tõenäosusteooria ning matemaatilise statistika meetodeid.
Tasakaalumudelid kirjeldavad tasakaalus olevavaid süsteeme. Tasakaalumudelitel on suur tähtsus makroökonoomikas (näiteks nõudmise ja pakkumise tasakaal).
Optimeerimismudelid võimaldavad selgitada parimat lahendit, mis on kooskõlas juhtimiseesmärgi ja kitsendavate tingimustega. Simuleerimismudelid võimaldavad saada infot selle kohta, mis ühe või teise otsuse või valiku tulemusena võib juhtuda. "Mis siis, kui...." (What if analysis ). Simuleerimismudeleid kasutatakse, kui optimeerimismudeleid pole võimalik konstrueerida .
Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu
Matemaatiliste mudelite korral tuleb eristada nende matemaatilist kuju (struktuuri) ja mudelite sisu tõlgendamist, interpreteerimist.
NÄIDE 1.1. Lõppkapitali arvutamise mudel Härral X on pangas tähtajalisel hoiusel 12 000 kr. Kui suur summa on tal pangaarvel aasta pärast. kui aastane intress on 9%? Võtame kasutusele järgmised tähistused Seos lõppkapitali arvutamiseks algkapital K0 ' 12 000 kr K1 ' K0 % r K0 ' K0 (1%r) aastaintresss r ' 9 % lõppkapital K1' ? Leiame lõppkapitali väärtuse K1 ' 12000 (1 % 0,09) ' 12000 @ 1,09 ' 13080 Vastus: Aasta pärast on pangaarvel 13 080 kr.
NÄIDE 1.2. Toodangukasvu mudel Aasta algul oli tehase toodang 12000 toodet kuus. Uue tehnoloogia kasutuselevõtt suurendab tootlikkust 9%. Kui suur on kuu toodang peale tehnoloogia uuendamist?
Võtame kasutusele järgmised tähistused
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 6 Seos uue tootmismahu arvutamiseks esialgne tootmismaht q0 ' 12 000 q1 ' q0 % r q0 ' q0 (1%r) tootmismahu suurenemise määr r ' 9,5% uus tootmismaht q1' ? Leiame uue tootmismahu q1 ' 12000 (1 % 0,09) ' 12000 @ 1,09 ' 13080
Vastus: Peale tehnoloogia uuendamist on tootmismaht 13 080 ühikut kuus..
Mõlema näite korral on mudelite matemaatiline kuju ühesugune: X1 ' X0 (1%r) ,
kokku langevad ka lähteandmete arvväärtused. Erinev on aga mudelite poolt kirjeldatav majandussituatsioon ja saadud tulemuse interpreteerimine.
Probleemi lahendamisel ei piisa mudeli matemaatilise kuju kirjapanekust ja arvutuste sooritamisest, tingimata on vajalik ka saadud tulemuste tõlgendamine. Näiteks tekstülesande korral on alati vajalik välja kirjutada vastus.
2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA Arvud ja nende hulgad<. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. See tähendab, et kahe naturaalarvu liitmisel või korrutamisel on tulemuseks alati naturaalarv. Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise ja jagamise suhtes.
Täiendades naturalarvude hulka vastandarvudega, saame tä. Täisarvude hulk kooosneb positiivtest täisarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja arvust 0. Arvu null ei loeta positiivseks ega negatiivseks. Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Negatiivsed arvud võeti esmakordelt kasutusele Indias võla, kahju, väljamineku märkimiseks.
Et mistahes kahe täisarvu jagamine oleks alati võimalik, on Joonis 5 Arvuhulgad täisarvude huka laiendatud murdarvudega. Täisarvud koos positiivsete ja negatiivsete murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Seega ratsionaalarvud on arvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena:
n /0 m Q' m 0Z, n 0Z, n...0
Kõiki harilikke murde saab esitada kümnendmurruna, kusjuures tekib kas lõplik või lõpmatu 1 2 perioodiline kümnendmurd. Näiteks ' 0,2 ; ' 0,66666... ' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7 Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel asub lõpmata palju ratsionaalarve. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 7
Irratsionaalarvud on arvud, mida ei saa esitada täisarvude jagatisena. Näiteks /2, , sin 15E. Need on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Näiteks arvu esimesed 500 kohta 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862\ 089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811\ 174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337\ 867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066\ 063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469\ 519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495\ 673518857527248912279381830119491...
Ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud kokku moodustavad reaalarvude hulga R.
Funktsionaalne sõltuvus
Vaatleme kaht hulka X ja Y. Seost, mille puhul igale elemendile x0 X vastab üks ja ainult üks element y0 Y, nimetatakse funktsionaalseks. Funktsiooni definitsioon ei nõua, et hulga Y iga element vastaks ainult ühele hulga X elemendile. Näiteks ühesugune hind võib olla erinevatel kaupadel. Küll peab aga igale hulga X elemendile vastama üks ja ainult üks hulga Y element. Näiteks ühel ja samal kaubal ei saa olla korraga mitu erinevat jaehinda.
Joonis 6 Joonis 7 On funktsioon Ei ole funktsioon
Esimese hulga elementi x nimetatakse argumendiks ja temale vastavat teise hulga elementi y selle argumendi funktsiooniks. Tähistused y=f (x), y= g (x), ... Funktsiooni määramispiirkond on argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsioon on määratud. Funktsiooni muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk.
NÄIDE 2.1. Nädala läbimüük kui funktsioon Tabelis 1 on toodud banaanide läbimüük. Igale nädalapäevale vastab üks konkreetne kilogrammide arv. Tabel 1
Päev E T K N R
Läbimüük, kg 200 100 170 150 100
Sama funktsiooni võib esitada nooldiagrammi (joonis 8), tulpdiagrammi (joonis 9) või joondiagrammina (joonis 10).
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 8
Joonis 8
Joonis 10 Joonis 9
NÄIDE 2.2. Funksiooni analüütiline kuju Tabelis on toodud müüja palga sõltuvus poe läbimüügist. Tegemist on funktsionaalse Läbimüük x Palk y sõltuvusega. Selle sõltvuse võib kirja panna ka kujul y ' 1500 % 0,05 x . 50000 4000 Viimast nimetatakse funktsiooni analüütiliseks esituseks. 60000 4500 70000 5000 Funktsiooni esitusviisid 80000 5500 Mitte igat funktsiooni ei saa esitada analüütiliselt, valemi abil (vt näide 2.1).
Majanduses kasutatava matemaatilise modelleerimise korral püütakse erinevate suuruste vahel valitsevaid seoseid kirjeldada analüütiliselt, valemi abil.
ÜLESANDED 2.1 Joonisel 11 on erinevatel graafikutel suuruse x väärtustele seatud vastavusse suuruse y väärtused. Millised graafikud kujutavad funktsionaalset sõltuvust y=f(x) ?
Joonis 11
Astendamine. Polünoomid.
Kui n on positiivne täisarv, siis xn tähendab, et x on iseendaga korrutatud n korda: xn = x@ x @ x @ ... @ x. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 9
Astendamise reeglid
1 x a (x b ) ' x a%b ' x &a a x x a a&b 'x x ' x 1/2 xb a (x a ) b ' x ab x ' x 1/a b (xy)a ' x a y a x a ' x a/b a x xa ' y ya
NÄITEID
x 2 (x 3) ' (x @ x) (x @ x @ x ) ' x @ x @ x @ x @ x ' x 5 ehk x 2 (x 3) ' x 2 % 3 ' x 5 ; x 6 x@x@x@x@x@x x6 ' ' x @ x @ x ' x 3 ehk ' x 6&3 ' x 3 ; x 3 x@x@x x3 ( x 4)2 ' (x @ x @ x @ x ) (x @ x @ x @ x ) ' x 8 ehk ( x 4 )2 ' x 4 @ 2'x 8 (xy)4 ' (xy) (xy) (xy) (xy) ' x @ y @ x @ y @ x @ y @ x @ y' x 4 y 4
Avaldises 5x2 on x muutuja 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat. Näiteks 23 x 105 x 2 y 5 25 x 3 y z
Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi Näiteks 4x3 + 5x2 - 2x + 10; 15x4 - 3x2 + 2x - 3; x4 +1.
Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist an x n % an&1 x n&1 % ... % a1x % a0
kus an, an-1, a1 on polünoomi kordajad ja x muutuja.
Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid. Näiteks 4x5 + 9x5 = 13x5; 12xy - 3xy = 9xy; 3x3 + 5x2 + 2y + 4x3 + 7y = 7x3 + 5x2 +9y
Korrutamisel korrutatakse nii kordajaid kui muutujaid Näiteks (5x) (2y 3) ' 10 x y 3 (3x 3 y 2) (4 x 4 y 4) ' 12 x 7 y 6
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 10
Jagamisel jagatakse nii kordajaid kui muutujaid 15x 4 y 3 z 6 4x 2y 5z 3 y2 Näiteks ' 5x 2yz 3 ' 3x 2 y 2 z 3 8x 5y 3z 4 2x 3z
Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse Näiteks (6 x % 7y) (4 x % 9 y) ' 24 x 2 % 54x y % 28 x y % 63y 2' 24 x 2 % 82 x y % 63 y 2
Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga Näiteks 8x 3 & 24 x 2' 8 x 2 (x & 3) 15 x 4y 2 & 45 x 2y 2 % 5 x 3 y 3 ' 5 x 2 y 2 (3 x 2 &9 % x y)
ÜLESANDED 2.2 Lihtsusta !
a) x 4 x 5 b) x 2 x 1/2 c) (5 x) (13 y 2) d) x 7 x &3 e) x 6 x f) (7 x 3 y 5) (4 x 2y 4) 3 4 5 7 g) x &2 x &4 h) x x i) y y
2.3 Leida funktsioonide f ja g summa f + g, vahe f - g ja korrutis fg a) f(x) = 4x - 7 g(x) = 2x + 6 b) f(x) = 10x2 + 2x +1 g(x) = 5x - 5 c) f(x) = - 4 x2 - 2x g(x) = 10x d) f(x) = 3x + 1 g(x) = -2x
2.4 Lihtsusta! 3 x x2 x2 y3 12x 2 % 3x a) b) c) d) x 3 x x y 3 4x % 1
Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon.
Matemaatiliste meetodite kasutamisel majandusprotsesside analüüsimisel puututakse kokku mitmesuguste funktsioonidega. Mikroökonoomikast on tuntuimad kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon ning nõudlus- ja pakkumisfunktsioon . Kulufunktsioon on funktsionaalne seos tootmismahu (tegevuse mahu) q (quantity) ja kulude C ( cost ) vahel. Kulufunktsioon koosneb kahest komponendist ­ fikseeritud kuludest ja muutuvkuludest. Kulufunktsioon = fikseeritud kulud + muutuvkulud C (q) ' CF % cv q
kus q on tootmismaht; CF on fikseeritud kulud; cv on muutuvkulu tooteühiku kohta.
C Fikseeritud kulud ehk püsikulud on kulud, mis ei sõltu toodangu mahust. Näiteks rent, bürootöötajate palgad jms. Fikseeritud kulud antakse kindla ajavahemiku (aasta, kuu) kohta. C Muutuvkulud on kulud, mille suurus sõltub otseselt toodangu mahust. Näiteks kulud materjalile, töötasu.
NÄIDE 2.3. Kulufunktsioon Olgu ühe ajalehe trükkimiseks tehtavad muutuvkulud 6 kr. Fikseeritud kulud päevas on 3000 kr. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 11 a) Leiame kulufunktsiooni C(q), mis kirjeldaks päevas tehtavate kulutuste sõltuvust ajalehtede arvust (tootmismahust) q. Vastus: Kulufunktsioon on C(q) ' 3000 % 6 q . b) Leiame summaarsed kulud 100 ajalehe trükkimisel päevas: C (100) ' 3000 % 6 @100 ' 3000 % 600 ' 3600 Vastus: 100 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 3600 kr päevas. c) Leiame summaarsed kulud 3000 ajalehe trükkimisel päevas: C (3000) ' 3000 % 6 @3000 ' 3000 % 18000 ' 21000 Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas.
Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Sobiv on selleks kasutada tabelarvutust:
Teades funktsiooni kuju, võime me selle funktsiooni tabuleerida: leida funktsiooni väärtuse erinevate argumendi väärtuste korral.
Tabelarvutust kasutades võime me muuta ka algandmeid, "läbi mängides" erinevaid võimalusi, uurida "mis juhtub, kui..". Näiteks võime leida, kuidas muutuvad summaarsed kulud, kui õnnestub vähendada fikseeritud kulusid 2500 kroonini päevas või kui muutuvkulud ühiku kohta suurenevad
7 kroonini. Peale kulufunktsiooni tabuleerimist võime kulude muutumise iseloomustamiseks kasutada graafikut .
Joonis 15 Kulufunktsiooni graafik
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 12
Müües teenust või toodet, saab firma tulu ( revenue ). Tulufunktsioon on funktsionaalne seos müüdud tooteühikute (või tegevusmahu ) ja brutotulu R vahel. Lihtsaimal juhul on seos võrdeline ja võrdeteguriks on hind (price) p.
Tulufunktsioon = nõutav kogus · hind R (q) ' q @ p
kus q on nõutav kogus (tootmismaht) p on tooteühiku hind
Et tulufunktsioon oleks reaalselt interpreteeritav, peavad kehtima tingimused q > 0 ; p > 0 (kogus ja hind on positiivsed).
NÄIDE 2.4. Tulufunktsiooni leidmine Juku müüb koolis mudelautosid hinnaga 5 kr tükk. Leida tulufunktsioon, mis kirjeldab müügist saadud tulu sõltuvust müüdud autode arvust q. Vastus: Tulufunktsioon on R(q) = 5q.
Firma tegevuse üheks põhieesmärgiks on kasumi ( profit ) maksimeerimine. Kasum P on tulud miinus kulud.
Kasumifunktsioon = tulufunktsioon - kulufunktsioon P(q) = R(q) - C(q), kus: q on tegevuse maht; P(q) on kasumifunktsioon; R(q) on tulufunktsioon; C(q) on kulufunktsioon.
Kasumifunktsiooni asemel kasutatakse mõnikord ka terminit puhastulufunktsioon.
NÄIDE 2.5. Kasumifunktsiooni leidmine Olgu meil leitud firma kulufunktsioon C(q) = 40q + 1500. ja tulufunktsioon R(q) = 55q Kasum on tulude ja kulude vahe: P(q) = R(q) - C(q) = 55q - (40 q + 1500) = 15q - 1500. Toote nõudlus (demand) ja toote hind on omavahel seotud. Nõudlusfunktsioon on funktsionaalne seos nõutava koguse ja hinna vahel. Normaalse nõudluse korral nõutav kogus suureneb hinna
Joonis 16 Nõudlusfunktsioone Joonis 17 Pakkumisfunktsioone MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 13
kahanemisel, järelikult nõudlusfunktsioon on kahanev funktsioon (joon 16). Märkus: Ajalooliselt on majandusteadlased harjunud hinda esitama vertikaalteljel ja kogust horisontaalteljel ning majandusalase kirjandusega parema võrreldavuse huvides on ka siin nõudlusfunktsiooni graafikutel seda järgitud.
Toote pakkumine ( supply ) ja hind on samuti seotud. Pakkumisfunktsioon on funktsionaalne seos pakutava koguse ja hinna vahel. Mida kõrgem on hind, seda rohkem kaupa pakutakse. Pakkumis- funktsioon on kasvav funktsioon (joon. 17). Majandusmudelite uurimisel eeldatakse tihti, et nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon on lineaarsed.
Lineaarne nõudlusfunktsioon p (q D) ' b % a q D
kus p on hind; qD on nõutav kogus; a, b on arvud.
Nõutava koguse kasvades hind väheneb. Seepärast peab a 0 (sest p (0) ' b ).
Joonisel 18 on toodud lineaarse nõudlusfunktsiooni graafik.
Lineaarne pakkumisfunktsioon p (q S ) ' b % a q S
kus p on hind; qS on pakutav kogus; a, b on arvud.
Kuna hinna kasvades pakutav kogus suureneb, peab pakkumisfunktsiooni korral a > 0 .
Joonis 18 Lineaarne nõudlusfunktsioon Joonis 19 Lineaarne pakkumisfunktsioon
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 14
Joonisel 19 on toodud lineaarse pakkumisfunktsiooni graafik.
Siin tegime vahet nõutava koguse qD ja pakutava koguse qS vahel. Edaspidi eeldatakse enamikes ülesannetes (kui ei ole muud mainitud ), et turul valitseb tasakaal, s.t. : nõutav kogus = pakutav kogus q D'q S'q Turutasakaal on toodud joonisel 20. Hinda p*, mille korral tasakaal saavutatakse , nimetatakse tasakaaluhinnaks.
Joonis 20 Turutasakaal
ÜLESANDED 2.5 Kulud ruumide rendile ja kontoritöötajate töötasule on kuus 5500 kr. Ühe toote tootmiskulud on 600 kr. Leida a) firma kulufunktsioon; b) summaarsed kulud kuus 100 toote valmistamisel. 2.6 Millised järgmistest funktsioonidest ei saa olla kulufunktsioonid? Miks? a) C (q) ' & 25 q % 4000 ; b) C (q) ' 75 q & 5000 ; c) y (x ) ' 0,1 x % 4200 . 2.7 Ventilaator pannakse kokku mootorist, tiivikust ja korpusest. Mootorite jaoks tehtavad kulutused n ventilaatori valmistamisel on f(n) = 300n + 4000 ja tiiviku ning korpuse jaoks tehtavad kulutused n ventilaatori valmistamisel on g(n) = 200n + 3000. Leida: a) funktsioon C(n), mis kirjeldaks summaarseid kulusid n ventilaatori valmistamisel; b) summaarsed kulud 150 ventilaatori valmistamiseks. 2.8 Kaubavarude tellimisprotsessi analüüs on näidanud, et tellimuse koordineerimiseks ja vormistamiseks kulub ligikaudu 15 tundi tööaega sõltumata tellimuse suurusest . Tellimuste vormistamisega tegeleva töötaja töötasuks kulub 110 kr töötunni kohta. Kulude analüüs näitas, et 50 tellimuse kohta kulus 14500 kr paberi, postikulude ja telefonikõnede peale. Ühe partii kättetoimetamistasu on 700 kr. Leida a) ühe partii hankekulud ; b) kogukulud ühe partii kohta (hankekulud + kauba maksumus), kui hangitava kauba hind on 55 kr. 2.9 Kirjutada välja firma tulufunktsioon, kui toote hind on 25kr. 2.10 Firma toomiskulud q toote valmistamisel avalduvad järgmiselt: C(q) = 5q + 100 000. Saadav tulu on R(q) = 7q. Leida: a) kuidas kasum sõltub tootmismahust (toodete arvust) q; b) kui suur on kasum 60 000 toote valmistamisel. 2.11 Leia, millised joonisel 21 toodud graafikutest võivad kirjeldada nõudlusfunktsiooni, millised pakkumisfunktsiooni.
Joonis 21 MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 15 2.12 Leida, milline järgnevatest funktsioonidest võib olla nõudlusfunktsioon, milline pakkumisfunktsioon: a) ; b) p (q) ' 500 % 25 q ; c) p (q) ' &1500 & 60 q . 2.13 Leida firma tulufunktsioon, kui toote hind p sõltub kogusest q järgmiselt: p(q) ' 2500 & 30 q . 2.14 On antud firma kulufunktsioon C(q) = 20 + 4q, kus q on tootmismaht. Hind p sõltub nõutavast kogusest järgmiselt: p(q) = 22 - 4q. Leida avaldis firma kasumi arvutamiseks. 2.15 Muutuvkulu ühe toote kohta on 4 kr. Lisaks sellele kulub kuus 11000 kr ruumide rentimiseks ja 20000 kr kontoritöötajate palkadeks. Leida firma kulufunktsioon. 2.16 Leida firma tulufunktsioon, kui pakutakse teenust hinnaga 120 kr tund. 2.17 On antud firma kulufunktsioon C (q) ' 55q % 5000 , kus q on toodete kogus. Hinna p ja nõutava koguse vaheline seos on p (q) ' 500 & 45 q . Leida avaldis firma kasumi arvutamiseks.
Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral.
NÄIDE 2.6. Tulu- ja kasumifunktsiooni leidmine. Firma kulude analüüs näitas, et ühe kuu toomiskulud on C ' 5 q % 200 , kus q on tootmismaht. Nõudluse analüüs näitas, et nõudlusfunktsioon on lineaarne ja avaldub kujul p ' 50 & 1,25 q , kus p on hind. Leida firma tulu- ja kasumifunktsioonid.
Lahendus: Tulufunktsiooni saame hinnaavaldise asendamisega tulufunktsiooni valemisse: R ' q p ' q (50 & 1,25 q) ' 50 q & 1,25 q 2
Kasumifunktsiooni leidmiseks asendame kasumivalemis tulu- ja kulufunktsioonid nende avaldistega: P ' R & C ' (50 q &1,25 q 2) & (5 q % 200) ' & 1,25 q 2 % 45 q & 200 Vastus: Firma tulufunktsioon on R ' 50 q & 1,25 q 2 ja kasumifunktsioon P ' & 1,25 q 2 % 45 q & 200 . Vastavate funktsioonide graafikud on toodud joonisel 22. Graafikute analüüsimisel näeme, et tootmismahu 20 korral on tulu maksimaalne Joonis 22 Tulu ja kasumi graafikud ja R(20)= 500. Kasum on siis 200 ühikut. Kasum on maksimaalne tootmismahu 18 korral ja maksimaalne kasum Pmax on 205 ühikut.
Uurime tulu- ja kasumifunktsioone üldisel juhul, lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral. Olgu kulufunktsioon C ' cv q % CF , cv >0 , CF > 0 ,
kus q on tootmismaht, cv muutuvkulu ühiku kohta ja CF fikseeritud kulu. Lineaarse nõudlusfunktsioon kirjutame kujul p ' a q % p0 , a 0 ,
kus p on hind ja p0 piirhind (hind, mille korral nõutav kogus on 0). Leiame tulu- ja kasumi- funktsioonid üldkujul. Tulufunktsioon: R'qp asendame hinna vastava avaldisega R ' q (a q % p0) R ' a q 2 % p0 q .
Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on tulufunktsioon ruutpolünoom, mille 0). ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 16
Sellise funktsiooni graafik on allapoole avanev parabool . Matetamaatikast on teada, et kui parabooli b võrrand on y ' a x 2 % b x % c , siis tipu x koordinaadi saab leida valemist x ' & . Seega tulugraafiku 2a p tipp asub kohal q ' & 0 . 2a Kasumifunktsioon: P'R&C asendame tulu ja kulu nende avaldistega 2 P ' (a q % p0 q) & (cV q % CF) P ' a q 2 % (p0 & cV) q & CF Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on kasumifunktsioon ruutpolünoom, mille 0). cv & p0 Graafik on allapoole avanev parabool, mille tipp (kasumi maksimum) asub kohal qoptimaalne ' . 2a
ÜLESANDED 2.18 Firmal õnnestub ära müüa kogu toodang, kusjuures q toote tootmisel nädalas on kogukulud 300 q % 2000 . Nõudluse analüüs näitab, et nõudlust kirjeldab mudel 500 & 2 q . a) Leida tulufunktsioon ja kasumifunktsioon. b) Arvutada kasumi väärtus koguste 40 ja 100 korral. c) Leida optimaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum. 2.19 Millised järgmistest avaldistest võivad kirjeldada kasumifunktsiooni? a) &5 q 2 % 60 q % 7000 ; b) &20 q 2 % 100 q & 15000 ; c) 1,5 q 2 % 100 q & 15000 . 2.20 Kulude analüüs näitas, et fikseeritud kulud nädalas on 8000 krooni ja muutuvkulu tooteühiku kohta on 500 krooni. Nõudluse analüüsil saadi nõudlusfunktsiooniks p(q) ' &0,71 q % 1000 , kus p on hind ja q tootmismaht. Leida a) kasumi sõltuvus tootmismahust; b) kasumi suurus tootmismahu korral 300 toodet nädalas, c) opitmaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum.
Liitfunktsioon.
NÄIDE 2.7. Liitfunktsioon Linnas sõltub keskmine autoga liikumise kiirus v autode arvust N, v=v(N). Autode arv N sõltub aga inimeste keskmisest sissetulekust S, N=N(S). Seega kaudselt sõltub liikumiskiirus v inimeste keskmisest sissetulekust S: v= v(N(S)) = v(S).
Olgu meil kaks funktsiooni f ja g defineeritud järgmiselt: f(g)= g2 ja g(x)=x+1. Siis liitfunktsioon f=(g(x))= g2 =(x+1)2.
Selliseid funktsioone, kus argumendi ja funktsiooni seos on antud kahe või enama sõltuvuste ahela kaudu, nimetatakse liitfunktsioonideks. z = f (y), y = g (x) Y z = h (x)
ÜLESANDED 2.21 Avalda funktsioon f muutuja x funktsioonina. a) f = g2 ja g = 3x - 1; b) f = g + 1 ja g = x 3; c) f = g2 - 2g + 2 ja g = 2x - 1; 2x & 1 d) f ' g ja g ' ; 3&x e) f = g2 , g = u - 3 ja u = 2x - 1 MAJANDUSMATEMAATIKA I Võrrandid 17 2.22 Nõudlus toote järele sõltub selle hinnast : q(p) = 400p2 + 3500 p + 2000, kus p on toote hind kroonides . Prognoos näitab, et lähitulevikus toote hind väheneb järgmise seaduse kohaselt: 50 p (t) ' t % 15 kus t on aeg kuudes alates praegusest. Leida funktsioon, mis kirjeldab nõudluse sõltuvust ajast. Milline on nõutav kogus praegu? Milline on nõutav kogus 3 kuu pärast? 2.23 Epideemia levib epitsentrist igas suunas kiirusega 20 km päevas. Avaldada epideemia poolt haaratud piirkonna pindala sõltuvus päevade arvust. Kui suur maa-ala on epideemiast haaratud 5 päeva pärast? 2.24 Vingugaasi kontsentratsioon linnaõhus sõltub päevas liikvel olevate autode arvust n: c(n) = 10-9 n2 + 10-5 n +1. Autode arv muutub seaduse n(t) = 10 000 t2 + 150 000 järgi, kus t on aeg aastates (t = 0 vastab 1993.a.). Leida vingugaasi kontsentratsiooni sõltuvus ajast. Kui suur on vingugaasi kontsentratsioon aastal 1997?
ÜLESANNETE VASTUSED 1 12 35 3 2.1 1, 4, 5 2.2 a) x 9 ; b) x 5 ; c) 65 x y 2 ; d) x 4 ; e) x 13 ; f) 28 x 5 y 9 ; g) ; h) x 7 ; i) x 12 . 2.4 a) x ; b) x; x6 3 c) x 3 y 8 ; d) 3x 2.5 a) C (q) ' 5500 % 600 q ; b) 65500 kr. 2.6 a) ja b). 2.7 a) C (n) ' 500 n % 7000 ; b) 82000 kr. 2.8 a)2640 kr; b) 55 n % 2640 , kus n on partiis olevate kaupade hulk. 2.9 R (q) ' 25 q 2.10 a) P (q) ' 2 q & 100 000 ; b) 20000 kr. 2.13 p(q) ' 2500 q& 30 q 2 . 2.14 P (q) ' & 4 q 2 % 18 q & 20 . 2.15 C (q) ' 4 q % 31000 2.16 R (q) ' 120 q , kus q on tundide arv. 2.17 P (q) ' & 45 q 2 % 445 q & 5000 . 2.18 a) R ' 500 q & 2 q 2 , P ' &2 q 2 % 200 q &2000 ; b) P(40) = 2800, P(100)'&2000 ; c)qopt= 50, P(50)= 3000 2.19 Avaldis b). 2.20a) P(q) ' &0,71 q 2 % 500 q &8000 , b) P(300) ' 78 100 kr nädalas., c) qopt= 352, P(352)= 80028.2.22 Praegu 18111 ühikut, kolme kuu pärast 14809 ühikut. 2.23 Pindala S (t) ' 400 t 2 , kus t on päevade arv. S (5) ' 31416 km2. 2.24 100,2 ühikut.
3. VÕRRANDID Lineaarsed võrrandid. Tasuvusanalüüs.
NÄIDE 3.1. Tasuvusanalüüs. Olgu firma kulufunktsioon C (q) ' 5 q % 100 000 ja tulufunktsioon R (q) ' 7 q , kus q on tootmismaht. Leida tootmismaht, mille korral tulud on võrdsed kuludega. Lahendus: C (q) ' R(q) 5 q % 100 000 ' 7 q & 2 q ' & 100 000 q ' 50 000
Kontroll: C (50 000) ' 5 @ 50 000 % 100 000 ' 350 000 R (50 000) ' 7 @ 50 000 ' 350 000
Vastus: Tulud ja kulud on võrdsed tootmismahu 50000 korral. Joonis 23
Sellist analüüsi nimetatakse tasuvus- ehk rentaablusanalüüsiks (break-even analysis). Tasuvuspunkt (break-even level) on tootmismaht, mille juures ettevõte "tuleb omadega välja", kattes kõik kulud, kuid saamata kasumit.
Selles näites tuli lahendada võrrand 5q + 100000 = 7q, see tähendab, tuli leida tundmatu q selline väärtus, mille korral võrdus kehtiks. Võrrandit, kus tundmatu suuruse suurim aste on 1, nimetatakse lineaarseks võrrandiks. Seega lineaarse võrrandi korral ei esine selliseid liikmeid, mis sisaldavad x2, x3, ... .
Võrrandite lahendamisel kasutatakse järgmisi võrduse omadusi:
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Võrrandid 18
1. Võrduse mõlemale poolele võib liita ühe ja sama arvu: a'b * %c a%c'b%c
2. Võrduse mõlemast poolest võib lahutada ühe ja sama arvu a'b * &c a&c'b&c 3. Võrduse mõlemaid pooli võib korrutada ühe ja sama arvuga: a'b * @c a@c'b@c
4. Võrduse mõlemaid pooli võib jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga: a'b * :c , c...0 a b ' c c
NÄIDE 3.2. Kumb teenustepakkuja valida? Mobiilsideoperaator A pakub hinnapaketti, kus kuumaks on 59 kr ja kõneminuti hind 2.75. Operaatori B pakkumises kuumaksu pole ja kõneminuti hind on 8 kr. Kui suure kõneminutite arvu korral kuus tasub valida operaatorfirma B?
Lahendus. Firma A korral on kulud kõnedele CA ' 59 % 2,75 t kus t on kõneminutite arv kuus. Firma B korral on kulud kõnedele CB ' 8 t Kriteeriumiks on kõneminutite arv kuus, mille korral kulud on ühesugused. Leiame selle:
CA ' CB 59 % 2,75 t ' 8 t & 5,25 t ' &59 & 59 Joonis 24 t' & 5,25 t ' 11,24 Vastus: Kulud on ühesugused, kui kõneminuteid on kuus ligikaudu 11. Kui üldse mitte kõnelda (t=0), on soodsam firma B pakkumine. Järelikult tuleks valida firma B, kui kõneldakse alla 11 minuti kuus.
ÜLESANDED 3.1 Lahendada järgmised võrrandid a) 3x + 5 = 11; x b) & 3' 1 ; 2 c) 2x -3b = 4 suuruse x suhtes (avaldada x); d) I = nrt suuruse t suhtes; e) y = mx + b suuruse x suhtes. 3.2 Koostada võrrand ja lahendada see: a) Arvule x liideti tema kahekordne ja saadi 42. b) Arvust 42 lahutati arv y, saadud tulemust korrutati 3-ga ja saadi 96. c) Arvu x korrutati 6-ga, tulemusele liideti arvude x ja 9 summa ning saadi 44. 3.3 Üks klient toob keskmiselt sisse 60 kr. Mitu klienti päevas tuleks teenindada, et tulu päevas oleks 1500 kr? 3.4 Naisel kulus juuksuris kolm korda rohkem raha kui mehel. Kokku kulus neil raha 140 kr. Koostada võrrand. Mitu krooni kulutas juuksuri peale mees, mitu naine? 3.5 Kirjeldagu toote nõudlust turul nõudlusfunktsioon q D (p) ' &1000 p %120 000 ja pakkumist funktsioon q S ' 500 p , MAJANDUSMATEMAATIKA I Võrrandid 19
kus p on toote hind kroonides. Leida hind, mille korral nõudmine ja pakkumine on tasakaalus. 3.6 Firma püsikulud kuus on 25 tuhat krooni. Muutuvkulu ühe toote kohta on 700 krooni. Kui suurt tootmismahtu võib kuus planeerida, kui summaarsed kulud kuus võivad olla 375 tuh. kr? 3.7 Firmas A, mis tegeleb autode rentimisega on hind 250 kr pluss 6 kr kilomeeter. Firmas B tuleb maksta 300 kr pluss 5 kr km. Leida kriteerium , millal üürida ühest, millal teisest firmast . 3.8 1970. aastal pakkus USA telefonikompanii Bell Systems oma klientidele kahte erinevat arveldusvõimalust. Kuutasu 7,5$ võmaldas piiramatut kõnede arvu kuus. Teine võimalus oli kuutasu 5$ kuus, mis võimaldaspidada kuni 50 kõnet ja iga järgmise kõne eest 0,05$. Ligikaudu 50% nendest klientidest, kelle kõnede arv oli alla 50, valisid esimese variandi . 1 Aga kui suure kõnede arvu korral kuus tuleks valida esimene variant? 3.9 Tootja müüb toodet hinnaga 80 kr tükk. Kulud koosnevad fikseeritud kuludest 4500 kr pluss muutuvkulust 50 kr iga toote kohta. Leida a) palju peab tootma , et tulud kataksid kulud; b) kui suur on kahjum , kui toodetakse ja müüakse 100 ühikut; c) kui palju peab tootma, et saada kasumit 900 kr. 3.10 Tootmise planeerimisel on firmal valida ühe toote kahe variandi vahel. Variandi A korral on püsikulud aastas 4 000 000 kr ja muutuvkulu 5 kr ühiku kohta. Variandi B püsikulud on 2 000 000 kr ja muutuvkulu 7 kr ühiku kohta. Mõlema variandi korral on hinnaks 20 kr. Missuguste tootmismahtude juures on üks või teine variant kasulikum.? 3.11 Torumees Juhan küsib tasu 250 kr pluss 160 kr tunnist . Teine torumees Karla küsib 310 kr pluss 140 kr tunnist. leida kriteerium, kumba torumeest kutsuda? 3.12 Toote nõudlust turul kirjeldab toote nõudlusfunktsioon q D (p) ' &12 000 p %200 000 ja pakkumist pakkumisfunktsioon q S ' 8000 p , kus p on toote hind. Leida hind, mille korral nõudmine ja pakkumine on tasakaalus. 3.13 Kompanii fikseeritud kulu on 100 000 kr, muutuvkulu 6 krooni ühiku kohta ja iga toote müümisel saadakse tulu 10 kr. Leida a) toodete arv, mille korral tulud katavad kulud; b) millise tootmismahu korral on kasum 500 000 kr? 3.14 Kursuste hind on 600 kr osavõtja kohta. Analüüs näitab, et kulud kursustele on 6000 kr püsikulu pluss veel 200 kr iga osavõtja kohta. Mitu osavõtjat peaks olema, et kursused ei tooks kahjumit? 3.15 Juhan ja Anni soovivad korteri ostmiseks raha säästa. Nad otsustavad säästa ühe neljandiku oma sissetulekust. Juhan teenib 50 kr tunnis ja Anni 35 kr tunnis ning kuus soovivad nad kõrvale panna 4000 kr. Mitu tundi nädalas peab kumbki töötama, kui nad töötavad ühepalju tunde? 3.16 Et objekt valmiks ettenähtud tähtajaks, tuli iga päev teha 150 töötundi. Tegelikult oli töötundide arv päevas 30 võrra suurem ja seetõttu lõpetati objekt 3 päeva varem. Mitu päeva kulus objekti valmimiseks?
Ruutvõrrandid
Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus otsitava suuruse suurim aste on 2. Ruutvõrrandi lahendamiseks tuleb kõik liikmed viia vasakule poole võrdusmärki (paremale poole jääb 0) ja kasutada ruutvõrrandi lahendivalemeid.
Ruutvõrrandil ax2 + bx +c = 0 on kaks lahendit: &b& b 2&4ac &b% b 2&4ac x1 ' ja x2 ' 2a 2a
Tihti on kasulik ruutvõrrandi mõlemad pooled läbi jagada ruutliikme ees oleva kordajaga a. Sellisel juhul saadakse taandatud ruutvõrrand:
1 Cosgrove, J. G., and Linhart, P. B. (1979). Customer choices under local measured telephone service . Public Utilities Fortnightly, Aug. 30, 27-31.
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Võrrandid 20
Taandatud ruutvõrrandi x 2 % p x % q ' 0 lahendid : 2 2 p p p p x1 ' & & &q ja x2 ' & % &q 2 2 2 2
NÄIDE 3.3. Tasuvuspunktid. Olgu meil leitud ettevõtte kasumi P sõltuvus hinnast p järgmisel kujul: P (p) ' & 40 p 2 % 16 000 p & 1 200 000 Leida a) Millise hinna korral on kasum on null? b) Millise hinna korral on kasum 300 000 kr? Lahendus: a) Et leida, millise hinna korral on kasum null, paneme kasumi võrduma nulliga: P (p ) ' 0
Järgnevalt asendame kasumi selle avaldisega ja lihtsustame saadud ruutvõrrandit: & 40p 2 % 16 000p & 1 200 000 ' 0 | :(& 40) p 2 & 400p % 30 000 ' 0 Kasutades ruutvõrrandi lahendi valemit saame:
2 & 400 400 p1 ' & & & 30 000 ' 100 2 2
ja teine lahend Joonis 25 2 & 400 400 p2 ' & % & 30 000' 300 . 2 2 Seega tasuvuspunkte on kaks: 100 kroonise ja 300 kroonise hinna juures.
b) Kui kasum on 300 000 kr, siis P (p ) ' 300 000
Asendame jällegi kasumi vastava avaldisega ja lihtsustame saadud ruutvõrrandit: & 40 p 2 % 16 000 p & 1 200 000 ' 300 000 | & 300 000 & 40 p 2 % 16 000 p & 1 200 000 & 300 000 ' 0 & 40 p 2 % 16 000 p & 1 500 000 ' 0 | : (& 40) p 2 & 400p % 37 500 ' 0 Kasutades ruutvõrrandi lahendi valemit saame: 2 & 400 400 p1 ' & & & 37 500 ' 150 2 2
ja teine lahend
2 & 400 400 p2 ' & % & 37 500' 250 . 2 2
Vastus: Nii hinna 150 kr kui ka hinna 250 kr juures on kasum 300 000 krooni. MAJANDUSMATEMAATIKA I Võrrandid 21 NÄIDE 3.4. Turu tasakaal Toote pakkumist turul iseloomustab pakkumisfunktsioon, mis näitab turule paisatavate toodete arvu sõltuvust hinnast p:
q S (p) ' 2 p 2 % 3 p & 70
Toote nõudlust iseloomustab nõudlusfunktsioon, mis näitab nõutava koguse sõltuvust hinnast p q D ' 380 & 8 p
Leida tasakaaluhind, see on hind, mille korral pakutav kogus ja nõutav kogus on võrdsed. Lahendus: Tasakaalutingimuse kirjutame kujul: q S (p) ' q D (p)
Järgnevalt asendame pakutava koguse qS ja nõutava koguse qD vastavate avaldistega.
2 p 2 % 3 p & 70 ' 380 & 8 p 2 2 p % 3 p & 70 & 380 % 8 p ' 0 2 p 2 % 11 p & 450 ' 0
Ruutvõrrandi lahendi valemist leiame otsitava hinna:
& 11 % 112 & 4 @ 2 @ (& 450) p1 ' ' 12,5 2@2
& 11 & 112 & 4 @ 2 @ (& 450) p2 ' ' & 18 2@2 Joonis 26 Turu tasakaal Kuna hind ei saa negatiivne olla, siis teisel lahendil puudub mõte ja selle jätame kõrvale. Kontroll: q S (12,5) ' 2 @ 12,52 % 3 @ 12,5 & 70 ' 280 q D (12,5) ' 380 & 8 @ 12,5 ' 280
Vastus: Tasakaal turul saabub 12,5 kroonise hinna korral.
Graafik joonisel 26 kujutab nõudmise-pakkumise mudelit. Nõudmise ja pakkumise lõikepunkti nimetatakse tasakaalupunktiks, sellele vastavat hinda tasakaaluhinnaks ja kaubakogust tasakaalukoguseks. Piirkonda, kus nõudmine on pakkumisest suurem, nimetatakse ülenõudmiseks või alapakkumiseks. Piirkonda, kus pakkumine ületab nõudmise, nimetatakse ülepakkumiseks või alanõudluseks.
ÜLESANDED 3.17 Tooteühiku tootmiseks tehtavad kulutused on 30 kr ja nõudlust kirjeldab funktsioon q (p) ' & 100 p %10 000 , kus p on toote hind. Leida, millise hinna korral on kasum 100 000 krooni. 3.18 Linnatranspordi kasutajate arv on alates aastast 1990 muutunud järgmise seaduse kohaselt: y(t) = t2 - 40 t +800, kus t on aastate arv alates aastast 1990 ja y sõitjate arv tuhandetes. Leida, millisel aastal jõuab sõitjate arv 500 tuhandeni? 3.19 Firma aktsiate väärtus on muutunud järgmiselt: V (t) = -0,8 t2 + 120t +200, kus t on aktsiate väljalaskmisest möödunud kuude arv. Leida: a) milline oli aktsia väärtus 2 aastat pärast väljalaskmist; b) mitme aasta ja mitme kuu pärast jõudis aktsia väärtus 4000 kroonini. 3.20 Kirjeldagu nõutava koguse sõltuvust hinnast p funktsioon q D (p) ' & 500 p 2 & 3000 p % 40000 Lähitulevikus on prognoositud hinna muutumist järgmiselt 60 p (t ) ' t % 10
kus t on aeg päevades alates praegusest momendist. Mitme päeva pärast on nõudlus 32 000 tk? (Nõuanne: leia algul hind ja siis vastav kogus).
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 22
ÜLESANNETE VASTUSED 3.2 a) 14; b) 10; c) 5. 3.3 25 klienti. 3.4 mees 35 kr, naine 105 kr. 3.5 80 kr. 3.6 500.. 3.7 Firmast B, kui üle 50 km. 3.9 a)150 tk, b)kahjum on 1500 kr, c)180 tk. 3.8 100 3.10 Alla 1 000 000 tk variant B. 3.11 Alla 3 tunni Juhanit. 3.12 10 kr. 3.13 a)25 000 tk, b) 150 000 tk. 3.14 15. 3.15 Ligikaudu 47 tundi 3.16 15 päeva. 3.17 80 kr ja 50 kr; 3.18 Aastal 2000 ja aastal 2020 3.19 a) 2619,2 kr; b)3a. 9k, 8a. 9k. 3.20 20 päeva.
4. PROTSENT- JA FINANTSARVUTUSED Protsentülesannete põhitüübid.
1 Protsent on üks reaalarvu kirjutusviise: 1% ' ' 0,01 . Üldiselt 100 p p%' ' 0,01 p . 100 1 a Et leida 1% arvust a, tuleb leida arvust a ja see on ' 0,01 a . 100 100 13 a Et leida 13% arvust a, tuleb leida arvust a ja see on 13 @ ' 0,13 a 100 100
Sageli kasutatakse protsentülesannete lahendamisel võrdust b p ' a 100 %
kus p antakse protsentides ja see näitab, mitu protsenti arv b moodustab arvust a. Kuna aga 100% = 1, võib paremal pool jagamise 100% -ga ära jätta ja me saame
b 'p a
NÄIDE 4.1. Protsendi leidmine Härra A kulutab oma 7500 kroonisest kuu sissetulekust 500 kr auto peale. Mitu protsenti oma sissetulekust kulutab härra A auto peale? Lahendus: 500 . 0,0667 ' 6,67% 7500 Vastus: Auto peale kulub 6,67% härra A sissetulekust.
NÄIDE 4.2. Arvu leidmine protsendi järgi Volli on kokku hoitud 10000 kr. 60% sellest tahab ta paigutada aktsiatesse. Mitme krooni eest saab ta aktsiaid osta? Lahendus: x ' 60% 10 000 x ' 60% @ 10 000 ' 0,6 @ 10 000 ' 6000
Vastus: Volli saab aktsiaid osta 6000 krooni eest.
NÄIDE 4.3. Osa leidmine Juuksuritöökojas moodustavad kulutused rendile kõikidest fikseeritud kuludest 40%. Kui suured on töökoja fikseeritud kulud, kui rendile kulub 2000 kr kuus? Lahendus: Olgu Crent kulutused rendile ja CF fikseeritud kulud kokku. Siis võime kirjutada, et MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 23
Crent ' 40% CF 2000 ' 40% CF 2000 2000 CF ' ' ' 5000 40 % 0,4
Vastus: Töökoja fikseeritud kulud on 5000 kr kuus.
ÜLESANDED 4.1 Leida arv b, mis oleks p% arvust a. Ümarda sajandikeni. p% a a) 18% 350 b) 12,5% 65 c) 15% 65 4.2 Leida, mitu protsenti moodustab arv a arvust b. Ümardada vastused kümnendikeni. a b a) 8 10 b) 12 45 c) 18 500 4.3 Leida arv a, kui p% sellest on b. Ümarda 5 sajandiku täpsuseni. p% b a) 18% 25 b) 26% 1500 c) 33% 200
4.4 Firmas on 120 töötajat ja 30% on täienduskoolituse läbi teinud. Kui mitu töötajat peab veel täienduskoolitust saama, et kõik oleks selle läbi teinud? 4.5 Mulda pandud 200 seemnest idanes 156. Leida idanevuse protsent. 4.6 Klassis on 20 inglise keele õppijat ja 7 saksa keele õppijat. Mitu protsenti õpilasi õpib inglise keelt ja mitu protsenti õpib saksa keelt? 4.7 Kui Jaan kulutab 65% oma jõudeajast televiisori vaatamiseks ja seda teeb ta 13 tundi nädalas, mitu tundi on Jaanil nädalas jõudeaega? 4.8 Müüja Malle teenindab tunnis 65 ostjat, müüja Tiiu 50 ostjat. Leida a) mitu protsenti on Malle töökiirus Tiiu omast suurem? b) mitu protsenti on Tiiu töökiirus Malle omast väiksem? 4.9 Kaup hinnaga 3500 kr lasti odavale väljamüügile hinnaga 3000 kr. Leida, mitu protsenti on a) väljamüügi hind madalam esialgsest hinnast; b) esialgne hind kallim väljamüügi hinnast. 4.10 Kui oli tehtud 45% ettenähtud tööst, maksti selle eest 1440 kr. Kui suur summa oli ette nähtud kogu töö tegemise eest? 4.11 Firma kulufunktsioon on C (q) ' 500 % 30 q . Leida, mitu protsenti moodustavad püsikulud kogukuludest, kui a) tootmismaht on 200 ühikut; b) tootmismaht on 500 ühikut. 4.12 Ettevõtte tööjõukulud on töötasu pluss selle pealt makstavad maksud (haigekassa, sotsiaalmaks , pensionikindlustus ). Ettevõte A peab sotsiaal- ja haigekassamaksetena kandma riigieelarvesse summa, mis on 33% väljamakstavast töötasust. Kui tööjõukuludeks oli planeeritud 207480 kr, kui suur on töötasuna väljamakstav summa?
Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine.
NÄIDE 4.4. Protsentuaalne kasv. 1993. a. jaanuaris oli Eestis keskmine palk 755 kr. Aastaga kasvas keskmine palk 54,2%. Kui suur oli keskmine palk 1994. a. jaanuaris? I lahenduskäik: 755 + 54,2% @ 755 = 755 + 0,542 @ 755 = 755 + 409,21 = 1164,21 .1164 ; II lahenduskäik 755 + 54,2% @ 755 = 755 (1+ 0,542) = 755@ 1,542 = 1164,21.1164 . Vastus: 1994.a. jaanuaris oli keskmine palk Eestis 1164 kr.
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 24
Kui arvu a tuleb suurendada p%, s.t. arvule a tuleb liita p% arvust a, siis b ' a % p% a ' a % 0,01 p a ' a ( 1 % 0,01 p) .
Näiteks 20% 3%@20 ' 20 % 0,03 @20 ' 20 (1 % 0,03) ' 20 @ 1,03
Kui arvu a tuleb suurendada p%, s.t. arvust a tuleb lahutada p% arvust a, siis b ' a & p% a ' a & 0,01 p a ' a ( 1 & 0,01 p) .
Näiteks 20& 3%@20 ' 20 & 0,03 @20 ' 20 (1 & 0,03) ' 20 @ 0,97
ÜLESANDED 4.13 Aktsiate hind oli eelmisel kuul 150 kr. Sellel kuul oli hind kasvanud 4%. Kui eeldada, et kasv jätkub samas tempos , kui suur oleks aktsiate hind järgmisel kuul? 4.14 Arve maksetähtaja ületamisel tuleb maksta viivist 0,1% summast S iga hilinemispäeva eest. Leida võlgnevuse V (summa + viivis ) sõltuvus päevade arvust n. 4.15 1993.aastal oli kaupluse läbimüük 2 500 000 kr. 1994.a. oli läbimüük võrreldes 1993. aastaga 5% suurem. Leida: a) kui suur oli läbimüük 1994.a.; b) kui 1995. a. kasvab läbimüük samuti 5%, kui suur see peaks tulema ? 4.16 " Postimees " 18. septembril 1998: "Eesti Panga poolt ringlusse lastud sularaha maht moodustas augusti lõpul 5,5906 miljardit krooni, suurenedes möödunud aasta augusti lõpuga võrreldes 4,2 protsenti." Kui suur oli ringluses oleva sularaha maht 1997.a augusti lõpus? 4.17 Kui hüvise hind on p ja hüvise tarbimiskogus kuus q, siis tarbija kulutused selle hüvise tarbimiseks on C ' p q . Kui hüvise hind tõusis 25%, mitu protsenti peab tarbija vähendama tarbimiskogust, et kulutused jääksid samaks. 4.18 Kulutused elektrienergiale moodustavad praegu leiva omahinnast 10%. On oodata elektrienergia hinnatõusu 50 sendilt kWh kohta 60 sendini kWh kohta. a) Kui suurt leiva hinnatõusu saab põhjendada elektrienergia kallinemisega? b) Kui " Madise " leib maksab praegu 8.60, siis kui suur oleks selle leiva hind peale hinnatõusu? 4.19 *) Kauba hinda tõsteti r%, mille tulemusel tarbija vähendas selle kauba ostmist r%. Mitu protsenti muutusid tarbija rahalised väljaminekud? 4.20 *) Soome marga kurss Eesti krooni suhtes langes 1%. Kuidas muutus Eesti krooni kurss Soome marga suhtes?
Hinnad ja palgad
Kaupluse hinnakujundus sisseostuhind Sh + soetamiskulud (transport, rent jms.) Sk = omahind, soetamishind Oh = Sh + Sk + kasum (näit. 15% omahinnast) P = jaehind, netohind, hind ilma käibemaksuta Jh = Oh + P + käibemaks (Eestis näit. 18% jaehinnast) Km = müügihind, lõpphind, brutohind Mh = Jh + Km
NÄIDE 4.5. Sisseostuhind, omahind ja jaehind Kauplus ostab sisse sealiha hinnaga 26 kr kilogramm . Leida 1 kg sealiha omahind, jaehind ja müügihind, kui: 1) soetamiskuludeks arvestatakse 30% sisseostuhinnast; 2) kasumimääraks võetakse 15% omahinnast; 3) käibemaksumäär on 18% jaehinnast.
Lahendus: 1)-st soetamiskulud Sk = 30% Sh = 0,3 Sh omahind Oh = Sh + 0,3 Sh = 1,3 Sh = 1,3 · 26 = 33,80 2)-st kasum P = 15% Oh = 0,15 Oh MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 25 jaehind Jh = Oh + 0,15 Oh = 1,15 Oh = 1,15 · 33,80 = 38,87 3)-st käibemaks Km = 18% Jh = 0,18 Jh müügihind Mh = Jh + 0,18 Jh = 1,18 Jh = 1,18 · 38,87 = 45,87
Palk brutopalk - tulumaks = netopalk Bp - Tm = Np tulumaks = tulumaksumäär · (brutopalk - maksuvaba tulu) brutopalk + eraldised riigieelarvesse = tööjõu kulud Bp + Re = Tf eraldised riigieelarvesse = ravikindlustusmaks + sotsiaalmaks
NÄIDE 4.6. Netopalga põhjal brutopalga leidmine Olgu tulumaksumäär 26% maksustatavast summast ja maksuvaba summa olgu 500 kr kuus. Tulumaks Tm on sellisel juhul Tm ' 0,26 (Bp & 500)
kus Bp on kuu brutopalk. Netopalk Np on Np ' Bp & Tm 'Bp & 0,26 (Bp & 500) ' 0,74Bp % 130
See tähendab, et netopalk on 74% brutopalgast pluss veel 26% maksuvabast tulust. Viimasest seosest avaldame brutopalga Np & 130' 0,74Bp Np & 130 ' Bp 0,74 Leidsimegi seose brutopalga leidmiseks netopalga järgi.
ÜLESANDED 4.21 kasutades näites 4.5 toodud juurdehindlusmäärasid, leia sealiha sisseostuhind, kui müügihind peaks olema a) 40 kr; b) 42 kr. 4.22 Firma kuulutab ajalehes , et ta müüb pahtlit järgmiste hindadega (hinnad sisaldavad käibemaksu): 1,0 kg purk - 92 kr 2,0 kg purk - 167 kr a) Millised oleksid pahtli hinnad ilma käibemaksuta? b) Mitu protsenti kulutab ostja raha vähem, kui ta ostab kahe 1,0 kg purgi asemel ühe 2,0 kg kaaluva purgi? 4.23 Kauba hind koos 18%-lise käibemaksuga on 500 kr. Kui suur on käibemaks kroonides? 4.24 Ostetakse paar saapaid müügihinnaga 250 kr. a) Milline on saabaste jaehind? b) Kui suur on kaupluses saapapaari omahind ja sisseostuhind, kui kasum on 15% ja hankekulud 25%? c) Mitu krooni saab kauplus iga saapapaari müügist kasumit? 4.25 Kauba müügihind (hind koos käibemaksuga) oli 250 kr. Kauba jaehinda alandati 15%. Kui suur on uus müügihind? 4.26 Näidata, et kui jaehinda alandada r %, alaneb ka müühihind r %. 4.27 Müügijuht tahab arvutusvalemit kauba omahinna Oh arvutamiseks, lähtudes müügihinnast Mh. Kasumiprotsendiks soovib ta võtta 15% ja käibemaks on 18%. Kirjutada välja vastav võrrand. 4.28 Kui Juhan Juurikas tahab oma töö eest puhtalt kätte saada (netopalk) 3500 kr, kui suur peaks olema tema brutopalk, kui tulumaksumäär on 26% brutopalgast ja maksuvaba tulu on 500 kr kuus? 4.29 Juku töötab kuus 160 tundi tunnitasuga 50 kr ja Juhan töötab 100 tundi tunnitasuga 40 kr . Kui suur töötasufond tuleb planeerida, kui ravikindlustuse määr on 13% brutopalgast ja sotsiaalkindlustuse määr 20% brutopalgast? 4.30 1995. a. oli tulumaksuvaba miinimum 300 kr. 1996.a. on see 500 kr. Juku kuupalk on 4500 kr. Leida a) mitu krooni on Juku aastane netopalk 1996.aastal suurem kui 1995.a. b) mitu protsenti on Juku aastane netopalk 1996.aastal suurem kui 1995.a. 4.31 Leida seos brutopalga leidmiseks netopalga põhjal, kui a) tulumaksumäär on 26% ja maksuvaba tulu 800 kr kuus. b) tulumaksumäär on 15% ja maksuvaba tulu 800 kr kuus. 4.32 *) Leida seos brutopalga leidmiseks netopalga põhjal, kui tulumaksumäär on r ja maksuvaba miinimum Mv.
Lihtintressid. Aritmeetiline rida
Panka paigutatud (või välja laenatud) kapital kannab intresse, selle pealt saadakse intressitulu . Intressimäär avaldatakse tavaliselt protsentides algkapitalilt (investeeringult) aasta kohta.
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 26
Kui iga-aastase intressi arvutamise aluseks on üks ja seesama summa, siis seda nimetatakse lihtintressiks. Lihtintressi korral juurdekasv lisatakse põhikapitalile ühekordselt.
NÄIDE 4.7. Lihtintress. Rahasumma 10 000 kr laenatakse välja 2 aastaks lihtintressimääraga 12% aastas. Kui suure summa saab võlausaldaja tagasi, kui võlg tagastatakse tervikuna tähtaja lõpul? algkapital k = 10 000 intressimäär r = 12% aastate arv n =2
intressitulu ühe aasta eest i=rk = 0,12 · 10 000 = 1200 intressitulu kogu ajavahemiku eest I=in = 1200·2 = 2400 tagasisaadav summa e. lõppkapital K=k+I = 10 000 + 2400 = 12 400
Vastus: Tagasisaadav summa on 12 400 krooni.
Lihtintressi korral, kui algkapital on k, lihtintressimäär mingi perioodi (aasta, kuu, päeva) kohta r ja perioodide (aastate, kuude, päevade) arv n, siis intressitulu I ' rkn
Kogu tagasisaadav summa (lõppkapital): K ' k %I K'k% rkn K ' k (1%rn)
Tähtajad on tihti erinevad täisaastatest. Sellisel juhul täisaastast erinev periood teisendatakse kas kuudeks või päevadeks ja leitakse intressimäär vastavalt kuu või päeva kohta. Perioodide arvuks n võetakse vastavalt kuude või päevade arv. Saksa intressitavade kohaselt on aastas 360 päeva ja kuus 30 päeva.
NÄIDE 4.8. Lihtintress Härra X investeeris 70000 kr kolmeks kuuks 8%-ga. Milline on tema investeeringu tulu? algkapital k ' 70 000 8% intressimäär ühe kuu kohta r ' 12 perioodide (kuude arv) n' 3 8% intressitulu kolme kuu pealt I ' rkn ' 70 000 @ @ 3 ' 1400 12
Vastus: Härra X sai oma investeeringu pealt tulu 1400 krooni.
Algkapitali nimetatakse ka raha olevikuväärtuseks (ingl. present value , PV); lõppkapitali tulevikuväärtuseks (future value, FV), s.t. olevikus investeeritud rahasumma väärtus tulevikus.
NÄIDE 4.9. Lihtintress perioodiliste sissemaksete korral.. Perekond avab suurema ostu sooritamiseks säästuarve lihtintressimääraga 8,5% aastas ning igakuise sissemaksuga 100 kr. Kui suur on säästuarve 5. aasta lõpul? Kuna iga kuu tagant summa, mille alusel tuleb intressi leida, muutub, leiame intressid iga erineva summa jaoks eraldi ja liidame. Arvestada tuleb seda, et iga erinev summa on pangas ühe kuu vältel, järelikult tuleb intressi arvutamisel perioodiks võtta 1 kuu. MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 27
Sissemakse 1. 2. 3. ... 59. 60. KOKKU
Summa, mille eest arvutatakse 100 200 300 ... 5900 6000 intresse, (akumuleeruv kapital)
Vastava summa eest makstav 100r 200r 300r ... 5900r 0 100r + 200r + ... +5900r = intress (r on intressimäär 1 kuu r (100 +200+ .... +5900) eest)
"Kokku" veerus tuleb meil leida summa 100 +200+ .... +5900.
Rida on avaldis, mis koosneb lõpmatust jadast liidetavatest, rea liikmetest:
a1 % a2 % a3 % ... %ai & 1 % ai % ... ' j ai 4
i'1
Rida nimetatakse aritmeetiliseks reaks , kui iga rea liikme ja temale eelneva liikme vahe d on konstantne [1, lk.367-373]: a2 - a1 = a3 - a2 = ... = ai - ai - 1 = ... = d
Aritmeetilise rea esimese m liikme summa on
Sm ' j ai ' 1 m m (a % a ) m . i'1 2
Erijuhul, kui liikmete vahe on võrdne esimese liikmega, (d = a1): (1 % m) m Sm ' d 2 Seega näites "Kokku" veerus tuleb leida esimese 59=60-1 liikme summa aritmeetilisest reast 100 +200 +... +5900 + ... . See on summa kõikidest erinevatest jääkidest, mis igaüks on arvel 1 kuu vältel.
sissemaksete arv n ' 60 igakuine sissemaks d ' 100 8,5% intressimäär ühe kuu kohta r ' 12
erinevate jääkide arv m on 1 võrra väiksem sissemaksete arvust n : m ' n & 1 ' 59 ; summa, mille alusel makstakse intressi ühe kuu (1%m) m (1 % n & 1) (n & 1) n (n & 1) määra järgi avaldame n kaudu: Sm ' d' d' d ' 1770 @ 100 ' 177 000 ; 2 2 2 n (n & 1) 0,085 kogu intressitulu I ' r Sm ' r d ' @177 000 ' 1253,75 ; 2 12 n (n & 1) n&1 terve säästusumma K ' d n % I ' d n % r d'dn 1%r ' 100 @ 60 % 1253,75 ' 7253,75 . 2 2
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 28
Kui võrdsete perioodide tagant n perioodi vältel hoiustatakse konstantne summa d lihtintressimääraga r perioodi kohta, siis terve säästusumma on (n & 1) K ' dn 1 % r 2
NÄIDE 4.10. Laenu tagasimaksmine võrdsetes osades. Firma laenab 1,5 aastaks 180 000 krooni intressimääraga 9% aastas. Laenu tagasimaksmine toimub fikseeritud tagasimaksetena iga kvartali lõpul. Milline on summaarne laenukulu, kui intressi arvutatakse laenu jäägilt? Lahendus: Fikseeritud tagasimakse suurus leitakse laenusumma jagamisel tagasimaksete arvuga 6 (1,5 aastas on 6 kvartalit): 180 000 9% ' 30 000 . Intressimäär perioodi (kvartali) kohta on r ' ' 2,25% 6 4 Jääk Intress Tagasimakse Summaarse intressi leidmiseks tuleb liita keskmises veerus olevad arvud. See 180000 180000r 30000 summa on r @ (30000 % 60000 % ... % 180000) . Sulgudes on aritmeetiline rida, mille esimene liige on 30000 ja vahe on samuti 150000 150000r 30000 30000, reas on liikmeid 6. Sellise rea summa saab leida aritmeetilise rea 120000 120000r 30000 summa valemi põhjal: 90000 90000r 30000 (1 % 6) @ 6 (1 % 6) @ 6 180 000 1 % 6 S6 ' @ 30 000 ' @ ' @ 180000 60000 60000r 30000 2 2 6 2 30000 30000r 30000 Teises veerus olevate arvude summa on siis 1%6 I ' r @ S6 ' 2,25% @ 180 000 @ ' 14 175 2 Vastus: Summarne intress, mis tuleb sellelt laenult maksta, ehk laenukulu on 14175 krooni.
Kui laenu tagasimaksmine toimub võrdsete perioodiliste tagasimaksetena, siis laenukulu võib leida valemist
1%n I'kr 2
kus k on laenatud summa, r intressimäär perioodi kohta ja n tagasimaksete arv.
ÜLESANDED 4.33 Summa 30 000 kr laenatakse välja 6 kuuks lihtintressimääraga 20% aastas. Leida tagasisaadav summa. 4.34 Kui kauaks võin ma laenata 25 000 kr aastase lihtintressimääraga 15% , kui tagasi saan maksta 30 000 kr? 4.35 Mitu aastat peab olema hoiul 10 000 krooni, et see kasvaks lihtintressimäära 8% aastas korral 15 000 kroonini? 4.36 Kui suur peab olema aastane lihtintressimäär, et 5000 krooni kasvaks 2,5 aastaga 6000 kroonini? 4.37 Kui suur peab olema aastane lihtintressimäär, et algkapital kolmekordistuks 3 aastaga? 4.38 Laenuleping sõlmiti 5000 krooni peale 14.dets. 1993 tähtajaga 25.06.1997, lihtintressimääraga 6% aastas. Kui suure summa peab võlgnik tagastama? 4.39 Ametnik hoiustab iga kuu tagant 500 krooni lihtintressimääraga 6% aastas. Kui suur on säästusumma pärast 8 aasta möödumist? 4.40 Iga kolme kuu tagant hoiustatakse 500 krooni selleks, et 4 aastaga koguneks panka 10 000 krooni. Kui suur peaks olema aastane lihtintressimäär? 4.41 Firma laenab üheks aastaks 480 000 krooni. Pakutakse kahte võimalust: a) intressimäär on 9% aastas ja laenu tagasimaksmine toimub 12-s osas fikseeritud tagasimaksetena iga kuu lõpul. b) intressimäär on 8% aastas ja laenu tagasimaksmine toimub 4-s osas fikseeritud tagasimaksetena iga kvartali lõpul. Leida summaarne laenukulu kummalgi juhul. MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 29
Liitintressid. Geomeetriline rida
Kui igal intressi arvutamise perioodil võetakse intressi arvutamise aluseks kapital koos eelmise perioodi intressiga, siis kannab kapital liitintresse. Sel juhul intress ise kannab ka intressi. Olgu algkapital k krooni, intressimäär aastas r ning intresside kandmise aeg n aastat. Leiame, millise summani on kapital kasvanud: k2 ' k (1 % r) 2 . aas ta alg u l:
3. aasta algul: k3 ' k2 (1 % r) ' k(1 % r) (1 % r) ' k (1 % r)2 4. aasta algul: k4 ' k3 (1 % r) ' k (1 % r)2 (1 % r) ' k (1 % r)3 jne.
Liitintressi korral on lõppkapitali K suurus pärast n perioodi möödumist K ' k (1%r) n
kus r on intressimäär perioodi kohta (konstantne) ja k algkapital.
NÄIDE 4.11. Liitintress. Olgu hoiustatud algkapital 10 000 krooni, intressimäär 5% ja hoiustamisaeg 6 aastat. Leida lõppkapital, kui intress kantakse arvele iga aasta lõpul.
algkapital k ' 10 000 intressimäär r ' 5% hoiustamisaeg n ' 6
lõppkapital K ' k (1 % r) n ' 10 000 (1 % 0,01 @5)6' 10 000 @ 1,056 ' 13 400, 95
Lahendus: Vastus: Lõppkapital on 13400 krooni ja 95 senti.
NÄIDE 4.12. Raha tulevikuväärtus Firmal on võimalus investeerida 500 000 krooni projekti, mis annab 3 aasta pärast tulu 600 000 krooni. Kas see investeering tasub end ära, kui pankades on keskmine intressimäär 9,5% aastas? Lahendus: Leiame 500 000 krooni tulevikuväärtuse 3 aasta pärast: olevikuväärtus k ' 500 000 intressimäär r ' 9,5% aastate arv n ' 3
tulevikuväärtus K ' k (1 % r) n ' 500 000 (1 % 0,095)3' 500 000 @ 1,0953 ' 656466
Vastus: Projekti ei tasu investeerida, sest vastava summa tulevikuväärtus on suurem, kui projektist saadav tulu.
Geomeetriliseks reaks nimetatakse rida, mille iga liikme ja temale eelneva liikme suhe q on konstantne: a2 a3 a4 a ' ' ' ... ' i ' ... ' q . a1 a2 a3 ai & 1
Geomeetrilise rea esimese m liikme summa on
Sm 'j ai ' m a1 (q m & 1) . i'1 q&1
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Protsent- ja finantsarvutused 30 NÄIDE 4.13. Liitintress perioodiliste maksete korral. Perekond säästab igal aastal 5000 kr, mis paigutatakse panka intresse kandma. Kui suureks kasvab perekonna pangakapital 10 aastaga, kui intressimäär on 8% aastas ja intress kantakse arvele iga aasta lõpul? Vaatleme, kuidas sissemaksed kannavad intresse.
Sissemakse 1. 2. ... 9. 10. KOKKU
Mitu aastat kannab intresse 9 8 ... 1 -
Summa, milleks sissemakse 5000×1,089 5000×1,088 ... 5000×1,08 5000 5000 (1,089+1,088+ kasvab +...+1,08 + 1)
Veerus "Kokku" on sulgudes geomeetrilise rea summa, milles on 10 liiget (m = 10) teguriga q = 1,08 ja esimese liikmega a1 = 1. Kasutades geomeetrilise rea summa valemit, 1 ( 1,0810 & 1) 1 % 1,08 % 1,082 % ... % 1,089 ' ' 72 432,80 1,08 & 1
saame lõppkapitaliks
1 ( 1,0810 & 1) K '5000 @ ' 72 432,80 1,08 & 1
Vastus: Lõppkapital on 72432,80 kr.
Perioodiliste sissemaksete korral, kui p on perioodilise sissemaksu suurus ja n perioodide arv, siis liitintressi kandnud investeering annab lõppkapitaliks (1 % r)n&1 K 'p r
Kui arve avamisel kantakse arvele ühekordselt algkapital k ja hiljem lisandub n perioodilist sissemakset ühesuguse suurusega p, siis lõppkapitali K arvutamiseks kasutatakse valemit
(1 % r)n&1 K ' k (1%r) n % p r
kus r on intressimäär perioodi kohta.
ÜLESANDED 4.42 Leida lõppkapitali suurus, kui algkapital on 20 000 kr, liitintressimäär 5% aastas ja kapitali kasvu aeg 4 aastat. Intress lisatakse arvele kord aastas. 4.43 Kui suur summa on pangas aasta lÅpuks, kui aasta algul oli seal 5000 kr, aasta intress on 5% ja intress kantakse arvele iga kuu? Kui aga intress kantakse arvele iga päeva lÅpul? 4.44 Firmal on võimalus investeerida 800 000 krooni projekti, mis annab 5 aasta pärast tulu 1,5 milj. krooni. Kas see investeering tasub end ära, kui pankades on keskmine intressimäär 8,5% aastas? 4.45 Hoiustaja säästab 10 aasta vältel igal aastal 1200 krooni ja paneb selle raha aasta lõpul panka, kus makstakse intresse 6% aastas. Kui suure summa võib ta akumuleerunud kapitali arvel järgneval kümnendil iga aasta lõpul pangast välja võtta, kui intressimäär on endine? Intressi lisamine arvele toimub iga aasta lõpul. 4.46 25-aastane ülikooli lõpetaja otsustab oma 40 tööaasta vältel panna igal aastal panka 1000 krooni intressimääraga 10% aastas. Akumuleerunud kapitali kavatseb lõpetaja kasutada pensionilisana järgneva 20 aasta vältel sama intressimääraga. Kui suureks kujuneb optimisti iga-aastane pensionilisa? 4.47 Pakutakse järgmist kindlustuslepingut: 5 aasta vältel makstakse iga kuu lõpus sulle 500 kr, kusjuures kindlustusleping maksab 25 000 kr ja intress on 8% aastas. Kas see investeering tasub end ära? 4.48 Kui suur peab olema perioodiline sissemakse, kui lõppkapitaliks on 18000 kr, intressimäär on 8% aastas ja sissemakseid tehakse 10 aastat kord 3 kuu jooksul? Intress lisatakse kord aastas. MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 31 4.49 Viie aasta jooksul võetakse iga aasta lõpul pangast välja 1200 krooni, kuid panka jääb veel 1500 krooni. Kui suur peab olema algkapital, kui intressimäär on 5%?
ÜLESANNETE VASTUSED 4.1 63,00; 8,13; 9,75 4.2 80,0%; 26,7%; 3,6% 4.3 138,90; 5769,25; 606,05 4.4 84 4.5 78% 4.6 74,1%; 25,9% 4.7 20 4.8 a)30%; b) 23,1% 4.9 a)14,3%; b)16,7%. 4.10 3200 kr. 4.11 a) 7,7%; b) 3,2%. 4.12 156000 kr 4.13 162,24 4.14 V=S(1+0,001n) 4.15 2 625 000 kr; 2 756 250 kr 4.16 5,3653 miljardit krooni. 4.17 20%. 4.18 a) Hinnatõusu 2%; b) 8.75 kr. 4.19 0,01p2 % 4.20 Tõusis 1,01%. 4.21 22,67 kr; 23,81 kr. 4.22 a) 77,95; 141,55; b) 9,2% 4.23 76,27 kr 4.24 211,86; 184,23; Mh Np & 208 147,38 4.25 212,50 kr 4.27 Oh ' 4.28 4554,05 kr 4.29 15 960 kr 4.30 624 kr; 1,53% 4.31 a) Bp ' , 1,28 0,74 Np & 120 Np & r Mv b) Bp ' 4.32 Bp ' 4.33 33000 kr. 4.34 1,33... a = 1a. 4k. 4.35 6,25a. = 6a. 3k. 4.36 8% aastas. 4.37 0,85 1&r 66,7% 4.38 6059,17 kr 4.39 59 400 kr 4.40 13,3% 4.41 a) 23400 kr, b) 24000 kr. 4.42 24 310,13 kr 4.43 5255,81 kr, 5256,34 kr 4.44 Tasub, sest tulu on suurem kui tulevikuväärtus 1,2 milj kr. 4.45 2149 kr 4.46 51 987 kr 4.47 Ei tasu, kapitali olevikuväärtus on 24 659,22 kr, mis on väiksem küsitud summast. 4.48 310,63 kr 4.49 6370,66 kr
5. LINEAARSED VÕRRANDSÜSTEEMID. Asendus- ja liitmisvõte
NÄIDE 5.1. Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega Iga polüvitamiini "Iks" drañee sisaldab 10 mg vitamiini A ja 20 mg vitamiini C ning iga polüvitamiini " Igrek " drañee sisaldab 10 mg A vitamiini ja 30 mg C vitamiini. Kui sa vajad iga päev täpselt 50 mg A ja 120 mg C vitamiini, mitu drañeed "Iks" ja drañeed "Igrek" sa pead päevas võtma? Lahendus. Olgu x drañeede "Iks" arv ja y drañeede "Igrek" arv Paneme kirja seosed: drañee "Iks" drañee "Igrek" Kokku päevas vitamiin A 10 x + 10 y = 50 vitamiin C 20 x + 30 y = 120
Need kaks võrrandit moodustavad võrrandsüsteemi. Meil tuleb leida sellised suuruste x ja y väärtused, mille korral mõlemad võrrandid on rahuldatud.
Esialgu lihtsustame võrrandeid ja seejärel kasutame asendusvõtet, st. avaldame ühest võrrandist näiteks suuruse y ja asendame teise võrrandisse.
10 x % 10 y ' 50 | : 10 x %y ' 5 Y 20 x % 30 y ' 120 | : 10 2 x % 3 y ' 12 1. Avaldame esimest võrrandist suuruse y: y'5&x
2. Saadud avaldise paneme teise võrrandisse: 2 x % 3 (5 & x) ' 12
3. Lahendame saadud ühe tundmatuga võrandi: 2 x % 3 (5 & x) ' 12 2 x % 15 & 3 x ' 12 &x'&3 x'3
4. Kui x on teada, saame leida ka suuruse y. Selleks kasutame seda avaldist, kus y on avaldatud x kaudu: y'5&x'5&3'2
Kontroll: I võrrandi vasak pool: 10 @ 3 % 10 @ 2 ' 50 ; vasak pool = parem pool. II võrrandi v.p.: 20 @ 3 % 30 @ 2 ' 120 ; v.p. = p.p. Seega võrrandsüsteemi rahuldab arvupaar
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 32
x'3 y'2
Vastus: Drazeed "Iks" tuleb võtta 3 tk päevas ja drazeed "Igrek" tuleb võtta 2 tk päevas.
Võrrandisüsteemi kujul
a1 x % b1 y ' c1 a2 x % b2 y ' c2 nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandite süsteemiks.
Võrrandisüsteemi lahendiks on arvupaar (x; y), mis rahuldab mõlemat võrrandit.
Võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega: 1. Ühest võrrandist avaldatakse üks tundmatu teise kaudu. 2. Leitud avaldis asetatakse teise võrrandisse. 3. Lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand. 4. Teise tundmatu leidmiseks kasutatakse esimesel etapil leitud avaldist, millega teostati asendus.
Asendusvõtet saab kasutada ka rohkem kui kahest võrrandist koosneva süsteemi lahendamiseks.
NÄIDE 5.2. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine asendusvõttega. Olgu meil kolmest võrrandist koosnev süsteem
x1 % 2 x2 % x3 ' 4 2 x1 & x2 % 3 x3 ' 3 x1 % x2 & x3 ' 3
Avaldame kolmandast võrrandist x1: x1 ' 3 & x2 % x3
ja asetame saadud avaldise esimesse ja teise võrrandisse. Peale lihtsustamist saame kahe tundmatuga kahest võrrandist koosneva süsteemi:
x2 % 2 x3 ' 1 & 3 x2 % 5 x3 ' & 3
Avaldame esimesest võrrandist x2 x2 ' 1 & 2 x3
ja asetame saadud avaldise teise võrrandisse. Peale lihtsustamist saame x3 ' 0
Kasutades eespool toodud avaldisi x1 ja x2 jaoks, leiame ka nende tundmatute väärtused. Võrrandsüsteemi lahend on x1 ' 2 x2 ' 1 x3 ' 0
Kontroll: I: 2 % 2 @ 1 % 0 ' 4, v.p.'p.p II: 2 @ 2 & 1 % 0 ' 3, v.p.'p.p III: 2 % 1 & 0 ' 3, v.p.'p.p MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 33
NÄIDE 5.3. Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine liitmisvõttega. Firma toodab kaht toodet X ja Y. Tootmisel kasutatakse kaht järjestikust tootmisprotsessi A ja B. Protsessi A ressurss on 1750 tundi ja protsessi B ressurss on 4000 tundi. Toode X nõuab 3 tundi protsessi A ja 2 tundi protsessi B, toode Y vajab 1 tund protsessi A ja 4 tundi protsessi B. Kui palju saab toota toodet X ja toodet Y, et mõlema protsessi ressursid ammenduksid?
Lahendus: Olgu toote X hulk x ja toote Y hulk y. Kirjutades esimese võrrandi protsessi A summaarse ressursi kohta ja teise võrrandi B ressursi kohta, saame võrrandsüsteemi: A: 3 x % y ' 1750 B: 2 x % 4 y ' 4000 1. Lahendamiseks kasutame liitmisvõtet. Selleks korrutame esimese võrrandi läbi sellise teguriga, et muutuja y kordajad esimeses ja teises võrrandis oleksid vastandarvud : 3 x % y ' 1750 * @ (& 4) & 12 x & 4 y ' &7000 Y 2 x % 4 y ' 4000 2 x % 4 y ' 4000 2. Liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled:
/ & 12 x & 4 y ' &7000 % 2 x % 4 y ' 4000 & 10 x ' & 3000 3. Saadud võrrandi lahendamine annab, et x = 300. 4. Leitud x väärtuse asetame esimesse võrrandisse algses võrrandsüsteemis ja leiame tundmatu y väärtuse: 3 @ 300 % y ' 1750 y ' 1750 & 900 y ' 850 Kontroll: I võrrandi v.p.: 3 @ 300 % 850 ' 1750 ; v.p. = p.p. II võrrandi v.p.: 2 @ 300 % 4 @ 850 ' 4000 ; v.p. = p.p. Vastus: Mõlema tootmisprotsessi ressursid ammenduvad, kui toodetakse 300 toodet X ja 850 toodet Y.
Võrrandisüsteemi lahendamisel liitmisvõttega 1. Korrutatakse võrrandite mõlemaid pooli selliste teguritega, et peale korrutamist on ühe tundmatu kordajad teineteise vastandarvud. 2. Liidetakse võrrandite vastavad pooled. 3. Lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand. 4. Tundmatu leitud väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes.
Asendus ja liitmisvõtet võib kombineerida, eesmärgiks on ikka tundmatute järkjärguline elimineerimine, kuni saadakse üks võrrand ühe tundmatuga.
NÄIDE 5.4. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine. Olgu meil kolmest võrrandist koosnev süsteem x1 % 2 x2 % x3 ' 4 x1 % 3x2 '1 2 x1 % 3 x2 % 3 x3 ' 2
Avaldame esimesest võrrandist x1: x1 ' 4 & 2 x2 & x3
ja asetame saadud avaldise teise ja kolmandasse võrrandisse. Peale lihtsustamist saame kahe tundmatuga kahest võrrandist koosneva süsteemi:
x2 & x3 ' & 3 & x2 % x3 ' & 6
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 34 Liites võrrandite mõlemad pooled, saame 0'&9
Saime vastuolu, sellisel juhul võrrandsüsteemil lahend puudub.
NÄIDE 5.5. Kolmest võrrandist koosneva võrrandsüsteemi lahendamine. Olgu meil kolmest võrrandist koosnev süsteem x1 % 2 x2 % x3 ' 4 x1 % x2 % 2 x3 ' 1 2 x1 % 3 x2 % 3 x3 ' 5
Avaldame esimesest võrrandist x1: x1 ' 4 & 2 x2 & x3
ja asetame saadud avaldise teise ja kolmandasse võrrandisse. Peale lihtsustamist saame kahe tundmatuga kahest võrrandist koosneva süsteemi:
& x2 % x3 ' & 3 & x2 % x3 ' & 3
Saime kaks identset võrrandit. Võrrandite lahutamisel saame samasuse
0'0
See tähendab, et võrrandsüsteemil on lõpmata palju lahendeid . Võrrandsüsteem on rahuldatud suvalise x3 väärtuse korral, kui
x1 ' & 2 &3 x3 x2 ' 3 % x3
Lineaarsel võrrandsüsteemil puududa ; ÜLESANDED 5.1 Kahe testi punktide summa oli 175 ja vahe 11. Leida mõlema testi punktid. 5.2 Kahe testi punktide aritmeetiline keskmine oli 78 ja vahe 12. Leida mõlema testi punktid. 5.3 Kohviautomaat töötab 1- ja 5- krooniste müntidega. Automaadist võeti välja 210 münti kogusummas 490 kr. Mitu 1- kroonist ja mitu 5-kroonist münti välja võeti? 5.4 Härra Z on 100 000 kr paigutanud kahe firma aktsiatesse. Firma A aktsiate pealt saab dividende 8% nendesse paigutatud kapitalist ja firma B aktsiate pealt 10%. Kui suure summa eest on härra Z ostnud firma A aktsiaid ja kui suure summa eest firma B aktsiaid, kui kokku on dividende saadud 9400 kr? 5.5 Linnatranspordi kuukaart maksab 120 kr, soodustusega kaart aga 40 kr. Müüdud on 6700 kaarti kogusummas 684 000 kr. Mitu kuukaarti on müüdud kummastki liigist? 5.6 Mööblifirma toodab kahte tüüpi diivanilaudu, A ja B. Laudade tootmisprotsess koosneb monteerimisest ja viimistlemisest. A tüüpi laua monteerimine kestab 4 tundi ja viimistlemine 3 tundi, B tüüpi laua monteerimine kestab 1 tund ja viimistlemine 2 tundi. Monteerimisega tegeleb 5 töölist ja viimistlemisega 6 töölist. Leida, mitu A tüüpi ja mitu B tüüpi lauda on võimalik nädalas toota, kui töönädala pikkus kõigil töölistel on 40 tundi. 5.7 Linnas on bensiiniliitri hind 7.50 kr, maal on aga bensiin odavam, 7.20 kr liiter . Kuu aja jooksul oli autojuht ostnud 180 liitrit bensiini ja kokku kulutanud selle peale 1320 kr. Mitu liitrit odavamat ja mitu liitrit kallimat bensiini oli ta kuu aja jooksul ostnud? 5.8 Firmasse saabus arve 3000 krooni kohta. Arvel oli märgitud, et firma oli tellinud 100 pastapliiatsit ja 300 võtmehoidjat. Selgus aga, et tellimuse koostanud töötaja oli eksinud ja vajaminevad kogused olid teistsugused . Müügifirmaga lepiti kokku, et 100 võtmehoidjat tagastatakse ja selle asemel saadakse lisaks 50 pastapliiatsit. Seejuures tuli juurde maksta 25 krooni. Leida, milline oli pastapliiatsite ja võtmehoidjate hind, kui pastapliiatsite tellimisel rohkema kui 100 kaupa on allahindlus 10%. 5.9 Videolaenutust külastab tunnis ligikaudu konstante arv kliente. Kui laenutus on avatud päevas 8 tundi, siis külastajate arv on maksimaalsest 92 võrra väiksem. Kui laenutus on avatud 10 tundi päevas, on külastajate arv 46 võrra väiksem maksimaalsest. Kui suur on maksimaalne külastajate arv? 5.10 Uurime loomaliha (l) ja sealiha (s) turgu. Tähistades loomaliha hinda pl ja sealiha hinda ps võime nõudlus- ja pakkumisfunktsioonid välja kirjutada järgmiselt: loomaliha nõutav kogus Dl = 920 + 2ps - 4pl ; sealiha nõutav kogus Ds = 820 - 3ps + pl ; loomaliha pakutav kogus Sl = -60 + 32pl ; sealiha pakutav kogus Ss = -50 + 15ps . Leida hinnad, mille korral mõlemad turud on tasakaalus. MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 35 5.11 Uurime kolme asenduskauba turgu: 1. kauba nõutav kogus D1 = 23 - 5p1 + p2 + p3 ; pakutav kogus S1 = -8 + 6p1 2. kauba nõutav kogus D2 = 15 + p1 - 3p2 + 2p3 ; pakutav kogus S2 = -11 + 3p2 3. kauba nõutav kogus D3 = 19 + p1 + 2p2 - 4p3 ; pakutav kogus S3 = -5 + 3p3 Leida hinnad, mille korral kõik kolm turgu on tasakaalus. 5.12 *) Kasutades abitundmatuid, lahendada järgmine mittelineaarne võrrandsüsteem: 3 8 % '3 x y 15 4 & '4 x y
Determinantide kasutamine võrrandsüsteemi lahendamisel.
Keerulisemate võrrandisüsteemide lahendamiseks on kasulik kasutada determinante .
Teist järku determinandiks nimetatakse arvu D, mis saadakse neljast arvust koosnevast tabelist järgmise arvutuseeskirja abil:
D ' /0 /'a b &a b 00 a b 000 1 2 2 1 a1 b1
0 2 2 0
a1 x % b1 y ' c1 Lineaarse võrrandsüsteemi a2 x % b2 y ' c2 lahendamiseks determinantide abil leitakse kolm determinanti:
D ' /0 /0 ' a1 b2 & a2 b1 ; a1 b1 00 a b 00 võrrandsüsteemi determinant 0 2 2 0
Dx ' /0 /'c b &c b ; 00 c b 000 1 2 2 1 c1 b1 tundmatu x determinant 0 2 2 0
Dy ' /0 /'a c &a c . 00 a c 000 1 2 2 1 a1 c1 tundmatu y determinant 0 2 2 0 Seejärel leitakse võrrandsüsteemi lahend nn Crameri1 reegli järgi: D x' x ; D Dy y' . D
NÄIDE 5.6. Võrrandsüsteemi lahendamine determinantide abil Kasutame determinante lk. 33 näites 5.3 saadud võrrandsüsteemi 3 x % y ' 1750 2 x % 4 y ' 4000
1 Gabriel Cramer (1704 - 1752) ­ sveitsi matemaatik
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 36 lahendamiseks.
D ' /0 / ' 3 @ 4 & 1 @ 2 '10 . 3 1 00 2 4 000 Võrrandsüsteemi determinant
Dx ' /0 / ' 3000 . 1750 1 00 4000 4 000 Tundmatu x determinant
Dy ' /0 / ' 8500 . 3 1750 00 2 4000 000 Tundmatu y determinant
D 3000 x' x ' ' 300 D 10 Lahendid D 8500 y' y ' ' 850. D 10
Crameri reegli järgi saab leida võrrandsüsteemi lahendit, kui D ... 0 . Kui determinandid võrduvad nulliga ( D ' Dx ' Dy ' 0 ), on süsteemil lõpmata palju lahendeid; Kui on tegemist kolme tundmatuga kolmest võrrandist koosneva süsteemiga, a11 x % a12 y % a13 z' c1 a21 x % a22 y % a23 z' c2 a31 x % a32 y % a33 z' c3
kasutatakse vastavalt kolmandat järku deteminante.
Kolmandat järku determinandi
/0 11 12 13 /0 a a a 0 00 A ' 000 a21 a22 a23 00 00 00 00 a a a 00 0 31 32 33 0
väärtuse leidmiseks kasutatakse teist järku alamdeterminante:
A ' a11 /0 /0& a12 /0 /0% a13 /0 /0 a22 a23 a21 a23 a21 a22 00 a a 00 00 a a 00 00 a a 00 0 32 33 0 0 31 33 0 0 31 32 0 ' a11 (a22 a33 & a23 a32) & a12 (a21 a33 & a23 a31) % a13 (a21 a32 & a22 a31)
n tundmatuga n võrrandist koosneva lineaarse võrrandsüsteemi lahendamiseks kasutatakse n-järku determinante.
Determinantide meetodit on lihtne kasutada, kuna determinante on võimalik arvutada arvuti abil (näiteks MS Excelis funktsioon MDETERM).
ÜLESANDED 5.13 Leida teist järku determinantide väärtused:
a) /0 /0 b) /0 /0 c) /0 / 7 3 11 &9 00 20 &10 000 &10 &30 00 4 5 00 00 2 4 00 MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed võrrandsüsteemid 37 5.14 Leida kolmandat järku determinantide väärtused:
/0 / /0 / 2 4 3 10 2 &4 a) 00 3 &2 5 000 b) 00 2 2 &5 000 00 0 00 0 00 2 1 &3 000 00 1 &3 1 000
5.15 Kahe täiendkauba A ja B turu analüüs näitas, et kauba A nõutav kogus DA = 410 - 5pA - 2pB ; kauba B nõutav kogus DB = 295 - pA - 3pB ; kauba A pakutav kogus SA = -60 + 3pA ; kauba B pakutav kogus SB = -120 + 2pB . Leida hinnad, mille korral mõlema kauba turg on tasakaalus. Lahendamiseks kasutada determinante. 5.16 Lahendada determinantide abil järgmine kolmest võrrandist koosnev süsteem: 2 x1 % 4 x2 & x3 ' 52 & x1 %5 x2 % 3 x3 ' 72 3x1 & 7x2 % 2 x3 ' 10
5.17 Toodete X, Y ja Z ressursivajadused on toodud järgnevas tabelis: Ressurss Toode A B C
X 3 3 1
Y 3 2 3
Z 2 0 1 Ressursside A, B ja C kogused on vastavalt 130; 85 ja 60. Leida toodete X, Y ja Z kogused, et kõik ressursid oleksid jäägitult kasutatud.
Võrrandsüsteemi graafiline lahendamine
II järku lineaarseid võrrandsüsteeme on võimalik lahendada ka graafiliselt. Graafilise lahendamise korral vaadeldakse mõlemat süsteemi võrrandit kui sirge võrrandit. Vastavate sirgete lõikepunkti koordinaadid ongi antud võrrandsüsteemi lahendiks.
Lahendame lk. 31 näites toodud võrrandsüsteemi graafiliselt. Võrrandsüsteem, mis saadi:
10 x % 10 y ' 50 20 x % 30 y ' 120
Sirgete konstrueerimiseks tuleb meil leida sirgete võrrandid ilmutatud kujul. Selleks avaldame mõlemast võrrandist y: y'5&x 2 y'4& x 3
Saadud võrrandite põhjal konstrueerime sirged . Sirgete lõikepunkt ongi koht, kus mõlemad võrrandid on rahuldatud (joonis 27). Joonis 27
ÜLESANNETE VASTUSED 5.1 93; 82; 5.2 84; 72; 5.3 140 1-kroonist ja 70 5-kroonist; 5.4 Firma A aktsiaid 30 000 kr eest ja firma B aktsiaid 70 000 kr. 5.5 5200 tavalist ja 1500 soodustusega; 5.6 A tüüpi laudu 32 tk ja B tüüpi laudu 72 tk 5.7 Odavamat 100 l ja kallimat 80 l 5.8 Pastapliiats 15 kr, võtmehoidja 5 krooni. 5.9 276 5.10 Sealiha 50 kr ja loomaliha 30 kr; 5.11 p1= 4 kr; p2 = 7 kr ja p3 =
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 38 6 kr. 5.12 x = 3; y = 4. 5.13 a) 23; b) 62; c) 700 5.14 a) 99; b) -112 5.15 Kauba A hind 40 kr ja kauba B hind 75 kr 5.16 x1 ' 15; x2 ' 9; x3 ' 14 5.17, 8.21 X 25 tk, Y 5 tk ja Z 20 tk.
6. LINEAARSED FUNKTSIOONID Võrdeline ja lineaarne seos.
NÄIDE 6.1. Võrdeline sõltuvus Näituse avamisel hakati loendama külastajaid ja saadi järgmised tulemused: Päevade arv p 1 2 3 4 5
Külastajate arv k 250 500 750 1000 1250
Võib öelda, et - näitusel käinute arv suureneb proportsionaalselt (võrdeliselt) päevade arvuga; - iga päevaga lisandub ühesugune ehk konstantne arv külastajaid; - näituse külastajate arvu ja päevade arvu suhe on jääv (ühesugune, ei muutu): k ' 250 ehk k ' 250p p
Võrdeliseks sõltuvuseks nimetatakse kahe suuruse x ja y vahelist sõltuvust, mille korral nende jagatis on konstantne:
y 'a x kus konstanti a nimetatakse võrdeteguriks. Võrdelist sõltuvust suurus y on võrdeline suurusega x võib kirja panna ka kujul
y'ax
Näiteks - kui tunnitasu on 75 krooni, siis summaarne töötasu T on võrdeline töötatud tundide arvuga t: T ' 75 t ; - saadud tulu R on võrdeline müüdud toodete arvuga q, võrdeteguriks on hind p: R =p q .
NÄITE järg. Kui näitus oli enne teises linnas ja seal oli käinud külastajaid 5000, siis summaarne külastajate arv s on s = k + 5000 ehk s = 250p + 5000.
Lineaarseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mille avaldis on esitatav kujul y = ax + b, kus a ja b on konstantsed arvud.
Näiteks - kulufunktsiooni kuju on tihti lineaarne C (q) ' a q % b ; - nõutava koguse q ja hinna p vahel võib olla lineaarne seos q (p) ' &40 p%1000 ; - müüja töötasu T võib sõltuda läbimüügist q lineaarselt T (q) ' 0,15 q % 1200 .
ÜLESANDED 6.1 Leida lineaarse funktsiooni kuju, kui a) a = 15 b = 23 MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 39 b) a = -24 b = -12 c) a = 0 b=9 d) a = 12 b = 0 6.2 Firma A käive oli 1993 aastal 100 000 kr. Käive suureneb igal aastal konstantse väärtuse, 20 000 kr võrra. Avaldada käive K kui aja t funktsioon , võttes 1993.a. t = 0 . Leida käibe prognoositav väärtus aastal 1996. 6.3 Panga eraklientide arv oli aasta algul 10 000. Iga kuuga suureneb klientide arv 900 võrra. Kui suur on klientide arv aasta lõpuks? 6.4 Firma püsikulud olid eelmisel kuul 15000 kr ja kulud ühe toote kohta 55 kr. Leida firma kulufunktsioon. 6.5 Müüja töötasu on võrdeline läbimüügiga. Eelmisel kuul oli läbimüük 90 tuh kr ja müüja töötasu 4500 kr. Panna kirja müüja palgamudel. 6.6 Müüja kuupalk on 1500 kr kuus pluss 20 senti iga läbimüügi krooni kohta. Panna kirja müüja palgamudel. 6.7 *) Majandusteadlased on kindlaks teinud, et kui pakutav kogus ja nõutav kogus on erinevad, siis toote hind turul muutub kiirusega, mis on võrdeline nõutava koguse ja pakutava koguse vahega. Formuleerida see seos matemaatilise mudelina.
Lineaarse mudeli parameetrite leidmine
Lineaarne sõltuvus kahe suuruse vahel on lihtsaim sõltuvus ja seetõttu eeldatakse tihti, et uuritavat nähtust kirjeldav mudel on lineaarne ja esitatav kujul y (x) ' a x % b ,
kus x on sõltumatu muutuja ja y sõltuv muutuja. Konstante a ja b nimetatakse mudeli parameetriteks. Lineaarse mudeli parameetrite leidmisel vaadeldakse neid kui tundmatuid. Kuna tundmatuid on kaks, on nende leidmiseks vaja kahte võrrandit, mis moodustavad võrrandsüsteemi: y1 ' a x1 % b y2 ' a x2 % b Teades sõltumatu muutuja väärtusi x1 ja x2 ning neile vastavaid sõltuva muutuja väärtusi y1 ja y2, saab võrrandsüsteemi lahendada ning parameetrite a ja b väärtused leida.
NÄIDE 6.2. Lineaarse kulufunktsiooni parameetrite leidmine Firma A kogukulud olid jaanuaris 70 000 kr ja veebruaris 77 500 kr. Tootmismaht oli vastavalt 300 ühikut ja 350 ühikut. Eeldades, et kulufunktsioon on lineaarne ning püsikulud ja muutuvkulud tooteühiku kohta konstantsed, leida kulufunktsioon. Lahendus: Lineaarse kulufunktsiooni üldkuju C (q) ' cv q % CF
Selline kulude mudel peab rahuldama nii jaanuarikuu kui ka veebruarikuu kulud jaanuaris C1 ' 70000 andmeid: tootmismaht jaanuaris q1 ' 300 kulud veebruaris C2 ' 77500 C1 ' cv q1 % CF tootmismaht veebruaris q2 ' 350 C2 ' cv q2 % CF püsikulu CF muutuvkulu tooteühiku kohta cv Paneme võrranditesse sisse arvandmed
70 000 ' cv @ 300 % CF 77500 ' cv @ 350 % CF
Saime lineaarse võrrandsüsteemi. Süsteemi lahendamiseks lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusel saadud ühe tundmatuga võrrandist leiame ühe parameetri: 7500 ' 50 cv | :50 150 ' cv Saadud väärtuse paneme võrrandsüsteemi esimesse võrrandisse ja leiame teise parameetri, püsikulu:
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 40
70 000 ' 150 @ 300 % CF 70 000 ' 45 000 % CF 25 000 ' CF
Nüüd paneme mõlemad parameetrid kulufunktsiooni üldkujusse ja ongi meil käes otsitav kulufunktsioon: C (q) ' 150 q % 25 000
ÜLESANDED 6.8 Müügiagendid sooritasid kutsesobivustesti. Aasta pärast võrreldi testi tulemusi müügiagentide aastase läbimüügiga. Sellel, kes sai 52 punkti, oli läbimüük 119 000 kr, 74 punkti saajal aga 163 000 kr. Oletades, et testil saadud punktide arvu ja läbimüügi suuruse vaheline seos on lineaarne, leida seda sõltuvust kirjeldav funktsioon. 6.9 Osteti 20 000 kroonine tööpink, mille väärtus langeb lineaarselt, nii et tema hind 10 aasta pärast on 1000 kr. Avaldada tööpingi väärtuse sõltuvus tema vanusest ja leida pingi väärtus 4 aasta pärast. 6.10 Turu-uuring näitab, et kui toote A hind on 5,50 kr langeb nõutav kogus 6750 ühikuni kuus. Kui hind on aga 3 kr, tõuseb ühes kuus nõutav kogus 10750 ühikuni. Sellise hinna juures ei suuda enamik tootjaid seda toodet enam toota ning pakutav kogus langeb 2250 ühikuni kuus. Seevastu hinna 15,50 kr juures on pakutav kogus 15750 ühikut. Millise hinna korral saabub antud toote turul tasakaal? Eeldada, et nii pakkumis- kui ka nõudlusfunktsioon on lineaarne
Sirge võrrand.
Lineaarse funktsiooni y (x) ' a x % b graafikuks on sirge, kus parameetreid a ja b nimetatakse järgmiselt: a sirge tõus; b algordinaat.
Näites 6.1 toodud lineaarse funktsiooni s = 250p + 5000 graafik on toodud joonisel 28.
Sirge võrrandi parameetrite tõlgendus (vt. joonis 29): Joonis 28 Joonis 29 külastajad=5000+250×päevad
NÄIDE 6.3. Kiiruse leidmine Autoga sõites on ühtlase sõidu korral läbitud teepikkus võrdeline selle läbimiseks kulunud ajaga . Auto kiiruse leidmiseks tuleb läbitud teepikkus jagada selle läbimiseks kulunud ajaga: teepikkuse muut kiirus ' aja muut MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 41 s Tähistades teepikkuse muutu s ja aja muutu t , siis kiirus v ' . t
Kui sirge läbib punkte (x1; y1) ja (x2; y2), siis sirge tõus suuruse y muutus y y2& y1 a' ' ' suuruse x muutus x x2& x1 ja vabaliige b ' y1 & a x1 või b ' y2 & a x2
Joonis 30
NÄIDE 6.4. Tulufunktsioon lineaarse nõudlusfunktsiooni korral Poodnik müüb fotoaparaate hinnaga 950 kr/tk. Selle hinnaga ostetakse aparaate 40 tk kuus. Müügi suurendamiseks planeerib poodnik hinda alandada ja arvestab , et 10 kroonine hinnaalandus suurendab läbimüüki 2 aparaadi võrra. Avaldada läbimüügi sõltuvus hinnast ja leida, milline oleks läbimüük 900 kroonise hinna juures. y 2 a' ' '&0,2 algne hind x1 ' 950 x &10 algne läbimüük y1 ' 40 b ' y1&ax1 ' 40& (&0,2 @ 950) ' 40%190' 230 hinna muutus x ' &10 y (x) ' ax % b '&0,2x%230 läbimüügi muutus y'2 y (900) ' &0,2@900%230'&180%230'50
Vastus: 900 kroonise hinnaga müüks poodnik 50 aparaati kuus.
NÄIDE 6.5. Kahe sirge lõikepunkti leidmine. Olgu meil 2 sirge võrrandid ilmutamata kujul. Sirge A võrrand on 7,5 x % 5 y & 600 ' 0 ja sirge B võrrand on 3,84 x %1,2 y &240 ' 0 . Leida nende sirgete lõikepunkt. Sirgete lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrrandit, järelikult tuleb lahendada 2 tundmatuga kahest võrrandist koosnev võrrandsüsteem: 7,5 x % 5 y & 600 ' 0 3,84 x %1,2 y &240 ' 0
Viime vabaliikmed teisele poole võrdusmärki:
7,5 x % 5 y ' 600 3,84 x %1,2 y ' 240
Leiame determinandid: D ' /0 /0 '&10,2 ; Dx ' /0 /0 '&480 ; Dy ' /0 / ' &504 . 7,5 5 600 5 7,5 600 00 3,84 1,2 00 00 240 1,2 00 00 3,84 240 000 D & 480 x' x ' . 47,059 D & 10,2 Lahendid D & 504 y' y ' . 49,412. D & 10,2 Kontroll: Sirge A võrrand 7,5 @ 47,059 % 5 @ 49,412 & 600 ' 0,0025 . 0 Sirge B võrrand 3,84 @ 47,059 %1,2 @ 49,412 &240 ' 0,00096 . 0 Vastus: Sirged lõikuvad punktis (47,059; 49,412) .
ÜLESANDED 6.11 Tabelis on toodud 7 erinevat lineaarset funktsiooni Järgnevatel joonistel on toodud 7 erinevat sirget. Teha kindlaks a) Millisele funktsioonile vastab milline sirge. b) Mis on ühist sirgetel 2, 5 ja 6?
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 42 c) Mis ühist on sirgetel 4 ja 7? d) Mis on ühist sirgetel 6 ja 7?
y = ax + b
y1 = 2x y5 = -2x + 10
y2 = 0 y6 = 2x + 20
y3 = 5x y7 = 2x + 10
y4 = -2x
Joonis 31 Joonis 32
6.12 Teenindusettevõte osutas teenust 20 krooni eest, kuus osutati teenust 4000 kliendile. Kui hind tõsteti 25 kroonini, vähenes klientide arv 400 võrra. Kui suur oleks klientide arv olnud, kui hind oleks tõstetud 23 kroonini (Eeldame, et seos klientide arvu ja teenuse hinna vahel on lineaarne). 6.13 Ujumisklubi liikmemaks on 1500 kr 12-nädalase suveperioodi eest. Kui astuda klubisse peale suveperioodi algust, on liikmemaks proportsionaalselt väiksem. Avalda liikmemaksu sõltuvus nädalate arvust, mis on möödunud suveperioodi algusest ja leida maksu suurus, kui astuda klubisse 5 nädalat peale perioodi algust. 6.14 Tarbimismudelid näitavad, kuidas pere sissetuleku suurenedes muutuvad kulutused erinevat liiki kaupade/ teenuste ostmiseks. Enamasti kasutatakse lineaarset mudelit y ' ax % b , kus x on sissetulek pereliikme kohta ja y kulutused vastavale kauba- või teenustegrupile. Kasutades Eesti pereuuringute andmeid 1994.a.IV kvartalist, on analüüsitud perede kulutusi erinevatele kaupadele ja teenustele ning nende sõltuvust rahalistest sissetulekutest pereliikme kohta. Analüüsi tulemusel on saadud järgmised tarbimismudelid: kulutused toiduainetele (kr kuus) K1 = 0,109x + 215 ; kulutused tööstuskaupadele ja teenustele (kr kuus) K2 = 0,466x - 13,8 , kus x on sissetulek pereliikme kohta kroonides. a) Kui suured on kulutused toidukaupadele sissetuleku puudumisel? b) Mida näitab arv 0,109 toiduainete tarbimismudelis? c) Kui sisseutlek suurenes 1000 kr võrra, mitme krooni võrra suurenesid kulutused toidukaupadele ja mitme krooni võrra teenustele? d) Kuidas tõlgendada seda, et teenuste tarbimismudelis on vabaliige (algordinaat) negatiivne? e) Leida, millise sissetulekuga pered kulutasid toiduainetele sama palju kui tööstuskaupadele ja teenustele.
Eelarvejooned Sirge üldvõrrand
NÄIDE 6.6. Eelarve jooned Koolipoisil on 40 kr. Poiss võib ära kulutada kogu raha, kusjuures tal on vaja osta 4 kroonised vihikuid, samuti tahab ta osta 2 krooniseid sokolaadimedaleid. a) Kui ta peab ostma 8 vihikut, mitu sokolaadi ta saab osta? b) Kas ta saab osta 12 vihikut, kui ta on oma sõbrale võlgu 5 sokolaadi ja võlg tuleb tasuda? c) Kui poisil on aga 60 krooni, kas ta siis saab osta 12 vihikut ja 5 sokolaadi? d) Kui tal 60 krooni, mitu sokolaadi saab poiss osta, kui ta ostab 8 vihikut? e) Kui poisil on 20 krooni ja ta ostab 3 sokolaadi, mitu vihikut ta siis osta saab? MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 43 Olgu vihikute arv x ja sokolaadide arv y. Siis nendele kaupadele tehtud kulutuste summa on võrdne poisil oleva rahasumma (40 kr) suurusega: 4x % 2y ' 40
See võrrand väljendab poisi kulutuste kitsendust.
Joonis 34 Joonis 33
I Lahendus: graafiline meetod. Graafiku konstrueerimiseks on meil vaja saadud võrrandist avaldada (ehk ilmutada) suurus y : 2y ' 40&4 x | :2 40 4 y ' & x ' 20&2x 2 2
Saime sirge võrrand y (x) ' 20&2x , millele vastab sirge 1 joonisel 33. Summa 60 krooni korral tuleb sirge 2 võrrandiks y (x) ' 30&2x ja 20 kr korral sirge 3 võrrandiga y (x) ' 10&2x (joonis 34). Vastused küsimustele a) - e) leiame nüüd graafikutelt.
II lahendus: analüütiline meetod. a) Kasutades suuruse y suhtes ilmutatud võrrandit y (x) ' 20&2x leiame sokolaadide arvu y, kui vihikute arv x=8: y (8) ' 20&2 @ 8 ' 4 . Vastus: Kui koolipoiss peab ostma 8 vihikut, siis jääb tal raha üle 4 sokolaadi ostmiseks. b) Leiame summaarsed kulud 12 vihiku (x=12) ja 5 sokolaadi korral (y=5): 4 @ 12% 2 @ 5 ' 58 > 40 Vastus: 40 krooniga 12 vihikut ja 5 sokolaadi osta ei saa, sest summaarsed kulud ületavad eelarve.
Selle näites on koolipoisil olev rahasumma kui eelarve kitsendus ( budget constraint): tema rahaliste kulutuste summa ei saa ületada rahalisi sissetulekuid. Joonistel 33 ja 34 toodud sirged on tarbimis- võimaluste sirged ehk bilansisirged (budget line) ehk samakulu jooned (isocost lines). (Termin samakulu joon tähendab, et piki seda joont liikudes on summaarsed kulud konstantsed.)
Eelarve kitsenduse analüüsimisel: ! hinnad px ja py on muutumatud; ! summaarsed kulud (eelarve) C on muutumatu; ! lubatud on vaid erinevad kombinatsioonid hüviste kogustest. Kui me muudame eelarvet või hindu, on tegemist uue eelarve kitsendusega.
Joonisel 35 vastab igale punktile kindel kombinatsioon hüviste X ja Y kogustest x ja y: ! A korral jääb raha üle: px xA % py yA C . Joonis 35
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 44
Lubatud on seega need kombinatsioonid, mille korral px x% py y # C .
Kui on antud sirge üldvõrrand px x + py y = C, siis sirge ilmutatud võrrand on y (x) ' a x % b px kus sirge tõus a ' & py C ja vabaliige b ' . py
Eelarve kitsendus avaldub võrrandina järgmiselt: px x + py y = C, kus x ja y on hüviste kogused, px ja py nende hinnad ja C summaarne rahasumma
Eelarve joonte kasutamist vt. ka raamatutes " Kerem , K., Randveer, M., Vensel, V. Mikroökonoomika alusteooriad. Tln.Külim. 1996" lk. 79 , "Mikroökonoomika õpik. Tartu 1996" lk. 91.
Võrrand px x + py y = C on sirge võrrandi üldkuju ehk ilmutamata kuju. Avaldades suuruse y, saame:
px C y'& x% py py võrdleme sirge võrrandi ilmutatud kujuga y ' ax % b
Eelarve joone tõus on negatiivne (miks?) ja absoluutväärtuselt võrdne hüviste hindade suhtega. Saadud avaldisi võib võrrelda raamatus "Mikroökonoomika õpik. Tartu 1996" lk. 91 toodud valemitega.
NÄIDE 6.7. Palgapiirangu sirge Olgu töötaja A ainsaks sissetulekuallikaks tema töö, kusjuures tema tunnitasu on 25 kr. Joonisel 36 näitab palgapiirangu sirge A sel juhul kõiki erinevaid sissetuleku ja vaba aja kombinatsioone, mida antud töötaja võiks antud tunnitasuga realiseerida. Näiteks 16 tunni vaba aja korral on sissetulek 200 kr, 8 tunni vaba aja korral aga 400 kr. Võttes vaba aega 24 tundi, jääb ta sissetulekuta ja selleks, et saada 600 kr, peab ta loobuma vabast ajast. Tähistades sissetulekut tähega S ja vaba aega tähega t, võib sirge A võrrandi kirjutada kujul S (t) ' 600 & 25 t . Kui suur on tunnitasu töötajal B ja töötajal C?
Töö ja vaba aja vahel valiku tegemist uurib tööjõu individuaalse pakkumise teooria
Joonis 36 MAJANDUSMATEMAATIKA I Lineaarsed funktsioonid 45
(Campbell, R. McConnell, Stanley L. Brue. Kaasaegne töö ja palga ökonoomika. EMI Loengumapp nr. 4-18. Tln.1991).
NÄIDE 6.8. Eelarve joonte muutumine Olgu C eelarve suurus, px hüvise X hind ja py hüvise Y hind, x ja y hüviste kogused. Uurime, kuidas tarbimisvõimaluste sirge muudab oma asendit, kui muutub eelarve suurus või hüvise hind (vt. joonis 37).
Joonis 37
ÜLESANDED 6.15 Toote A kokkupanekuks kulub töötajal 40 min., toote B kokkupanekuks 1h 30 min. a) Leida avaldis, mis seoks tööpäeva jooksul (8 tundi) kokkupandud toodete A ja B koguseid. b) Kui päevas tuleb kokku panna 6 toodet sordist A, mitme toote B jaoks jääb veel aega? c) Kas on võimalik kokku panna 5 toodet A ja 3 toodet B? 6.16 Kahe kauba peale, mille hinnad on vastavalt 30 kr ja 50 kr, on võimalik kulutada 1200 kr. Leida eelarvejoone võrrand ilmutatud kujul: a) antud hindade ja eelarve korral; b) eelarve on 25% väiksem; c) esimese kauba hind kahekordistub; d) teise kauba hind langeb 10 kr võrra. Arvutil programmis MSExcel konstrueerida vastavad graafikud. 6.17 Leida, milline on joonisel 38 toodud eelarve joonele vastav eelarve väärtus ja hüvise X hind, kui hüvise Y hind on 45 kr.
Joonis 38 Joonis 39
6.18 Kui suur on joonisel 39 toodud palgapiirangu sirge korral tunnitasumäär ja kui palju vaba aega jääb, kui sissetuleku suuruseks valida 750 kr? 6.19 On toodud järgmised hindade ja eelarve variandid: a) eelarve on 9000 kr, hüvise X hind 15 kr; b) hüvise X hind on 5 kr ja hüvise Y hind 10 kr; c) hüvise X hind on 100 kr ja hüvise Y hind 3,75 kr. Viia kokku antud eelarve variandid ja joonisel 40 toodud graafikud.
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Elementaarfunktsioone 46
Joonis 40
6.20 Farmer kasvatab suuri ja väikeseid broilereid. Iga suure broileri üleskasvatamiseks kulub 20 kg sööta ja väikese jaoks 10 kg sööta. a) Leida seos broilerite arvu vahel, kui farmeril on sööta 1500 kg ja ta tahab kõik ära kulutada. b) Kui farmer tahab kasvatada 30 suurt broilerit, mitu väikest ta saab kasvatada? 6.21 Hüvise X hind on 120 kr ja hüvise Y hind on 500 kr. Peale hinnatõusu on hüvise X uus hind 170 kr. Kui suur peaks olema hüvise Y uus hind, et uus eelarve joon oleks vanaga paralleelne? 6.22 Katlamajas kasutatakse kas kivisütt (K) või gaasi (G). Kivisöe hind on 100 ja gaasi hind 500. Leida samakulujoone võrrand, mis näitab erinevaid võimalusi kivisöe ja gaasi kulutamise kohta, kui a) summaarne kulu võib olla 10 000, b) summaarne kulu suureneb 50% , c) gaasi hind alaneb 20%, d) kivisöe hind tõuseb 25%. Arvutil konstueerida vastavad graafikud.
ÜLESANNETE VASTUSED 6.2 K(t)=20 000t +100 000; 160 000 kr; 6.3 20 800. 6.4 C (q) ' 15000 % 55 q , kus q on kogus. 6.5 Töötasu T ' 0,05 L , kus L on läbimüük 6.6 Töötasu T ' 1500 % 0,2 L , kus L on läbimüük 6.7 Kui nõutav kogus on D ja pakutav kogus S, siis hinna muutumise kiirus v ' k (D & S) , kus k on võrdetegur. 6.8 2000x + 15 000; 6.9 y(x) = 20 000 - 1900x; 12 400 kr. 6.10 6,17 kr. 6.12 3760 6.13 y(x) = 1500 - 125x; 875 kr; 6.14 a) 215 kr ; b) sissetuleku suurenedes 1 kr võrra suurenevad kulutused toidukaupadele 0,109 kr; c) 109 kr; d) teenustele hakatakse kulutusi tegema alates mingist sissetulekust, võrrandi lahendamisel saadakse, et alates 29,6 kr ; e) 640,9 kr 6.15 a) 40A + 90B = 480; b) 2 toodet B; c) jaa. 6.16 Vt. joonis 41 6.17 2700 kr; 90 kr. 6.18 62,5 kr; 12 tundi. 6.20 a) 20x + 10y = 1500; b) 90 väikest. 6.21 708,33 kr
Joonis 41
7. ELEMENTAARFUNKTSIOONE Pöördvõrdeline sõltuvus.
NÄIDE 7.1. Püsikulud tooteühiku kohta. Olgu firma püsikulud 30 000 kr kuus. Leida püsikulud tooteühiku kohta ja uurida, kuidas see suurus sõltub kogusest q. Lahendus: Tähistame püsikulusid Cp = 30 000. Püsikulud tooteühiku kohta saadakse püsikulude jagamisel tootmismahuga q: C 30000 ACp ' p ' q q Joonis 42 MAJANDUSMATEMAATIKA I Elementaarfunktsioone 47
ACp (5) = 6000, ACp (10) = 3000. Seega tootmismahu suurenedes 2 korda püsikulud tooteühiku kohta vähenevad 2 korda. Tegemist on pöördvõrdelise sõltuvusega, mille graafik on toodud joonisel 42.
Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikuks on hüperbool. Hüperbool koosneb kahest harust, mis lähenevad piiramatult koordinaattelgedele (joonis 43).
Pöördvõrdeline sõltuvus kahe suuruse x ja y vahel on niisugune sõltuvus, mille korral nende suuruste korrutis on konstantne:
yx'a
Pöördvõrdelist seost saab esitada ka kujul a y' x
Joonis 43 Hüperbool Joonis 44. Ühikelastne nõudlus
Kogutulu TR võrdub müüdud kaubakoguse q ja kaubaühiku hinna korrutisega p: TR ' q p . Kui kogutulu on konstantne, on ka kaubakoguse ja hinna korrutis konstantne ning tegemist on pöördvõrdelise sõltuvusega. Sellisel juhul on tegemist ühikelastse nõudlusega.
NÄIDE 7.2. Nõutava koguse ja hinna vaheline seos konstantse tulu korral Uurime hinna p ja koguse q vahelist seost, kui kogutulu on konstatnselt 300. Sellisel juhul hinna ja koguse korrutis p q ' 300 300 ning hind on pöördvõrdeline kogusega : p (q) ' . q Tegemist on ühikelastse nõudlusega ning vastav graafik on toodud joonisel 44.
Ettevõtte juhtimise korral on oluline jälgida, millised on keskmised kulud tooteühiku kohta ( average cost per unit ) . Raamatupidamises nimetatakse seda ka keskmiseks omahinnaks.
Keskmine kulu tooteühiku kohta C(q) AC (q) ' , q
kus C on kulud ja q tootmismaht.
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Elementaarfunktsioone 48
Kui kulufunktsioon on lineaarne, C (q) ' cv q % CF , siis keskmine kulu ühiku kohta cv q % CF cv q CF CF AC (q) ' ' % ' cv % q q q q NÄIDE 7.3. Keskmine kulu tooteühiku kohta Ettevõtte kulufunktsioon on C ' 150 q % 5000 . Leida keskmised kulud tooteühiku kohta. Lahendus. C 150 q % 5000 150 q 5000 5000 AC ' ' ' % ' 150 % q q q q q 5000 Vastus: Keskmised kulud tooteühiku kohta on AC / 150 % , kus q on tootmismaht. q
NÄIDE 7.4. Kogukulude mudel, lineaarne ja pöördvõrdeline osa. Kiirtee hoolduskulud pika ajavahemiku peale koosnevad kahest osast. Üks osa kuludest on kapitalikulu hooldusjaamade rajamiseks, kus paiknevad hooldustööliste tööruumid ja hoitakse tee korrashoiuks vajaminevat tehnikat . See osa kuludest on võrdeline hooldusjaamade arvuga: C1 'a n , kus n on hooldusjaamade arv ja a konstant (ühe hooldusjaama rajamiskulud kroonides). Teise osa kuludest moodustavad igapäevased talitluskulud (tööjõu-, materjali-, kütusekulu) ja sõltuvad sellest, kui kaugele tuleb hooldustöödele (tee puhastamine lumest, sildade hooldamine) sõita. Mida rohkem on hooldusjaamu, seda väiksemad need kulud on, sest seda vähem on vaja inimesi, ressursse ja tehnikat transportida. Need kulud võib algebraliselt avaldada pöördvõrdelise sõltuvusena hooldusjaamade arvust: b C2 ' , kus b on konstant. Kogukulud on nende kahe komponendi summa: n Joonis 45 b C 'a n % . Joonisel 45 on toodud mõlema kulukomponendi ja kogukulude n graafikud, kui a= 80 000 kr ja b= 600 000 kr ning jaamade arv n muutub 1-st 10-ni. On näha, et kogulukud sõltuvad jaamade arvust n. Kiirtee operaatorfirma on huvitatud, et kogukulud oleksid minimaalsed. a) Leia graafikult, mitu hooldusjaama oleks kasulik rajada. b) Jooniselt on näha, et kogukulud on minimaalsed parajasti siis, kui mõlemad kulukomponendid on võrdsed, C1 ' C2 .
b 600 000 Lahendades vastava võrrandi, saame et optimaalne hooldusjaamade arv on n ' ' .3 a 80 000
ÜLESANDED 7.1 Firma kulude analüüs näitas, et kulufunktsioon C (x) ' 400 x % 12 000 , kus x on toodetud kogus. Leida keskmised kulud tooteühiku kohta. 7.2 Muutuvkulu ühiku kohta on 20 ja püsikulu 4000. Leida a) keskmine kulu tooteühiku kohta; b) kui palju muutub keskmine kulu ühiku kohta, kui tootmismaht suureneb 100 ühikult 200 ühikuni; c) kui palju muutub keskmine kulu ühiku kohta, kui tootmismaht suureneb 200 ühikult 300 ühikuni 7.3 .Firma sai tellimuse 8000 mootorrattakiivrile. Tuleb muretseda seadmed , mis võimaldavad toota 30 kiivrit tunnis iga tööpingi kohta. Ühe tööpingi seadistuskulud on 200 kr. Peale tootmise käivitamist jälgib kogu liini üks inimene, kelle töötasu on 48 kr tunnis. Kulutusi töötasule võib nimetada talitluskuludeks. a) Avaldada kogukulude (seadistuskulud + talitluskulud) sõltuvus tööpinkide arvust. b) Kasutades näites 7.4 toodud loogikat, leida optimaalne tööpinkide arv. 7.4 Seadistuskuludeks (setup costs ) nimetatakse seadmete ja tootmisruumide ettevalmistamiseks tehtavaid kulusid. Talitluskulud ( operating costs) on objektide (hoonete, seadmete) kasutamisega seotud kulud. Olgu seadistuskulud võrdelised tööpinkide arvuga ja talitluskulud pöördvõrdelised tööpinkide arvuga. Avaldada kogukulude (seadistuskulud + talitluskulud) sõltuvus tööpinkide arvust. 7.5 Talitluskulud on pöördvõrdelised tööpinkide arvuga. Viie tööpingi kasutamisel on talitluskulud 7000 kr kuus. Leida talitluskulude sõltuvus tööpinkide arvust. Kui suured on talitluskulud seitsme tööpingi kasutamisel? 7.6 Kaubaveoki juhi töötasu on võrdeline teel oldud tundide arvuga. Kütusekulu 1 kilomeetri kohta on võrdeline sõidukiirusega. Leida, kuidas summaarsed kulud (töötasu + kulud kütusele) teatud vahemaa läbimisel sõltuvad sõidukiirusest. 600000 7.7 Olgu näitleja X nõudlusfunktsioon p ' , kus p on ühe filmi eest makstav tasu ja q filmide arv aastas. q a) Kui näitleja saab ühe filmi eest 300 000 kr, mitmes filmis ta aasta jooksul näitleb? b) Kui näitleja tahab aastas osaleda neljas filmis, kui suurt hinda ta võib küsida? 7.8 Avaldada hinna p sõltuvus tootmismahust q , kui kogutulu on konstantne ja võrdub 450. MAJANDUSMATEMAATIKA I Elementaarfunktsioone 49
Eksponentfunktsioon.
NÄIDE 7.5. Internetiühenduste eksponentsiaalne kasv Ajakirjast "Arvutimaailm": "1996.a. algul oli Eestis Internetiga ühendatud 5000 arvutit ja nende arv kahekordistub iga kuuga. "
Leiame, mitu Internetti ühendatud arvutit oleks sellisel juhul olnud Eestis 1996.a. juuli lõpus: 1 kuu pärast 5000×2= 10000 2 kuu pärast (5000×2)×2 = 5000×22= 20000 3 kuu pärast (5000×22)×2= 5000×23= 40000 x kuu pärast 5000×2x 6 kuu pärast 5000×26 = 320000 Joonis 46 Internetiühendustega arvutid Vastus: Sellise kasvutempo korral oleks juuli lõpus Eestis Interneti ühendust omanud 320 000 arvutit (vt joonis 46).
Funktsiooni f (x) ' 2x .
Joonis 48 Joonis 47
nimetatakse eksponentfunktsiooniks alusel 2. Jooniselt 49 on näha, et ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Elementaarfunktsioone 50 x x Näiteks 1 ; 3x ; 1 (joonis 47). 2 3
Olgu a mingi positiivne arv, a ...1. Funktsiooni f kujul f (x) ' a x
nimetatakse eksponentfunktsiooniks alusel a.
Eksponentfunktsiooni omadusi: 1, on eksponenfunktsioon y ' a x rangelt kasvav, kui 0kraad $ suurem-võrdne N minut, prim O sekund Hulgateooria 4 lõ hulk Ly muut 0 kuulumine , kuulub |x| absoluutväärtus ó mittekuulumine, ei kuulu / juuremärk, ruutjuur d alamhulk an astendamine, a astmel n i tühi hulk c hulkade ühend arvude 1 kuni 4 summa (=1+2+3+4) 1 hulkade ühisosa \ hulkade vahe A´B hulga A täiend hulgani B arvude 1 kuni 4 korrutis (=1·2·3·4)
n! faktoriaal (n!=1·2·3· ... · n) Matemaatiline loogika - sarnasus, võrdelisus pii, =3,141... e naturaallogaritmi alus, e=2,718... / samaväärne, ekvivalentne arccos x arkuskoosinus & loogiline "ja", konjuktsioon arcsin x arkussiinus v loogiline "ja", konjuktsioon arctan x arkustangens w loogiline "või", disjunktsioon const konstant Y järeldub, "kui ..., siis" cos x koosinus ¬ loogiline eitus , "pole tõsi, et" cot x kootangens > eksisteerimine, olemasolu ctg x kootangens oe iga (element, objekt), üldsus exp x eksponentfunktsioon lim f funktsiooni või jada piirväärtus Tuletised ja integraalid dy ln x naturaallogaritm funktsiooni tuletis log x kümnendlogaritm dx loga N logaritm alusel a d f (x) funktsiooni tuletis max maksimum, maksimaalne element dx min miinimum, minimaalne element fN funktsiooni tuletis sin x siinus fO funktsiooni teine tuletis tan x tangens f(n) funktsiooni kõrgemat järku tuletis tg x tangens df diferentsiaal dnf kõrgemat järku diferentsiaal MAJANDUSMATEMAATIKA I 77
KASUTATUD KIRJANDUS
1. Luigelaht, V., Reiman, E. Koolimatemaatika põhikursus. 1. ja 2. osa. 3. trükk. Tln, Valgus, 1993. 2. Levin , A., Tõnso, T., Veelmaa , A. Matemaatika XI klassile. Tln, " Mathema ", 1995. 3. Telgmaa, A. Rahandusküsimusi koolimatemaatikas. Tln, AVITA , 1994. 4. Kummer, J. Funktsioonid ja nende tuletised majandusarvestustes. Tln. "Avita", 1996. 5. Paas , T. Kvantitatiivsed meetodid majanduses (majandusmatemaatika). 6. Sikk, J. Majandusmatemaatika ülesannete kogu. Tartu, 1996. 7. Dowling, E.T. Theory and Problems of Introduction to Mathematical Economics. 2/ed. McGraw- Hill , 1992. 8. Hoffmann, L.D., Bradley , G.L. Calculus for Business, Economics and the Social and Life Sciences. 5/ed. McGraw-Hill, 1992. 9. Stancl, D.L., Stancl, M. L. Brief Calculus for Management and the Life and Social Sciences. USA, Irwin, 1990. 10. Haeussler, E. F., Paul, R., S. Introductory Mathematical Analysis for Business, Economics, and the Life and Social Sciences. USA, Prentice-Hall, 1999.
©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga