Teist ja kolmandat j¨arku determinandid. Crameri valemid. Kompleksarvud Tartu 2016 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Sarruse (kolmnurga) reegel 3. j¨arku determinantide arvutamiseks Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl ¨ Ulesanne Arvutage determinandid 1 2 4 2 4 0 −1 3 3 1 3 −2 5 −6 4 2 1 0 2 5 6 −4 −3 4 1 2 5 1 3 2 Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl LVS lahendamine Crameri valemite abil
kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele.
Täistuletised: a) y=f(x;w), kus x=g(w), = dy=fxdx+fwdw /:dw, + b) dw x dw w x1 = g ( w) dy y dx1 y dx 2 y y=f(x 1;x2;w), kus = × + × + c) y=f(x 1;x2;u;v) x 2 = h( w) dw x1 dw x 2 dw w x1 = g (u; v) 10)mis on Crameri valem? Crameri reegel- Kui võrdse otsitavate ja võrrandite x2 = h(u; v) arvuga lineaarvõrrandite süsteemi maatriks A on regulaarne (D A0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n asendamisel vabaliikmete veeruga. xj = = Kui r=n siis on täidetud
DETERMINANDID Sellist lahendusviisi kutsutakse ka Crameri valemiks. Kui on antud võrrandsüsteem: Siis avaldame determinandid: Lahendi leiame: ___________________________________________________________________________ ,,NÄIDE:" Kui on antud : Seega:
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.
determinandi väärtus tema peadiagonaali elementide korrutisega ehk pealiikmega. Om10 Determinandi väärtus võrdub nulliga parajasti siis ( siis ja ainult siis), kui selle determinandi ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv. Ridade ja veergude lineaarne sõltuvus on tarvilik ja piisav tingimus selleks, et determinandi väärtus oleks samane nulliga. Crameri peajuhtum Determinandi abiga saab lahendada l.v.s, kus tundmatuid ja võrrandeid on sama palju. · Moodustame tundmatute ees olevatest kordajatest n- järku determinandi. · D 0, siis räägitakse Crameri peajuhtumist. · Crameri peajuhul on l.v.s üheselt määratud lahend, mis avaldub valemiga xn = Dn/D Determinant Dk tuletatakse süsteemi determinandist D k-nda veeru kinni katmisel ja selle asendamisel
korrelatsioonikordaja ütleb, et seos näitajate vahel puudub, samas, kui kasutame mõnda teist korrelatsioonikordajat, näeme, et tegelikult seos nende kahe näitaja vahel eksisteerib. Seega tasub esmalt kontrollida, kas seos muutujate vahel on lineaarne. Kui seos lineaarne ei ole, siis saame kasutada mõnd teist korrelatsioonikordajat, mis mõõdab seose tugevust ka teiste seoste puhul. Pidevad andmed(saab üle lugeda)- Pearson Järjestustunnused- Spearman, Kendall Nominaaltunnused- Phi, Crameri V, kontigentsus koefitsient Seosekordaja valik Pidev tunnus Järjestustunnus Nominaaltunnus Pidev Pearson(lineaarne seos); Spearman, Kendall - Spearman/Kendall mittelineaarne seos Järjestus Spearman, Kendall Spearman, Kendall Crameri V, Phi,
.......................................................................................................(lisage ise sobiv variant) 3. Esitage iteratsioonimeetodile vastav koonduvushinnang Harilik iteratsioonimeetod............................................................................................... Newtoni meetod.............................................................................................................. 4. Crameri valemid on võrrandisüsteemi Ax=b lahendamiseks kujul det A ... x j = det A , j=1,2,... j det A j ... x j = , j=1,2,... det A Det A on ......................................................................................................................... Det Aj on.................................................................................................................
Risttabeli elementideks on read, veerud ja lahtrid, mille järgi nimetatakse ka tabelisse märgitavaid protsente. Rea protsendid: mitu % selle rea inimestest kuulub ühte või teise veergu. Veeru protsendid: mitu % selle veeru inimestest kuulub ühte või teise ritta. Üldised protsendid: mitu % selle tabeli inimestest kuulub ühte või teise lahtrisse. 13) Hii-ruut-statistik, selle kasutamine seose uurimiseks risttabelis, Crameri V Tunnuste vahel on statistiline seos siis, kui ühe tunnuse käitumine sõltub teise tunnuse väärtustest. Näiteks kui inimese valimiseelistus sõltuks tema soost. Uurides seost nominaaltunnuste vahel võetakse appi risttabel. Seost risttabelis mõõdetakse hii- ruut-statistiku (c²-statistiku) abiga. Hii-ruut statistiku arvutamisel võrreldakse omavahel tegelikku tabelit ja seda tabelit, milles seost pole.
12) Risttabel, protsendid risttabelis. Risttabeli elementideks on read, veerud ja lahtrid, mille järgi nimetatakse ka tabelisse märgitavaid protsente. · Rea protsendid: mitu % selle rea inimestest kuulub ühte või teise veergu. · Veeru protsendid: mitu % selle veeru inimestest kuulub ühte või teise ritta. Üldised protsendid: mitu % selle tabeli inimestest kuulub ühte või teise lahtrisse 13) Hii-ruut-statistik, selle kasutamine seose uurimiseks risttabelis, Crameri V · Hii-ruut statistiku arvutamisel võrreldakse omavahel tegelikku tabelit ja seda tabelit, milles seost pole. · Kui nende tabelite erinevus on suur, siis on ka hii-ruut-statistik suure väärtusega. · Kui need tabelid on täpselt ühesugused, on hii-ruut-statistiku väärtuseks 0. Seega: leitakse, kui palju tegelik jaotus erineb hüpoteetilisest jaotusest. · Tunnuste vahel on statistiline seos siis, kui ühe tunnuse käitumine sõltub teise tunnuse
MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st m = n ; |A | 0. TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub lineaarne võrrandisüsteem alati. See lahend on üheselt määratud ja tundmatud xi avalduvad selliste determinantide suhetena, kus nimetajaks
MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st m = n ; |A | 0. TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub lineaarne võrrandisüsteem alati. See lahend on üheselt määratud ja tundmatud xi avalduvad selliste determinantide suhetena, kus nimetajaks
ja x1 = t1c11 + t2c21 + . . . + tn-scn-s,1, x2 = t1c12 + t2c22 + . . . + tn-scn-s,2, .................................... xi = t1c1i + t2c2i + . . . + tn-scn-s,i , .................................... iga t1, t2, . . . , tn-s R. xn = t1c1n + t2c2n + . . . + tn-scn-s,n, nimetatakse vastavalt homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks fundamentaalsüsteemi kaudu vektorkujul ja homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks fundamentaalsüsteemi kaudu komponentkujul. CRAMERI PEAJUHT: Crameri peajuht Öeldakse, et on tegemist Crameri peajuhuga, kui LVS-is on tundmatuid ja võrrandeid sama palju ning süsteemi maatriks on regulaarne. Crameri peajuhuga on seega tegemist, kui lineaarvõrrandisüsteem on kujul a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai ,
Crameri peajuhtumi korral Maatriksite jagamisest ei saa on suunatud lõik. Tehted avalduvad lin. Võrrandi süsteemi rääkida! vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) ...
Pakkumisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p =g(x), kus x ja p on suurem/võrdne nulliga, kus p on pakutava kauba ühikuhind ja x toote ühikute arv. Pakkumisfunktsioon on kasvavfunktsioon. Turutasakaalupunkt on see koht kus pakkumis ja nõudlus ristuva 3) Sirge võrrandi erinevad kujud. 4)Liitfunktsioon. Ivar Porni materjalist ,,Loeng nr 2".. 1.6 Raske on lihtsalt seletada, sealsete näidetega ehk saate aru. 5)Determinandid nende omadused Crameri valemid. Determinandi omadused. 1. Determinandi ei muutu kui tema read ja veerud vahetada. Märkus! Seega saame järeldada, et kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad samuti veergude kohta. 2. Kui determinandi üks rida koosneb nullidest, siis determinant võrdub nulliga. 3. Kui determinandis on kaks võrdset (võrdelist) rida, siis determinant võrdub nulliga. 4. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi
pärast suurendab laste arv. Ilmselt on kõige rohkem turvalisusega rahul Tähtvere, Ihaste ja Karlova elanikud, kõige vähem rahul aga Annelinna inimesed. Analüüs Soo lõikes erinevusi ei esinenud. Meeste keskmiseks turvalise hinnanguks on 3,68 punkti ning naistel 3,69 punkti (p= 0,94), seega on nii mehed kui ka naised linna turvalisusega keskmiselt rahul. Haridustaseme ja turvalisuse rahuolu vahel on nõrk seos olemas, kuna hii-ruut-statistiku väärtuseks on 53,82 (df=30, p=0,005) ja Crameri V= 0,113. Jooniselt on näha, et kõige 1 kõrgemaks hindavad turvalisust lõpetamata kõrgharidusega inimesed (3,75 punkti) ning kõige madalamaks kutseharidusega inimesed (3,48 punkti). (Joonis 1.) Joonis 1 Hinnang turvalisusele vastavalt haridustasemele Vanuse ja turvalisuse hinnangu välja toomiseks koostasin neli vanusegruppi. Rahuolu paremaks
. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrdub võrrandite arvuga 2)võrrsüs kordajate maatriksi determinant erineb nullist. Crameri peajuhul {a11x1+.. +a1nxn=b1 ..;.. an1x1+.. +annxn=bn kusjuures süsteemi maatriksi determinant D=/0. Crameri peajuhul on lvs-il üks lahend, mille saab valemiga Xi=Di/D, i=1...n kus Di on det, mis on saadud det-s D i-nda veeru asendamisel lvs-i vabaliikmete veeruga. LVS lahendamiseks kasutatakse põhiliselt meetodit,
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i
Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv DEF 1: Kui hulga H korral on määratud teatav tehe või arvutusop f ning kui siis selle hulga H
Saab arvutada nii intervall kui ka järjestustunnuse korral.või kui tegemist on erandlike juhustega Kendall (TT) arvutatakse objekti paaride korral. Kasutus sama nagu Spearmannil Cramer (V) - mitteparameetline korrelatsioni kordaja, nimi ja binaartunnuse korral. Ei tõlgenda suunda, kuna järeldused ei tule loogilised (mida rohkem mees, seda rohkem targem). Arvutatakse risttabeli põhjal. Võtad risttabeli, siis sealt kõrvalt statistiks ja valid phi ja crameri v Correlations sisetulek viimasel kuul haridustase Kendall's tau_b sisetulek viimasel kuul Correlation Coefficient 1,000 ,261** Sig. (2-tailed) (olulisus tõenäosus, kui suure tõenäosusega on saadud tulemus juhuslik.) . ,000 N 829 829 haridustaseCorrelation Coefficient ,261** 1,000 Sig. (2-tailed) ,000 . N 829 882
A on ruutmaatriks ja det A pole võrdu 0-ga) Elementide leidmise eeskiri alamdeterminantide kaudu Leiame det A: Pärast .................... Maatriksit nimetatakse regulaarse maatriksi pöördmaatriksiks, kui = = , kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak.
Selliseid võrrandisüsteeme saab la- ©¨ 6 y 2 z 12 kolmandale võrrandile teise võrrandi. hendada ka determinantide abil. Kuidas seda teha, sellele küsimusele leidis vas- 6 x + 12 y - 6 z = -18 Kolmandast võrrandist saame, et z = 3. Asendades z tuse Sveitsi matemaatik Gabriel Cramer (1704 -- 1752). Siinkohal sõnastame teise võrrandisse saame y = 1. Asendades leitud y ja Crameri teoreemi kolmest kolme tundmatuga lineaarvõrrandist koosneva 30 y - 18 z = -84 z väärtused esimesse võrrandisse. Saame, et x = 2. võrrandisüsteemi korral. - 8 z = -24 TEOREEM: Kolme tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemil Kontrolli, kas arvukolmik (2; 1; 3) on
Risttabeli elementideks on read, veerud ja lahtrid, mille järgi nimetatakse ka tabelisse märgitavaid protsente. ·Rea protsendid: mitu % selle rea inimestest kuulub ühte või teise veergu. ·Veeru protsendid: mitu % selle veeru inimestest kuulub ühte või teise ritta. ·Üldised protsendid: mitu % selle tabeli inimestest kuulub ühte või teise lahtrisse. 13) Hii-ruut-statistik, selle kasutamine seose uurimiseks risttabelis, Crameri V, milliste tunnuste puhul kasuatatakse hii-ruut statistikut. järjestus- ja nominaaltunnused ·Tunnuste vahel on statistiline seos siis, kui ühe tunnuse käitumine sõltub teise tunnuse väärtustest. Näiteks kui inimese valimiseelistus sõltuks tema soost. ·Uurides seost nominaaltunnuste vahel võetakse appi risttabel. ·Seost risttabelis mõõdetakse hii-ruut-statistiku (²-statistiku) abiga. Hii-ruut-statistiku idee:
Siis X = A B. = - 1 14 - 4 2 9 14 - 4 + 18 14 14 1 x1 2 = X = x 1 , siis x = 2, x = 1 . Kuna 2 1 2 Kontroll: Asendame leitud muutujad algsüsteemi: 2 2 3 1 = 1 4 2 + 1 = 9 43=1 8+1=9 1=1 9=9 Vastus: x1 = 2, x2 = 1. II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid. Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ). Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A 0. Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend. a11 a12 a1 i -1 b1 a1 i +1 a1 n det xi = , an 1 a n 2 a n i -1 bn a n i +1 a n n Tähistame kus i kohal on vaba liikme veerg. LVS (1) saab lahendada Crameri valemitega:
14 - 4 2 9 14 - 4 + 18 14 14 1 x1 2 Kuna = X = , siis x1 = 2, x2 = 1 . x2 1 Kontroll: Asendame leitud muutujad algsüsteemi: 2 2 3 1 = 1 4 2 + 1 = 9 43=1 8+1=9 1=1 9=9 Vastus: x1 = 2, x2 = 1. II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid. Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ). Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A 0. Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend. a11 a12 a1 i -1 b1 a1 i +1 a1 n Tähistame det x i = ,
Kui suurem kui 2x2 ehk (MxM), siis sobib kontingentsus koefitsent: 2 V n(k 1) k min( r , c) Ülejäänud sagedustabelite korral (MxN) sobib Crameri V kordaja: INDEKSID Indeksid (index) on üldistavad näitarvud, mille abil iseloomustatakse tunnuste väärtuse muutumist ajas. Statistikas kujutab indeks endast kahe arvu suhet, mis on leitud spetsiaalse metoodika järgi ja mis iseloomustab nähtuse muutumist ajas. Indeksiteooris on kaks peamist suunda: 1. Deskriptiivne ehk kirlejdav suund - seab eesmärgiks niisuguste ndeksiridade
8. x1'=x2'=x3'=0' (nõuab, et baasivektorid sõltuv. oleksid lineaarselt sõltumatud.) Crameri peajuhtum: Determinantide abiga saab lahendada a*=e Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, lvs, kus tundmatuid ja võrrandeid on ühe ja samapalju. kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralist süsteemi nimetatakse mille korral on rahuldatud aksioomide 1-4 ja 1-6 nõudeid nim.
-1 1 2 moodust-1) valemi järgi A = =a a a A 12 22 n 2 ,2) kasutades a13 a23 an 3 ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A -1 12) Lineaarne võrrandisüsteem ja selle lahendamine Crameri valemitega.! 13) Maatriksi astak. Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus. 14) Kronecker-Capelli teoreem. 15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib
Leiame A-1: DA = 18 5 8 - 1 5 8 - 1 2 18 1 1 1 1 - 4 - 10 8 - 4 - 10 8 2 36 2 18 18 18 7 4 - 5 7 4 - 5 8 -18 -1 -1 A = . X= = = . × 2. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil. Dk Xk = D A , k = 1,2 ....n, kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem:
X= - 4 -10 8 × 2 = 36 = 2 . 18 18 18 7 4 -5 7 4 -5 8 -18 -1 2. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil. Dk Xk = D , k = 1,2 ....n, A kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3x3 = 1
põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju
Sel juhul tunnuste vahel seos puudub Hii-ruudu maksimum sõltub sellest, kui suur on tabel ja vastanute arv. Maksimaalse väärtuse saab, kui tabeli lühema külje pikkusest (lahtrite arvuna) lahutada 1 ja korruda saadud number vastajate arvuga Kuna erineva tabeli suuruse ja erineva indiviidide arvu põhjal arvutatud hii-ruut-statistikud ei ole omavahel võrreldavad, on hii-ruut-statistikust tuletatud mitmeid muid seosekordajaid. Crameri V Kui tunnused on sõltumatud, siis 0; tugevaim seos 1. Saab kasutada sagedustabeli kuju ja vastajate arvu arvesse võtmata. m- tabeli lühema külje pikkus Phi-kordaja Hii-ruut-stat standardiseeritakse vastajate arvu suhtes Maksimm sõltub tabeli suurusest (ruutjuur (tabeli lühema külje pikkus -1)) Pearsoni kontingentsuskordaja Elimineerib samuti indiviidide arvu mõju, kuid tulemus jääb alati alla 1
3.5 Kui tundamatute arv = vo ~rrandite arv (n = k) Kui n = k ja det A = 0, siis homogeensel LVS-il leidub vaid tri- viaalne lahend. Kui n = k, siis mittetriviaalse lahendi olemasoluks peab det A = 0. T~oestus. T~oepoolest, kui n = k, siis regulaarse A korral on v~ orran- di Ax = 0 parajasti u¨ks lahend, selleks on x = A-1 0 = 0. 4 Crameri peajuht ja valemid 4.1 Crameri peajuht ¨ Oeldakse, et LVS-i korral on tegemist Crameri 1 peajuhuga, kui 1) tundmatute arv v~ordub v~ orrandite arvuga, 2) s¨ usteemi maatriksi determinant erineb nullist. 4.2 T¨ ahistusi Crameri peajuhul on LVS j¨ argmise kujuga: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ....................
sõltuvate tunnustega. Olulise hindamiseks kasutatakse hii-ruut statistikut, tähis 2 : m k (n nij - ni. n. j ) 2 2 = i =1 j =1 n ni . n. j Selle statistiku kasutamiseks peab kehtima eeldus, et iga lahtri oodatav absoluutne sagedus on vähemalt 5. Statistik 2 annab väärtuse seose olulisuse hindamiseks, kuid seose tugevuse hindamiseks on levinuim näitaja Crameri V: 2 V = n *l l = min(m -1, k -1) Andmetöötlus sotsiaalteadustes 12 kus n on valimimaht, m on esimese tunnuse võimalike väärtuste arv ning k on teise tunnuse võimalike väärtuste arv
Selleks valitakse igast reast ja veerust ühe korra juhtelement. Ühest reast või veerust mitu korda juhtelementi valida ei saa. Juhtelemendi rida lahutatakse või liidetakse teistele ridadele, et ülejäänud ridadest saada samasse veergu kus juhtelemend asub nullid. N: -1 2 1 1 ! 7 1 3 -1 1 ! 4 1 8 1 1 ! 13 11 11!6 Mittestabiilse süsteemi korral: Kasutusele tuleb Crameri valem. X1=x1(maatriks)/kogumaatriks Crameri valemit ei kasuta ükski arvutiprogramm, sest see võib anda väga suure vea. Gaussi meetodis saab arvutusvigade vähendamiseks valida juhtelemendiks maksimaalse absoluutväärtusega arvu (antud veerus kui ka kogu süsteemis). Gaussi meetodiga saab leida ka pöördmaatriksit. Pöördmaatriks on olemas vaid regulaarsel maatriksil. Def: Ruutmaatriksit A nim regulaarseks kui selle determinant ei võrdu 0ga ja singulaarseks kui võrdub 0. Def: Regulaarse maatriksi A pöördmaatriks A-1
• Lineaarne seos: tunneb punktipilve, mis on venitatud piki sirget. • Tundlik erandite suhtes: paar üksikut erandit väikeses valimis kahekordistavad kordaja väärtust. Spearman e. astakkorrelatsioonikordaja • Pidevad tunnused ei ole normaaljaotusega (ka erandlikud väärtused) • Järjestustunnus • Spearmanni kordaja > Pearsoni kordaja (tavaliselt) Kendall • Vähemalt järjestustunnused • Samasuunaliste ja vastassuunaliste paaride analüüs. Crameri V • Nimitunnuste seose tugevuse uurimiseks. • Kordaja ei näita seose suunda, ainult tugevust. Sagedustabeli koostamine järjestustunnus Esmalt üldine ülevaade vastajate vastustest jne Nimitunnus Intervalltunnus Binaarne tunnus Erinevate kategooriate/tunnuste võrdlemine Gruppida võrdlemise juhul kui keskväärtuste arvutada ei saa. Diskrimineeritud: Tunnuse väärtuste järjestamine Tekstitunnuse muutmine numbriliseks
IR, q=( 2+ 2) IR; q-p2/4= 2+ 2-4 2/4= 2>0 *Korrap murdrats f-n
Pn(x)/Qm(x), n
Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule: a) Ainult nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. b) Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid.
teineteisest sõltuvad). Kolme tundmatuga lineaarse võrrandisüsteemi üldkuju on a1 x + b1 y + c1 z = d1 , a2 x + b2 y + c2 z = d 2 , a x + b y + c z = d . 3 3 3 3 a1 b1 c1 Kui süsteemi determinant D = a2 b2 c2 ≠ 0 , siis Crameri valemite kohaselt on a3 b3 c3 selle süsteemi lahendiks Dx Dy Dz x= , y= , z= , D D D kus 28 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 Dx = d 2 b2 c2 , Dy = a2 d2 c2 , Dz = a2 b2 d2 .
Tundlik erandite suhtes: paar üksikut erandit väikeses valimis kahekordistavad kordaja väärtust. · Spearman ehk astakkorrelatsioonikordaja Pidevad tunnused ei ole normaaljaotusega (ka erandlikud väärtused) Järjestustunnus (kui vähemalt üks uuritavatest tunnustest on järjestustunnus) · Kendall kordaja Vähemalt järjestustunnused Samasuunaliste ja vastassuunaliste paaride analüüs. · Crameri V kordaja Nimitunnuste seose tugevuse uurimiseks (ja/või binaarse tunnuse korral). Kordaja ei näita seose suunda, ainult tugevust · Nelikkorelatsioonikordaja (Phi coefficient) Binaarse tunnuste seose tugevuse uurimiseks (2x2 sagedustabel) Lineaarne korrelatsioonikordaja (Pearson): · korrelatsioonikordaja väärtus võib olla vahemikus -1 kuni +1 · korrelatsioonikordaja märk näitab seda, kas on tegemist positiivse või negatiivse seosega
Miinimumpunkt: f < 0 A lokaalne miinimum Statsionaarne punkt: Kui funktsioonil w = f (P ) on määramispiirkonna punktis A kõik osatuletised wi , i = 1,2,..., n ja wi ( A) = 0 , siis on punkt A funktsiooni w = f ( P ) statsionaarne punkt. Lause: Iga ekstreemumpunkt on statsionaarne punkt, vastupidine aga ei pruugi kehtida. 1) Leida statsionaarsed punktid: a) I j osatuletised: wx, wy ? b) wx=0, wy=0 x=?, y=? (Crameri valemid) A(...,...) 2) Kas statsion. p-id on ekst.p-id? Hesse'i maatriksi abil mood II j osatuletistest a) wxx=? wyy=? wxy=wyx=? w xx w xy b) Hesse'i maatriks H2x2= w yx w yy w xx wxy c) Peadeterminant H1=wxx=?, H2= =? w yx w yy d) vaatan tabelit: H2 > 0 H2 < 0 H2 = 0 H1 > 0 H1 < 0
1)(2, 1)a12a21 = a11a22 - a12a21 Kolmandat järku determinant: detA = (i1, i2, i3) Sn (-1)(i1, i2, i3)a1i1a2i2a3i3 = (-1)(1, 2, 3) a11a22a33 + (-1)(1, 3, 2)a11a23a32 + (-1)(2, 1, 3)a12a21a33 + (-1)(2, 3, 1)a12a23a31 + (-1)(3, 1, 2) a13a21a32 + (-1)(3, 2, 1)a13a22a31 = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31 Sarruss'i reegel - skeem kolmandat järku determinandi leidmiseks 14. Crameri valemid ja nende tõestus juhul n = 2. x1 = D1/D; x2 = D2/D; ...; xn = Dn/D, kus Dj on determinant, mis tekib determinandist D, kui seal j veerg asendada vabaliikmete veeruga b 1, b2, ..., bn Nõuded: võrrandite arv = tundmatute arv; D 0 a11x1 + a12x2 = b1 ja a21x1 + a22x2 = b2 Tundmatu x1 leidmiseks lahutatakse arvu a22 kordsest esimesest võrrandist arvu a12 kordne teine võrrand ja saadakse (a11a22 - a12a21)x1 = b1a22 - b2a12 => x1 = (b1a22 - b2a12) / (a11a22 - a12a21)
u v 1 = u x + v x (8.8) 0 = u v + u x v x u v Süsteem (8.7) on kahe tundmatuga lineaarne võrrandisüsteem ja suhtes. x x Selle süsteemi determinant on = u v (8.9) u v Eeldame, et 0 . Kasutades Crameri meetodit saame 1 u 1 v = 1 = x 0 v v 1 v 1 u 1 = =- x 0 u u z Asendades saadud väärtused (8.7) esimesse valemisse saamegi avaldise parameetrite x u ja v kaudu.
11. Lineaarv~orrandis¨ usteemi m~oiste. Lineaarv~orrandis¨ usteemi lahendami- ne Gaussi ehk tundmatute elimineerimise meetodiga . . . . . . . . . . . . . . 69 12. Lineaarv~orrandis¨ usteemi u ¨ldlahend erilahendi ja fundamentaals¨ ustee- mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV. Vektoralgebra 14. Suunatud l~oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15. Projektsioonivektor ja projektsioon. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 16. Baas, reeper. Punkti koordinaadid, nende teisenemise valemid u ¨lemi-
11. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi m˜oiste. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi lahendami- ne Gaussi ehk tundmatute elimineerimise meetodiga . . . . . . . . . . . . . . 69 12. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi u ¨ldlahend erilahendi ja fundamentaals¨ ustee- mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV. Vektoralgebra 14. Suunatud l˜oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15. Projektsioonivektor ja projektsioon. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 16. Baas, reeper. Punkti koordinaadid, nende teisenemise valemid u ¨lemi-
00 2 4000 000 Tundmatu y determinant D 3000 x' x ' ' 300 D 10 Lahendid D 8500 y' y ' ' 850. D 10 Crameri reegli järgi saab leida võrrandsüsteemi lahendit, kui D ... 0 . Kui < kõik determinandid võrduvad nulliga ( D ' Dx ' Dy ' 0 ), on süsteemil lõpmata palju lahendeid; < D ' 0 , aga Dx ... 0 ja Dy ... 0 , siis lahend puudub. Kui on tegemist kolme tundmatuga kolmest võrrandist koosneva süsteemiga, a11 x % a12 y % a13 z' c1 a21 x % a22 y % a23 z' c2
Õhklahased: lahase mitmesse kambrisse pumbatakse õhk ning täispumbatud kambrid hoiavad vigastatud jäset paigal ja polsterdavad seda. Vaakumlahased: vaakummadratsiga analoogne süsteem. Vigastatud käsi või jalg suletakse vaakumlahasesse, lahas tühjendatakse õhust ja kinnitatakse takjapaeltega. 838 Polsterdatud kõvast materjalist lahased: alumiiniumist südamik (nt SamSplint) või traadist juhik (nt Crameri lahas), mis on ümbritsetud vahtpolstriga. Korklahased: väga õhukesest, aga stabiilsest korgist. Papplahased: need koosnevad voltimiskontuuridega papp-plaatidest, mille saab rennitaoliselt kokku painutada. Venituslahased Kõik peale Crameri lahaste on röntgenikiirgusele läbipaistvad. Käe saab fikseerida ka kolmnurkrätikuga. Sellisel juhul seotakse käsi kolmnurkrätikuga kaela
annaabi.ee 
