Maatriksid (3)

1. MAATRIKSID
1.1. Üldmõisted
Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu :
Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega):
A = (aij ) = , (1.1)
kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element.
Maatriksi suurust saab väljendada valemiga:
ridade arv x veergude arv.
Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m ( dimensioon – suurus).
Näide 1: Antud maatriks. Siin A2x3 , a12 = - 4, a23 = -6,5 .
Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t.
A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m .
Definitsioon 2. Maatriksit, millel ridade arv on võrdne veergude arvuga (m = n ), nimetatakse ruutmaatriksiks.
Maatriksi elemendid, mis asuvad diagonaalil maatriksi vasakupoolse ülemisest nurgast paremapoolse alumisenurgani, moodustavad maatriksi peadiagonaali.
Definitsioon 3. Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali kõik elemendid on „1“, aga kõik ülejäänud elemendid on „0“, nimetatakse ühikmaatriksiks. Tavaliselt seda tähistatakse E (või I ) tähega.
Näide 2:
E3x3
on 3 järku ühikmaatriks,
Enxn
n -järku ühikmaatriks.
Ruutmaatriksit, mille elemendid (välja arvates peadiagonaali) on „0“ ja asuvad ühel pool peadiagonaalist, nimetatakse kolmenurksemaatriksiks:
või
Maatriksit, mis koosneb ainult nullidest, nimetatakse nullmatriksiks :
O = .
Maatriksite teoorias E ja O mängivad sama rolli, mis arvud 0 ja 1 aritmeetikas.
Maatriksit, mis sisaldab ainult ühte rida (veergu), nimetatakse vektormaatriksiks.
Vektormaatriksit saab esitada järgmisel kujul::
Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT.
Näide 3:
A = .
Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks.
1.2. Tehted maatriksitega

Liitmine
Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed
Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad
A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij )
Näide 1:

Lahutamine
Märkus: maatrikseid saab lahutada ainult juhul, kui lahutavate maatriksite suurused on võrdsed .
Definitsioon 2 . Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) vaheks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide vahed

A – B = (aij ) - (bij) = (aij - bij )

Näide 2 :

Korrutamine arvuga (skalaariga)
Definitsioon 3 . Maatriksi Am x n
= (aij) korrutiseks skalaaarvuga k nimetatakse maatriksit, mille elementideks on algmaatriksi elementide korrutised selle arvuga ,s.t.
k ∙ A = (k∙ aij), ( i = 1,...,m; j = 1,...,n).
Näide3:

Maatriksite korrutamine
Märkus 1: maatrikseid saab korrutada, kui „esimese“ teguri-maatriksi veergude arv võrdub „teise“ teguri-maatriksi ridade arvuga: ehk korrutis A∙B (kus Am x n ja Bn x p) eksisteerib ainult siis kui maatriksi A veergude arv (antud juhul n) on võrdne maatriksi B ridade arvuga (antud juhul n).
Näide 4:

korrutis A2 x 3∙ B3 x 5 eksisteerib, kuna maatriksi A veergude arv = maatriksi B ridade arvuga (= 3),

korrutis B3 x 5 ∙ A2 x 3 ei eksisteeri, kuna maatriksi B veergude arv (5) ei võrdu maatriksi A ridade arvuga (2).
Märkus 2: korrutise A∙B tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub “esimese” maatriksi (A) ridade arvuga ja veergude arv – “teise” maatriksi (B) veergude arvuga
Näide 5: korrutise A2 x 3∙ B3 x 5 tulemuseks on maatriks, millel on 2 rida ja 5 veergu.
Tähistame maatriksi Am x n
reavektorid αi ( i = 1, ..., m) ning maatriksi Bn x p veeruvektorid β j ( j = 1, ..., p).
Definitsioon 4. Maatriksite Am x n
ja Bn x p korrusitesks nimetatakse maatriksit
A·B = (αi · β j) = Cm x p , mille elementideks cij on vektorite αi ja β j
skalaarkorrutised cij = αi · β j
(maatriksi A reavektorite αi ja maatriksi B veeruvektorite β j vastavate elementide korrutiste summa).
Maatriksite korrutamise reegel on lühidalt esitatav kujul
RIDA
VEERG
Maatriksite korrutist saab skemaatiliselt väljendada järgmiselt
Kui ruutmaatriksid A ja B on võrdsete suurustega , siis alati eksisteerivad AB ning
BA.
Erinevalt arvude korrutamisest on maatriksite korrutamisel oluline tegurite järjekord:
AB ≠ BA.
Pole raske tõestada, et A E = EA = A, kus A on ruutmaatriks, E ühikmaatriks (sama suurusega kui A).
Näide 6 :
Näide 7: Leida AB ja BA, kui
Lahendus:
Siin korrutis AB ei ole määratud, kuna korrutises „esimese“ maatriksi A veergude arv A(3) ei ole võrdne „ teise“ maatriksi B ridade arvuga B (2).
Samal ajal korrutis BA eksisteerib: esimese maatriksi veergude arv B(2) on võrdne teise maatriksi ridade arvuga A(2), ning see korrutis on:
Näide 8: Leida A2 – 2ABT, kui .
Lahendus:
A2 saab mõista kui kahe võrdsete maatriksi korrutist A∙ A :
A2 = A∙ A =
BT on maatriksi B transponeeritud maatriks :
BT =
2ABT on kahe maatriksi ja arvu korrutis, 4. omaduse järgi saab eelnevalt korrutada maatriksid oma vahel ja siis tulemust korrutada arvuga.
A2 – 2ABT=
1.3. Maatriksite elementaarteisendused
Maatriksite elementaarteisendusteks kuuluvad:

maatriksi kahe rea ümberpaigutamine;

suvalise maatriksirea korrumanine arvuga (mis ei ole võrdne nulliga);

suvalise maatriksi reale liitmine selle maatriksi teine rida korrutatud arvuga
Kaks maatriksit A ja B on ekvivalentsed, kui üks neist on saadud teise maatriksi elementaarteisendustega ja kirjutatakse : A ~ B .
Elementaarteisendustega saab suvalist maatriksit viia kujule, kus peadiagonaali alguses on ainult“1“ ja kõik ülejäänud elemendid on „0“. Niisugust maatriksit nimetatakse kanooniliseks :
Näide .
- kanooniline matriks
1.4. Maatriksite omadused
1.5. Maatriksite korrutamine MS Excelis
Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas on maatriksite korrutamist võimaldav funktsioon MMULT. Eelnevalt sisestatakse Exceli töölehele lähtmaatriksid (trükitakse tabelitena) . Kuna maatriksite korrutamise tulemusena on maatriks, siis tuleb arvutada maatriksi suurust ja märgistada hiirega ruudustik , mis sisaldab sama palju ridu ja veerge kui tulemusmaatriks. Seejarel tuleb funktsioonide ikoonist fx valida MMULT.
Funktsiooni käivitamisel tuleb dialoogikasti sisestada lähtanmed (ühele reale esimese maatsiksi elementide aadressid ja teisele reale – teise maatriksi elementide aadressid). Tulemuse saamiseks tuleb vajutada korraga kolme klahvi Ctrl + Shift +Enter. Vastus ilmub eelnevalt hiirega märgistatud tabelisse.
Ülesandeid
1.1.Arvutada:
1.1.1. 1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5.
1.1.6. 0,5·
1.2.Arvutada A + B – C , kui
A = , B = , C =
1.3.Arvutada 2A – 0,5B + 5C, kui
A = , B = , C =
1.4.Kirjutada välja maatriksi A transponeeritud maatriks AT, kui:
1.4.1. A =
1.4.2. A =
1.4.3. A =
1.4.4. A =
1.4.5. A =
1.4.6. A =
1.4.7. A =
1.5. Arvutada 3A - AT ,kui A =
1.6. Arvutada 2AT + 4 B – 7E, kui A = , B =
1.7..Leida maatriksite korrutised
1.7.1. 1.7.2.
1.7.3. 1.7.4.
1.7.5. 1.7.6.
1.7.7. 1.7.8.
1.7.9. 1.7.10.
1.7.11. 1.7.12.
1.7.13. 1.7.14.
1.8. Leida A ∙B ja B ∙A ja veenduda, et AB ≠ BA :
1.8.1. A= , B =
1.8.2. A = , B =
1.9. Veenduda, et AB = Θ (Θ – nullmaatriks ) ,kui A = , B =
1.10. Leida ATA – 3E, kui A=
1.11. Leida AAT + 5E, kuiA =
1.12. Leida ABT- ATB ,kui A = , B =
1.13. Leida (AB)T – (BA)T + 2AB, kui
A = , B =
1.14. Leida 3AB – 4 BCT + 0,5 CA, kui
A = , B = , C =
1.15. Arvutada A3, kui A =
1.16. Leida 5A2 – 3AAT , kui A =
Vastused:
1.1.1.
1.1.2.

1.1.3.
1.1.4.

1.1.5.
1.1.6.
1.2.
1.3.
1.4.1.

1.4.2.
1.4.3.

1.4.4.
1.4.5.
1.4.6.

1.4.7. ( 3 ) 1.5.
1.6.

1.7.1.
1.7.2.
1.7.3.
1.7.4.
1.7.5.
1.7.6.
1.7.7.
1.7.8.
1.7.9.
1.7.10. ( 12 ) 1.7.11.
1.7.12.
1.7.13.
1.7.14.
1.8.1.
1.8.2.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
2. Determinandid
2.1. Põhimõisted
Ruutmaatriksile A=
saab panna vastavusse arv :
det A =
= ∆ = D = (2.1)
mida nimetatakse determinandiks (ja arvutatskse kindlate reeglite kohaselt), arve aij nimetatakse determinandi elementideks. Determinandi tähistatakse tavaliselt püstjoontega .

n = 1 . A = ( a1 ) ; det A = a1

n = 2. A = ; det A = (2.2)
Skemaatiliselt seda saab esitada järgmiselt:
Näide 1:
Leida maatriksi
determinant .
Lahendus: Kasutame valemit (2.2)

n = 3. ;
detA =
(2.3)
Skemaatiliselt seda saab esitada järgmiselt:
Sellist skeemi nimetatakse veel Sarrus`i reegliks (või kolmnurga reegliks, või diagonaalide reegliks).
Kolmandat järku determinandi väärtust saab leida ka determinandi arendusteoreemiga (vt. p. 2.2. omadus 10).
Näide2. : Arvutada kolmandat järku determinant
Sarruse reegliga .
Lahendus: Kasutame valemit (2.3)

Kõrgemat (neljandat, viiendat jne), järku (2.1) determinantide väärtused leitakse kasutades determinantide omadusi.
2.2. Determinantide omadused. Miinorid . Alamdeterminandid .
Vaatleme determinandi põhiomadusi, piirdudes näidetega teist ja kolmandat järku determinantide kohta.
1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada.
(determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT).
Näide 1:
2. omadus: kui determinandis vahetada oma vahel kaks rida (veergu), siis determinandi märk muutub vastupidiseks.
Näide 2 :
3.omadus: determinant, millel kaks rida (veergu) on võrdsed oma vahel, võrdub nulliga.
Näide 3 :

omadus: determinandis suvalisest reast (veerust) võib ühise kordaja tuua determinandi ette.
Näiteks omadust saab illustreerida kolmandat järku determinandi kohta järgmiselt:
Näide 4 :
5. omadus: kui determinandis mingi rea (veeru) iga element kujutab kahe liidetava summast , siis laguneb determinant kahe sama järku determinandi summaks, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises det-s teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad endisteks.
Näide 5 :

6. omadus : determinandi väärtus ei muutu , kui suvalisele reale (veerule) liita
mingi teine rida (veerg) kordne suvalise arvuga.
Näide 6 :
7. omadus: kui maatriksi mingi rea (veeru) kõik elemendid on nullid , siis selle maatriksi determinant võrdub nulliga.
Näide 7 :
8. omadus: kui maatriksi kõik peadiagonaalist ülalpool või allpool olevad elemendid on nullid, siis veterminandi väärtuseks on peadiagonaalil asuvate elementide korrutis.
Näide 8 :
9. omadus: kahe matriksi korrutamise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega , s.t. det (A∙B) = det A ∙ det B .
Näide 9 :
Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega.
n –järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n – 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i – nda rea ja j – veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor , ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg.
Näide 10 :
Elemendi aij
alamdeterminandiks Aij (algebraliseks täiendiks) nimetatakse tema miinorit , mis omab „+“ märki, kui „i + j “ summa on raarisarvuline , ning omab „ - “ märki, kui see summa on paarituarvuline. Lähtudes definitsioonist , saame:
A ij = (-1)i + j ∙ Mij .
Näiteks A 23 = - M 23 ( 2 + 3 = 5 , paarituarvuline ), A 24 = M24 (2 + 4=6 , paarisarvuline).

omadus( determinandi arendusteoreem ) : Determinant võrdub suvalise rea (veeru) elementide ja nende elementide vastavate alamdeterminantide korrutiste summaga :
determinandi D mistahes reanumbri i korral kehtib (arendis i-rea järgi)
ja mis tahes veerunumbri j korral (arendis j-veeru järgi)
Näiteks kolmandat järku maatriksi determinandi võib arvutada nii (arendame, näiteks, esimese rea järgi):
Arendusteoreem võimaldab n – järku determinandi arvutamise taandada ( n – 1) –järku determinantide arvutamisele, seega väheneb arvutustöö.
Näide 11 :
Arendada determinant teise rea järgi ja leida seejärel tema väärtus:
∙ A 21 +1 ∙ A22 + (-1) ∙ A23 = 5 ∙ (- M 21 ) +1 ∙ M22 + (-1) ∙ (- M23)=
Kasutades 7. omadust ( ja arvestades ka teisi omadusi) saab leida ka kõrgemat järku determinandi väärtusi . Praktilisel arvutamisel on otstarbekas omaduste 4 ja 6 abil teisendada maatriksi mõnda rida või veergu nii, et sellesse jääks täpselt üks nullist erinev element ja rakendada seejärel 7 omadus.
11. omadus : suvalise rea elementide ja teise rea alamdeterminantide korrutiste summa võrdub nulliga.
Näiteks, a11∙ A21 + a12 ∙ A22 + a13 ∙ A23 = 0.
2.3.Determinandi det A arvutamise algoritm

Valida maatriksis A juhtrida või –veerg (soovitavalt selline, milles leidub element „1“ või „-1“ ja mille ülejäänud elemendid on absoluutväärtuse poolest võimalikult väikesed);

Valida juhtreast või –veerust juhtelement (soovitavalt 1 või -1; kui sellist elementi maatriksis ei ole , võib selle sinna teisendada kasutades omadusi 4 ja 6);

Teisendada omaduste 4 ja 6 abil juhtrea või -veeru kõik elemendid peale juhtelemendi nullideks;

Arendada determinant kasutades omadust 10 (determinandi arendusteoreem);

Kui arendamisel tekib teist või kolmandat järku maatriksi determinant, siis võib selle välja arvutada mittearendadaes determinanti, suuremat järku maatriksi determinandi arvutamisel korratakse algoritmi .
Tehted, mida maatriksiga sooritatakse , kirjutatakse determinandi juurde (kui teisendatakse ridasi, siis tavaliselt kirjutatakse determinandi vastavas reas, või ridades; kui teisendadakse veergude järgi, siis kirjutatakse determinandi veeru alla).
Näide 1: Arvutada determinant
Lahendus:
Näide 2.: Arvutada determinant
Lahendus:
2.4. Determinandi arvutamine MS Excelis
Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas on determinandi arvutamist võimaldav funktsioon MDETERM .
Esmalt sisestame arvutamisele kuuluva determinandi elemente ruudukujulise tabelina Exceli töölehele. Valime koht, kuhu tahaksime tulemust saada (kuna determinandi väärtus on arvuline, siis valime selleks kohaks suvalist „kastikest“ .
Seejärel pressime standardse nupurea ikooni fx. Avaneb dialoogikast, millest valime funktsioonide kategooria Math &Trig (võib ka All). Selles kategoorias tuleb valida MDETERM.
Funktsiooni MDETERM käivitamisel avaneb dialoogikast, kuhu tuleb determinandi elementide aadressid (aktiviseerime determinanti) sisestada. Vajutame OK. Tulemus ilmub eelnevalt valitud „kasti“.
Ülesandeid:
2. Arvutada determinandid:
2.1.
2.2.
2.3.
2.4. 2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19. Leida x võrrandeist:
2.19.1.
2.19.2.
2.20. Arendada determinant teise veeru järgi ja seejarel arvutada determinandi väärtus:
2.21. Arendada determinant kolmanda rea järgi ja seejarel arvutada determinandi väärtus
Arvutada determinandid:
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
2.31.
2.32.
2.33.
2.34.
Vastused:
2.1. - 7 2.2. 19 2.3. -19 2.4. -1
2.5. – b3 2.6. 0 2.7. cos 2α 2.8. 2tan α
2.9. – 68 2.10. 258 2.11. -26 2.12. -119
2.13. 4 2.14. 8 2.15. 14x + 5y – 7z + 23
2.16. 2 (ad – bc) 2.17. 2 (x3 – y3 ) 2.18. A3 – 3 ABC + B3 + C3
2.19.1. x1 = 2; x2 = 3 2.19.2. x1 = 2; x2 =
2.20. 81
2.21. 0 2.22. -32 2.23. -246 2.24. 8
2.25. 93 2.26. -393 2.27. 12 2.28. -843
2.29. 200 2.30. 1200 2.31. 777 2.32. 276
2.33. 640 2.34. 21280
3. Pöördmaatriks
3.1.Regulaarsed ja singulaarsed maatriksid.
Olgu A n-järguline ruutmaatriks:
Definitsioon 1 .Ruutmaatriks A on regulaarne , kui ∆ = det A ≠ 0, vastasel juhul (∆ = 0) maatriksit nimetatakse singulaarseks.
Definitsioon 2. Maatriksi A adjungeeritud maatriksiks
(või A* ) nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksist AT selle maatriksi kõikide elementide asendamisel nende elementide alamdeterminantidega: A* = (Aij)T = (Aji ).
, kus A ij on alamdeterminandid.
3.2.Pöördmaatrikse mõiste
Definitsioon . Regulaarse maatriksi A pöördmaatriksiks
nimetatakse maatriksit , mille korral on täidetud järgmine tingimus:
kus E ühikmaatriks.
Maatriksid A, , E on ühe ja sama suurusega maatriksid.
Pöördmaatriks täidab maatriksite teoorias sama rolli kui pöördarv arvude teoorias.
Pöördmaatriksi leidmise meetodeid on mitu, vaatleme ühte neist.
Pöördmaatriksit saab leida järgmiselt:
kus A* on adjungeritud maatriks , A – algmaatriks.
3.3. Pöördmaatriksi leidmise algoritm
1. Arvutada detA. Kui detA ≠ 0 , siis
leidub ( A- regulaarne)
kui detA = 0, siis
ei leidu (A – singulaarne ).
2. Leida alamdeterminandid Ai j .
3. Koostada adjungeeritud maatriks A*= (Aj i )n x n (NB! alamdeterminante tuleb transponeerida!).
4. Leida .
5. Kontrollida tulemust, s.t. näidata
( piisab ühest variandist).
Toome ette erijuhud :

n = 2
Näide 1: Leida maatriksi
pöördmaatriks ja kontrollida.
Lahendus:
1. Arvutame maatriksi determinti ∆ = 10 . Antud maatriks on regulaarne, kuna maatriksi determinant ∆ ≠ 0, järelikult saab leida ka pöördmaatriksit.
2. Leiame kõik alamdeterminandid A ij
= (-1)i + j ∙ Mij :

Koostame adjungeeritud maatriksit A* =

Koostame pöördmaatriksit (transponeerime saadud maatriksit ja jagame determinandiga):
5. Kontrollime, kas saadud maatriks on algmaatriksi pöördmaatriks. Tuleb veenduda, et :
Vastus:

n = 3
Näide 2: Leida maatriksi
pöördmaatriks ja kontrollida.
Lahendus:
1. Leiame determinanti :
Antud maatriks on regulaarne, kuna maatriksi determinant ∆ = 45 ≠ 0, järelikult saab leida ka pöördmaatriksit.
2. Leiame kõik alamdeterminandid A ij
= (-1)i + j ∙ Mij :
3. ja 4. Koostame pöördmaatriks:
5. Kontrollime, kas saadud maatriks on algmaatriksi pöördmaatriks. Tuleb veenduda, et :
Vastus:
3.4. Pöördmaatriksi omadused
3.5. Pöördmaatriksi leidmine MS Excelis
Tabelarvutuspaketi MS Excel matemaatikafunktsioonide hulgas pöördmaatriksit saab leida kasutades funktsiooni MINVERSE.
Eelnevalt sisestatakse Exceli töölehele lähtmaatriks (trükitakse tabelina) . Kuna tulemusena on maatriks, siis tuleb varuda tulemusmaatriksile koht ( märgistada hiirega ruudustik , mis sisaldab sama palju ridu ja veerge kui tulemusmaatriks). Seejarel tuleb funktsioonide ikoonist fx valida MINVERSE.
Funktsiooni käivitamisel tuleb dialoogikasti sisestada lähtanmed ( elementide aadressid ). Tulemuse saamiseks tuleb vajutada korraga kolme klahvi Ctrl + Shift +Enter. Vastus ilmub eelnevalt hiirega märgistatud tabelisse.
Ülesandeid

Leida maatriksi pöördmaatriks ja kontrollida:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8
3.9. Arvutada 2A- 1 + 3AT – A2 , kui A =
3.10. Arvutada AB – 1 + BA – 1, kui A =
ja B =
3.11. Arvutada (AB) – 1 + AA – 1, kui
A =
, B =
Vastused:
3.1.
3.2.
3.3.
3.4. 3.5. 3.6.
3.7 Maatrikis on singulaarne, st. pöördmaatriks ei leidu.
3.8. 3.9. 3.10.
3.11.
4.Maatriksvõrrandid
Maatriksvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mille otsitavaks on maatriks.
Vaatleme mõned maatriksvõõrandi tüübid ja nende lahendamist.
Olgu A, B, C - n-järku antud maatriksid, E – n-järku ühikmaatriks, X – n-järku otsitav maatriks.

AX = B
See võrrand on lahenduv, kui A on regulaarne maatriks, s.t. leidub A- 1 .
Siis
X = EX = (A- 1A)X = A - 1 (AX) = A- 1B.
Võrrandi lahendamiseks on võrrandi pooli korrutatud vasakult pöördmaatriksiga A- 1.
Näide1: Lahendada maatriksvõrrand BX = A, kui
Lahendus:
Eelpooltoodud materjali põhjal avaldame X = B – 1A. Leiame B – 1 (vt. p.3):
det B =
võrrand lahenduv,
B11= -4, B12 = - 2, B21 = -1, B22 = 0,
Kontroll:

XA = B
See võrrand on lahenduv, kui B on regulaarne maatriks, s.t. leidub B – 1.
Siis
X = XE = X(A· A – 1) = (XA)A – 1= B· A – 1.
Võrrandi lahendamiseks on võrrandi pooli korrutatud paremalt pöördmaatriksiga A – 1.
Näide 2: Lahendada maatriksvõrrand XB = A,kui
Lahendus:
Antud punktis materjali põhjal avaldame X : X = AB - 1.
B – 1 on leitud eelmises ülesannes :
Kontroll:
3. AXB = C
See võrrand on lahenduv , kui A ja B on regulaarsed maatriksid , s.t. leiduvad A- 1 ja B – 1. Siis
X = EXE = (A- 1A)X(B B – 1) = A- 1(AXB) B – 1 = A- 1C B – 1.
Võrrandi lahendamiseks on võrrandi pooli korrutatud vasakult pöördmaatriksiga A - 1
ja paremalt pöördmaatriksiga B – 1.
Näide 3 Lahendada võrrand AXB = C , kui
Lahendus : eelpooltoodud materjali põhjal avaldame X:
X = A- 1CB – 1.
Leiame maatrikseid A – 1 ja B – 1 (vt. p.3) : A – 1 =
Siis X = A- 1CB – 1 = · ·=
Kontrollime: AXB = C,
== C.Vastus: X = .
Ülesandeid:
4. Lahendada maatriksvõrrand:
4.1. A + X = B, kui A =
B =
4.2. A -1 – X = B, kui A =
B =
4.3. AX = B, kui A =
B =
4.4. AX = B, kui A =
, B =
4.5. A -1 X = B, kui A =
, B =
4.6. AX = B -1 , kui A =
, B = .
4.7. BX = A, kui A =
B =
4.8. XA = B, kui A =
B =
4.9. XB = A , kui A =
B =
4.10. XA = B, kui A =
, B =
4.11. XB = A, kui A =
, B = .
4.12. XA = B -1, kui A =
B =
4.13. XA- 1 = B, kui A =
B =
XB = B -1 , kui B = .
XA- 1 = A-1, kui A =
4.16. AXB = C, kui . A =
B =
C =
4.17. AXB = C, kui A =
, B = , C =
4.18. A – 1XB = C, kui A =
B =
C = .
4.19 . AXB – 1 = C , kui A =
, B = , C =
4.20 . AXB = C – 1, kui A =
B =
C = .
4.21 . A – 1XB – 1 = C, kui A =
, B = , C =
4.22. B – 1XA– 1 = С -1, kui A =
B =
С = .
Vastused:
4.1.
4.2. 4.3.
4.4.
4.5. 4.6.

4.7. 4.8.
4.9.
4.10. 4.11. 4.12.

4.13. 4.14. 4.15.
4.16. 4.17. 4.18.
4.19. 4.20. 4.21.
5. Maatriksi astak .
Olgu antud maatriks A = .
Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu.
Maatriksi astak on võimalik defineerida teisiti selle maatriksi nullist erinavate miinorite järgu kaudu, mis annab praktilise eeskirja maatriksi astaku leidmiseks.
Definitsioon 2. Kui maatriksis A leidub vähemalt üks nullist erinev r – järku miinor, kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse , et maatriksi astak (rank) on r.
Miinorite arvitamise hõlbustamiseks teisendatakse kõigepealt maatriksi A peadiagonaalist allpool asuvad elemendid nullideks, millest enamasti piisab astaku üle otsustamiseks. Vajadusel võib teisendada kõik peadiagonaalivälised elemendid nullideks. Selleks kasutatakse maatriksi elementaarteisendusi (vt. p. 1.3).
Näide. Leida maatriksi A =
astak.
Lahendus. Töötleme maatriksit A elementaarteisendustega (vt. p. 1.3.)
„nullitame“ I veeru ~
~ vahetame 2 ja 4 rida ~ „nullitame“ II veeru ~

~ . Viimane rida koosneb ainult nullidest, st. et on sõltuv jätame neljas rida välja). Vasakust ülanurgast moodustatud kolmandat järku miinor
(vt. p . 2.2. omadus 8). Järelikult maatriksi astak on võrdne kolmega (rankA = 3).
Ülesandeid
5. Leida maatriksi astak:
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.7.
5.8.
5.9.
Vastused:
5.1. 1 5.2. 2 5.3. 2 5.4. 3 5.5. 2
5.7. 3 5.8. 3 5.9. 2
6.Lineaarse võrrandisüsteemid(LVS)
6.1. LVS lahendid
Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist
koosnevat süsteemi , mille ülkuju on
(6.1.)
Arve aij nimetatakse võrrandisüsteemi kordajateks, arve b1 … bm – vabaliikmeteks , x1,…xn – tundmatuteks (aij, bi, x j
R, i = 1,...,m; j = 1,...,n).
Süsteem (1) on m võrrandist ja n tundmatust koosnev lineaarvõrrandite süsteem.
Arve c1,…, cn , mis rahuldavad süsteemi (6.1) kõik võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi
(6.1) lahendiks :
(6.2)
LVS (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse süsteemi maatriksiks :
A = (aij) =
. (6.3)
Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit nimetatakse süsteemi laiendatud maatriksiks:
. (6.4)
Kui esitada muutujad x i (i = 1,…,n) maatrikskujul X= ja vabaliikmed bj (j = 1,…,m)
maatrikskujul B = , siis LVS (1) maatrikskuju on A ∙ X = B .
Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,…,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) .
Süsteemil (6.1) võib

leiduda täpselt üks lahend ;

lahend puududa (võrrandid on vastuolulised);

leiduda lõpmata palju lahendeid (tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute
võrrandite arvust). Viimasel juhul saab süsteemi (1) jaoks välja kirjutada üldlahendi,
mis sõltub vabalt valitavatest konstantidest:
kus C1, C2 , ..., Ck
R.
Vabalt valitavate konstantide arv k on määratud tundmatute arvu ja sõltumatute võrrandite arvu vahega.
Süsteemi (1) erilahendiks nimetatakse süsteemi lahendit, mis saadakse üldlahendist konstantidele C1, C2 , ..., Ck arvuliste väärtuste andmisel.
6.2. ERIMEETOODID LVS LAHENDAMISEKS

LVS lahendamine maatriksvõrrandi kaudu
LVS maatriksvõrrandi kuju :
A∙X = B (2)
Võrdus (2) esitab maatriksvõrrandit, mille lahend avaldub kujul X = A- 1∙B, kus det A ≠0
Näide 1:
Lahendada maatriksvõrrandi kaudu LVS
Lahendus:
Siin ja
Lahendame maatriksvõrrandi A∙X = B , mille llahendiks on X = A- 1∙B. Jarelikult utleb leida pöördmaatriks A- 1 ja seejärel koostada maatriksite korrutist.
Leiame A- 1:
Siis X = A- 1∙B. =
Kuna , siis x1 = 2, x2 = 1 .
Kontroll:
Asendame leitud muutujad algsüsteemi:
2∙ 2 – 3 ∙1 = 1 4∙ 2 + 1 = 9
4 – 3 = 1 8 + 1 = 9
1 = 1 9 = 9
Vastus: x1 = 2, x2 = 1.
II. Crameri peajuhtum ja Crameri valemid.
Crameri peajuhtumi korral süsteemil (6.1) on võrrandeid sama palju kui tundmatuid ( m = n ).
Olgu süsteemi (6.1) kordajate maatriksi determinant det A ≠ 0.
Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend.
Tähistame
kus i kohal on vaba liikme veerg.
LVS (1) saab lahendada Crameri valemitega:
, (6.5)
kus det A on kordajatest koostatud determinant.
Näide 2:
Lahendada LVS
Crameri valemite abil.
Lahendus: Süsteemi determinant det A = ;
Siis
Kontoll oli tehtud eelmises punktis, nii et siin saab seda ära jätta.
Vastus: x1 = 2, x2 = 1.
III. Gauss – Jordani meetod
Antud meetod kasutab maatriksi elementaarteisendusi ridadega:

maatriksi kahe rea vastastikune ümbervahetamine;

rea korrutamine nullist erineva arvuga;

reale liitmine mingi teine rida kordne arvuga.
Maatriksi ridade elementaarteisendused ei muuda maatriksile vastava lineaarvõrrandite süsteemi lahendite hulka.
Meetodi algoritm:

Kirjutada välja LVS (1) laiendatud maatriks,

valida selle maatriksi esimese n – 1 veeru elementide (ainult süsteemi kordajate) hulgast nullist erinev element – juhtelement ( soovitavalt 1 või - 1 veerust, mille elemendid on absoluutväärtusega väiksemad);

teisendada juhtelemendile vastavas veerus kõik elemendid peale juhtelemendi nullideks kasutades ridade elementaarteisendusi;

kui teisenduste tulemusena on tekkinud rida, mille n – 1 esimest elementi on nullid ja viimane element (vaba liige) on nullist erinev, siis süsteemil (1) puudub lahend;

kui leidub ridu, milles ei ole veel juhtelementi valitud ja mille n – 1 esimese elemendi hulgas on nullist erinevaid elemente, siis valida nende hulgast uus juhtelement ( soovitavalt 1 või -1) ja jätkata algoritmi täitmist punktist 3;

kirjutada välja saadud maatriksile vastav LVS ja avaldada juhtelementidele vastavat tundmatud;

vormistada süsteemi üldlahend (kui see leidub), baaslahend (kui see leidub) ja erilahend (kui see leidub).
Kui maatriksitele A ja B vastavad lineaarvõrrandite süstemid omavad ühesuguseid lahendeid, siis tähistatakse seda kujul A ~ B .
Ülesannete lahendamisel kirjutatakse laiendatud maatriksite juurde nendega sooritatavad ridade elementaarteisendused.
Näide3:
Lahendada LVS
Gauss- Jordani meetodiga.
Lahendus:
Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi:
Kuna kõikidest ridadest on juhtelemendid valitud, siis kirjutame välja maatriksile vastava võrrandite süsteemi:
seega süsteemil on ühene lahend : x1 = 1, x2 =2, x3 = 3.
Kontroll:.
Vastus: : x1 = 1, x2 =2, x3 = 3.
Näide 4: Lahendada LVS
Gauss- Jordani meetodiga.
Lahendus: Kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi:
Kuna kolmandas reas on kõik elemendid peale viimast (vaba liige) nullid., ehk et kolmandale reale vastab võrrand 0 ∙ x1 + 0 ∙ x2 + 0 ∙ x3 = , tekib vastuoluline võrdus 0 = , seega süsteemil lahend puudub.
Näide 5: Lahendada LVS
Lahendus:
Kirjutame välja maatriksile vastava võrrandite süsteemi:
avaldame juhtelementidele (x2, x3) vastavad tundmatud:
tähistades x1 = C1, x4 = C2, saame süsteemi üldlahendiks:
Saab kontrollida ka üldlahendit asendades saadud lahendid algsüsteemi, aga mõistlikum on
Kontrollida mingit erilahendit. Seega kirjutame välja kas või ühe erilahendi :
Kontroll:
3 · 1 + 2 · (-1) – 5 · (-1) + 4 · (-1) = 2,
3 – 2 + 5 – 4 = 2,
2 = 2;
6 · 1 + 4 · (-1) - 4 · (-1) + 3 ·(-1) = 3,
6 – 4 + 4 – 3 = 3,
3 = 3;
9 · 1 + 6 · (-1) - 3 · (-1) + 2 · (-1) = 4,
9 – 6 + 3 -2 = 4,
4 = 4.
Üldise LVS (6.1) lahenduvuse küsimusele annab vastuse Cronecker-Capelli teoreem :
Lineaarne võrranditesüsteem (6.1) on lahenduv siis ja ainult siis , kui selle tundmatute kordajate maatriksi (6.3) astak ja laiendatud maatriksi (6.4) astak on võrdsed.
6.3.Homogeensete LVS lahendamine
Definitsioon .LVS nimetatakse homogeenseks , kui süsteemi kõik vabaliikmed on nullid.
Homogeense LVS üldkuju on
(6.6)
Homogeensel LVS –l (6.6) on alati olemas triviaalne lahend . Seega võib homogeensel LVS-l (6.6) olla kas

üks lahend () või

lõpmata palju lahendeid.
Homogeenset LVS samuti lahendadakse Gaussi meetodiga, kusjuures tavaliselt ei kirjutata laiendatud maatriksit (kuna vaba liikmed on nullid), vaid elementaarteisendused toimuvad süsteemi maatriksi ridadega.
Näide: Lahendada homogeenne LVS
Lahendus:
Kirjutame välja maatriksile vastava võrrandi süsteemi:
Süsteemil on lõpmata palju lahendeid., kirjutame üldlahendi ja erilahendi.
Avaldame juhtelemendile vastavad tundmatud, tähistades x2 = C (sellega kirjutame üldlahendi):
Erilahendi kirjutamiseks omistame x2 suvalise väärtuse, näiteks „1“. Siis süsteemi erilahendiks on:
Kontroll:
11 + 3 · 1 + 2 · (-7) = 0,
0 = 0,
2 · 11 – 1 + 3 · (-7) = 0,
0 = 0,
3 · 11 – 5 + 4 · (-7) = 0,
0 = 0,
11 + 17 + 4 · (-7) = 0,
0 = 0.
Ülesandeid:
6.1. Lahendada Crameri valemite abil järgmised võrrandisüsteemid:
6.1.1.
6.1. 2.
6.1.3.
6.1.4.
6.1.5. 6.1.6.
6.1.7. 6.1.8.
6.1.9.
6.1.10.
6.1.11. 6.1.12.
6.1.13.
6.1.14.
6.2.12.
6.1.16.
6.1.17
6.1.18.
6.1.19.
6.1.20. 6.1.21.
6.1.22. 6.1.23.
6.1.24.
6.1.25.

6.2. Lahendada Gaussi-Jordani meetodiga järgmised võrrandisüsteemid:
6.2.1.
6.2.2.
6.2.3.
6.2.4.
6.2.5.
6.2. 6.
6.2.7.
6.2.8.
6.2.9.
6.2.10.
6.2.11.
6.2.12.
6.2.13.
6.2.14.
6.2.15.
6.2.16.
6.2.17. 6.2.18.
6.2.19.
6.2.20.
6.2.21.
6.2.22.
6.2.23.
6.2.24.
6.2.25.
6.2.26.
6.2.27.
6.2.28.
6.2.29.
6.2.30.
6.2.31.
6.2.32.
6.2.33.
6.2.34.
6.2.35.
6.3. Lahendada homogeenseid võrrandisüsteeme:
6.3.1. 6.3.2.
6.3.3.
6.3.4.
6.3.5.
6.3.6.
6.3.7.
6.3.8.
6.3.9.
6.3.10.
6.3.11.
6.3.12.
6.3.13.
6.3.14.
Vastused:
6.1.1. x = 7б; y = -8 . 6.1.2. x = - 90б; y = 120 . 6.1.3. x = 5; y = - 4.
6.1.4. x =; y = 1. 6.1.5. x = ; y =
; z = -
. 6.1.6. x =; y = 0;
z = . 6.1.7. x = -5; y = 9,1; z = - 2;3 6. 1.8. x = 0; y = 4; z = - 3 . 6.1.9. x = 1; y = 1; z = 3 6.1.10. x = 5; y = 4; z = 3. 6.1.11. x1 = - 2;
x2 = 2; x3 = 1. 6.1.12. x1 = 3; x2 = -2; x3 = 2 . 6.1.13. x = 2; y = -1; z = -3.
6.1.14. x = 3; y = 17; z = -12. 6.1.15. x = 1; y = 1; z = 0. 6.1.16. x = -4; y = 1; z = 6 . 6.1.17. x = ; y =
; z = - . 6.1.18. x1 = 20; x2 = 17; x3 = - 12; x4 = -10. 6.1.19. x1 = 11; x2 = - 20; x3 = 28; x4 = - 51. 6.1.20. x1 =; x2 =; x3 =; x4 = -. 6.1.21. x1 = - 6,5; x2 = - 1; x3 = -5; x4 = 5,5.
6.1.22. x1 = 3; x2 = - 3; x3 = 2; x4 = - 2. 6.1.23. x1= x2 = x3 = x4 = 0.
6.1.24. x1 = 5; x2 = 4; x3 = 3; x4 = 2; x5 = 1. 6.1.25. x1 = x3 = x5 = 1; x2 = x4 = - 1.
6.2.1. x = 5; y = 6; z = 10. 6.2.2. x = -1; y = 0; z = 1. 6.2.3. lõpmata palju
lahendeid . 6.2.4. lahendid puuduvad . 6.2.5. lõpmata palju lahendeid .
6.2.6. lahendid puuduvad. 6.2.7. x = 2; y = -1; z = - 3 . 6.2.8. x = 3; y = 17;
z = - 12. 6.2.9. lõpmata palju lahendeid. 6.2.10. lõpmata palju lahendeid. 6.2.11.
lõpmata palju lahendeid . 6.2.12. x = 1; y = 1; z = 0. 6.2.13. x = ; y = - ; z = . 6.2.14. x =; y = ; z = - . 6.2.15. lõpmata palju lahendeid .
6.2.16. lõpmata palju lahendeid . 6.2.17. lahendid puuduvad. 6.2.18. lõpmata
palju lahendeid . 6.2.19. lõpmata palju lahendeid . 6.2.20. lahendid puuduvad.
6.2.21. x1 = 3 ; x2 = 1; x3 = 2 . 6.2.22. lahendid puuduvad . 6.2.23. lõpmata palju
lahendeid. 6.2.24. lõpmata palju lahendeid . 6.2.25. x = 1; y = -2; z = 2.
6.2.26. x = 1; y = 1; z = 2 . 6.2.27. lõpmata palju lahendeid. 6.2.28. lõpmata palju
lahendeid. 6.2.29. x1 =0; x2 =; x3 =; x4 = 2 . 6.2.30. x1 = 2; x2 = x3 =
= x4 = 1. 6.2.31. lõpmata palju lahendeid . 6.2.32. lõpmata palju lahendeid .
6.2.33. x1= x2 = x3 = x4 = 1; x5 = 2. 6.2.34. x1 = 3; x2 = - 5; x3 = 0; x4 = 11.
6.2.35. lahendid puuduvad.
6.3.4. lõpmata palju lahendeid. 6.3.6. lõpmata palju lahendeid. 6.3.7. süsteemil
on ainult null-lahend . 6.3.8. lõpmata palju lahendeid. 6.3.9. lõpmata palju lahen-
deid. 6.3.10. süsteemil on ainult null-lahend. 6.3.11. lõpmata palju lahendeid.
6.3.12. lõpmata palju lahendeid. 6.3.13. süsteemil on ainult null-lahend .
6.3.14. lõpmata palju lahendeid.