Optimeerimine (1)

4. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaalarvutus
Majandusanalüüsi korral uuritakse majandusalaste suuruste vahelisi seoseid , mis on kirjeldatud funktsionaalse sõltuvusena. Toome näiteks mõningad probleemid, mida võib uurida majandusanalüüs:

• Kas toodangu hinna suurendamisel ettevõtte kasum suureneb või väheneb?
  
• Millisel määral võivad kapitalimahutused asendada lisatööjõudu?
  
• Millise tootmismahu juures on kulu tooteühiku kohta kõige väiksem?
  
• Kui tundlik on hüvise nõudlus hinna muutustele?
  
• Kuidas mõjutab maksude suurendamine laekumisi riigieelarvesse ?
  

Vastuste leidmiseks nendele küsimustele konstrueeritakse algul vastavad mudelid ja siis uuritakse neid diferentsiaalarvutuse meetodite abil.
Ülesannete liigitus

Optimeerimisülesanded. Majandusalases tegevuses tuleb tihti analüüsida, millal on tootlikkus maksimaalne, kasum maksimaalne, kulud minimaalsed jne. Maksimumi ja miinimumi leidmist nimetatakse optimiseerimiseks. Tihti lisanduvad optimeerimisülesandedele teatud kitsendused ressursside piiratuse tõttu.

Marginaalanalüüs. Kui meid huvitab, kuidas muutub kogutulu või kulu tootmismahtu suurendades (vähendades), tuleb kasutada marginaalanalüüsi (piirväärtusanalüüsi), mis uurib funktsiooni muutumist argumendi ühikulise muutuse korral. Δx → Δy

Elastsusanalüüs. Uurib suhtelisi muutusi .
4.1. Funtsiooni tuletis
Definitsioon Funktsiooni y(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu Δy ja argumendi muudu Δx jagatise piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile:
y´(x) =
Funktsiooni muutumise kiirus on funktsiooni tuletis .
Majanduses ja äritegevuses on olulisteks arvulisteks näitajateks keskmised suurused, näiteks toodangu keskmine hind, keskmine tootlikkus, keskmine kogukulu jne. Kuid keskmised nätajad ei anna vastust kaugeltki kõikidele olulistele küsimustele. Keskmistele suurustele toetudes ei saa me teada , kuidas ühe majandusnäitaja (kulude, tooraine jne) väike muudatus mõjutab teise majandusnäitaja muutumist. Nimetatud probleemi täpsemaks matemaatiliseks hindamiseks tuleb leida vastavaid seoseid kirjeldavate funktsioonide tuletised. Mõiste tuletis asemel kasutatakse majanduses mõistet lisand - ehk piirsuurus ehk marginaal . Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku objekti muutumise kiirusena, mis ei pruugi olla sõltuvuses ajast, vaid mõnest muust majanduslikust muutujast ( näiteks, hinnast , toodangu mahust jne).
puutujs tõus = funktsiooni tuletis antud punktis = funktsiooni kiirus antud punktis
Puutuja tõus võib olla positiivne, negatiivne või null.
Elementaarmatemaatika kursuses on tuletise leidmise reeglid ja omadused põhjalikult kirjeldatud, selles kursuses me toetume teatud maerjalile.
Näide 4.1.
Uurime funktsiooni P(p) = - 40 p2 +16 000 p – 1 200 000.
Leida

kasumi muutumise kiiruse sõltuvus hinnast;

kui suur on kasumi muutumise kiirus hindada 100 kr, 150 kr , 200 kr ja 250 kr korral.
Lahendus:
a) Kasumi muutumise kiiruseks on tuletis kasumifunktsioonist:
P´ (p) = - 40 • 2 p +16 000 = - 80 p +16 000
See tähendab, et kui hinda p muuta 1 krooni võrra, siis kasum muutub

• 80 p +16 000 võrra.
  

b)Leiame kasumi muutumise kiiruse erinevate hindade korral:
P´ (100) = - 80 · 100 + 16 000 = 8000 ( 100 kroonise hinna korral
muutumise kiirus on 8000 (kasumi) kr ühe (hinna) krooni kohta);
P´ (150) = - 80 · 150 + 16 000 = 4000 ( 150 kroonise korral on kasumi
muutus 4000 kr, s.t. nüüd mõjutab hind kasumit vähem);
P´ (200) = - 80 · 200 + 16 000 = 0 (200 kroonise korral kasumit hinna
muutumine ei suurenda ega vähenda; see on optimaalne hind);
P´ (250) = - 80 · 250 + 16 000 = - 4000 (250 kroonise hinna korral on tuletis negatiivne ehk tegemist on kahanemisega. Hinna suurendamine 1 kr. Võrra vähendab kasumit 4000 krooni võrra).
Graafikult on näha, et vasakul pool maksimumi on puutuja tõus positiivne, hinna kasvades kasum kasvab. Paremal pool maksimumi on puutuja tõus negatiivne , hinna kasvades kasum kahaneb. Funktsiooni maksimumpunktis on graafiku puutuja horisontaalne, tõus on null. Optimaalne hind on hind, mille korral kasum on maksimaalne.Graafikul vastab sellele hinnale kõrgeim punkt – tipp.
Ülesanne 4.1. Firma on uurinud oma töötajate töö tootlikksut ja leidnud, et kui töötaja on töötanud t aastat , siis tema kuu tootlikkus on avaldatav järgmise funktsioonina :
f(t) = - 2t2 + 28 t + 100 . Leida tootlikkuse muutumise kiiruse sõltuvus tööaaastatest.
Ülesanne 4.2. t aasta pärast ( alatesest tänavusest) on kohaliku ajalehe tiraaž
N (t ) = 100 t 2 + 400 t - 500. Leida funktsioon, mis kirjeldab tiraaži muutumise kiirust t aasta pärast. Millise kiirusega muutub tiraaž 5 aasta pärast? Kas tiraaž suureneb või väheneb sel ajal?
Ülesanne 4.3. Oletame, et t tunniga õpib inimene selgeks N võõrkeelset fraasi, kusjuures N sõltub vahemikus 0 ≤ t ≤ 6 tundide arvust järgmiselt: N(t) = 12t – t2. Leida

omandamise kiirus 2. tunnil;

keskmise omandamise kiirus 2-st 5 tunnini
( v =
Ülesanne 4.4. Oletame , et üliõpilane õpib t tunni jooksul selgeks n punkti, kusjuures n = 40 , 0 ≤ t ≤ 10. Leida
a) keskmine omandamise kiirus vahemikus 4-st 9 –nda tunnini (vt.Ül.4.3.);
b) omandamise kiirus 4 . tunnil.
4.2. Lokaalsed ekstreemumid . Lokaalse ekstreemumi piisav ja tarvilik tingimused
Funktsioonil y = f (x) on lokaalne maksimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x
U(a) korral f(x) f(a) .
Funktsioonil y = f (x) on lokaalne miinimum kohal a , kui leidub punkti a ümbrus U(a), nii et iga punkti x
U(a) korral f(x) > f(a) .
Funktsiooni lokaalset maksimumi ja lokaalset miinimumi nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks ja kohta, kus lokaalne ekstreemum saavutatakse , lokaalseks ekstreemumkohaks.
Üldiselt võib funktsioonil võib olla lõpmata palju lokaalseid maksimume ja miinimume.
Funktsiooni nimetatakse kasvavaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad suuremad funktsiooni y väärtused :
x1, x2
( a; b) ja x1 x2 korral y (x1 ) y ( x2).
Funktsiooni nimetatakse kahanevaks mingis vahemikus, kui suurematele argumendi x väärtusele selles vahemikus vastavad väiksemad funktsiooni y väärtused :
x1, x2
( a; b) ja x1 x2 korral y (x1 ) > y ( x2).
Kasvava funktsiooni puutuja tõus on positiivne, kahanemise korral on puutuja tõus negatiivne.
Funktsiooni muutumise kiirus on funktsiooni tuletis. Kasvamise korral on muutumise kiirus positiivne, seega tuletis on positiivne.
Kahanemise korral on muutumise kiirus negatiivne, seega tuletis on negatiivne.
Tuletist saab kasutada funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkondade leidmisel.
Kui y`(x) > 0 vahemikus ( a; b), siis on funktsioon selles vahemikus kasvav.
Kui y`(x) a; b), siis on funktsioon selles vahemikus kahanev .
Punkti, mille korral funktsiooni I tuletis on null, nimetatakse statsionaarseks punktiks .
Punkti, mille korral funktsiooni I tuletis on null või pole määratud, nimetatakse kriitiliseks punktiks.
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus - I tuletis on null y`(x) =0 või pole
määratud;
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus - kriitilises punktis tuletis muudab märki ehk on üleminek kasvamiselt kahanemisele (kahanemiselt kasvamisele. Esimesel juhul on kriitilises punktis maksimum, teisel juhul lokaalne miinimum.
Ülesanne 4.8. Kulufunktsioon on C(q) = 0,2q2 + 50q + 2000 , kus q on tootmismaht . Praegune tootmismaht on 150 ühikut. Leida , kas tootmismahtu suurendades keskmine kulu ühiku kohta suureneb või väheneb.
Ülesanne 4.9. Kasumifunktsioon on P(q) = - 0,2 q2 + 50 q – 3000, kus q on tootmismaht . Praegune tootmismaht on 1500 ühikut. Kas kasumi suurendamiseks tuleks tootmismahtu tõsta või langetada?
Ülesanne 4.10. Kontoritöö kulud käibe iga 1000 kr kohta sõltuvad kontoritöötajate arvust n järgmiselt: C(n) = 2n2 – 20n + 100. Mitu töötajat peaks kontroris olema, et nende töö oleks kõige efektiivsem?
Ülesanne 4.11. Firma kulufunkstioon on C(q) = 0,5q2 + 100000 , kus q on tootmismaht, ja toodet müüakse 600 kr tükk. Leida mitu toodet tuleb müüa, et saada maksimaalset kasumit ja kui suur see on.
Ülesanne 4.12. Firma kulufunkstioon on C(q) = 120q + 35000, kus q on tootmismaht, ja hinna sõltuvus kogusest p(q) = 4000 – 10q. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind, mille korral saavutatakse maksimaalne kasum.
Ülesanne 4.13. Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 50000 kr ja muutuvkulu ühiku kohta 2000 kr. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind mille korral saavutatakse maksimaalne kasum, kui nõudlusfunktsioon on
q(p) = - 0,5 p + 4000.
Ülesanne 4.14. Kulude analüüsil tehti kindlaks, et püsikulud kuus on 2410 kr ja muutuvkulu ühiku kohta 14 kr. Leida maksimaalne kasum ja tootmismaht ning hind mille korral saavutatakse maksimaalne kasum, kui nõudlusfunktsioon on
q(p) = - 2,5 p +315.
4.3. Lokaalsete ekstreemumite määramine II järku tuletiste abil
Statsionaarses punktis , kus y`( x) = 0 on funktsioonil

• lokaalne miinimum , kui y``(x) > 0
  
• lokaalne maksimum, kui y``(x)
  

Funktsiooni y(x) lokaalsete ekstreemumite määramiseks II järku tuletise abil tuleb:

• leida funkstiooni I järku tuletis y`( x)
  
• määrata kriitilised kohad (kus y`( x) = 0 ning määramatused)
  
• leida funkstiooni II järku tuletis y``(x)
  
• leida y``(x) väärtused kriitilistes punktides (p. 2.),
  

kui y``(x) > 0 → x – is on lokaalne miinimum
kui y``(x) x – is on lokaalne maksimum

• vajaduse korral leida funktsiooni väärtused lokaalsetes ekstreemumites.
  

Näide 4.5. Leida funktsiooni y = x4 – 8x2 + 16 lokaalsed ekstreemumid II järku tuletise abil.
Lahendus:

leiame funkstiooni I järku tuletis y`( x):
y`( x) = 4x3 – 16x
2. leiame kriitilised punktid: määramatused puuduvad,
y`( x) = 0 → 4x3 – 16x = 0
4x(x2 – 4) = 0
x1= 0, x2 = 2, x3 = -2
3.leida funkstiooni II järku tuletis y``(x):
y``(x) = 12x2 – 16

y``(0) = 12∙ 0 – 16 = -16 x = 0 on lokaalne maksimum,
y``(2) = 12 ∙ 4 – 16 > 0 → punktis x = 2 on lokaalne miinimum,
y``(- 2) = 12 ∙ 4 – 16 > 0 → punktis x = - 2 on lokaalne miinimum.
5. y (0) = 16 , y (2) = 24 – 8∙22 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0, y (- 2) = 0,
seega lokaalne maksimum on punktis (0; 16),
üks lokaalne miinimum on (2; 0), teine lokaalne miinimum on ( - 2; 0).
Ülesanne 4.15. Prognoositakse, et teatud tõenäosusega on lähima kuu aja jooksul on oodata aktsia hinna muutumist järgmise seaduspärasuse järgi: p(t) = - 0,0035t3 + 0,18t2 – 2,5t + 152, kus t on päevade arv alates praegusest.

mitme päevapärast on kasulik aktsiaid osta ja mitme päeva pärast on kasulik neid müüa?

Kui suurt tulu saadakse, kui ostmiseks sobival ajal ostetakse 1000 aktsiat, mis müümiseks sobival ajal maha müüakse.
Ülesanne 4.16. Prognoos näitab, et kauba A pakutav kogus q muutub lähima 3 kuu jooksul järgmiselt: q(t) = 0,04t3 – 7 t2 + 200t + 15 000, kus t on päevade arv alates tänasest. Mitme päeva pärast on pakutav kogus saavutanud miinimumi?
4.4.Globaalsed ekstreemumid
Funktsiooni globaalne maksimum mingis vahemikus on funktsiooni suurim väärtus antud vahemikus.
Funktsiooni globaalne miinimum mingis vahemikus on funktsiooni vähim väärtus antud vahemikus.
Globaalset maksimumi ja globaalset miinimumi nimetatakse globaalseteks ekstreemumiteks.
Pideva funktsiooni y(x) globaalsete ekstreemumite leidmine vahemikus a ≤ x ≤ b :

Leida funktsiooni lokaalsed ekstreemumidvahemikus a ≤ x ≤ b

Leida funktsiooni y(x) väärtused vahemiku otspunktides a ja b ning lokaalsetes ekstreemumites , mis kuuluvad vahemikku a ≤ x ≤ b.

Võrdleme väärtusi: suurim neist on globaalne maksimum, vähim – globaalne miinimum.
Näide 4.6. On antud firma kasumifunktsioon P(q) = - 2q3 + 270q2 – 4800q – 6000, kus q on toodete arv tuhandetes ja kasum on kroonides . Leida firma maksimaalne kasum, kui:

tootmismaht võib olla kuni 100 tuh. toodet;

tootmismaht ei või ületada 50 tuh. toodet.
Lahendus:
Leiame ekstreemumid: P`(q) = - 6q2 + 540q – 4800,
P`(q) = 0 → - 6q2 + 540q – 4800= 0
q2 – 90 q + 800 = 0,
q1= 80 ( tuh) , q2= 10 ( tuh).

esimene tingimus (kuni 100 tuh.) lubab leida kasumit mõlemas ekstreemumis ning ka 100 tuh kohta:
P(10) = - 2∙ 1000 + 270 ∙ 100 – 48000 – 6000 = - 29 000 kr ( kahjum )
P(80) = - 2∙ 512000 + 270 ∙ 6400 – 4800∙ 80 – 6000 = 314 000 kr ,
P(100) = - 2∙ 1000000 + 270 ∙ 10000 – 4800∙ 100 – 6000 = 214 000 kr .
Suurim väärtus ehk ka suurim kasum on 80 tuh. toote juures ja see on 314 000 kr

teine tingimus ( kuni 50 tuh) võimaldab leida kasumit 10 tuh. toote ja 50 tuh. toote kohta:
P(10) = - 29 000
P(50) = 179 000 kr.
Suurim kasum on piirpunktis ehk kui tootemaht on 50 tuh. mis on võrdne 179 000 kr.
Ülesanne 4.17. Nõudlusfunktsioon on kujul p(q ) = 1000 -
krooni, kus q on
nõutav kogus. Leida firma maksimaalne kogutulu ja hind selle saavutamiseks

kui firma tootmismaht võib olla kuni 200 000 ühikut;

kui firma tootmismaht võib olla kuni 80 000 ühikut.
Ülesanne 4.18. Elanike arvu muutumise prognoos järgmise 5 aasta peale annab
tulemuseks, et elanike arvu muutust kirjeldab funktsioon: N(t) = - t3 + 9t2 + 48t + 50
( tuh.el.), kus t on aeg aastates alates praegusest.

millal on järgmise 5 aasta jooksul elanike arvu kasv kõige kiirem?

Millal on järgmise 5 aasta jooksul elanike arvu kasv kõige aeglasem ?

4.5. Optimeerimisülesanded
Optimaalne on olemasolevate võimaluste ( kitsenduste) j apüstitatud juhtimismärgi korral saavutav parim tulemus. Optimeerimine on olemasolevate kitsendustele ning püstitatud optimaalsuskriteeriumile vastava lahendileidmine.
Lahenduse etapid:

Tee kindlaks, millist suurust on vaja optimeerida, mis on funktsioon; avalda funktsioon argumendi kaudu , ehk leia matemaatiline avaldis , mis seob neid suurusi.

Kasutadesekstreemumite määramise tehnikat (pp. 4.1 – 4.4.), optimeeri leitud funktsioon .
Näide 4.7. Firmal on 50 autot ja neid renditakse välja nädala kaupa. Kogemus näitab, et kui nädalarent on 1000 kr, renditakse välja kõik autod. Summa tõstmisel 40 krooni võrra väheneb autode rentijate arv ühe võrra. Milline nädalarent annab firmale suurima kogutulu? Mitu autot siis välja renditakse?
Lahendus:
Optimeerida tuleb kogutulu R (p) = p∙ q, kus q on autode arv ja p nädalarent.
Avaldame q muutuja p kaudu; ehk moodustame nõudlusfunktsiooni, teades, et kui kogus on 50 autot, siis rent 1000 kr, 49 autot - 1040 krooni jne:

• 40 ( q – 49) = p – 1040
  

q – 49 = + 26,
q = + 75, ehk nõudlusfunktsioon on kujul q(p) = + 75 .
Kogutulu R (p) = p∙ q = p ∙ (+ 75) = .
Suurim kogutulu on maksimumpunktis, kus R`( p) = 0 ja R``(p) R`( p) = + 75 ,
+ 75 = 0
p = 1500.
Kontrollime, kas leitud statsionaarne punkt on maksimumpunkt: R``( p) =
Ülesanne 4.19. Olgu tulufunktsioon esitatud seosega R(q) = 600 q – q2 ning kogukulud seosega C(q) = q3 – 42q2 + 840q + 5000, kus q on tootmismaht . Leida suurimat kasumit ja suurimat tulu kindlustavad q väärtused.
Ülesanne 4.20. Televiisoreid valmistava firma nädala kasum on antud funktsiooniga
P(q) = - 0, 006q2 + 120 q – 12 000 (eurodes), kus q on nädalas toodetud televiisorite hulk. Mitu televiisorit tuleb firmal valmistada, et kasum oleks suurim?
Ülesanne 4.21. Firma müüb tooteid hinnaga 50 eurot tükk. Firma kogukulud on avaldatavad valemiga C(q) = 0,01q2 + 22q + 50, kus q on müüdavate toodete hulk. Leida toodete hulk q , mille puhul firma kasum on suurim ja kui suur see on?
Ülesanne 4.22. Firma müüb tooteid hinnaga 350 eurot tükk. Firma kogukulud on avaldatavad valemiga C(q) = 0,1q2 + 70q + 200, kus q on müüdavate toodete hulk. Leida toodete hulk q , mille puhul firma kasum on suurim jakui suur see on?
Ülesanne 4.23. Raadioid valmistav tehas müüb neid hinnaga 950 kr tükk. Kogukulufunktsioon on C(q) = 0,5q2 - 10q + 60 000 , kus q on valmistatud ja müüdud raadiote hulk. Leida kasumifunktsioon ja tasuvuspunkt . Milliste q väärtuste korral on tehasel lühiperioodil üldse mõtet raadioid toota? Milline tootmisplaan tagab suurima kasumi?
Ülesanne 4.24. Firma kogutulu on 550q – 5 q2 , kogukulud aga
C(q) = 50 q + 10 500 . Millise tootmisplaani korral on firma kasum suurim?
Ülesanne 4.25. Kulufunktsioon on C(q) = 0,2q3 – 8q2 + 100q + 200, kus q on tootmisamht. Milline on suurim kasum, kui tooteühiku müügihind on 160 kr?
Ülesanne 4.26. Teatud tooteliigi hinnal sõltuvana nõutavast kogusest q on kuju p = 40 – 0,5q . Kogukulude funktsioon on C(q) = 0,03q3 – 2,13q2 + 48,8q . Kui suure tootmismahu korral on firma kasum suurim? Kui suur see on? Millise q väärtuse korral oleks tulu suurim?
Ülesanne 4.27. Kogukulude funktsioon on C(q) = 0,1q3 – 2q2 + 80q + 150, kus q on toodangu maht. Leida suurim kasum ning sellele vastav tootmismaht, kui toodangut realiseeritakse hinnaga 77 krooni.
Ülesanne 4.28. Kogukulude funktsioon on C(q) = 0,1q3 – 2q2 + 80q + 150, kus q on toodangu maht. Leida suurim kasum ning sellele vastav tootmismaht, kui toodangut realiseeritakse hinnaga 92 krooni .
Ülesanne 4.29. Tootja kulude analüüs näitab, et tootes q todet päevas, on kulud järgmised:
tööjõu kulu päevas 12 000 kr;
otsene materjalikulu 150 kr tooteühiku kohta;
tellimiskulud
kr päevas.
Leida kulufunktsioon ja määrata toodete arv päevas, et kulud oleksid minimaalsed.
14