PARABOOL Parabooliga puututakse kokku juba koolimatemaatikas. Joonistatakse graafikuid, mis avanevad üles- või allapoole, mille haripunkt on koordinaatide alguspunktis või mitte, mis lõikavad x-telge või mitte jne. Järgmine joonis kirjeldab, millise tasandiga tuleb koonust lõigata, et nende lõikejoon oleks parabool. Järgnevalt vaatleme, kuidas parabool defineeritakse. Tegeleme parabooli võrrandiga, mis erineb pisut koolimatemaatikas õpitust. Lisaks joonistame paraboole, mis võivad avaneda nii üles või alla kui ka vasakule või paremale. Esitatud on nii teooria kui näiteülesanded. Iseseisvalt on võimalik läbi lahendada harjutusülesandeid, kus tuleb siiski paber ja pliiats appi võtta. Arvuti teel saab lahendada testi, mis aitab parabooli võrrandist selgust luua.
Parabool lend PA-13A Sissejuhatus Parabool lennuks nimetatakse lennutüüpi, mille käigus saavutatakse õhusõiduki parabooli laadsel liikumisel kaaluta olek. Parabool lend Zero G · Ainukene firma maailmas, kes hetkel sellist teenust pakub. · Hind ühele inimesele alates 3948. · Ühe lennu jooksul on võimalik kaaluta olekut kogeda 15 korda. · Kaaluta olek kestab selle ajal 20-30 sekundit. Parabool lend Parabool lend graafikuna Parabool lend graafikuna Kaalutaolek Video · https://www.youtube.com/watch?v=1ieR8hIXUIg Küsimusi? Täname kuulamast!
40 30 20 10 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 -10 -20 -30 Koostas: -40 Ruutfunktsioonid · Ruutfunktsioon y = x² · Ruutfunktsioon y = ax² · Ruutfunktsioon y = ax² + c · Ruutfunktsioon y = ax² + bx · Ruutfunktsioon y = ax² + bx + c Ruutfunktsioon y = x² Ruutliikme kordaja on 1 30 y Graafikut nimetatakse 25 PÕHIPARABOOLIKS 20 Graafik avaneb ÜLES 15 Graafik on sümmeetriline Y - TELJE SUHTES 10 Nullkoht on punktis ( 0 ; 0 ) ...
võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9)
4. loeng Sirgjoone ja tasandi lõikumine ning paralleelsus Sirge ja tasandi lõikumine üldjuhul Sirge ja üldasendilise tasandi lõikepunkti L tuletamisel: 1.paneme läbi antud sirge s abitasandi( v ) risti põhi- või esiekraaniga 2.tuletame antud tasandi ja abitasandi lõikesirge 3.leiame lõikesirge ja antud sirge lõikepunkti, mis ongi antud tasandi ja sirge lõikepunkt. tasandi normaal on sirge, mis on risti iga sirgega sellel tasandil, sealhulgas ka tasandi nivoosirgetega. Normaali n tunnus kaksvaatel: n' risti p ja h' n'' risti e ja f'' Sirgjoon ja tasand on teineteisega risti, kui sirgjoone pealtvaade on risti tasandi horisontaali pealtvaatega ning sirgjoone eestvaade on risti tasandi frontaali eestvaatega; seejuures sirgjoone projektsioonid ei tohi olla risti x-teljega. Nurgad sirgete ja tasandite vahel Lahendadatakse järgmise mõttekäigu alusel: kasutades ülesa...
RUUTVÕRRATUS LAHENDAMINE a) Viia kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki, korrastada võrratus b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool (ka siis kui nullkohti ei ole!!!) Kui x2 ees on ’pluss’, siis avaneb parabool üles Kui x2 ees on ’miinus’, siis avaneb parabool allapoole d) Viirutada Kui võrratuses on >0, siis viirutada sealt, kus parabool on ülalpool x-telge Kui võrratuses on <0, siis viirutada sealt, kus parabool on allpool x-telge e) Kirjutada võrratuse lahend (see, mida viirutasid, see ongi lahend)
Pumbad ja ventilaatorid EMH0040 Kodutöö: survetõstepumpade valik Üliõpilane: Matrikli nr: Rühm: Tallinnas 2011 Pumplas on kaheastmeline töögraafik. Öösel töötab üks pump: vajalik Q1 = 50 l/s , päeval töötavad kaks pumpa: vajalik Q2 = 135 l/s . Kahjutule olukorras vooluhulk suureneb 30 l/s . Valida pumbad ning kontrollida pumpade sobivust kahjutule kustutamiseks tingimusel, et veevõrgus on tagatud surve 10m H2O . Vajadusel lisada pumplasse kolmas pump või tagada kahjutule kustutamiseks vajalik vooluhulk pumpade pöörete arvu reguleerimisega. Pumpamine toimub kahte rööppeatorusse, millede pikkus l = 1500 m . Torude materjal on teras, karedus = 0,5 mm . Pumpade staatiline tõstekõrgus Hst = 18 m . Lähteandmed Qöö 50 l/s Qpäev1+2 135 l/s Qtuli 165 l/s Htuli 10 m...
Ruutfunksioon on seos kahe muutuja vahel.Ühele muutujale antakse väärtused ja teine arvutatakse nende põhjal. Muutujad=x ja y c=vabaliige kordajad:a-ruutliikmekordaja b-lineaarliikme kordaja Funktsiooni saab esitada tabelina,valemiga,graafikuna,järjestatud arvupaaridesse. Graafikuks : parabool Parabool on sümmeetriline oma telje suhtes.Telg läbib alati parabooli haripunkti. y=ordinaat x=abstsiss nullkoht:need on punktid,kus funktsioonigraafik lõikab x-telge. korrutis on 0,kui üks teguritest on 0
Ruutfunktsioon avaldub kujul y = ax2 + bx + c, kus a, b ja c on mistahes arvud ja ruutliikme kordaja a 0. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafikuks on parabool. Kui a > 0, siis parabooli harud avanevad üles, kui a < 0, siis alla. Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks ja punkti, kus parabool lõikub oma teljega nimetatakse parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b
a = 1 . Kuid, mis juhtub, kui a ei võrdu 1? Näiteksy võrrandis y = – 4x2 . Mis on a ? a=–4 x y (x, y) x –2 – 16 (–2, –16) –1 –4 (–1, –4) 0 0 (0, 0) 1 –4 (1, –4) 2 – 16 (–4, –16) Parabooli y = ax2 omadused y = ax2 graafik on parabool, mille haripunkt asub nullpunktis ja y-telg on sümmeetriatelg. Kui a on positiivne, parabool avaneb ülespoole, kui a on negatiivne, parabool avaneb allapole. Kui a on suurem kui 1 (a > 1), siis parabool on kitsam kui parabool f (x) = x2. Kui a on 0 ja 1 vahel(0 < a < 1), siis parabool on laiem kui parabool f (x) = x2 Parabooli y = ax2 + k joonestamine Näiteks võrrandis y = – 4x2 – 3 . Mis on a ? a=–4 Graafik:
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooni üldkuju: Ruutliige on funktsiooni pealiikmeks, kuna ruutliige määrab selle graafiku iseloomu ja kuju. Lineaarliige ja vabaliige mõjuvad vaid graafiku asukohta koordinaatteljestikus. Ruutfunktsiooni graafik on parabool Parabooli kuju sõltub ruutliikme kordaja suurusest ja märgist: Parabooli joonestamine: · Koosta väärtuste tabel. · Joonesta koordinaattasand. · Kanna arvutatud punktid koordinaattasandile. · Ühenda tasandile kantud punktid. Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis
Ruutfunktsioon y=ax+c, kus a ja Valemis y=ax+c Graafikuks on y=ax+c: c on antud arvud on ax ruutliige ja parabool, mis on ning x ja y on c vabaliige. sümeetriline y muutujad. telje suhtes. Parabooli haripunkt on punktis (0;c). Kui a>0, siis avaneb
ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille liikmeteks on ruutliige, lineaarliige ning vabaliige ja ainult need, nimetatakse tuurkolmliikmeks
2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = ( ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid
Ruutfunktsioon Across 4. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse Parabooliks 6. c on ? Vabaliige 7. bx on Lineaarliige 8. Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse Haripunktiks Down 1. funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega nimetatakse Ruutfunktsiooniks 1. Parabool avaneb üles, kui kordaja a on Positiivne 2. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks 3. Parabool avaneb alla, kui kordaja a on Negatiivne MARI LIIS LEPPOJA
0 kuulub on antud kus ax on lineaarliige ja b määramispiirkonda. arvud on vabaliige ehk Sirge ei läbi alati 0 ning x ja algordinaat. punkti. Sirge läbib y on y teljel punkti b. muutujad. Ruutfunktsioon Y=ax,kus Valemi y=ax põhjal vastab Graafikuks on y=ax: a on muutuja x igale väärtusele parabool, mis on y antud arv muutuja y üks kindel teljega ning x ja väärtus. sümeetriline. y Graafiku haripunkt muutujad. asub 0 punktis. Kui a>0, siis avaneb parabool ülespoole,
Ande AndekasLammutaja Matemaatika Ruutfunktsioonid Ruutfunktsiooni harud avanevad üles, kui a>0 ja alla, kui a<0. Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool, mis on sümmeetriline y- telje suhtes. y = ax² parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0;0). y =ax² + c parabooli haripunkt asub punktis (0;c) (y- teljel, punktis c). y = ax² + bx parabooli üks harudest läbib punkti (0;0) ja teine haru (-b/a;0). y = ax² + bx + c parabooli haripunkt võib asuda ükskõik kus. Ruutfunktsiooni nullkohad on x väärtused, mille puhul y=0 (graafikul lõikepunktid x-teljega). Haripunti tähiseks on Xh. Mida väiksem on a, seda laiem on parabool.
· On sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Lõikab x-telge A1(-a,0) ja A2(a,0) · Ei lõiku y-teljega. · Assümtootideks nim sirgeid, millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Assümtoote on 2. . x=a, x=-a; y=-b, y=b. Hüperbooli ekstsentrilisus Risthüperbooliks nim hüperbooli, mille reaal-ja imaginaartelg on võrdsed a=b. 2a- reaaltelg (a-reaalpooltelg) 2b- imaginaartelg (b-imaginaarne pooltelg) Parabool Parabooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus antud punktist ja antud sirgest on võrdne. Mainitud punkti nim parabooli fookuseks ja sirget parabooli juhtsirgeks. Fookuste kaugus juhtsirgest tähistatakse p ja nim parabooli parameetriks. F(0; p/2) fookuse koordinaadid y= -p/2 juhtsirge võrrand 2p- fokaallaius Paraboolil, mille sümmetriatelg on x-telg, mille haripunkt on punktis (0,0), mille juhtjooneks on x=-p/2 ja fookus punktis (p/2;0) on võrrandiks y2=2px.
x0 = 2 , kui A( x1 ; y1 ) , B( x 2 ; y 2 ) y+y y 0 = 1 2 2 · Ringjoon (x a)2 + (y b)2 = r2 Kui a = b = 0, siis x2 + y2 = r2 · Parabool y = ax2 + bx + c D = b2 4ac Kui a < 0 ja D > 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole. Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee
(0;b) ja läbib punkti (1; a+b). Sirge tõus a näitab, kui palju muutub sirgel oleva punkti ordinaat (y) siis, kui abstsiss (x) kasvab ühe ühiku võrra. Ruutfunktsioon Ruutfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on esitatud ruutavaldisega y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad ühel sirgel. = Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand A(a;b) =(c;d)
Kanooniline võrrand: 26. Hüperbool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused). Hüperbooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kauguste vahe kahest etteantud punktist F1 ja F2 on jääv suurus 2a, st | |F1P| - |F2P| |= 2a. Punkte F1 ja F2 nim hüperbooli fookusteks. Hüperbool on teist järku joon, mille iga punkti kauguste vahe fookustest on absoluutväärtuselt konstantne. Koordinaatkuju: Kanooniline võrrand: 27. Parabool (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused) Parabooliks nim kõigi selliste punktide P hulka tasandil, millest iga punkti kaugused etteantud sirgest s ja sellel mittekuuluvast punktist F on võrdsed. Sirget s nim selle parabooli juhtjooneks, punkti F aga fookuseks. Teist järku joon, mille iga punkt paikneb fikseeritud punktist (fookusest) ja etteantud juhtjoonest võrdsel kaugusel. Kanooniline võrrand: 28. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted
Pinnalaotuse tuletamine: 1.kõik tahud, mis pole kolmnurgad tükeldame diagonaalidega kolmnurkadeks 2.leiame kõigi kolnurga külgede orginaalpikkused 3.konstrueerime kolmnurkade orginaalvormid üksteise külge selles järjestuses, milles kolmnurgad ise asetsevad. Algebrailsed jooned Kasutatakse mõistet JÄRK. Geomeetrilises tõlgenduses tähendab algebralise tasakõvera järk selle joone ja sirge lõikepunktide arvu. *esimest järku joon on sirge *2.järku joon kas ellips, hüperbool, parabool *3.järku joon näiteks strofoid, tsissoid *4.järku näiteks konhoid Algebralise ruumikõvera järgu määrab selle kõvera ja tasandi lõikepunktide arv. Teist järku jooned: ellips(ringjoon), hüperbool(risthüperbool), parabool. Kruvijooned kruvijooned on ruumikõverad. Lliigitatakse: *paremakäelisteks (telje sihis pöörlemisega päripäeva) *vasakukäelisteks (telje sihis pöörelemisega vastupäeva) Kruvijoon on määratud, kui on teada tema raadius(r), samm(h) ja käelisus.
täisnurk on tipu B juures. 1) Tee joonis. 2) Koosta sirgete DC ja BC võrrandid. 3) Arvuta punkti C koordinaadid. 4) Arvuta trapetsi kõrgus. ÜL. 3 Rombi KLMN diagonaal KM on paralleelne y-teljega. Teada on rombi tipp L(-1,6; 0) ja vektor = (3,6; 4,8). 1) Tee joonis. 2) Arvuta rombi diagonaalide pikkused. 3) Arvuta nurk tipu K juures. 4) Koosta tippe L ja M läbiva sirge s võrrand. 5) Arvuta sirge s ja sirge x + y = 10,3 lõikepunkt. ÜL. 4 Antud on parabool y = x2 ja ringjoon, mille keskpunkt asetseb koordinaatide alguspunktis ning mis läbib punkti (2; 2 ). 1) Joonesta antud ringjoon koordinaatteljestikus ja koosta selle ringjoone võrrand. 2) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide koordinaadid. 3) Joonesta ringjoonega samas teljestikus parabool. 4) Arvuta ringjoone ja parabooli lõikepunktide kaugused punktidest, kus ringjoon lõikab y-telge. ÜL.5 Tasandil on antud 4 sirget. Esimene neist on antud võrrandiga y = x + 3
Sirge ja tasand kui alamruumid Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand. II järku jooned. Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2 nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama märgiga),hüperbool (A ja C on erimärgilised) ja parabool (ûks kordajatest A või C=0). II järku jooned. Ellips Def. Ellips on tasapinna R2 nende punktide hulk, millede jaoks kauguste summa kahest antud punktist F1 ja F2, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi: 1. a>c ja kuna a>0, võime oletada, et ka b>0 (pane tähele, et b2 = a2 -c2). 2. Ellipsi kõigis punktides on |x|a ja |y|b. 3. Võrrandi (12) põhjal on ellips sümmeetriline kõver ja ülaloleva joonise põhjal asub
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c ...
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {...
Ülesanne 3 Pindade lõikumine. Joonisel 1 on esitatud neli pindade lõikumisülesannet. Analüüsida esitatud ülesandeid vastates kirjalikult järgmistele küsimustele: 1. Millised objektid lõikuvad? 2. Mis on objektide lõikejooneks (ruumis)? Mis on lõikejoone projektsiooniks pealtvaatel ja eestvaatel? 3. Millist lõikumisülesande lahendamisvõtet vastuse tuletamiseks kasutate? Vastata iga ülesande kohta eraldi. Joonis 1 VASTUS: A Lõikuvad silinder ja tasand. Objektide lõikejooneks on nelinurk, kuna tasand on paralleelne moodustajaga. Vastuse tuletamiseks kasutaksin abitasandite võtet, kuna ülesandes on antud tasand. Lõikejoone projektsioonideks on sirge ja tahukas. B Lõikuvad koonus ja tasand. Objektide lõikejooneks on kolmnurk, kuna kuna tasand on paralleelne koonuse moodustajaga.Vastuse tuletamiseks kasutaksin abitasandite võtet, kuna tasand o...
teljest allpool (nullkoht!) – funktsiooni väärtused ei ole positiivsed > x Ø Graafik asub x- teljest ülevalpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg positiivsed > xR Graafik asub x- teljest allpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg negatiivsed > x Ø Kokkuvõte: Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) skitseerin parabooli a)määran, kas parabool avaneb alla või üles b)leian nullkohad 2) leian jooniselt võrratuse lahendid Lahenda järgmised võrratused: x 2 2 x 15 > 0 x 2 2 x 15 < 0 x 2 2 x 15 0 x 2 2 x 15 0
* x kasvades, y kahaneb ja vastupidi * hüperbool * harudel puuduvad ühised punktid kordinaat telgedega * a > 0 -> 1. Ja 3. Veerandis * a < 0 -> 2. Ja 4. Veerandis 3. L i n e a a r f u n k t s i o o n y=ax+b * sirge * lõikab y-telge punktis (0; b) * a > 0 -> tõusev sirge, 1. Ja 3. veerandis * a < 0 -> langev sirge, 2. Ja 4. Veerandis 4. R u u t f u n k t s i o o n y= a x 2 + b x + c * parabool * a > 0 -> avaneb üles * a < 0 -> avaneb alla * nullkohad Lahendab vastava ruutvõrrandi ax2+bx+c=0 * haripunkt H(xh; yh) Xh=
Parabooli ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate nimetatakse ruutfunktsiooni nullkohtadeks. Pöördvõrdelise seose graafik on hüperbool. Sõltuvuse y = 3 : x graafiku harud paiknevad esimeses ja kolmandas koordinaatveerandis. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = a : x graafik ei läbi y-telge. Pöördvõrdelise sõltuvuse y = 5 : x graafiku harud paiknevad teises ja neljandas koordinaatveerandis. Funktsiooni y = ax² + bx + c graafik on parabool. Ruurfunktsiooni y = 2x² + 3x 5 nullkohtade leidmiseks lahendatakse ruutvõrrand 2x² + 3x 5 = 0. Kui ruutvõrrandil pole lahendeid, siis graafik ei läbi ega puuduta x - telge. Kui ruutvõrrandil on kaks võrdset lahendit, siis paraboolil ja x-teljel on ühiseid punkte ainult üks.
I Võrdeline seos y = a*x graafikuks sirge II Lineaarne seos y = ax + b graafikuks sirge III Pöördvõrdeline sõltuvus a y= graafikuks hüperbool x IV Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c ;a0 graafikuks parabool a) Avaneb kuhu b) nullkohad [ax2 + bx + c=0] c) -b haripunkt XHP= 2a VI Erijuhud Funktsioon ja funktsiooni määramispiirkond a) a lahenda a 0 1 b) a0 a
Kahe vektori skalaarkorrutis arv, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektorivahelise nurga koosinuse korrutisega. Kahe vektori vektorikorrutis vektor, mille pikkus on arvuliselt võrdne niisugugse rööpküliku pindala Kolme vektori segakorrutis kahe vektori vektorkorrutise skalaarset korrutist kolmanda vektoriga 5. Sirge tasandil (võrrandid, eeskirjad, valemid) 6. Teist järku algebraalised jooned (ringjoon, ellips, parabool, hüperbool) Ellips Tasandi nende punktide hulka, milliste kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2 + y2/b2 = 1 b2 = a2 c2 e = c/a - ekstrentrilisus a pikkem pooltelg b lühem pooltelg c fookuse kaugus sümeetria keskpunktist Hüperbool Tasandi nende punktide hulka, mille kauguste vahe tasandi kahest antud punktist on absoluutväärtuselt konstantne. x2/a2 + y2/b2 = 1 e = c/a a reaalne pooltelg
Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes. y=X^-3 ehk Y=1/X^3 ...
2. Väli: Mõõtmed puuduvad Ühes kohas saab olla mitu välja Isemoomustab-energia Ei tunne meeltega Nähtus Nähtused on füüsikaliste objektidega toimuvad muutused Näiteks: päike paistab, maa väriseb, tuba soojeneb Nähtusi kirjeldame: 1. Tabel (n:kummipaela venimine) 2.graafik (n:kliima muutus) 3.Valem (Sellel on kaks varjanti. Esiteks pöördvõrdeline seos, st. Kui näiteks sai läheb kallimaks siis ostjaid on vähem. Teiseks ruutsõltuvus mille graafikuks on parabool.) Füüsikalised suurused Saame nähtusi või omadusi kirjeldada või iseloomustada 1) Nominaalsed omadused: nimelised näiteks värvid, sugu, hapu, magus. Neid ei saa ritta panna ega järjestada kasvavas-kahanevas järjekorras. 2)Ordinaalsed- ehk järjestatavad omadused. Neist saame teha järjekorra näiteks juuksevärvide skaala, klassid 3) Pidevad omadused- Arvud võivad olla ka vahepealsed näiteks 60 km/h 4)Diskreetsed omadused- siin on täpsed arvud, ei saa olla vahepealsed arvud
2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik. Näeme, et ruutfunktsioonil y = 2x2 + 2 nullpunktid puuduvad, kuigi haripunkt on (0; 2). Ruutfunktsioonil ruutfunktsiooni y = 2x2 ühtivad nii nullpunkt kui ka haripunkt ehk selleks on punkt (0; 0). Kui ruutliikme kordaja oleks negatiivne, siis avaneks parabool allapoole. Vaatame edasi ülesandeid. Tööd asuvad aadressil www.kool.ee 1. Joonesta ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2, y = 2x2 + 2 ja y = 2x2 2 graafikud. Leia iga graafiku abil vastava ruutfunktsiooni nullkohad ja haripunkti koordinaadid. Lahendus: Joonestame kõigepealt graafikud: y = 2x2 punane graafik; y = 2x2 + 2 roheline graafik; y = 2x2 2 lilla graafik.
2. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asub tervenisti tasandil, ruumikõver aga mitte. 3. Nimetage kõik teist järku jooned a. Ellips tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b. Hüperbool tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv) c. Parabool tasandiline joon, mille iga punkti kaugused sama tasandi kindla punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 4. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindriline ehk harilik kruvijoon on joon, mille tekitab pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuv punkt, kui silinder samaaegselt pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. Hariliku kruvijoone võib tekitada ka tasandile joonestatud sirgjoonest, kui tasand painutada
2. Mille poolest erineb tasakõver ruumikõverast? Tasakõver asub tervenisti tasandil, ruumikõver aga mitte. 3. Nimetage kõik teist järku jooned a. Ellips tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste summa on jääv b. Hüperbool tasandiline joon, mille igast punktist kuni joone tasandi kahe kindla punktini (joonte fookusteni) mõõdetud kauguste vahe on jääv) c. Parabool tasandiline joon, mille iga punkti kaugused sama tasandi kindla punktini (fookuseni) ja kindla sirgeni (juhtjooneni) on võrdsed. 4. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindriline ehk harilik kruvijoon on joon, mille tekitab pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuv punkt, kui silinder samaaegselt pöörleb ühtlaselt ümber oma telje. Hariliku kruvijoone võib tekitada ka tasandile joonestatud sirgjoonest, kui tasand painutada
- r = r r - - 2 r ( -r ) - = 3 3 3 r 3 3 r 3 3 r 3 3 r 3 = r - - - r + = r - + r - = 3 3 3 3 3 r 3 2 r 3 6 r 3 - 2 r 3 4 r 3 = 2 r - = 2 r - 3 = = 3 3 3 3 · Näide PARABOLOIDI moodustumisest: 1) Teame, et parabool moodustub funktsiooniga y = ax 2 , tema pöördfunktsioon on aga y=a x : Antud juhul a=1. 3) Jätame valemisse sisse a, seda tuleb käsitleda kui arvu mitte muutujat. Konstant a reguleerib paraboloidi (ja ka parabooli) kauguse muutu x-telje suhtes. 4) Moodustame ruumala valemi: h h h a 2 h 2 a 2 h 2 ( ) a2 x2
kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool V: x ; 2,2 3 ; d) Viirutada -2,2 3 x e) Kirjutada võrratuse lahend 3. KÕRGEMA ASTME VÕRRATUS (𝑥 2 − 𝑥)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0 Lahenduskäik sama, mis ruutvõrratusel 𝑥(𝑥 − 1)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0
asümptoodid y = ±x , c = a 2 , ekstsentrilisus = 2. X2 Y2 84. Kui hüperbooli fookused asetsevad y-teljel, siis võrrand on + = 1 ja valemid 83,84 muutuvad a2 b2 2c c b = = 1 < < ja y = ± 2b b 85. Parabool on tasandi punktide hulk, mille kaugused ühest antud punktist ( fookusest ) ja sirgest (juhtjoonest ) on võrdsed, tingimusel, et fookus ei asetse juhtjoonel y 2 = 2 px . Parabooli ekstsentrilisus on = r / d = 1 86. y 2 = 2 px y 2 = 2 px x 2 = 2 py x 2 = 2 py 87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a )
a=v-vo/t, a- kiirendus, v-kiirus, vo- algkiirus, t- aeg, ühik: m/s2, km/h2. 14. Lõppkiiruse valem ühtlaselt muutuva liikumise jaoks. v=vo +at 15. Teepikkuse valem ü.m.l-i jaoks? s=vo*t-+gt2/2 16. Vabalangemise kiirendus, tähis? g=9,8m/s2 17. Ülesanne ühtlase liikumise peale. 18. Ülesanne ühtlaselt muutuva liikumise peale. 19. Ülesanne graafiku peale. Ühtlaselt muutuva liikumise kiiruse graafikuks on sirge. Teepikkuse graafikuks on parabool. Kiiruse graafik: sirge(ühtlane liikumine), sirge üles (ü.k.l) sirge alla (ü.a.l)
Ülesanne. Andmed ja valemid Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Andmed ja valemid Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud Õpperühm a valemid ülikool ituut EALB12 Sisestage paremal olevatesse lahtritesse oma matrikli viimane (a) ja eelviimane (b) number. Nende kaudu arvutub automaatselt y nr ja z nr. Nende viimane nr eelviimane numbrite järgi võtad allolevatest valemitest kaks varianti. Ülejäänud kustuta ära. a b c y nr z nr 9 8 7 2 3 Funktsioonide väärtused Variandid ...
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d Ringjoon, mille võrrandiks on r b ( x - a) 2 + + ( y - b) 2 - r 2 = 0 a 0 c x
nt. Tallinna lath, Viljandi järv · Kui esimene pool iseloomustab või eraldi nimena ei esine, siis lahku nt. Pühajärv, Võrtsijärv ERANDID: Peipsi järv · Välismaised kohanimed nii, nagu on kokku lepitud nt. Helsingi, Stockholm, Riia, New York, Rooma · -maa liitega sõnad kokku nt. Baltimaad, Saksamaa, Mafalmaad · Päriselt eksisteerivad alad, mille alla kuuluvad mitu erinevat maad on lahku nt. Skandinaavia maad, Araabia maad, Balkani maad mannekeen, parabool, veteran, magistral, fenomen, psühholoog, arheoloog, amatöör, plastiliin, martsipan, paragrahv, ulgumerel, haruharva, afise, bors, jazz, zonglöör, prozektor, giid, zürii, vaprus, mõtekas, pikksilm, pidzaama, materiaalne, anekdoot, arhitekt, distsipliin, brosüür, aja jooksul, sealpool, Balkani maad, kandlemäng, vana kandle helid, kõnelemiskiirus, raamatu-aasta, viiekümnesentimeetrised, üle jõu käiv, sõjaeelne, Peetri-vanune, septembrikuu,
14, d) kaetakse suhteliselt väikesi avasid. Suurte paisude tasand- (joonis 3.15, a), segment- (joonis 3.15, b), klapp- (joonis 3.15, c) ja katusvarjasid (joonis 3.15, d) tõstetakse sildkraanaga. Kanalid, kraavid, rennid ·Kanaliks (kraaviks, renniks) nimetatakse tehisveejuhet, mis juhib vee tarbijani või sealt ära. Voolusängi ristlõike kuju võib olla mitmesugune (joonis 4.1): rennidel (flume), mis tehakse betoonist, puidust või muust materjalist, ristkülik, kolmnurk, poolring või parabool, pinnasesse kaevatavatel kanalitel (canal) ja kraavidel (ditch) peamiselt trapets või (halvasti püsivates pinnastes) parabool, tuleb ette ka liitprofiile. Ka kanalisatsiooni-torud (sewer) ja dreenid (drain, subsurface drain) kuuluvad avasängide hulka, sest vesi voolab neis raskusjõu toimel ning voolul on vabapind. Inseneriasjanduses on kõige sagedamini tegemist trapetsristlõikega (joonis 4.1, e).
Selle temperatuuriskaala järgi võib temperatuur olla ainult positiivne. Kelvini temperatuuriskaalat nimetatakse ka termodünaamiliseks temperatuuriskaalaks, sest selle jaotuvuse aluseks on termodünaamika II printsiip. -Gaasi olekuvõrrandid kus M on gaasi molaarmass m on gaasi kogus T on absoluutne temperatuur p on rõhk R on 8,31 -Isoprotsessid (nimetused, olekuvõrrandi erikujud) ISOTERMILINE protsess T = const T=T1=T2 Graafikuks on parabool ISOBAARILINE protsess p=const Graafikuks on sirge ISOHOORILINE protsess V=const Graafikuks on sirge -Siseenergia definitsioon, siseenergia muutmise võimalused Siseenergia on keha kõikide koostisosade kineetilisete ja potensiaalsete energiate summa. Siseenergiat saab muuta töö ja soojusülekande kaudu. * Suurendades tööd (keha teeb ise tööd) *Vähendades tööd (välisjõud teevad tööd) *Vähendada temperatuuri *Suurendada temperatuuri
Kordamisküsimused 80-99 80. Kuidas tekib rõngaspind? Tsüklilist pinda, mis tekib püsiva raadiusega ringjoone pöörlemisel ümber selle ringjoone tasandil asuva telje, nimetatakse rõngaspinnaks. Näiteks sõõrik. 81. Skitseerige rõngaspind kaksvaates. 82. Mitmendat järku pind on rõngaspind? Neljandat 83. Nimetage üldised teist järku pinnad. Ringjoon, ellips, hüperbool, parabool. Elliptiline silinder, Hüperboolne silinder, Paraboolne silinder, Elliptiline koonus, Ellipsoid, Ühekatteline hüperboloid, Kahekatteline hüperboloid, Elliptiline paraboloid, Hüperboolne paraboloid. 84. Nimetage kõik teist järku joonpinnad. Kooniline pind, silindriline pind, puutujatepind. 85. Kuidas tekib harilik (kald-)kruvipind? Harilik kruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge täisnurga all.
VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! VALE! Hulkade K= ja L={Mihkel; Karl; Maali} ühend on a) {Mihkel; Karl; Maali}; b) {Maali}; c) {Karl; Maali}; d) tühi hulk; e) hulk M. Hulkade A={1; 3; 7; 11} ja B={1; 2; 3; 11} ühisosa on a) {1; 3; 7}; b) {1;3;7;11}; c) {1; 3; 11}; d) {1; 2; 3; 7; 11};e) . Lineaarfunktsiooni graafikuks on a) hüperbool; b) sirge; c) parabool; d) ringjoon; e) punkt Ruutfunktsiooni graafikuks on a) sirge; b) hüperbool; c) punkt; d) ringjoon; e) parabool Positiivse diskriminandiga võrrandil a) on kaks erinevat lahendit; b) ei ole lahendeid; c) on kaks võrdset lahendit; d) on lõpmata palju lahendeid Negatiivse diskriminandiga võrrandil a) on kaks võrdset lahendit; b) on lõpmata palju lahendeid; c) ei ole lahendeid; d) on kaks lahendit Ruutvõrrandil ax2+bx=0 on alati a) kolm lahendit; b) neli lahendit; c) null lahendit; d) lõpmata palju lahendeid; e) kaks lahendit Võrrandit kujul x2+px+q=0 nimetatakse
Füüsika kontrolltöö 1. Iseloomusta mõistet nähtavushorisont. Piir milleni vaatlejal või inimkonnal tervikuna on olemas eksperimentaalselt kontrollitud teadmised füüsikalise objektide kohta. 2. Nimeta si-süsteemi põhiühikud. (SI) mõõtühikud jaotuvad põhiühikuteks (meeter, kilogramm, sekund, amper, kelvin, mool ja kandela) 3. Loodusteaduslike mudelite liigid Loodusteaduslikke, sealhulgas ka füüsikalisi mudeleid, liigitatakse tavaliselt ainelisteks ja abstraktseteks mudeliteks. Ainelised mudelid- jagunevad pildilisteks mudeliteks, animatsioonideks ja interaktiivseteks arvutimudeliteks. Abstraktsed mudelid- jagunevad graafilsteks mudeliteks ja siis on ka veel näiteks matemaatilised avaldised. Matemaatilisele avaldisele tuginevat loodusnähtuse (nt rongi liikumise) kirjeldust nimetatakse analüütiliseks mudeliks. 4. Selgita vektoriaalse suuruse erinevust skalaarsest. Ruumilist su...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
