Majandusmatemaatika - Ühe muutuja funktsioonid 2 (1)

Ühe muutuja funktsioonid 2 Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks Vastused
Q 2 1. Kulufunktsioon on C(Q) = 600 + 4Q + 200 ning tulufunktsioon R(Q) = 20Q, kus Q on tootmismaht . Leida M C(8) ja M R(4). Leida püsikulu ja muutuvkulu , kui Q = 10. Leida ka tooteühiku hind. Q Lahendus: M C = C (Q) = 4 + 100 . M C(8) = 4.08. Toodangu suurendamisel kaheksast tooteühikust üheksa tooteühikuni suurenevad kulud 4.08 rahaühiku võrra.
M R = R (Q) = 20. Nagu näha MR ei sõltu toodangu hulgast. Toodangu suurendamisel ühe ühiku võrra tulu suureneb alati 20 rahaühiku võrra.
Kulufunktsiooni vabaliige on 600, mis ongi püsikuluks (see ei sõltu toodanguhulgast Q). Q2 102 Muutuvkulu avaldub kujul T V C(Q) = 4Q + 200 . Kui Q = 10, siis T V C(Q) = 4 · 10 + 200 = 40.5 rahaühikut.
Tooteühikuhind on näha tulufunktsioonist. p = 20 rahaühikut.
2.Leida järgmiste funktsioonide elastsus ning määrata, milliste Q väärtuste korral on antud funktsioonid 1) jäigad, 2) ühikelastsed, 3)elastsed:
Lahendus:D(p) = 54 p3 + 20 Elastsuse leidmise valemi järgi p p Ep (D) = D · D = 54 +20 · -3·54 p4 81 = - 27+10p3 p3 Elastsus on negatiivne. Vaatame millal viimase avaldise absoluutväärtus on väiksem kui 1. Selleks lahendame võrratuse 81 > 27 + 10p3 , mille lahendiks saame p> 3 5, 4. Seega on tegemist jäiga nõudlusega, kui p > 3 5, 4, ühike- 3 3 lastse nõudlusega, kui p = 5, 4 ning elastse nõudlusega, kui p 3. Pakkumine on võrdeline hinna n-da astmega (n on naturaalarv ). Tõestada, et pakkumise hinnaelastsus on kõikide hinnaväärtuste korral ühesugune.
Lahendus: Pakkumisfunktsiooni saab kirja panna järgmiselt QS = a · pn . Leiame elastsuse Ep (Q) = a·pp n · a · n · pn-1 = n Tulemus ei sisalda argumenti p ja seega tõepoolest hinnaelastsus ei sõltu hinnast .
4. Gunnar ostab vaid kolme liiki kaupu: leiba, juurvilja ja piimasaadusi. Leivale kulutab ta 15% oma sissetulekutest, juurviljale 60% ja piimasaadustele 25%. Teades, et Gunnari nõud- luse elastsus sissetuleku suhtes on piimasaaduste korral +1,5, leiva korral -0,5, leida Gunnari nõudluse elastsus sissetuleku suhtes juurvilja korral, kui eeldada, et Gunnar kulutab alati ära kogu raha.
Lahendus: Oletame, et Gunnari sissetulek on 1000 krooni. Siis leivale ta kulutab 150 krooni, juurviljale 600 krooni ja piimasaadustele 250 krooni. Kui nüüd sissetulek suureneb 1% võrra ehk 10 krooni võrra, hakkab ta piimale kulutama 1, 5% võrra rohkem raha ehk 1, 5 · 250 100 = 3, 75 150 krooni enam kui varem. Leiva peale kulutab ta 0.5% vähem raha ehk 0, 5 · 100 = 0, 75 krooni vähem kui enne. Seega piimale ja leivale kokku kulub nüüd 3, 75 - 0, 75 = 3 krooni enam kui varem. Ülejäänud 10 - 3 = 7 lisakrooni kulub tal nüüd juurviljale, mis moodustab esialgselt 7 kulunud summast ligikaudu 600 · 100 1, 17 protsenti. 5. a) y = 30(5x - 2)5 2 +1 b) y = 2x1+x 2 3 (1-x3 )2 2x2 c) y = 3 3 2 (1-x3 )2 (1+x ) 1 d) y = 1+x2 (1+x2 ) e ln x e) y = 2x ln x f) y = 1 x2 +1
6. Leida piirväärtused a) x3 lim =0 x e2x
b) x-1 lim = x ln x
c) 3x2 - 2x - 8 lim = -10 x x2 - 5x + 6
d) lim x · lnx = 0 x0+
7.Olgu tulufunktsioon esitatud seosega R (Q) = 600Q-Q2 ning kogukulud seosega C(Q) = Q3 - 42Q2 + 840Q + 5000 kus Q tähistab tootmismahtu. Leida suurimat kasumit ja suurimat tulu kindlustavad Q väärtused. Lahendus: Kasumifunktsioon on (Q) = R(Q) - C(Q) ehk
(Q) = -Q3 + 41Q2 - 240Q - 50000
Selle funktsiooni maksimumi saame kui võrdsustame funktsiooni tuletise
(Q) = -3Q2 + 82Q - 240
nulliga. Selle ruutvõrrandi lahenduseks on Q1 = 24 ja Q2 = 3 31 . Kontrollime kumb punkt on maksimum. Selleks leiame teise tuletse
(Q) = -6Q + 82
väärtused punktides Q1 ja Q2 . Saame vastavalt (24) = -62, (3 13 ) = 62. Kuna Q1 annab negatiivse teise tuletise, siis on see ka funktsiooni maksimumpunktiks. Seega võime öelda, et suurim tulu on garanteeritud kaubakoguse 24 korral.
2 Tulufunktsiooni maksimumiks on tulufunktsiooni tuletise nullkoht .
600 - 2Q = 0 Q = 300
Seega on suurim tulu garanteeritud kaubakoguse 300 korral.
8. Raadioid valmistav tehas müüb neid hinnaga 950 kr tükk. Kogukulufunktsioon on C(Q) = 0, 5Q2 - 10Q + 60000 , kus Q on valmistatud ja müüdud raadiote hulk. Leida ka- sumifunktsioon. Milliste Q väärtuste korral on tehasel üldse mõtet raadioid toota? Milline tootmisplaan tagab suurima kasumi? Lahendus: Tulufunktsioon avaldub kujul R = 950Q. Analoogselt ülesandega 7 peame koos- tama kasumifunktsiooni. Toota on mõtet ainult juhul, kui tulud ületavad muutuvaid kulusid T V C(Q) = 0, 5Q2 - 10Q ehk 950Q > 0, 5Q2 - 10Q. Maksimumi leidmiseks peame leidma kasumifunktsiooni nullkoha. Vastus: Piirkond Q 9. On teada TK-firma kulufunktsioon C(Q). Leida pakkumisfunktsioon hinna p funkt- sioonina S (p). Kui suur on firma kasum hinna väärtusel p = p0 ? a)C(Q) = 3Q2 + 18Q + 7 (p0 = 24, p0 = 30 ) Täieliku konkurentsi tingimustes avaldus nõudlusfunktsioon C (Q) = p. Meie ülesande puhul siis 6Q + 18 = p Q = p-18 6 . Kui p0 = 24, siis nõudlus on p-18 6 = 1 ühik, kogukulu on C(24) = 3Q2 + 18Q + 7 = 28, tulu R(Q) = 24 · 1 = 24. Kasum R - C on negatiivne.
10. Auto liikumisel iga 100 km kohta kuluv bensiinihulk y (liitrites) on esitatav seosega y = 50 - 0, 8v + 0, 005v 2 , kus v (km/h) on auto liikumise kiirus. Auto sõidab kiirusega 120 km/h Tallinnast Tartusse (190 km). Kas selline auto liikumise kiirus on optimaalne? Eitava vastuse korral uurida, kui suur on rahalises väljenduses juhi sääst (või ülekulu), kui ühe liitri bensiini hind on 13.50 kr. Lahendus: Kuna meid huvitab minimaalne bensiinikulu, siis leian kulufunktsiooni y = 50 - 0, 8v +0, 005v 2 miinimumi. Selleks leian tuletise nullkoha, ehk lahendan võrrandi -0.8+0.01v = 0. Saan, et v = 80, mis ongi miinimum st kiiruse 80 km/h korral on bensiinikulu kõige väiksem. 26 Sõites 120 km/h kulub 100 kilomeetri peale y(120) = 26 liitrit. 190 kilomeetri peale ( 100 · 190) aga 49.4 liitrit. Kui aga kiirus on 80 km/h, siis on bensiinikulud 190 kilomeetri peale 34.2 liitrit. Kokku võiks seega hoida 15.2 liitrit, mille maksumus on 15.2 · 13.5 = 205.2 krooni. 11.Leida asümptoodid Vastus: asümptoodid on järgmised a) y = 0 b)x = 3; x = 1 y = 0 c)x = -1; y = x + 3
12. Uurida funktsiooni x2 (x-9) y = 2(x-8)2 Lahendus 1) määramispiirkond X = \{8} 2) lõikepunktid telgedega (0, 0) (9, 0) 3) lokaalsed ekstreemumid x(x - 12)2 y = 2(x - 8)3 48(x - 12) y = (x - 8)4
3 y = 0 parajasti siis kui x = 0 või x = 12. y (0) lokaalne maksimum. y (12) = 0 st pole teada kas selles punktis on lokaalne ekstreemum. x 4) kasvamis ja kahanemispiirkonnad y 0 (x = 12 või x-8 0) (x > 8või x 0); ] - ; 0] ja ]8; [ - kasvamispiirkonnad . Viimane ütleb, et punktis x = 12 ei ole lokaalset ekstreemumit. 5) kumeruspiirkonnad y 0 x - 12 0(x = 8) x 12(x = 8) Järelikult piirkonnas ] - ; 8] ja ]8; 12[ on funktsioon kumer ja piirkonnas ]12; [ on funkt- sioon nõgus. 7) asümptoodid
x2 (x - 9) lim = - x8- 2(x - 8)2
x2 (x - 9) lim = - x8+ 2(x - 8)2
st. sirge x = 8 on püstasümptoot
x2 (x - 9) 1 k = lim = x 2(x - 8)2 x 2 x2 (x - 9) 1 7 b = lim [ - x] = x 2(x - 8)2 2 2 x 7 Järelikult kaldasümptoot, millele läheneb funktsiooni graafik x korral on y = 2 + 2 . Lisauurimine näitab, et samale sirgele läheneb funktsioon ka x - korral. Graafik
4