Konspekt (6)

Mainori Kõrgkool
Matemaatika ja statistika Loengukonspekt
Silver Toompalu , MSc
2008/2009
1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra ............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus .......................................................................................................... 5 2.2 Astendamine ja polünoomid ................................................................................................... 6 2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid .......................................................................... 7 2.3.1 Kulufunktsioon ................................................................................................................ 7 2.3.2 Tulufunktsioon ................................................................................................................. 9 2.3.3 Kasumifunktsioon ............................................................................................................ 9 2.3.4 Nõudlusfunktsioon .......................................................................................................... 9 2.3.5 Pakkumisfunktsioon ...................................................................................................... 10 2.4 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral ........................................... 12 2.5 Liitfunktsioon ......................................................................................................................... 14 3 Võrrandid ........................................................................................................................... 16 3.1 Lineaarsed võrrandid, tasuvusanalüüs .................................................................................. 16 3.2 Ruutvõrrandid ....................................................................................................................... 18 4 Protsent- ja finantsarvutused .............................................................................................. 21 4.1 Protsentarvutuste põhitüübid ............................................................................................... 21 4.2 Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine ........................................................................... 23 4.3 Hinnad ja palgad .................................................................................................................... 24 4.4 Lihtintressid, aritmeetiline rida ............................................................................................. 26 4.5 Liitintressid, geomeetriline rida ............................................................................................ 30 5 Lineaarsed võrrandisüsteemid............................................................................................. 33 5.1 Asendus- ja liitmisvõte .......................................................................................................... 33 5.2 Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine ............................................................................ 37 6 Lineaarsed funktsioonid ...................................................................................................... 38 6.1 Võrdeline ja lineaarne seos ................................................................................................... 38 6.2 Lineaarse mudeli parameetrite leidmine .............................................................................. 39 6.3 Sirge võrrand ......................................................................................................................... 41 6.4 Eelarvejooned........................................................................................................................ 42
2 Matemaatika ja statistika 2008/2009 7 Elementaarfunktsioone ....................................................................................................... 45 7.1 Pöördvõrdeline sõltuvus ....................................................................................................... 45 7.2 Eksponentfunktsioon ............................................................................................................. 48 7.3 Arv e; pidev juurdekasv ......................................................................................................... 49 7.4 Eksponentsiaalsed mudelid ................................................................................................... 50 8 Statistika aine ja meetod ..................................................................................................... 53 8.1 Statistiline mõtteviis .............................................................................................................. 53 8.2 Statistika olemus ja tegevusvaldkonnad ............................................................................... 53 8.3 Kirjeldav ja järeldav statistika ................................................................................................ 54 8.4 Statistilised tunnused, tunnuste tüübid ................................................................................ 55 8.5 Kõikne vaatlus ja valimvaatlus............................................................................................... 57 9 Andmete kogumine ja esitamine ......................................................................................... 59 9.1 Statistilise uurimistöö etapid................................................................................................. 59 9.2 Statistiline vaatlus ................................................................................................................. 59 9.3 Andmete olemus ja andmete kogumine ............................................................................... 60 9.4 Objekt-tunnus maatriks ......................................................................................................... 61 10 Andmete kirjeldamine......................................................................................................... 63 10.1 Sagedusjaotused ................................................................................................................... 63 10.2 Keskmised .............................................................................................................................. 65 10.3 Variatsiooninäitarvud ............................................................................................................ 69 11 Nähtustevahelised seosed ................................................................................................... 71 11.1 Korrelatsioonanalüüs ............................................................................................................ 71 11.2 Lineaarse korrelatsioonikordaja puudused ........................................................................... 72 11.3 Determinatsioonikordaja ...................................................................................................... 74 11.4 Mitmene korrelatsioon ......................................................................................................... 74 11.5 Regressioonanalüüs............................................................................................................... 75 12 Aegridade analüüs .............................................................................................................. 81 12.1 Aegrea mõiste ....................................................................................................................... 81 12.2 Aegridade keskmised tasemed .............................................................................................. 81 12.3 Aegridade kompleksanalüüs ................................................................................................. 82 Kasutatud kirjandus ................................................................................................................... 85
3 Matemaatika ja statistika 2008/2009 1 Mudelid majanduses
1.1 Mudeli mõiste Igapäevases majandustegevuses tuleb pidevalt langetada otsuseid. Eesmärgiks võib olla efektiivne tegutsemine piiratud ressursside tingimustes, suurema turuosa hõivamine, kapitali võimalikult kasulik investeerimine . Ratsionaalne otsustamine eeldab oskust probleeme matemaatiliselt formuleerida ning kasutada mitmesuguseid matemaatilisi ja statistilisi meetodeid . Matemaatiline formuleering võimaldab kasutada otsustamisprotsessil arvuti abi ning teha täpsemaid prognoose majandussituatsiooni muutumisel. Kuna majanduses võib katsetamine osutuda sageli väga kulukaks, on otstarbekas kasutada majandusnähtuste ja -protsesside uurimisel mudeleid . Mudel on reaalsuse ülevaatlik, eesmärgipäraselt lihtsustatud peegeldus , mida kasutatakse juhul, kui reaalse maailma vastava nähtuse või protsessi uurimine on võimatu, raske või seotud liiga suurte kulutustega. Mudel peab tooma välja reaalse nähtuse iseloomulikud jooned ning jätma kõrvale kõik teisejärgulise. Matemaatiline mudel seisneb nähtuse uurimises matemaatiliste seoste abil.
1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu Matemaatiliste mudelite korral tuleb eristada nende matemaatilist kuju (struktuuri) ja mudelite sisu tõlgendamist, interpreteerimist.
Näide 1-1 Lõppkapitali mudel Näide 1-2 Toodangukasvu mudel
Isikul on pangas tähtajalisel hoiusel 12 000 Aasta algul oli tehase toodang 12 000 toodet kr. Kui suur summa on tal pangaarvel aasta kuus. Uue tehnoloogia kasutuselevõtt suu- pärast. kui aastane intress on 9%? rendab tootlikkust 9%. Kui suur on kuu toodang peale tehnoloogia uuendamist? Võtame kasutusele järgmised tähistused: algkapital K0=12 000 kr Võtame kasutusele järgmised tähistused: aastaintress r=9% esialgne tootmismaht q0=12 000 lõppkapital K1=? tootmismahu suurenemine r=9% uus tootmismaht q1=? Seos lõppkapitali arvutamiseks: K1 = K 0 + rK 0 = K 0 (1 + r) Seos uue tootmismahu arvutamiseks: q1 = q0 + rq0 = q0 (1 + r) Leiame lõppkapitali väärtuse: K1 = 12000 × 1 + 0,09 = 13080 Leiame uue tootmismahu: q1 = 12000 × 1 + 0,09 = 13080 Vastus: Aasta pärast on pangaarvel summa 13 080 kr. Vastus: Peale tehnoloogia uuendamist on tootmismaht 13 080 ühikut kuus.
Mõlema näite korral on mudelite matemaatiline kuju ühesugune: = ( + ) Kokku langevad ka lähteandmete arvväärtused. Erinev on aga mudelite poolt kirjeldatav majandussituatsioon ja saadud tulemuse interpreteerimine. Probleemi lahendamisel ei piisa mudeli matemaatilise kuju kirjapanekust ja arvutuste soorita- misest, tingimata on vajalik ka saadud tulemuste tõlgendamine.
4 Matemaatika ja statistika 2008/2009 2 Funktsioonid ja nende algebra
2.1 Funktsionaalne sõltuvus Vaatleme kaht hulka X ja Y. Seost, mille puhul igale elemendile xX vastab üks ja ainult üks element yY, nimetatakse funktsionaalseks. Funktsiooni definitsioon ei nõua, et hulga Y iga element vastaks ainult ühele hulga X elemendile. Näiteks ühesugune hind võib olla erinevatel kaupadel. Küll peab aga igale hulga X elemendile vastama üks ja ainult üks hulga Y element (näiteks ühel ja samal kaubal ei saa olla korraga mitu erinevat jaehinda). Esimese hulga elementi x nimetatakse argumendiks ja temale vastavat teise hulga elementi y selle argumendi funktsiooniks. Tähistused y=f(x), y=g(x) jne. Funktsiooni y=f(x) määramispiirkond on argumendi x nende väärtuste hulk, mille korral funktsioon on määratud. Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkond on selle funktsiooni väärtuste hulk.
Näide 2-1 Nädala läbimüük kui funktsioon
Järgnevas tabelis ning kõrvaloleval joonisel Nädala läbimüük, kg on toodud toote läbimüük. Igale nädala- päevale vastab üks konkreetne kogus. 200 150 Päev Läbimüük, kg 100 E 200 50 T 100 K 170 0 N 150 E T K N R R 100
Näide 2-2 Funktsiooni analüütiline kuju Läbimüük (x) Palk (y) 50 000 4 000 Kõrvalolevas tabelis on toodud müüja palga 60 000 4 500 sõltuvus poe läbimüügist. Tegemist on funktsionaalse sõltuvusega, mille võib kirja 70 000 5 000 panna ka kujul = + , . 80 000 5 500 Niisugust kirjapanekuviisi nimetatakse 90 000 6 000 funktsiooni analüütiliseks esituseks.
Funktsiooni saab esitada tabeli, joonise, valemi, aga ka sõnalise formuleeringu abil. Mitte igat funktsiooni ei saa esitada analüütiliselt, valemi abil (vt Näide 2-1). Majanduses kasutatava matemaatilise modelleerimise korral püütakse erinevate suuruste vahel valitsevaid seoseid kirjeldada analüütiliselt, valemi abil.
5 Matemaatika ja statistika 2008/2009 2.2 Astendamine ja polünoomid Kui n on positiivne täisarv, siis xn tähendab, et x on iseendaga korrutatud n korda: = ...
Astendamise reeglid: 1 = + = - =
= - = =
( ) =
Avaldises 5x2 on x muutuja ning 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat (näiteks 23x; 105x2y5; 25 3 ). Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi (näiteks 4x3+5x2-2x+10; 15x4-3x2+2x-3; x4+1).
Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist: + - - + + +
Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid. 4 5 + 9 5 = 13 5 12 - 3 = 9 3 3 + 5 2 + 2 + 4 3 + 7 = 7 3 + 5 2 + 9
Korrutamisel ja jagamisel vastavalt korrutatakse või jagatakse nii kordajaid kui muutujaid. 15 4 3 6 4 2 5 3 2 5 2 3 = 10 3 (3 3 2 )(4 4 4 ) = 12 7 6 3 2 2 3 = 5 2 3 8 5 3 4 = 2 3
Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse. (6 + 7)(4 + 9) = 24 2 + 54 + 28 + 63 2 = 24 2 + 82 + 63 2
Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga. 8 3 - 24 2 = 8 2 ( - 3) 15 4 2 - 45 2 2 + 5 3 3 = 5 2 2 (3 2 - 9 + )
6 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 2-1 Lihtsusta !
a) 4 5 e) 6 i) 5 7 b) 7 -3 f) 3 4 c) -2 -4 g) 5 (13 2 ) d) 2 1/2 h) 7 3 5 (4 2 4 )
Ülesanne 2-2 Leia funktsioonide f(x) ja g(x) summa, vahe ja korrutis!
a) f(x)=4x-7 g(x)=2x+6 b) f(x)=10x2+2x+1 g(x)=5x-5 c) f(x)=-4x2-2x g(x)=10x d) f(x)=3x+1 g(x)=-2x
Ülesanne 2-3 Lihtsusta!
3 2 3 12 2 +3 a) b) 2 c) d) 3 3 4+1
VASTUSED 1 12 35 2-1 a) 9 ; b) 4 ; c) ; d) 5 ; e) 13 ; f) 7 ; g) 65 2 ; h) 28 5 9 ; i) 12 . 6 3 3 2-3 a) ; b) ; c) 3 8 ; d) 3.
2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid 2.3.1 Kulufunktsioon Matemaatiliste meetodite kasutamisel majandusprotsesside analüüsimisel puututakse kokku mitmesuguste funktsioonidega. Mikroökonoomikast on tuntumad kulu-, tulu- ja kasumi- funktsioon ning nõudlus- ja pakkumisfunktsioon. Kulufunktsioon on funktsionaalne seos tootmismahu (tegevuse mahu) q (quantity) ja kulude C (cost) vahel. Kulufunktsioon koosneb kahest komponendist ­ fikseeritud kuludest ja muutuv- kuludest.
Kulufunktsioon = fikseeritud kulud + muutuvkulud
kus q - tootmismaht; CF - fikseeritud kulud; cv - muutuvkulu tooteühiku kohta.
7 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Fikseeritud kulud ehk püsikulud on kulud, mis ei sõltu toodangu mahust. Näiteks rent, büroo- töötajate palgad jms. Fikseeritud kulud antakse kindla ajavahemiku (aasta, kuu) kohta. Muutuvkulud on kulud, mille suurus sõltub otseselt toodangu mahust. Näiteks kulud materjalile, töötasu koos maksudega jms.
Näide 2-3 Kulufunktsioon
Olgu ühe ajalehe trükkimiseks tehtavad muutuvkulud 6 kr. Fikseeritud kulud päevas on 3000 kr. a) Leiame kulufunktsiooni C(q), mis kirjeldaks päevas tehtavate kulutuste sõltuvust ajalehtede arvust (tootmismahust) q. Vastus: Kulufunktsioon on C(q)=3000+6q. b) Leiame summaarsed kulud 100 ajalehe trükkimisel päevas: (100) = 3000 + 6 × 100 = 3000 + 600 = 3600 . Vastus: 100 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 3600 kr päevas. c) Leiame summaarsed kulud 3000 ajalehe trükkimisel päevas: (3000) = 3000 + 6 × 3000 = 3000 + 18000 = 21000. Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas.
Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Tööd teeb lihtsamaks tabelarvutuse vahendite kasutamine, kus meil on võimalik muuta ka algandmeid ning mängida läbi erinevaid võimalusi. Kulufunktsiooni iseloomustamiseks saame kasutada ka vastavat graafikut.
Näide 2-4 Kulufunktsiooni graafik
25 000 Kogukulud C(q), kr
20 000
15 000
10 000
5 000
0 0 1 000 2 000 3 000 4 000
Tootmismaht q Fikseeritud kulu
Kui kulufunktsioonis võtta tootmismahuks null, siis vastav punkt graafikul näitab meile püsikulude mahtu.
8 Matemaatika ja statistika 2008/2009 2.3.2 Tulufunktsioon Müües teenust või toodet, saab firma tulu ( revenue ). Tulufunktsioon on funktsionaalne seos müüdud tooteühikute (või tegevusmahu ) ja brutotulu R vahel. Lihtsaimal juhul on seos võrdeline ja võrdeteguriks on hind (price) p.
= õ ×
= ×
kus q - nõutav kogus (tootmismaht); p - tooteühiku hind.
NB! Et tulufunktsioon oleks reaalselt interpreteeritav, peavad kehtima tingimused q>0 ja p>0 (kogus ja hind peavad olema positiivsed).
Näide 2-5 Tulufunktsiooni leidmine
Toodet müüakse hinnaga 5 kr tükk. Leida tulufunktsioon, mis kirjeldab müügist saadud tulu sõltuvust müüdud toodete arvust q. Vastus: Tulufunktsioon on R(q) = 5q.
2.3.3 Kasumifunktsioon Firma tegevuse üheks põhieesmärgiks on kasumi (profit) maksimeerimine . Kasum P leitakse seosest tulud miinus kulud.
= - ()
kus q - tegevuse maht (tootmismaht).
Kasumifunktsiooni asemel kasutatakse mõnikord ka terminit puhastulufunktsioon. Näide 2-6 Kasumifunktsiooni leidmine
Olgu meil leitud firma kulufunktsioon () = 40 + 1500 ja tulufunktsioon () = 55. Kasum on tulude ja kulude vahe: () = () - () = 55 - (40 + 1500) = - .
2.3.4 Nõudlusfunktsioon Toote nõudlus (demand) ja toote hind on omavahel seotud nõudlusfunktsiooniga. Normaalse nõudluse korral nõutav kogus suureneb hinna kahanemisel, järelikult nõudlusfunktsioon on kahanev funktsioon. Majandusmudelite uurimisel eeldatakse tihti, et nõudlusfunktsioon (ja ka pakkumisfunktsioon) on lineaarsed.
9 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Hind p
õ
kus p - hind; qD - nõutav kogus; a ja b - lineaarse funktsiooni parameetrid .
Nõutav kogus q D
Märkus: Ajalooliselt on majandusteadlased harjunud hinda esitama vertikaalteljel ja kogust horisontaalteljel ning majandusalase kirjandusega parema võrreldavuse huvides on ka siin nõudlusfunktsiooni graafikul seda järgitud.
Nõutava koguse kasvades hind väheneb. Seepärast peab a0 (sest p(0)=b).
2.3.5 Pakkumisfunktsioon Toote pakkumine (supply) ja hind on samuti seotud, vastavat funktsionaalset seost nimetatakse pakkumisfunktsiooniks. Mida kõrgem on hind, seda rohkem kaupa pakutakse, seega pakkumisfunktsioon on kasvav funktsioon. Hind p
kus p - hind; qS - pakutav kogus; a ja b - lineaarse funktsiooni parameetrid.
Pakutav kogus q S
Kuna hinna kasvades pakutav kogus suureneb, peab pakkumisfunktsiooni korral a>0.
Siin tegime vahet nõutava koguse qD ja pakutava koguse qS vahel. Edaspidi eeldatakse enamikes ülesannetes (kui ei ole teisiti märgitud), et turul valitseb tasakaal, s.t nõutav kogus = pakutav kogus (qD = qS = q). Turutasakaal on esitatud järgneval joonisel.
10 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Pakkumine S
Hind p p* Tasakaalupunkt
Nõudlus D
q* Kogus q Hinda p*, mille korral tasakaal saavutatakse , nimetatakse tasakaaluhinnaks.
ÜLESANDED Ülesanne 2-4
Kulud ruumide rendile ja kontoritöötajate töötasule on kuus 5500 kr. Ühe toote tootmiskulud on 600 kr. Leida a) firma kulufunktsioon; b) summaarsed kulud kuus 100 toote valmistamisel. Ülesanne 2-5
Millised järgmistest funktsioonidest ei saa olla kulufunktsioonid? Miks? a) C(q)=-25q+4000; b) C(q)=75q-5000; c) y(x)=0,1x+4200. Ülesanne 2-6
Ventilaator pannakse kokku mootorist, tiivikust ja korpusest. Mootorite jaoks tehtavad kulutused n ventilaatori valmistamisel on f(n)=300n+4000 ja tiiviku ning korpuse jaoks tehtavad kulutused n ventilaatori valmistamiseks on g(n)=200n+3000. Leida: a) funktsioon C(n), mis kirjeldaks summaarseid kulusid n ventilaatori valmistamisel; b) summaarsed kulud 150 ventilaatori valmistamiseks. Ülesanne 2-7
Kaubavarude tellimisprotsessi analüüs on näidanud, et tellimuse koordineerimiseks ja vormistamiseks kulub ligikaudu 15 tundi tööaega sõltumata tellimuse suurusest . Tellimuste vormistamisega tegeleva töötaja töötasuks kulub 110 kr töötunni kohta (sh kõik maksud ). Kulude analüüs näitas, et 50 tellimuse kohta kulus 14500 kr paberi, postikulude ja telefonikõnede peale. Ühe partii kättetoimetamistasu on 700 kr. Leida: a) ühe partii hankekulud ; b) kogukulud ühe partii kohta (hankekulud + kauba maksumus), kui hangitava kauba hind on 55 kr.
11 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 2-8
Firma toomiskulud q toote valmistamisel avalduvad järgmiselt: C(q)=5q+100 000. Saadav tulu on R(q)=7q. Leida: a) kuidas kasum sõltub tootmismahust (toodete arvust) q; b) kui suur on kasum 60 000 toote valmistamisel. Ülesanne 2-9
Muutuvkulu ühe toote kohta on 4 kr. Lisaks sellele kulub kuus 11000 kr ruumide rentimiseks ja 20000 kr kontoritöötajate palkadeks. Leida firma kulufunktsioon. Ülesanne 2-10
On antud firma kulufunktsioon C(q)=55q+5000. Hinna ja nõutava koguse vaheline seos on p(q)=500-45q. Leida avaldis firma kasumi arvutamiseks.
VASTUSED 2-4 a) C(q)=5500+600q; b) 65 500 kr. 2.5 [a] ja [b]. 2-6 a) C(n)=500n+7000; b) 82 000 kr. 2-7 a) 2640 kr; b) 55n+2640, kus n on partiis olevate kaupade hulk. 2-8 a) P(q)=2q-100 000; b) 20 000 kr. 2-9 C(q)=4q+31 000. 2-10 P(q)=-45q2+445q-5000.
2.4 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral Näide 2-7 Tulu- ja kasumifunktsiooni leidmine.
Firma kulude analüüs näitas, et ühe kuu toomiskulud on C=5q+200, kus q on tootmismaht. Nõudluse analüüs näitas, et nõudlusfunktsioon on lineaarne ja avaldub kujul p=50-1,25q, kus p on hind. Leida firma tulu- ja kasumifunktsioonid. Lahendus: Tulufunktsiooni saame hinnaavaldise asendamisega tulufunktsiooni valemisse: = = 50 - 1,25 = 50 - 1,252 Kasumifunktsiooni leidmiseks asendame kasumivalemis tulu- ja kulufunktsioonid nende avaldistega: = - = 50 - 1,252 - 5 + 200 = -1,252 + 45 - 200 Vastus: Firma tulufunktsioon on R=50q-1,25q2 ja kasumifunktsioon P=-1,25q2+45q-200. Vastavate funktsioonide graafikud on toodud juuresoleval joonisel. Graafikute analüüsimisel näeme, et tootmismahu 20 korral on tulu maksimaalne ja R(20)=500. Kasum on siis 200 ühikut. Kasum on maksimaalne tootmismahu 18 korral ja maksimaalne kasum Pmax on 205 ühikut.
12 Matemaatika ja statistika 2008/2009 600 Tulu R Kasum P 500 Tulu 400 max tulu 300 Kulu
200
max Kasum 100 kasum Kogus q 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -100 Fikseeritud kulu -200
Uurime tulu- ja kasumifunktsioone üldisel juhul, lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral. Olgu kulufunktsioon = + ; > 0, > 0
kus q on tootmismaht, cv on muutuvkulu ühiku kohta ja CF on püsikulu. Lineaarne nõudlusfunktsioon on kujul = + 0 ; 0 kus p on hind ja p0 on piirhind (hind, mille korral nõutav kogus on 0).
Järgnevalt leiame tulu- ja kasumifunktsioonid üldkujul. Tulufunktsioon: = = + 0 = + Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on tulufunktsioon ruutpolünoom, mille o ruutliikme ees olev kordaja on negatiivne (a0); o vabaliige puudub (kui tootmismaht q on null, ei saada ka tulu). Sellise funktsiooni graafik on allapoole avanev parabool . Matemaatikast on teada, et kui parabooli võrrand on y=ax2+bx+c, siis parabooli tipu koordinaadi x- teljel saab leida valemist = - 2 . Seega tulufunktsiooni graafiku tipp asub kohal = - .
13 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Kasumifunktsioon: = - = 2 + 0 - + = + - - Lineaarse kulu- ja nõudlusfunktsiooni korral on kasumifunktsioon ruutpolünoom, mille o ruutliikme ees olev kordaja on negatiivne (a0). - Graafik on allapoole avanev parabool, mille tipp (kasumi maksimum) asub kohal = .
ÜLESANDED Ülesanne 2-11
Firmal õnnestub ära müüa kogu toodang, kusjuures q toote tootmisel nädalas on kogukulud 300q+2000. Nõudluse analüüs näitab, et nõudlust kirjeldab mudel 500-2q. a) Leida tulufunktsioon ja kasumifunktsioon. b) Arvutada kasumi väärtus koguste 40 ja 100 korral. c) Leida optimaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum. Ülesanne 2-12
Kulude analüüs näitas, et fikseeritud kulud nädalas on 8000 krooni ja muutuvkulu tooteühiku kohta on 500 krooni. Nõudluse analüüsil saadi nõudlusfunktsiooniks p(q)=-0,71q+1000, kus p on hind ja q tootmismaht. Leida a) kasumi sõltuvus tootmismahust; b) kasumi suurus tootmismahu korral 300 toodet nädalas; c) opitmaalne tootmismaht ja maksimaalne kasum.
VASTUSED 2-11 a) R=500q-2q2; P=-2q2+200q-2000; b) P(40)=2800, P(100)=-2000; c) q=50, P(50)=3000. 2-12 a) P(q)=-0,71q2+500q-8000; b) P(300)=78 100 kr nädalas; c) q=352, P(352)=80 028.
2.5 Liitfunktsioon Näide 2-8 Liitfunktsioon
Linnas sõltub keskmine autoga liikumise kiirus v autode arvust n, v=v(n). Autode arv n sõltub aga inimeste keskmisest sissetulekust s, n=n(s). Seega kaudselt sõltub liikumiskiirus v inimeste keskmisest sissetulekust s: v=v(n(s)) = v(s). Olgu meil kaks funktsiooni f ja g defineeritud järgmiselt: f(g)=g2 ja g(x)=x+1. Siis liitfunktsioon f(x)=(g(x))2=(x+1)2. Selliseid funktsioone, kus argumendi ja funktsiooni seos on antud kahe või enama sõltuvuste ahela kaudu, nimetataksegi liitfunktsioonideks.
14 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 2-13 Avalda funktsioon f muutuja x funktsioonina !
a) = 2 ; = 3 - 1 b) = + 1; = 3 c) = 2 - 2 + 2; = 2 - 1 2-1 d) = ; = 3-
e) = 2 ; = - 3; = 2 - 1 Ülesanne 2-14
Nõudlus toote järele sõltub selle hinnast seosega q(p)=400p2+3500p+2000, kus p on toote hind kroonides . Prognoos näitab, et lähitulevikus toote hind väheneb järgmise seaduse kohaselt: 50 = +15 kus t on aeg kuudes alates praegusest. Leida funktsioon, mis kirjeldab nõudluse sõltuvust ajast. Milline on nõutav kogus praegu? Milline on nõutav kogus 3 kuu pärast? Ülesanne 2-15
Epideemia levib epitsentrist igas suunas kiirusega 20 km päevas. Avaldada epideemia poolt haaratud piirkonna pindala sõltuvus päevade arvust. Kui suur maa-ala on epideemiast haaratud 5 päeva pärast? Ülesanne 2-16
Vingugaasi kontsentratsioon linnaõhus sõltub päevas liikvel olevate autode arvust n: = 10-9 2 + 10-5 + 1. Autode arv muutub seaduse = 10 000 2 + 150 000 järgi, kus t on aeg aastates (t=0 vastab aastale 2003). Leida vingugaasi kontsentratsiooni sõltuvus ajast. Kui suur on vingugaasi kontsentratsioon aastal 2007?
VASTUSED 2-14 Praegu 18 111 ühikut, kolme kuu pärast 14 809 ühikut. 2-15 Pindala S(t)=400t2, kus t on päevade arv. S(5)=31 416 km2. 2.16 100,2 ühikut.
15 Matemaatika ja statistika 2008/2009 3 Võrrandid
3.1 Lineaarsed võrrandid, tasuvusanalüüs Näide 3-1 Tasuvusanalüüs
Olgu firma kulufunktsioon C(q)=5q+ 100000 ja tulufunktsioon R(q)=7q, kus q on tootmismaht.
Kulu, tulu Leida tootmismaht, mille korral tulud on R(q) võrdsed kuludega. Lahendus: KASUM C(q)=R(q) 350 000 C(q) 5q+100 000=7q -2q=-100 000 Tasuvuspunkt q=50 000 KAHJUM Kontroll: 50 000 = 5 × 50 000 + 100 000 = 350 000 50 000 50 000 = 7 × 50 000 = 350 000 Tootmismaht q Vastus: Tulud ja kulud on võrdsed tootmis- mahu q=50 000 korral.
Sellist analüüsi nimetatakse tasuvus - ehk rentaablusanalüüsiks (break-even analysis ). Tasuvuspunkt (break-even level) on tootmismaht, mille juures ettevõte suudab katta kõik kulud, kuid ei saa veel kasumit. Samas iga järgnev toodetav ühik toob juba ka kasumit. Selles näites tuli lahendada võrrand 5q+100000=7q, see tähendab, tuli leida tundmatu q selline väärtus, mille korral võrdus kehtiks. Võrrandit, kus tundmatu suuruse suurim aste on 1, nimetatakse lineaarseks võrrandiks.
Võrduse omadused (saab kasutada võrrandite lahendamisel):
o Võrduse mõlemale poolele võib liita ühe ja sama arvu. o Võrduse mõlemast poolest võib lahutada ühe ja sama arvu. o Võrduse mõlemaid pooli võib korrutada ühe ja sama arvuga. o Võrduse mõlemaid pooli võib jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.
Näide 3-2 Kumb teenusepakkuja valida?
Mobiilsideoperaator A pakub hinnapaketti, kus kuumaks on 49 kr ja kõneminuti hind 1.75. Operaatori B pakkumises kuumaksu pole ja kõneminuti hind on 2.95 kr. Kui suure kõneminutite arvu korral kuus tasub valida operaatorfirma B? Lahendus. Firma A korral on kulud kõnedele CA=49+1,75t, kus t on kõneminutite arv kuus. Firma B korral on kulud kõnedele CB=2,95t. Kriteeriumiks on kõneminutite arv kuus, mille korral kulud on ühesugused. Leiame selle.
16 Matemaatika ja statistika 2008/2009 = 49 + 1,75 = 2,95 49 = 1,2 49 = 1,2 = 40,8 Vastus: Kulud on ühesugused, kui kõneminuteid on kuus ligikaudu 41, seega tuleks valida firma B, kui kõneldakse alla 41 minuti kuus.
ÜLESANDED Ülesanne 3-1
Üks klient toob keskmiselt sisse 60 kr. Mitu klienti päevas tuleks teenindada, et tulu päevas oleks 1500 kr? Ülesanne 3-2
Naisel kulus juuksuris kolm korda rohkem raha kui mehel. Kokku kulus neil raha 140 kr. Koostada võrrand. Mitu krooni kulutas juuksuri peale mees, mitu naine? Ülesanne 3-3
Kirjeldagu toote nõudlust turul nõudlusfunktsioon qD=-1000p+120000 ja pakkumist funktsioon qS=500p, kus p on toote hind kroonides. Leida hind, mille korral nõudmine ja pakkumine on tasakaalus. Ülesanne 3-4
Firma püsikulud kuus on 25 tuhat krooni. Muutuvkulu ühe toote kohta on 700 krooni. Kui suurt tootmismahtu võib kuus planeerida, kui summaarsed kulud kuus võivad olla 375 tuh kr? Ülesanne 3-5
Firmas A, mis tegeleb autode rentimisega, on hind 250 kr pluss 6 kr/km. Firmas B tuleb maksta 300 kr pluss 5 kr/km. Leida kriteerium , millal üürida ühest, millal teisest firmast . Ülesanne 3-6
Tootmise planeerimisel on firmal valida ühe toote kahe variandi vahel. Variandi A korral on püsikulud aastas 4 milj kr ja muutuvkulu 5 kr ühiku kohta. Variandi B püsikulud on 2 milj kr ja muutuvkulu 7 kr ühiku kohta. Mõlema variandi korral on toote müügihinnaks 20 kr. Missuguste tootmismahtude juures on üks või teine variant kasulikum? Ülesanne 3-7
Kursuse hind on 600 kr osavõtja kohta. Analüüs näitab, et kulud kursustele on 6000 kr püsikulu pluss veel 200 kr iga osavõtja kohta. Mitu osavõtjat peaks olema, et kursus ei tooks kahjumit? Ülesanne 3-8
Kompanii fikseeritud kulu on 100 000 kr, muutuvkulu 6 krooni ühiku kohta ja iga toote müü- misel saadakse tulu 10 kr. Leida a) toodete arv, mille korral tulud katavad kulud; b) millise tootmismahu korral on kasum 500 000 kr?
17 Matemaatika ja statistika 2008/2009 VASTUSED 3-1 25 klienti. 3-2 Mees 35 kr, naine 105 kr. 3-3 80 kr. 3-4 500. 3-5 Firmast B, kui üle 50 km. 3-6 Alla 1 milj tk variant B. 3-7 15. 3-8 a) 25 000 tk; b) 150 000 tk.
3.2 Ruutvõrrandid Ruutvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus otsitava muutuja suurim aste on 2. Ruutvõrrandi lahendamiseks tuleb kõik liikmed viia vasakule poole võrdusmärki (paremale poole jääb 0) ja kasutada ruutvõrrandi lahendivalemit.
Ruutvõrrandi + + = lahendid leitakse seosest
-± - =
Näide 3-3 Tasuvuspunktid
Olgu meil leitud ettevõtte kasumi P sõltuvus hinnast p järgmine: P(p)=-40p2+16 000p-1 200 000. a) Millise hinna korral on kasum null? b) Millise hinna korral on kasum 300 000 kr? Lahendus (a): Et leida, millise hinna korral on kasum null, paneme kasumi võrduma nulliga ning lahendame vastava ruutvõrrandi, kasutades ülaltoodud lahendivalemit: P(p)=0 -40p2+16 000p-1 200 000=0
-16000 ± 160002 - 4 × -40 × (-1200000) -16000 ± 8000 = = 2 × (-40) -80 p1=300; p2=100 Seega tasuvuspunkte on kaks: 100- ja 300- kroonise hinna juures. Lahendus (b): Kui kasum on 300 000 kr, siis P(p)=300 000 -40p2+16 000p-1 200 000=300 000 -40p2+16 000p-1 500 000=0
18 Matemaatika ja statistika 2008/2009 -16000 ± 160002 - 4 × -40 × (-1500000) -16000 ± 4000 = = 2 × -40 -80 p1=250; p2=150 Seega kasum on 300 000 kr nii hinna 150 kr kui ka hinna 250 kr juures. 450 000 400 000 350 000 300 000 250 000 200 000 150 000 100 000 50 000 0 50 100 150 200 250 300 350
Näide 3-4 Turu tasakaal
Toote pakkumist turul iseloomustab pakkumisfunktsioon, mis näitab turule paisatavate toodete arvu sõltuvust hinnast p: qS(p) = 2p2 + 3p - 70. Toote nõudlust iseloomustab nõudlusfunktsioon, mis näitab nõutava koguse sõltuvust hinnast p: qD(p) = 380 - 8p. Leida tasakaaluhind, see on hind, mille korral pakutav kogus ja nõutav kogus on võrdsed.
Lahendus. Kirjutame tasakaalutingimuse kujul: qS(p) = qD(p). Järgnevalt asendame pakutava koguse qS ja nõutava koguse qD vastavate avaldistega: 2p2 + 3p ­ 70 = 380 - 8p Kogus q
2p2 + 3p ­ 70 ­ 380 + 8p = 0 Pakutav kogus qS 2p2 + 11p ­ 450 = 0 Turu tasakaal Ruutvõrrandi lahendi valemist leiame otsitavad ÜLE- väärtused: p1=12,5 ja p2=-18. PAKKUMINE ALA- Kuna hind ei saa negatiivne olla, siis teisel lahendil PAKKUMINE puudub mõte ja selle jätame kõrvale. Nõutav kogus qD Vastus: Tasakaal turul saabub 12,5 kroonise hinna korral. 12,5 Hind p
Juuresolev joonis kujutab nõudmise-pakkumise mudelit. Nõudmise ja pakkumise lõikepunkti nimetatakse tasakaalupunktiks, sellele vastavat hinda tasakaaluhinnaks ja kaubakogust tasakaalukoguseks. Piirkonda, kus nõudmine on pakkumisest suurem, nimetatakse ülenõudmiseks või alapakkumiseks. Piirkonda, kus pakkumine ületab nõudmise, nimetatakse ülepakkumiseks või alanõudluseks.
19 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 3-9
Tooteühiku tootmiseks tehtavad kulutused on 30 kr ja nõudlust kirjeldab funktsioon q(p)=-100p+10000, kus p on toote hind. Leida, millise hinna korral on kasum 100 000 krooni. Ülesanne 3-10
Linnatranspordi kasutajate arv on alates aastast 1990 muutunud järgmise seaduse kohaselt: y(t) =t2-40t+800, kus t on aastate arv alates aastast 1990 ja y sõitjate arv tuhandetes. Leida, millisel aastal jõuab sõitjate arv 500 tuhandeni? Ülesanne 3-11
Firma aktsiate väärtus on muutunud järgmiselt: V(t)=-0,8t2+120t+200, kus t on aktsiate väljalaskmisest möödunud kuude arv. Leida: a) milline oli aktsia väärtus 2 aastat pärast väljalaskmist; b) mitme aasta ja mitme kuu pärast jõudis aktsia väärtus 4000 kroonini? Ülesanne 3-12
Kirjeldagu nõutava koguse sõltuvust hinnast p funktsioon = -5002 - 3000 + 40000. 60 Lähitulevikus on prognoositud hinna muutumist seosega = , kus t on aeg päevades alates +10 praegusest momendist. Mitme päeva pärast on nõudlus 32 000 tk?
VASTUSED 3-9 80kr ja 50 kr. 3-10 Aastal 2000 ja aastal 2020. 3-11 a) 2619,2 kr; b) 3a 9k ja 8a 9k. 3-12 20 päeva.
20 Matemaatika ja statistika 2008/2009 4 Protsent- ja finantsarvutused
4.1 Protsentarvutuste põhitüübid 1 Protsent on üks reaalarvu kirjutusviise: 1% = 100 = 0,01. 15 Et leida 15% arvust x, tuleb leida 100 arvust x ehk 0,15x.
Küllalt tihti kasutatakse protsentülesannete lahendamisel võrdust = 100% kus p on esitatud protsentides ja see näitab, mitu protsenti arv b moodustab arvust a. Kuna aga 100% = 1, võib paremal pool jagamise 100% -ga ära jätta ja me saame avaldiseks = Näide 4-1 Protsendi leidmine
Töötaja kulutab oma 7500 kroonisest kuu sissetulekust 500 kr transpordi peale. Mitu protsenti oma sissetulekust kulutab töötaja transpordile? Lahendus: 500 0,0667 = 6,67% 7500 Vastus: Transpordile kulub 6,67% töötaja kuusissetulekust.
Näide 4-2 Arvu leidmine protsendi järgi
Lotovõitja soovib 60% oma 10 000-kroonisest võidust paigutada aktsiatesse. Mitme krooni eest saab ta aktsiaid osta? Lahendus: = 60% 10000 = 60% × 10000 = 0,6 × 10000 = 6000 Vastus: Aktsiaid saab osta 6000 krooni eest.
Näide 4-3 Osa leidmine
Teenindusettevõttes moodustavad kulutused rendile kõikidest fikseeritud kuludest 40%. Kui suured on fikseeritud kulud, kui rendile kulub 2000 kr kuus? Lahendus: 2000 = 40% = 40% 2000 2000 = = = 5000 40% 0,4 Vastus: Teenindusettevõtte fikseeritud kulud on 5000 kr kuus.
21 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 4-1
Leida arv b, mis oleks p% arvust a. a) 18% arvust 350; b) 12,5% arvust 65; c) 15% arvust 65. Ülesanne 4-2
Leida, mitu protsenti moodustab arv a arvust b. a) 8 arvust 10; b) 12 arvust 45; c) 18 arvust 500. Ülesanne 4-3
Leida arv a, kui p% sellest on b. a) 18% on 25; b) 26% on 1500; c) 33% on 200. Ülesanne 4-4
Firmas on 120 töötajat ja 30% on täienduskoolituse läbinud. Kui mitu töötajat peab veel täienduskoolitust saama, et kõik oleks selle läbi teinud? Ülesanne 4-5
Mulda pandud 200 seemnest idanes 156. Leida idanevuse protsent. Ülesanne 4-6
Klassis on 20 inglise keele õppijat ja 7 saksa keele õppijat. Mitu protsenti õpilasi õpib kumbagi keelt? Ülesanne 4-7
Müüja Malle teenindab tunnis 65 ostjat, müüja Tiiu 50 ostjat. Leida a) mitu protsenti on Malle töökiirus Tiiu omast suurem? b) mitu protsenti on Tiiu töökiirus Malle omast väiksem? Ülesanne 4-8
Kaup hinnaga 3500 kr lasti odavale väljamüügile hinnaga 3000 kr. Leida, mitu protsenti on a) väljamüügi hind madalam esialgsest hinnast; b) esialgne hind kallim väljamüügi hinnast. Ülesanne 4-9
Kui oli tehtud 45% ettenähtud tööst, maksti selle eest 14 400 kr. Kui suur summa oli ette nähtud kogu töö tegemise eest?
22 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 4-10
Firma kulufunktsioon on C(q)=500+30q. Leida, mitu protsenti moodustavad püsikulud kogukuludest, kui a) tootmismaht on 200 ühikut; b) tootmismaht on 500 ühikut.
VASTUSED 4-1 a) 63; b) 8,13; c) 9,75. 4-2 a) 80%; b) 26,7%; c) 3,6%. 4-3 a) 138,9; b) 5769,25; c) 606,05. 4-4 84. 4-5 78%. 4-6 74,1% ja 25,9%. 4-7 a) 30%; b) 23,1%. 4-8 a) 14,3%; b) 16,7%. 4-9 32 000. 4-10 a) 7,7%; b) 3,2%.
4.2 Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine Näide 4-4 Protsentuaalne kasv
2006. aasta I kvartalil oli Eesti keskmine brutokuupalk 8591 kr. Aastaga kasvas keskmine palk 20,15%. Kui suur oli keskmine brutokuupalk 2007. aasta I kvartalil? Lahendus 1: 8591 + 20,15% × 8591 = 8591 + 0,2015 × 8591 = 8591 + 1731 = 10 322 Lahendus 2: 8591 + 20,15% × 8591 = 8591 (1 + 0,2015) = 8591 × 1,2015 = 10 322 Vastus: 2007. aasta I kvartali keskmine brutokuupalk oli 10 322 kr.
ÜLESANDED Ülesanne 4-11
Arve maksetähtaja ületamisel tuleb maksta viivist 0,1% summast S iga hilinemispäeva eest. Leida võlgnevuse V (summa+ viivis ) sõltuvus päevade arvust n. Ülesanne 4-12
2006. aastal oli kaupluse läbimüük 2 500 000 kr. Järgmise aasta läbimüük oli eelmise aastaga võrreldes 5% suurem. Leida: a) kui suur oli läbimüük 2007. aastal; b) kui 2008. aastal kasvab läbimüük samuti 5%, kui suur see peaks tulema ?
23 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 4-13
Kui hüvise hind on p ja hüvise tarbimiskogus kuus q, siis tarbija kulutused selle hüvise tarbimiseks on C=pq. Kui hüvise hind tõusis 25%, mitu protsenti peab tarbija vähendama tarbimiskogust, et kulutused jääksid samaks?
VASTUSED 4-11 V=S(1+0,001n). 4-12 a) 2 625 000 kr; b) 2 756 250 kr. 4-13 20%.
4.3 Hinnad ja palgad
Kaupluse hinnakujundus
Sisseostuhind Sh + Soetamiskulud (transport, rent jms) Sk = Omahind (soetamishind) Oh = Sh + Sk + Kasum (näiteks 15% omahinnast) P = Jaehind (netohind, hind ilma käibemaksuta) Jh = Oh + P + Käibemaks (Eestis üldjuhul 18%) Km = Müügihind (lõpphind, brutohind) Mh = Jh + Km
Näide 4-5 Hinnakujundus
Kauplus ostab sisse toote hinnaga 26 kr/kg. Leida 1 kg toote omahind, jaehind ja müügihind, kui: 1) soetamiskuludeks arvestatakse 30% sisseostuhinnast; 2) kasumimääraks võetakse 15% omahinnast; 3) käibemaksumäär on 18% jaehinnast. Lahendus: Soetamiskulud Sk = 30% Sh = 0,3 Sh Omahind Oh = Sh + 0,3 Sh = 1,3 Sh = 1,3 × 26 = 33,80 Kasum P = 15% Oh = 0,15 Oh Jaehind Jh = Oh + 0,15 Oh = 1,15 Oh = 1,15 × 33,80 = 38,87 Käibemaks Km = 18% Jh = 0,18 Jh Müügihind Mh = Jh + 0,18 Jh = 1,18 Jh = 1,18 × 38,87 = 45,87
24 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Palgaarvestus
Neto = Nt = Bt ­ TM ­ Pk ­ Tk Bruto ­ Tulumaks ­ Pensionikindlustus ­ Töötuskindlustus
Tulumaks = TM = (Bt ­ MV ­ Pk ­ Tk) × TMmäär (Bruto ­ Maksuvaba ­ Pensionikindlustus ­ Töötuskindlustus) × TMmäär
Palgafond = Pf = Bt + SM + Tkt Bruto + Sotsiaalmaks + Töötuskindlustus (tööandja)
Maksumäärad 2008. aastal: Tulumaksuvaba miinimum 2250 kr Pensionikindlustus (II sammas) 2% brutopalgast Töötuskindlustus (töövõtja) 0,6% brutopalgast
Töötuskindlustus (tööandja) 0,3% brutopalgast Sotsiaalmaks 33% brutopalgast
Tulumaks 21% brutopalgast (pärast mahaarvamisi)
Näide 4-6 Netopalga põhjal brutopalga ja palgafondi leidmine
Tööle kandideerija soovib töötasuna saada kätte 10 000 krooni kuus ( netopalk ). Kui suur oleks niisugusel juhul tema brutopalk ning kui suur oleks ettevõtte palgafond selle töötaja peale kuus? Lahendus. Kasutame näites ülaltoodud maksumäärasid ning maksuvaba miinimumi. TM = (Bt ­ MV ­ Pk ­ Tk) × TMmäär TM = (Bt ­ 2250 ­ 0,02 Bt ­ 0,006 Bt) × 0,21 TM = (0,974 Bt ­ 2250) × 0,21 TM = 0,20454 Bt ­ 472,5
Nt = Bt ­ TM ­ Pk ­ Tk Nt = Bt ­ 0,20454 Bt + 472,5 ­ 0,02 Bt ­ 0,006 Bt Nt = 0,76946 Bt + 472,5
0,76946 Bt = Nt ­ 472,5 -472,5 10 000-472,5 Bt = , meie näites = 12 382 kr. 0,76946 0,76946 Pf = Bt + SM + Tkt = Bt + 0,33 Bt + 0,003 Bt = 1,333 Bt, meie näites 12 382 × 1,333 = 16 505 kr.
25 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 4-14
Firma kuulutab ajalehes , et müüb toodet järgmiste hindadega (hinnad sisaldavad käibemaksu): 1,0 kg pakk - 92 kr; 2,0 kg pakk - 167 kr. a) Millised oleksid toote hinnad ilma käibemaksuta? b) Mitu protsenti kulutab ostja raha vähem, kui ta ostab kahe 1,0 kg paki asemel ühe 2,0 kg kaaluva paki? Ülesanne 4-15
Kauba hind koos 18%-lise käibemaksuga on 500 kr. Kui suur on käibemaks kroonides? Ülesanne 4-16
Ostetakse paar saapaid müügihinnaga 250 kr. a) Milline on saabaste jaehind? b) Kui suur on kaupluses saapapaari omahind ja sisseostuhind, kui kasum on 15% ja hankekulud 25%? c) Mitu krooni saab kauplus iga saapapaari müügist kasumit? Ülesanne 4-17
Müügijuht tahab arvutusvalemit kauba omahinna Oh arvutamiseks, lähtudes müügihinnast Mh. Kasumiprotsendiks võtta 15% ja käibemaks on 18%. Kirjutada välja vastav võrrand. Ülesanne 4-18
Isa töötab 2008. aasta jaanuari kuus 176 tundi tunnitasuga 75 kr ja poeg töötab 85 tundi tunnitasuga 40 kr . Kui suur töötasufond tuleb planeerida?
VASTUSED 4-15 a) 77,95 kr ja 141,55 kr; b) 9,2%. 4-16 76,27 kr. 4-17 a) Jh=211,86 kr; b) Oh=184,23 kr, Sh=147,38 kr; c) P=27,63 kr. 4-18 Oh=Mh/1,357. 4-19 22 128 kr.
4.4 Lihtintressid, aritmeetiline rida Panka paigutatud (või välja laenatud) kapital kannab intresse, selle pealt saadakse intressitulu . Intressimäär avaldatakse tavaliselt protsentides algkapitalilt (investeeringult) aasta kohta. Kui iga-aastase intressi arvutamise aluseks on üks ja seesama summa, siis seda nimetatakse lihtintressiks. Lihtintressi korral lisatakse juurdekasv algkapitalile ühekordselt. Näide 4-7 Lihtintress
Rahasumma 10 000 kr laenatakse välja 2 aastaks lihtintressimääraga 12% aastas. Kui suure summa saab võlausaldaja tagasi, kui võlg tagastatakse tervikuna tähtaja lõpul?
26 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Lahendus. algkapital k = 10 000 intressimäär r = 12% perioodide arv n=2 intressitulu ühe aasta eest i = rk i = 0,12×10000=1200 intressitulu kogu ajavahemiku eest I = in I = 1200×2= 2400 tagasisaadav summa ehk lõppkapital K=k+I K=10000+ 2400 =12400. Vastus: Tagasisaadav summa on 12 400 kr.
Lihtintressi korral, kui algkapital on k, lihtintressimäär mingi perioodi (aasta, kuu, päeva) kohta r ja perioodide (aastate, kuude, päevade) arv n, siis intressitulu
I = rkn
Lõppkapital on leitav seosest
K = k + I = k + rkn = k (1 + rn)
Tähtajad on tihti erinevad täisaastatest. Sellisel juhul täisaastast erinev periood teisendatakse kas kuudeks või päevadeks ning ka intressimäär leitakse vastavalt kuu või päeva kohta. Perioodide arvuks n võetakse vastavalt kuude või päevade arv. Saksa intressitavade kohaselt on aastas 360 päeva ja kuus 30 päeva. Algkapitali nimetatakse ka raha olevikuväärtuseks ( present value , PV); lõppkapitali aga tulevikuväärtuseks (future value, FV), s.t olevikus investeeritud rahasumma väärtus tulevikus. Näide 4-8 Lihtintress
Ettevõtja investeeris 70000 kr kolmeks kuuks 8%-ga. Milline on tema investeeringu tulu? Lahendus. algkapital k = 70 000 intressimäär kuus r = 8%/12 perioodide (kuude) arv n=3 intressitulu kolme kuu eest I = rkn I = 8%/12×70000×3= 1400 Vastus: Investeeringu tulu on 1 400 kr.
Rida on avaldis, mis koosneb lõpmatust jadast liidetavatest, rea liikmetest:
1 + 2 + 3 + + -1 + + = =1
Rida nimetatakse aritmeetiliseks reaks , kui iga rea liikme ja temale eelneva liikme vahe d on konstantne : 2 - 1 = 3 - 2 = = - -1 = =
27 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Aritmeetilise rea esimese m liikme summa on (1 + ) = = 2 =1
Erandjuhul, kui liikmete vahe on võrdne esimese liikmega (d=a1):
(1 + ) = × 2
Näide 4-9 Lihtintress perioodiliste sissemaksete korral
Perekond avab suurema ostu sooritamiseks pangakonto lihtintressimääraga 8,5% aastas ning igakuise sissemaksuga 100 kr. Kui suur on kontojääk viienda aasta lõpul? Lahendus. Kuna iga kuu tagant summa, mille alusel tuleb intressi leida, muutub, leiame intressid iga erineva summa jaoks eraldi ja liidame. Arvestada tuleb seda, et iga erinev summa on pangas ühe kuu vältel, järelikult tuleb intressi arvutamisel perioodiks võtta 1 kuu. Esimesel kuul on kontojääk 100 kr, teisel 200 kr jne. Viienda aasta lõpuks (60. kuu) on seega kontol 6000 kr. Intressiarvutuse jaoks vajalik erinevate jääkide arv m on ühe võrra väiksem hoiustamise perioodist n (seega: m=n-1=60-1=59). Ühe kuu intress r=8,5%/12. Intressisummad iga erineva kuu eest oleks vastavalt esimesl perioodil 100r, teisel perioodil 200r jne, kuni viimase intressiperioodini 5900r. Seega kogu intressisumma leidmiseks saame kasutada seost I = r (100+200+...+5900). Sulgudes oleva aritmeetilise rea summa saame arvutada ülaltoodud valemiga: -1 1 + -1 ( - 1) (100 + 5900) × 59 -1 = = = = 177 000 2 2 =1
Sama tulemuse saame ka teise valemiga: 1 + - 1 ( - 1) 60 × 59 -1 = × = × 100 = 177 000 2 2 Kogu intressitulu: ( - 1) 0,085 = = × × = × 177 000 = 1 253,75 2 12 Kontojääk kokku avaldub seosega K = dn + I, kus d on igal perioodil kontole lisatud summa (meil 100 kr) ning n perioodide arv (60 kuud). ( - 1) -1 = + = + × × = 1 + × 2 2 = 100 × 60 + 1253,75 = 7253,75 Vastus: Viie aastaga koguneb kontole 7253,75 kr.
28 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Kui võrdsete perioodide tagant n perioodi vältel hoiustatakse konstantne summa d lihtintressimääraga r perioodi kohta, siis lõppkapital on
( - 1) = 1 + 2
Näide 4-10 Laenu tagasimaksmine võrdsetes osades
Firma laenab 1,5 aastaks 180 000 krooni intressimääraga 9% aastas. Laenu tagasimaksmine toimub fikseeritud tagasimaksetena iga kvartali lõpul. Milline on summaarne laenukulu, kui intressi arvutatakse laenu jäägilt? Lahendus. Fikseeritud tagasimakse suurus leitakse laenusumma jagamisel tagasimaksete arvuga. 1,5 aasta sisse mahub 6 kvartalit, seega laenu põhiosa tagasimakse suurus on 180 000 / 6 = 30 000 kr kvartalis . Intressimäär perioodi (kvartali) kohta on r=9%/4=2,25% (aastas on neli kvartalit). Esimese perioodi laenujääk (ehk siis ka intressi arvutuse alus) on 180 000 kr. Teisel perioodil 180 000 ­ 30 000 = 150 000 jne. Intressisumma avaldub seosest r × ( 30000 + 60000 +...+180000). Sulgudes on aritmeetiline rida, mille esimene element langeb kokku elementide vahega, seega saame kasutada seost 1+ 1+6 ×6 = = × × = 0,0225 × × 30 000 = 14 175 2 2 Vastus: Summaarne intress on 14 175 kr.
Kui laenu tagasimaksmine toimub võrdsete perioodiliste tagasimaksetena, siis laenukulu võib leida valemist
1+ = × 2 kus k on laenatud summa, r intressimäär perioodi kohta ja n tagasimaksete arv.
ÜLESANDED Ülesanne 4-19
Summa 30 000 kr laenatakse välja 6 kuuks lihtintressimääraga 20% aastas. Leida tagasisaadav summa. Ülesanne 4-20
Kui kauaks võib laenata 25 000 kr aastase lihtintressimääraga 15% , kui tagasi saab maksta 30 000 kr?
29 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 4-21
Mitu aastat peab olema hoiul 10 000 krooni, et see kasvaks lihtintressimäära 8% aastas korral 15 000 kroonini? Ülesanne 4-22
Kui suur peab olema aastane lihtintressimäär, et 5000 krooni kasvaks 2,5 aastaga 6000 kroonini? Ülesanne 4-23
Kui suur peab olema aastane lihtintressimäär, et algkapital kolmekordistuks 3 aastaga? Ülesanne 4-24
Pere hoiustab iga kuu tagant 500 krooni lihtintressimääraga 6% aastas. Kui suur on lõppkapital pärast 8 aasta möödumist? Ülesanne 4-25
Firma laenab üheks aastaks 480 000 krooni. Pakutakse kahte võimalust: a) intressimäär on 9% aastas ja laenu tagasimaksmine toimub 12-s osas fikseeritud tagasimaksetena iga kuu lõpul. b) intressimäär on 8% aastas ja laenu tagasimaksmine toimub 4-s osas fikseeritud tagasimaksetena iga kvartali lõpul. Leida summaarne laenukulu kummalgi juhul.
VASTUSED 4-20 33 000 kr. 4-24 66,7%. 4-21 1,33aastat ehk 1a 4k. 4-25 59 400 kr. 4-22 6,25 a. 4-26 a) 23 400 kr; b) 24 000 kr. 4-23 8%.
4.5 Liitintressid, geomeetriline rida Kui igal intressi arvutamise perioodil võetakse intressi arvutamise aluseks kapital koos eelmise perioodi intressiga, siis kannab kapital liitintresse. Sel juhul ka intress ise kannab intressi. Olgu algkapital k krooni, intressimäär aastas r ning intresside kandmise aeg n aastat. Leiame, millise summani on kapital kasvanud: 2. aasta algul: k2 = k(1+r) 3. aasta algul: k3 = k2(1+r) = k(1+r)(1+r) = k(1+r)2 4. aasta algul: k4 = k3(1+r) = k(1+r)2(1+r) = k(1+r)3 jne.
Liitintressi korral on lõppkapitali K suurus pärast n perioodi möödumist = 1+ kus r on intressimäär perioodi kohta ja k algkapital.
30 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Näide 4-11 Liitintress
Olgu hoiustatud algkapital 10 000 krooni, intressimäär 5% aastas ja hoiustamisaeg 6 aastat. Leida lõppkapital, kui intress kantakse arvele iga aasta lõpul. Lahendus. Algkapital k = 10000 Intressimäär r = 5% Hoiustamisaeg n=6
Lõppkapital K = k(1+r)n = 10000 (1+0,05)6 = 10000 × 1,056 = 13 400,95 Vastus: Lõppkapital on 13 400,95 kr.
Näide 4-12 Raha tulevikuväärtus
Firmal on võimalus investeerida 500 000 krooni projekti, mis annab 3 aasta pärast tulu 600 000 krooni. Kas see investeering tasub end ära, kui pankades on keskmine intressimäär 9,5% aastas? Lahendus. Leiame 500 000 krooni tulevikuväärtuse 3 aasta pärast: Olevikuväärtus k = 500 000 Intressimäär r = 9,5% Aastate arv n=3
Tulevikuväärtus K = k(1+r)n = 500 000 (1+0,095)3 = 10000 × 1,0953 = 656 466. Vastus: Projekti ei tasu investeerida, sest vastava summa tulevikuväärtus on suurem, kui projektist saadav tulu.
Geomeetriliseks reaks nimetatakse rida, mille iga liikme ja temale eelneva liikme suhe q on konstantne: 2 3 4 = = == = 1 2 3 -1
Geomeetrilise rea esimese m liikme summa on 1 ( - 1) = = -1 =1
Näide 4-13 Liitintress perioodiliste maksete korral
Perekond säästab igal aastal 5000 kr, mis paigutatakse panka intresse kandma. Kui suureks kasvab perekonna pangakapital 10 aastaga, kui intressimäär on 8% aastas ja intress kantakse arvele iga aasta lõpul? Lahendus. Kasutades geomeetrilise rea summa valemit algkapitaliga a1=5000, perioodide arvuga m=10 ning teguriga q=1,08, saame tulemuseks 72 432,80 kr. 5000 × (1,0810 - 1) = = 72 432,80 1,08 - 1 Vastus: Lõppkapital on 72 432,80 kr.
31 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Perioodiliste sissemaksete korral, kui p on perioodilise sissemaksu suurus ja n perioodide arv, siis liitintressi kandnud investeering annab lõppkapitaliks
(1 + ) - 1 =×
Kui arve avamisel kantakse arvele ühekordselt algkapital k ja hiljem lisandub n perioodilist sissemakset ühesuguse suurusega p, siis lõppkapitali K arvutamiseks intressiga r kasutatakse valemit
(1 + ) - 1 = 1+ +×
ÜLESANDED Ülesanne 4-26
Leida lõppkapitali suurus, kui algkapital on 20 000 kr, liitintressimäär 5% aastas ja kapitali kasvu aeg 4 aastat. Intress lisatakse arvele kord aastas. Ülesanne 4-27
Kui suur summa on pangas aasta lõpuks, kui aasta algul oli seal 5000 kr, aasta intress on 5% ja intress kantakse arvele iga kuu? Kui aga intress kantakse arvele iga päeva lõpul? Ülesanne 4-28
Firmal on võimalus investeerida 800 000 krooni projekti, mis annab 5 aasta pärast tulu 1,5 milj krooni. Kas see investeering tasub end ära, kui pankades on keskmine intressimäär 8,5% aastas? Ülesanne 4-29
25-aastane ülikooli lõpetaja otsustab oma 40 tööaasta vältel panna igal aastal panka 1000 krooni intressimääraga 10% aastas. Akumuleerunud kapitali kavatseb lõpetaja kasutada pensionilisana järgneva 20 aasta vältel sama intressimääraga. Kui suureks kujuneb iga-aastane pensionilisa? Ülesanne 4-30
Kui suur peab olema perioodiline sissemakse, kui lõppkapitaliks on 18000 kr, intressimäär on 8% aastas ja sissemakseid tehakse 10 aastat kord 3 kuu jooksul? Intress lisatakse kord aastas. Ülesanne 4-31
Viie aasta jooksul võetakse iga aasta lõpul pangast välja 1200 krooni, kuid panka jääb veel 1500 krooni. Kui suur peab olema algkapital, kui intressimäär on 5%?
VASTUSED 4-27 24 310,13 kr. 4-30 51 987 kr. 4-28 a) 5255,81 kr; b) 5256,34 kr. 4-31 310,63 kr. 4-29 Tasub, sest tulu on suurem kui 4-32 6 370,66 kr. tulevikuväärtus 1,2 milj kr.
32 Matemaatika ja statistika 2008/2009 5 Lineaarsed võrrandisüsteemid
5.1 Asendus- ja liitmisvõte Näide 5-1 Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega
Iga polüvitamiini " Multi -1" drazee sisaldab 10 mg vitamiini A ja 20 mg vitamiini C ning iga polüvitamiini "Multi-2" drazee sisaldab 10 mg A vitamiini ja 30 mg C vitamiini. Kui sa vajad iga päev täpselt 50 mg A ja 120 mg C vitamiini, mitu drazeed "Multi-1" ja drazeed "Multi-2" sa pead päevas võtma? Lahendus. Olgu x drazeede "Multi-1" arv ja y drazeede "Multi-2" arv. Saame panna kirja järgmise seoste komplekti: 10 + 10 = 50 20 + 30 = 120
Need kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi. Meil tuleb leida sellised suuruste x ja y väärtused, mille korral mõlemad võrrandid on rahuldatud. Esialgu lihtsustame võrrandeid ja seejärel kasutame asendusvõtet, s.t avaldame ühest võrrandist näiteks suuruse y ja asendame teise võrrandisse.
10 + 10 = 50 10 + =5 20 + 30 = 120 10 2 + 3 = 12 Avaldame esimesest võrrandist suuruse y: =5- Saadud avaldise paneme teise võrrandisse: 2 + 3 5 - = 12 Lahendame saadud ühe tundmatuga võrandi: 2 + 3 5 - = 12 2 + 15 - 3 = 12 - = -3 =3 Kui x on teada, saame leida ka suuruse y. Selleks kasutame eespool leitud avaldist, kus y on avaldatud suuruse x kaudu: =5- =5-3=2 Kontroll: I võrrand: 10×3+10×2=50 vasak pool = parem pool II võrrand: 20×3+30×2=120 vasak pool = parem pool Seega võrrandisüsteemi rahuldab lahend (x=3; y=2). Vastus: Drazeed "Multi-1" tuleb võtta 3 tk päevas ja drazeed "Multi-2" 2 tk päevas.
Asendusvõtet saab kasutada ka rohkem kui kahest võrrandist koosneva süsteemi lahenda- miseks.
33 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Näide 5-2 Kolmest võrrandist koosneva võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega
Olgu meil kolmest võrrandist koosnev süsteem: 1 + 22 + 3 = 4 21 - 2 + 33 = 3 1 + 2 - 3 = 3 Avaldame kolmandast võrrandist x1: 1 = 3 - 2 + 3 Saadud avaldise asendame esimesse ja teise võrrandisse, saades nii kahe tundmatuga ning kahest võrrandist koosneva süsteemi: 2 + 23 = 1 -32 + 53 = -3 Avaldame esimesest võrrandist x2: 2 = 1 - 23 Asendame saadud avaldise teise võrrandisse ning peale lihtsustamist saame: 3 = 0 Kasutades eespool saadud avaldisi x1 ja x2 jaoks, saame võrrandisüsteemi lahendiks : 1 = 2 2 = 1 3 = 0 Kontroll: I võrrand: 2+2×1+0=4 v.p. = p.p. II võrrand: 2×2-1+3×0=3 v.p. = p.p. III võrrand: 2+1-0=3 v.p. = p.p.
Võrrandisüsteemilahendamisel liitmisvõttega korrutatakse võrrandite mõlemaid pooli selliste teguritega, et peale korrutamist on ühe tundmatu kordajad teineteise vastandarvud . Edasi liidetakse võrrandite vastavad pooled ning lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand. Leitud tundmatu väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes. Näide 5-3 Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega
Firma toodab kaht toodet X ja Y. Tootmisel kasutatakse kaht järjestikust tootmisprotsessi A ja B. Protsessi A ressurss on 1750 tundi ja protsessi B ressurss on 4000 tundi. Toode X nõuab 3 tundi protsessi A ja 2 tundi protsessi B, toode Y vajab 1 tund protsessi A ja 4 tundi protsessi B. Kui palju saab toota toodet X ja toodet Y, et mõlema protsessi ressursid ammenduksid? Lahendus. Olgu toote X hulk x ja toote Y hulk y. Kirjutades esimese võrrandi protsessi A summaarse ressursi kohta ja teise võrrandi B ressursi kohta, saame võrrandisüsteemi: 3 + = 1750 2 + 4 = 4000 Lahendamiseks kasutame liitmisvõtet, korrutades selleks esimese võrrandi läbi niisuguse teguriga, et muutuja y kordajad esimeses ja teises võrrandis oleksid vastandarvud: 3 + = 1750 × (-4) -12 - 4 = -7000 2 + 4 = 4000 2 + 4 = 4000
34 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: -12 - 4 = -7000 + 2 + 4 = 4000 -10 = -3000 Saadud võrrandi lahendiks on: x = 300. Leitud x väärtuse asetame esimesse võrrandisse algses võrrandsüsteemis ja leiame tundmatu y väärtuse: 3 × 300 + = 1750 = 1750 - 900 = 850 Kontroll:
3×300+850=1750 v.p.=p.p. 2×300+4×850=4000 v.p.=p.p. Vastus: Mõlema tootmisprotsessi ressursid ammenduvad, kui toodet X toodetakse 300 tk ja toodet Y 850 tk.
Asendus ja liitmisvõtet võib ka kombineerida, eesmärgiks ikka tundmatute järkjärguline eemaldamine, kuni saadakse üks ühe tundmatuga võrrand. Näide 5-4 Kolmest võrrandist koosneva võrrandisüsteemi lahendamine
Olgu meil kolmest võrrandist koosnev süsteem: 1 + 22 + 3 = 4 1 + 32 = 1 21 + 32 + 33 = 2 Avaldame esimesest võrrandist x1: 1 = 4 - 22 - 3 Saadud avaldise asendame teise ja kolmandasse võrrandisse: 2 - 3 = -3 -2 + 3 = -6 Liites võrrandite mõlemad pooled, saame 0 = -9 Saime vastuolu, sellisel juhul võrrandisüsteemil lahend puudub.
Näide 5-5 Kolmest võrrandist koosneva võrrandisüsteemi lahendamine
Olgu meil kolmest võrrandist koosnev süsteem: 1 + 22 + 3 = 4 1 + 2 + 23 = 1 21 + 32 + 33 = 5 Avaldame esimesest võrrandist x1: 1 = 4 - 22 - 3 Saadud avaldise asendame teise ja kolmandasse võrrandisse ning peale lihtsustamist saame: -2 + 3 = -3 -2 + 3 = -3
35 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Saime kaks identset võrrandit. Kui kasutame nüüd liitmisvõtet, korrutades ühe võrrandi läbi arvuga -1 ning liites seejärel võrrandid vastavalt kokku, saame tulemuseks samasuse 0=0 See tähendab, et võrrandisüsteemil on lõpmata palju lahendeid.
Kui avaldame viimasest süsteemist x2 ning asendame selle eespool olevasse x1 avaldisse, saame järgmise süsteemi, mille korral esialgne võrrandisüsteem on rahuldatud suvalise x3 väärtuse korral: 1 = -2 - 33 2 = 3 + 3
ÜLESANDED Ülesanne 5-1
Kahe testi punktide summa oli 175 ja vahe 11. Leida mõlema testi punktid. Ülesanne 5-2
Kahe testi punktide aritmeetiline keskmine oli 78 ja vahe 12. Leida mõlema testi punktid. Ülesanne 5-3
Kohviautomaat töötab 1- ja 5-krooniste müntidega. Automaadist võeti välja 210 münti kogusummas 490 kr. Mitu 1- kroonist ja mitu 5-kroonist münti välja võeti? Ülesanne 5-4
Investor on 100 000 kr paigutanud kahe firma aktsiatesse. Firma A aktsiate pealt saab dividende 8% nendesse paigutatud kapitalist ja firma B aktsiate pealt 10%. Kui suure summa eest on investor ostnud kummagi firma aktsiaid, kui kokku on dividende saadud 9400 kr? Ülesanne 5-5
Linnatranspordi kuukaart maksab 120 kr, soodustusega kaart aga 40 kr. Müüdud on 6700 kaarti kogusummas 684 000 kr. Mitu kuukaarti on müüdud kummastki liigist? Ülesanne 5-6
Mööblifirma toodab kahte tüüpi diivanilaudu, A ja B. Laudade tootmisprotsess koosneb monteerimisest ja viimistlemisest. A tüüpi laua monteerimine kestab 4 tundi ja viimistlemine 3 tundi, B tüüpi laua monteerimine kestab 1 tund ja viimistlemine 2 tundi. Monteerimisega tegeleb 5 töölist ja viimistlemisega 6 töölist. Leida, mitu A tüüpi ja mitu B tüüpi lauda on võimalik nädalas toota, kui töönädala pikkus kõigil töölistel on 40 tundi. Ülesanne 5-7
Linnas on bensiiniliitri hind 16.00 kr, maal on aga bensiin odavam, 15.50 kr liiter . Kuu aja jooksul oli autojuht ostnud 180 liitrit bensiini ja kokku kulutanud selle peale 2830 kr. Mitu liitrit kallimat ja mitu liitrit odavamat bensiini oli ta kuu aja jooksul ostnud? Ülesanne 5-8
Firmasse saabus arve 3000 krooni kohta. Arvel oli märgitud, et firma oli tellinud 100 pastapliiatsit ja 300 võtmehoidjat. Selgus aga, et tellimuses oli viga. Müügifirmaga lepiti kokku, et 100 võtmehoidjat tagastatakse ja selle asemel saadakse lisaks 50 pastapliiatsit. Seejuures tuli juurde maksta 25 krooni. Leida, milline oli pastapliiatsite ja võtmehoidjate hind, kui pastapliiatsite tellimisel rohkem kui 100 tk on allahindlus 10%.
36 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 5-9
Uurime kolme asenduskauba turgu: 1. kauba nõutav kogus D1 = 23 - 5p1 + p2 + p3 ; pakutav kogus S1 = -8 + 6p1; 2. kauba nõutav kogus D2 = 15 + p1 - 3p2 + 2p3 ; pakutav kogus S2 = -11 + 3p2; 3. kauba nõutav kogus D3 = 19 + p1 + 2p2 - 4p3 ; pakutav kogus S3 = -5 + 3p3. Leida hinnad, mille korral kõik kolm turgu on tasakaalus.
VASTUSED 5-1 93 ja 82. 5-2 84 ja 72. 5-3 140 ühekroonist ja 70 viiekroonist. 5-4 Firma A aktsiaid 30 000 kr eest ja firma B aktsiaid 70 000 kr. 5-5 5200 tavalist ja 1500 soodustusega. 5-6 A tüüpi laudu 32 tk ja B tüüpi laudu 72 tk. 5-7 80 liitrit kallimat ja 100 liitrit odavamat bensiini. 5-8 Pastapliiats 15 kr, võtmehoidja 5 kr. 5-9 p1=4 kr; p2=7 kr; p3=6 kr.
5.2 Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine II järku lineaarseid võrrandisüsteeme on võimalik lahendada ka graafiliselt. Graafilise lahendamise korral vaadeldakse mõlemat süsteemi võrrandit kui sirge võrrandit. Vastavate sirgete lõikepunkti koordinaadid ongi antud võrrandisüsteemi lahendiks. Näide 5-6 Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine 5 Olgu meil kahest võrrandist koosnev süsteem: y=5 - x
10 + 10 = 50 4 20 + 30 = 120 Sirgete konstrueerimiseks tuleb meil leida 3 sirgete võrrandid. Selleks avaldame mõlemast (3; 2) võrrandist y: 2 y=4 - 2/3x =5- 2 1 =4- 3 Saadud võrrandite põhjal konstrueerime sirged . 0 Sirgete lõikepunkt ongi koht, kus mõlemad 0 1 2 3 4 5 võrrandid on rahuldatud.
37 Matemaatika ja statistika 2008/2009 6 Lineaarsed funktsioonid
6.1 Võrdeline ja lineaarne seos
Võrdeliseks sõltuvuseks nimetatakse kahe suuruse x ja y vahelist sõltuvust, mille korral nende jagatis on konstantne: = =
kus konstanti a nimetatakse võrdeteguriks.
Näide 6-1 Võrdeline sõltuvus
Kui töötaja tunnitasu on 75 krooni, siis summaarne töötasu T on võrdeline töötatud tundide arvuga t: T = 75×t.
Näide 6-2 Võrdeline sõltuvus
Kui külalistemaja igakuine püsikulu on 50 000 kr ning lisaks on iga külastajaga seotud muutuvkulu 150 kr, siis külalistemaja kufunktsiooniks on C = 150 q + 50 000, kus q on külastajate arv kuus.
Lineaarseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mille avaldis on esitatav kujul:
kus a ja b on konstandid.
Näide 6-3 Lineaarne seos
Näiteks - kulufunktsiooni kuju on tihti lineaarne C(q)=aq+b; - nõutava koguse q ja hinna p vahel võib olla lineaarne seos q(p)=-40p+1000; - müüja töötasu T võib sõltuda läbimüügist q lineaarselt T(q)=0,15q+1200.
ÜLESANDED Ülesanne 6-1
Ettevõtte käive oli 2005. aastal 500 000 kr. Käive suureneb igal aastal 100 000 kr võrra. Avaldada käive K aja t funktsioonina, võttes 2005. aastal t=0 . Leida käibe prognoositav väärtus aastal 2008. Ülesanne 6-2
Ettevõtte klientide arv oli aasta algul 10 000. Iga kuuga suureneb klientide arv 900 võrra. Kui suur on klientide arv aasta lõpuks?
38 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 6-3
Firma püsikulud olid eelmisel kuul 15000 kr ja kulud ühe toote kohta 55 kr. Leida firma kulufunktsioon. Ülesanne 6-4
Müüja töötasu on võrdeline läbimüügiga. Eelmisel kuul oli läbimüük 90 tuh kr ja müüja töötasu 4500 kr. Panna kirja müüja palgamudel.
VASTUSED 6-1 K(t) = 100 000 t + 500 000; 800 000 kr. 6-2 20 800. 6-3 C(q)=55q+15000. 6-4 T=0,05L, kus L on läbimüük.
6.2 Lineaarse mudeli parameetrite leidmine Lineaarne sõltuvus kahe suuruse vahel on lihtsaim sõltuvus ja seetõttu eeldatakse tihti, et uuritavat nähtust kirjeldav mudel on lineaarne ja esitatav kujul = + kus x on sõltumatu muutuja ja y sõltuv muutuja. Konstante a ja b nimetatakse mudeli parameetriteks. Lineaarse mudeli parameetrite leidmisel vaadeldakse neid kui tundmatuid. Kuna tundmatuid on kaks, on nende leidmiseks vaja kahte võrrandit, mis moodustavad võrrandisüsteemi: 1 = 1 + 2 = 2 + Teades sõltumatu muutuja väärtusi x1 ja x2 ning neile vastavaid sõltuva muutuja väärtusi y1 ja y2, saab võrrandisüsteemi lahendada ning parameetrite a ja b väärtused leida. Näide 6-4 Lineaarse kulufunktsiooni parameetrite leidmine
Firma A kogukulud olid jaanuaris 70 000 kr ja veebruaris 77 500 kr. Tootmismaht oli vastavalt 300 ühikut ja 350 ühikut. Eeldades, et kulufunktsioon on lineaarne ning püsikulud ja muutuvkulud tooteühiku kohta konstantsed, leida kulufunktsioon. Lahendus. Lineaarse kulufunktsiooni üldkuju on C(q)=cvq+CF, kus q on kogus, cv muutuvkulu ja CF fikseeritud kulu (püsikulu). Selline kulude mudel peab rahuldama nii jaanuari- kui ka veebruarikuu andmeid: 1 = 1 + 2 = 2 + Paneme võrranditesse sisse arvandmed: 70 000 = × 300 + 77 500 = × 350 +
39 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Saime lineaarse võrrandisüsteemi, mille lahendamiseks lahutame teisest võrrandist esimese (samaväärne oleks korrutada esimene võrrand arvuga -1 ning seejärel võrrandid liita), mille tulemusel saadud ühe tundmatuga võrrandist leiame ühe parameetri: 7500 = 50 50 150 = Saadud väärtuse paneme võrrandisüsteemi esimesse võrrandisse ja leiame teise parameetri, püsikulu:
70 000 = 150 × 300 + 70 000 = 45 000 + 25 000 = Lõpuks paneme mõlemad parameetrid kulufunktsiooni üldkujusse ja otsitav kulufunktsioon ongi käes: = 150 + 25 000
ÜLESANDED Ülesanne 6-5
Müügiagendid sooritasid kutsesobivustesti. Aasta pärast võrreldi testi tulemusi müügiagentide aastase läbimüügiga. Sellel, kes sai 52 punkti, oli läbimüük 119 000 kr, 74 punkti saajal aga 163 000 kr. Oletades, et testil saadud punktide arvu ja läbimüügi suuruse vaheline seos on lineaarne, leida seda sõltuvust kirjeldav funktsioon. Ülesanne 6-6
Osteti 20 000 kroonine tööpink, mille väärtus langeb lineaarselt nii, et tema hind 10 aasta pärast on 1000 kr. Avaldada tööpingi väärtuse sõltuvus tema vanusest ja leida pingi väärtus 4 aasta pärast. Ülesanne 6-7
Turu-uuring näitab, et kui toote A hind on 5,50 kr, langeb nõutav kogus 6750 ühikuni kuus. Kui hind on aga 3 kr, tõuseb ühes kuus nõutav kogus 10750 ühikuni. Sellise hinna juures ei suuda enamik tootjaid seda toodet enam toota ning pakutav kogus langeb 2250 ühikuni kuus. Seevastu hinna 15,50 kr juures on pakutav kogus 15750 ühikut. Millise hinna korral saabub antud toote turul tasakaal? Eeldada, et nii pakkumis- kui ka nõudlusfunktsioon on lineaarne.
VASTUSED 6-5 2000x+15 000. 6-6 y(x)=20 000-1900x; 12 400 kr. 6-7 6,17 kr.
40 Matemaatika ja statistika 2008/2009 6.3 Sirge võrrand
Lineaarse funktsiooni y(x)=ax+b graafikuks on sirge, kus parameetrit a nimetatakse sirge tõusuks ( lineaarliige ) ja parameetrit b nimetatakse algordinaadiks (vabaliige).
Sirge tõus näitab, mitme ühiku võrra muutub y, kui x muutub ühe ühiku võrra. Algordinaat näitab suuruse y väärtust, kui x=0.
y Kui sirge läbib punkte (x1; y1) ja (x2; y2), siis sirge tõus (x2; y 2) 2 - 1 = = = 2 - 1 y2 ­ y1 (x1; y 1) ja vabaliige x2 ­ x1 (x2; y 1) = 1 - 1 või = 2 - 2
x
Näide 6-5 Tulufunktsioon lineaarse nõudlusfunktsiooni korral
Kauplus müüb fotoaparaate hinnaga 950 kr/tk. Selle hinnaga ostetakse aparaate 40 tk kuus. Müügi suurendamiseks planeerib kauplus hinda alandada ja arvestab , et 10-kroonine hinnaalandus suurendab läbimüüki 2 aparaadi võrra. Avaldada läbimüügi sõltuvus hinnast ja leida, milline oleks läbimüük 900-kroonise hinna juures. Lahendus. Tähistame läbimüügi suurusega y ning hinna suurusega x. 2 = = = -0,2 -10 = 1 - 1 = 40 - -0,2 × 950 = 40 + 190 = 230 = + = -0,2 + 230 900 = -0,2 × 900 + 230 = -180 + 230 = 50 Vastus: 900-kroonise hinnaga oleks läbimüük 50 aparaati kuus.
ÜLESANDED Ülesanne 6-8
Teenindusettevõte osutas teenust 20 krooni eest, kuus osutati teenust 4000 kliendile. Kui hind tõsteti 25 kroonini, vähenes klientide arv 400 võrra. Eeldades, et seos klientide arvu ja teenuse hinna vahel on lineaarne, siis kui suur oleks klientide arv olnud, kui hind oleks tõstetud 23 kroonini?
41 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Ülesanne 6-9
Tarbimismudelid näitavad, kuidas pere sissetuleku suurenedes muutuvad kulutused erinevat liiki kaupade/teenuste ostmiseks. Enamasti kasutatakse lineaarset mudelit y=ax+b, kus x on sissetulek pereliikme kohta ja y kulutused vastavale kauba- või teenustegrupile. Kasutades Eesti pereuuringute andmeid perioodil 2000-2006, on analüüsitud perede kulutusi erinevatele kaupadele ja teenustele ning nende sõltuvust rahalistest sissetulekutest pereliikme kohta. Analüüsi tulemusel on saadud järgmised tarbimismudelid, kus x on sissetulek pereliikme kohta: - kulutused toiduainetele (kr kuus) K1 = 0,093x + 514; - kulutused tööstuskaupadele ja teenustele (kr kuus) K2 = 0,329x ­ 107. a) Kui suured on kulutused toidukaupadele sissetuleku puudumisel? b) Mida näitab arv 0,093 toiduainete tarbimismudelis? c) Kui sissetulek suurenes 1000 kr võrra, mitme krooni võrra suurenesid kulutused toidu- kaupadele ja mitme krooni võrra teenustele? d) Kuidas tõlgendada seda, et teenuste tarbimismudelis on vabaliige (algordinaat) negatiivne? e) Leida, millise sissetulekuga pered kulutasid toiduainetele sama palju kui tööstuskaupadele ja teenustele?
VASTUSED 6-8 3760. 6-9 a) 514 kr; b) sissetuleku suurenedes 1 kr võrra suurenevad kulutused toidukaupadele 0,093 kr võrra; c) 93 kr ja 329 kr; d) teenustele hakatakse kulutama alates mingist sissetulekust (meie mudelis alates 325 kr); e) ~2620 kr.
6.4 Eelarvejooned Näide 6-6 Eelarve jooned
Koolipoisil on 40 kr. Poiss võib ära kulutada kogu raha, kusjuures tal on vaja osta 4-krooniseid vihikuid, samuti tahab ta osta 2-krooniseid sokolaadimedaleid. a) Kui ta peab ostma 8 vihikut, mitu sokolaadi ta saab osta? b) Kas ta saab osta 12 vihikut, kui ta on oma sõbrale võlgu 5 sokolaadi ja võlg tuleb tasuda? c) Kui poisil on aga 60 krooni, kas ta siis saab osta 12 vihikut ja 5 sokolaadi? d) Kui tal 60 krooni, mitu sokolaadi saab poiss osta, kui ta ostab 8 vihikut? e) Kui poisil on 20 krooni ja ta ostab 3 sokolaadi, mitu vihikut ta siis osta saab? Olgu vihikute arv x ja sokolaadide arv y. Siis nendele kaupadele tehtud kulutuste summa on võrdne poisil oleva rahasumma (40 kr) suurusega: 4 + 2 = 40 See võrrand väljendab poisi kulutuste kitsendust.
42 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Lahendus-1: 35 Graafiline meetod. y=30-2x 30 Graafiku konstrueerimiseks on meil vaja saadud võrrandist 25 avaldada suurus y: = 20 - 2 20 y=20-2x
Vastav graafik on toodud 15 juuresoleval joonisel.
Sokolaadide arv Toodud on ka graafikud y=10-2x 10 eelarvepiirangu 60 kr ja 20 kr jaoks. 5 (8; 4) Vastused küsimustele (a)...(e) leiame nüüd jooniselt. 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Vihikute arv
Lahendus-2: Analüütiline meetod. a) Kasutades ülaltoodud võrrandit, leiame sokolaadide arvu y, kui vihikute arv x=8. Vastus on 4. b) Leiame summaarsed kulud 12 vihiku (x=12) ja 5 sokolaadi korral (y=5): 4×12+2×5=58 > 40. Järelikult peame tõdema, et 40 krooniga 12 vihikut ja 5 sokolaadi osta ei saa, sest summaarsed kulud ületavad eelarve. Analoogselt saame leida analüütilisel teel vastused ka küsimustele (c)...(e).
Selle näites on koolipoisil olev rahasumma kui eelarve kitsendus : tema rahaliste kulutuste summa ei saa ületada rahalisi sissetulekuid. Ülaloleval joonisel toodud sirged on tarbimisvõimaluste sirged ehk samakulu jooned, piki seda joont liikudes on summaarsed kulud konstantsed.
Eelarve kitsenduse analüüsimisel: - hinnad px ja py on muutumatud; - summaarsed kulud (eelarve) C on muutumatud; y Võimatud kombinatsioonid, eelarve ületatud - lubatud on vaid erinevad kombinatsioonid hüviste Lubatud kogustest. kombinatsioon
Kui me muudame eelarvet või hindu, on tegemist uue eelarve kitsendusega. Lubatud pxx+pyy C - võimatu, ületab eelarvet.
Eelarve kitsendus avaldub võrrandina: pxx + pyy = C, kus x ja y on hüviste kogused, px ja py nende hinnad ja C summaarne rahasumma.
43 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Näide 6-7 Eelarve joonte muutumine
Olgu C eelarve suurus, px hüvise X hind ja py hüvise Y hind, x ja y hüviste kogused. Alloleval joonisel on näha, kuidas tarbimisvõimaluste sirge muudab oma asendit, kui muutub eelarve suurus või hüvise hind. y y y
x x x Eelarve C suureneb Hüvise X hind suureneb, Hüvise Y hind väheneb, sama eelarve juures saab sama eelarve juures saab hüvist X vähem hüvist Y rohkem
ÜLESANDED Ülesanne 6-10
Toote A kokkupanekuks kulub töötajal 40 min, toote B kokkupanekuks 1h 30 min. a) Leida avaldis, mis seoks tööpäeva jooksul (8 tundi) kokkupandud toodete A ja B koguseid. b) Kui päevas tuleb kokku panna 6 toodet sordist A, mitme toote B jaoks jääb veel aega? c) Kas on võimalik kokku panna 5 toodet A ja 3 toodet B? Ülesanne 6-11
Kahe kauba peale, mille hinnad on vastavalt 30 kr ja 50 kr, on võimalik kulutada 1200 kr. Leida eelarvejoone võrrand ilmutatud kujul y suhtes (ehk avaldada võrrandist y): a) antud hindade ja eelarve korral; b) eelarve on 25% väiksem; c) esimese kauba hind kahekordistub; d) teise kauba hind langeb 10 kr võrra. Ülesanne 6-12
Farmer kasvatab suuri ja väikeseid broilereid. Iga suure broileri üleskasvatamiseks kulub 20 kg sööta ja väikese jaoks 10 kg sööta. a) Leida seos broilerite arvu vahel, kui farmeril on sööta 1500 kg ja ta tahab kõik ära kulutada. b) Kui farmer tahab kasvatada 30 suurt broilerit, mitu väikest ta saab kasvatada? Ülesanne 6-13
Hüvise X hind on 120 kr ja hüvise Y hind on 500 kr. Peale hinnatõusu on hüvise X uus hind 170 kr. Kui suur peaks olema hüvise Y uus hind, et uus eelarve joon oleks vanaga paralleelne?
VASTUSED 6-10 a) 40A+90B=480; 6-11 a) y=24-0,6x; 6-12 a) 20x+10y=1500; b) 2 toodet B; b) y=18-0,6x; b) 90 väikest. c) jah. c) y=24-1,2x; 6-13 708,33 kr. d) y=30-0,75x.
44 Matemaatika ja statistika 2008/2009 7 Elementaarfunktsioone
7.1 Pöördvõrdeline sõltuvus Näide 7-1 Püsikulud tooteühiku kohta
Olgu firma püsikulud 30 000 kr kuus. Leida püsikulud tooteühiku kohta ja uurida, kuidas see suurus sõltub kogusest q. Lahendus. Tähistame püsikulusid CF = 30 000. Püsikulud tooteühiku kohta saadakse püsikulude jagamisel 35000 ACF (püsikulu tooteühiku kohta) tootmismahuga q: 30000 30 000 = = 25000 20000 Uurime nüüd, kuidas püsikulud toote kohta 15000 sõltuvad kogusest: 10000 5 = 6000; 10 = 3000 5000 Seega tootmismahu suurenedes 2 korda püsikulud q (kogus) tooteühiku kohta vähenevad 2 korda. 0 0 5 10 15 20 25 Tegemist on pöördvõrdelise sõltuvusega, mille graafik on toodud juuresoleval joonisel.
Pöördvõrdelise sõltuvuse graafikuks on hüperbool. Hüperbool koosneb kahest harust, mis lähenevad piiramatult koordinaattelgedele.
y Pöördvõrdeline sõltuvus kahe suuruse x ja y vahel on niisugune sõltuvus, mille korral nende suuruste korrutis on konstantne:
= x
Saab esitada ka kujul: =
Näide 7-2 Keskmine kulu tooteühiku kohta
Ettevõtte kulufunktsioon on C=150q+5000. Leida keskmised kulud tooteühiku kohta. Lahendus. 150 + 5000 5000 = = = 150 +
45 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Keskmine kulu tooteühiku kohta avaldub pöördvõrdelise seosega
() =
kus C on kulud ja q tootmismaht.
Kui kulufunktsioon on lineaarne, = + , siis keskmine kulu ühiku kohta on
+ = = +
Näide 7-3 Kogukulude mudel, lineaarne ja pöördvõrdeline osa
Kiirtee hoolduskulud pika ajavahemiku peale koosnevad kahest osast. Üks osa kuludest on kapitalikulu hooldusjaamade rajamiseks, kus paiknevad hooldustööliste tööruumid ja hoitakse tee korrashoiuks vajaminevat tehnikat . See osa kuludest on võrdeline hooldusjaamade arvuga: C1=a×n, kus n on hooldusjaamade arv ja a konstant (ühe hooldusjaama rajamiskulud). Teise osa kuludest moodustavad igapäevased talitluskulud (tööjõu-, materjali-, kütusekulu) ja sõltuvad sellest, kui kaugele tuleb hooldustöödele (tee puhastamine lumest, sildade hooldamine) sõita. Mida rohkem on hooldusjaamu, seda väiksemad need kulud on, sest seda vähem on vaja inimesi, ressursse ja tehnikat transportida. Need kulud võib avaldada pöördvõrdelise sõltuvusena hooldusjaamade arvust: C2=b/n, kus b on konstant (hooldustöödeks kasutada olev raha). Kogukulud on nende kahe komponendi summa: = + Juuresoleval joonisel on toodud mõlema kulukomponendi ja kogukulude graafikud, kui a=80 000 kr ja b=600 000 kr ning jaamade arv n muutub 1-st 10-ni. On näha, et kogulukud sõltuvad jaamade arvust n. Kiirtee operaatorfirma on huvitatud, et kogukulud oleksid minimaalsed. a) Leia graafikult, mitu hooldusjaama oleks kasulik C rajada? C b) Jooniselt on näha, et kogukulud on minimaalsed parajasti siis, kui mõlemad kulukomponendid on C1 võrdsed: C1=C2. Lahendades vastava võrrandi, saame et optimaalne hooldusjaamade arv on
600 000 = = 3 C2 80 000 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
46 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 7-1
Firma kulude analüüs näitas, et kulufunktsioon C(x)=400x+12000, kus x on toodetud kogus. Leida keskmised kulud tooteühiku kohta. Ülesanne 7-2
Muutuvkulu ühiku kohta on 20 ja püsikulu 4000. Leida a) keskmine kulu tooteühiku kohta; b) kui palju muutub keskmine kulu ühiku kohta, kui tootmismaht suureneb 100 ühikult 200ni; c) kui palju muutub keskmine kulu ühiku kohta, kui tootmismaht suureneb 200 ühikult 300ni? Ülesanne 7-3
Firma sai tellimuse 8000 mootorrattakiivrile. Tuleb muretseda seadmed, mis võimaldavad toota 30 kiivrit tunnis iga tööpingi kohta. Ühe tööpingi seadistuskulud on 200 kr. Peale tootmise käivitamist jälgib kogu liini üks inimene, kelle töötasu on 48 kr tunnis (koos maksudega). a) Avaldada kogukulude (seadistuskulud + tööjõukulud) sõltuvus tööpinkide arvust. b) Leida optimaalne tööpinkide arv. Ülesanne 7-4
Talitluskulud on pöördvõrdelised tööpinkide arvuga. Viie tööpingi kasutamisel on talitluskulud 7000 kr kuus. Leida talitluskulude sõltuvus tööpinkide arvust. Kui suured on talitluskulud seitsme tööpingi kasutamisel? Ülesanne 7-5
Veokijuhi töötasu on võrdeline teel oldud tundide arvuga. Kütusekulu kilomeetri kohta on võrdeline sõidukiirusega. Leida, kuidas summaarsed kulud (töötasu + kulud kütusele) teatud vahemaa läbimisel sõltuvad sõidukiirusest.
VASTUSED 7-1 AC=400+12000/x. 7-2 a) AC=20+4000/q; b) väheneb 20 võrra; c) väheneb 6,7 võrra. 7-3 a) C(n)=200n+12800/n; b) 8. 7-4 Ctalitlus=35000/n, kus n on tööpinkide arv; 5000 kr. 7-5 C=s(a/v+bv), kus s on teepikkus , v kiirus ning a ja b konstandid.
47 Matemaatika ja statistika 2008/2009 7.2 Eksponentfunktsioon
Olgu a mingi positiivne arv, a1. Funktsiooni f kujul
() =
nimetatakse eksponentfunktsiooniks alusel a.
Eksponentfunktsiooni omadusi: y
eksponentfunktsiooni väärtus on positiivne argumendi y=(1/a)x y=ax iga väärtuse korral; kui a>1, on eksponenfunktsioon rangelt kasvav, kui 0