Konspekt (6)

Mainori Kõrgkool
Matemaatika ja statistika Loengukonspekt
Silver Toompalu , MSc
2008/2009
1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra ............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus .......................................................................................................... 5 2.2 Astendamine ja polünoomid ................................................................................................... 6 2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid .......................................................................... 7 2.3.1 Kulufunktsioon ................................................................................................................ 7 2.3.2 Tulufunktsioon ................................................................................................................. 9 2.3.3 Kasumifunktsioon ............................................................................................................ 9 2.3.4 Nõudlusfunktsioon .......................................................................................................... 9 2.3.5 Pakkumisfunktsioon ...................................................................................................... 10 2.4 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral ........................................... 12 2.5 Liitfunktsioon ......................................................................................................................... 14 3 Võrrandid ........................................................................................................................... 16 3.1 Lineaarsed võrrandid, tasuvusanalüüs .................................................................................. 16 3.2 Ruutvõrrandid ....................................................................................................................... 18 4 Protsent- ja finantsarvutused .............................................................................................. 21 4.1 Protsentarvutuste põhitüübid ............................................................................................... 21 4.2 Protsentuaalne kasvamine ja kahanemine ........................................................................... 23 4.3 Hinnad ja palgad .................................................................................................................... 24 4.4 Lihtintressid, aritmeetiline rida ............................................................................................. 26 4.5 Liitintressid, geomeetriline rida ............................................................................................ 30 5 Lineaarsed võrrandisüsteemid............................................................................................. 33 5.1 Asendus- ja liitmisvõte .......................................................................................................... 33 5.2 Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine ............................................................................ 37 6 Lineaarsed funktsioonid ...................................................................................................... 38 6.1 Võrdeline ja lineaarne seos ................................................................................................... 38 6.2 Lineaarse mudeli parameetrite leidmine .............................................................................. 39 6.3 Sirge võrrand ......................................................................................................................... 41 6.4 Eelarvejooned........................................................................................................................ 42
2 Matemaatika ja statistika 2008/2009 7 Elementaarfunktsioone ....................................................................................................... 45 7.1 Pöördvõrdeline sõltuvus ....................................................................................................... 45 7.2 Eksponentfunktsioon ............................................................................................................. 48 7.3 Arv e; pidev juurdekasv ......................................................................................................... 49 7.4 Eksponentsiaalsed mudelid ................................................................................................... 50 8 Statistika aine ja meetod ..................................................................................................... 53 8.1 Statistiline mõtteviis .............................................................................................................. 53 8.2 Statistika olemus ja tegevusvaldkonnad ............................................................................... 53 8.3 Kirjeldav ja järeldav statistika ................................................................................................ 54 8.4 Statistilised tunnused, tunnuste tüübid ................................................................................ 55 8.5 Kõikne vaatlus ja valimvaatlus............................................................................................... 57 9 Andmete kogumine ja esitamine ......................................................................................... 59 9.1 Statistilise uurimistöö etapid................................................................................................. 59 9.2 Statistiline vaatlus ................................................................................................................. 59 9.3 Andmete olemus ja andmete kogumine ............................................................................... 60 9.4 Objekt-tunnus maatriks ......................................................................................................... 61 10 Andmete kirjeldamine......................................................................................................... 63 10.1 Sagedusjaotused ................................................................................................................... 63 10.2 Keskmised .............................................................................................................................. 65 10.3 Variatsiooninäitarvud ............................................................................................................ 69 11 Nähtustevahelised seosed ................................................................................................... 71 11.1 Korrelatsioonanalüüs ............................................................................................................ 71 11.2 Lineaarse korrelatsioonikordaja puudused ........................................................................... 72 11.3 Determinatsioonikordaja ...................................................................................................... 74 11.4 Mitmene korrelatsioon ......................................................................................................... 74 11.5 Regressioonanalüüs............................................................................................................... 75 12 Aegridade analüüs .............................................................................................................. 81 12.1 Aegrea mõiste ....................................................................................................................... 81 12.2 Aegridade keskmised tasemed .............................................................................................. 81 12.3 Aegridade kompleksanalüüs ................................................................................................. 82 Kasutatud kirjandus ................................................................................................................... 85
3 Matemaatika ja statistika 2008/2009 1 Mudelid majanduses
1.1 Mudeli mõiste Igapäevases majandustegevuses tuleb pidevalt langetada otsuseid. Eesmärgiks võib olla efektiivne tegutsemine piiratud ressursside tingimustes, suurema turuosa hõivamine, kapitali võimalikult kasulik investeerimine . Ratsionaalne otsustamine eeldab oskust probleeme matemaatiliselt formuleerida ning kasutada mitmesuguseid matemaatilisi ja statistilisi meetodeid . Matemaatiline formuleering võimaldab kasutada otsustamisprotsessil arvuti abi ning teha täpsemaid prognoose majandussituatsiooni muutumisel. Kuna majanduses võib katsetamine osutuda sageli väga kulukaks, on otstarbekas kasutada majandusnähtuste ja -protsesside uurimisel mudeleid . Mudel on reaalsuse ülevaatlik, eesmärgipäraselt lihtsustatud peegeldus , mida kasutatakse juhul, kui reaalse maailma vastava nähtuse või protsessi uurimine on võimatu, raske või seotud liiga suurte kulutustega. Mudel peab tooma välja reaalse nähtuse iseloomulikud jooned ning jätma kõrvale kõik teisejärgulise. Matemaatiline mudel seisneb nähtuse uurimises matemaatiliste seoste abil.
1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu Matemaatiliste mudelite korral tuleb eristada nende matemaatilist kuju (struktuuri) ja mudelite sisu tõlgendamist, interpreteerimist.
Näide 1-1 Lõppkapitali mudel Näide 1-2 Toodangukasvu mudel
Isikul on pangas tähtajalisel hoiusel 12 000 Aasta algul oli tehase toodang 12 000 toodet kr. Kui suur summa on tal pangaarvel aasta kuus. Uue tehnoloogia kasutuselevõtt suu- pärast. kui aastane intress on 9%? rendab tootlikkust 9%. Kui suur on kuu toodang peale tehnoloogia uuendamist? Võtame kasutusele järgmised tähistused: algkapital K0=12 000 kr Võtame kasutusele järgmised tähistused: aastaintress r=9% esialgne tootmismaht q0=12 000 lõppkapital K1=? tootmismahu suurenemine r=9% uus tootmismaht q1=? Seos lõppkapitali arvutamiseks: K1 = K 0 + rK 0 = K 0 (1 + r) Seos uue tootmismahu arvutamiseks: q1 = q0 + rq0 = q0 (1 + r) Leiame lõppkapitali väärtuse: K1 = 12000 × 1 + 0,09 = 13080 Leiame uue tootmismahu: q1 = 12000 × 1 + 0,09 = 13080 Vastus: Aasta pärast on pangaarvel summa 13 080 kr. Vastus: Peale tehnoloogia uuendamist on tootmismaht 13 080 ühikut kuus.
Mõlema näite korral on mudelite matemaatiline kuju ühesugune: = ( + ) Kokku langevad ka lähteandmete arvväärtused. Erinev on aga mudelite poolt kirjeldatav majandussituatsioon ja saadud tulemuse interpreteerimine. Probleemi lahendamisel ei piisa mudeli matemaatilise kuju kirjapanekust ja arvutuste soorita- misest, tingimata on vajalik ka saadud tulemuste tõlgendamine.
4 Matemaatika ja statistika 2008/2009 2 Funktsioonid ja nende algebra
2.1 Funktsionaalne sõltuvus Vaatleme kaht hulka X ja Y. Seost, mille puhul igale elemendile xX vastab üks ja ainult üks element yY, nimetatakse funktsionaalseks. Funktsiooni definitsioon ei nõua, et hulga Y iga element vastaks ainult ühele hulga X elemendile. Näiteks ühesugune hind võib olla erinevatel kaupadel. Küll peab aga igale hulga X elemendile vastama üks ja ainult üks hulga Y element (näiteks ühel ja samal kaubal ei saa olla korraga mitu erinevat jaehinda). Esimese hulga elementi x nimetatakse argumendiks ja temale vastavat teise hulga elementi y selle argumendi funktsiooniks. Tähistused y=f(x), y=g(x) jne. Funktsiooni y=f(x) määramispiirkond on argumendi x nende väärtuste hulk, mille korral funktsioon on määratud. Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkond on selle funktsiooni väärtuste hulk.
Näide 2-1 Nädala läbimüük kui funktsioon
Järgnevas tabelis ning kõrvaloleval joonisel Nädala läbimüük, kg on toodud toote läbimüük. Igale nädala- päevale vastab üks konkreetne kogus. 200 150 Päev Läbimüük, kg 100 E 200 50 T 100 K 170 0 N 150 E T K N R R 100
Näide 2-2 Funktsiooni analüütiline kuju Läbimüük (x) Palk (y) 50 000 4 000 Kõrvalolevas tabelis on toodud müüja palga 60 000 4 500 sõltuvus poe läbimüügist. Tegemist on funktsionaalse sõltuvusega, mille võib kirja 70 000 5 000 panna ka kujul = + , . 80 000 5 500 Niisugust kirjapanekuviisi nimetatakse 90 000 6 000 funktsiooni analüütiliseks esituseks.
Funktsiooni saab esitada tabeli, joonise, valemi, aga ka sõnalise formuleeringu abil. Mitte igat funktsiooni ei saa esitada analüütiliselt, valemi abil (vt Näide 2-1). Majanduses kasutatava matemaatilise modelleerimise korral püütakse erinevate suuruste vahel valitsevaid seoseid kirjeldada analüütiliselt, valemi abil.
5 Matemaatika ja statistika 2008/2009 2.2 Astendamine ja polünoomid Kui n on positiivne täisarv, siis xn tähendab, et x on iseendaga korrutatud n korda: = ...
Astendamise reeglid: 1 = + = - =
= - = =
( ) =
Avaldises 5x2 on x muutuja ning 5 kordaja ehk koefitsient. Avaldist 5x2 nimetatakse üksliikmeks. Üksliige sisaldab kordajat ja üht või mitut muutujat (näiteks 23x; 105x2y5; 25 3 ). Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saame hulkliikme ehk polünoomi (näiteks 4x3+5x2-2x+10; 15x4-3x2+2x-3; x4+1).
Polünoomiks ehk hulkliikmeks nimetatakse järgmist avaldist: + - - + + +
Hulkiikme ühesuguseid liikmeid võib liita ja lahutada, liites või lahutades nende liikmete ees olevaid kordajaid. 4 5 + 9 5 = 13 5 12 - 3 = 9 3 3 + 5 2 + 2 + 4 3 + 7 = 7 3 + 5 2 + 9
Korrutamisel ja jagamisel vastavalt korrutatakse või jagatakse nii kordajaid kui muutujaid. 15 4 3 6 4 2 5 3 2 5 2 3 = 10 3 (3 3 2 )(4 4 4 ) = 12 7 6 3 2 2 3 = 5 2 3 8 5 3 4 = 2 3
Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse. (6 + 7)(4 + 9) = 24 2 + 54 + 28 + 63 2 = 24 2 + 82 + 63 2
Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga. 8 3 - 24 2 = 8 2 ( - 3) 15 4 2 - 45 2 2 + 5 3 3 = 5 2 2 (3 2 - 9 + )
6 Matemaatika ja statistika 2008/2009 ÜLESANDED Ülesanne 2-1 Lihtsusta !
a) 4 5 e) 6 i) 5 7 b) 7 -3 f) 3 4 c) -2 -4 g) 5 (13 2 ) d) 2 1/2 h) 7 3 5 (4 2 4 )
Ülesanne 2-2 Leia funktsioonide f(x) ja g(x) summa, vahe ja korrutis!
a) f(x)=4x-7 g(x)=2x+6 b) f(x)=10x2+2x+1 g(x)=5x-5 c) f(x)=-4x2-2x g(x)=10x d) f(x)=3x+1 g(x)=-2x
Ülesanne 2-3 Lihtsusta!
3 2 3 12 2 +3 a) b) 2 c) d) 3 3 4+1
VASTUSED 1 12 35 2-1 a) 9 ; b) 4 ; c) ; d) 5 ; e) 13 ; f) 7 ; g) 65 2 ; h) 28 5 9 ; i) 12 . 6 3 3 2-3 a) ; b) ; c) 3 8 ; d) 3.
2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid 2.3.1 Kulufunktsioon Matemaatiliste meetodite kasutamisel majandusprotsesside analüüsimisel puututakse kokku mitmesuguste funktsioonidega. Mikroökonoomikast on tuntumad kulu-, tulu- ja kasumi- funktsioon ning nõudlus- ja pakkumisfunktsioon. Kulufunktsioon on funktsionaalne seos tootmismahu (tegevuse mahu) q (quantity) ja kulude C (cost) vahel. Kulufunktsioon koosneb kahest komponendist ­ fikseeritud kuludest ja muutuv- kuludest.
Kulufunktsioon = fikseeritud kulud + muutuvkulud
kus q - tootmismaht; CF - fikseeritud kulud; cv - muutuvkulu tooteühiku kohta.
7 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Fikseeritud kulud ehk püsikulud on kulud, mis ei sõltu toodangu mahust. Näiteks rent, büroo- töötajate palgad jms. Fikseeritud kulud antakse kindla ajavahemiku (aasta, kuu) kohta. Muutuvkulud on kulud, mille suurus sõltub otseselt toodangu mahust. Näiteks kulud materjalile, töötasu koos maksudega jms.
Näide 2-3 Kulufunktsioon
Olgu ühe ajalehe trükkimiseks tehtavad muutuvkulud 6 kr. Fikseeritud kulud päevas on 3000 kr. a) Leiame kulufunktsiooni C(q), mis kirjeldaks päevas tehtavate kulutuste sõltuvust ajalehtede arvust (tootmismahust) q. Vastus: Kulufunktsioon on C(q)=3000+6q. b) Leiame summaarsed kulud 100 ajalehe trükkimisel päevas: (100) = 3000 + 6 × 100 = 3000 + 600 = 3600 . Vastus: 100 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 3600 kr päevas. c) Leiame summaarsed kulud 3000 ajalehe trükkimisel päevas: (3000) = 3000 + 6 × 3000 = 3000 + 18000 = 21000. Vastus: 3000 ajalehe trükkimisel tehtavad kulutused on 21 000 kr päevas.
Kulufunktsiooni teadmine võimaldab leida kogukulusid suvalise tootmismahu korral. Tööd teeb lihtsamaks tabelarvutuse vahendite kasutamine, kus meil on võimalik muuta ka algandmeid ning mängida läbi erinevaid võimalusi. Kulufunktsiooni iseloomustamiseks saame kasutada ka vastavat graafikut.
Näide 2-4 Kulufunktsiooni graafik
25 000 Kogukulud C(q), kr
20 000
15 000
10 000
5 000
0 0 1 000 2 000 3 000 4 000
Tootmismaht q Fikseeritud kulu
Kui kulufunktsioonis võtta tootmismahuks null, siis vastav punkt graafikul näitab meile püsikulude mahtu.
8 Matemaatika ja statistika 2008/2009 2.3.2 Tulufunktsioon Müües teenust või toodet, saab firma tulu ( revenue ). Tulufunktsioon on funktsionaalne seos müüdud tooteühikute (või tegevusmahu ) ja brutotulu R