Eksponentfunktsioon Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=ax a>0 a0 1. Vaatleme juhtu kui a>0 x y=2 x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2| 3 | y |1/8|1/4|1/2| 1 | 2 | 4 | 8 | Funktsiooni uurimine 1. Määramispiirkond X=R 2. Nullkohad X0 3. Positiivsus X+=R Negatiivsus X-=Ø 4. Ekstreemum kohad Xe= Ø 5. Kasvamine ja kahanemine X=R 6. Käänukohad Xk= Ø 7. Kumeruspiirkond X= Ø Nõgussuspiirkond X=R 8. Väärtuste hulk e. muutumis piirkond Y=(0;) 9. Eksponentfunktsiooni graafik läbib alati punkti 0 ja 1 (0;1) ...
docstxt/15483508611265.txt
loga1 = 0 logaa = 1 log a = b 10b = a loga bc = loga b + loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga = loga b loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga bn = nloga b, kui b > 0 log a c log b c = log a b · Eksponentfunktsioon Kui y = ax, a > 1, siis on kasvav funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ja graafik läbib punkti (0; 1). Kui y = ax, 0 < a < 1, siis on kahanev funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ning graafik läbib punkti (0; 1). · Logaritmfunktsioon Kui y = loga x, a > 1, siis on kasvav funktsioon.
funktsioon siis on tegemist paarisfunktsiooniga, kui tulemusele saab miinusmärgi ette võtta ja sulgudesse jääb esialgne funktsioon siis on tegemist paaritufunktsiooniga. Kui teisenduse tulemusena kumbki funktsioon siis pole funktsioon ei paaris ega paaritu. Pöördfunktsioon Pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse antud funktsioonist, kui vahetada x ja y kohad ning seejärel uuesti avaldada y. Pöördfunktsiooni graafikud on summeetrilised sirge y=x suhtes. Eksponentfunktsioon x Funktsioon kujus y=a , kus a>0 ja a ei võrdu 1 ning x on mistahes reaalarv nimetatakse eksponentfunktsiooniks. Negatiivsed arvud puuduvad. Eksponentgraafik ei lõiku x-teljega! Kõik eksponentgraafikud läbivad y-telge punktis 1 a>1 0< a<1 X=R X=R X=R X= Ø
Astmefunktsioon x ' ' ' =nx x x ' ' dx = n1 C 1 2 x '= 2 x xdx = 3 x 3C x x x Eksponentfunktsioon a ' =a ln a a x dx= lna a C e x dx=e x C x x e '=e Logaritmfunktsioon 1 1 ln x ' = x x dx=lnxC 1
V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID EKSPONENTFUNKTSIOON Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv. Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral 1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga; 2) puuduvad nullkohad; 3) graafik läbib punkti (0;1);
D 2 arvu ja nii, et kehtib võrratus < . Kui funktsiooni f võrratuse märk ei muutu, st f() < (), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f() > (), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsioonigraafik tõuseb, kahanemispiirkonnas langeb. Astmefunktsioon y = , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Määramispiirkond: Eksponentfunktsioon y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 < a < 1 (kahanev). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sinx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon y = cosx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon
(((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx (arcsin (arccos (tan (log e ) xe = =nx (arctan = 1 -ln2 xxcos x1a -x xx 1+ x 2 Arcusfunktsioon Eksponentfunktsioon Trigonomeetrilised funktsioonid Logaritmfunktsioon Liitfunktsioon Eksponentfunktsioon Astmefunktsioon
....... n x n -1 y ja y' jagatise piirväärtus juhul x: y ja y' jagatise piirväärtus juhul : x x lim =1 lim =0 n x n n n · Eksponentfunktsioon astme 10 logaritmilise suurenemisega: Eksponentfunktsioonis kehtib astme 10 logaritmilisel suurendamisel funktsiooni ja tema tuletise vahel järgmine seos: x10 x100 x1000 x1000000 n
LOGARITM
Eksponetfunktsiooniks nim funktsiooni y=ax ,kus a>0 ja a=1
Eksponetfunktsiooni omadused:
*Eksponentfunktsiooni y=ax määramispiirkond on reaalarvude hulk R
*Muutumispiirkond on positiivsette reaalarvude hulk.
* Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
1Eksponentsiaalne kasv tähendab, et rakkude arv suureneb eksponentfunktsiooni järgi. Eksponentfunktsioon on selline funktsioon, mille juurdekasv on proportsionaalne funktsiooni väärtustega. Kui kasv on sünkroonne, siis kehtib valem N=N0 x2k , kus N on lõplik rakkude arv, k- jagune,iste arv N0 rakkude algkogus. Sünkroonset kasvu kirjeldab diagramm..Rakkude asünkroontset kasvamist kirjeldab valem N= N0 x e t , kus on rakkude kasvu erikiirus, t-aeg, N0 rakkude arv alghetkel. Asünkroontse kasvu korral on diagramm selline. kasvukiirus, on mikroorganismi iseloomustav suurus. Kui N= 2 N0 ,
· Funktsiooni maksimum ymax = f (xmax) · Funktsiooni miinimum ymin = f (xmin) · Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a , siis f x ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x www.andmill2.planet.ee/gmat.html
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk
x a X + = ]0;1[ f ( x) A X - = ]1; [ lim = x a g ( x) B Tuletis y = f ( x + x) - f ( x) Eksponentfunktsioon y =ax y x =R x y = ]0; [ y lim X 0 x 0 x +
vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y= loga astmes x Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks,
kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti y = x 2n, n 0, n N y = x (2n 1), n 0, n N Juurfunktsioonid y= x; x0 y3 x Eksponentfunktsioon y ax, a 0 ja a0 Logaritmfunktsioon y log a x, a 0, ja a 1, x 0 1 Kui f ( x ) a , siis f x ( x ) log a x 1 Kui f ( x ) log a x, siis f (x) a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x
Lihtintress: I=rkn, r-intressimäär, n-perioodide arv, I-intressitulu, K=k+I=k+rkn=k(1+rn), K-lõppkapital, K=rn(1+r(n-1)/2) Liitintress: K=k(1+r) astmel n, Perioodiliste sissemaksete korral: K=px(1+r)astmel n-1/r, Kui kantakse ühekordselt algkapital: K=k(1+r)astmel n+px(1+r)astmel n-1/r Kui sirge läbib punkte (x1,x2) ja (y1,y2), siis sirge tõus on a=y2-y1/x2-x1, Eelarve kitsendus avaldub võrrandina pxx + pyy = C Keskmine kulu tooteühiko kohta: AC=C(q)/q, Optimaalne arv : n=ruutjuur b/a, Eksponentfunktsioon: f(x)=a astmel x Pidev juurdekasv: K=k(1+r/m)astmel mt, m-intresse arvestatakse m korda aastas, Intresside pideva juurdearvestusemeetodi korral lõppkapital: K(t)=ke astmel rt, k-algkapital, r- aastane intressimäär, t- arvestatavate aastate arv. Pidevat kasvu kirjeldab funktsioon: y(x)=y0e astmel kx, Y0 ja k on parameetrid, Suhteline sagedus: pi=fi/f (kõik f-id kokku) Aritmeetiline keskmine: x(kriips)= x1+x2+...
y = log(1 - x) 10 y = 1 - x x = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni x = 1 - 10 y Pöördfunktsiooni määramispiirkond Y = (-; + ). Pöördfunktsiooni muutumispiirkond X = (-; 1). 13 Elementaarsed põhifunktsioonid Elementaarsed põhifunktsioonid Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = xa , kus a on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = ax, kus a on ühest erinev positiivne arv. Logaritmfunktsioon: y = log a x, kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, 15 y = arctan x, y = arccot x.
graafiku: v -25 5 u Ruutvõrratuse lahendiks loeme graafikult ruutfunktsiooni positiivsuspiirkonna: u < -25 või u > 5, kuna aga u = 5x > 0, siis vasakpoolne piirkond ( u < -25) on võõrlahendite hulk. Ülesanne 3 (IV) Parempoolsest piirkonnast saame lahendihulga, minnes tagasi esialgsele muutujale: u = 5 x > 5 = 51 Ühest suurema alusega eksponentfunktsioon on kasvav, seetõttu on viimane võrratus samaväärne võrratusega x > 1, mis ongi lahendatava võrratuse lahendihulgaks. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x > 1}.
suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y
suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y
langeb.*Konstantne funktsioon. y = C.*Astmefunktsioon kus a on nullist y=x , Lause 3. Kui jadad (Xn) ja (Yn) on koonduvad ja nende jadade üldliikmed x rahuldavad iga n e N korral võrratust Xn=Yn, siis samasugust võrratust erinev. *Eksponentfunktsioon on funktsioon j argmisel kujul: kus astme y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud
puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. Perioodilise funktsiooni graafik on määratud, kui on teada selle graafiku osa ühe perioodi pikkuses poollõigus. 9. Elementaarsed põhifunktsioonid. Elementaarfunktsioonid_ I. Astmefunktsioon: log y = α log x α irratsionaalse väärtuse korral arvutatakse see funktsioon logaritmimise ja potentseerimise teel:, (y=x astmel a) Eksponentfunktsioon: (y= a astmel x) Logaritmfunktsioon: (Y= log a X) Trigonomeetrilised funktsioonid: Nendes valemites väljendatakse sõltumatu muutuja x radiaanides. Kõik loetletud trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised Liitfunktsioon: Kui y on muutuja u funktsioon, u aga omakorda sõltub muutujast x, siis ka y sõltub muutujast x. Olgu y=f(u) ja u = ϕ (x ). Siit saame, et y=f(ϕ (x )) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mida saab anda üheainsa valemiga y=
muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t
Eksponentvõrratused © T. Lepikult, 2003 Eksponentvõrratuste lahendamine Eksponentvõrratuses esineb otsitav muutuja üksenes eksponentfunktsiooni astendajas. Lahendamisel y y = (1/2) x 8 y = 2x kasutatakse eksponentfunktsiooni monotonsuse omadust: ühest suurema aluse 5 korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad.
paarisfunktsiooniks. Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f (x) iga x puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse paarituks funktsiooniks. II. Perioodilised funktsioonid Def. Niisugust funktsiooni f (x), mis rahuldab tingimust f (x+t) = f (x) (t 0) iga x ja x t + puhul määramispiirkonnas X, nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks, vähimat arvu t aga funktsiooni f (x) perioodiks. 4. Elementaarsed põhifunktsioonid (astmefunktsioon, eksponentfunktsioon, logaritmfunktsioon, trigonomeetrilised funktsioonid, arkusfunktsioonid). Nende funktsioonide definitsioonid, määramispiirkonnad, graafikud). Liitfunktsioon. Astmefunktsioon: y = x ,kus on reaalarv a · Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, x · a 1) y = log a x
Geomeetrilise jada esimese n liikme summa summa avaldub kujul:
a q n 1
Sn 1 .
q 1
Hääbuva geomeetrilise jada (0
Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x (2n 1), n 0, n N Juurfunktsioonid y= x; x 0 y =3 x Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a x , siis f ( x ) = log a x -1 Kui f ( x ) = log a x , siis f (x) = a x Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x; y = cos x ; y = tan x 5. Arvjada ja selle piirväärtus. Aritmeetiline ja geomeetriline jada · Aritmeetiline jada
´(x) > 0. Funktsioon y = f(x) on kahanev vahemikus ]a; b[, kui ta rahuldab tingimust f ´(x) < 0. 29.Elementaarsed põhifunktsioonid. Nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone. Astmefunktsioon: y = xa Logaritmfunktsioon: y = logax Eksponentfunktsioon: y = ax Trigonomeetrilised funktsioonid: y= sin x, y =cos x, y= tan x , y = cot x Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x Eksponentfunktsioon: y = ax 30.Elementaarfunktsioonid Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest (y = kx, y = ax2 + bx + c) 31.Liitfunktsiooni mõiste
, ja kirjutatakse: y=f[g(x)]. 8. Põhilised elementaarfunktsioonid (omadused, graafikud). Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond x Eksponentfunktsioon y=a a>0,a≠1 X=(∞;∞) Y=(0;∞) Logaritmfunktsioon y=logx a>0,a≠1 a x=(0;∞) Y=(∞;∞) Siinusfunktsioon y=sinx X=(∞;∞) Y=)1;1(
Liikmete leidmine: Liikmete leidmiseks tuleb eelnev liige korrutada q-ga ja eelnevate liikmete leidmiseks tuleb järgnev liige jagada q-ga. Üldliikme valem: an=a1q a1=an/q q=an/a1 Summa valem(hajuv jada): Sn=a1(1-q ) / 1-q q=an / a1 Summa valem(hääbuv jada): Sn=a1 / 1-q 18. Astendamine: · Astendamine on astme a leidmine. · Negatiivse astendajaga aste def. Võrdusega: a = 1/a , kui a0 19. Eksponentfunktsioon: Mõiste: Eksponentfunktsioonideks nim. funktsioone y=a , kus a>0 ja a1. 20. Tõenäosus: Sündmuste liigid: Sündmuse tõenäosus on arv, mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust teatud tingimustel. Suhteline sagedus näitab, kui suur on tõenäosus mingi sündmuse toimumiseks. Tõenäosuse leiame, kui jagame soodsate (või oodatud) võimaluste arvu kõikide võimaluste arvuga. *Tõenäosust väljendatakse sageli protsentides. Näide.
Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim
0 x 0 x Määramispiirkond: 1. Kui on positiivne täisarv, siis X = (-; ); 2. Kui on negatiivne täisarv, siis X = (-; 0) (0; ); 3. Kui on positiivne murd, siis paarisarvulise nimetaja korral X = [0; ), paarituarvulise nimetaja korral aga X = (-; ); 4. Kui on negatiivne murd, siis paarisavulise nimetaja korral X = (0; ), paarituarvulise nimetaja puhul X = (-; 0) (0; ); Eksponentfunktsioon y =(1/2)x y y = 2x 1 x Määramispiirkond: X = (-; ); Logaritmfunktsioon y y = loga x 1 0 1 a x Määramispiirkond: X = (0; ) Trig. funktsioonid siinus ja koosinus y 1
funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning kõneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu. DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk täisratsionaalseks funktsiooniks. Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn. DEF 3
nimetatakse funktsiooni x = f-1 (y), mis igale arvule y Y = y (X) seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Konstantne funktsioon y = c. Astmefunktsioon y = xa Eksponentfunktsioon y = ax Logaritmfunktsioon y = logax Trigonomeetrilised funktsioonid Arkusfunktsioonid o Olgu funktsiooni y = f (u) määramispiirkond U ja funktsiooni u = f (x) määramispiirkond X. Tähistame U' = {x R | u = g (x), x x}. Kui U' U, siis saab iga x X korral leida y väärtuse: x (u =g (x)) u y ( y = f (x). See vastavus määrab piirkonnas X funktsiooni y = f (g
tõkestatud funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et | f (x)| k iga x A korral. 3. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, muutumispiirkonnad ja graafikud. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon: y = c Astmefunktsioon: y = x , kus on reaalarv. Eksponentfunktsioon: y = a , kus a on ühest erinev positiivne arv. x Logaritmfunktsioon: y = log a x , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2
Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid on y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x. y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. + graafikud ! 4. Üksühene funktsioon- Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub x ainult nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks
• Funktsiooni esitusviis on üldiselt Funktsioon(argument1, argument2, ...), kus argumendid on funktsiooni tööks vajalikud sisendandmed. • Funktsiooni argumendiks võib olla ka avaldis, mis omakorda sisaldab funktsioone. • ? Pi() Aritmeetikafunktsioonid • abs(N) - absoluutväärtus • acos(N) - arkuskoosinus • asin(N) - arkussiinus • atan(N) - arkustangens • cos(N) - koosinus • dtor(N) – kraadid radiaanideks • exp(N) – eksponentfunktsioon • int(N) – täisosa arvust N on siin mistahes arvuline väärtus või arvtüüpi avaldis Vaadake ka slaidi Tähistused andmetüüpidele Aritmeetikafunktsioonid • log(N) – naturaallogaritm • log10(N) – kümnendlogaritm • pi() – 3.14159... • rand() – ühtlase jaotusega juhuarv • round(N1,N2) – ümardab arvu N1 jättes N2 kümnendkohta • rtod(N) – radiaanid kraadideks • sin(N) – siinus • sqrt(N) - ruutjuur • tan(N) – tangens
võrratuse märk ei muutu, st ! ) < ! * , siis on funktsioon ! kasvav hulgas (. Kui aga funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja * võrratuse märk muutub vastupidiseks, st ! ) > ! * , siis on funktsioon ! kahanev hulgas (. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon on funktsioon kujul = + , kus on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest . Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul = , , kus astme alus on konstantne ja rahuldab võrratust > 0. Eeldades, et 1, siis = ja = 0, . Kui > 1 on graafik kogu oma määramispiirkonnas kasvav. Kui 0 < < 1 kahaneb graafik kogus määramispiirkonnas. Trigonomeetrilised funktsioonid on =01 , = 230 , =4 1 , = 234 radiaanides antud argumendiga . = 0 1 = = -1,1 , = 230 = = -1,1 , 2 +1
hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a = 1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). 1 Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid
3. Esitage 2 paarisfunktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paarisf-n: 4. Esitage 2 paaritu funktsiooni näidet ja kujutage nende graafikud! Paaritu f-n: 5. Nimetage elementaarsed põhifunktsioonid! Astnef-nid, eksponentf-nid, logaritmf-nid, trigonomeetrilised f-nid, arkusf-nid 6. Mis on astmefunktsioon? Esitage astmefunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Astmef-n on funktsioon, kus f-n on reaalarvulises astmes. 7. Mis on eksponentfunktsioon? Esitage eksponentfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Eksponentf-n on f-n milles sisaldub e ( ....), mis on võetud astmesse x. 8. Mis on logaritmfunktsioon? Esitage logaritmfunktsiooni näide ja koostage selle graafik! Logaritmf-n on eksponentf-ni pöördf-n. 9. Miks logaritmfunktsioon ja ja eksponentfunktsioon on koordinaatteljestiku I veerandi nurgapoolitaja suhtes sümmeetrilised? Sest nad on teineteise pöördf-nid. 10. Millega võrdub =? 11
märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon: Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y =cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4
56. Ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , kus a, b, c = R ja a 0 p n L = a1 ± Graafik on parabool: 100 -kui a>0, siis avaneb üles 68. Eksponentfunktsioon -kui a<0, siis avaneb alla y = a x , kus a > 0 ja a 1 -parabool y=ax2 on sümmeetriline y-telje F-nide y=ax ja y=(1/a)x graafikud on suhtes sümmeetrilised y-telje suhtes x1 + x 2 Eksponent f-ni(y=ax) graafik läbib Haripunkt: H x =
f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] ,
erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Kui α on positiivne täisarv, siis on funktsioon määratud lõpmatus vahemikus −∞ < x < ∞. (graafik) Kui α on negatiivne täisarv, siis on funktsioon määratud x kõigi väärtuste korral, välja arvatud x = 0. (graafik) Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ≠ 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y= x 1 =1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ∞). Kui a > 1 (graafik) Kui 0 < a < 1 (graafik)
suurused • Kui kaks füüsikalist objekti on omavahel põhjuslikus sõltuvuses on üks suurustest põhjus (argument x), teine tagajärg (funktsioon y=f(x)). • Põhjusena toimiv suurus kantakse rõhtteljele (abstsisstelg) ning tagajärjeks olev suurus püstteljele (ordinaattelg) nagu me ka katse korral tegime. • Füüsikas suuruste sõltuvuse kirjeldamiseks kasutame enamasti astme- ja eksponentfunktsiooni. Füüsikalised objektid ja suurused eksponentfunktsioon Füüsikalised objektid ja suurused • Astmefunktsioon: • - võrdeline sõltuvus (astendaja=1, graafikuks sirge) Füüsikalised objektid ja suurused pöördvõrdeline sõltuvus (astendaja=1, graafikuks hüperbool) Füüsikalised objektid ja suurused ruutsõltuvus (astendaja=2, graafikuks parabool) Füüsikalised objektid ja suurused pöördruutsõltuvus (astendaja=2) Füüsikalised objektid ja
kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
Aegridade tasandamise meetodid: libiseva keskmise meetod(Libisev keskmine keskmine on fikseeritud arvu naabervaatluste aritmeetiline keskmine. Osaperioodide arvu, mida libisev keskmine hõlmab, nimetatakse libisemissammu pikkuseks) vähimruutude meetod(Aegrea taandamine mingile geomeetrilisele joonele NT: sirge, parabool, hüperbool, polünoom, logaritmfunktsioon, eksponentfunktsioon, astmefunktsioon) Vähimruutude meetodil tasandamisel läbitakse järgmised 3 etappi: Valitakse sobiv tasandusjoon; Nn. normaalvõrrandite süsteemi või sellest tuletatud lihtsustatud võrrandisüsteemi abil leitakse empiirilist kõverat tasandava teoreetilise joone parameetrilised hinnangud, Leitakse teoreetilise joone punktide arvväärtused ning konstrueeritakse tasandusjoon(matemaatiline joon)
Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. 4. Üksühene funktsioon Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub ainult x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral
Murdosa funktsioon, graafik-
· y={x}=x-[x]
· [2,3]=2
· {2,3}=0,3
· {2}=0
· {-3,75}=0,25
23. Paarisfunktsioon-
· Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, nimetatakse
paarisfunktsiooniks
· Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus
· f(-x)= f(x)
· Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul
· y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv)
·
+
24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1
x
· .
· Määramispiirkond kõik reaalarvud
· Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud
· Graafik läbib punkti (0;1)
· Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud, siis
nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
annaabi.ee 
