Matemaatika ülesanded Sulgude avamine ja koondamine 1. Ava sulud ja koonda. 6(a1) 2(2+a) = 6a 6 4 2a = 3(2a 5) + 5( a + 3) = 0,1(10 9a) 10(1,2 0,01a)= 4(5a 6) 6( 4 + 2a) = Vastused vales järjekorras: 8a, a 13, 4a 10, 11a. 2. Eraldan ühesuguse allkriipsutusega sarnased liikmed ja seejärel koondan. 6a 5b 8a + 2b = 8b + 8a + 8b 10a= 1,7a 3,6b + 1,7a + 0,6b = 0,2a 1,2a + 4a +2b =
Hulkliikme tegurdamine 1) ühisteguri sulgude ette toomine 8y2 4y = 4y (2y 1) 2 5 4 18u v 27uv = 9uv4 (2uv 3) x2 2x = x (x + 2) 2) valemite abil a2 b2 = (a + b) (a b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b) (a2 ab + b2) 4a2 9b2 = (2a + 3b) (2a 3b) 4m2 20mn + 25n2 = (2m 5n)2 27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 6x + 4) 3) rühmitamisvõte ay + az + by + bz = a (y + z) + b (y + z) =
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse
Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x Hulkliikme korrutamine üksliikmega Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused liidetakse. Näited: 5(4x-2y)=20x-10y ; -3u(5u-v)= -15u +3uv
hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise järel samade märkidega 7.Hulkliikmete lahutamine - lahutatava hulkliikme kõik liikmed kirjutada esimese järele vastupidiste märkidega; võimalusel koondada NB miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees 8.Hulkliikme korrutamine üksliikmega - korrutatakse üksliikmega selle hulkliikme iga liige ja tulemused selgitus:
Ruutvõrrandid ja nende lahendamine 2x2 - 8x + 35 = 0 2x2 ruutliige, millest 2 on ruutliikme kordaja -8x lineaarliige, millest -8 on lineaarliikme kordaja 35 vabaliige Mittetäielikud ruutvõrrandid: a) puudub vabaliige Üldkuju: ax2 + bx = 0 Lahendamine: 2x2 = - 4x Teisendada normaalkujule 2x2 + 4x = 0 | : 2 Kui võimalik, jagada läbi x2 kordajaga x2 + 2x = 0 Tuua x sulgude ette x (x + 2) = 0 See avaldis on võrdne nulliga,kui sulgude ees olev arv on 0 või sulgude sees olev avaldis on võrdne nulliga b x1 = 0 x2 = -2 Antud ruutvõrrandi lahendid on 0 ja - a b) puudub lineaarliige Üldkuju: ax2 + c = 0 Lahendamine:
Ringi pindalaks nimetatakse ringi sisse kujundatud korrapäraste kõõluhulknurkade pindalade jada piirväärtust hulknurga tippude arvu tõkestamatul kasvamisel. Piirväärtuste omadused: lim n = n -> lim (-n) = - n -> lim c = c n -> lim 1/n = 0 n -> lim (an + bn) = A +B n -> lim (an - bn) = A - B n -> lim (an * bn) = A * B n -> lim (an : bn) = A : B, kui B 0 n -> Määramatus: / [Sulgude ette toomine] 0/0 [Sulgude ette toomine] - [a2 + b2 = (a +b)(a - b)] Ringjoone pikkus ja ringi pindala: C = 2r S = r2 C ringjoone pikkus S pindala r siseringjoone raadius R välisringjoone raadius
KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,5●(-2x) ●(-1)=7x , kordaja 7 3.2 SULGUDE AVAMINE • Korrutamise jaotuvuse seadust a(b + c) = ab + ac nimetatakse lühidalt sulgude avamiseks. ÜLESANNE 1: AVA SULUD 1) 2(x+1)= 2) 4(-2x+7)= 3) 5(- 1,2a+0,4)= 4) -2(-3,5y - 4,8)= 5) -2(a-2b+1)= ÜLESANNE1: VASTUSED 1) 2(x+1)=2x+2 2) 4(-2x+7)=-8x+28 3) 5(-1,2a+0,4)=-6a+2 4) -2(-3,5y - 4,8)=7y+9,6 5) -2(a-2b+1)=-2a+4b-2 3.3 SARNASTE LIIDETAVATE KOONDAMINE • Võrduse pooli võib vahetada a(b + c) = ab + ac ab + ac = a(b + c)
1. Kordamisteema Algebraliste avaldiste lihtsustamine Lihtsustamiseks kasutatakse: 1) Ühise teguri sulgude ette toomist. Kui on vaja muuta avaldises märke, tuleb sulgude ette tuua miinusmärk. 2) Ühise nimetaja leidmist: kui kõigi liikmete nimetajad on lahti kirjutatud, siis ühiseks nimetajaks valitakse kõige suurem nimetaja ja lisatakse teistest nimetajatest see, mida valitud nimetajas pole. Kui on tegemist astmetega, tuleb ühisesse nimetajasse suurima astendajaga tegur. 3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Ühe ja sama arvu astmed on võrdsed vaid siis, kui kui astendajad on võrdsed, järelikult 2x+10=4 2x=-6 x=-3 Kontroll: 9-3+5= 92=81 II Võrrandid, mis peale teisendusi muutuvad I tüüpi võrranditeks. Eraldi tüübina on esitatud need ülesanded sellepärast, et selliste ülesannete lahendamisel tehakse sageli vigu. Seetõttu oleks vaja eriti hoolsalt näited läbi mõelda. Näide 1. Lahendame võrrandi 3x+1+3x = 108 Kaotame summa astendajas 3x * 31 + 3x = 108 3 * 3x + 3x = 108 Toome 3x sulgude ette 3x (3+1)=108 3x * 4=108 3x =108:4 3x =27 3x=33 x=3 Kontroll: 33+1+33 = 34+33=81+27=108 Näide 2. Lahendame võrrandi 32x-2*32x-1-2*32x-2=1 Kaotame summad ja vahed astendajas 32x-2*32x*3-1-2*32x*3-2=1 Toome sulgude ette 32x 32x(1- 2/3 -2/9) =1 32x * 1/9 =1 32x = 1: 1/9 32x = 9 32x = 32 2x = 2 x=1 Kontroll: 32*1-2*32*1-1-2*32*1-2= 9-2*3-2*1 = 9-6-2=1 III Eksponentvõrrandi taandamine ruutvõrrandiks muutujavahetuse abil. Näide 1. Lahendame võrrandi 9x-2*3x-3=0 32x -2*3x-3=0
Tõenäosus Tegevust , kus võimalik tulemus ei ole ette teada nimetatakse katseks. Katse tulemust nimetatakse sündmuseks Sündmust , mis võib toimuda või mitte toimuda nimetatakse juhuslikuks sündmuseks Sündmus mis toimuks igaljuhul nimetatakse kindlaks sündmuseks Sündmuse tõenäosus on arv , mis iseloomustab sündmuse toimumise võimalikkust antud tingimustel. Variatsiooni ulatus Variatsiooni ulatus on tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe Sulgude avamine Sulgude avamisel kasutatakse korrutamise jaotuvuse seadust. Miinus märk sulu ees muudab märgi sulu sees. Sarnaste liidetavate koondamine Sarnased liidetavad erinevad üksteisest kordaja poolest või ei erine üldse Sarnaste liidetavate liitmist nimetatakse koondamiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus Võrrand on võrdlus mis sisaldab tundmatut Võrrandi lahendiks on kõik tundmatu väärtuse mille korral võrdus muutub tõeseks
4. x4 n x3 n = x3 n ( x n -1) 5. 25 c2 = (5 c)(5 + c) 6. (v + b)2 n 2 = ((v + b) +n)((v + b) n )= ( v +b + n)(v + b n ) 7. m 2 +6m + 9 = (m + 3)2 8. 9a 2 6a + 1 = (3a -1)2 9. 27s 3 8d 3 = (3s 2d)(9s 2 + 6 s d + 4d 2) 10. 64 + f 3 = (4 + f )(16 4f + f 2) b · Kaksliikmes a + b tuua sulgude ette a: a + b = a( 1 + ). a · Taandada murd: a -b a -b 1. = = -1 b - a - ( a - b) a 3 - 2a 2 a 2 ( a - 2) a2 2. = = a2 - 4 ( a - 2)(a + 2) a + 2 a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b) = a - b 3. 2 a + 2ab + b 2
x w y Põhiseoste kehtivus tuleneb elementaarsete loogikatehete definitsioonidest: konjunktsioon disjunktsioon distributiivsus : (sulgude nn. "lahtikorrutamine" ja "lahtiliitmine) x( y w z) = x y w xz x ( y z) = (x w y)(x w z) w
avaldis, aga märk ei klapi... siin on selleks see juurealune x-ruut pluss 4 . Nii lahendame, ma üritan lahendada teatud sellise sammsammulise loogikaga, nagu peaks lähenema asjale palavikulise kontrolltöö ajal.. see tähendab, prioriteetide kaupa lahendamist... 1) kõigepealt, ahaa, tegu ,,lõpmatus lõpmatus" tüüpi määramatusega, siis võib aidata see, kui tuua kõige kõrgema astmega x sulgude ette ja nii saab lõpmatust nulliks taandada: lim x ( x + 4 - x ) = lim x x (1 + x ) - x = 2 2 4 2 x x 4 4 = lim x x (1 + 2 ) - x = lim x x (1 + 2 ) - 1 = x x x x
punkti taha, olenemata sellest, kas sõna aasta on välja kirjutatud või lühendatud. Näide: Sündinud 15. märtsil 1961. aastal Tallinnas. Kui kuu on tähistatud Rooma numbriga, kirjutatakse see mõlemalt poolt lahku: XII õiguskeelepäev peeti 8. XII 2004 Tallinnas. Araabia numbritega väljendatud kuupäevaarvu sisse tühikuid ei käi: Leping on sõlmitud 12.07.2000. a. SULUD Põhiprobleem on see, kas jätta tühik sulgude ja sulgude sees oleva tekstiosa vahele. Õige on kirjutada mõlemalt poolt kokku, alustava ehk lahtisulu järele ja lõpetava ehk kinnisulu ette ei jäeta sõnavahet. Näide: Dokumendis on 12 (kaksteist) kõidetud lehte. Sõna sees olevad sulud kirjutatakse sõnaga kokku: aktsept(eer)ima Kui kinnisulule järgneb lauses koma, punkt vms kirjavahemärk, kirjutatakse see suluga kokku: Lepinguosalised on Paul Kuusk (edaspidi: müüja), sündinud 27.05.1972. a.
kordaja poolest. Sarnaseid liidetavaid saab liita ja lahutada, seljuhul tehe tuleb teha kordajatega, muutuja osa jääb samaks. Sarnaste liidetavate liitmist, lahutamist nimetatakse koondamiseks. Korrutise lihtsustamine: Korrutise lihtsustamisel korrutatakse kõigepealt kordajad (arvud), seejärel muutujad tähestikulises järjekorras. Kahe muutuja ning arvu ja muutuja vahele ei pea korrutusmärki kirjutama. Sulgude avamine: Sulu ees või järel oleva arvuga või avaldisega tuleb sulus kõik liikmed korrutada. Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees. Kui pärast sulgude avamist tekib sarnaseid liikmeid, siis tuleb need koondada. Võrrand: Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab muutajat ehk tundmatut. Muutuja väärtuse leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks ning saadud muutuja väärtust võrrandi lahendiks. Muutuja väärtuseks peab olema arv, mis asendades võrrandisse muutja
xa lim [C f ( x)] = C lim f ( x) x a x a x lim 1 1 + = e ; x R x x lim sin x =1 x 0 x x lim r r 1 + = e x x lim tan x =1 x 0 x lim Kui funktsioon y = f(x) on pidev kohal x=a, siis f ( x) = f (a) x a Tegurdamine: 1. Sulgude ette toomine 2. Korrutamise abivalemid a2 b2 = (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 3. Rühmitamine 4. Ruutkolmliikme tegurdamine ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
(2`) Kus (x0,y0) on suvaline fikseeritud punkt piirkonnas D. Seosed (2) ja (2`) on samaväärsed. Eralduvate muutujatega DV M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0, kus M1(x), N1(y), M2(x), N2(y) on antud F-d. Sellest F-st saame tuua mittesobivad M ( x) N ( y) N1 ( y )M 2 ( x) 1 dx + 2 dy = 0 liikmed sulgude ette, ning saame M 2 ( x) N1 ( y ) Et korrutis oleks 0 peab 1 tegurites olema =0 seega N 1(y)=0 ja M2(x)=0, võo kant sulgudes olev avaldis. Homogeenne DV Def1 F-ni F(x,y) nim. -astme homogeenseks F-ks, kui kehtib seos F (tx, ty ) = t F ( x, y ) , t > 0, ( x, y ) D alfa võib olla suvaline R-arv, ka 0 Def2 DV y`=f(x,y) nim. homogeenseks, kui f(x,y) on 0-astme homogeenne f-n: F(tx,ty)=f(x,y), t>0
liikunud üles mööda kaldpinda teepikkuse s võrra. Vaja leida a(s) ja vs(s) Lahendus: T1= T2= T3=+ T4= N=cos*FG1 WFH= -uNs=-0,3*cos * m1*g *s WG1=-m1*g*sin *s WM=-M2 WG4= m3*g*s3 + m4*g*s3 Lähtudes seaduspärast T= W saan võrrandi: T1+ T2+ T3+ T4= WFH+ WG1+ WM+ WG4 + + + + = -0,3*cos*m1*g*s - m1*g*sin*s - M2 + m3*g*s3 + m4*g*s3 Sooritan teisendused: I2= s= 2*r Vs=2*r V3== + + + + = -0,3*cos*m1*g* 2*r - m1*g*sin* 2*r - M2 + m3*g* + m4*g* Toon sulgude ette ühised tegurid + + + + )= g*2*r (-0,3*cos*m1 - m1*sin - + +)|:r Arvud asemele *0,5*2,75= 2*9,8*1,3 *1,37= 2*12,7 |: 1,37 2 = s/r=s/0,5=2s 2 =vs/r=vs/0,5=2vs 2vs*=vs |:2vs =2,32 m/
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a + b - c a - (b - c) = a - b + c Tehted harilike murdudega a c a±c a c ac a c a d ad ± = · = : = · =
Kõik tehted ÜHISOSA asendada tehtega ÜHEND Kõik TÄIENDID jäävad asendamata Esimene võrdub 5. parempoolses Teine võrdub 8. parempoolses Kolmas võrdub 9. parempoolses Neljas võrdub 2. parempoolses Viies võrdub 4. parempoolses Kuues võrdub 1. parempoolses Seitsmes võrdub 6. parempoolses Kaheksas võrdub 7. parempoolses Üheksas võrdub 3. parempoolses Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel? Esimene põhiseos on neeldumine Teine põhiseos on sulgude lahtiliitimine Kolmas põhiseos on DeMorgani seadus Neljas põhiseos on kleepimine Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks? 4 Millised järgnevad võrdused on korrektsed Grassmanni valemid? Kolmas (3) Neljas (4) Millised tehted võivad sisalduda hulgaavaldise Cantori normaalkujus? Ühend, täiend, ühisosa Mis on (lõpliku) hulga võimsus? Hulgas sisalduvate elementide arv
Murru taandamine Algebraliste murdude taandamiseks kasutatakse: 1) ühise teguri sulgude ette toomist 4x + 8 4( x + 2) 2 N = = 2 x + 4 x 2 x( x + 2) x 2 2) abivalemeid 5a - 50 5( a - 10) 5 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) N = = a - 100 ( a + 10 )( a - 10 ) a + 10 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
positiivne arv siis, kui 1) kõik arvud on positiivsed 2) negatiivseid arve on paarisarv negatiivne arv siis, kui 1) üks on positiivne ja teine negatiivne arv 2) negatiivseid arve on paaritu arv NB! 0-ga korrutamisel on vastus alati 0, näiteks 0 · ( -2) = 0 NB! 0 jagatud mistahes arvuga on alati 0, näiteks 0 : ( -2) = 0 NB! mistahes arvu 0-ga jagada ei saa, näiteks -2 : 0 = vastus puudub TEHETE JÄRJEKORD suunaga vasakult paremale 1) sulgude olemasolul tehted selle sees 2) kõik astendamised, korrutamised, jagamised selles järjekorras nagu nad vasakult paremale on 3) viimasena kõik liitmised, lahutamised selles järjekorras nagu nad vasakult paremale on
5. Kustuta üleliigsed tähed ja muuda järgnev tekst punaseks: See on ligu esimene rida. Iga sna vahel käib üks tühik. Kirjavahemärgi ette ei panda tühikut, tühik pannakse selle järele. Kui sna ei mahu reale, vahetab arvuti ise rida. Teksti sisestamine ja toimetamine toimub sealt, kus asub tekstikursor (vilkuv püstkriips). Ligu lpetab vajutus enter klahvile. 6. Suurenda pealkirja tähesuurust kaheksateistkümnele punktile. 7. Kirjuta sulgude sisse oma nimi kaldkirjas. Minu nimi on (AlvaroMati Viilver).
Raudvara 2.peatükk 1. Tegurdamine - - Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega
Lahend u2 = -2 ei sobi, kuna 3 -2 2x Lahendist u1 = 3 saame: 32 x = 3 32 x = 31 1 2x = 1 x= 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Eksponentvõrrandi lahendamine 3. Sulgude ette toomise võte. Näide 2 x +1 2 x -1 Lahendame võrrandi 5 + 2 5 2x + 5 = 900 5 2 x +1 + 25 + 5 2x 2 x -1 = 900 52 x-1 (52 + 2 5 + 1) = 900 5 2 x -1 36 = 900 52 x-1 = 25 = 52
xx4 3 00 1 0 1 1 01 0 1 0 1 11 x x x x 10 1 1 x x MDNK: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Olga Dalton 104493 IAPB21 3. Toon mõne liikme sulgude ette ja teisendan {NAND} elementbaasi. Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y {Y Y { Y Y Y Y Y Y Y Y Y {Y Y { YY Y Y {Y { {Y Y Y { YY Y Y {Y Y { {Y { Y Y Y Y Y Y {Y ÉY { }{Y ÉY {} Y {Y ÉY { } {{Y ÉY {ÉY {É {Y É{Y ÉY {ÉY { 4
ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on „peidetud” sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE – LAHUTAMINE 1) tegurda nimetaja 2) leia ühine nimetaja ühine nimetaja arvudele 4 ja 6 on 12 ühine nimetaja üksikutele tähtedele a 3 ja a on a 3 b ja b on b
ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on ,,peidetud" sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE LAHUTAMINE 1) tegurda nimetaja 2) leia ühine nimetaja ühine nimetaja arvudele 4 ja 6 on 12 ühine nimetaja üksikutele tähtedele a 3 ja a on a 3 b ja b on b
Näide: Näites kirjutati astme omadusi kasutades eksponendid lahti ning korrutati kolmega läbi. Seejärel tehti asendus u=3x ning saadi ruutvõrrand uue muutuja suhtes. Sealt saame lahendid u1 = 3 ja u2 = -2, aga -2 on võõrlahend, sest 3x ei saa kunagi võrduda -2'ga, seega on lahend u=3 ning sealt saame 3x=3 ehk x=1. 3) Sulgude ette toomine Vahel saab sarnaste suurustega eksponentide olemasolul tuua vähim aste sulgude ette ning võrrand muutub kiiresti lihtsaks lineaarvõrrandiks. Näide: Näites toodi sulgude ette vähim eksponent 52x-1 ning sulu sisse jäi 36, seejärel jagati võrrandi mõlemaid pooli 36'ga, saades paremale poole 25, mis on 52,
Kirjutamisel on kaks varianti if(tingimusavaldis) if(tingimusavaldis){ { lause1; lause1; lause2; lause2; }else{ } lause3; else lause4; {lause3; } lause4; } {}sulgude paigutus oma valida, kuid programmi lihtsamaks lugemiseks on soovitatav kindlasti kasutada taandeid. Tingimus koosneb alati kolmest osast- muutuja nimi, operaator, väärtus Näiteks: if(abi>=3) kui muutuja abi suurus on suurem või võrdne 3-ga if(abi=="kool") kui muutuja abi väärtus on samaselt võrdne sõnaga "kool" if(abi==kool) kui muutuja väärtus on samaselt võrdne muutuja kool väärtusega Tingimus if(muutuja tehtemärk väärtus) a>5
tõsta esile tumedas trükis. 3. Reavahe jäta 1,5, sest siis on lihtsam lugeda ja saab teha rea kohale parandusi. 4. Tekstilõikude vahele jäta tühi rida. 5. Joonda teksti servad mõlemalt poolt, sest see jätab tööst korrektsema mulje. 6. Teksti trükkides jäta meelde, et kirjavahemärgid pannakse kohe vahetult sõna järele, alles siis tuleb tühik. Erandiks on sulud ja jutumärgid, mis trükitakse mõlemalt poolt kokku sulgude või jutumärkide sisse jäävate sõnadega, tühikut vahele ei jäeta (nt Huvitavat materjali leidsin Tiit Hennoste kogumikust ,,Kommikoer ja pommikoer"). Viitamine Nii referaadis kui ka igasuguses muus tekstis , milles kasutatakse katkendeid raamatutest, artiklitest, uurimistöödest jne, tuleb viidata allikale. Enda nime all teiste inimeste mõtteid esitada ei tohi. Referaadis pannakse kasutatud lause või lõigu järele sulgudesse viide selle allikale:
.. ...keskmine hulgaavaldis parempoolsele diagrammile vastab... ...parempoolne hulgaavaldis Küsimus 10 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel ? kolmas põhiseos on... DeMorgani seadus esimene põhiseos on... neeldumine neljas põhiseos on... kleepimine teine põhiseos on... sulgude lahtiliitmine Küsimus 11 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 vali õige verbaalne nimetus igale hulgaavaldisele: 5. avaldis on: hulkade lahutamine (vahe) 2. avaldis on: hulkade võimsuste summa 9. avaldis on: üks hulk on teise osahulgaks 1. avaldis on: hulkade ühisosa 6. avaldis on: ühendi täiend 4. avaldis on: hulkade summeetriline vahe 7
• Kui W ja M on hulgateooria valemite tähised, siis järgnevad kirjutised W&M, WÚM, WÉM, WÛM on hulgateooria valemid • Kui W on hulgateooria valemit tähistav kirjutis, milles pole kõrvuti tähistest x, ", $ koostatud kirjutisi "x või $x, siis kirjutised "xW ja $xW on hulgateooria valemid • Kui W on hulgateooria valemit tähistav kirjutis, siis (W) ning [W] on hulgateooria valemid. NB! Kokkulepe: {W} ei ole hulgateooria valem Soovitus: Ärge koonerdage sulgude kasutamisega! Näiteks kirjutage "xW ja $xW asemele ("x)W ja ($x)W „Ilusate“ sulgude kasutamisest Tuletame siinkohal meelde, et „ilusate“ sulgude ehk märkide { , } korral leppisime eespool kokku, et neid ei kasuta siis, kui kõneleme, et „valem sulgudes“ on samuti valem. Ehk siis – kui W on valemi tähis, siis on valemi tähiseks ka kirjutis (W) ning [W], kuid mitte kirjutis {W}. See aga ei tähenda, et „ilusad“ sulud hulgateoorias üldse keelatud oleks.
-5y = -5, kust y = 1. Leiame nüüd x. Selleks asendame leitud y väärtuse võrdusesse (1). Saame, et x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1) Mõningate võrrandisüsteemide lahendamisel tuleb süsteemis olevaid võrrandeid kõigepealt lihtsustada. Näide 6. Lahendame võrrandisüsteemi Korrutame esimese võrrandi mõlemad pooled 12-ga, teise võrrandi puhul korrutame 56-ga. Selle tulemusena saame võrrandisüsteemi , millest peale sulgude avamist ja sarnaste liikmete koondamist saame võrrandisüsteemi Selle võib nüüd lahendada liitmisvõttega, korrutades eelnevalt esimese võrrandi pooled 23-ga ja teise võrrandi vastavad pooled 2-ga. Selliselt lahendades saame vastuseks x = 7 ja y = 5. Märkus: ehkki siintoodud näidete puhul pole tehtud lahendite kontrolli, ei tähenda see seda, et vastust poleks vaja kontrollida. Eksamitöös tuleb kontroll kindlasti teha.
4. Hulkliikme jagamine üksliikmega 4.1. Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb selle hulkliikme iga liige jagada antud üksliikmega. 4.2. Kui liikmete vahel on + või -, siis taandada ei tohi. 5. Tegurdamine 5.1. Tegurdamiseks nimetatakse avaldise kirjutamist korrutisena. 5.2. avaldis=millega saab jagada(SÜT) jagamise vastus 5.3. Tegurdamine tähendab ühise teguri sulgude ette toomist. 6. Kaksliikmete korrutamine 6.1. Esimese kaksliikme iga liikme korrutan teise kaksliikme iga liikmega. Kui võimalik, siis koondan 7. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis 7.1. Korrutamise abivalem (a+b)(a-b)=a2-b2 1) Ühes sulus +, teises -. 2) Sulgudes võrdsed liikmed. 3) Vastuse liikmete järjekord – sulu põhjal. 4) Vastuses liikmete vahel -. 5) Vastuses liikmete ruudud. 8
Mitme hulga diagramm on suurim Venni diagramm, mis osutub piisavalt ülevaatlikuks ja kasutuskõlblikuks ? ( sisesta number või sõna ) Vastus: 4 Küsimus 11 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised nimed on järgnevatel hulgaalgebra põhiseostel ? esimene põhiseos on... neeldumine kolmas põhiseos on... DeMorgani seadus teine põhiseos on... sulgude lahtiliitmine neljas põhiseos on... kleepimine Küsimus 12 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Sea vastavaks: Milline hulgaavaldis esitab millise Venni diagrammi rohelist hulka/piirkonda ? parempoolsele diagrammile vastab... ...parempoolne hulgaavaldis vasakpoolsele diagrammile vastab... ...keskmine hulgaavaldis keskmisele diagrammile vastab... ...vasakpoolne hulgaavaldis Küsimus 13 Õige
Vali üks või enam: Hasse diagramm tõeväärtust omava lause kaudu, mis on tõene iga hulgaelemendi korral hulgaelementide täielik loetelu loogikaavaldis numbriline kümnendesitus hulgaelementide osaline loetelu, millest nähtub mingi regulaarne seaduspärasus tõeväärtustabel Venni dagramm koos hulgaelementidega Küsimus 19 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Hulgaelementide loetelut esitatakse Vali üks: [ nurksulgude vahel ] { loogsulgude vahel } ( tavaliste sulgude vahel ) Küsimus 20 - Õige / Hinne 1,00 / 1,00 kas järgnev väide on õige või vale ? tühi hulk ja universaalhulk on iga hulga osahulkadeks. Vali üks: Tõene Väär
Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega. Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3. Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0 Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 4) = 0 Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 4 = 0 Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2. Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x 6. Lahendus .Toome võrrandi kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki ja teisendame siis selle poole korrutiseks: x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0; x2(x 3) -2(x 3) = 0;
moodustavad aritmeetilise jada: a – 2; aq; aq2 – 4. Kuna aritmeetilise jada iga liige, peale esimese, on oma kahe naaberliikme aritmeetiline keskmine, siis saame a 2 aq 2 4 aq ; 2 2aq aq 2 a 6; aq 2 2aq a 6. Koostame võrrandisüsteemi a aq aq 2 42 aq 2 2aq a 6. Lahendame selle. Toome mõlemast võrrandist a sulgude ette ning jagame esimese võrrandi teisega: a 1 q q 2 42 ; a 1 2q q 2 6 a 1 q q2 42 ; a 1 2q q 2 6 1 q q 2 7; 1 2q q 2
Kui avaldises on liikmed, mis on ühesugused või erinevad ainult arvulise kordaja poolest, siis nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks. Näiteks: a + a + a = 3a a * a * a * a = a4 a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust. Tundmatu väärtus on võrrandi lahend. Võrrandil võib olla:
(.) - mikropaus: 0,2 sekundit või lühem (...) - pikem paus (1.2) - pausi pikkus sekundites P: teie ikka `esinete seal=võ. (...) T: jaa (...) P: meie=`ka? Poolelijäänud sõnad si- kol- kolmapäeval Pealerääkimised V: .hh ahaa et sõidad minu juurest ´läbi võtad [sel-] H: [võt-] võtan sul selle `massina `ära. A: ma tahtsin [seekord] veel natuke rohkem B: [mhmh] Ebaselgused {või} - loogeliste sulgude sees on halvasti kuuldud tekstilõik või kõneleja nimi {-} - ebaselgeks jäänud sõna või kõneleja {---} - pikem ebaselgeks jäänud lõik (...) ((ema kisub kommipakki lahti)) L: {---} E: $ a see ei `tulegi lahti, ta on nii kõvasti `kinni. $ I: ta=tab `mahla. (...) P: {-} `viinamarja`mahla. Kommentaarid 1 · litereerija kommentaarid ja seletused situatsiooni kohta ((tuleb laua juurde)), ((sööb samal ajal)), ((ütleb H-le)), ((küünitab
Vastus: Geomeetrilise jada tegur on . 3 3. Geomeetrilise jada esimese ja kolmanda liikme summa on 15, teise ja neljanda liikme summa on 30. Leia jada. Lahendus: Ülesande tingimuste kohaselt: a1 + a3 = 15 ja a2 + a4 = 30. Olgu jada tegur q ja esimene liige a. Avaldades kõik liikmed esimese liikme ja teguri kaudu, saame võrrandisüsteemi: a + aq 2 = 15 3 . aq + aq = 30 Toome esimesest võrrandist sulgude ette a, teisest võrrandist aq ning jagame teise võrrandi esimesega: ( a 1 + q 2 = 15 ) ( aq 1 + q 2 = 30, ) ( a 1 + q 2 15 = , ) ( aq 1 + q 2 30 ) 1 1 = , q 2 q = 2. Asetades saadud q väärtuse esimesse võrrandisse, saame a(1 + 4) = 15, millest 5a = 15; a = 3. Otsitav jada on 3, 6, 12, 24, ... Kontroll:
2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks arvudest on null, seega kas x = 0 või 3x + 6 = 0, millest x = 2. Vastus: x1 = 0, x2 = 2. 2) Kui 0,5x2 23 = 0, siis 0,5x2 = 23, millest x2 = 46. Järelikult x1 = - 46 ja x 2 = 46 . 3) Seda tüüpi võrrandi lahenditeks on alati 0 ja 0. Kui jagame võrduse 3x2 = 0 mõlemad pooled arvuga (3), siis saame võrrandi x2 = 0, millest x1 = x2 = 0.
Küsimus 1 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige või vale: ? Pikk inversioon avaldise mingi osa kohal on samaväärne sulgude olemasoluga avaldise selle osa ümber Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millisel tingimusel on 2 loogikaavaldist teineteisega võrdsed ? Vali üks või enam: . . . siis, kui neil mõlemal on täpselt samasugused tõeväärtustabelid . . . siis, kui mõlemas avaldises sisalduvad samad muutujad ja samad loogikatehted . . . siis, kui mõlemad sisaldavad samu loogikamuutujaid . .
Alustatud teisipäev, 15. detsember 2020, 16.48 Olek Lõpetatud Lõpetatud teisipäev, 15. detsember 2020, 16.58 Aega kulus 9 min 25 sekundit Hindepunktid 24,00/24,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Hulgaelementide loetelut esitatakse Valige üks: ( tavaliste sulgude vahel ) { loogsulgude vahel } [ nurksulgude vahel ] Küsimus 2 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Kuidas nimetatakse mingi hulga kõikide osahulkade hulka ? ( sisesta ühesõnaline vastus ) Vastus: astmehulk Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
p = ( M + m - dm)(v + dv ) + (v + v g )dm. dm M + m - dm vg + v v + dv Et süsteemile välisjõude eelduse põhjal ei mõjunud, siis impulsi jäävuse põhjal p = p0 , kolme viimast valemit kokku võttes saame siit pärast sulgude avamist ja sarnaste liidetavate koondamist vahetulemuse ( M + m)dv = -v g dm . Siin oleme sulgude avamisel jätnud arvestamata liidetava dmdv kui teist järku lõpmata väikese suuruse. Minnes üle vektorite moodulitele arvestame, et vektorid dv vg ja on vastassuunalised, mistõttu saame pärast muutujate eraldamist dv dm = vg M + m
= tan cos cos tan = sin 1 1 + tan 2 = tan cot = 1 cos 2 1 cos tan = = cot cot sin 2. Ühise teguri sulgude ette toomist 3. Ühise nimetaja leidmist 4. Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Näited: 1. (1 - sin )(1 + tan ) - cos = cos 1 2 2 2 2 - cos 2 = 1 - cos 2 = sin 2
Näide: x 2 3 3 x2 m t) a n n a m , kui a 0, m Z , n N 3 Näide: x 4 4 x 3 2) Korrutamise abivalemid a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 d) (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3) Hulkliikme lahutamine teguriteks a) Ühise teguri sulgude ette toomine Näide: 6a 2b 12a 3b 4 18a 4b3 6a 2b 1 2ab3 3a 2b 2 b) Valemite kasutamine (1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) (3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) Näide: 125a 3 8b3 5a 2b 25a 2 10ab 4b 2 (4) a – b = a b =
ruutvõrrand. Kui normaalkujulises ruutvõrrandis on kõik kolm liiget olemas (üheski kordaja pole 0), siis on tegemist täieliku ruutvõrrandiga. Kui ruutvõrrandis puudub lineaarliige või vabaliige või need mõlemad, siis see võrrand on mittetäielik ruutvõrrand. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja a = 1, nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks. 16. Kuidas lahendada mittetäielikku ruutvõrrandit? Puudub vabaliige: 1) Toome ühise teguri sulgude ette. Nii saame uue võrrandi, mille vasak pool on kahe teguri korrutis. 2) Korrutis võrdub nulliga, kui üks tegureist võrdub nulliga. 3) Saame võrrandile kaks lahendit: väiksema lahendi tähistame x1 ja suurema lahendi tähistame x2 4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse Puudub lineaarliige: 1) Viime ruutliikme vasakule, vabaliikme paremale 2) Jagame ruutliikme kordajaga 3) Leiame x (x võrdub plusssmiinus ruutjuurega vabaliikmest) 4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse 17
annaabi.ee 
