MAATRIKSALGEBRA (0)

1 Hindamata

Lõik failist

MAATRIKSALGEBRA
1. Maatriksi mõiste ja liigitus
Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub.
Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . .
Maatriksi üldkuju on:
A = .
Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul:
A = mn.
Maatriksi erikujud:

Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks.
Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali.

Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks - reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ).

Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks -veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks A = .
Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks.

Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks;
näiteks A = .

Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud , siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´;
näiteks
A = , siis AT = .

Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaalist väljaspool asuvad
elemendid on nullid, nimetatakse diagonaalmaatriksiks;
näiteks
A =
.

Diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on ühed, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E; näiteks
E = .
8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või θ.
2. Tehted maatriksitega
Olgu antud maatriksid A = ( aik )

Lae alla, et näha rohkem ▪ ▪ ▪

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 28 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-09-06 Kuupäev, millal dokument üles laeti

27 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

RaulR Õppematerjali autor

Maatriksite lahendamine

maatriks lahend determinant veeru võrrandisüsteem lineaarse maatriksiks maatriksite kogutoodang võrrandisüsteemi veerg

Sarnased õppematerjalid

doc

Maatriksi algebra

3A = - 6 0 21 . 15 -3 12 5. Maatriksite korrutamine. Olgu antud maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln. Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt: cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk. Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks. Näide: 2 - 1 3 2 8 1 1 - 3 11 0 AB = 1 -4 0 × 3 0 1 = 7 14

Kõrgem matemaatika

pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks 2. Maatriksid: liitmine, arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine. Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Kuigi maatriks on iseenesest lihtsalt tabel, pakuvad maatriksid huvi eelkõige sellepärast, et maatriksi elementidega tehtavate tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) abil on võimalik defineerida tehted maatriksitega. Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks

Kõrgem matemaatika

doc

Lineaaralgebra täielik konspekt

püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -4 2 Näide 1: Antud maatriks A = . Siin A2x3 , a12 = - 4, a23 = -6,5 . 0 1 - 6,5 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m . Definitsioon 2

Kõrgem matemaatika

rtf

Maatriksid

a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 - 4 2 A = Näide 1: Antud maatriks 0 1 - 6,5 . Siin A , a = - 4, a = -6,5 . 2x3 12 23 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m

Matemaatika

doc

Õppematerjal

seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS. Kui skalaarmaatriksi peadiagonaali elemendid võrduvad ühega, siis nimetatakse seda maatriksit ÜHIKMAATRIKSIKS ja tähistatakse E. DEFINITSIOON 3. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali all (või kohal) olevad elemendid on kõik nullid, st akl = 0, kui k > l (või k < l ), siis nimetatakse maatriksit KOLMNURKSEKS. DEFINITSIOON 4. Öeldakse, et maatriks Am×n on TRAPETSKUJULINE, kui elemendid tema nullist erinevate elementide a11, . . . , akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest. St kui Am×n jaoks a11a22 . . . akk 0, k min(m, n), siis tema trapetskuju on järgmine: a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn

Kõrgem matemaatika

doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

Kõrgem matemaatika

doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei muutu

Lineaaralgebra

doc

algebra konspekt

tingimuse determinandi võrdumiseks nulliga. Mis sisaldab ka tingimusi 1,2 ja 3. Nimelt võrdub determinant nulliga parajasti siis kui determinandi read veerud on lineaarselt sõltuvad. Tehted ruutmaatriksitega A=(aik) ja B=(bik) Maatriksid A ja B loetakse võrdseteks kui nende vastavad elemendid on võrdsed, so A=B kui aik=bik. Maatriksite A ja B summaks A+B nim maatriksit mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summa so A+B=(aik+bik) Transponeeritud maatriks Maatriksit (aki) mis on saadud maatriksist A=(aik) ridade ja veergude ümbervahetamisel, nim maatriksi A transponeeritud maatriksiks ja märgitakse sümboliga A või A´ A=A`=(aki) Ühikmaatriks n²- maatriksit E, mille peadiagonaali elemendid on ühed ja ülejäänud elemendid on nullid, nim ühikmaatriksiks. Ühikmaatriks on korrutamisel neutraalne AE=EA=A Adjungeeritud maatriks Aik maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transporeerime selle.

Algebra ja analüütiline geomeetria

Rohkem sarnaseid