Maatriksi algebra (2)

Eesti Maaülikool - Matemaatika - Kõrgem matemaatika

5 VÄGA HEA

MAATRIKSALGEBRA
1. Maatriksi mõiste ja liigitus
Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub.
Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . .
Maatriksi üldkuju on:
A = .
Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul:
A = mn.
Maatriksi erikujud:

Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks.
Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali.

Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks - reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ).

Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks -veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks A = .
Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks.

Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks;
näiteks A = .

Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud , siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´;
näiteks
A = , siis AT = .

Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaalist väljaspool asuvad
elemendid on nullid, nimetatakse diagonaalmaatriksiks;
näiteks
A =
.

Diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on ühed, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E; näiteks
E = .
8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või θ.
2. Tehted maatriksitega
Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ).

Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed.

Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks
A =
j a B = , siis A + B = .
3. Maatriksite A ja B vaheks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik – bik; näiteks
A =
j a B = , siis A - B =.
Maatriksite liitmisel ja lahutamisel kehtivad järgmised arvutusseadused:
1. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C;
2. A + B = B + A;

A + O = A.

Maatriksi korrutamisel nullist erineva arvuga c, korrutatakse kõiki elemente selle arvuga cA = ( caik ); näiteks
3A = .

Maatriksite korrutamine .
Olgu antud maatriksid A = ( aik )ml ja B = ( bik )ln.
Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik leitakse järgmise eeskirja kohaselt: cik = ai1b1k + ai2b2k + . . . + ailblk.
Korrutise tulemusena saadakse mn tüüpi maatriks.
Näide:
AB =
= .
Maatriksite korrutamine allub järgmistele arvutusseadustele:

A ( BC ) = ( AB ) C;

c( AB) =( cA )B;

( A + B )C = AC + BC

AB ≠ BA

Maatriksite astendamine : An = A A A . . . A.
Ülesanded:
1.Teostada tehted: 2 ( A + B) ( 2B – A ), kui
A =
ja B = .
2.Leida ABT + BAT, kui
A = ja B =.
3. Leida A2 – 3A + 5E. Kui A = .
Determinant .
Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA:
DA = .
Arvutuseeskiri on olemas II ja III järku determinantide arvutamiseks:
1. DA =
= a11a22 – a12a21;
2. DA = = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 -
– a31a22a13 – a21a12a33 – a23a32a11.
Näide 1. Arvutada determinant: D =
= 7 – 8 = -1.
Näide 2. . Arvutada determinant: D = = -19.
Determinandi põhiomadused.
1. Determinandi väärtus ei muutu tema transponeerimisel.
Märkus: kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad ka veergude kohta.
2. Kui determinandi üks rida koosneb nullidest, siis determinant võrdub nulliga.
3. Kui determinandis on kaks võrdset rida, siis determinant võrdub nulliga.
4. Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga.
5. Kui determinandi üks rida on esitatav teiste ridade lineaarse kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga.
6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks.
7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda.
8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga.
Miinorid ja alamdeterminandid.
Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik.
Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik .
Dik = (-1)i+kMik.
Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi.
Teoreem: Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga : DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või
DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk.
Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal.
DA =
= -3 + 7(-1) + (-1) +
+ 4(-1) =
Lihtsustamisel on soovitav kasutada järgmist algoritmi.

Valida determinandis juhtrida või – veerg ( soovitavalt selline, milles leidub element 1 või -1 ja mille ülejäänud elemendid oleks võimalikult väikesed;

valida juhtreast või –veerust juhtelement, mille abil teisendatakse kõik ülejäänud juhtrea või –veeru elemendid nullideks( kasutades omadusi 7 ja 8);

arendada determinant, kasutades teoreemi.
Märkus: Kui determinandis ei esine arve 1 või -1, siis kasutatakse eelteisendust, mille tulemusena saadakse sobivad arvud.
Näide:
DA =
= 3 =
= 3 = 3(0 + 2 + 22 +32 – 0 +11) =201.
Ülesanded:

Arvutada: DA = ; DA = .

Arvutada: DA = ; DA = .
Pöördmaatriks.
Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi:
AA-1 = A-1A = E.
Pöördmaatriksi leidmise algoritm :

Leida DA;; DA 0, kui DA = 0, siis A-1 ei eksisteeri;

Arvutada Dik;

Leida A-1 = = ;

Kontroll: AA-1 = E.
Näide:
Leida pöördmaatriks A-1, kui A = .
DA =
= 21 + 4 + 0 – 0 – 18 – 8 = -1
0;
D11 =
= 21 – 8 = 13;
D12 = -
= - ( 9 – 2 ) = -7;
D13 =
= 24 – 14 = 10;
D21 = -
= - 6;
D22 =
= 3;
D23 = -
= - ( 3 – 16 ) =13;
D31 =
= 2;
D32 = -
= - 1;
D33 =
= 7 – 6 = 1;
A-1 =
Kontroll: AA-1 = E
= =.
Pöhiomadused:

( A-1 )-1 = A.

( AB )-1 = B-1A-1.

( AT )-1 = ( A-1)T.

DA-1 = .
Lineaarsed võrrandisüsteemid.
Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse süsteemi:
,
kus aik R – süsteemi kordajad ,
xk R – süsteemi tundmatud,
bi R – süsteemi vabaliikmed.
Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi ,
mis rahuldavad antud süsteemi.
Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil:
A = (aik) – süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest,
B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg,
X = (xk) – tundmatute maatriks-veerg.
Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B.

Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend , kui m = n ja DA 0.

Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised.

Süsteemil on lõpmata palju lahendeid ,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid.
Süsteemide lahendamise meetodid.

Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B
Avaldades sellest tundmatu X, saame:
X = A-1B.
Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed.
Näide:
Lahendada lineaarne võrrandisüsteem:
.
Süsteemi maatriks A =, B = .
Leiame A-1:
DA = 18
A-1 = . X =
= .

Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil.
Xk = , k = 1,2 ….n,
kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga.
Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem:
.
DA =
= -6;
D1 =
= 9;
D2 =
= -3;
D3 =
= -12,
X1 =
= -1,5; X2 =
= 0,5; X3 =
= 2.

Gaussi meetod:
Gaussi meetodi puhul kirjutatakse välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb süsteemi kordajatest ja vabaliikmetest.
(A/B)
Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks kujule :
(E/).
Maatriksi elementaarteisendused on järgmised:

Maatriksi ridade vahetamine.
Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga.
Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide liitmine .

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele.
Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid.
Gaussi meetodi algoritm:
Kasutades eelmise näite võrrandisüsteemi, kirjutame välja süsteemi laiendatud maatriksi:
~
I etapp: Teisendada ühikveeruks antud maatriksi I veerg. Selleks teisendatakse esmalt arvuks 1 esimene diagonaalelement, jagades I rida selle elemendiga või vahetedes mõne allpool asuva reaga . Seejärel teisendatakse saadud rea abil kõik ülejäänud I veeru elemendid nullideks. Selle tulemusena saadakse eelmise maatriksiga sarnane maatriks:
~ ~ ~
II etapp: Teisendada ühikveeruks saadud maatriksi II veerg. Selleks teisendatakse esmalt arvuks 1teine diagonaalelement, jagades II rida selle elemendiga või vahetedes mõne allpool asuva reaga. Seejärel teisendatakse saadud rea abil kõik ülejäänud II veeru elemendid nullideks. Selle tulemusena saadakse eelmise maatriksiga sarnane maatriks:
~ ~
III etapp: Teisendada ühikveeruks saadud maatriksi III veerg. Selleks teisendatakse esmalt arvuks 1kolmas diagonaalelement, jagades III rida selle elemendiga või vahetedes mõne allpool asuva reaga. Seejärel teisendatakse saadud rea abil kõik ülejäänud III veeru elemendid nullideks. Selle tulemusena saadakse eelmise maatriksiga sarnane maatriks:
,
millest võimalik välja kirjutada lahendid
x1 = -1,5;x2 =0,5;x3 = 2.
Ülesanded:
Lahendada võrrandisüsteemid:
1. . 2. .
3. . 4. .
Majandusmatemaatilised mudelid.
Majanduses toimuvate protsesside kirjeldamiseks, samuti majanduslikele probleemidele vastuste leidmiseks, on vaja luua mudel. Mudel peab võimalikult täpselt kirjeldama reaalselt toimuvat protsessi, olles samaaegselt võimalikult lihtne ja ülevaatlik, et tema põhjal oleks võimalik teha järeldusi. Kogu majanduses toimuvat ei ole võimalik ühe mudeliga kirjeldada, seepärast valitakse välja hetkel olulisemad seosed ja omadused, mis on konkreetse mudeli seisukohalt kõige olulisemad. Mudeli liigne lihtsustamine võib viia mittetöötava mudelini.
Mudelit võib esitada verbaalselt sõnade ja lausete abil või matemaatiliste sümbolite abil. Matemaatiliste sümbolitena kasutatakse funktsioone, võrrandeid, võrratusi ja graafikuid. Sõltuvalt funktsioonide ja võrrandite valikust kasutatakse lineaarset planeerimist, ruutplaneerimist, dünaamilist planeerimist, stohhastilist planeerimist jne.
Lineaarne planeerimisülesanne.
Lineaarne planeerimisülesanne koosneb kolmest põhiosast:

Sihifunktsioon, mis lineaarse funktsiooni abil kirjeldab püstitatud eesmärki e. optimaalsuse kriteeriumit, näiteks maksimaalse kasumi saamine, minimaalsed tootmiskulud, maksimaalne kogutoodang rahalises väljenduses, minimaalne omahind jne.
f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn ( max ),
kus xk – k-nda toote maht,
ck – k-nda tooteühiku realiseerimisest saadav kasum;

Kitsenduste süsteem, mis lineaasete võrrandite või võrratuste abil kirjeldab tootmist piiravaid tingimusi, näiteks piiratud ressursimahud, turupiirangud, minimaalselt vajalikud toodangumahud jne.
,

Tundmatute mittenegatiivsuse nõue: xk ≥ 0.
Ülesande lahendamisel tekib kahte tüüpi lahendeid:

Lubatav lahend on selliste mittenegatiivsetex-de hulk, mis rahuldab kitsenduste süsteemi,

Optimaalne lahend on lubatav lahend, mille korral sihifunktsioon omandab soovitud väärtuse.

Lineaarse planeerimisülesande graafiline lahendamine:
Graafiliselt on võimalik lahendada ülesandeid, milles on 2 põhimuutujat. Ülesande lahendamine toimub kahes etapis :
I etapil leitakse lubatavate lahendite piirkond. Selleks kantakse koordinaattasandile igale kitsendusele vastav sirge ning seejärel määratakse kindlaks piirkond, mis rahuldab kogu antud kitsendust ( piirkonnaks on pooltasand, mis jab ühele poole saadud sirgest ). Kõigi pooltasandite ühisosa moodustabki lubatavate lahendite piirkonna.
Lubatavate lahendite piirkonnaks võib olla:

Kumer mittekorrapärane hulknurk . Sel juhul on ülesandel ka alati optimaalne lahend;

Avatud hulknurk. Sel juhul võib ülesandel olla optimaalne lahend, aga ta võibka puududa ;

Tühi hulk – lahend puudub.
II etapil leitakse lubatavate lahendite piirkonnast optimaalne lahend. Selleks kantakse koordinaattasandile sihifunktsiooni normal c(c1;c2). Normaal määrab ära sihifunktsiooni kasvamise suuna ja on risti sihifunktsiooni suunalise sirgega . Seejärel joonistatakse läbi 0 – punkti vastav sirge, mida nihutatakse vektori suunas, kuni viimase ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga. Viimases ühises punktis ongi antud ülesande maksimaalne lahend. Tavaliselt on selleks punktiks kahe sirge lõikepunkt. Lõikepunkti koordinaatide täpseks määramiseks on vaja lahendada nendele sirgetele vastavatest võrranditest koostatud süsteem.
Miinimumülesande korral on vaja sirget nihutada kuni esimese ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga või nihutada vektorile vastassuunas kuni viimase ühise punktini ( sõltub piirkonna ja vektori vastastikkusest asendist).
Näide:
Kahte tüüpi toodete valmistamiseks on 80 kg toorainet ja 6 tundi aega. Esimese toote valmistamiseks kulutatakse igale tootele 2 kg toorainet ja aega 0,1 tundi, teisele tootele kulub toorainet 1 kg ja aega 0.12 tundi. Leida tootmisplaan ,mille korral saadav tulu oleks suurim, kui esimest toodet on võimalik turustada kuni 30 tk ja teist toodet kuni 40 tk. Sealjuures saadakse iga I tüüpi toote müügist 50 kr tulu ja tesit tüüpi toote müügist 30 kr tulu.

Koostada ülesandele matemaatiline mudel;

Lahendada saadud mudel graafiliselt.
Mudeli koostamiseks soovitav estada kõik algandmed tabeli kujul.
Ressursid
Kulu I tootele
Kulu II tootele
Ressursi maht
Tooraine, kg
2
1
80
Aeg, tundi
0,1
0,12
6
Turu piirang
30
40
Kasum,kr
50
30
Matemaatiline mudel:
x1 – I toote kogus,tk;
x2 _ II toote kogus, tk
f(x) = 50x1 + 30x2 (max ),
.
Ülesanded:
Lahendada graafiliselt lineaarse planeerimise ülesanded:

f(x) = 5x1 – 2x2 ( max )
.

f(x) = 8x1 – 2x2 (max )
3x1 + 4x2
3x1 – x2
2x1 + x2.
4x1 – x2
x2

f(x) = -x + 2y ( max )
.

f(x) = 12x + 4y ( min )
Duaalne ülesanne.
Igale lineaarse planeerimise ülesandele vastab teine ülesanne, mis on antud ülesandega seotud, kuid millel on oma majanduslik sisu. Näiteks, kui ül4sanne on koostatud ressursside optimaalsele kasutamisele, eesmärgiga toota võimalikult suurt kasumit, siis duaalse ülesande muutujad annavad ressurssidele hinnangud ehk „fiktiivsed hinnad“, mis näitavad, kui palju on võimalik suurendada kasumit, suurendades vastava ressursi mahtu ühe ühiku võrra.
Algülesanne
Duaalne ülesanne
f(x) = c1x1 + c2x2 + . . . +cnxn (max )
L(y) = b1y1 + b2y2 + . . . + bmym( min)
Duaalse ülesande koostamise põhireeglid:

Igale algülesande kitsendusele vastab duaalse ülesande muutuja ja vastupidi; igale algülesande muutujale vastab duaalse ülesande kitsendus.

Algülesande sihifunktsiooni kordajad on duaalse ülesande vabaliikmeteks ja vastupidi; algülesande vabaliikmed on duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks, kusjuures maksimum muutub miinimumiks või vastupidi.

Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks.

Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks: „max“ ülesande korral „“ ja „min“ ülesande korral „“.
Duaalsuse põhiteoreem:
Kui ühel ülesannetest alg- või duaalsel on olemas optimaalne lahend, siis on see olemas ka teisel ülesandel, kusjuures optimaalsete lahendite korral on sihifunktsioonide väärtused võrdsed: ∑ ckxk = ∑ biyi.
Näide 1:
Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada mõlemad ülesanded graafiliselt.
f(x) = 10x1 + 10x2 (max)
Näide 2:
Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada saadud ülesanne graafiliselt. Kasutades saadud tulemusi, leida algülesande lahendid
F(x) = 12x1 + 6x2 +4 x3 (min)
Bilansimudelid.
Bilansimudelid ehk majandusliku tasakaalumudelid koostatakse majandussüsteemidele, mis on samaaegselt nii tootjad, kui ka tarbijad. Majandusmudeli koostamiseks on vajalik järgmine info:
Tootjad
Tarbijad
T1 T2 Tn
Lõpptoodang
Kogutoodang
T1
T2
Tn
x11
x12
x1n
x21
x22
x2n
…
…
…
xn1
xn2
xnn
y1
y2
yn
x1
x2
xn
Lisatud väärtus
z1 z2 zn
Kogu toodang
x1 x2 xn
Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate tootjate toodangut, veerud aga näitavad, kuidas erinevates harudes toodetakse.
Tabelis kirjeldatut on võimalik esitada maatrikskujul:
(xik) + (yi) = (xi).
Lisatud väärtuste hulka kuuluvad näiteks töötajate palk, amortisatsioon, maksud .
Tarbimise alla kuuluvad erinevad toorained , samuti pooltooted .
Kuna toodud seoses puuduvad konstantsed suurused, siis seda süsteemi on praktiliselt võimatu lahendada. Kui aga tootmistehnoloogia ei muutu, siis ühe tootja toodangu kogus, mida vajatakse teise tootja ühe tooteühiku valmistamiseks, ei muutu. Tootmistehnoloogiat kirjeldatakse otsekulukoefitsientide abil:
aik =
Otsekulukoefitsient aik näitab, kui palju kulub i-nda tootja toodangut k-nda tarbija ühe tooteühiku valmistamiseks.
Kõik otsekulukoefitsiendid moodustavad otsekulukoefitsientide maatriksi
A = (aik)
Asendades xik = aikxk, saame seose, kus esinevad püsivad suurused:
A(xik) + (yi) = (xi) ehk maatrikskujul AX +Y = X,
Kus X on kogutoodangu maatriks-veerg;
Y on lõpptoodangu maatriks-veerg ja
A on otsekulukoefitsientide maatriks.
Kui on teada lõpp- ehk realiseeritava toodangu maht ning tootmise tehnoloogia , siis on võimalik avaldada kogutoodang.
X – AX = Y
(E – A)X = Y
(E – A)-1 (E – A)X = (E – A)-1Y, millest
X = (E – A)-1Y.
Maatriksit (E – A)-1 nimetatakse täiskulukoefitsientide maatriksiks, mille elemendid iseloomustavad i-nda tootja toodangu mahtu, mida vajatakse k-nda tarbija poolt ühe realiseeritava tooteühiku valmistamiseks.
Täiskulu ja otsekulukoefitsientide vahet nimetatakse kaudsete kulude koefitsiendiks.
Näide 1:
Olgu antud kahe tootmisharu vaheline tootmise ja tarbimise mudel:
Tootja
1
2
lõpptoodang
kogutoodang
1
200
120
680
1000
2
500
480
220
1200
lisaväärtus
300
600
900
kogutoodang
1000
1200
2200
Oletame, et uus planeeritav kogutoodag 1. harus on 1100 ja 2. harus 1400 ning kasutatav tootmistehnoloogia jääb samaks. Millised on planeeritavad lõpptoodangu mahud?
A = = .
Leiame E –A =
- = .
Y = (E – A)X =
=
Kolme tootmisharu toodangu bilanss .
Tootvad harud
Tarbivad harud
A B C
Lõpptoodang
Kokku
A
600
400
1400
600
3000
B
1500
800
700
1000
4000
C
900
4800
700
600
7000
Leida kogutoodangumaht X, kui uued realiseeritava toodangumahud on,
Y =.
Lahenduskäik:

Leida otsekulukoefitsientide maatriks A ( aik = );

Arvutada maatriksi (E – A) elemendid;

Arvutada maatriksi(E – A) determinant;

Arvutada maatriksi(E – A) elementide alamdeterminandid;

Leiame maatriksile(E – A) pöördmaatriksi (täiskulukoefitsientide maatriksi);

Arvutame uued kogutoodangumahud: X = (E – A)-1Y.
Ülesanded:

Järgmise otsekulukoefitsientide maatriksi
A =
abil otsustada, kuidas muutub kogutoodang, kui esimese haru lõpptoodang suureneb 40 ühiku võrra, teise ja kolmanda haru lõpptoodang väheneb 10 ühiku võrra.

Toodud tabel sisaldab andmeid (tingühikutes) kolme tootmisharu bilansi kohta teatud perioodil:
Tootmine
Tarbimine tootmisprotsessis
Realiseeritud turul
Põllumajandus
Tööstus
Muud
Põllumajandus
10
5
25
60
Tööstus
20
20
10
50
Muud
-
20
10
20
Kuidas (mitme % võrra) tuleb muuta tootmisharude kogutoodangut, kui lõpptoodangut suurendada vastavalt 80, 60 ja 50 ühikuni.

.DOC Laadi alla originaalfail 23 lk · .doc · 191 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 23 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-10-10 Kuupäev, millal dokument üles laeti

191 laadimist Kokku alla laetud

2 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

renco Õppematerjali autor

maatriksite liigid, harjutus ja näite ül

matemaatika maatriksid algebra otsekulukoefitsient bilansimudelid duaalsuse põhiteoreem

Sarnased õppematerjalid

docx

MAATRIKSALGEBRA

MAATRIKSALGEBRA 1. Maatriksi mõiste ja liigitus Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse a ik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a am2 ..

Matemaatika

pdf

Kõrgema matemaatika üldkursus

Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga 3. on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga 4. on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana) 3

Kõrgem matemaatika

doc

Lineaaralgebra täielik konspekt

MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -4 2 Näide 1: Antud maatriks A =

Kõrgem matemaatika

rtf

Maatriksid

a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 - 4 2 A = Näide 1: Antud maatriks 0 1 - 6,5 . Siin A , a = - 4, a = -6,5 . 2x3 12 23 Maatriksid on võrdsed oma vahel , kui on võrdsed kõik vastavad elemendid antud matriksites, s.t. A = B , kui aij = bij , i = 1,...,n , j = 1,...,m

Matemaatika

doc

Õppematerjal

Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga: a = ( ai ), i = 1, 2, . . . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m (1) ja n VEERGU elementidega a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, (2) nimetatakse (m × n)-MAATRIKSIKS. Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi

Kõrgem matemaatika

doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

Kõrgem matemaatika

doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1

Lineaaralgebra

doc

algebra konspekt

haripunkt asetseb koordinaatide alguspunktis. Parabool võib olla sümmeetriline ka x-telje suhtes. Sel juhul asetseb parabooli fookus x-teljel ja juhtjoon on paralleelne y-teljega. y²=2px Maatriksid Ruutmaatriks ja ristkülikmaatriks Kui ühe ja sama vektori koordinaadid asetseksid ühes reas ning samanimelised koordinaadid ühes ja samas veerus, saame tabeli, mida nim maatriksiks ja tähistatakse A= (a11 a12... a1n)(a21 a22 ... a2n)...(am1 am2 ... amn) kui m=n siis saame maatriksi mida nim ruutmaatriksiks, ehk n²- maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse

Algebra ja analüütiline geomeetria

Rohkem sarnaseid