3 3 2 1,5 x -3 -2 -1 0 1 1,5 2 3 |3| = 3 |-3| = -(-3) = 3 |-2| = -(-2) = 2 |1,5| = 1,5 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Vastandarvud Arvud a ja a on teineteise vastandarvud. Näiteks arvu 10 vastandarvuks -10, arvu 15 vastandarvuks on (-15) = 15. Vastandarvud asetsevad arvsirgel nullpunktist ühekaugusel, teine teisel pool. Seega on vastandarvudel võrdsed absoluutväärtused: | a | = | a | Positiivse arvu või nulli absoluutväärtuseks on see arv ise, negatiivse arvu absoluutväärtuseks aga selle arvu vastandarv (sama arv ilma
Positiivsed ja negatiivsed arvud Definitsioon Positiivne arv on arv, mis on suurem kui null. Definitsioon Negative arv on arv, mis on viksem kui null. Definitsioon Vastand arvud on kaks arvu, mis asuvad samal kaugusel nullist, kuid erinevas suunas. Definitsioon Tisarvud on kik naturaalarvud ning nende vastandarvud pluss null. Negatiivseid arve kasutatakse temperatuuri mtmisel Negatiivseid arve kasutatakse, et mrata asukoha krgus vi sgavus. Negatiivseid arve kasutatakse vlgade kirja panemisel Vihje Kui arvu ees ei ole mrki, see on positiivne arv. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #1 Kui mrgid on samad, siis ra panne nendele esmalt the. Liida arvude absoluutvrtused ning kirjuta vastusele nende hine mrk. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #2 Kui mrgid on erinevad lahuta suurema absoluutvrtusega arvust
See kirjutatakse x=1 loogelise sulu abil kokku, nagu olid esialgsed võrrandidki. Y=2 4.Saadud lahendi õigsust on lihtne kontrollida. v1=3*1+2*2=3+4=7 v1=p1 v2=5*12*2=54=1 v2=p2 Vastus: x=1 y=2 Mida teha võrrandisüsteemiga, milles kummagi tundmatu kordajad ei ole ei võrdsed ega vastandarvud? Sel juhul peame võrrandid teisendama vajalikule kujule. Selleks korrutame ühe võrrandi või mõlemad võrrandid läbi sobiva arvuga nii, et saaksime ühe tundmatu ette vastandarvud.
Positiivsed ja negatiivsed arvud By:Paldiski Pohikool Definitsioon · Positiivne arv on arv, mis on suurem kui null. 0 1 2 3 4 5 6 Definitsioon · Negatiivne arv on arv, mis on väiksem kui null. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Definitsioon · Vastandarvud on kaks arvu, mis asuvad samal kaugusel nullist, kuid erinevas suunas. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Definitsioon · Täisarvud on kõik naturaalarvud ning nende vastandarvud pluss arv null. 7 vastandarv -7 Negatiivseid arve kasutatakse temperatuuri mõõtmisel Negatiivseid arve kasutatakse, et määrata asukoha kõrgus või sügavus. 30 20 10
Vp- Vasakpoolne Pp- Parempoolne y = 1 Vastus on: Kontroll: Vp= 3-2=1 Pp= 1 Vp=Pp Vp2=6+2=8 Pp2=8 Vp2=Pp2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega: Võtame näiteks võrrandsüsteemi: 2 x + 3 y = -4 5 x + 6 y = -7 1. Liitmisvõttega lahendamiseks on vaja vastandarve. Kuna selles võrrandsüsteemis vastandarve ei esine, võime me laiendada ühte võrrandit, et tekiks vastandarvud. 2 x + 3 y = -4 2 x + 3 y = -4 (-2) - 4 x - 6 y = 8 Tekkisid vastandarvud. 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 5 x + 6 y = -7 2. Liidame võrrandid. Edasi toimime nagu kirjalikus liitmises, kuna võrrandsüsteemis esines vastandarve, võime -6y
Matemaatika Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud /positiivsed täisarvud (1,2 ... ) Null ei ole naturaalarv. Tähistatakse : N Algarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on 2 tegurit 1 ja tema ise nt 3 : jagub 1'ga ja 3'ga Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R
liikme ruudu ja teise liikme korrutis pluss kolmekordne esimese liikme ja teise liikme ruudu korrutis pluss teine liige kuubis · Kahe üksliikme vahe kuup võrdub esimene liige kuubis miinus kolmekordne esimese korrutis miinus teine liige kuubis · Liitmisvõte 1. Teisendan võrrandid normaalkujule 2. Korrutan võrrandi(d) sobivalt valitud arvu(de)ga nii, et ühe paari tundmatute kordajad oleksid teineteise vastandarvud 3. Liidan võrrandite vastavad liikmed 4. Lahendan saadud võrrandi 5. Asendan saadus tundmatu väärtuse ühte võrrandisse, lahendan võrrandi 6. Teen Kontrolli esialgse süsteemi põhjal 7. Kirjutan vastuse
kümnendikke, teine sajandikke jne. Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd, teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd. 2. Irratsionaal- ja reaalarvud Irratsionaalarv on arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Reaalarvude hulk R koosneb kõikidest irratsionaal- ja ratsionaalarvudest. Iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. 3. Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused Põhiteheteks naturaalarvude hulgas on liitmine, lahutaminr, korrutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul.
bi imaginaarosa b imaginaarosa kordaja i imaginaarühik Olgu hulk C kõigi selliste(2 × 2)järku ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a) Def1 Kui hulgas on määratud tehe/ arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus on uuesti selle hulga element, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinni. Hulk C on osutunud kinniseks kõigi 4 aritmeetilise tehte suhtes (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine). Omadused hulgas C: Om1 + ( + ) = ( + ) + Om2 +=+ Om3 +=
1. Kõik positiivsed täisarvud kaasa arvatud 0. Tähis on N. 2. Pöördarvudeks nim kahte arvu, mille korrutis on 1. Vastandarvud- kaks arvu mille summa on 0. 3. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. 4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. 5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. 6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0
Ringi moodustab ringjoone sees olev tasandi osa koos ringjoonega. 26.Raadius on matemaatiline lõik, mis ühendab rongjoone punkti keskpunktiga. 27.Diameetriks nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kaht ringjoone punkti ja läbib ringi keskpunkti. 28.Algarvuks nimetatakse arvu, millel on ainult kaks jagajat. 29.Kordarv on arv, millel on vähemalt kolm jagajat. 30.Kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. 31.Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. 32.Vastandarvud on arvud, mis erinevad ainult märgi poolest. 33.Mis tahes positiivse arvu ja arvu 0 absoluutväärtus on võrdne arvu endaga, negatiivse arvu absoluutväärtus on võrdne tema vastandarvuga 34.Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut. 35.Võrrandi lahend on võrrandist leitud tundmatu väärtus. 36.Osamäär näitab, kui suur osa tervikust tuleb leida või kui suur osa arvust on antud. 37.Protsent on suht arv, mis näitab kui palju üks suurus moodustab teisest. 38
irratsionaalarvud J=(...;π;...;erinevad ruutjuured)
Arvuhulgad
● Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi
mõisteid :
harilik murd - ½ (a-lugeja, b-nimetaja)
lihtmurd - (a
3. Täisarvude hulk on liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes kinnine arvuhulk (täisarvude summa, vahe ja korrutis on täisarv. 4. Kehtivad samasused: · (a) = a · (+a) = a · a+(a) = 0. Irratsionaalarvud Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. Irratsionaalarvude hulk koos ratsionaalarvude hulgaga moodustavad reaalarvude hulga. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: ;; -; jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. Reaalarvud Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R. R= I Q ja Q R. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu
Kompleksarvud · Kui vaatleme ruutvõrrandit x2+1=0 siis selline ruutvõrrand ei ole lahendatav. Kui aga eeldame, et arvu i olemasolu, mille korral i2 =-1 x2=1 x=+- 1. · olgu hulk C kõigi selliste (2*2) ruutmaatriksite hulk, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ja kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud. · Def1: Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub uuesti selle sama hulga elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine. · Tuginedes maatriksarvutustele võime väita, et hulgas C kehtivad järgmised omadused: · Hulk C osutub algebralise süsteemi mõttes kommutatiivseks korpuseks. · hulk C osutub ka vektor ruumiks (baasi temas moodustavad 1 ja i).
· (a + b) + c = a + (b + c) · a + (nullmaatriks) = a · a + (-a) = (nullmaatriks) · (a * b) * c = a * (b * c) · a*b=b*a · a * (b + c) = a * b + a * c · E*a=a · Kui a ei ole nullmaatriks siis a-1 * a = E Lõpus olev tõestus võib tulle töösse EULERI VALEM: e i = cos + i * sin i on kaldsümmeetriline maatriks DEF 2: hulka C, mille elementideks on 2x2 järku maatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiag elemendid on võrdsed ning kõrvaldiag elemendid on vastandarvud nim kompleksarvude hulgaks ning neid nim kompleksarvudeks Arvutustes komplekarvudega tuleb arvestada järgmiste arvutusseadustega: Kehtivad järgmised omadused: Kompleksarvu geomeetriline kuju = kompleksarvu argument/amplituut |a|= r (moodul) Cos = a/b sin = b/a = r (cos + i sin ) kolmpleksarvu a moodul on geomeetriliselt tõlgendatav sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena nullpunktist. Kompleksarvu 5 esitust 1) Algebraline =a+b*i
y=1 11.Liitmisvõte - lahendusvõte, mis Ül.935 võimaldab arvutamise teel leida lahendeid -4x+5y=-1 tundmatute kordajate kaudu: kõrvaldada 2x-5y=3 ehk ellimineerida üks tundmatu vastavate Panen süsteemile plussmärgi ette ja võrrandite liitmise teel, kui antud süsteemi tõmban süsteemile joone alla, sest y-ga võrrandites on ühe tundmatu kordajad liikmete ees on vastandarvud (need teineteise vastandarvud; võrrandite liikmed koonduvad) vastavate poolte liitmisel saada ühe -2x=2|:(-2) tundmatuga võrrand ja see lahendada; x=-1 saadud ühe tundmatu väärtus asendada I võrrandist leian väärtuse teisele süsteemi lihtsamasse võrrandisse, saada tundmatule võrrandi teise tundmatu väärtuse -4 (-1)+5y=-1 leidmiseks; kontrollida, kas saadud 5y=-1-4
ruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et
3) Omadused. a) |a| 0 b) |-a| = |a| c) |a| a , |a| -a d) ||a|-|b|| |a + b| |a| + |b| e) ||a|-|b|| |a b| |a| + |b| f) |a b| = |a| |b| g) , b0 18. Arvu mõiste laiendamine tabeli või skeemina. Arvud 1; 2; ... Arv 0 : Naturaalarvud Naturaalarvude vastandarvud -1; -2; -3; ... : Täisarvud Murdarvud : Irratsionaalarvud 2; Ratsionaalarvud : Reaalarvud
Näiteks: 1 000 000 00 = 108 ; 0,000 000 1 = 10-7 Sarnaste liikmete koondamine: Kui avaldises on liikmed, mis on ühesugused või erinevad ainult arvulise kordaja poolest, siis nimetatakse neid sarnasteks liikmeteks. Näiteks: a + a + a = 3a a * a * a * a = a4 a +b + a + a + b = 3a + 2b xy + xy = 2xy xy * xy = x2 * y2 3a + 4b + 2a + 5b = 5a + 9b Sellist liikmete liitmist või lahutamist nimetatakse koondamiseks. Kui avaldises on vastandarvud, siis need lihtsalt taanduvad. ( Tõmban maha / ) NB: Pane tähele märke! Sulgude avamine: Kui avaldises esinevad sulud, tuleb nendest vabaneda, seda teguviisi nimetatakse sulgude avamiseks. Näiteks: 2*(5a + 6b) = 2*5a + 2*6b = 10a + 12b (2x 3y + 4z)3 = 3*2x 3*3y + 3*4z = 6x 9y + 12z -(2b + 4c 3a -1) = -2b 4c + 3a + 1 NB: Miinus märk sulu ees muudab märgid sulu sees! Võrrandid: Võrrand on võrdus, mis sisaldab tundmatut suurust
X= 1231 = 1 241 990 990 IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. näiteks 2=1,4142135623373... ei ole ratsionaalarv, sest ta pole lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv on lõpmatu mitteperioodiline kümnendmurd. Järelikult on irratsionaalarv. Irratsionaalarvud on veel 32; 53; -7; jt. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega saame reaalarvude hulga R: R = I U Q ja Q R I R Q N Z Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu
Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q Kahe täisarvu jagatis Järjestatav, lõpmatu, tihe Liitmine, korrutamine, lahutamine, jagamine (v.a. nulliga) Irratsionaalarvud
t. m 6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks. ● ühikmaatriks Maatriks, mille peadiagonaalil olevad numbrid on ühed ja ülejäänud nullid. ● nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. ● vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)- maatriksi A = (aij ) vastandmaatriks, kui bij = −aij . 4 ● transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on A T .
TEST Loeng 1 - Naturaalarv loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik.
TEST Loeng 1 - Naturaalarv loendamiseks ja järjestamiseks kasutatavad arvud (0), 1, 2, 3, .... Mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja. - Täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud. - Ratsionaalarv reaalarvud, mida saab kasutada kahe täisarvu m ja n jagatisena m/n. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. - Reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge. - Kompleksarv arv kujul a + ib, kus a ja b on reaalarvud ning i imaginaarühik. Reaalarvu
-1({()})-1(()). Aga -1({()}), sest (){()} (vt hulga originaali definitsiooni). Kahest viimasest seosest saame -1( ()). 2. Olgu ja olgu ( -1)). Siis kujutise definitsiooni põhjal leidub -1(), nii et kehtib ()=. Seos -1() tähendab originaali definitsiooni põhjal, et () . Seega . Näide, kus ja -1( ()). Olgu ==, ()=|| ja ={1,2,3}. Kõigi korral kehtib ()=, s.t. ()={1,2,3}. Saame -1( () )={-3,-2,-1,1,2,3} , sest arvudeks 1, 2 ja 3 kujutuvad lisaks hulga elementidele ka nende vastandarvud. Näide, kus ja (-1() ): Olgu ==, ()=² ja ={-1,0,4}. Funktsiooniga kujutuvad hulka hulga -1() = {-2,0,2} elemendid, mida funktsiooniga kujutades saame (-1() )={0,4}. Funktsioonide võrdsus Funktsioone : ja : nimetatakse võrdseteks, kui =, = ja ()=() iga (=) korral. Seega näiteks funktsioonid : ja : [-1,1] loeme erinevateks. Seoste peale mõeldes ütleme, et kahte funktsiooni loetakse võrdseteks, kui nad on võrdsed kui seosed (s.t. kui paaride hulgad).
abil. 35.Ruutmaatriks-Maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga m=n 36.Ristkülikmaatriks- Maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvut m≠ n 37.Ühikmaatriks-Maatriks mille peadiagonaalis on ainult arvud 1( { δ ij= 1, kuii= j 0, kuii≠ j } 38.Nullmaatriks- maatriks on nullmaatriks, kui selle maatriksi kõik elemendid on nullid tähis :Θ 39.Vastandmaatriks- maatriks, mille elementideks on maatriksi elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on –A. (no lihtsalt märgid on vastupidised) 40.transponeeritud maatriks-maatriks, mis saadakse maatriksi ridade ja veergude äravahetamisel. Tähis AT 41. sümmeetriline maatriks- Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT=A 42.kaldsümmeetriline maatriks- kui AT= -A 43.maatriksite võrdsus-Maatriksid on võrdsed, kui nendel on samad mõõtmed ja ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid 44
koordinaadid on võrdsed, siis on ka vektorid võrdsed. · Vektorite summa koordinaatideks on liidetavate vektorite vastavate koordinaatide summad. · Vektorite vahe koordinaatideks on lahutavate vektorite vastavate koordinaatide vahed · Vektori korrutamiseks mingi arvuga tuleb selle arvuga korrutada vektori koordinaate. · Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud · Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised · Kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed. 6.9 Otspunktidega määratud vektori koordinaadid Vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti samanimeliste koordinaatide vahedena. 6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6
.........................................13 VALEMID (SEADUSED)........................................................................................................20 TEST Loeng 1 · Arvutüübid: naturaalarv, täisarv, ratsionaalarv, reaalarv, kompleksarv. naturaalarv loendamiseks kasutatavad arvud 0, 1, 2, 3, ... (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja); täisarv kõik naturaalarvud ja nende negatiivsed vastandarvud; ratsionaalarv need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n (n0) m/n. Igal ratsionaalarvul on lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Nt. 11/4=2.7500000...; reaalarv kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud (mitteperioodilised lõppmatud kümnendmurrud) kokku. Täidavad lünkadeta kogu arvsirge;
-1, nimetama imaginaarühikuks 1 ja tähistama tähega i. Kompleksarvu a + ib vastandarvuks nimetatakse arvu -(a + ib) = -a - ib. Arvu, mille ruut on -1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Näide 3. Leiame arvudele 4i - 5 ja 6 - 4i vastandarvud. sümboliga i, s.t. i = -1 . Vastavalt definitsioonile leiame, et esimese arvu vastandarv on Imaginaarühiku abil saab esitada ruutjuuri negatiivsetest arvudest, näiteks -(4i - 5) = -4i + 5 = 5 - 4i ja teise arvu vastandarv on -16 = 16 ( -1) = 16 -1 = 4 -1 = 4i, -(6 - 4i) = -6 + 4i. -10000 = 10000 ( -1) = 100 -1 = 100i
t. m n. Kolmnurkne maatriks- nim. maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik elemendid nullid. Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid. Ühikmaatriks nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud elemendid on 0-id Nullmaatriks Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on -A. Transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on AT. m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks , kus Omadused: Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma transponeeritud maatriksiga:
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q
Lause 1 (nullmaatriksi neutraalsus). A + 0 = A = 0 + A T~ oestus. T~oepoolest (A + 0)ij = aij + 0ij = aij + 0 = aij = 0 + aij = 0ij + aij = (0 + A)ij 4 II. Maatriksarvutus 1.7 Vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit -A := (-1)A. Teiste s~onadega, vastandmaatriksi elemendid on maatriksi elementide vastandarvud, s.t (-A)ij := -aij . Lause 2. A + (-A) = 0 = -A + A T~ oestus. T~oepoolest [A + (-A)]ij = aij + (-A)ij = aij - aij = 0 = 0ij = -aij + aij = (-A)ij + aij = [-A + A]ij 2 Maatrikstehete omadusi 2.1 Elementaarsed omadused Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame j¨argmiselt. Teoreem 3. Olgu A, B, C u ¨hesuguste j¨
Cauchy ülesandeks ja tingimust y (x0) = y0 ülesande algtingimuseks. Kordamisküsimused 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. · Naturaalarvud (0, 1, ,2,..,n,...) N arvude jada on lõpmatu, kaks N-i liites saame uue arvu mis on ka N. Kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. · Täisarvud Lisades N arvudele negatiivsed täisarvud saame täisarvude hulga Z (-2, -1, 0, 1, 2), -1 ja 1, -n ja n on teineteise vastandarvud. kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes, mitte aga jagamise suhtes; · Ratsionaalarvud koosnevad murdudest. R arvude omadused: tihe, ei ole pidev, kinnine kõige aritmeetiliste tehete suhtes. · Reaalarvud - Ratsionaalarve ja irratsionaalarve nimetatakse ühiselt reaalarvudeks. On pidev, on järjestatavad suuruse järgi, saab kujutada arvteljena (tee joonis)
amn bm1 bm2 . . . bmn m~olemad on (m, n)-maatriksid. Nad on v~ordsed, s.o. A = B, kui aij = bij , i Nm , j Nn . N¨aiteks valemis (1.3) maatriksid B ja C ei saa olla v~ordsed, olenemata elementidest, sest m~o~otmed (1,3) ja (3,1) pole u ¨hesugused. Definitsioon 1.8. Maatriksi A vastandmaatriksiks, t¨ ahistame -A abil, nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. ¨ Oeldu p~ohjal maatriksi (1.2) vastandmaatriksiks on -a11 -a12 . . . -a1n -a21 -a22 . . . -a2n -A := . (1.5) .......................... -am1 -am2 . . . -amn Vahetult definitsioonist 1.8 saame -(-A) = A, - = .
a1 x + b1 y = c1 , a2 x + b2 y = c2 . Selles on x ja y tundmatud ning a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 on konstandid. Lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamisel tuleb nad teisendada üldkujule ja seejärel lahendada sobiva võttega. 27 Kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendusvõtted I Liitmisvõte Liitmisvõtte kasutamisel tuleb võrrandeid teisendada nii, et ühe tundmatu kordajateks võrrandites oleksid teineteise vastandarvud. Selleks korrutatakse võrrandi(te) pooli vastavalt valitud teguri(te)ga. Seejärel võrrandid liidetakse. Tulemuseks on ühe tundmatuga võrrand, millest leiame selle tundmatu väärtuse. Leitud väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes. II Asendusvõte Võrrandisüsteemi lahendamine asendusvõttega seisneb järgnevas: 1) ühest võrrandist avaldatakse üks tundmatu teise kaudu; 2) leitud avaldis asetatakse teise võrrandisse;
. . bmn m˜olemad on (m, n)-maatriksid. Nad on v˜ordsed, s.o. A = B, kui aij = bij , ∀ i ∈ Nm , ∀ j ∈ Nn . N¨aiteks valemis (1.3) maatriksid B ja C ei saa olla v˜ordsed, olenemata elementidest, sest m˜o˜otmed (1,3) ja (3,1) pole u ¨hesugused. Definitsioon 1.8. Maatriksi A vastandmaatriksiks, t¨ ahistame −A abil, nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide vastandarvud. ¨ Oeldu p˜ohjal maatriksi (1.2) vastandmaatriksiks on −a11 −a12 . . . −a1n −a21 −a22 . . . −a2n −A := . (1.5) .......................... −am1 −am2 . . . −amn Vahetult definitsioonist 1.8 saame
2 = 1 3 = 0 Kontroll: I võrrand: 2+2×1+0=4 v.p. = p.p. II võrrand: 2×2-1+3×0=3 v.p. = p.p. III võrrand: 2+1-0=3 v.p. = p.p. Võrrandisüsteemilahendamisel liitmisvõttega korrutatakse võrrandite mõlemaid pooli selliste teguritega, et peale korrutamist on ühe tundmatu kordajad teineteise vastandarvud. Edasi liidetakse võrrandite vastavad pooled ning lahendatakse saadud ühe tundmatuga võrrand. Leitud tundmatu väärtus asetatakse ühte antud võrrandeist ja lahendatakse see teise tundmatu suhtes. Näide 5-3 Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega Firma toodab kaht toodet X ja Y. Tootmisel kasutatakse kaht järjestikust tootmisprotsessi A ja B. Protsessi A ressurss on 1750 tundi ja protsessi B ressurss on 4000 tundi. Toode X nõuab 3 tundi
Lahendus: Olgu toote X hulk x ja toote Y hulk y. Kirjutades esimese võrrandi protsessi A summaarse ressursi kohta ja teise võrrandi B ressursi kohta, saame võrrandsüsteemi: A: 3 x % y ' 1750 B: 2 x % 4 y ' 4000 1. Lahendamiseks kasutame liitmisvõtet. Selleks korrutame esimese võrrandi läbi sellise teguriga, et muutuja y kordajad esimeses ja teises võrrandis oleksid vastandarvud: 3 x % y ' 1750 * @ (& 4) & 12 x & 4 y ' &7000 Y 2 x % 4 y ' 4000 2 x % 4 y ' 4000 2. Liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: / & 12 x & 4 y ' &7000
annaabi.ee 
