FINANTSMATEMAATIKA (0)

2.   FINANTSMATEMAATIKA  ELEMENDID 
Sissejuhatus 
 
Tänapäeval  pole  vist  vaja  pikalt  selgitada,  kui  suurt  tähtsust  omab  raha  ja  kõik  sellega 
seonduv . Paljud teie seast on juba käinud ka tööl ja saanud töö eest ka tasu. Seoses sellega on 
tekkinud  kindlasti  küsimus,  kuidas  teenitud  raha  kõige  otstarbekamalt  kasutada.  Ülikooli 
õppima   asumise   korral  tuleb  paljudel  teist  võtta  õppelaenu  ning  siis  on  oluline,  kuidas 
erinevate pakkumiste seast  valida välja enda jaoks parim variant.  Kaugemas tulevikus tuleb 
aga  nii  mõnelgi  teie  seast  kokku  puutuda  veel  mitmesuguste  laenude  ning  liisingutega. 
Kindlasti seisavad paljud tulevikus  otsustuste  ees, kuidas valida erinevate eluasemelaenu või 
autoliisingu  pakkumiste    seast  parim.  Kui  saate  tulevikus  piisavalt  hästi   tasustatud   töökoha, 
siis  võivad  tekkida  raha  ülejäägid,  mida  pole  just  otstarbekas  igapäevaseks   tarbimiseks   ära 
kulutada.  Tekib  probleem,  kuidas  ülejäävat  raha  kõige  kasulikumal  viisil  säästa  või 
investeerida:  kas  hoida  oma  raha   tavalisel   arvelduskontol,  kasutada  tähtajalise  hoiustamise 
võimalust,  paigutada  oma  raha  aktsiatesse  või  muudesse  väärtpaberitesse  või  hoopiski 
investeerida  raha  kinnisvarasse,  kulda  kunstiteostesse.   Vaatleme    mõningaid   igapäevaelus 
võimalikke probleeme. 
Oletame,  et  noor  perekond   Pukspuu   soovib  kodu  renoveerimiseks  võtta  laenu  20 000  eurot. 
Selleks  läheb  pereisa  panka,  kus  talle  pakutakse  laenu  kustutamiseks  kahte  erinevat 
tagasimaksete  graafikut . Esimese graafiku järgi on iga kuu lõpus tehtava  osamakse  suurus 230 
EURi,  teise  järgi  250  EURi  ning   intressimäär   on  mõlema   variandi   korral  12%  võlajäägilt. 
Millise variandi peaks perekond Pukspuu  valima ? Kirjeldatud situatsiooni analüüsime näites 
2.6.12 ja märkuses 2.6.3. 
Üliõpilane  Roobert  soovib osta 300 eurot maksva teleri, kuid vajab selleks laenu tähtajaga 1 
aasta. Uurides laenuvõimalusi, leiab ta kolm varianti : sms- laen kiirlaenufirmalt, krediitkaart ,  
 
 
1 
järelmaks . Milline pakutud võimalustest on soodsaim? Esitatud probleemile  otsime   lahendust  
näites 2.7.14 ja märkustes 2.7.2 ja 2.7.3. 
Manivald kaalub, kas minna pensionile 60 või 65 aastaselt. Kui ta valib esimese variandi, siis 
vähendatakse tema igakuist pensioni  iga varem pensionile  mindud  kuu kohta 0,4%. Kuidas 
otsustada,  milline  pakutavatest  variantidest  on  Manivaldile  kasulikum?  Kirjeldatud 
küsimusele otsime vastust näites 2.6.7. 
Raha  parimal  viisil  kasutamise  ja  paigutamisega  seotud   küsimusi   hakkamegi  järgnevalt 
põhjalikumalt  vaatlema.  Selleks  on  aga  vaja  vähemalt  elementaarsel  tasemel  tunda  raha 
toimemehhanisme,  mida  uurib  finantsmatemaatika,  mille  põhimõisteid  ja  omadusi  me 
järgnevalt püüame selgitada. 
 
2.1 . Olulisimad  printsiibid   finantsmatemaatikas  
 
Alustuseks kirjeldame kahte kõige olulisemat printsiipi  finantsmatemaatikas. 
Sama   nominaal -  ehk  nimiväärtusega  raha  reaalne  väärtus  ehk  ostujõud  erinevatel 
ajamomentidel  on  erinev.  Kõik  on  ilmselt   kuulnud   väljendit  „aeg  on  raha“.  Nimetatud 
printsiibi  esitas  väidetavalt  esmakordselt  hispaanlane  Martin  de  Azpilcueta  (1491-1586), 
tuntud ka kui  Doktor  Navarrus. Tuleb nõustuda, et see  väljend  esitab rahvakeeles  tõepoolest  
raha  ühte  väga  olulist  omadust.  Kõikides  finantstehingutes  sõltub  raha  väärtus  ajast.  Võib 
öelda,  et  finantsmatemaatikas  väljaspool  aega  ei  eksisteeri  ka  raha.  Alati  võime  tõdeda,  et 
näiteks raha nimiväärtusega 100  EUR-i on käesoleval hetkel suurema reaalse väärtusega, kui 
mistahes  ajamomendil  hiljem.  Miks?  Vähemalt  kahel   põhjusel .  Esiteks  peaaegu  alati  (välja 
arvatud  mõnede  haruldaste  eranditega  teatavat  tüüpi  majanduslanguste  korral)  eksisteerib 
ühiskonnas üldine hinnatõus ehk inflatsioon , st tulevikus saab 100 euro eest osta vähem kaupu 
või teenuseid kui käesoleval hetkel. Teiseks, omades 100 eurot antud hetkel,  võite  seda raha 
mitmesugusel  viisil  investeerida  (näiteks  paigutada  hoiuarvele  või  tähtajalisele  hoiusele  või 
osta aktsiaid jne) ning teenida sel viisil täiendavat tulu. 
1.  Rahalistes  tehingutes  kehtib rahalise ehk  finantsilise  ekvivalentsuse printsiip. See 
tähendab  seda,  et  rahalistes  lepingutes  peaksid  erinevate  lepinguosaliste  kohustused  olema 
finantsiliselt ekvivalentsed ehk samaväärsed.  
Vaatleme selle printsiibi selgitamiseks ühte väga olulist finantstehingut, nimelt laenu.  
 
2 
Laen  ( loan )  ehk   krediit   on  võlgu  võetud  raha  (või  ka  muu  vara),  mille  laenu  saaja  (ehk 
võlgnik )  peab  kokkulepitud  tingimustel  ja  tähtajal  laenu   andjale   (ehk  võlausaldajale)  koos 
teatava  lisasummaga tagasi maksma. Nimetatud lisasummat nimetatakse intressiks. 
Intress   ( interest )  ehk   kasvik   on  tasu  laenatud  raha  või  muu  vara  kasutamise  eest 
laenuperioodi  jooksul.  Intressi  suurust  väljendatakse  protsentides  laenatud  rahasummast 
teatava  ajavahemiku  kohta.  Tavaliselt  on  ajavahemikuks  ehk   intresside   arvestamise 
perioodiks üks aasta.  
Laenu intressi suurust määravat protsenti nimetatakse laenu intressimääraks (internest  rate ) 
ehk  laenuprotsendiks.    Antud  juhul  laenu  summa  (võlgnikule  antud  raha)  laenu  saamise 
hetkel  on  rahaliselt   ekvivalentne   laenu  andjale  tagasi  makstud  kogusummaga  (laenu 
nimiväärtus + intress) laenutähtaja lõpul.  
Eeltoodu  selgitab  ka  esimest  printsiipi,  mille  kohaselt  sama  nimiväärtusega  raha  reaalne 
väärtus erinevatel ajamomentidel on erinev. 
 
Näide  2.1.1.   Kaupo   andis  Jürgenile  üheks  aastaks  laenu  1000  EURi  intressimääraga  10% 
aasta kohta. Kui suure summa pidi Jürgen Kaupole ühe aasta pärast tagasi maksma? 
Lahendus.  
Kuna 10% 1000-st on  1
0 1000 
100 siis intress laenatud summalt on 100 EURi. Seega aasta 
pärast peab Jürgen Kaupole tagasi maksma laenu  põhisumma  1000 EURi koos intressiga 100 
EURi  ehk  kokku  1100  EURi.  Siin  laenu  andja  ehk  Kaupo  poolt  antud  laen  1000  EURi  on 
finantsiliselt  ekvivalentne  Jürgeni  poolt  aasta  hiljem  Kaupole  tagasi  makstud  1100  EURiga. 
Järelikult  antud  tehingus  on  tehingu  osaliste  Kaupo  ( laenuandja )  ja  Jürgeni  (laenusaaja) 
kohustused rahaliselt ekvivalentsed. # 
Märkus   2.1.1.  Finantsilise  ekvivalentsuse  printsiip  on  mõnes  mõttes  siiski  ka  suhteline  või 
hinnanguline. Nimelt, finantsilise ekvivalentsuse määrab turul kehtiv või lepinguosaliste vahel 
kokkulepitud intressimäär, mis võib ka sama tüüpi tehingute korral olla erinevates pankades 
või erinevate lepinguosaliste puhul erinev.  
Märgime,  et  sarnaselt  näitega  2.1.1  kasutatakse  rahalise  ekvivalentsuse  printsiipi  kõikides 
finantstehingutes. 
 
3 
2.2. Lihtintressid 
Rahanduses  kasutatakse  peamiselt  kahte  erinevat  intresside  arvutamise  meetodit:  lihtintressi 
( simple  interest) ja  liitintressi  (compound interest). Nende meetodite peamine erinevus on, et 
lihtintressi puhul on tehingu (näiteks laenu, investeeringu) põhisumma kogu tehingu perioodi 
jooksul  muutumatu,  liitintressi  korral  aga  lisandub  intress  tehingu  põhisummale  kindlate 
ajavahemike  järel. Kõigepealt  vaatleme lihtintressi. 
 
2.2.1. Lihtintressi arvutamise valem. Finantstehingu ajaline kestvus päevades 
Intressi arvutamiseks kasutatakse valemit 
Intress = tehingu nimiväärtus   intressimäär   aeg 
ehk sümbolites 
                                      I  P  r  t ,   
 
 
                      (2.2.1) 
kus 
 
P on intressi kandva tehingu nimiväärtus ( face   value ) ehk põhisumma (principal) , 
 
r intressimäär ühe aasta kohta ehk aastaintressimäär (Annal / yearly ) rate of interest), 
 
t tehingu kestus ehk periood aastates (time  period  in years ), 
 
I teenitav intress ( amount  of interest earned). 
Põhimõtteliselt  võib  intresside  arvestamise  perioodiks  olla  ühe  aasta  asemel  ka  mingi  muu 
ajavahemik ,  näiteks  pool  aastat,  kolm  kuud  ehk   kvartal ,  üks  kuu  jne.  Kuid  enamasti 
kasutatakse  intresside  arvestamise  perioodina  siiski  ühte  aastat.  Kui  edaspidi  pole 
intressimäära puhul ajaperioodi märgitud, siis loeme vaikimisi, et r ehk intressimäära väärtus 
on antud ühe aasta kohta. 
Samuti võib tehingu kestus olla antud päevades. Siis tuleb valemi (2.2.1) kasutamiseks päevad 
teisendada aastateks valemi 
N
t 
  
 
 
 
         (2.2.2) 
K
järgi, kus  N on tehingu kestus päevades ja K päevade arv aastas.  
Valemit (2.2.2) kasutatakse panganduse praktikas üldiselt kolmel erineval viisil: 
1) 
süsteem  365/365;  arvestatakse,  et  igas  aastas  on  365  päeva  (ka  liigaasta 
loetakse 365 päeva  pikkuseks ), st  K  = 365 ja  N  määramisel  võetakse arvesse täpne tehingu  
päevade arv, kasutatakse riikide keskpankades; 
 
4 
2) 
süsteem  365/360;  arvestatakse,  et  aastas  on  kõik  kuud  30  päeva  pikkused,  st 
päevade  arv  aastas  K  =  360  ja  N  määramisel  võetakse  arvesse  täpne  tehingu    päevade  arv, 
kasutatakse  riikidevahelistes  laenutehingutes,  siseriiklikult  ka  näiteks  Belgias,  Prantsusmaal, 
Rootsis; 
3) 
süsteem 360/360; arvestatakse,  et K = 360 ja N määramisel võetakse arvesse, 
et aastas on kõik kuud 30 päeva pikkused, näiteks, kui veebruar kuulub tehinguperioodi, siis 
loetakse  ka  selle  pikkuseks  30  päeva;  kasutatakse  mõnede  riikide  kommertspankades, 
ettevõtete raamatupidamise hetkeseisu hindamisel. 
Kuna  Eesti  kommertspankades,  näiteks  Swedbankis,  SEB-is  kasutatakse  süsteemi  365/360, 
siis kasutame seda ka oma järgnevates arvutustes. 
Märkus 2.2.1. Valemi (2.2.1)  kasutamisel  on oluline jälgida, et r ja t mõõtmiseks kasutatud 
ühikud oleksid kooskõlas. See tähendab, et kui aeg t on aastates, siis ka intressimäär r oleks 
antud ühe aasta kohta või vastupidi, kui aeg t on aastates, siis peab ka r olema antud ühe aasta 
kohta. Muidugi, kui aeg on näiteks antud kuudes, siis peaks olema ka intressimäär antud ühe 
kuu kohta. 
 
Näide 2.2.2. Milliseid r ja t arvulisi väärtusi  tuleb kasutada valemi (2.2.1) rakendamisel, kui 
a)  intressimäär on  8% ja finantstehingu ajaline kestus on 3 aastat; 
b)   kvartali  intressimäär on  3,6%  ja  finantstehingu ajaline kestus on 7 kuud; 
c)  ühe kuu intressimäär on  1,25% ja  finantstehingu ajaline kestus on 155 päeva; 
d)  poole  aasta  intressimäär  on    5,5%  ja  finantstehingu  ajaline  kestus  on  1  aasta  ja  3 
kuud? 
Lahendus.  
a)  r = 0,08 ja t = 3 (tuletame meelde, et vaikimisi on r ühe aasta kohta). 
b)  I võimalus: 1 kuu intressimäär on 3,6 : 3 = 1,2% ehk r = 0,012 ja t = 7 (kuud). 
II  võimalus:  (aastane)  intressimäär  on 
7
4  6
3
 ,
14 %
4
  ehk  r  =  0,144  ja  t 
 
12
(aastat). 
155
c)  (aastane) intressimäär on 12  ,
1 25 
15
 ehk r = 0,15 ja  t 
 ,
0 431 (aastat). 
360
3
d)  (aastane) intressimäär on  2  5
5
 %
11
 ehk r = 0,11 ja  t  1 
 ,
1 25  (aastat). # 
12
 
5 
 
Kui tehingu  algus- ja  lõppkuupäev on teada, saame leida selle täpse ajalise pikkuse päevades. 
Märkus  2.2.2.  Kokkuleppeliselt  võetakse  tehingu  päevade  lugemisel  arvesse  tehingu 
alguskuupäev , kuid ei võeta arvesse tehingu lõppkuupäeva.  
Järgnevates arvutustes on vaja teada päevade täpset arvu igas kuus: 
jaanuar     31      veebruar  28 (29)    märts        31      aprill         30  
mai           31      juuni        30 
  juuli          31      august       31  
september 30      oktoober  31 
  november 30      detsember 31 
 
 
Näide  2.2.3.  Leida  tehingu  ajaline  kestus  päevades,  kui  alguskuupäev  on  28.  jaanuar  ja 
lõppkuupäev 14. mai samal kalendriaastal (ei ole liigaasta). 
Lahendus.  
Alguskuupäev 28. jaanuar - võetakse arvesse; 
lõppkuupäeva  14. mai      - ei arvestata. 
Päevade arv:   jaanuaris    4 
veebruaris 28 
 
 
märtsis       31 
 
 
aprillis       30 
 
 
mais          13 
 
 
________________ 
     Kokku 
 
     106 päeva # 
 
Näide 2.2.4. Leida tehingu ajaline kestus päevades, kui tehing algab 2. oktoobril 2011. aastal 
ja lõpeb 12. märtsil 2012. aastal. 
Lahendus.  
Alguskuupäev  2.  oktoober 2011 - võetakse arvesse; 
lõppkuupäeva  12. märts      2012      - ei arvestata. 
Päevade arv:   oktoobris   2011         30 
 
 
novembris 
 
30 
 
 
detsembris 
 
31 
jaanuaris   2012 
31 
veebruaris  
 
29 (liigaasta) 
 
 
märtsis        
 
11 
 
6 
 
 
_________________________ 
     Kokku 
 
      
 
162 päeva # 
 
2.2.2.  Intressi arvutamine 
Kui  tehingu  nimiväärtus,  intressimäär  ja  tehingu  kestus  on  teada,  siis  saab  intressi  arvutada 
valemiga (2.2.1). 
Näide 2.2.5. Arvutada intress, kui 
a)  tehingu  nimiväärtus  on  3000  EURi,  intressimäär  8%  ja  finantstehingu  ajaline 
kestus on 3 aastat; 
b)  tehingu  nimiväärtus  on  250  EURi,  kvartali  intressimäär  on    3,6%    ja  
finantstehingu ajaline kestus on 7 kuud; 
c)  tehingu  nimiväärtus  on  1350  EURi,  ühe  kuu  intressimäär  on    1,25%  ja  
finantstehingu ajaline kestus on 155 päeva; 
d)  tehingu  nimiväärtus  on  6200  EURi,  poole  aasta  intressimäär  on    5,5%  ja 
finantstehingu ajaline kestus on 1 aasta ja 3 kuud? 
Lahendus.  
Kasutades valemit (2.2.1) ja näites 2.2.2 esitatud r ja t   arvutusi , saame järgmised tulemused: 
a)  P = 3000, r = 0,08 ja t = 3 ning 
I  P  r  t =  3000  08
0
3  720 EURi; 
b)  I võimalus: P = 250, r = 0,012 (kuus) ja t = 7 kuud ning 
I  P  r  t =  250  012
0
 7  21 EURi; 
II võimalus: 
7
P = 250, r = 0,144 (aastas) ja  t 
 aastat ning 
12
7
I  P  r  t =  250  144
0

 21 EURi; 
12
155
c)  P = 1350, r = 0,15 ja  t 
 (aastat)  ning 
360
155
I  P  r  t = 1350  15
0


19
87
EURi; 
360
d)  P = 6200, r = 0,11 ja  t  ,
1 25  (aastat). ning 
I  P  r  t =  6200  11
0
 ,
1 25 
5
852 EURi. # 
 
Näide  2.2.6.  Arvutada  investeeringu  10 000  EURi  intress,  kui  intressimäär  on  10,5%  ning 
investeeringu ajavahemik on 02.10. 2011 - 12. 03.2012.  
 
7 
Lahendus.  
Et investeeringu kestus on 162 päeva (vt näide 2.2.4), siis  
162
t 
; lisaks sellele P = 10 000, r = 0,105. 
360
Järelikult 
162
I  P  r  t = 10000  0,105
 472,5 EURi. # 
360
Kui tehinguperioodi vältel intressimäär muutub, tuleb kogu periood jaotada osaperioodideks, 
mille  vältel  intressimäär  on   konstantne ,  arvutada  intress  iga  osaperioodi  kohta  eraldi  ja 
tehingu intressiks on siis osaperioodide intresside summa. 
Näide  2.2.7.  Arvutada  investeeringu  13 000  EURi  intress,  kui  investeeringu  ajavahemik  on 
04.08.2011  -  12.06.2012  ning  intressimäär  on  algul  10,5%,  alates  01.12.2011  tõuseb 
intressimäär 11 protsendini ning alates 04.03.2012 11,5 protsendini. 
Lahendus.  
Vastavalt intressimäära muutumisele jaotame kogu perioodi kolme  ossa . Tulemused esitame 
järgnevas tabelis (intresside arvestamisel peame silmas, et arvesse läheb osaperioodi esimene 
päev, kuid mitte viimane päev) 
_________________________________________________________________________ 
Osavahemik   
   Päevade arv  
    Intressimäär 
Osaperioodide  
 
 
 
 
 
 
 
 
intress 
 
__________   
   __________ 
    __________ 
______________ 
   04.08.2011-01.12.2011 
  28+30+31+30 =119           10,5%   
451,21 EURi (1) 
   01.12.2011-04.03.2012 
  31+31+29+3   = 94            11% 
 
373,39 EURi (2) 
   04.03.2012-12.06.2012 
 28+30+31+11 = 100            11,5%   
415,28 EURi (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________ 
Kokku  
 
 
 
 
 
 
1239 ,88 EURi 
_____ ____________________________________________________________________ 
119
(1)  I  P  r  t =  13000   105
0


451 21EURi 
360
94
(2)  I  P  r  t = 13000  11
0


39
373
EURi 
360
100
(3)  I  P  r  t = 13000  115
0


415 28 EURi 
360
Seega investeeringu koguintress on 1239,88 EURi. # 
 
 
8 
2.2.3.  Tehingu nimiväärtuse, intressimäära ning tehingu kestuse arvutamine 
Kuna  valemis  I  P  r  t on  neli  suurust  I,  P,  r  ja  t,  siis  mistahes  kolm  teadaolevat 
komponenti neist määravad üheselt ka  neljanda  komponendi. Näiteks, teades I, r ja t väärtusi, 
saame valemist   I  P  r  t tuletada reegli tehingu nimiväärtus arvutamiseks: 
I
  
 
 
 
 
P 
. 
 
 
 
          (2.2.3) 
r  t
Analoogiliselt saame valemid intressimäära ning tehingu kestuse arvutamiseks: 
I
r 
 
 
 
 
          (2.2.4) 
P  t
I
t 
. 
 
 
 
          (2.2.5) 
P  r
Valemite  (2.2.3)-(2.2.5)  kasutamise  asemel  aga  võib  toimida  ka  nii,  et  asendame  valemis 
I  P  r  t   kolme  komponendi  teadaolevad  väärtused  ning  lahendame  neljanda  (hetkel 
tundmatu) komponendi suhtes tekkinud võrrandi.  
Näide  2.2.8.   Joosep   paigutas  10  kuuks  tähtajalisele  hoiusele  teatava   rahasumma   aastase 
intressimääraga  5,5%  ning  teenis  antud  investeeringust  80  EURi  intressi.  Kui  suur  oli  see 
tähtajalisele hoiusele pandud summa? 
Lahendus.  
10
5
Antud juhul I = 80, r = 0,055 ning  t 
  aastat.  
12
6
I võimalus. Asetades teadaolevad muutujate väärtused valemisse (2.2.1), saame 
5
80  P  055
0
   ehk 80  P 
045833
0
 
6
millest avaldame  
80
P 

1745 47  EURi. 
045833
0
II võimalus. Valemit (2.2.3) kasutades arvutame 
80
P 

1745 46  EURi. 
5
055
0
 6
Paneme   tähele,  et  kahel  erineval  viisil  arvutades  tekkis  ühe  eurosendi  suurune  erinevus. 
Lahknevus  tuleneb  asjaolust,  et  esimesel  juhul  oli  0,045833  ümardatud  suurus,  teisel  juhul 
toimus ümmardamine alles lõppvastuses; seega teisel juhul saadud vastus on täpsem. Võime 
aga siiski märkida, et vastuste  erinevus ei ole oluliselt suur. 
 
9 
Seega paigutas Joosep  tähtajalisele hoiusele 1745,46 EURi. # 
Näide 2.2.9.  Karla  soovib 800 EURi  suurusest  investeeringust teenida 350 päeva jooksul 100 
EURi intressi. Milline peaks olema selleks vajalik intressimäär?  
Lahendus. 
Asetades väärtused 
350
P = 800, I = 100  ja  t 
 (aastat)  valemisse (2.2.1), saame 
360
350
100  800  r 
 ehk 100  777, 7778 r,  
360
millest avaldame 
100
r 
 1286
0

86
12
 
1233
767
Järelikult peab Karla leidma investeerimisvõimaluse, mis annaks aastas 12,86%  intressitulu . 
Märgime, et r väärtuse arvutamiseks võinuks kasutada ka vahetult valemit (2.2.4). # 
Näide 2.2.10. Oskar soovib osta jalgratast, mis maksab 200 EURi, kuid tal on vaba raha ainult 
180  EURi.  Oskar  leidis,  et  puuduoleva  20  EURi  kogumiseks  tuleb  olemasolev  180  EURi 
panna tähtajalisele hoiusele intressimääraga 9,52% . Kui pikk peaks olema hoiustamistähtaeg? 
Lahendus. 
Asetades väärtused P = 180, I = 20  ja  r  0952
0
 valemisse (2.2.5), saame 
20
t 
 167134
1
 aastat =  167134
1
360päeva    420 päeva. 
0952
0
180
Seega vajamineva raha kogumiseks kulub 420 päeva. # 
 
2.2.4.  Finantstehingu tähtpäevaväärtus. 
Finantstehingu  tähtpäevaväärtus (maturity value) S = tehingu nimiväärtus P + intress I 
ehk 
S  P  I   
 
 
       
          (2.2.6) 
 
Näide 2.2.11. Leida 
a)  investeeringu tähtpäevaväärtus S, kui nimiväärtus on 5000 EURi ja intress 300 EURi, 
b)  intress I, kui investeeringu nimiväärtus on 1200 EURi ja tähtpäevaväärtus  1620 EURi, 
c)  investeeringu nimiväärtus P, kui tähtpäevaväärtus on 2300 EURi ja intress 400 EURi. 
Lahendus. 
a)  Kuna P = 5000 ja  I = 300, siis  
 
10 
S  P  I = 5000 + 300 =5300 EURi, 
b)  Siin P = 1200 ja S = 1620; seega 
1620 = 1200 + I, 
mistõttu  
I = 1620 – 1200 = 420 EURi, 
c)  Siin S = 2300 ja I = 400; seega 
2300 = P + 400, 
mistõttu  
P = 2300 – 400 = 1900 EURi. # 
 
Kuna  I  P  r  t , võib valemi (2.2.6) ümber kirjutada kujul 
S  P  P  r  t  
ehk  
S  P  1
(  r  t).  
 
 
          (2.2.7) 
 
Näide 2.2.12. Eugen investeeris 1200 EURi fondi, mille aastane intressimäär on 7%. Milline 
on investeeringu väärtus 
a)  poole aasta pärast,   
b)  250 päeva pärast?  
Lahendus. 
a)  Siin P = 1200,  t 
5
0  ja  r 
07
0
 järelikult  
S  P  1
(  r  t)  1200  1
( 
07
0

5
0
1242  EURi 
250
b)  Nüüd  P = 1200,  t 
 aastat ja  r 
07
0
 järelikult 
360
250
S  P  1
(  r  t)  1200  1
(  07
0

) 
33
1258
 EURi. # 
360
 
Näide 2.2.13.  Albert  investeeris 700 EURi ajavahemikus 07.01.2011-30.07.2011 fondi, mille 
aastaintressimäär on 9,5%. Milline on investeeringu tähtpäevaväärtus S? 
Lahendus. 
Päevade arv investeerimisperioodil on 25 + 28 + 31 + 30 +31 +30 + 29 = 204 ning  
204
P = 700,  t 
 aastat ja  r 
095
0
 
360
Järelikult  
 
11 
204
S  P  (1 r t)  700  (1 0, 095
)  737, 68  EURi. # 
360
Näide 2.2.14. Leida investeeringu tähtpäevaväärtus 15. detsembril, kui  investeering  koosneb 
kolmest  osainvesteeringust:  sama  aasta  10.  märtsil  investeeriti  3000  EURi,  18.  juunil  5000 
EURi ja 29. septembril 7000 EURi ning 
a)  intressimäär on kogu investeerimisperioodi jooksul 7%; 
b)  osainvesteeringute intressimäärad on vastavalt 6%, 7% ja 8,5%? 
Lahendus.  
a)  Arvutame kõigepealt osaperioodide intressid ; tulemused on esitatud järgnevas tabelis. 
  _________________________________________________________________________ 
      Osavahemik 
  Päevade arv   
Nimiväärtus (EUR)   Osaperioodide  intress 
   ____________  
   _______________       __________ 
 ______________ 
 10. märts-18. juuni    22+30+31+17 =100           3000 
 
    58,33 EURi (1) 
 18. juuni- 29. sept.    12+31+31+28 =102     3000+5000=  8000      158,67 EURi (2) 
 29. sept.- 15. dets. 
   2+31+30+14 = 77     8000+7000=15000      224,58 EURi (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ________________ 
Kokku  
 
 
 
 
 
 
   441,58 EURi 
 _________________________________________________________________________ 
100
(1)  I  P  r  t =  3000  07
0


33
58
EURi 
360
102
(2)  I  P  r  t =  8000  07
0


67
158
EURi 
360
77
(3)  I  P  r  t = 15000  07
0


58
224
EURi 
360
Seega  15.  detsembri  seisuga  on  investeeringu  tähtpäevaväärtus  15000  +  441,58=  15441,58 
EURi.  
b)  Antud  juhul  ei  saa  investeeritud  summasid  liita,  sest  nendele  kehtivad  erinevad 
intressimäärad. Intresside arvutus on esitatud järgnevas tabelis. 
  _________________________________________________________________________ 
      Osavahemik 
  Päevade arv   
Intressimäär      Nimiväärtus       Iintress 
   ____________  
   _______________   _______       ________ 
______________ 
 10. märts -15. dets.     
279 
     
    6%   
3000     
 139,5 EURi (1) 
 18. juuni - 15. dets.    
179 
     
    7%               5000                174,03 EURi (2) 
 29. sept. - 15. dets.      
77 
     
    8,5% 
7000     
 127,26 EURi (3) 
 
 
 
 
 
 
 
            _____          ________________ 
 
12 
Kokku  
 
 
 
 
 
15000               440,79 EURi 
 _________________________________________________________________________ 
279
(1)  I  P  r  t =  3000  06
0


5
139 EURi 
360
179
(2)  I  P  r  t =  5000  07
0


03
174
EURi 
360
77
(3)  I  P  r  t =  7000  085
0


127 26 EURi 
360
Seega  15.  detsembri  seisuga  on  investeeringu  tähtpäevaväärtus  15000  +  440,79  =  15440,79 
EURi. # 
  
2.2.5.  Finantstehingus esineva rahasumma nüüdisväärtus  
On lihtne märgata, et valemi  S  P  1
(  r  t)  abil saame arvutada finantstehingu põhisumma, 
kui on teada tehingu lõppväärtus , ajaline kestus ja intressimäär. 
Näide 2.2.15. Kui suure investeeringu intressimääraga 10% peab  Adalbert  3. veebruaril 2012. 
aastal tegema, et selle tähtpäevaväärtus 7. juunil samal aastal oleks 15 100 EURi? 
Lahendus. 
Päevade arv investeerimisperioodil on (2012 on liigaasta) 27 + 31 + 30 +31 + 6 = 125 ning  
125
S = 15 100,  t 
 aastat ja  r 
1
0
 
360
Järelikult  
125
15100  P  (1 0,1
)   ehk 15100  P 1
 ,034722,  
360
millest avaldame 
15100
P 
14593  EURi. 
1, 034722
 
Eelnevast näitest paneme tähele, et 
(1) 125 päeva jooksul teenitud intress on 15 100 – 14 593 = 507 EURi, 
507
(2) Igas päevas teenitakse  intressi 
 4  EURi. # 
125
Majanduses,  kus  raha  kasutamise  eest  tuleb  tasuda  intressi,  on  iga  rahasumma  antud 
intressimäära suhtes vaadeldav muutuvana ajas, sest igal erineval ajahetkel on vastav intress 
erinev. Raha väärtust vaadeldaval kuupäeval  nimetatakse raha ajaväärtuseks (time value of 
money) ehk dateeritud väärtuseks.  
 
13 
 
14 
 
03.02.2012 
 
 
r = 10% 
 
 
07.06.2012 
 
 
 
 
 
 
 
Investeeringu 
Investeeringu 
nimiväärtus 
tähtpäevaväärtus 
 
14 593 EURi 
15 100 EURi 
 
Joonis 2.2.1. Investeeringu muutumine ajas näites 2.2.15. 
 
Joonisel  2.2.1  illustreerime  raha  väärtuse  muutumist  ajas.  Näeme,  et   lähtesumma   14 593 
EURi  kasvab  10%  intressimäära  korral  125  päeva  jooksul  15 10  EURi-ni.  See  tähendab,  et 
investeeritud lähtesumma 14 593 EURi teenib 125 päeva jooksul 507 EURi intressi ehk teisiti 
öeldes, lähtesumma 14 593 EURi kasvab ligikaudu 4 EURi päevas. Siis antud investeeringu 
ajaväärtus   4.  veebruaril  2012.  aastal  on  ligikaudu  14 597  EURi,  5.  veebruaril  2012.  aastal 
ligikaudu  14 601  EURi  jne,  kuni  7.  juunil  2012.  aastal  on  antud  investeeringu  ajaväärtus 
15100  EURi.  Seega  investeeritud  summa  kasvab  päev-päevalt;  kui  näiteks  on  saabunud  3. 
veebruar  2012,  siis  lähteväärtus  14 593  EURi  on  tähtpäevaväärtuse  15 100  EURi 
nüüdisväärtuseks sel päeval, kui aga on jõudnud kätte 4. veebruar 2012, siis 14 597 EURi on 
tähtpäevaväärtuse  15 100  EURi  nüüdisväärtuseks  sel  päeval  jne.  Üldiselt,  kui  vaatleme 
investeeringu  ajaväärtust  kätte  jõudnud  päeval,  siis  seda  väärtust  nimetatakse  antud 
investeeringu tähtpäevaväärtuse nüüdisväärtuseks ( present value) sel päeval.   
Antud rahasumma kõiki ajaväärtusi  erinevatel ajahetkedel  loeme omavahel  ekvivalentseteks 
ehk samaväärseteks. 
Eelöeldust  näeme,  et  nüüdisväärtuse  arvutamise  küsimus  on  samaväärne  finantstehingus 
esineva  rahasumma  nimiväärtuse  leidmisega  juhul,  kui  tähtpäevaväärtus,   ajaperiood   ja 
intressimäär  on  teada.  Seepärast  saame  nüüdisväärtuse  arvutamiseks  kasutada  valemit  
S  P  1
(  r  t) , avaldades sellest P: 
S
P 
.   
 
 
          (2.2.8) 
1  r  t
Näide 2.2.16.  Leida finantstehingu rahasumma nüüdisväärtus P 5 kuud enne finantstehingu 
lõpptähtaega, kui nimetatud tehingu tähtpäevaväärtus on 2500 EURi ja intressimäär 8%. 
Lahendus.  
 
15 
5
S = 2500,  t 
 aastat ja  r 
08
0
 
12
S
2500
P 
= 
 2419,36 EURi. # 
1  r  t
1 
 5
08
0
12
 
2.2.6.  Erinevatel aegadel tehtud investeeringute võrdlemine. Maksete asendamine 
ekvivalentsete maksetega 
Oluliseks  küsimuseks  finantsmatemaatikas  on  rahasummade  võrdlemine  erinevatel 
ajahetkedel.  Kumb  on enam väärt, kas omada 100 EURi täna või 110 EURi ühe aasta pärast? 
Esmapilgul võib tunduda, et milles küsimus, 110 EURi on ju enam väärt, sest 110 on suurem 
kui 100. Kuid asi ei ole nii lihtne nagu esmapilgul tundub, sest rahasumma  nominaalne  suurus 
ei võimalda hinnata, kumb maksetest on reaalselt väärtuslikum. Ei ole võimalik väita, et 110 
EURi  ühe  aasta  pärast  on  alati  väärtuslikum,  kui  100  EURi  täna.  Vastus  sõltub  siin  turul 
kehtivast intressimäärast. Kui näiteks intressimäär on 15%, siis investeerides 100 EURi antud 
intressimääraga, kasvab antud summa aasta jooksul 115 EURini, kui aga intressimäär on sel 
perioodil hoopis 5%, kasvab 100 EURi  aasta jooksul ainult 105 EURini. Seepärast  esimesel 
juhul  on    100  EURi  täna  väärtuslikum  kui  110  EURi  ühe  aasta  pärast,  teisel  juhul  on  asi 
vastupidine .  
Märkus  2.2.2.  Tuleb  märkida,  et  eelnevas  arutelus  erinevatel  ajahetkedel  esinevate 
nominaalselt  erinevate  rahasummade  väärtuste  võrdlemisel  ei   võtnud   me  arvesse  kõiki 
asjaolusid. Esiteks, me ei arvestanud võimalikku inflatsiooni ehk raha ostujõu kahanemist ajas 
või  deflatsiooni  ehk  raha  ostujõu   suurenemist   ajas  (reaalselt  esineb  harva)  (sellest  räägime 
hiljem,  punktis  2.5.2).  Rahasummasid  võrdlesime  vaid  intressimäära  suhtes.  Teiseks  lisame 
veel,  et  ka  intressimäärale  tuginev  võrdlus  on  suhteline  või  hinnanguline,  sest  sama  tüüpi 
finantstehingutes  võivad  erinevate  tehinguosaliste  ja  erinevate  pankade  puhul  kasutusel  olla 
erinevad intressimäärad. 
Asjaolu,  et  antud  rahasumma  kõik  ajaväärtused  erinevatel  ajahetkedel  on  omavahel 
ekvivalentsed,  annab  meile  võimaluse  võrrelda  finantstehingu  rahasummasid  erinevatel 
ajahetkedel. Selgitame öeldut järgmise näite abil. Oletame, et täna teeme investeeringu 1000 
eurot  intressimääraga  10%.  Siis  kolme  kuu  pärast  on  antud  investeeringu  ajaväärtus  1025 
eurot  ( S  1000  1
(  1
0  ,
0
25 =1025),  poole  aasta  pärast  1050  eurot,  ühe  aasta  pärast  1100 
eurot.  Kõik  nimetatud  ajaväärtused  1025,  1050  ja  1100  on  omavahel  finantsiliselt 
ekvivalentsed.  Järelikult  finantsilise  ekvivalentsuse  printsiibi  kohaselt  tuleb  erinevatel 
 
16 
hetkedel  sooritatud  maksete võrdlemiseks arvutada võrreldavate maksete ajaväärtused ühel ja 
samal  päeval,  kasutades  kehtivat  või  kokkulepitud  intressimäära.  Nimetatud  päeva,  mille 
suhtes ajaväärtused arvutatakse,  nimetame  edaspidi fookuspäevaks (focal  date ). Mida suurem 
on fookuspäeval arvutatud ajaväärtus, seda väärtuslikum antud investeering on.  
Seejuures,  kui  fookuspäev  on  pärast  plaanis  ette  nähtud  makset,  tuleb  kasutada 
tähtpäevaväärtuse valemit  S  P  1
(  r  t),  kui aga enne plaanitud makset, siis nüüdisväärtuse 
S
valemit  P 
. Illustreerime öeldut alljärgneva skeemiga (vt joonis 2.2.2), kus t1 on aeg 
1  r  t
I plaanitud maksest M fookuspäevani ning  on aeg fookuspäevast kuni II plaanitud makseni 
1 
t2 
M2. 
 
    I plaanitud makse    
 
     Fookuspäev 
                     II plaanitud makse 
 
 
          M1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M2 
 
t1 
     M 
1 (1+r  t1) 
  
M
t2 
        
2
 
1  r  t2
Joonis 2.2.2. Erinevatel ajahetkedel toimuvate maksete võrdlemine   
 
Näide 2.2.17.  Jüri võib osta lennupiletid täna 500 EURi eest või neli kuud hiljem 540 EURi 
eest.  Milline  variant  on Jürile  rahaliselt  kasulikum,  kui  Jüril  on  võimalik  500  EURi   neljaks  
kuuks välja laenata intressimääraga 12%? 
Lahendus. 
Laenates 500 EURi välja, saab Jüri nelja kuu pärast võlgnikult tagasi summa 

4 
S  P  (1 r t)  500  1
  12
0

  520 EURi. 

12 
Kuna võlgnikult  tagasioodatav summa osutus väiksemaks kui  lennupileti hind  4 kuu pärast, 
siis  on  Jürile   soodsam   osta  pilet  välja  täna  500  EURi  eest.  Seega  esimene  variant  annab 
teisega  võrreldes tinglikult  540 - 520 = 20 EURi säästu. # 
 
Näide  2.2.18.    Milline  peaks  näites  2.2.17    olema  intressimäär  välja  laenatavalt  rahalt,  et 
näites esitatud lennupileti ostu võimalused oleksid rahaliselt samaväärsed. 
Lahendus. 
 
17 
Selleks,  et  mõlemad  piletiostu  võimalused  oleksid  samaväärsed,  peaks  välja  laenatud  rahalt 
saadav intress olema 540 – 500 = 40 EUR-i. Valemit  I  P  r t  kasutades saame 
4
40 12
40  500  r 
 ehk    r 
 ,
0 24 . 
12
500  4
Seega vajalik intressimäär peaks olema 24%.  
Märgime,  et  antud  juhul   saanuks   vastuse  leida  ka  lihtsamalt.  Nimelt,  näites  2.2.17   tegime  
kindlaks, et 12% intressimäär andis 4  kuuga  20 EURi intressi; järelikult sama pika aja jooksul 
annab 2 korda suuremat intressi (40 EURi) ka 2 korda suurem intressimäär ehk 24%. # 
Ülalkirjeldatud  rahasummade  võrdlemise  meetod  võimaldab  lepingus  ette  nähtud 
maksegraafiku  (näiteks  võla  kustutamiseks  kokku  lepitud  osamaksete  graafiku)   asendada  
teise, algul fikseerituga ekvivalentse maksegraafikuga. 
Märkus 2.2.4. Lihtintresside puhul  tuleb arvestada, et  tulemus  sõltub  fookuspäeva valikust. 
Seepärast  lisatakse  maksegraafikute  asendamisel  lihtintresside  meetodi  puhul  alati  ka 
fookuspäev, mille suhtes ümberarvestamine toimub. 
Näide 2.2.19.   Mall  on sõlminud laenulepingu, mille kohaselt ta peab laenu  kustutama  kahe 
osamaksega,  mis  sisaldavad  juba  ka  laenuintressi:  1200  EURi  kuus  kuud  peale  lepingu 
sõlmimist  ja  2000  EURi  üks  aasta  pärast  lepingu  sõlmimist.  Kolm  kuud  peale  lepingu 
sõlmimist sai Mall suure lotovõidu, mis võimaldab tal koheselt kogu võla tasuda. Kui suure 
summa  peaks  Mall  kolm  kuud  peale  lepingu  sõlmimist   tasuma ,  et   võlg    kustutada ,  kui 
kokkulepitud  intressimäär  oli  18%  aastas  ja  fookuspäevaks  valiti  päev  kolm  kuud  pärast 
lepingu sõlmimist? Milline oli võla nüüdisväärtus ehk võla väärtus praegusel ajahetkel? 
Lahendus. 
Kanname olulised andmed järgmisele skeemile (vt joonis 2.2.3). 
 
 
 
Nüüd   
3 kuud hiljem   
 6 kuud hiljem 
        1 aasta hiljem 
  fookuspäev 
 
 
 
        E1 
 
   1200 EUR-i 
 
 
 
        E2 
 
 
 
 
 
2000 EUR-i     
Joonis 2.2.3. Näites 2.2.19 esitatud ülesande lahendusskeem   
 
18 
 
Antud  skeemi  kohaselt  tuleb  arvutada  osamaksetega  vastavalt  ekvivalentsed  ajaväärtused  E1 
ja E2 fookuspäeval; nende maksete summa ongi otsitavaks ühekordseks makseks kolm kuud 
peale  lepingu  sõlmimist,  mis   kustutab   kogu  võla.  Kuna  fookuspäev  on  enne  plaanitavaid 
osamakseid,  siis  E1  ja  E2  arvutamiseks  peame  kasutama  nüüdisväärtuse  arvutamise  valemit 
(2.2.7), kus P rollis on kordamööda E1 ja E2. Seega  

S
1200
3
t 
1
E
= 
= 1148,33 EURi   (siin S = 1200, 
aastat, r = 0,18), 
1  r  t
3
12
1  18
0
 12
S
2000
9
E
t 
2  =
= 
= 1762,12 EURi   (siin S = 2000, 
aastat, r = 0,18); 
1  r  t
9
12
1  18
0
 12

1
E
E2  = 1148,33 + 1762,12 = 2910,45 EURi. 
 
Järelikult Mall peab kolm kuud peale lepingu sõlmimist tasuma 2910,45 EURi. 
Arvutame nüüd välja ka tegelikult laenatud summa ehk laenu nimiväärtuse P: 
S
2910 45
P 
= 
  2785,12 EURi. # 
1  r  t
1 
 3
18
0
12
 
Näide 2.2.20. Aasta tagasi sõlmis  Marina  laenulepingu, mille kohaselt pidi ta laenu kustutama 
kahe  osamaksega:  800  EURi  70  päeva  tagasi  ja  1500  EUR-i  50  päeva  pärast.  Pool  aastat 
tagasi  soostus  laenuandja  uue  maksegraafikuga,  mille  kohaselt  Marina  pidi  tasuma  võla 
kolmes  võrdses osas: täna, 60 päeva hiljem ja 120 päeva hiljem. Kui suur on viimati kokku 
lepitud osamakse, kui intressimäär oli 15% ning fookuspäev on lepitud kokku tänaseks?  
Lahendus. 
Olgu otsitava osamakse suurus x. Kanname olulised andmed järgmisele skeemile. 
 
19 
 
 
 
 
        Fookuspäev 
         70 päeva varem  
Täna   
50 päeva hiljem 
    Esialgne   
     graafik  
800 EUR-i 
 
  E1 
 
 
 
 
 
  E2        
  1500 EUR-i 
 
    Uus  
 
 
 
   x 
    graafik  
 
 
 
   E3     
 
          x 
 
 
 
 
 
   E4      
 
 
 
 
     x 
 
 
 
 
 
Täna                           60 päeva 
           120 päeva 
 
 
 
 
 
 
 
                  hiljem          
    hiljem 
Joonis 2.2.4. Näites 2.2.20 esitatud ülesande lahendusskeem   
 
Esialgse  graafiku järgi planeeritud maksetega vastavalt ekvivalentsed maksed on 

70 
E
P 
 r t 
 

 
1 = 
1
800 1
15
0
33
823
 EURi, 

360 
S
1500
E 

2
= 
39
1469
 EURi. 
1  r  t
50
1  15
0
 360
Uue graafiku järgi toimuvate maksetega ekvivalentsed maksed on x (vastab fookuspäevale), 
S
x
E 
 97561
0

3
= 
x  EURi 
1  r  t
1 
 60
15
0
360
S
x
E 
 952381
0

4
= 
x  EURi. 
1  r  t
1 
 120
15
0
360
Kuna  finantsilise  ekvivalentsuse  printsiibi  kohaselt  peab  fookuspäeval  uue  graafiku 
maksetega  ekvivalentsete  osamaksete  summa  olema  võrdne  vana  graafiku  maksetega 
ekvivalentsete maksete summaga , siis saame võrrandi 
 
x  97561
0
 x  + 952381
0
 x  = 823,33 + 1469,39 
ehk 
927991
2
 x 
72
2292
, 
 
20 
mistõttu 
72
2292
x 
=783,04 EURi.  
927991
2
Seega otsitava osamakse suurus on 783,04 EURi. # 
 
Näide 2.2.21.  5 kuud tagasi laenas Kirsti Riinalt 1000 eurot,  mille nõustus tagasi maksma 
kahe  osamaksega,  mille  nimiväärtused  on  vastavalt  600  EURi  ja  400  EURi,   kusjuures  
esimene osamakse pidi toimuma kuus kuud ja teine osamakse üks aasta peale laenu saamist 
ning  lisaks  osamaksete  nimiväärtustele  peab  Kirsti  maksma  Riinale  veel  intressi  aasta- 
intressimääraga  10%.  Täna   palus   Kirsti  Riinal  nõustuda  lubatud  kahe  makse  asemel  ühe 
maksega, mis  toimuks  kaheksa kuud peale laenu saamist. Millise summa peaks  Riina  kaheksa 
kuu  pärast  Kirstilt  saama,  kui  turul  kehtivaks  intressimääraks  on  täna  8%  ja  fookuspäevaks 
valiti päev kaheksa kuud peale laenu saamist? 
Lahendus. 
Antud  juhul  tuleks  leida  esialgselt  planeeritud  osamaksete  tähtpäevaväärtused  lubatud 
maksepäevadel (joonisel 2.2.5 tähistatud sümbolitega S1 ja S2). 
 
     5 kuud 
   
 
  täna      
 1 kuu   
 
          7 kuud  
      varem 
 
               
 
 hiljem 
 
 
hiljem 
 
6 kuud 
      600 EURi  
 
 
 
    S1 
1 aasta 
      400 EURi    
 
 
 
 
 
 
 
  S2 
Joonis 2.2.5. Esialgselt planeeritud osamaksete tähtpäevaväärtused lubatud maksepäevadel 
näites 2.2.21  
 

6 
S
P 
 rt 
 

 
1 = 
1
600 1
1
0
630  EUR-i 

12 
S
P 
 rt 
 
 
2 = 
1
400 1
1
0
1 440  EUR-i. 
Järgnevalt esitame skeemi (vt joonis 2.2.6), kus on märgitud  eespool  arvutatud osamaksed S1 
ja  S2  ning  nendega  vastavalt  ekvivalentsed  väärtused  fookuspäeval  (joonisel  2.2.6  tähistatud 
sümbolitega E1 ja E2). 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
   
   Fookuspäev 
   5 kuud varem       täna      1 kuu hiljem 
             3 kuud hiljem        
    7 kuud hiljem 
 
2 kuud 
 
 
 
 630 EURi 
 
          E1   
 
 
  
4 kuud 
          E2  
 
     440 EURi 
 
Joonis 2.2.6. Väärtustega S1 ja S2 ekvivalentsed väärtused E1 ja E2 fookuspäeval näites 2.2.21  
 

2 
E
S 
 r t 
 

 
1 = 
1
630 1
08
0
638 4
1
 EURi, 

12 
 S
440
E
2


2
 
57
428
 EURi 
1  r  t
4
1 
08
0
 12
 
Seega Riina  peaks Kirstilt saama ühekordse maksena  638,4 + 428,57 =  1064 ,97 EURi. # 
   
 
ÜLESANDED 
2.2.1. Milliseid r ja t arvulisi väärtusi tuleb kasutada valemi  I  P  r  t  kasutamisel, kui 
a) intressimäär on 6,5% ja finantstehingu ajaline kestus on 2,5 aastat; 
b) kvartali intressimäär on 3,6% ja finantstehingu ajaline kestus on 11 kuud; 
c) ühe kuu intressimäär on 1% ja finantstehingu ajaline kestus on 135 päeva; 
d) poole aasta intressimäär on 4,5% ja finantstehingu ajaline kestus on 1 aasta ning 9 
    kuud? 
2.2.2. Leida tehingu ajaline pikkus päevades, kui selle 
a) alguskuupäev on 18. jaanuar ja lõppkuupäev 10. mai samal aastal (ei ole liigaasta),’ 
b) alguskuupäev on 5. novembril 2011 ja lõppkuupäev 12. aprillil 2012, 
c) alguskuupäev on 3. märtsil 2011  ja lõppkuupäev 12. detsembril 2011. 
2.2.3. Arvutada intress, kui 
a) tehingu nimiväärtus on 5000 EURi, intressimäär 7% ja finantstehingu ajaline 
 
22 
    kestus on 2 aastat; 
b) tehingu nimiväärtus on 350 EURi, kvartali intressimäär on 2,6% ja 
    finantstehingu ajaline kestus on 5 kuud; 
c) tehingu nimiväärtus on 1650 EURi, ühe kuu intressimäär on 1,2% ja 
    finantstehingu ajaline kestus on 123 päeva; 
d) tehingu nimiväärtus on 4200 EURi, poole aasta intressimäär on 6,5% ja 
    finantstehingu ajaline kestus on 1 aasta ning 8 kuud? 
2.2.4. Arvutada järgnevate investeeringute intress:  
a) 2500 EURi perioodiks 02.03. 2011 - 12. 08.2012 intressimääraga 10,5%, 
b) 2500 EURi perioodiks 07.10. 2011 - 12. 04.2012 intressimääraga 9,5%, 
c) 424,23 EURi perioodiks 04.04. 2011 - 04. 11.2011 intressimääraga 12,75%. 
2.2.5.* Arvutada investeeringu 18 000 EURi intress, kui investeeringu periood on 06.05.2011 
-  12.04.2012  ning  intressimäär  on  algul  10%,  alates  01.10.2011  tõusis  intressimäär 
10,5 protsendini ning alates 04.02.2012 11 protsendini. 
2.2.6. Leia puuduvad elemendid järgmises tabelis. 
 
Küsimuse     Intress 
Nimiväärtus    Intressimäär  Aeg 
    nr 
   EUR 
     EUR 
1. 
58 
? 
11,5% 
5 kuud 
2. 
256,25 
? 
10,25% 
250 päeva 
3. 
200 
3000 
? 
335 päeva 
4. 
75 
965 
? 
11 kuud 
5. 
136,34 
954 
12,25% 
? (kuudes) 
6. 
55 
775 
9,75% 
? (päevades) 
2.2.7.  Jürgen  paigutas  9  kuuks  tähtajalisele  hoiusele  teatava  summa  aastase  intressimääraga  
2,5%  ning  teenis  antud  investeeringult  63  EURi  intressi.  Kui  suur  oli  tähtajalisele 
hoiusele pandud summa? 
 
23 
2.2.8. Kaarel soovib 750 EURi suuruselt investeeringult teenida 325 päeva jooksul 80 EURi 
intressi. Milline peaks olema selleks vajalik intressimäär? 
2.2.9.*   Osvald   soovib  osta  telerit,  mis  maksab  400  EURi,  kuid  tal  on  vaba  raha  ainult  350 
EURi.  Osvald  investeerib  puuduoleva  50  EURi  kogumiseks  olemasoleva  350  EURi 
intressimääraga  12%  .  Kui  pikk  peaks  olema  investeeringu  tähtaeg  päevades,  et 
koguda puuduolevad 50 EURi? 
2.2.10. Leida investeeringu 
a) tähtpäevaväärtus, kui nimiväärtus on 2600 EURi ja intress 220 EURi, 
b) intress, kui nimiväärtus on 1500 EURi ja tähtpäevaväärtus 1730 EURi, 
c) nimiväärtus, kui tähtpäevaväärtus on 3200 EURi ja intress 450 EURi. 
2.2.11.  Jesper  investeeris  1400  EURi  fondi,  mille  aastaintressimäär  on  9%.  Milline  on 
investeeringu väärtus 
a) 9 kuu pärast,  
b) 135 päeva pärast? 
2.2.12. Endel investeeris 650 EURi ajavahemikus 08.02.2011-30.08.2011 fondi, mille aastane 
intressimäär on 9,5%. Milline on investeeringu tähtpäevaväärtus? 
2.2.13.*  Leida  investeeringu  tähtpäevaväärtus  12.  detsembril,  kui  investeering  koosneb 
kolmest osainvesteeringust: sama aasta 8. veebruaril (mitte liigaasta) investeeriti 2000 
EURi, 17. mail 3000 EURi ja 25. augustil 5000 EURi ning 
a) intressimäär on kogu investeerimisperioodi jooksul 8%; 
b) osainvesteeringute aastaintressimäärad on vastavalt 7%, 8% ja 9,5%? 
2.2.14.*  Leida   konto   seis  22.  detsembril,  kui  sama  aasta  2.  veebruaril  pandi  arvele  1500 
EURi, 6. juunil 4000 EURi, 3. juulil võeti arvelt välja 1800 EURi ning 8. septembril 
lisati arvele 2300 EURi, kui aastaintressimäär on 8,2%. 
2.2.15.  Leida  investeeringu  nüüdisväärtus  7  kuud  enne  selle  lõpptähtaega,  kui  investeeringu 
tähtpäevaväärtus on 3500  EURi ja intressimäär 9%. 
2.2.16. Kui suure investeeringu intressimääraga 11% peab  Julius  13. veebruaril 2012 tegema, 
et selle tähtpäevaväärtus 18. juulil samal aastal oleks 12 100 EURi? 
 
24 
2.2.17. Järgmises tabelis on andmed kuue erineva investeeringu kohta. Leida nende investee-
ringute nimiväärtus ja puuduv element igas tabeli reas. 
Investeeringu     Intress 
Tähtpäeva-
  Intressimäär 
Aeg 
väärtus (EUR) 
    nr 
   EUR 
1. 
? 
305,9 
12% 
15 kuud 
2. 
95 
800 
? 
350 päeva 
3. 
29,67 
? 
12,9% 
8 kuud 
4. 
45 
365 
? 
320 päeva 
5. 
76 
754 
11,25% 
? 
6. 
? 
702 
9,2% 
10 kuud 
 
2.2.18.  Jürgen  võib  osta  lennupiletid  täna  450  EURi  eest  või  kolm  kuud  hiljem  480  EURi 
eest.  Milline  variant  on Jürgenile  rahaliselt  kasulikum,  kui Jürgenil  on  võimalik  450 
EURi kolmeks kuuks välja laenata intressimääraga 14%? 
2.2.19.  Kaspar  peab lepingu kohaselt tasuma võla 400 EURi täna, kuid rahapuudusel palub ta 
lükata  tasumise  aega  viis  kuud  edasi.  Millise  summa  peab  maksma  Kaspar  viie  kuu 
pärast, kui intressimäär on 12%?  
2.2.20.*  Juhan  peab  võla  kustutama  kahe  võrdse  600  EURi  suuruse  osamaksega  vastavalt 
kolme  ja  kuue  kuu  pärast  alates  tänasest.  Kui  suur  makse  kustutaks  võla  täna,  kui 
intressimäär on 10%?  
2.2.21.**  Olav  on  sõlminud  laenulepingu,  mille  kohaselt  ta  peab  laenu  kustutama  kahe 
osamaksega: 1000 EURi 3 kuud peale lepingu sõlmimist ja 2000 EURi 9 kuud peale 
lepingu  sõlmimist.  Kaks  kuud  peale  lepingu  sõlmimist  lepiti  aga  kokku,  et  Olav 
kustutab  võla  ühe  maksega  pool  aastat  hiljem  peale  esialgse  lepingu  sõlmimist.  Kui 
suure  summa  peab  Olav  maksma  pool  aastat  peale  lepingu  sõlmimist,  kui 
aastaintressimäär  oli  14%  aastas  ja  fookuspäev  on  samuti  pool  aastat  peale  lepingu 
sõlmimist? Milline oli võla nimiväärtus? 
2.2.22.** Gunnar võttis 500 EURi laenu kolm kuud tagasi ning 800 EURi täna. Lepingu järgi 
peab  ta  esimese  tagasimakse  700  EURi  tegema  ühe  kuu  pärast  ning  nelja  kuu  pärast 
 
25 
toimuva  teise  tagasimaksega  kustutama  kogu  võla.  Milline  on  teise  tagasimakse 
suurus, kui fookuspäev on täna ja intressimäär on 12%? 
2.2.23.** Randel sõlmis kuus kuud tagasi laenulepingu, mille kohaselt ta pidi laenu kustutama 
kahe osamaksega: 500 EURi 100 päeva tagasi ja 900 EURi 60 päeva pärast. Viis kuud 
tagasi  soostus  laenuandja  uue  maksegraafikuga,  mille  kohaselt  Randel  pidi  tasuma 
võla  kolmes  võrdses  osas:  täna,  80  päeva  hiljem  ja  150  päeva  hiljem.  Kui  suur  on 
viimati  kokku  lepitud  osamakse,  kui  aastaintressimäär  oli  15%  ning  fookuspäevaks 
valiti tänane päev? 
2.2.24.**  Laen  3000  EURi  kustutatakse  kolme  võrdse  osamaksega  vastavalt  kolme,  kuue  ja 
üheksa  kuu  pärast.  Kui  suur  on  see  osamakse,  kui  intressimäär  on  15%  ja 
fookuspäevaks valiti tänane päev? 
2.2.25.**  Seitse  kuud tagasi laenas Adolf Roobertilt 2000 EURi, mille nõustus tagasi maksma 
kahe  osamaksega,  mille  nimiväärtused  on  vastavalt  1200  EURi  ja  800  EURi, 
kusjuures esimene osamakse pidi toimuma 9 kuud peale laenu saamist ja teine 1 aasta 
peale  laenu  saamist  ning  lisaks  osamaksete  nimiväärtustele  peab  Adolf  maksma 
Roobertile  veel  intressi  aastase  intressimääraga  14%.  Täna  palus  Adolf  Roobertil 
nõustuda lubatud kahe makse asemel ühe maksega, mis toimuks 10 kuud peale laenu 
saamist.  Millise  summa  peaks  Roobert  10  kuu  pärast  Adolfilt  saama,  kui  turul 
valitsevaks intressimääraks on täna 10% ja  fookuspäevaks valiti päev 10 kuud peale 
laenu saamist?  
 
2.3. Võlakirjad.  Diskonteerimine  
Antud alateema  raames tutvume võlakirjadega seonduvate olulisimate finantstehingutega. 
Võlakirjaks  (promissory   note   või  loan   certificate )  nimetatakse  kirjalikku  dokumenti,  milles 
üks lepingu osapool lubab kindlal kuupäeval teisele osapoolele maksta kindla rahasumma.  
Võlakiri   võib  olla  intressi  teeniv  (internest-bearing  note)  või  intressi  mitteteeniv  (non-
interest-bearing  note).  Meie  vaatleme  põhjalikumalt  intressi  teenivat  võlakirja.  Võlakirjale 
märgitakse  
-  väljaandmise kuupäev (issue date),  
 
26 
-  võlakirja periood ( term   of  the note), mis  näitab  kui  pikaks ajaks on võlakiri  välja 
antud, 
-   tähtpäev   (due  date  või  date  of  maturity),  st  kuupäev,  millal  toimub  võlakirjale 
märgitud  maksekohustuse  täitmine,  tähtpäev  on  3  päeva  peale  võlakirja  perioodi 
lõppemist, 
-  võlakirja nimiväärtus (face value), 
-  aastaintressimäär  (rate  of  annual  interest),  millega  arvutatakse   lihtintress ,  mida 
nimiväärtus teenib. 
 
2.3.1.  Võlakirja tähtpäevaväärtus ja nimiväärtus. 
Võlakirja  tähtpäevaväärtus  on  nimiväärtuse  ja  intresside  summa.  Selle  arvutamiseks 
kasutatakse tuttavat tähtpäevaväärtuse arvutamise valemit 
S  P  (1 r t) ,   
 
          (2.3.1) 
kus  
S on võlakirja tähtpäevaväärtus,  
P võlakirja nimiväärtus,  
r aastane intressimäär, mida nimiväärtus teenib, 
t  intresside  arvutamise  periood,  st  väljaandmise  päeva  ja  tähtpäeva  vaheline 
ajavahemik. 
Näide 2.3.1. Võlakiri nimiväärtusega 700 EURi anti välja 05.10.2010 tähtpäevaga 11.04.2011 ning nimiväärtus 
teenis intressi aastaintressimääraga 11% aasta. Milline on selle võlakirja tähtpäevaväärtus. 
Lahendus. 
Intresside arvutamise periood on 05.10.2010 - 11.04.2011 ning selle pikkus päevades on   
27 + 30 +31 + 31 + 28 + 31 + 10 = 188. 
Siis  
188
t 
 aastat; P = 700 EURi, r = 0,11 
360
ning  

188 
S  P  1
(  r  t)  700  1
  11
0

 
740 21EURi. # 

360 
 
 
27 
Näide  2.3.2.  Võlakiri  nimiväärtusega  1200  EURi  anti  välja  01.06.2010  perioodiga  kuus  kuud  ning 
intressimääraga 13% aastas. Mis on selle võlakirja tähtpäevaväärtus. 
Lahendus. 
Intresside  arvutamise  periood  on  01.06.2010  -  04.12.2010  (lisatakse  3  täiendavat  päeva)  ning  selle  pikkus 
päevades on  186. Siis  
186
t 
 aastat; P = 1200 EURi, r = 0,13 
360
ning  

186 
S  P  1
(  r  t)  1200  1
  13
0

 
60
1280
EURi. # 

360 
Võlakirja nimiväärtuse arvutamiseks kasutatakse tuttavat  nüüdisväärtuse valemit  
S
P 
,   
 
 
          (2.3.2) 
1  r  t
kus sümbolite tähendused on samad, mis valemis (2.3.1). 
 
Näide  2.3.3.  Viiekuulise  perioodiga  võlakirja,  mis  oli  antud  välja  1.veebruaril  2008  ning  teenis  intressi 
intressimääraga 12% aastas, tähtpäevaväärtus oli 900 EURi. Kui suur oli selle võlakirja nimiväärtus? 
Lahendus. 
Selle  võlakirja  tähtpäev  oli  4.  juulil  2008,  st  kolm  päeva  peale  võlakirjaperioodi  lõppu.  Siis  intresside 
arvestamise perioodi pikkus oli 154 päeva (oli liigaasta). Seega 
154
S = 900 EURi, r = 0,12,  t 
 aastat, 
360
S
900
P 

= 856,06 EURi. # 
1 r t
154
1 0,12  360
 
Märkus  2.3.1.  Juhul,  kui  võlakiri  on  intressi  mitteandev,   ühtib   selle  tähtpäevaväärtus 
nimiväärtusega. Võlakirja ostja ehk  investor  saab tulu nii, et ta maksab võlakirja väljaandjale 
võlakirjale märgitud nimiväärtusest vähem.  
 
2.3.2.  Harilik diskonteerimine 
Võlakirjad  on  kaubeldavad,  st  väljaandmise  kuupäeva  ja  tähtpäeva  vahel  saab  võlakirja 
valdaja  võlakirja  maha  müüa.  Harilikult  on  müümise  põhjuseks  see,  et  võlakirja  valdaja 
soovib  saada  raha  enne  võlakirja  tähtaja  saabumist.  Hinda,  mille  võlakirja  omanik  selle 
müügist  saab,  nimetatakse  võlakirjasummaks  (proceeds  of  the  note).  Võlakirja  summa 
 
28 
arvutamise  intressi  teeniva  võlakirja  puhul  võib  joonisel  2.3.1  esitatud  skeemi  kohaselt 
jaotada kaheks etapiks.  
I.  Etapp.  Nimiväärtus  P  teenib  intressi  intressimääraga  r1  (mis  on  fikseeritud  ka 
võlakirjal) ajaperioodi t
  
1 jooksul. Valemiga  S
P 1
r t )
1 1  arvutatakse siis tähtpäevaväärtus. 
II.  Etapp. Müügikuupäeval peab võlakirja valdaja leppima selle hinnaga, mis arvutatakse 
tähtpäevaväärtusest  turul  sel  hetkel  valitseva  intressimäära  r2  järgi,  st  võlakirjasummaks  on 
tähtpäevaväärtuse S nüüdisväärtus V müügikuupäeval (st t2 aastat enne tähtpäeva), mis sõltub 
turul  valitsevast  intressimäärast  r .  Kuna  võimalikul   ostjal   on   rahaturul   võimalik  valida 
2
erinevate võimaluste vahel, siis ta lihtsalt ei ole nõus väärtusest r2 väiksema intressimääraga; 
võlakirja   müüja   aga  pole  nõus  väärtusest  r2  suurema  intressimääraga,  kuna  vastavalt  turul 
valitsevale olukorrale on tal võimalik leida ostja, kes nõustub intressimääraga r2.  
 
Väljaandmise kuupäev 
 
Müügikuupäev  
 
 
 
Tähtpäev 
    Nimiväärtus 
 
 
 
 
 
 
 
 Tähtpäevaväärtus 
r1 , t1 
     
 P  
 
 
 
 
 
 
 
 
S  P  1
(  r  t )
1
1  
 
 
 
 
 
 
Võlakirjasumma 
S
 
 
 
 
 
    V 
  
r2 , t2 
1 r  t
2
2
 
Joonis 2.3.1. Võlakirja summa arvutamine intressi teeniva võlakirja puhul 
 
Ülalkirjeldatud  protsessi  ehk  nüüdisväärtuse  arvutamist  müügikuupäeval  (kasutades  sel 
päeval  turul kehtivat  intressimäära) võlakirja tähtpäevaväärtuse järgi  nimetatakse   harilikuks  
ehk  lihtsaks  diskonteerimiseks  (simple  discounting).  Diskonteerimisel  kasutatavat 
intressimäära nimetatakse diskontomääraks (rate of discount) ning vahet tähtpäevaväärtuse ja 
võlakirjasumma vahel nimetatakse diskontoks (discount). 
Kui  tegemist  on  intressi  mitteteeniva  võlakirjaga,  siis  S  =  P,  st  I  etapp  jääb  lihtsalt  ära. 
Võlakirjasumma arvutatakse kohe II  etapis kirjeldatud meetodi kohaselt. 
 
29 
Näide  2.3.4.  Andi  on  3.  märtsil  välja  antud  200  päevase  perioodiga  intressi  mitteteeniva 
võlakirja,  mille  nimiväärtus  on  1600  EURi,  valdaja.  Ta  müüs  selle  sama  aasta  8.  juunil. 
Milline oli saadud võlakirjasumma, kui diskontomäär oli 13%?   
Lahendus.  
Intresside arvutamise periood on 200 + 3 = 203 päeva. Alates võlakirja väljaandmisest kuni 8. 
juunini on 29 + 30 + 31 + 7 = 97 päeva, mistõttu 8. juunist kuni võlakirja tähtpäevani on 203 -
97  =  106  päeva.  Esitame  arvutusteks  vajalikud  andmed  joonisel  2.3.2.  Kuna  tegemist  on 
intressi mitteteeniva võlakirjaga, siis tähtpäevaväärtus ja nimiväärtus ühtivad. Järelikult  Andi 
saab võlakirja müügist  
S
1600
V 

 1541 ,01 EURi.  
1  r  t
106
1 0,13 360
 
Väljaandmise kuupäev 
 
Müügikuupäev  
 
 
 
Tähtpäev 
3.  märts    
 
 
    8. juuni 
203 päeva, 0%
    Nimiväärtus 
 
 
   
 
 
  
 
  Tähtpäevaväärtus 
    1600 EURi  
 
 
 
 
     
 
                   1600 EURi 
 
 
 
 
 
 
Võlakirjasumma  
106 päeva, 13% 
        V= ? 
 
Joonis 2.3.2. Näites 2.3.4 esitatud ülesande lahendamise skeem 
 
Et  ostja  saab  tähtpäeval  võlakirja  eest  1600  EURi,  siis  teenib  ta  võlakirja  ostuga  võlakirja 
tähtpäeval 1600 – 1541,01 = 58, 99 EURi tulu. # 
Märkus 2.3.2. Võib tekkida küsimus, et kas Andi sai eelmises näites võlakirja  müües  kahju. 
Vastus  sellele  küsimusele  pole  ühene.  Kui  Andi  omandas  antud  võlakirja  väiksema  summa 
eest  kui  1541,01  EURi,  siis  inflatsiooni  arvestamata  jättes  Andi  kahju  ei  kandnud,  kui  aga 
Andi  omandas  võlakirja  suurema  summa  eest  kui  1541,01  EURi,  siis  võlakirja  müües  pidi 
Andi taluma rahalist kaotust. 
Näide 2.3.5. Kohvikupidaja rendib majaomanikult pinda ja maksab selle eest intresse teeniva 
võlakirjaga, mille nimiväärtus on 2000 EURi, väljaandmise kuupäev on 7. mai, periood kuus 
 
30 
kuud  ning  mille  intressimäär  on  14%.  Majaomanik  müüs  saadud  võlakirja  70  päeva  hiljem 
kommertspangale hinnaga, mis kindlustab sellele tulu 18%. Kui suure summa sai majaomanik 
kommertspangalt?   
Lahendus.  
Võlakirja tähtpäev on 10. november (7. novembrile lisatakse 3 päeva). Intresside arvutamise 
periood on 
25 + 30 + 31 + 31 + 30 +31 + 9 = 187 päeva. 
 
Võlakirja müügipäeval jäi tähtpäevani 187 – 70 = 117 päeva. 
Esitame arvutusteks vajalikud andmed joonisel 2.3.3. Järelikult   

187 
S  P  1
(  r  t)  2000  1
  14
0

 
2145 44  EURi, 

360 
S
2145, 44
V 

  2026 ,87  EURi. 
1  r  t
117
1 0,18 360
Seega majaomanik saab kommertspangalt  2026,87  EURi. # 
 
Väljaandmise kuupäev               Müügikuupäev  
 
 
 
     Tähtpäev 
7.  mai  
 
 
 
 
 
 
 
 
 10. november 
 
 
     
    Nimiväärtus 
 
 
 
 
 
  
           Tähtpäevaväärtus 
187 päeva, 14%
    2000 EURi     
 
 
 
 
  
 
 
         S = ? 
 
 
 
 
 
 
  Võlakirjasumma         
117 päeva, 18% 
     
ehk müügihind  V= ? 
 
Joonis 2.3.3. Näites 2.3.5 esitatud ülesande lahendamise skeem 
 
2.3.3. 
Pangaline ehk kommertsdiskonteerimine 
Lisaks eelmises punktis  käsitletud lihtsale  diskonteerimisele  kasutavad  pangad   veel  nn  pangalist  e   kommerts - 
diskonteerimist  ( bank   discounting).  Selle  meetodi  kohaselt  kasutatakse  intresside  arvutamise  baasina  võlakirja 
tähtpäevaväärtust. Sel juhul märgitakse võlakirjale nimiväärtusena tähtpäevaväärtus ning intressid ehk  diskonto  
arvutatakse   osana   tähtpäevaväärtusest.  Sel  puhul  panga  poolt  kasutatav  diskontomäär  ei  ole  intressimäär 
tavamõttes,  seepärast  nimetatakse  seda  panga  diskontomääraks  (rate  of  bank  discount)    ja  tähistatakse 
sümboliga  d.  Panga  diskontomäära  abil  arvutatud  intressi  nimetatakse  pangadiskontoks  (bank  discount). 
Pangalise diskonteerimise korral kasutatakse järgmisi tähistusi: 
 
31 
 
V – võlakirjasumma, 
S – tähtpäevaväärtus, 
D – pangadiskonto, 
d – panga diskontomäär, 
 t –  diskonteerimise periood. 
Kasutades  neid  tähistusi,  saame  kirja  panna  järgmised  valemid  pangadiskonto  D  ja  võlakirjasumma  V 
arvutamiseks: 
D  S  d  t ,     
 
 
          (2.3.3) 
V  S 
D  
 
 
 
          (2.3.4) 
V  S  1
(  d  t).  
 
 
          (2.3.5) 
Kui  tähtpäevaväärtuse  asemel  on  antud  võlakirjasumma,  siis  tähtpäevaväärtuse  arvutamiseks  saab  kasutada 
valemist (2.3.5) tuletatavat valemit  
V
S 
.   
 
 
          (2.3.6) 
1  d  t
 
Näide  2.3.6.  Andi  on  3.  märtsil  välja  antud  200  päevase  perioodiga  intressi  mitteteeniva  võlakirja,  mille 
nimiväärtus  on  1600  EURi,  valdaja.  Ta  diskonteeris  selle  sama  aasta  8.  juunil  pangas.  Millised  olid 
võlakirjasumma ja pangadiskonto, kui panga diskontomäär oli 13%?   
Lahendus.  
Paneme tähele, et sisuliselt on tegemist sama ülesandega, mis näites 2.3.4, ainult lihtsa diskonteerimise asemel 
kasutatakse siin pangalist diskonteerimist. Seepärast saame kasutada ka näites 2.3.4 kirjeldatud skeemi, kus 
106
S = 1600 EURi,    d = 0,13 ja  t 
 aastat. 
360
Siis on võlakirjasumma  

106 
V  S  1
(  d  t)  1600  1
  13
0

 
76
1538
 EURi 

360 
ning diskonto 
D  S V  1600 
76
1538
 ,
61 24 EURi. # 
Märkus  2.3.3.  Meenutame,  et  näites  2.3.4   saime   vastuseks,  et  lihtne  diskonto  oli  58,  99  EURi,  näites  2.3.6 
leidsime , et pangadiskonto oli 61,24 EURi. Seega pangadiskonto on 61,24 - 58, 99 = 2.25 EURi võrra suurem. 
Osutub, et tegemist on üldise seaduspäraga: arvuliselt  samade   hariliku  ja panga diskontomäärade  korral annab 
pangaline diskonteerimine alati veidi suurema diskonto arvulise väärtuse. 
Näide 2.3.7. Kohvikupidaja rendib  majaomanikult  ruume  ja maksab selle eest intresse teeniva võlakirjaga, mille 
nimiväärtuseks on selle tähtpäevaväärtus 2000 EURi, väljaandmise kuupäev on 7. mai, periood 6 kuud ning mis 
teenib  intressi  intressimääraga  14%.  Majaomanik  diskonteeris  saadud   veksli   70  päeva  hiljem  pangas  hinnaga, 
mis kindlustab pangale panga diskontomäära järgi tulu 18%. Kui suure summa sai majaomanik pangalt?   
 
32 
Lahendus.  
Paneme tähele, et sisuliselt on tegemist sama ülesandega, mis näites 2.3.5, ainult lihtsa diskonteerimise asemel 
kasutatakse  siin  pangalist  diskonteerimist.  Seepärast  saame  kasutada  ka  näites  2.3.5  kirjeldatud  skeemi, 
kusjuures samal viisil arvutatakse ka 
2145 44  EURi. Kuna nüüd  
117
d = 0,18  ja  t 
, 
360
siis võlakirjasumma on 


V 
117
S  1
(  d  t)  2145, 44  1 0,18
  2019 ,93


 EURi 

360 
ja diskonto 
D  S V 
2145 44 
93
2019

51
125
 EURi. # 
Näide  2.3.8.   Evald   soovis  võtta   pangast   laenu  1000  EURi  seitsmeks  kuuks.  Arvutada  summa,  mis  tuleks 
võlakirjale  märkida  ja  intress,  mis  tuleks  pangale  maksta,  kui   pank   diskonteerib  selle  15%  panga 
diskontomääraga 10 aprillil.  
Lahendus.  
Diskonteerimise periood on 10. aprill – 13. november ja selle pikkus  
 
21 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 12 = 217 päeva, 
 
217
V  1000  EURi,  d = 0,15  ja  t 
.  
360
Järelikult  
V
1000
S 


1099 40  EURi, 
1  d  t
217
1  15
0
 360
D  S V 
1099 40 1000 
99 40  EURi. 
 
Seega võlakirjale tuleb märkida summa 1099,40 EURi ning Evald peab pangale maksma 99,40 EURi intressi. # 
  
ÜLESANDED 
2.3.1. Võlakiri nimiväärtusega 600 EURi anti välja 07.08.2011 tähtpäevaga 11.02.2012 ning 
nimiväärtus  teenis  intressi  intressimääraga  12%  aastas.  Mis  on  selle  võlakirja 
tähtpäevaväärtus? 
2.3.2. Võlakiri nimiväärtusega 1500 EURi anti välja 08.06.2010 perioodiga üheksa kuud ning 
intressimääraga 15% aastas. Mis on selle võlakirja tähtpäevaväärtus? 
 
33 
2.3.3.  Seitsmekuulise  perioodiga  võlakirja,  mis  oli  antud  välja  1.märtsil  2008  ning  teenis 
intressi intressimääraga 12% aastas, tähtpäevaväärtus oli 750 EURi.  Kui suur oli selle 
võlakirja nimiväärtus? 
2.3.4.  Viiekuulise  perioodiga  intressi  mitteteeniv  võlakiri  nimiväärtusega  400  EURi,  mis  oli 
antud välja 1.märtsil 2010, diskonteeriti 1. juunil. Milline oli võlakirjasumma ning kui 
suur oli diskonto, kui diskonteerimine toimus 12% intressimääraga? 
2.3.5.*  13%    intressimääraga  intressi  teeniv  võlakiri  nimiväärtusega  900  EURi  anti  välja  3. 
mail ja diskonteeriti 15. juunil 15% intressimääraga. Leida võlakirjasumma ja diskonto, 
kui võlakirja tähtpäev oli 7.septembril samal aastal. 
2.3.6. Andrus on 3. aprillil välja antud 220 päevase perioodiga intressi mitteteeniva võlakirja, 
mille nimiväärtus on 1600 EURi, valdaja. Ta müüs selle sama aasta 8. juunil. Milline oli 
saadud võlakirjasumma, kui diskontomäär oli 11%? 
2.3.7.*  Koosolekute  korraldaja  rendib  majaomanikult  ruume  ja  maksab  selle  eest  intresse 
teeniva võlakirjaga, mille nimiväärtus on 1200 EURi, väljaandmise kuupäev on 13. mai, 
periood  kuus  kuud  ning  mis  teenib  intressi  intressimääraga  15%.  Majaomanik  müüs 
saadud  võlakirja  90  päeva  hiljem  finantsasutusele  hinnaga,  mis  kindlustab  sellele  tulu 
19%.  Kui  suure  summa  sai  majaomanik  finantsasutuselt  (kasutati  lihtsat 
diskonteerimist)?  
2.3.8.    Kolmekuulise  perioodiga  1.  augustil  välja  antud  intressi  mitteteeniv  võlakiri  nimi-
väärtusega  800  EURi  diskonteeriti  pangas  18.  septembril  samal  aastal  12% 
pangadiskontomääraga. Leida võlakirjasumma ja diskonto.  
2.3.9.* Viiekuulise perioodiga nimiväärtusega 600 EURi 10% intressimääraga intressi teeniv 
võlakiri  anti  välja  1.  mail  ja  diskonteeriti  pangas  18.  juunil  samal  aastal  13%  
pangadiskontomääraga. Leida võlakirjasumma ja diskonto.  
2.3.10. Anton on 7. aprillil välja antud 180 päevase perioodiga intressi mitteteeniva võlakirja, 
mille  nimiväärtus  on  1300  EURi,  valdaja.  Ta  diskonteeris  selle  sama  aasta  18.  juunil 
pangas.  Millised  olid  võlakirjasumma  ja  pangadiskonto,  kui  pangadiskontomäär  oli 
15%? 
2.3.11.*  Klubiõhtute  korraldaja  üürib  majaomanikult  ruume  ja  maksab  selle  eest  intresse 
teeniva  võlakirjaga,  mille  nimiväärtuseks  on  900  EURi,  väljaandmise  kuupäev  on  18. 
aprill,  periood  kuus  kuud  ning  mis  teenib  intressi  aastaintressimääraga  12%. 
 
34 
Majaomanik  diskonteeris  saadud  võlakirja  50  päeva  hiljem  pangas  hinnaga,  mis 
kindlustab pangale tulu 16% pangadiskontomääraga. Kui suure summa sai majaomanik 
pangalt?  
2.3.12.   Joonatan   soovis  võtta  pangast  laenu  800  EURi  kaheksaks  kuuks.  Leida  summa,  mis 
tuleks võlakirjale märkida ja intress, mis tuleks pangale maksta, kui pank diskonteerib 
selle 14% pangadiskontomääraga 18 märtsil. 
2.3.13.**  Võlakiri  nimiväärusega  300  EURi,  mis  teenis  intressi  intressimääraga  10%,  anti 
välja  1.  juunil  kolmeks  kuuks.  Leida  selle  võlakirja  tähtpäevaväärtus.  Milline  peaks 
olema  samadel    andmetel  panga  diskontomäär  d,  mis  annaks  võlakirjale  sama 
tähtpäevaväärtuse,  mis   lihtintressimäär   10%?  Kas  d  väärtus  sõltub  võlakirja 
nimiväärtusest? 
2.3.14.** Intressimääraga r intressi teeniva võlakirja nimiväärtus on P ja tähtaeg on t. Leida 
panga diskontomäär d, mis annaks sama tähtpäevaväärtuse, mis lihtintressimäär r?  
 
ÜLESANNETE VASTUSED 
135
2.2.1. a)  r  0, 065;   t  2,5;  b)  r  0, 012;   t  11;  c)  r  0,12;   t 
; d)  r  0, 09;   t  1, 75.  
360
2.2.3. a) 700 EURi; b) 15,17 EURi; c) 81,18 EURi;d) 910 EURi. 2.2.5.* 1775,5 EURi. 2.2.6. 
5.  5  kuud,  6.  14  kuud.  2.2.7.  3360  EURi  2.2.9.*  429  päeva.  2.2.11.  a)  1494,5  EURi;  b) 
1447,25  EURi.  2.2.13.*  a)  10  396,89  EURi;  b)  10  402,54  EURi.  2.2.15.  3325,42  EURi. 
2.2.17. 1. 266 EURi, 39,90 EURi  2. 705 EURi, 13,86%;  3. 345 EURi, 374,67 EURi; 4. 320 
EURi,  1,58%;  5.  678  EURi,  439  päeva;  6.  652,01  EURi,  49,99  EURi.  2.2.19.  420  EURi. 
2.2.20.*  1156,80  EURi  .  2.2.21.**  2967,37  EURi;  ligikaudu  2867  EURi.  2.2.23.**  480,89 
EURi. 2.2.25.** 2234,1 EURi. 2.3.1. 637,6 EURi. 2.3.3. 699,41 EURi. 2.3.5.* 909,44 EURi; 
31,84  EURi.  2.3.7.*   1230 ,51  EURi.  2.3.9.*  601,59  EURi.  2.3.11.*  898,03  EURi.  2.3.13.** 
9,74%; ei sõltu. 
2.4. Liitintressid 
 
Meenutame, et lihtintresside arvutusreegli kohaselt summa, mis teenib intresse, ei muutu kogu 
tehinguperioodi  jooksul,  lihtintress  makstakse  arvestusperioodi  lõpul  välja  ning  lihtintresse 
kasutatakse lühiajaliste, peamiselt alla aasta kestvate tehingute korral.  
 
35 
Liitintresside  puhul  ei  maksta  intresse  arvestusperioodi  lõpul  välja,  vaid  need  lisatakse 
lähtesummale.  Järgneval  perioodil  on  intresse  kandvaks   summaks   juba  lähtesumma  koos 
eelmise perioodi intressiga.  
Intressi  lisamist  intresside  arvestamise  perioodi  algul  olevale  summale  nimetame  edaspidi 
kapitalisatsiooniks  (compounding  või  conversion),  ajaperioodi,  mille  lõpus  toimub 
kapitalisatsioon ,  nimetame  kapitalisatsiooniperioodiks  (compounding  period).    Liitintresse 
kasutatakse  peamiselt  keskmise  kestusega  ja  pikaajalistes  tehingutes.  Ka  liitintresside  puhul 
lähtume  kõikidest  lihtintresside  arvutamisel  kasutatud  mõistetest  nagu  tehingu  nimiväärtus, 
tähtpäevaväärtus,  tulevikuväärtus , nüüdisväärtus jne. 
Seega  liitintresside   arvestamine   toimub  muutuva  baasiga.  Kontol  olev  summa  kasvab 
kiirenevalt. Näiteks, olgu arvelduskontole pandud lähtesumma 1000 EURi, mis teenib intressi 
liitintresside  reegli  järgi  10%  aastas.  Esimese  aasta  lõpuks  teenib  see  summa  intressi 
1
0 1000  100   EURi,  mis  lisatakse  lähtesummale.  Järelikult  teise  arveldusperioodi  ehk 
2. aasta  algul  on  intressi  teenivaks  summaks  1000  +  100  =  1100  EURi.  Nüüd  teise  aasta 
lõpuks  on  1100  eurot   teeninud   intressi 
1
0 1100  110   EURi,  mis  jällegi  lisatakse 
olemasolevale  1100   eurole .  Nii  on  kolmanda  aasta    algul  intressi  teenivaks  summaks 
1100 + 110  =   1210   EURi.  Kolmanda  aasta  lõpuks  on  see  summa  teeninud  intressi 
1
0 1210  121  EURi  ning  arvele  on  kogunenud  summa  1210  +  121  =   1331   EURi.  Seega 
kolmanda aasta jooksul teenis 1000 EURi intressi 1331- 1000 = 331 EURi. Kui intresse oleks 
arvutatud  lihtintresside  reegli  järgi,  olnuks  kolme  aastaga  teenitud  intress  olnud 
I  P t  r  10003.0,1  300  EURi. Kanname tulemused joonisel 2.4.1 näidatud  skeemile.   
 
 
 
 
Liitintresside meetod   
 
 
Lihtintresside meetod 
    Periood 
     Intressi teeniv summa    Intress             Intressi teeniv summa     Intress 
      1. aasta 
 
    1000 EURi           100 EURi 
           1000 EURi 
   100 EURi 
      2. aasta 
 
    1100 EURi           110 EURi 
 
1000 EURi      100 EURi 
      3. aasta 
 
    1210 EURi           121 EURi 
 
1000 EURi 
   100 EURi  
        
 
 
 
 
         _________                         
 
   _________ 
      Intress kokku                 331 EURi 
 
 
 
   300 EURi 
Tähtpäevaväärtus           1331 EURi   
 
 
  1300 EURi i 
Joonis 2.4.1. Liht- ja liitintresside võrdlus 
 
36 
Esitatud  skeemilt   nähtub ,  et  liitintressid  kasvavad  kiirenevalt  ning  aastast  suuremate 
tähtaegade  korral  annavad  suurema  tähtpäevaväärtuse.  Samas  võib  veenduda,  et  aastast 
lühemate tähtaegade korral annab lihtintresside meetod suurema tähtpäevaväärtuse. 
 
 
2.4.1. Tähtpäevaväärtuse ehk tulevikuväärtuse arvutamine liitintresside meetodiga 
Olgu  
P  investeeringu nimiväärtus ehk nominaalväärtus ( nominal value / face value),  
i   intressimäär kapitalisatsiooniperioodi kohta (periodic rate of interest),  
n  kapitalisatsiooniperioodide arv (number of compounding periods),  
S  tähtpäevaväärtus ehk tulevikuväärtus (maturity value or future value).   
Siis:  
esimese kapitalisatsiooniperioodi lõpus lisatakse nimiväärtusele P intress  P  i  ning saadakse 
teise kapitalisatsiooniperioodi alguseks summa  
P  P  i  P  1
(  i) ; 
teise  kapitalisatsiooniperioodi  lõpus  lisatakse  summale  P  1
(  i)   intress  P  1
(  i)  i   ning 
saadakse kolmanda kapitalisatsiooniperioodi alguseks summa 
2
P  1
(  i)  P  1
(  i)  i  P  1
(  i)  1
(  i)  P  1
(  i) ; 
peale 
n-ndat 
kapitalisatsiooniperioodi  saadakse  analoogiliselt  jätkates  järgneva 
kapitalisatsiooniperioodi alguseks  summa 
      S  P  1
(  )n
i
.                    
 
          (2.4.1) 
Kujutame kirjeldatud tulevikuväärtuse tuletuskäiku joonisel 2.4.2 näidatud  skeemil . 
 
37 
 
  0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
 
n - 1    
 
 n 
       1. periood            2. periood            3. periood 
 
 
 
 
  n-is periood 
 P 
      P  1
(  i)        
2
P  1
(  i)        
3
P  1
(  i)    
       
n 1
P  1
i) 

              P  1
(  )n
i
.  
Joonis 2.4.2. Tulevikuväärtuse arvutamine liitintresside meetodiga  
Saadud valem ongi tulevikuväärtuse arvutamise  valemiks . Veel leiame, et n kapitalisatsiooni-
perioodi jooksul teenitud intress  
I  S  P  
 
 
                    (2.4.2) 
 
ehk  
I  P  1
(  )n
i
 
  
1..   
 
 
          (2.4.3) 
 
Märkus 2.4.1. Valemite (2.4.1)-(2.4.3) rakendamisel tuleb alati jälgida, et intressimäär i oleks 
alati antud kapitalisatsiooniperioodi kohta. 
 
Näide  2.4.1.  Jüri  pani  investeerimiskontole  rahasumma  10 000  EURi.  Kui  suur  on  selle 
investeeringu  tähtpäevaväärtus  2,5  aasta  pärast  ning  kui  suur  on  intress,  kui  poolaasta 
intressimäär on 15,5% ning intress lisatakse kontole iga poolaasta lõpul? 
Lahendus.  
Kuna 2,5 aastat sisaldab 5 pooleaastast perioodi, siis 
P 
10000  n = 5,  i = 0,155 
ning investeeringu tähtpäevaväärtus on valemi (2.4.1) põhjal 
S  10000  1
( 
155
0
5 
64
20554
 EURi 
ning intressid valemi (2.4.2) põhjal 
I 
64
20554
10000 
64
10554
 EURi. # 
 
Valem (2.4.1) kehtib ka juhul, kui n ei ole  täisarv . 
Näide  2.4.2.  Kirsti  sai  pangalt  kaheks  aastaks  ja  160-ks  päevaks  laenu  1500  EURi  aastase 
intressimääraga 14%, mille lubas kustutada ühekordse maksega laenutähtaja lõpul. Kui suur 
 
38 
oli  pangale  tagasimakstav  summa,  kui   laenuintress   lisatakse  põhisummale  iga  aasta  lõpus? 
Kui suur oli intress?  
Lahendus.  
160
P 
1500   n  2 
 ,
2 4444  aastat,  i = 0,14 
360
S  1500  1
( 
14
0
2 4444 
2066 28  EURi, 
 
I 
2066 28 1500 
28
566
 EURi. 
Seega  Kirsti  pidi  pangale  maksma  2066,28  EURi,  millest  intressid  moodustavad  566,28 
EURi. # 
 
Nii  nagu  lihtintresside  korral,  antakse  panganduses  tavaliselt  intressimäär  ühe  aasta  kohta. 
Aastaintressimäära  nimetatakse  ka  nominaalseks  intressimääraks  ehk  nominaal-
intressimääraks  (nominal  rate  of  internest  /  nominal  interest  rate)  ja  tähistatakse  edaspidi 
sümboliga j. Kui  
 
m on kapitalisatsioonide arv aastas, 
 
i  intressimäär kapitalisatsiooniperioodi kohta,  
siis  
   j  m i . 
 
 
 
          (2.4.4) 
 
Näide 2.4.3. Leida kapitalisatsiooniperioodide arv n ja intressimäär i kapitalisatsiooniperioodi 
kohta, kui 
a)  aastane intressimäär on 12% ühe kapitalisatsiooniga aastas ja tehingu kestus on 9 
aastat, 
b)  aastane  intressimäär  on  8,5%  kapitalisatsiooniga  iga  poolaasta  järel  ning  tehingu 
kestus on 12 aastat, 
c)  aastane  intressimäär  on  10,5%  kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpul  ning  tehingu 
kestus on 8,25 aastat, 
d)  aastane intressimäär on 18% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpul ning tehingu kestus 
on 30 kuud. 
Lahendus.  
j
Valemist (2.4.4) avaldame  i 
,  mistõttu 
m
12
a)  i 
 %
12
 12
0
  ning  n  9 1  9 , 
1
 
39 
5
8
b)  i 
 ,
4
25
 0425
0
  ning  n  12  2 
24  
2
5
10
c)  i 

625
2
 02625
0
  ning  n  ,
8 25  4 
33  
4
18
d)  i 

5
1
 015
0
  ning  n 
30  # 
12
 
Näide 2.4.4. Leida kapitalisatsiooniperioodide arv m aastas, kui aastane intressimäär on 9,6% 
ja 
a)  intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 4,8%, 
b)  intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 9,6%, 
c)  intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 2,4%, 
d)  intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 0,8%. 
Lahendus.  
j
Valemi (2.4.4) avaldame  m 
,  mistõttu 
i
6
9
a)  m 
 2 , 
8
4
6
9
b)  m 
 1, 
6
9
6
9
c)  m 
 4 , 
2 %
4
6
9
d)  m 
 .
12  # 
8
0
Näide 2.4.5. Leida nominaalne intressimäär, kui   
a)  kapitalisatsiooniperioodiks on 1 kuu ja kuuintressimäär 1,2%, 
b)  kapitalisatsiooniperioodiks on 1 kvartal ja kvartaliintressimäär 2,2%. 
Lahendus.  
Valemist (2.4.4) abil arvutame 
a)  j  12  ,
1 2 
14 %,
4
 
b)  j  4  ,
2 2 
8
8
 # 
Näide 2.4.6. Marina pani 5-ks aastaks investeerimiskontole rahasumma 7 000 EURi. Kui suur 
on selle investeeringu tähtpäevaväärtus, kui kapitalisatsioonid toimuvad iga kvartali lõpul 
ning nominaalne intressimäär on 16%? 
Lahendus.  
Kuna 
 
40 
P 
7000   m  ,
4   j  16% , 
siis 
16
  n  5  4  20 ,   i 
 %
4

04
0
 
4
S  7000  1
( 
04
0
20 
57
8516
 EURi. 
Marina investeering on kasvanud 5 aastaga 8516,57 euroni. # 
Järgnevalt vaatame, kuidas mõjutab tehingu tulevikuväärtust kapitalisatsiooniperioodide arvu 
suurendamine  sama  nominaalse intressimäära ning püsiva investeerimisperioodi  korral. 
Näide 2.4.7. Tehti investeering 1000 EURi 4-ks aastaks nominaalse intressimääraga 12%. Kui 
suur on selle investeeringu tulevikuväärtus, kui antud määra korral on  
a)  üks kapitalisatsioon aastas, 
b)   kapitalisatsioon iga poolaasta lõpus, 
c)  kapitalisatsioon iga kvartali lõpus, 
d)  kapitalisatsioon iga kuu lõpus. 
Lahendus.  
a)  i 
12

12
0
  n  4 1  4 ;  S  1000  1
( 
12
0
4 
52
1573
 EURi, 
12
b)  i 
 %
6

06
0
  n  4  2  8 ;  S  1000  1
( 
06
0
8 
85
1593
 EURi, 
2
12
c)  i 
 %
3

03
0
  n  4  4  16 ;  S  1000  1
( 
03
0
16 
71
1604
 EURi, 
4
12
d)  i 
 %
1

01
0
  n  4 12  48;  S  1000  1
( 
01
0
48 
1612 23  EURi. # 
12
 
Näitest 2.4.7 paneme tähele, et kapitalisatsiooniperioodi sageduse suurendamine toob endaga 
kaasa investeeringu tulevikuväärtuse suurenemise. 
Ka liitintresside korral võib intressimäär olla ajas muutuv. Olgu meil k erinevat perioodi  nk  
intressimääradega  i .
k  Siis tulevikuväärtus S arvutatakse valemiga 
        
n
n
1
2
k
n
S  P  1
(  i )
 1
(  i )
... 1
(  i
1
2
k )
                                (2.4.4) 
Illustreerime esitatud valemit järgmise näitega. 
 
Näide 2.4.8. Riina laenab 10 000 EURi 5 aastaks baasintressiga 12% aasta kohta. Seejuures 
kahe  esimese  aasta  jooksul  lisatakse  baasintressile  0,5%  ning  intresside  kapitalisatsioon 
toimub  iga    kuu  lõpus,  järgneva  kolme  aasta  jooksul  lisatakse  baasintressile  0,75%  ning 
 
41 
intresside  kapitalisatsioon  toimub  iga  kvartali  lõpus.  Millise  summa  peab  Riina  laenu 
kustutamiseks tagasi maksma viie aasta pärast? 
Lahendus.  
Kujutame olulised andmed järgneval skeemil 
 
 
 
  
   Intressimäära  
 
 
 
  Laenu tagas- 
    Täna 
 
       muutus 
 
 
 
              tamise päev 
  0 
 
1 
 
2                     3 
 
 4  
 
 5 
                    
  
 
    P = 10 000  
        S1=? 
 
 
 
 
 
S2=? 
 
Joonis 2.4.3. Näites 2.4.8 esitatud ülesande lahendusskeem 
5
12
75
12
i 

042
1
  0104
0
i 


1
, 
1875
3
0319
0
1
 
12
4
n  2 12  24
n   
1
kuud, 
3 4
12
2
 kvartalit 
Kõigepealt arvutame tulevikuväärtuse kaks aastat peale laenulepingu sõlmimist: 
1
S  P  1
(  i )n
24
 

1
1
= 10000 1
0104
0
59
12818
 EURi. 
Nüüd leitud S1 väärtus on viimaseks kolmeks aastaks uus nimiväärtus, mistõttu 
2
S  S  1
(  i )n
12
 

2
1
2
= 
59
12818
1
0319
0
94
18684
 EURi. 
Seega peab Riina laenu kustutamiseks tagasi maksma 18684,94 EURi. # 
2.4.2 Nüüdisväärtuse arvutamine ja diskonteerimine liitintresside korral 
Valemit (2.4.1) saab kasutada ka tehingu nimiväärtuse P arvutamiseks, kui tulevikuväärtus S 
on teada. Selleks lihtsalt avaldame P valemist (2.4.1):  
S
P 
.   
 
 
          (2.4.5) 
n
1
(  i)
 
42 
Nimiväärtuse   leidmist   valemiga  (2.4.1)  nimetatakse  diskonteerimiseks  liitintresside 
meetodiga  ning  nimiväärtust  P  nimetatakse  tulevikuväärtuse  S    nüüdisväärtuseks  ehk 
diskonteeritud väärtuseks (net present value). 
 
Näide 2.4.9. Ako peab 5000 EURi tasuma viie aasta pärast ning soovib selle summa koguda, 
investeerides  selleks  viieks  aastaks  teatava  summa.  Millise  summa  peab  Ako  investeerima, 
kui  investeeringu  nominaalne  intressimäär  on  12%  ning  kapitalisatsioon  toimub  üks  kord 
kvartalis ?  
Lahendus.  
Kuna  
12
S = 5000,  n  5  4  20  ja  i 
 %
3

03
0
 
4
siis vastavalt valemile (2.4.5) leiame, et Ako peab investeerima 
5000
P 

38
2768
 EURi. # 
1
( 
03
0
20
Samuti kasutatakse valemit (2.4.5) ka pika tähtajaga võlakirjade diskonteerimiseks.  
Näide  2.4.10.  Evald  valdas  võlakirja  nimiväärtusega  3400  EURi,  mis  oli  välja  antud 
01.09.2008 tähtpäevaga 01.06.2014 ning mis teenis intressi nominaalse intressimääraga 12% 
kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus.  Evald  diskonteeris  võlakirja  01.12.2010  15% 
nominaalse  diskontomääraga  kapitalisatsiooniga  iga  poolaasta  lõpus.  Millise  summa  Evald 
sai? 
Lahendus.  
Kanname andmed joonisel 2.4.4 antud skeemile. 
 
    Väljastamine 
 
Diskonteerimispäev   
 
 
         Tähtpäev 
     01.09.2008 
 
     01.12.2010 
 
 
 
        01.06.2014 
    P1= 3400 EURi  
 
 
 
 
 
 
 
 
   S = ? 
 
 
 
 
 
    Võlakirjasumma    
 
 
 
    S 
 
 
 
 
 
P2 =? 
 
Joonis 2.4.4. Näites 2.4.10 esitatud ülesande lahendusskeem  
 
43 
Kõigepealt  leiame  võlakirja  tähtpäevaväärtuse  S.  Selleks  paneme  tähele,  et  ajavahemik 
01.09.2008 - 01.06.2014 sisaldab 5 aastat ja 9 kuud. Siis  

9 
12
n  5 
  4  23
i 


1
 kvartalit,  
3
03
0
 P

1
1= 3400, 
12 
4
S  P 1 ) 1
n
i
 3400 1
( 
03
0
23 
19
6710
1
1
 EURi. 
Nüüd leiame võlakirjasumma. Selleks paneme tähele, et ajavahemik 01.12.2010 - 01.06.2014 
sisaldab 3 aastat ja 6 kuud. Siis   

6 
15
n  3 
  2  7
i 


2
 poolaastat,  
5
7
075
0
 P

1
1= 3400, 
12 
2
S
19
6710
P 


6
4044
2
 EURi. 
1
( 
) 2
n
i
1
( 
075
0
7
2
Seega saab Evald diskonteerimisel 4044,6 eurot. # 
 
2.4.3. Maksete asendamine ekvivalentsete maksetega liitintresside puhul.  
Ka  liitintresside  korral  on  finantsilise  ekvivalentsuse  printsiipi  kasutades  võimalik 
kokkulepitud  maksed  asendada  kas  ühe  ekvivalentse  maksega  või  uue  ekvivalentse 
maksegraafikuga. Põhimõtteliselt toimub kõik sarnaselt punktis 2.2.6 kirjeldatud lihtintresside 
juhuga,  ainult  lihtintresside  puhul  kehtivad  valemid  tuleb  asendada  vastavate  liitintresside 
puhul kehtivate  valemitega.  
Oluliseks  erinevuseks  võrreldes  lihtintressidega  on  asjaolu,  et  liitintresside  puhul  ei  sõltu 
tulemus valitavast fookuspäevast. 
Kirjeldame öeldut järgneva näite abil. 
Näide 2.4.11.  15 kuud tagasi laenas Marina Jürilt rahasumma,  mille nõustus tagasi maksma 
kahe osamaksega:  800 EURi 21 kuud peale laenu võtmist ja 500 EURi i 30 kuud peale laenu 
võtmist,  Täna  palus  Marina  Jüril  nõustuda  lubatud  kahe  makse  asemel  ühe  maksega,  mis  
toimuks kaks aastat peale laenu saamist. Millise summa peaks Jüri üheksa kuu pärast Marinalt 
saama,  kui  turul  valitsevaks  nominaalintressimääraks  on  täna  14%  ühe  kapitalisatsiooniga 
igas kvartalis?   
Lahendus. 
Valime  fookuspäevaks  päeva  2  aastat  peale  laenu  võtmist  ning  kanname  olulised  andmed 
joonisel 2.4.5 antud skeemile. Kuna igas kvartalis on üks kapitalisatsioon, siis   
14
i = i


1 = i2 =
5
3
035
0
 n1 = 1 ja n2 = 2 
4
 
44 
ning (P = 800, S = 500) 
 (1 )n
E
P
i  =  800  1

035
0
1  828  EURi,  
1
S
500
E 


76
466
2
 EURi. 
1
(  )n
i
1
( 
035
0
2
 
 
 
 
 
 
    
 
       Fookuspäev  
       15 kuud               
     6 kuud 
                       9 kuud                            15 kuud     
        varem            
täna           hiljem 
                        hiljem                              hiljem 
 
 
 
       800  
 
 
   E1     
 
  
   E2    
 
        500  
 
Joonis 2.4.5. Näites 2.4.11 esitatud ülesande lahendusskeem  
Seega Jüri  peaks Marinalt saama ühekordse maksena  828 + 466,76 = 1294,67 EURi. # 
Näide 2.4.12. Andi sõlmis aasta tagasi laenulepingu, mille kohaselt ta pidi laenu kustutama 
kahe osamaksega: 700 EURi 9 kuud tagasi ja 1300 EURi 6 kuu pärast.  Kümme kuud tagasi 
soostus  laenuandja  uue  maksegraafikuga,  mille  kohaselt  Andi  pidi  tasuma  võla  kolmes 
võrdses  osas:  täna,  viie  kuu  pärast  ja  ühe  aasta  pärast.  Kui  suur  on  viimati  kokku  lepitud 
osamakse, kui intressimäär oli 15% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus?  
Lahendus. 
Olgu otsitava osamakse suurus x. Kanname olulised andmed joonisel 2.4.6 näidatud skeemile. 
 
 
 
 
        
     
    Esialgne         9 kuud 
 
    Fookuspäev                        6 kuud 
    graafik 
      varem 
 
        Täna 
 
 
hiljem 
700 EURi 
 
           E1     
 
 
 
 
 
           E2   
 
         1300 EURi  
 
    Uus  
 
 
 
        x EURi 
    graafik  
 
 
 
             E3   
         x EURi 
 
 
 
 
 
             E4   
 
 
 
 
     x EURi 
 
 
 
 
 
 
 
 
        5 kuud   
   
  1 aasta 
 
 
 
 
 
 
 
         hiljem   
     
   hiljem 
 
45 
 
Joonis 2.4.6. Näites 2.4.12 esitatud ülesande lahendusskeem  
 
Kuna kapitalisatsioon on iga kuu lõpus, siis  
15
i 
 ,
1
25

0125
0
 
12
Järelikult esialgse graafiku järgi planeeritud maksetega vastavalt ekvivalentsed maksed on 
 
n
E  P  1
(  i)
9

 

1
 
700 1

0125
0
80
782
 EURi, 
S
1300
E 


63
1206
2
 EURi. 
1
(  )n
i
1
( 
0125
0
6
 
Uue graafiku järgi toimuvate maksetega ekvivalentsed maksed on x (vastab fookuspäevale), 
 
S
x
E 

 939777
0
 x
3
 EURi. 
1
(  i n
1
( 
0125
0
5
S
x
E 

 861509
0
 x
4
 EURi. 
1
(  i n
1
( 
0125
0
12
 
Kuna  finantsilise  ekvivalentsuse  printsiibi  kohaselt  peab  fookuspäeval  uue  graafiku 
maksetega  ekvivalentsete  osamaksete  summa  olema  võrdne  vana  graafiku  maksetega 
ekvivalentsete maksete summaga, siis saame võrrandi 
 
x  939777
0
 x  + 861509
0
 x  = 782,80 + 1206,63 
ehk 
801286
2
 x 
1989 43 , 
mistõttu 
1989 43
x 
=710,18 EURi.  
801286
2
Seega otsitava osamakse suurus on 710,18 EURi. # 
 
2.4.4.  Kapitalisatsiooniperioodi  intressimäära  ja  kapitalisatsiooniperioodide  arvu 
määramine 
 
46 
Valemi 
n
S  P  1
(  i)   abil  on  võimalik  leida  ka  i  ja  n  väärtusi,  kui  ülejäänud  suurused  on 
teada. Kapitalisatsiooniperioodi intressimäära i arvutamiseks tuleb toimida järgmiselt: 
S
S
S  P  1
(  n
i)  1
(  n
i) 
 1 i  n
  
P
P
i 
S
n
1   
 
 
          (2.4.6) 
P
 
Näide 2.4.13.  Investeerimisfond  garanteerib, et investeeringu 4000 EURi tähtpäevaväärtus on 
kolme aasta pärast 5100 EURi. Leida kapitalisatsiooniperioodi intressimäär, kui 
a)  kapitalisatsioon on iga aasta lõpus,  
b)  kapitalisatsioon on iga kvartali lõpus. 
Lahendus. 
Siin P = 4000, S = 5100. 
S
5100
a)  m  1,  n  31  3;   i  n
1  3
1  0844
0
 ,
8 44 %  aasta kohta; 
P
4000
S
5100
b)  m  4 ,  n  3 4  12 ;   i  n
1  12
1  0205
0
 05
2
%  kvartali kohta. # 
P
4000
Oletame,  et  mingi  investeerimisfondi  tulumäärad  on  mitmeaastase  perioodi  vältel  aastati 
erinevad.  Valemi  (2.4.6)  abil  on  võimalik  leida  antud  tulumäärade  seeriaga  ekvivalentne 
ühine tulumäär kõigi aastate jaoks. Illustreerime seda järgneva näitega. 
 
Näide 2.4.14. Investeerimisfondi tulumäärad olid 3 järjestikuse aasta jooksul 7,8%, -4,1% (st 
fondi  väärtus  teisel  aastal  kahanes)    ja  26,7%.  Leida  antud  seeriaga  ekvivalentne  aasta- 
intressimäär seeria  kõigi 3 aasta jaoks, mis garanteerib sama tulu. 
Lahendus. 
Oletame,  et  vaadeldava  3-aastase  perioodi  algul  oli  fondi  väärtus  P.  Siis  antud  andmetele 
tuginedes saame, et selle fondi tähtpäevaväärtus 3 aasta pärast on 
S  P  1
( 
078
0
 1
( 
041
0
 1
(  ,
0
267  309827
1
 P  
Otsitav intressimäär on seega  
S
309827
1
i  n

P
1  3
1 3

309827
1
1  0941
0
 ,
9 41% . 
P
P
 
47 
Tulemust  võime  tõlgendada  ka  nii,  et  selle  fondi  keskmine  tulumäär  on  9,41%  aastas  3-
aastase perioodi vältel. # 
Märkus  2.4.2.  Paneme  tähele,  et  näites  2.4.14  esitatud  ülesande  vastus  ei  sõltu  fondi 
nimiväärtuse P arvulisest suurusest. 
Kapitalisatsiooniperioodide arvu määramiseks toimime järgmiselt: 
n
S
n
S
S
S  P  1
(  n
i)  1
(  i) 
 ln 1
(  i)  ln
 n  ln 1
(  i)  ln
  
P
P
P
 S 
ln

 P 
n 
.    
 
 
          (2.4.7) 
ln 1
(  i)
Märkus  2.4.3.  Märgime,  et  valemi  (2.4.7)  järgi  arvutades  võib  n  väärtuseks  tulla  ka 
mittetäisarvuline suurus. Järgnevas näites selgitame, kuidas sel juhul toimida. 
Näide 2.4.15. Kirsti omandas võlakirja, mille kohaselt talle pidi makstama kahe aasta pärast 
3000 EURi koos lisandunud intressidega, mida arvestatakse nominaalse intressimääraga 10% 
ning  kapitalisatsioonid  on  iga  kvartali  lõpus.  Mingil  päeval  enne  lepingu  tähtpäeva  müüs 
Kirsti võlakirja 3400 EURi eest maha. Mitu päeva enne tähtpäeva Kirsti müüs võlakirja, kui 
see diskonteeriti turul valitseva nominaalse intressimäära 9% järgi, kus kapitalisatsioonid on 
iga poolaasta lõpus.  
Lahendus. 
Kanname olulised andmed järgmisele skeemile. n1 = 8, i1 = 2,5%   n2 =?, i2 =4,5% 
 
 
 
 
 
   
  0 
 
Müügipäev 
   
 
 
 
 
 
 2 
 
 
n1 = 8, i1 = 2,5% 
     P1 = 3000 EURi   
 
 
 
 
 
 
       Tähtpäeva- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        väärtus S 
 
 
n2 =?, i2 = 4,5% 
     
 
        P2 =3400 EURi  
 
 Joonis 2.4.7. Näites 2.4.15 esitatud ülesande lahendusskeem  
 
 
 
 
 
 
48 
Kõigepealt  arvutame  võlakirja  tähtpäevaväärtuse,  arvestades,  et  kvartali  intressimäär  i1  ja 
kvartalite arv n1 kahes aastas on vastavalt 
10%
i


 
1 = 
2,5%
0, 025   ja n1 = 2 4
8  ning P1 = 3000: 
4
S  P  1
(  ) 1
n
i
 3000 1
( 
025
0
8 
3655 21
1
1
 EURi. 
Nüüd arvutame kapitalisatsiooniperioodide arvu müügipäeva ja tähtpäeva vahel, arvestades, et 
poolaasta intressimäär i2 antud perioodil on  
9
i


2 =
5
4
045
0
: 
2
 S 

3655 21
ln

ln

 2
P 
 3400 
n 


2
1,6443 poolaastat. 
ln 1
(  i )
ln 1
( 
045
0
2
Kuna  igas  poolaastas  on  180  päeva  (meenutame,  et  aasta  päevade  arv  on  360),  siis  1,6443 
poolaastat on päevades 
6443
1
180 
979
295
   296 . 
Seega Kirsti müüs võlakirja maha 296 päeva enne  tähtaega . # 
Näide  2.4.16.  Aastane  nominaalne  intressimäär  on  15%.  Leida,  millise  aja  jooksul 
investeeringu  1000  EURi  tulevikuväärtus  ületab  kahekordselt  nimiväärtuse,  kui  intresse 
arvestatakse  
a)   lihtintresside meetodiga 
b)  liitintresside meetodiga, kus intressid lisatakse üks kord aasta lõpus. 
Lahendus. 
Siin P = 1000, S = 2000, r = i = 0,15 ja intress I = S – P = 2000 - 1000 = 1000 EURi. 
I
1000
1
2
a)  t 


 6  aastat = 6 aastat ja 8 kuud; 
r  P
15
0
1000
15
0
3
 S 
 2000 
ln

ln

 P 
 1000 
b)  n 

 96
4
 aastat    5 aastat. 
ln 1
(  i)
ln 1
( 
15
0
Seega  liitintresside  meetodiga  kahekordistub  nimiväärtus  1  aasta  8  kuu  võrra  kiiremini  kui 
lihtintresside meetodiga. # 
 
49 
 
Küsimus  iseseisvaks  mõtlemiseks.  Kas  näites  2.4.16  esitatud  ülesande  vastus  sõltub 
investeeringu nimiväärtusest?  
2.4.5. Ekvivalentsed intressimäärad ja efektiivne intressimäär 
Uurime,   millistel   tingimustel  on  nominaalsed  intressimäärad  erineva  sagedusega  kapitalisatsioonide  korral 
omavahel samaväärsed ehk ekvivalentsed. Erineva sagedusega nominaalsed intressimäärad on ekvivalentsed, 
kui sama nimiväärtus teenib nende määradega sama suurt intressi. 
Näide  2.4.17.  On  tehtud  investeering  nominaalse  intressimääraga  10%    kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus. 
Kui suur nominaalne intressimäär on antud intressimääraga ekvivalentne, kui selle määraga arvestatud intressid 
lisatakse 
a)  iga aasta lõpus, 
b)  iga poolaasta lõpus, 
c)  iga kuu lõpus? 
Lahendus. 
Oletame, et investeeringu nimiväärtus on P. Siis selle tulevikuväärtus 1 aasta pärast on 10% intressimäära ning 
iga kvartali lõpus toimuva kapitalisatsiooni puhul 
n
4
S  P  (1 i)  P  (1 0, 025)  1,1038 ,
P  
st  1  aastaga  teenitud  intressid  on 
1038
0
 P ehk  teisiti  öeldes,  1  aastaga  lisandus  arvele  10,38%  esialgsest 
summast   P.  Kuna  sama  tulevikuväärtuse  1038
1
 P peame saama kõikidel juhtudel a), b) ja c), siis ülaltoodu 
põhjal antud 10% intressimääraga nominaalseks intressimääraks, mille järgi arvestatud intressid lisatakse 
a)  iga aasta lõpus, on 10,38%. 
b)  iga poolaasta lõpus, on (n = 2) 
 S


1038
1
P

2  n
1  2 
1  2  3 1038
1
 
1  2  05062
0
 10124
0

12
10




, 
 P


P

c)  iga kuu lõpus, on (n = 12) 
 S


1038
1
P

12  n
1  12  12
1  2  12 1038
1
 
1  12  008264
0
 0992
0
 92
9




# 
 P


P

Nagu  näidete  2.4.7  ja  2.4.15  põhjal  võisime  veenduda,  võivad  nominaalselt  samad,  kuid  erineva  sagedusega 
kapitalisatsioonidega intressimäärad anda sama nimiväärtuse ja tähtaja korral erineva tulevikuväärtuse. Seepärast 
ei  ole   selliselt   antud  intressimäärad  vahetult  võrreldavad.  Panganduses  on  seepärast  tavaks  leida  kõigile 
võrreldavatele intressimääradele nendega vastavalt efektiivsed intressimäärad.  
 
50 
Efektiivseks intressimääraks  ehk efektiivintressi  määraks (effective (internest)  rate)  nimetatakse  nominaalset 
intressimäära, mille järgi arvestatud intressid lisatakse nimiväärtusele 1 kord aasta lõpus.  
Efektiivset intressimäära tähistame edaspidi sümboliga f. Vaatleme, kuidas leida antud kapitalisatsiooniperioodi 
intressile i  vastavat efektiivset intressimäära f. Olgu  
P investeeringu nimiväärtus, 
m kapitalisatsiooniperioodide arv aastas, 
Siis  intressimääraga  f  investeeritud  summa  P  tulevikuväärtus  1  aasta  pärast  on  P  1
(  f ).  Intressimääraga  i 
m
investeeritud  summa  P  tulevikuväärtus  1  aasta  pärast  on  aga  P  1
(  i) .   Võrdsustame  nüüd  f  leidmiseks 
saadud tulevikuväärtused ja avaldame sellest f: 
P  1
(  f )  P  1
(  m
i)
  
m
     f  1
(  i)
1. 
 
 
 
          (2.4.8) 
 
Näide 2.4.18.  Kui suur efektiivne intressimäär vastab nominaalsele  intressimäärale 18%,  mille järgi arvutatud 
intressid lisatakse iga kuu lõpul? 
Lahendus. 
Kuna j = 18% ja m = 12, siis 
18
i 

5
1
 kuu kohta. 
12
Järelikult 
f  1
(  )m
i
1  1
( 
015
0
12 1  1956
0

56
19
%. # 
 
ÜLESANDED 
2.4.1. Leida kapitalisatsiooniperioodide arv n ja intressimäär i kapitalisatsiooniperioodi kohta, 
kui 
a) aastaintressimäär on 10% ühe kapitalisatsiooniga aastas ja tehingu kestus on 7 
     aastat, 
b) aastaintressimäär on 12,5% kapitalisatsiooniga iga poolaasta järel ning tehingu 
     kestus on 8 aastat, 
c) aastaintressimäär on 11,5% kapitalisatsiooniga iga kvartali lõpul ning tehingu 
     kestus on 7,75 aastat, 
d) aastaintressimäär on 16% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpul ning tehingu kestus 
     on 30 kuud, 
 
51 
e) aastane intressimäär on 13% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpul ning tehingu kestus 
     on 5 aastat ja 2 kuud. 
2.4.2. Leida kapitalisatsiooniperioodide arv m aastas, kui aastane intressimäär on 12,4% ja 
a) intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 6,2%, 
b) intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 12,4%, 
c) intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 3,1%, 
d) intressimäär ühe kapitalisatsiooniperioodi kohta on 1,33%. 
2.4.3. Leida nominaalne intressimäär, kui 
a) kapitalisatsiooniperioodiks on 1 kuu ja intressimäär selle kohta 1,1%, 
b) kapitalisatsiooniperioodiks on 1 kvartal ja intressimäär selle kohta 2,35%, 
c) kapitalisatsiooniperioodiks on poolaasta ja intressimäär selle kohta 4,3%. 
2.4.4.   Sass   pani  neljaks  aastaks  investeerimiskontole  rahasumma  6  000  EURi.  Kui  suur  on 
selle  investeeringu  tähtpäevaväärtus,  kui  kapitalisatsioonid  toimuvad  iga  poolaasta 
lõpul ning nominaalne intressimäär on 12%? 
2.4.5. Investeeriti 3000 EURi kolmeks aastaks nominaalse intressimääraga 13%. Kui suur on 
selle investeeringu tulevikuväärtus, kui antud määra korral on 
a) 1 kapitalisatsioon aastas, 
b) kapitalisatsioon on iga poolaasta lõpus, 
c) kapitalisatsioon on iga kvartali lõpus, 
d) kapitalisatsioon on iga kuu lõpus? 
2.4.6. Leida järgnevas tabelis antud andmetele vastavad tähtpäevaväärtused. 
Üles. nr  Nimiväärtus 
Nominaalne 
Kapitalisatsioone 
Ajaline 
kestus 
     (EUR) 
Intressimäär 
aastas 
1. 
300 
12,5% 
Aasta lõpus 
7 aastat 
2. 
750 
10,5% 
Poolaasta lõpus 
12 aastat 
3. 
1250 
16,5% 
Kvartali lõpus 
9 aastat 
4. 
3000 
12% 
Kuu lõpus 
11,25 aastat 
5. 
850 
13,5% 
Poolaasta lõpus 
27 kuud 
6. 
1300 
14,4% 
Kvartali lõpus 
40 kuud 
 
2.4.7.  Joosep  pani  investeerimiskontole  rahasumma  8  500  EURi.  Kui  suur  on  selle 
investeeringu  tähtpäevaväärtus  3,5  aasta  pärast  ning  kui  suur  on  intress,  kui  kvartali 
intressimäär on 3,5% ning intress lisatakse kontole iga poolaasta lõpul? 
 
52 
2.4.8.  Karla  sai  pangalt  kolmeks  aastaks  ja  125-ks  päevaks  laenu  1700  EURi  aastase 
intressimääraga 13%, mille lubas kustutada ühekordse maksega laenutähtaja lõpul. Kui 
suur oli pangale tagasimakstav summa, kui laenuintress lisatakse põhisummale iga aasta 
lõpus? Kui suur oli intress? 
2.4.9.*  Rain  laenab  12  000  EURi  viieks  aastaks  baasintressiga  11%  aasta  kohta.  Seejuures 
kolme  esimese  aasta  jooksul  lisatakse  baasintressile  0,5%  ning  intresside 
kapitalisatsioon  toimub  iga  kvartali  lõpus,  järgneva  kahe  aasta  jooksul  lisatakse 
baasintressile  0,75%  ning  intresside  kapitalisatsioon  toimub  iga  kuu  lõpus.  Millise 
summa peab Rain laenu kustutamiseks tagasi maksma viie aasta pärast? 
2.4.10.  Investeeriti  teatav summa  neljaks  aastaks nominaalse intressimääraga 15%. Kui suur 
on selle investeeringu nimiväärtus, kui tähtpäevaväärtuseks on 3600  EURi? 
2.4.11. Leida järgnevas tabelis antud andmetele vastavad nimiväärtused. 
 
Üles. nr  Tähtpäevaväärtus  Nominaalne  Kapitalisatsioone 
Ajaline kestus 
        (EUR) 
Intressimäär  aastas 
1. 
800 
13% 
Aasta lõpus 
8 aastat 
2. 
1750 
11,5% 
Poolaasta lõpus 
10 aastat 
3. 
600 
15% 
Kuu lõpus 
6 aastat 
4. 
450 
14,5% 
Kvartali lõpus 
5 aastat 6 kuud 
5. 
2550  
15,5% 
Poolaasta lõpus 
42 kuud 
6. 
1300 
14,4% 
kuu lõpus 
40 kuud 
 
2.4.12.   Rait   peab  3000  EURi  tasuma  kuue  aasta  pärast  ning  soovib  selle  summa  koguda, 
investeerides  selleks  viieks  aastaks  teatava  summa.  Millise  summa  peab  Rait 
investeerima,  kui  investeeringu  nominaalne  intressimäär  on  14%  ja  kapitalisatsioon 
toimub üks kord poolaastas? 
2.4.13. Andrus diskonteeris nimiväärtusega 3000 EURi intressi mitteteeniva võlakirja 44 kuud 
enne tähtpäeva 12% intressimääraga kapitalisatsiooniga igas kvartalis. Millise summa 
Andrus sai ning kui suur oli diskonto?  
2.4.14. Julius diskonteeris intressi mitteteeniva võlakirja, mille nimiväärtus oli  4500  EURi ja 
tähtpäev  1.  august  2013,  1.  juunil,  2010  10%  intressimääraga  igakuise  kapitalisat-
siooniga. Millise summa Julius sai ning kui suur oli diskonto? 
2.4.15.  Leopold  diskonteeris  1.  novembril,  2008  võlakirja,  mille  tähtpäevaväärtus  oli  6000 
EURi  ja  tähtpäev  1.  veebruar  2012    intressimääraga    10%  kord  kvartalis  toimuva 
kapitalisatsiooniga. Millise summa Leopold sai ning kui suur oli diskonto? 
2.4.16.*   Aleks   valdas  võlakirja  nimiväärtusega   2700   EURi,  mis  oli  välja  antud  01.06.2009 
tähtpäevaga  01.09.2015  ning  mis  teenis  intressi  nominaalse  intressimääraga  13% 
kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus.  Aleks  diskonteeris  võlakirja  01.12.2010  16% 
 
53 
nominaalse  intressimääraga  kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus.  Millise  summa 
Aleks sai? 
2.4.17. Laenu kustutamiseks tuleb kuue aasta pärast tasuda 7000 EURi. Leida antud maksega 
ekvivalentne makse  
a) täna, 
b) 4 aasta pärast, 
c) 8 aasta pärast, 
c) 12 aasta pärast 
eeldusel , et nominaalne intressimäär on 12% kapitalisatsiooniga iga aasta lõpus? 
2.4.18.  Nelja  aasta  pärast  peaks  Albert  laenu  kustutamiseks  tasuma  3000  EURi.  Kui  suure 
summa peaks Albert laenu kustutamiseks tasuma 
a) täna, 
b) 7 aasta pärast, 
eeldusel, et nominaalne intressimäär on 12% kapitalisatsiooniga igas kvartalis? 
2.4.19.* 18 kuud tagasi laenas Adolf  Andreselt  teatava summa, mille nõustus tagasi maksma 
kahe  osamaksega:  600  EURi  27  kuud  peale  laenu  võtmist  ja  500  EURi  kolm  aastat 
peale laenu võtmist, Täna palus Adolf Andresel nõustuda lubatud kahe makse asemel 
ühe maksega, mis toimuks 30 kuud peale laenu saamist. Millise summa peaks Andres 
ühe aasta pärast Adolfilt saama, kui turul valitsevaks nominaalseks intressimääraks on 
täna 14% ühe kapitalisatsiooniga igas kvartalis? 
2.4.20.*  Väikefirma  peab  võetud  laenu  kustutamiseks  tasuma  1500  EURi  täna,  2500  EURi 
kahe aasta pärast ja 4000 EURi kuue aasta pärast. Kui suure ühekordse maksega saaks 
see  firma  laenu  kustutada  nelja  aasta  pärast,  kui  nominaalne  intressimäär  on  9% 
kapitalisatsiooniga igas poolaastas? 
2.4.21.** Ettevõte pidi 10 kuu eest sõlmitud lepingu järgi kustutama laenu kahe osamaksega: 
2800  EURi  täna  ja  4000  EURi  üheksa  kuu  pärast  koos  intressiga,  mida  arvestati 
nominaalse  intressimääraga  11%  igakuise  kapitalisatsiooniga.  Täna  asendati  see 
maksegraafik  uue graafikuga, mille kohaselt ettevõte peab maksma 3500  EURi kuue 
kuu pärast  ja 18 kuu pärast  toimuva maksega kustutama kogu ülejäänud  võla.  Leida 
viimase  osamakse  suurus,  kui  nominaalne  intressimäär  on  täna  15%  igakuise 
kapitalisatsiooniga?  
2.4.22.** Harri sõlmis aasta tagasi laenulepingu, mille kohaselt pidi ta laenu kustutama kahe 
osamaksega:  800  EURi  seitse  kuud  tagasi  ja  1300  EURi  üheksa  kuu  pärast.  Kümme 
kuud tagasi soostus laenuandja uue maksegraafikuga, mille kohaselt Harri pidi tasuma 
võla  kolmes  võrdses  osas:  täna,  kaheksa  kuu  pärast  ja  ühe  aasta  pärast.  Kui  suur  on 
viimati kokku lepitud osamakse, kui intressimäär oli 12% kapitalisatsiooniga iga kuu 
lõpus? 
2.4.23.* Leida nominaalne aastaintressimäär järgmises tabelis antud juhtudel 
 
Üles. 
Nimiväärtus 
Tähtpäeva-
Ajaline kestus 
Kapitalisatsi
nr 
väärtus 
-oone aastas 
 
54 
1. 
2000 
4100 
6 aastat 
1 
2. 
3225 
5970 
5 aastat 
4 
3. 
850 
2100 
10 aastat 
2 
4. 
1125  
2000 
4 aastat 3 kuud 
12 
5. 
645 
1025 
3 aastat 8 kuud 
12 
6. 
1355 
5205 
15 aastat 
4 
 
2.4.24.* Investeerimisfond garanteerib, et investeeringu 3500 EURi tähtpäevaväärtus on nelja 
aasta pärast 4900 EURi. Leida nominaalne intressimäär, kui 
a) kapitalisatsioon on iga aasta lõpus,  
b) kapitalisatsioon on iga kvartali lõpus, 
c) kapitalisatsioon on iga kuu lõpus. 
2.4.25.  Investeerimisfondi  tulumäärad  olid  nelja  järjestikuse  aasta  jooksul  10,8%,  -6,1%  (st 
fondi väärtus teisel aastal kahanes), -0,3% ja 28,7%. Leida antud seeriaga ekvivalentne 
aastane intressimäär seeria kõigi nelja aasta jaoks, mis garanteerib sama tulu. 
2.4.26.*  Leida  kapitalisatsiooniperioodide  arv  (ei  pea  olema  täisarv)  järgmises  tabelis  antud 
juhtudel 
 
 
Üles. 
Nimiväärtus 
Tähtpäeva-
 Nominaalne 
Kapitalisatsi
nr 
väärtus 
intressimäär 
-oone aastas 
1. 
2080 
5100 
12% 
1 
2. 
3225 
5970 
15% 
4 
3. 
850 
2100 
8% 
2 
4. 
1325 
2200  
16% 
12 
5. 
645 
1025 
11% 
12 
6. 
1355 
5205 
20% 
4 
 
2.4.27.**  Oskar  omandas  võlakirja,  mille  kohaselt  talle  pidi  makstama  kolme  aasta  pärast 
4000  EURi  koos  lisandunud  intressidega,  mida  arvestatakse  nominaalse 
intressimääraga  13%  ning  kapitalisatsioonid  on  iga  kuu  lõpus.  Mingil  päeval  enne 
lepingu  tähtpäeva  müüs  Oskar  võlakirja  4400  EURi  eest  maha.  Mitu  päeva  enne 
 
55 
tähtpäeva  Oskar  müüs    võlakirja,  kui  see  diskonteeriti  turul  valitseva  nominaalse 
intressimäära 10% järgi, kus kapitalisatsioonid on iga kvartali lõpus? 
2.4.28.* Investeeringu nominaalne intressimäär on 15% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus. Kui 
suur  nominaalne  intressimäär  on  antud  intressimääraga  ekvivalentne,  kui  selle 
määraga arvestatud intressid lisatakse 
a) iga aasta lõpus, 
b) iga poolaasta lõpus, 
c) iga kvartali lõpus? 
2.4.29.* Kui suur efektiivne intressimäär vastab nominaalsele intressimäärale 18%, mille järgi 
arvutatud intressid lisatakse  
a) iga aasta lõpus, 
b) iga poolaasta lõpus, 
c) iga kvartali lõpus 
d) iga kuu lõpus? 
2.4.30.*  Aastane  nominaalne  intressimäär  on  12%.  Leida,  millise  aja  jooksul  investeeringu 
1500 EURi tulevikuväärtus ületab kahekordselt nimiväärtuse, kui intresse arvestatakse 
a) lihtintresside meetodiga  
b) liitintresside meetodiga, kus intressid lisatakse 1 kord aasta lõpus, 
c) liitintresside meetodiga, kus intressid lisatakse iga kvartali lõpus. 
2.4.31.*  Aastane  nominaalne  intressimäär  on  18%.  Leida,  millise  aja  jooksul  investeeringu  
tulevikuväärtus ületab kolmekordselt nimiväärtuse, kui intresse arvestatakse 
a) lihtintresside meetodiga 
b) liitintresside meetodiga, kus intressid lisatakse üks kord aasta lõpus, 
 
2.5. Maksud  ja inflatsioon 
Seni  oleme  vaadelnud  ainult  investeeringu  tulevikuväärtuse  nominaalset  suurust. 
Investeeringu  reaalset  tulevikuväärtust  mõjutavad  aga  väga  oluliselt  maksud  intressidelt  ja 
inflatsioon ehk üldise hinnataseme tõus koos raha ostujõu kahanemisega .   
 
2.5.1 Maksud intressidelt 
Olgu 
S  investeeringu nominaalne tulevikuväärtus (nominal future value);  
S’  investeeringu  puhastulevikuväärtus  ( pure   future  value),  st  tulevikuväärtus  peale 
intressidelt arvestatud maksude mahaarvamist;  
g    maksumäär intressidelt (tax rate of interest); 
G  maksud intressidelt ( taxes from interests), 
 
56 
 t  tehingu kestus aastates (time periood in years) lihtintresside korral, 
 n  tehingu  kapitalisatsiooniperioodide  arv  (number  of  compund  periods)  liitintresside   
korral, 
 r nominaalne intressimäär lihtintresside korral, 
 i    intressimäär  kapitalisatsiooniperioodi  kohta  (rate  of  internest  per  compound 
periood)  liitintresside korral 
Maksude arvutamiseks on kaks varianti: 
I.  maksud arvestatakse kogu lepingutähtaja kohta, st kogu intresside summalt; 
II.  maksud arvestatakse kindlate perioodide tagant (näiteks iga aasta lõpus) . 
Lihtintresside puhul kasutatakse varianti I. Et  
S  P  1
(  r  t)  ja  I  P  r  t,  
siis 
      G  P  r  t  g   
 
 
 
          (2.5.1) 
ja  
     S '  S  G    
 
 
 
          (2.5.2)  
ehk 
S '  P  1 t  r  1
(  g). 
 
 
          (2.5.3) 
Liitintresside korral kasutatakse mõlemat varianti. Et liitintresside puhul. 
n
I  P  1
(  )n
i
 
S  P  1
(  i)          ja (vt valem (2.4.3))  
1., 
Siis variandi I korral 
G  P  1
(  i n
)  
1  g    
 
 
          (2.5.4) 
ja    
S '  S  G  P  1
(  i n
)   1
(  i n
)  
1  g 
ehk  
S  P  1
(  i)n  1
(  g)  g.   
 
          (2.5.5) 
 
 
57 
Teise  variandi    korral  leitakse  maksud  eraldi  iga  aasta  kohta  n  aastat  kestvas  tehingus. 
Tähistame  k-nda aasta maksud sümboliga  G

k ,  k
1
n
,...
2
 ning tehingu tulevikuväärtuse   k-
nda aasta lõpul sümboliga  S .
k Siis k-ndal aastal teenitud intress  I k  avaldub kujul  
I  S  S
k
k
k 1
  
Järelikult k-ndal aastal makstud maks intressidelt on 
       
 
k
G
g Ik , 
 
 
 
          (2.5.6) 
millest seoste   
k
k 
S 

S
 P 
k
P 1
(  i)   ja 
1
k 1
1
i)


 
abil saame 
k
k
k
G  g  (S  S
k
k
k
 P  g 1
(  i)  k  1
(  i) 1  P  g 
 i
  i   P i  g  
1

1
) 1 1
1
1
i) 1,
st 
G  P  i  g  1
)k 1


k
i
 
 
 
          (2.5.7) 
 
Kogu lepingutähtaja jooksul makstud maksud G aga avalduvad summana 
G  G  G  ...  G  P  i  g  P  i  g  1
(  i)  P  i  g  1
(  i)2  ...  P  i  g  1
(  )n.
1
2
n
i
 
Näeme,  et  see  summa  kujutab  endast  geomeetrilise  jada  n  esimese  liikme   summat ,  kus 
esimeseks liikmeks a ja rea  teguriks  q on vastavalt 
a  P  i  g   ja    q  1 .
i  
Et geomeetrilise jada n esimese liikme summa S avaldub valemina 
q n 1
      S  a 
,  
 
 
 
          (2.5.8) 
q 1
siis 
1
(  i)n 1
G  P  i  g 
 P  1
(  i)n  
1  g,  
1  i 1
st  tulemuseks  saame  jällegi  valemi  (2.5.4).  Järelikult   summaarne   maksude  väärtus  ei  sõltu 
maksude arvestamise viisist. 
Näide  2.5.1.  Olgu  maksumäär  intressidele  20%,  nominaalne  intressimäär  15%  ning  hoiuse 
nimiväärtusega 10 000 EURi tähtaeg kolm aastat. Arvutada  
a)  maksude  kogusumma ja hoiuse puhastulevikuväärtus, kui on tegemist lihtintressidega; 
 
58 
b)  maksude kogusumma, maksud iga aasta kohta ja hoiuse puhastulevikuväärtus, kui on 
tegemist liitintressidega, kus on üks kapitalisatsioon aasta lõpus. 
Lahendus. 
Siin 
P = 10 000, r = i = 0,15, g = 0,2, t = n = 3. 
a)  S  P  1
(  r  t)  10000  1
(  15
0
 )
3  14500  EURi, 
S '  P  1 t  r  1
(  g)  10000  1 3 15
0
 1
(  ,
0 )
2   13600  EURi, 
G  S  S  14500 13600  900  EURi. 
b)  
n
S  P  1
(  i)  10000  1
( 
15
0
3 
75
15208
 EURi, 
 100001
( 
15
0
3  1
(  ,
0 )
2  ,
0 
S  P  1
(  i)n  1
(  g)  g
      
2  14167  EURi,  
   G  S  S 
75
15208
14167 
75
1041
 EURi. 
Valemit (2.5.6) kasutades saame maksud iga aasta kohta eraldi: 
 
1.aasta:  G  10000  15
1
0  15
0
 ,
0 2  300
1
 EURi, 
 
2.aasta:  G  10000  15
1
 15
0
 ,
0 2  345
2
 EURi, 
 
3.aasta:  G  10000  15
1
2  15
0
 ,
0 2 
75
396
3
 EURi. # 
 Inflatsioon 
Tehingu  reaalse  efektiivsuse  arvutamisel  tuleb  arvestada  raha  ostujõu  muutumist  ajas.  Kui 
raha  ostujõud  kahaneb  ajas  ehk  kaupade  hinnad  tõusevad,  siis  on  tegemist  inflatsiooniga 
(inflation),  kui  aga  raha  ostujõud  ajas  kasvab  ehk  kaupade  hinnad  langevad,  siis  on  tegu 
deflatsiooniga  (deflation).  Märkigem,  et  igapäevaelus  on  siiski  peaaegu  alati  tegemist 
inflatsiooniga,  deflatsiooni  esineb  suhteliselt  harva  vaid  teatavat  tüüpi  majanduslanguse 
tingimustes.  
Vaatleme arvulist näitajat,  mis võimaldab raha ostujõu muutust ajas arvesse võtta. Selliseks 
arvuliseks  näitajaks  üldnimetusena  on     hinnaindeks   ( price   index)  I ,  mis  näitab  mitu 
p
protsenti moodustab vaadeldava ajahetke hinnatase  mingi muu ajahetke hinnatasemest.  
Hinnaindeks  arvutatakse  alati  teataval  ajahetkel  kehtinud  hinnataseme  suhtes;  nimetatud 
ajahetke  (või  ajaperioodi)    nimetame  hinnaindeksi  arvutamise  baashetkeks.  Oletame,  et  1. 
jaanuar  2005  on  võetud  hinnaindeksi  arvutamise   baasiks .  Kui   soovime   teada,  milline  on 
 
59 
hinnaindeks 1. jaanuaril 2007, siis arvutatakse teatava kaupade ja teenuste ostukorvi hind V1 
2005. aasta 1. jaanuari seisuga ning sama ostukorvi  hind  V2 2007. aasta 1. jaanuari seisuga. 
Otsitav hinnaindeks on siis 
V
  
2
I 
100. 
 
 
 
          (2.5.9) 
p
V1
Näide 2.5.2. Hinnaindeksi arvutamise baashetkel oli ostukorvi väärtus 1000 EURi, kahe aasta 
pärast maksis sama ostukorv 1200 EURi. Arvutada hinnaindeks. 
Lahendus. 
 Kuna V  1000  ja V  1200 , siis valemi (2.5.9) põhjal saame   
1
2
1200
I 
100 120.  
p
1000
Esitatud  näitest  paneme  tähele,  et  kahe  aasta  pärast  kehtiv  hinnatase  moodustab  baashetke 
hinnatasemest  120%,  ehk  kahe  aastaga  on  hinnad  tõusnud  1,2  korda  või  20%.  Sel  juhul 
ütleme, et inflatsioonimäär  on 20%. 
Üldiselt, inflatsioonimääraks (rate of inflation / inflation rate) nimetatakse hindade suhtelist 
juurdekasvu protsentides kindla ajavahemiku jooksul.  
Seega inflatsioonimäär h avaldub valemiga 
    
h  I 100.   
 
                    (2.5.10) 
p
Valemist (2.5.10) saame avaldada hinnaindeksi: 
I  100  .
h    
 
 
        (2.5.11) 
p
Näiteks, kui inflatsioonitempo on 30%, st h = 30, siis hinnaindeks on  I 
p
130. 
Inflatsioon on ahelprotsess, st hinnaindeks mitme perioodi kohta avaldub kujul 

h  
h 

h 
1
2
I  100  1
 1
... 1
n

,  
 
        (2.5.12)  
p

 




100  
100 

100 
kus  h , h ,...,
1
2
n
h on  n  järjestikuse  perioodi  inflatsioonitempod.  Kui  inflatsioonitempo  on 
kõikide perioodide jooksul ühesugune, st  h  h

k
iga  k
,...,
1
n  korral, siis saame 
n

h 
     I  100  1
. 
 
 
        (2.5.13) 
p



100 
 
60 
Näide 2.5.3. Aasta jooksul on iga kuu inflatsioonimäär 5%. Milline on hinnaindeks ja aastane 
inflatsioonimäär? 
Lahendus. 
Et h = 5  ja n = 12, siis valemi (2.5.13) põhjal  
 
12
I  100 (1 0, 05)  179, 6.  
p
Inflatsioonimäär aastas on seega 79,6%, mis näitab, et hinnatase on tõusnud 79,6%. # 
Näide 2.5.4. Kolme aasta  möödudes  hinnaindeksi arvutamise baashetkest oli ostukorvi hind 
1500  EURi,  ning  vastav  hinnaindeks  150.  Arvutada  ostukorvi  väärtus  hinnaindeksi 
arvutamise baashetkel.   
Lahendus. 
Kuna  V  1500   ja  I  150,     siis  valemist  (2.5.9)  avaldame    ostukorvi  väärtuse  V  
2
p
1
hinnaindeksi arvutamise baashetkel: 
V
     
2
V 
100  
 
 
 
        (2.5.14) 
1
I p
ehk 
1500
V 
100 1000  EURi. # 
1
150
Eelnevast  näitest  paneme  tähele,  et  vaadeldaval  hetkel  on  1500  EURi  sama  ostujõuga,  mis 
1000 EUR-i kolm aastat tagasi. Teisiti öeldes, 1500 EURi täna on finantsiliselt ekvivalentne 
1000  EURiga  kolm  aastat  varem.  Esitatud  arutluse  põhjal  saame  kirja  panna  ka  valemi 
rahasumma reaalse tulevikuväärtuse arvutamiseks. Olgu   
S     rahasumma nimiväärtusega P nominaalne tulevikuväärtus n aasta möödudes; 
C    rahasumma P reaalne tulevikuväärtus ( real  futuure value), st tulevikuväärtus, kus 
inflatsioon  on  arvesse    võetud,  st  rahasumma  C  üks  ühik  on  ostujõult  võrdne 
rahasumma P ühe ühikuga. 
Siis võttes valemis (2.5.10)  V  C  ja V  S,  jõuame valemini 
1
2
S
C 
100.   
   
 
        (2.5.15) 
I p
Näide 2.5.5. Eduardil on investeerimiskontol 1,5 miljonit eurot,  millelt  arvutatakse kolme kuu 
jooksul lihtintresse 28% nominaalse intressimääraga; igakuine inflatsioon on vastavalt 2,5%, 
 
61 
2%  ja  1,8%.  Milline  on  Eduardi   investeerimiskonto   nominaalne  ja  reaalne  tulevikuväärtus 
ning nominaalne ja reaalne juurdekasv? 
Lahendus.  
Et  kolm  kuud  on  0,25  aastat,  r  =  0,28  ja  P  =  1,5  miljonit  EURi,  siis  nominaalne 
tulevikuväärtus on 
S  P  1
(  r  t)  1,5 (1 0, 28 0, 25) 1, 605 miljonit EURi 
ja nominaalne juurdekasv 
S  P  105 000  EURi. 
Kuna 
h 
5
2
h 
h 
1
   
2
2
8
1
3
 
siis hinnaindeks 

h  
h  
h 
1
2
3
I  100  1
 1
 1
1001,0251,021,018 
p

 
 


100  
100  
100 
ning reaalne tulevikuväärtus on valemi (2.5.15) põhjal 
S
C 

1, 605
100 
1,508 miljonit EURi 
I
1, 0251, 02 1, 018
p
ja reaalne juurdekasv  C  P  1508000 1500000  8000  EURi. # 
Näide  2.5.6.  Olgu  2004.  ja  2008.  aasta  hinnaindeksid  baashetke  1.  jaanuar  2005  suhtes 
vastavalt  88 ja 116.  Milline summa omas 2004. aasta  1. jaanuaril    sama ostujõudu kui  1000 
EURi 2008. aasta 1. jaanuaril? 
Lahendus.  
Olgu otsitav summa P
. Tähistame
2004
 
P2008 = 1000,  I
 88,   I
116. 
p,2004
p,2008
Siis võrreldavate rahasummade suhe peab olema võrdne vastavate hinnaindeksite suhtega, st 
peab kehtima võrdus 
P
I p,2004
2004 
P
88
  ehk 

,  
2004
P
I p,2004
1000
116
millest avaldame  
 
62 
88
P 
1000  758,62  EURi. # 
116
Kas  on  võimalik,  et  reaalne  juurdekasv  osutub  negatiivseks?  Uurime  püstitatud  küsimust 
lähemalt. Et lihtintresside korral valemitest  S  P  1
(  r  t)  ja (2.5.15)  järeldub 
1 r  t
C  P 
100,  
I p
I
siis  juurdekasv  C  P   on  negatiivne,  kui  1
p
 r t 
;  positiivne  (ehk  siis  toimub  tegelik 
100
I
juurdekasv), kui  1
p
 r t 
.  Liitintresside korral (eeldame ühesugust igakuist inflatsiooni) 
100
saame valemite 
n
S  P 1
(  i) , (2.5.13)  ja  (2.5.15) põhjal, et 
n




n
1
(  i)
 1 i

C  P 
 P 
 
n
 
h


h


1 
 1
 



100 
 
100  
Seepärast saame sel juhul positiivse, st reaalse ehk tegeliku juurdekasvu  C  P  ainult juhul, 
kui  igakuine  inflatsioonitempo  on  väiksem  kui  intressimäär,  st  h  100i   (siin  h  on 
protsentides,  i aga on antud osamäärana). 
 
 
ÜLESANDED 
2.5.1.  Olgu  maksumäär  intressidele  18%,  nominaalne  intressimäär  10%  ning  hoiuse 
nimiväärtusega  8  000  EURi  tähtaeg  kaks  aastat.  Arvutada  maksude  kogusumma  ja 
hoiuse puhastulevikuväärtus, kui on tegemist lihtintressidega. 
2.5.2.*  Olgu  maksumäär  intressidele  22%,  nominaalne  intressimäär  12%  ning  hoiuse 
nimiväärtusega  7  000  EURi  tähtaeg  kolm  aastat.  Arvutada  maksude  kogusumma, 
maksud iga aasta kohta ja hoiuse puhastulevikuväärtus, kui on tegemist liitintressidega, 
kus on üks kapitalisatsioon aasta lõpus. 
2.5.3.  Oletame,  et  täna  maksab  teatav  teenus  1000  EURi,  kusjuures  viimase  nelja  aasta 
jooksul  selle  kauba  hind  on  kasvanud  1,4  korda.  Milline  on  hinnaindeks  nelja  aasta 
taguse hinnataseme suhtes ning kui palju maksis sama kaup neli aastat tagasi?  
 
63 
2.5.4.  Aasta  jooksul  on  iga  kuu  inflatsioonitempo  2%.  Milline  on  hinnaindeks  aasta 
alguskuupäeva hinnataseme suhtes ja aastane inflatsioonimäär? 
2.5.5.  Kui  suur  on  hinnaindeks  aasta  alguskuupäeva  hinnataseme  suhtes  ja 
aastainflatsioonimäär,  kui  esimese  kuue  kuu  jooksul  on  igakuine  inflatsioon  võrreldes 
eelneva  kuuga  0,5%  ja  järgmise  poolaasta  inflatsioon  on  eelneva  poolaasta 
lõpptasemega võrreldes 3%?   
2.5.6.*  Eugenil  on  investeerimiskontol  1500  EURi,  millelt  arvutatakse  nelja  kuu  jooksul 
lihtintresse  25%  nominaalse  intressimääraga;  igakuine  inflatsioon  eelneva  kuuga 
võrreldes  on  vastavalt  1,5%,  2%  ja  0,8%.  Milline  on  Eduardi  investeerimiskonto 
nominaalne ja reaalne tulevikuväärtus ning nominaalne ja reaalne juurdekasv? 
2.5.7.*  Joosepil  on  kontol  2000  EURi,  millelt  arvutatakse  kahe  aasta  jooksul  intressi 
nominaalse intressimääraga 2,5% igakuise kapitalisatsiooniga. Milline on Joosepi konto 
nominaalne  ja  reaalne  tulevikuväärtus  ning  nominaalne  ja  reaalne  juurdekasv,  kui 
esimesel aastal oli inflatsioon 5% ja teisel aastal 7%? 
2.5.8.  Firmal  on  kontol  500  000  EURi,  millelt  arvutatakse  kuue  kuu  jooksul  lihtintresside 
meetodiga  intressi  aastaintressimääraga  12%.  Milline  on  firma  reaalne  tulevikuväärtus 
ning reaalne juurdekasv, kui igakuine inflatsioon võrreldes eelneva kuuga on 0,8%? 
2.5.9. Olgu 2006. ja 2011. aasta hinnaindeksid 1. jaanuari seisuga baashetke 1. jaanuar 2008 
suhtes vastavalt 88 ja 142. Milline summa omas 2006. aasta 1. jaanuaril sama ostujõudu 
kui 400 eurot 2011. aasta 1. jaanuaril? 
2.5.10.  Millise  3  aasta  taguse  summaga  on  tänane  20 000  EURi  sama  ostujõuga,  kui  iga-
aastane inflatsioonimäär on olnud 5%?  
 
ÜLESANNETE VASTUSED 
2.4.1. a)  n = 7; i = 0,1,  b) n = 16; i = 0,0625, c)  n = 31; i = 0,02875, d)  n = 30; i    0,0133,  
e) n  = 62;  i    0,0108.  2.4.3. a)  i  = 13,2%,  b)  i = 9,4%, a)  i  = 8,6%. 2.4.5. a)  4328,69 
EURi,    b)    4377,43  EURi,    c)    4403,54  EURi  ,  d)  4421,66  EURi  .  2.4.7.  13  649,14  EURi, 
intress 5149,14 EURi. 2.4.9.* 21 304,05 EURi. 2.4.11. 1. 300,93 EURi;  2. 572,05 EURi;  3. 
245,31  EURi;  4.  205,59  EURi;  5.  1512,24  EURi;  6.  806,72  EURi.  2.4.13.  2167,26  EURi, 
diskonto  832,74  EURi.  2.4.15.  4352,52  EURi,  diskonto  1647,48  EURi.  2.4.17.  a)    3546,42 
EURi,  b)  5580,36 EURi,  c)  8780,80 EURi , d) 13 816,76 EURi . 2.4.19.* 1087,76 EURi. 
 
64 
2.4.21.**  5093,51  EURi.  2.4.23.*  1.  i  12, 71%,     2.  i  12,51%,     3.  i  9, 25%,   4. 
i  13, 61%,  5.  i  12, 70%,  6.  i  9, 07%. 2.4.25.  i  7, 49%.  2.4.27.** 1067 päeva. 2.4.29.* 
a)  i  18%,   2.  i  18,81%,   3.  i  19, 25%,  4.  i  19,56%.  2.4.31.* a) ligikaudu 11,11  aastat;  
b)    ligikaudu  6,64  aastat.  2.5.1.  maksud  288  EURi,  puhastulevikuväärtus  9312  EURi.  2.5.3. 
hinnaindeks  140,  hind  nelja  aasta  eest  714,29  EURi.  2.5.5.  Hinnaindeks  106,13; 
aastainflatsioonimäär  6,13%.  2.5.7.*  Nominaalne  tulevikuväärtus  2102,43  EURi    reaalne 
tulevikuväärtus  1871,32  EURi,  nominaalne  juurdekasv  102,43  EURi,  reaalne  juurdekasv  -
128,68 EURi, reaalselt toimus kahanemine  128,68 EURi võrra. 2.5.9. 247,89 EURi. 
2.6. Annuiteedid 
Antud osas käsitleme finantstehinguid, mis sisaldavad võrdsete ajavahemike tagant toimuvaid 
võrdse  suurusega  makseid.  Selliste  tehingute  näitena  võime  nimetada  mitmesuguseid   laene , 
liisinguid, kindlustust pensionide ja palkade maksmist jne. 
Perioodiliste  laekumiste  (sisse-  või  väljamaksete)  jada,  mis  koosneb  võrdsete  ajavahemike 
tagant  toimuvatest  võrdse  suurusega  rahasummade   laekumistest   ehk  osamaksetest, 
nimetatakse  annuiteediks (annuity).  
Ajavahemikku  kahe  järjestikuse  osamakse  vahel  nimetatakse   annuiteedi   makseperioodiks 
( payment   period  /  payment  interval),  ajavahemikku  annuiteedi  esimese  makseperioodi 
algusest  kuni  viimase  makseperioodi  lõpuni  nimetatakse  annuiteedi  tähtajaks  (term  of 
annuity).  
 
2.6.1  Lihtne  tavaannuiteet  ja  lihtne  avanssannuiteet.  Nende  tulevikuväärtused  ja 
nüüdisväärtused 
Kui annuiteedi osamaksed toimuvad makseperioodide lõpus, siis sellist annuiteeti nimetatakse 
tavaannuiteediks  ehk  harilikuks  annuiteediks  (ordinary  annuity).  Kui  aga  osamaksed 
toimuvad  makseperioodide  algul,  siis  sellist  annuiteeti  nimetatakse  avanssannuiteediks 
(annuity due).  
Olgu  
n annuiteedi makseperioodide arv (number of payment intervals), 
R annuiteedi osamakse suurus ( size  of periodic payment). 
Kujutame nii tava- kui ka avanssannuiteeti joonisel 2.6.1 toodud skeemil. 
 
tavaannuiteet 
 
65 
   
  R 
      R            R 
R 
 
            R 
 
    R 
          R 
 0 _____1______ 2______ 3_____ _4……………………n - 2_________ n - 1_______n 
 R 
   R 
      R           R            R 
 
            R 
 
    R 
avanssannuiteet 
Joonis 2.6.1. Tava- ja avanssannuiteedi maksegraafikud 
 
Tähistagu 
p intressimäära annuiteedi makseperioodi kohta (interest rate per payment period), 
i  intressimäära kapitalisatsiooniperioodi kohta (interest rate per compounding 
(conversion period))  (nagu varemgi). 
 
Annuiteedi  tulevikuväärtuseks  (amount  of  annuity)  nimetatakse  selle  kõigi  osamaksetega 
ekvivalentsete maksete summat annuiteedi tähtaja lõpus. 
Kui  p  i,   st  kapitalisatsiooniperioodide  sagedus  ühtib  makseperioodide  sagedusega,  siis 
annuiteeti nimetatakse lihtsaks annuiteediks (simple annuity).  
Vaatleme  kõigepealt  lihtsa  tavaannuiteedi  tulevikuväärtuse  arvutamist.  Kirjeldame 
osamaksete tulevikuväärtuste kujunemist joonisel 2.6.2 esitatud skeemil. Paneme tähele, et  
esimene  osamakse  teenib  intressi  n  -  1  makseperioodi  perioodi  jooksul,  mistõttu  selle 
tulevikuväärtuseks on 
n 1

R  1
(  p)
,  
teine  osamakse  teenib  intressi  n  -  2  makseperioodi  perioodi  jooksul,  mistõttu  selle 
tulevikuväärtuseks on 
n2
R  1
(  p)
 , 
……………………………………………………………………………………………  
(n  -  2)-ne  osamakse  teenib  intressi  2  makseperioodi  perioodi  jooksul,  mistõttu  selle 
tulevikuväärtuseks on  R  1
(  )2
p
,  
(n  -  1)-ne  osamakse  teenib  intressi  1  makseperioodi  perioodi  jooksul,  mistõttu  selle 
tulevikuväärtuseks on  R  1
(  )1
p ,  
n-is osamakse enam intressi ei teeni, mistõttu selle tulevikuväärtuseks on lihtsalt  .
R  
Järelikult n makseperioodiga lihtsa tavaannuiteedi tulevikuväärtus  Sn  avaldub summana  
2
n2
n 1

S  R  R  1
(  p)  R  1
(  p)  ...R  1
(  p)
 R  1
(  )
n
p
            (2.6.1) 
  R 
     R           R 
R 
 
            R 
          R 
      R 
 
66 
 0 _____1______ 2______ 3_____ _4……………………n - 2_______n - 1_______n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       ___
1
R 1
(  p)  
 
 
 
 
 
 
 
 
       ______________ 
2
R 1
(  p)  
…………………………………………………………………………………………………. 
             
         ________________________________________________  
n2
R 1
(  p)
 
 
    _________________________________________________________
1
R 1
) 

n
p
 
Joonis 2.6.2. lihtsa tavaannuiteedi osamaksete tulevikuväärtuste kujunemine 
 
Märkame, et tegemist on geomeetrilise jada n esimese liikme summat, kus esimeseks liikmeks 
a ja rea teguriks q on vastavalt 
a  R   ja    q  1 .
p  
Järelikult valemi (2.5.8) põhjal saame 
q n 
1
(  p)n 1
S  a 
1  R 
n
,  
q 1
1  p 1
mistõttu 
1
(  p n
) 1
S 

n
R
   
 
 
          (2.6.2) 
p
ehk 
S  R 
n
sn,p   
 
 
          (2.6.3) 
kus suurust  
1
(  p n
) 1
      s

n, p
 
 
 
          (2.6.4) 
p
nimetatakse  annuiteedi  akumulatsiooniteguriks  (compounding  /  accumulation   factor   for 
annuities). 
 
Võrreldes  tava-  ja  avanssannuiteeti,  näeme  joonisel  2.6.1  esitatud  skeemilt,  et 
avanssannuiteedi    iga  osamakse  teenib  intressi  ühe  perioodi  kauem.  Seepärast  tuleb  iga 
liidetav  valemis  (2.6.1) avanssannuiteedi  tulevikuväärtuse  saamiseks  läbi  korrutada  teguriga 
1 + p.  Järelikult  valemist  (2.6.2)  tuleneb,  et  avanssannuiteedi  tulevikuväärtus  Sn( avanss ) 
avaldub kujul 
1
(  p)n 1
   S
 
 
n(avanss) 
R
1
p).  
 
          (2.6.5) 
p
Vaatame nüüd, kuidas leida lihtsa  tavaannuiteedi  nüüdisväärtust ehk annuiteedi  ajaldatud 
väärtust  (present  value  of  annuity),  milleks  on  annuiteedi  kõigi  osamaksetega  vastavalt 
 
67 
ekvivalentsete maksete summa annuiteedi alguspäeval. Selle leidmiseks on võimalik kasutada 
samasugust meetodit, mis tulevikuväärtuse leidmisel, kuid saab ka lihtsamalt. Nimelt, saame 
me ära kasutada asjaolu, et tulevikuväärtuse arvutamise valem (2.6.2) on teada. Olgu  
 
n
A  n makseperioodiga lihtsa tavaannuiteedi nüüdisväärtus. 
Siis  selle  tulevikuväärtuse  arvutamiseks  saame  kasutada  liitintresside  tulevikuväärtuse 
arvutamise valemit 
n
S  P  1
(  i) , kus  
S  S ,
n    i  p    ja   P 
n
A  
saades nii seose 
S  A  1
(  p)n ,
n
n
 
millest avaldame 
Sn

n
A
. 
n
1
(  p)
Kasutades valemit (2.6.2), võime kirjutada  
n
1
(  p) 1
 
n
A
R
 
n
p  1
(  p)
ehk 

1  1
(  p) n
A  R 
n
 
 
 
          (2.6.6) 
p
Tähistades 

1  1
(  p) n
a

n, p
  
 
 
          (2.6.7) 
p
saame valemi (2.6.6) ümber kirjutada kujul 
A  R 
n
an,p   
 
 
                      (2.6.8) 
Suurust  an,p nimetatakse annuiteedi nüüdisväärtuse teguriks (present value factor / discount 
factor for annuities). 
Panganduses on nii  a
väärtuste kohta koostatud tabelid, kust saab erinevate 
n, p  kui ka  sn, p
n ja 
p väärtuste paaride jaoks leida vastavad akumulatsiooni ja nüüdisväärtuse tegurid.  
Ülalöeldut  arvestades  on  lihtne  järeldada,  et  ka  lihtsa  avanssannuiteedi  nüüdisväärtuse 
a
( vanss)
n
A
saame  lihtsa  tavaannuiteedi  väärtusest,  kui  korrutame  selle  läbi  teguriga  1 + p, 
saades  
 
68 
1  1
(  p) n
A (avanss)  R 
 1
(  p).
n
 
 
          (2.6.9) 
p
Näide  2.6.1.  Spordi   toetuseks   on  loodud  fond,  mille  jaoks  kogutakse  vahendeid  lihtsa 
tavaannuiteedina. Selle annuiteedi tähtaeg on viis aastat ning nominaalne intressimäär 18,5% 
kapitalisatsiooniga iga aasta lõpus. Kui suur oli selle fondi tulevikuväärtus 5 aasta pärast, kui 
iga aasta lõpus  tehtav  osamakse on 400 000 eurot? Kui suur oli selle annuiteedi nüüdisväärtus 
fondi loomise hetkel? 
Lahendus. 
Kuna  
R 
400000     p  i  185
0
  ja  n  ,
5  
siis vastavalt valemitele (2.6.2) ja (2.6.6) saame  
1
( 
185
0
5 1
S  400 000 
 2 890 000
5
 EURi, 
185
0

1  1
( 
185
0
5
A  400 000 
 1 236 800
5
 EURi. # 
185
0
Näide 2.6.2. Kui suur oleks näites 2.6.1 kirjeldatud annuiteedi tuleviku- ja nüüdisväärtus, kui 
lihtsa tavaannuiteedi asemel oleks tegemist lihtsa avanssannuiteediga? 
Lahendus. 
Vastavalt valemile (2.6.5)  ja (2.6.2) saame, et  
 
S (avanss)  S  1
(  p)  2 890 000  1
( 
185
0
 3 424 650
5
5
 EURi 
 
ning valemite (2.6.9) ja (2.6.6) põhjal leiame, et 
 
A (avanss)  A  1
(  p)  1 236 800  1
( 
185
0
 1 465 608
5
5
 EURi. # 
 
Näide 2.6.3. Riina on  kogunud  raha, makstes eelneva kahe aasta jooksul iga kuu lõpus oma 
pangaarvele 200 EURi, mis teenib intressi nominaalse intressimääraga 9%  kapitalisatsiooniga 
iga  kuu  lõpus.  Milline  on  kogunenud  summa  ühe  aasta  pärast,  kui  ta  jätkab  samasuguste 
osamaksete tegemist? 
Lahendus. 
Siin  
 
69 
9
R 
200    p  i 
 75
0
% 
0075
0
  ja  n 
36  
12
Järelikult on Riina arvele kogunenud ühe aasta pärast 
1
( 
0075
0
36 1
S



36
200
54
8230
EURi. # 
0075
0
Näide  2.6.4.  Evald  on  20  aasta  jooksul  kogunud  raha   pensionifondi   makstes  iga  poolaasta  
lõpus fondi 500 EURi, mis teenis esimese kaheksa ja poole aasta jooksul intressi nominaalse 
intressimääraga  7%  kapitalisatsiooniga iga poolaasta lõpus ning järgneva 11 ja poole aasta 
jooksul  nominaalse  intressimääraga  9%  kapitalisatsiooniga  iga  poolaasta  lõpus.  Milline  oli 
kogunenud summa 20 aastase perioodi lõpul? 
Lahendus. 
Kuna osamaksed ja kapitalisatsioonid toimuvad mõlemad iga poolaasta lõpus, siis 
7
p  i 
 5
3 % 
035
0
1
1
 esimese 8,5 aastase perioodi jooksul, 
2
9
p  i 
 5
4 % 
045
0
2
2
 viimase 11,5 aastase perioodi jooksul 
2
Kuna intressimäär tähtaja jooksul muutus, siis lahendus koosneb neljast etapist: 
I.  Leiame tulevikuväärtuse  17
S
 peale 17 esimest makseperioodi, st peale 8,5 aastat. 
II.  Leiame  eelnevas  etapis  arvutatud  summa 17
S
tulevikuväärtuse  S  annuiteedi  viimase 
osamakse päeval ehk 11,5 aastat hiljem. 
III. Leiame viimase 23 osamakse summaarse tulevikuväärtuse  S23 . 
IV. Leiame kogu annuiteedi tulevikuväärtuse, arvutades  S  S .
23  
 
Kirjeldame esitatud lahenduskäiku ka joonisel 2.6.3  antud skeemil. 
 
     0____________________________8,5_____________________________ 20  Aastad 
 
 
 500 eurot igas poolaastas 
 
      500 eurot igas poolaastas 
 
n 
23   p 
5
4 %  
 
 
 
 
 
       
2
2
S
 
23
 
 
n 
17   p  5
3 %  
n 
23   p 
5
4 %  
 
1
2
2
S
S
 
17
 
Joonis 2.6.3. Näites 2.6.4 esitatud ülesande lahendusskeem 
 
 
70 
Arvutame: 
17



1
035
0
1


17
S
500
51
11352
EURi, 
035
0
n
S  P  1
(  i)  S
 1
( 
) 2
n
p

51
11352
 1
( 
045
0
23  31244
17
2
 EURi, 
1
( 
045
0
23 1
S



23
500
51
19468
EURi, 
045
0
S +  S

23
31244 + 19468,51 = 50 712,51 EURi. 
 
Seega Evald kogus 20 aastaga pensionifondi 50 712,51 EURi. # 
 
Näide  2.6.5.  Ako  soovib  panna  täna  fondi  rahasumma,  mis  võimaldaks  tema  tütrel  võtta 
järgneva 15 aasta jooksul iga kuu lõpus välja 200  EURi. Kui suur peaks see summa olema, 
kui raha teenib intressi nominaalse intressimääraga 12% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus?  
Lahendus. 
Antud  juhul  on  tegemist  15  aastase  tähtajaga  lihtsa  tavaannuiteedi  (maksed  makseperioodi 
lõpus ja maksete sagedus ühtib kapitalisatsioonide sagedusega) nüüdisväärtuse arvutamisega, 
kus 
12
R 
200   j 
12
m 
12    p  i 
 %
1
 01
0
  ja  n  15 12 
180  
12
Järelikult valemi (2.6.6) põhjal peaks Ako paigutama sellesse fondi 
 

1  1
( 
01
0
180
A
 200

33
16664
180
 EURi. # 
01
0
 
Näide  2.6.6.  Andi  on  kogunud  raha  pensionifondi,  kus  talle  makstakse  esimese  12  aasta 
jooksul 400 EURi iga kuu lõpus ja järgneva 15 aasta jooksul 500 EURi iga kuu lõpus. Milline 
on  kõigi  plaanitavate  pensionimaksete  nüüdisväärtus  üks  kuu  enne  esimese  pensionimakse 
saamist,  kui  fondi  paigutatud  raha  teenib  intressi  9%  nominaalse  intressimääraga 
kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus? 
Lahendus. 
Kuna  maksed  toimuvad  iga  kuu  lõpus  ja  maksete  sagedus  ühtib  kapitalisatsioonide 
sagedusega, siis on tegemist kahe lihtsa tavaannuiteediga, kus 
9
p  i 

75
0
 0075
0
. 
12
 Kirjeldame andmeid joonisel 2.6.4 esitatud skeemil. 
 
   0___1__ _2__ _3___ 4.................144.___145___146…………322____323___324  Kuud 
 
71 
 
      400 eurot kuus  
 
 
 
 500 eurot kuus 
       (1. annuiteet )  
 
 
 
  (2. annuiteet) 
A144
  P
A180
 
Joonis 2.6.4. Näites 2.6.6 esitatud ülesande lahendusskeem 
Antud skeemilt  selgub , et lahenduskäik koosneb neljast etapist: 
I.  Leiame teise, 180 kuu pikkuse annuiteedi nüüdisväärtuse  180
A
 hetkel 144, 
II.  Leiame eelnevas etapis arvutatud  180
A
 jaoks nüüdisväärtuse P annuiteedi hetkel 0, 
III. Leiame esimese, 144 kuu pikkuse annuiteedi nüüdisväärtuse  144
A
 hetkel 0, 
IV. Leiame kogu annuiteedi nüüdisväärtuse, arvutades  P 
144
A
 
Arvutame: 

1  1
( 
0075
0
180
A
 500 

70
49296
180
 EURi, 
0075
0
S
A
70
49296
180
P 



54
16808
 EURi, 
1
(  i)n
1
(  p) 1
n
1
( 
0075
0
144

1  1
( 
0075
0
144
A
 400 

35148 44
144
 EURi, 
0075
0
P +  144
A
 = 16808,54 + 35148,44 =51956,98 EURi. 
 
Seega kõigi plaanitavate pensionimaksete summaarne nüüdisväärtus on 51956,98 EURi. # 
 
Näide  2.6.7.  Manivaldil  on  võimalik  valida,  kas  minna  pensionile  60  aastaselt  või  65 
aastaselt. Kui Manivald valib esimese variandi, siis vähendatakse tema igakuist pensioni iga 
varem pensionile mindud kuu kohta 0,4%.  Oletades, et Manivald elab 80 aastaseks, määrata 
milline  pakutavatest  variantidest  on  Manivaldile  kasulikum,  kui  raha  teenib  intressi 
nominaalse intressimääraga 8,4% igakuise kapitalisatsiooniga. 
Lahendus. 
Kui Manivald läheb viis aastat varem pensionile, kahaneb tema igakuine pensionimakse  
5 12  ,
0 %
4

24
 võrra. 
Järelikult, minnes 65 aastaselt pensionile, hakatakse talle maksma pensioni R eurot kuus, kui 
aga 60 aastaselt, siis  1
(  ,
0
24 R 
76
0
R eurot kuus. Veel leiame, et 
8 %
4
p  i 

7
0
 007
0
. 
12
 
72 
Kirjeldame  alternatiivseid   variante   joonisel  2.6.5  toodud  skeemil  arvestusega,  et  Manivald 
elab 80 aastaseks, tähistades kõigi 60-nda ja 80-nda  eluaasta  vahel toimuvate pensionimaksete 
nüüdisväärtuste summa ehk 20 aastase annuiteedi nüüdisväärtuse sümboliga  240
A
, kõigi 65-
nda  ja  80-nda  eluaasta  vahel  toimuvate  pensionimaksete  nüüdisväärtuste  summa  ehk  15 
aastase annuiteedi nüüdisväärtuse sümboliga  180
A
  ning  summa  180
A
  nüüdisväärtuse  hetkel, 
mil Manivald on 60 aastane, sümboliga P. 
 
 
a)  60-selt pensionile 
  
 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
     0,76R EURi kuus 
 
 
n  20 12 
240   p 
7
0
 
1
A
 
240
b)  65-selt pensionile 
60 
 
 
 
  65 
 
 
 
 
 
80 
 
 
    R EURi kuus 
 
n  15 12 
180
n 
60 i 
7
0
 
3
 
2
  p 
7
0
 
P
A180
 
Joonis 2.6.5. Näites 2.6.7 esitatud ülesande lahendusskeem 
 
Arvutame: 

1  1
( 
007
0
) 240
A
 7
0 R 
 ,
81 25R
240
 EURi, 
007
0

1  1
( 
007
0
) 180
A
 R 

16
102
R
180
 EURi, 
007
0
S
A
16
102
P
180




67 22R  EURi. 
1
(  i n
1
(  i n
) 2
1
( 
007
0
)60
Järelikult on Manivaldil kasulikum 60 aastaselt pensionile minna, sest  A
 .
240
P  # 
 
73 
 
2.6.2. Üldised annuiteedid 
Annuiteeti,  mille  makseperioodide  sagedus  ei  ühti  kapitalisatsioonide  sagedusega,  nimetatakse  üldiseks 
annuiteediks  (general  /  complex  annuity).  Kui  osamakse  toimub  makseperioodi  lõpus,  siis  on  tegemist  üldise 
tavaannuiteediga (ordinary general annuity), kui makseperioodi algul, siis üldise avanssannuiteediga (general 
annuity  due).  Nüüd  ei  saa  enam  makseperioodi  intressi  p  väärtust  võtta  võrdseks  kapitalisatsiooniperioodi 
intressiga  i,  vaid  see  tuleb  arvutada.  Rõhutame,  et  p  on  intressimäär,  mille  järgi  arvutatud  intress  lisatakse  üks 
kord makseperioodi lõpus.   
Olgu 
c  kapitalisatsioonide  arv  ühe  makseperioodi  jooksul  (number  of  internest  conversion  periods  per 
payment interval). 
 
Näiteks, kui nominaalne intressimäär on 12% igakuise kapitalisatsiooniga ja annuiteedi makseperioodi pikkuseks 
on  kvartal,  siis  c  3   (kvartalis  on  kolm  kuud  ehk  kolm  kapitalisatsiooniperioodi).  Sama  tulemuse  saame,  kui 
jagame   12 : 4  3   (aastas  on  12  kapitalisatsiooniperioodi  ja  neli  makseperioodi).  Kirjeldame  olukorda  joonisel 
2.6.6 oleval skeemil. 
Üldistades äsjakirjeldatud näidet, saame 
 
kapitalisatsiooniperioodide  arv  aastas
c 
 
 
        (2.6.10) 
makse perioodide arv aastas
 
 
             1                     2   
   3 
 
    4   osamakse jrk nr 
 
             R 
        R   
   R 
 
    R   osamaksed 
  0___1___2___3___4___5___6___7___8___9___10___11___12  kapitalisatsiooni jrk nr 
 
           0,25 
       0,5   
  0,75 
 
     1   aastad 
 
Joonis 2.6.6. Ühe makseperioodi kohta tulevate kapitalisatsioonide arvu leidmine 
 
Üldise annuiteedi tuleviku- ja nüüdisväärtuse arvutamiseks tuleb kõigepealt p väärtus määrata selliselt, et selle 
määraga  arvutatud  ühe  makseperioodi  intress  oleks  võrdne  sama  makseperioodi  intressiga,  mis  on arvutatud  c 
kordse kapitalisatsiooniga määraga i. Olgu annuiteedi osamakse R. Siis sellele maksele järgneva perioodi lõpul  
määraga p arvutatud intress on 
1
R  (1 p) ,  
määraga i (c kapitalisatsiooni) arvutatud intress on (1 )c
R
i . 
Võrdsustades need intressid, saame 
1
R  (1 p) 
(1 )c
R
i
 (1 p)  (1 )c
i
  
       p  (1 )c
i
1.  
 
 
 
        (2.6.11) 
Märkus 2.6.1. Valem kehtib ka juhul, kui c ei ole täisarv, st kapitalisatsioonide arv makseperioodis ei tarvitse 
olla täisarv. Võib olla isegi  c  1;  nii on siis, kui kapitalisatsiooni-perioodi pikkus ületab makseperioodi pikkust.  
Näide  2.6.8.  Leida  annuiteedi  makseperioodi  intressimäär  p,  kui  makseperioodi  pikkus  on  üks  kvartal  ja 
nominaalne intressimäär on 18% kapitalisatsiooniga iga poolaasta lõpus.  
Lahendus. 
Kuna aastas on kaks kapitalisatsiooni ja neli makseperioodi, siis valemi (2.6.10) põhjal 
 
74 
  c  2 : 4  0,5.  
Siin  j  18%,   m  2,  mistõttu  
j
18%
i 

 9%  0,09. 
m
2
Järelikult valemi (2.6.11) põhjal 
p 
0,5
(1 0, 09)
1  0,04403  4,403%.  # 
 
Näide 2.6.9. Marina investeeris iga aasta lõpus 1500 EURi fondi, mis teenis intressi nominaalse intressimääraga 
8% kapitalisatsiooniga iga kvartali lõpus. Milline on investeeringute tulevikuväärtus 20 aasta pärast? Milline on 
investeeringu nüüdisväärtus?  
Lahendus. 
Kuna aastas on neli kapitalisatsiooni ja üks makseperiood, siis valemi (2.6.10) põhjal 
  c  4 :1  4.  
Siin  j  8%,   m  4,  mistõttu  
j
8%
i 

 2%  0,02. 
m
4
Järelikult valemi (2.6.11) põhjal 
p 
4
(1 0, 02) 1  0, 08243  8, 243%.  
Kuna maksed on makseperioodi lõpus, siis on tegemist tavaannuiteediga, kus  
n  20,   R  1500.  
 Järelikult valemite (2.6.2) ja (2.6.6) abil saame investeeringu tuleviku- ja nüüdisväärtuseks vastavalt  
20
(1 0, 08243) 1
S
 1500
 70518,83  EURi 
20
0, 08243
ja 
20
1 (1 0, 08243)
 
A  1500 
 1 4464,67  EURi. # 
20
0, 08243
 
2.6.3. Annuiteedi osamakse suuruse, tähtaja ja intressimäära arvutamine 
Oletame, et annuiteedi tuleviku- ja nüüdisväärtuse  valemites   (2.6.2) ja (2.6.6)  on  Sn  ja  n
A  
teada. Kui ülejäänud kolmest  komponendist  R, p ja n on kaks teada, siis saab valemeid (2.6.2) 
ja (2.6.6)  kasutades kolmanda arvutada.  
Märkus  2.6.2.  Märgime,  et  intressimäära  p  arvutamine  on  küllaltki  keerukas,  valemitest  
(2.6.2)  ja  (2.6.6)    p  leidmiseks   tuletatud    võrrandid   on   keerukad   ning  nende  lahendamine  ei 
kuulu  kooli  kursusesse.  Nendel  võrranditel  puudub  üldjuhul  täpne   lahend ,  lahendada  saab 
vaid  ligikaudselt,  kasutades  numbrilisi   meetodeid   (vt.  E.  Tamme,  L.   Võhandu ,  L.  Luht, 
Arvutusmeetodid ,  Tallinn,  Kirjastus  Valgus,  1986,  S.  A.  Hummelbrunner,  Contemporary 
Business  Mathematics,  Prentice_Hall,   Canada   INC,  Scarborough,   Ontario ,  1982.,  Tsetõrkin, 
jne)  Seepärast  me  p  leidmist  eraldi  ka  ei  käsitle.  Märgime  vaid,  et  pankade  käsutuses  on 
 
75 
vastavad arvutiprogrammid või valemitega (2.6.4)  ja (2.6.7) määratud koefitsientide  sn,p  ja 
an,p  väärtuste tabelid, mis võimaldavad p väärtuse piisavalt suure täpsusega määrata. 
Valemitest  (2.6.2) ja (2.6.6) saab osamakse R avaldada:   
p  S
    R 
n
, 
 
 
                    (2.6.12) 
1
(  p)n 1
p  A
   
n
R 

   
 
                    (2.6.13) 
1  1
(  p) n
Järgnevalt  võib  osamakse  arvutamiseks  kasutada  valemeid  (2.6.12)  ja  (2.6.13),  kuid  selle 
asemel võib kasutada ka vahetult valemeid  (2.6.2) ja (2.6.6), asendades nendes teadaolevad 
suurused ning avaldades seejärel R.  
 
Näide 2.6.10. Kirsti soovib iga kuu lõpus toimuvate osamaksetega investeerimisfondi 10 aastaga koguda 30 000 
eurot. Kui suur peaks olema osamakse, kui fondi nominaalne intressimäär on 9% kapitalisatsiooniga iga kvartali 
lõpus?  
Lahendus. 
Kuna aastas on 4 kapitalisatsiooni ja 12 makseperiood, siis valemi (2.6.10) põhjal 
4
1
  c 
 .  
12
3
Siin  j  9%,   m  4,  mistõttu  
j
9%
i 

 2,25%  0,0225.  
m
4
Järelikult valemi (2.6.11) põhjal 
p 
1
3
(1 0, 0225) 1  0, 00744  0, 744%.  
 
Kuna maksed on makseperioodi lõpus, siis on tegemist tavaannuiteediga, kus  
 
n  1012  120 ,   S
  30000 .  
120
Järelikult valemi (2.6.12) põhjal   
0, 00744  30000
R 
 155,66  EURi. # 
120
(1 0, 00744)
1
Näide 2.6.11. Andi on kogunud pensionile mineku hetkeks pensionifondi 50 000 eurot, mida 
hakatakse välja maksma iga kuu lõpus teostatavate maksetena 25 aasta jooksul Kui suur on 
Andi igakuine  pension , kui fondi nominaalne intressimäär on 6% kapitalisatsiooniga iga kuu 
lõpus?  
Lahendus. 
Kuna makseperioodide sagedus ühtib kapitalisatsioonide sagedusega ja maksed on perioodide 
lõpus, siis tegemist on lihtsa tavaannuiteediga, kus 
 
76 
j
6
j  %,
6
  m 
12   p  i 


5
0

005
0
  n  25 12 
300 A

50000
300
 
m
12
Nüüd  võib  kasutada  valemit  (2.6.13),  kuid  võib  teadaolevad  väärtused  asetada  ka  vahetult 
valemisse (2.6.6): 
1  1
005
0
300


50000  R 
, 
005
0
50000  R 
155
206864  
50000
R 

15
322
 EURi 
155 206864
Seega peaks Andi saama pensioni 322,15 EURi kuus. 
Makseperioodide arvu leidmiseks valemi (2.6.2) abil võime toimida järgmiselt: 
1
(  p n
) 1
S  R 
n
 
p
p  Sn  1( p)n 1 
R
p  S
1
(  p)n 
n 1 
R
n
 p  Sn

ln 1
(  p)  ln
 
1  
 R

 pSn

n  ln 1
(  p)  ln
 
1  
 R

 p  S

ln
n

1
 R

      n 
.  
 
 
        (2.6.14) 
ln 1
(  p)
Analoogiliselt saab valemi (2.6.6) abil tuletada (teostada iseseisvalt) valemi  

p  A 
ln1
n



R

     n  
.  
 
 
        (2.6.15) 
ln 1
(  p)
Järgnevalt võib makseperioodide arvu leidmiseks kasutada valemeid (2.6.14) ja (2.6.15), kuid 
selle  asemel  võib  kasutada  ka  vahetult  valemeid    (2.6.2)  ja  (2.6.6),  asendades  nendes 
teadaolevad suurused ning avaldades seejärel n.  
 
 
77 
Näide  2.6.12.  Perekond  Pukspuu  soovib  kodu  renoveerimiseks  võtta  laenu  20 000  EURi. 
Laenu  nominaalne  intressimäär  on  12%  igakuise  kapitalisatsiooniga.  Kui  pikk  on 
laenutähtaeg, kui iga kuu lõpus tehtava osamakse suurus on 
a)  230 eurot 
b)  250 eurot? 
Arvutada  intresside  nominaalne  suurus  mõlema  variandi  korral.  Millise  variandi  korral 
makstakse intressi vähem ja kui palju vähem? 
Lahendus. 
Laenu  maksete  graafikut  saame  käsitleda  lihtsa  tavaannuiteedina,  sest  makseperioodide 
sagedus  ühtib  kapitalisatsioonide  sagedusega  ja  maksed  on  perioodide  lõpus.  Laenatud 
summat saab vaadelda antud annuiteedi nüüdisväärtusena.  
a)  Seega  
12
R  230 , 

20000 p  i 


n
A
1
01
0
 
12
mistõttu valemi (2.6.15) abil saame 

01
0
 20000 
ln 1
 


230

n  

70
204
 makseperioodi ehk kuud, 
ln 1
( 
01
0
st laenu tasumiseks läheb 205 kuud ehk 17 aastat ja 1 kuu, kus viimase osamakse suurus on  
7
0  230  161  EURi. 
b)  Antud juhul on võrreldes juhuga a)  R  230  asemel  R 
250  mistõttu valemi (2.6.15) 
abil saame 

01
0
 20000 
ln 1
 


250

n  

75
161
 makseperioodi ehk kuud, 
ln 1
( 
01
0
st laenu tasumiseks läheb 162 kuud ehk 13,5 aastat, kus viimase osamakse suurus on  
75
0
 250 
5
187  EURi. 
Juhul a) oli osamaksete nominaalne summa 
204  230 161  47081 EURi , 
millest intressid moodustasid  
47081-20000 = 27081 EURi. 
Juhul b) oli osamaksete nominaalne summa 
161 250 
5
187

5
40437  EURi , 
millest intressid moodustasid  
 
78 
40437,5-20000 = 20437,5 EURi. 
Järelikult teise variandi korral makstakse intressi nominaalselt  
27081 - 20437,5 = 6643,5 EURi  
vähem. # 
Märkus 2.6.3. Eelnevast näitest saab teha huvitava järelduse. Nimelt, kui suurendada laenu 
osamakset  (20 :
230 
100

7
8
  võrra,  väheneb  laenult  tasutav  nominaalne  intress 
5
6643
27081 
100

5
24
, st märgatavalt enam. Lisaks eelnevale väheneb laenutähtaeg 
kolme  aasta  ja  7  kuu  võrra.  Järeldus  öeldust  võiks  olla  selline,  et  kui  perekond  Pukspuu  on 
osav investeerija ning suudab vähemkulutatud 20 EURi investeerida selliselt, et selle aastane 
tootlus   laenuperioodi  jooksul  on  suurem  kui  laenulepingu  12%  intress  igakuise 
kapitalisatsiooniga,  siis  peaks  ta  kasutama  võimalust  a).  Kui  aga  perekond  Pukspuul  ei  ole 
eriti  häid   investeerimise   kogemusi,  siis  oleks  kasulikum  valik  variant  b),  sest  20  EURi 
perekonna  igakuises  tarbimises  ei  tarvitse  avaldada  väga  märgatavat  mõju  perekonna 
elatustasemele.   
 
2.6.4. Igavene annuiteet  ehk perpetuiteet 
Mitmetel juhtudel pole annuiteedi kestus teada või see on väga pikaajaline. Sellisel juhul on 
mõistlik  vaadelda  tähtaega  lõpmatuna,  st  eeldada,  et  annuiteet  sisaldab  lõpmata  palju 
makseperioode. Näiteks fond, mis on loodud iga-aastase fikseeritud summaga teaduspreemia 
väljamaksmiseks  
Annuiteeti,  mille  tähtaeg  on   lõpmatu ,  st  sisaldab  lõpmata  palju  osamakseid,  nimetatakse 
igaveseks  (ka tähtajatuks või lõputuks)  annuiteediks ehk perpetuiteediks (perpetuity).  
Tuletame valemi, mis seob perpetuiteedi  
osamakse R,  
makseperioodi intressimäära p, 
nüüdisväärtuse A. 
Oletame,  et  on  asutatud  fond,  millesse  on   alghetkel   paigutatud  summa  A  ehk  mille 
algkapitaliks on  A.  Selle fondi arvelt soovitakse kindla ajaperioodi järel maksta välja summa 
R.  Veel  oletame,  et  sellesse  fondi  paigutatud  raha  teenib  intressi  määraga  p  nimetatud 
ajaperioodi  kohta  (ja  nimetatud  perioodi  jooksul  intresse  algsummale  ei  lisata).  Esimese 
perioodi lõpuks on teenitud intress võrdne korrutisega  A p . Kui see summa makstakse välja, 
siis on esimese perioodi lõpul fondis ikka summa A, mis järgneva perioodi lõpuks teenib jälle 
intressi suurusega  A  .
p  Makstes jälle selle summa välja, on ka kolmanda perioodi alguseks 
 
79 
fondis  summa  A,  jne.  Järelikult,  makstes  iga  makseperioodi  lõpus  välja  summa  A  p ,  on 
järgneva  perioodi  algul  fondis  ikka  summa  A.  Seepärast  võib  vaadeldava  perpetuiteedi 
osamakse  R  võtta  võrdseks  suurusega  A  p   ning  otsitavaks  seoseks  on  R  A  ,
p millest 
saame  
R
A 
.  
 
 
 
        (2.6.16) 
p
Valem (2.6.16) ongi perpetuiteedi nüüdisväärtuse arvutamise valemiks, kui R ja p on teada. 
 
Näide  2.6.13.  Pank  soovib  asutada  fondi,  mille  arvelt  makstakse  parima   näitleja  
aastapreemiat. Kui suur peaks olema fondi  algkapital , kui fondis paiknev raha teenib intressi 
nominaalse intressimääraga 13% kapitalisatsiooniga iga aasta lõpus ning aastapreemia suurus 
on 2000 EURi? 
Lahendus. 
Antud  perpetuiteeti  saame  käsitleda  lihtsa  tavaannuiteedina,  sest  makseperioodide  sagedus 
ühtib  kapitalisatsioonide  sagedusega  ja  maksed  on  perioodide  lõpus.  Fondi  algkapital  on 
perpetuiteedi otsitavaks  nüüdisväärtuseks A ja  
p  i 
13

13
0
    R 
2000  
Järelikult valemi (2.6.16) põhjal on otsitavaks algkapitali väärtuseks 
2000
A 

62
15384
 EURi. # 
13
0
Märkus 2.6.4. Valemi (2.6.16) saab tuletada ka vahetult valemist (2.6.6), võttes selle valemi 
paremast poolest piirväärtuse protsessis  n  .
  
Ülesanne iseseisvaks mõtlemiseks. Milline on perpetuiteedi tulevikuväärtus?  
 
 
ÜLESANDED 
 
2.6.1.  Leida järgnevas tabelis esitatud tavaannuiteetide tulevikuväärtused ja nüüdisväärtused. 
Üles. nr. 
Osamakse 
Makseperiood 
Tähtaeg 
Intres -  Kapitalistsioone 
(EUR) 
simäär 
aastas 
1 
3000 
1 aasta 
3 aastat 
18% 
1 
2. 
325 
1 kuu 
15 kuud 
15% 
12 
3. 
140 
3 kuud 
7,75 aastat 
10% 
4 
4. 
894 
6 kuud 
8,5 aastat 
9% 
2 
 
80 
5. 
225 
1 kvartal 
5,25 aastat 
13% 
4 
2.6.2.  Kui  suur  oleks  ülesandes  2.6.1  kirjeldatud  annuiteedi  tuleviku-  ja  nüüdisväärtus,  kui 
lihtsa tavaannuiteedi asemel oleks tegemist lihtsa avanssannuiteediga? 
2.6.3.  Puudega  inimeste  toetuseks  on  loodud  fond,  mille  jaoks  kogutakse  vahendeid  lihtsa 
tavaannuiteedina. Selle annuiteedi  tähtaeg on  neli aastat ning nominaalne  intressimäär 
16,5%    kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus.  Kui  suur  oli  selle  fondi  tulevikuväärtus 
nelja aasta pärast, kui iga kvartali lõpus tehtav osamakse on 40 000 eurot? Kui suur oli 
selle annuiteedi nüüdisväärtus fondi loomise hetkel? 
2.6.4.*  Leopold  on  25  aasta  jooksul  kogunud  raha  pensionifondi  makstes  iga  kvartali  lõpus 
fondi  400  EURi,  mis  teenis  esimese  10  aasta  ja  3  kuu  jooksul  intressi  nominaalse 
intressimääraga  8%  kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus  ning  järgneva  14  aasta  ja  9  
kuu  jooksul  nominaalse  intressimääraga  10%  igakuise  kapitalisatsiooniga.  Milline  oli 
kogunenud summa 25 aastase perioodi lõpul? 
2.6.5.* Osvald  kogub  pensionipõlveks raha, makstes 15 aasta jooksul iga kuu lõpus arvele 50 
EURi, mis teenib intressi nominaalse intressimääraga 12% igakuise kapitalisatsiooniga. 
Kui suur on 
a) kogunenud Osvaldi arvele raha 15 aastase perioodi lõpuks, 
b) osamaksete nominaalne summa, 
c) intresside summaarne väärtus? 
2.6.6. Toomas soovib panna täna fondi rahasumma, mis võimaldaks tema emal võtta järgneva 
20 aasta jooksul iga kuu lõpus välja 180 EURi. Kui suur peaks see summa olema, kui 
raha teenib intressi nominaalse intressimääraga 8% kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus?  
2.6.7.* Joonas ostis korteri, tehes koheselt makse 12 000 EURi, lisaks sellele võttis ta pangalt 
laenu,  mida  hakkab  kustutama  iga  kuu  lõpus  toimuvate  osamaksetega  suuruses  350 
EURi.  Kui  palju  maksis   korter ,  kui  nominaalne  intressimäär  oli  6,5%  igakuise 
kapitalisatsiooniga  ning  laenutähtaeg  oli  8  aastat?  Kui  suur  oli  makstud  intresside 
kogusumma?  
2.6.8.   Eduard   soovib  koguda  raha  oma  poja  ülikooliõpinguteks  10  aasta  vältel  iga  kvartali 
lõpus toimuvate võrdse suurusega osamaksetega suuruses 600 EURi. Kui suur summa 
oli 10 aastaga  arvele kogunenud ja kui  suur oli kõigi  tehtud maksete nüüdisväärtus 10 
aastase  perioodi  algul,  kui  maksed  teenisid  intressi  nominaalse  intressimääraga  13% 
kapitalisatsiooniga iga kvartali lõpus?  
2.6.9.*   Ardo   on  kogunud  raha  pensionifondi,  mille  järgi  talle  makstakse  esimese  10  aasta 
jooksul 350 EURi iga kuu lõpus ja järgneva 15 aasta jooksul 400 EURi iga kuu lõpus. 
 
81 
Milline  on  kõigi  plaanitavate  pensionimaksete  nüüdisväärtus  1  kuu  enne  esimese 
pensionimakse  saamist,  kui  fondi  paigutatud  raha  teenib  intressi  8%  nominaalse 
intressimääraga kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus? 
2.6.10.* Mariannel on võimalik valida, kas minna pensionile 60 aastaselt või 63 aastaselt. Kui 
Marianne  valib  esimese  variandi,  siis  vähendatakse  tema  igakuist  pensioni  iga  varem 
pensionile  mindud  kuu  kohta  0,5%.  Oletades,  et  Marianne  elab  85  aastaseks,  määrata 
milline  pakutavatest  variantidest  on  Mariannele  kasulikum,  kui  raha  teenib  intressi 
nominaalse intressimääraga 7,4% igakuise kapitalisatsiooniga. 
2.6.11.* Leida üldise tavaannuiteedi makseperioodi intressimäär p, kui  
a)  makseperioodi  pikkus  on  üks  kvartal  ja  nominaalne  intressimäär  on  18% 
kapitalisatsiooniga iga poolaasta lõpus, 
b)  makseperioodi  pikkus  on  poolaasta  ja  nominaalne  intressimäär  on  15% 
kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus? 
2.6.12.*  Joosep  investeeris  iga  aasta  lõpus  500  EURi  fondi,  mis  teenis  intressi  nominaalse 
intressimääraga  9%  kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus.  Milline  on  investeeringute 
tulevikuväärtus 15 aasta pärast? Milline on investeeringu nüüdisväärtus?  
2.6.13. *  Leida  järgnevas  tabelis  esitatud  üldiste  tavaannuiteetide  tulevikuväärtused  ja 
nüüdisväärtused. 
Üles. nr. 
Osamakse 
Makseperiood 
Tähtaeg 
Intres-  Kapitalistsioone 
(EUR) 
simäär 
aastas 
1 
3000 
1 aasta 
3 
18% 
4 
2. 
325 
1 kuu 
15 kuud 
15% 
2 
3. 
140 
3 kuud 
7,75 aastat 
10% 
1 
4. 
894 
6 kuud 
8,5 aastat 
9% 
4 
5. 
225 
1 kvartal 
5,25 aastat 
13% 
1 
2.6.14. Leida järgnevas tabelis esitatud annuiteetide osamaksete suurused. 
Nr  Tulevikuväär
Nüüdisväär- Makse-
Tähtaeg  
Intres-
Kapitalisatsi-
-tus (EUR) 
tus (EUR) 
periood 
simäär  oone aastas 
1. 
12 000 
 
3 kuud 
5,5 aastat 
12% 
4 
2. 
25 500 
 
1 aasta 
14 aastat 
7% 
1 
3. 
 
10 000 
6 kuud 
7 aastat 
10% 
2 
4. 
 
8000 
1 kuu 
4,25 aastat 
14% 
12 
5. 
250 000 
 
3 kuud 
20 aastat 
6,5% 
4 
 
82 
6. 
 
24 000 
1 kuu 
16 aastat 
5% 
12 
2.6.15. Kustas  soovib  iga  kvartali  lõpus  toimuvate  osamaksetega  investeerimisfondi  kaheksa 
aastaga koguda 25 000  EURi. Kui suur peaks olema osamakse, kui  fondi nominaalne 
intressimäär on 9% kapitalisatsiooniga iga kvartali lõpus? 
2.6.16. *  Anton  on  kogunud  pensionile  mineku  hetkeks  pensionifondi  70  000  EURi,  mida 
hakatakse  välja  maksma  iga  kuu  lõpus  teostatavate  maksetena  25  aasta  jooksul  Kui 
suur  on  Antoni  igakuine  pension,  kui  fondi  nominaalne  intressimäär  on  6% 
kapitalisatsiooniga iga kvartali lõpus? 
2.6.17. *Leida järgmises tabelis kirjeldatud annuiteetide tähtajad. 
Nr  Tulevikuväär
Nüüdisväär- Makse-
Osamakse 
Intres-
Kapitalisatsi-
-tus (EUR) 
tus (EUR) 
periood 
 (EUR) 
simäär  oone aastas 
1. 
14 000 
 
3 kuud 
800 
12% 
4 
2. 
25 500 
 
1 aasta 
2100 
7% 
1 
3. 
 
11 000 
6 kuud 
650 
10% 
2 
4. 
 
8000 
1 kuu 
250 
14% 
12 
5. 
250 000 
 
3 kuud 
1200 
6,5% 
4 
6. 
 
24 000 
1 kuu 
750 
5% 
12 
2.6.18. Perekond   Kuusk   soovib  korteri   ostuks   võtta  laenu  50  000  EURi.  Laenu  nominaalne 
intressimäär on 6% igakuise kapitalisatsiooniga. Kui pikk on laenutähtaeg, kui iga kuu 
lõpus tehtava osamakse suurus on 320 EURi? Kui palju maksti intressi?  
2.6.19. **Jaan  soovib  võtta  laenu  35 000  EURi.    Laenu  nominaalne  intress  on  7%  igakuise 
kapitalisatsiooniga.  Kui  pikk  on  laenutähtaeg,  kui  iga  kuu  lõpus  tehtava  osamakse 
suurus on 
a) 280 EURi, 
b) 310 EURi? 
Arvutada intresside nominaalne suurus mõlema variandi korral. Millise variandi korral 
makstakse intressi vähem ja kui palju vähem?  
2.6.20. Leida  tavaperpetuiteedi nüüdisväärtus, kui  
a)  Osamakse on 750 EURi, makseperiood kolm kuud ja intressimäär 14% 
kapitalisatsiooniga iga kvartali lõpus, 
b)  Osamakse on 225 EURi, makseperiood üks kuu ja intressimäär 16%  
kapitalisatsiooniga iga kuu lõpus. 
 
83 
2.6.21. Pank  soovib  asutada  fondi,  mille  arvelt  makstakse  aasta  parima   sportlase   preemiat. 
Kui  suur  peaks  olema  fondi  algkapital,  kui  fondis  paiknev  raha  teenib  intressi 
nominaalse intressimääraga 11% kapitalisatsiooniga iga aasta lõpus ning aastapreemia 
suurus on 2500 EURi? 
2.6.22. * Kui suure summa saab iga kuu välja võtta perpetuiteedi arvelt, mille nüüdisväärtus 
on 120 000 EURi ning arvele pandud raha teenib intressi nominaalse intressimääraga 
16% igakuise kapitalisatsiooniga?   
 
2.7. Laenud 
 
Antud  paragrahvis  käsitleme  mitmesuguseid  laene  nagu  eluasemelaenud  (ehk  kodulaenud), 
väikelaenud, liisingud , õppelaenud, järelmaks, sms-laenud, krediitkaardid. 
 
2.7.1.  Laenu kustutamine võrdsete osamaksetega 
Kui  laenuleping  näeb ette laenu kustutamist võrdse suurusega osamaksetena kindla pikkusega 
ajaperioodide  tagant,  siis  laenu  tagasimaksegraafikud  kujutavad  endast  sisuliselt  annuiteete. 
Tavaannuiteeti kasutatakse näiteks väikelaenude (tavaliselt kestusega 1-5 aastat) , järelmaksu, 
eluasemelaenu, õppelaenu puhul. Liisingumaksete puhul kasutatakse ka avanssannuiteeti.  
Peale seda, kui  laenuvõtja  ja laenuandja on jõudnud kokkuleppele  laenusumma , intressimäära 
ja maksete sageduse osas, on võimalikud kaks erinevat lähenemist: 
I.   Esiteks  määratakse  kindlaks  laenutähtaeg  ja  seejärel  arvutatakse  osamakse  suurus,  mis 
täielikult kustutab kogu võla valitud tähtaja lõpuks. 
II.  Kõigepealt määratakse kindlaks  osamakse suurus ja seejärel  arvutatakse osamaksete arv, 
mis võimaldab kogu võla kustutada. Makseperioodide arv määrab siis ka maksetähtaja. 
Teist  varianti  kasutatakse  harvem,  peamiselt  siis,  kui  soovitakse,  et  osamakse  suurus   jääks  
kindlatesse  piirides.  Tavaliselt  on  siis  ka  viimane  makse  eelnevatest  erineva  suurusega. 
Mõlema  meetodi  puhul  makstakse  intressi  laenu  jäägilt.  Üldine  printsiip,  millel  põhineb 
laenumaksete tasumine on järgmine:  
Laenu nimiväärtus on võrdne kõigi tulevaste maksete summaarse nüüdisväärtusega, kusjuures 
diskonteerimine toimub lepingu allakirjutamise hetkel määratud intressimäära järgi. 
Vaatleme kõigepealt juhtu I. Olgu 
 
 R    laenu osamakse suurus  
 
84 
 
 n    laenu osamaksete arv, 
 
n
A   laenu nimiväärtus, 
 
 p    intressimäär makseperioodi kohta. 
Siis vastavalt ülalesitatud printsiibile (vt annuiteedi nüüdisväärtuse valemit) 

1  1
(  p) n
 
 
 
 
 
            A  R 
n
 
 
 
          (2.7.1) 
p
Nüüd on võimalik leida järgmised olulised laenumaksete komponendid: 
1.  Osamakse R  arvuline  väärtus, mille saame valemist (2.7.1) avaldada, kui n, p ja  n
A  on 
teada.  
2.  Kogu laenu kustutamiseks kuluv nominaalse rahasumma on  n  .
R  
3.  Kogu laenu kustutamiseks makstud nominaalne intress  I  n  R 
n
A  
 
 
4.  Laenujääk  Lk   peale k-ndat osamakset on 
   
 
 
 
      L

k =  S ( A )
S (R),
k
n
k
 
 
 
          (2.7.2) 
kus 
     S (A )  A  1
(  p)k ,
k
n
n
 
k  n   on  laenu  nimiväärtuse  tulevikuväärtus  ja  
1
(  p k
) 1
S (R) 

k
R
 esimese k osamakse tulevikuväärtus peale k-ndat makset.  
p
Valemi  (2.7.2)  asemel  võib  arvutada  ka  järelejäänud  n-k  osamakse  summaarse  
nüüdisväärtuse 


n
A k  hetkel, kui k-s osamakse on tehtud, sest  A
S (A )
S (R).
nk
k
n
k
 
5.   k-nda  osamakse  laenu  nimiväärtuse  kustutamiseks  kuluv  osa  ja  intress;  selleks  tuleb 
leida 
laenujääk  peale   eelnevat   ehk 
(k-1)-st 
osamakset, 
milleks 
on 
k
L 1
 = S
(A )
S
(R)
k 1


n
k 1

(vt valem (2.7.2)) ehk viimase n-k+1 osamakse summaarne 
nüüdisväärtus  n
A k 1
   hetkel,  kui  (k-1)-ne  osamakse  on  tehtud;  siis  k-nda  osamakse 
intressiosa  I k  on  
 
 
 
 
 
 
      I 
k
k
pL 1
    
 
 
                      (2.7.3) 
 
ehk     
 
 
 
 
 
 
 
I 
k
n
pA k 1
                          
          (2.7.4) 
 
 
ja laenu nimiväärtuse kustutamiseks kuluv osa on 
 
 
 
 
 
 
 
d  R 
k
Ik    
 
 
          (2.7.5) 
Illustreerime punktides 4. ja 5. kirjapandut ka joonisel 2.7.1 esitatud  skeemil. 
 
85 
 
86 
 
 
 
 
 
             S
( )
k 1 R

      S
( )
k 1 R

   
 
 
   S (R)
n
 
 
          R         R       R   
      R               R 
    R 
             R 
        R 
 
0 ____1____2____3………….(k-1)_______k______k +1……….n - 1_______n 
  
n
A   
 
 
 
    n
A k 1
        n
A k  
 
 
 
  S ( A )
n
n  
 
 
 
 
 
           S
( A )
k 1

n        S ( A )
k
n  
 
 
 
         k
L 1
 = S
(A )
S
(R)
k 1


n
k 1

 
   
 
 
 
 
 
          L

k =  S ( A )
S (R),
k
n
k
   
Joonis 2.7.1. Laenujäägi leidmine ning fikseeritud osamaksest laenu nimiväärtuse 
kustutamiseks minev osa ja intressideks makstav osa 
 
Näide  2.7.1.    Jüri  võttis  laenu  viieks  aastaks  8000  EURi  12%  intressimääraga  igakuise 
kapitalisatsiooniga, mida kustutatakse võrdsete iga kuu lõpul toimuvate osamaksetega. Leida 
a)  osamakse suurus, 
b)  kogu laenu kustutamiseks vajalik nominaalne summa  
c)  makstud intresside nominaalne suurus, 
d)  laenujääk peale teist aastat, 
e)  30-nda osamakse intressiks minev summa ja laenu nimiväärtust kustutav osa, 
f)  Teisel aastal makstud intressid? 
Lahendus. 
Antud maksegraafikut saame käsitleda lihtsa tavaannuiteedina, sest makseperioodide sagedus 
ühtib kapitalisatsioonide sagedusega ja maksed on perioodide lõpus. Seega  
12
A

8000
p  i 


n  

60
 
1
01
0
 
5 12
60  
12
a)  Asendades teadaolevad suurused valemisse (2.7.1), saame 
1  1
01
0
60


8000  R 
 
01
0
ehk 
8000  R 
95503841
44
 
millest leiame 
 
87 
8000
R 

96
177
 EURi. 
95503841
44
b)  Laenu kustutamiseks vajalik nominaalne summa   n  R  60 
96
177

6
10677
 EURi. 
c)   Kogu laenu kustutamiseks makstud nominaalne intress  
I  60  R 



60
A
6
10677
8000
6
2677
 EURi. 
d)  Siin  n 
60  k=24. Järelikult valemi (2.7.2) põhjal 
24
S
A



24 (

60 )
8000 1
01
0
88
10157
 EURi, 
1
( 
01
0
24 1
S
( ) 

24 R
96
177
= 4800,2 EURi, 
01
0
S
(A ) 
24
L
= 
S
( )
R 
24
60
24
 10 157,88 - 4800,2 = 5357,68 EURi. 
 
e)  Esimene võimalus. Leiame laenu nimiväärtuse tulevikuväärtuse peale 29-ndat makset: 
S
( A )  8000  1
( 
01
0
29 
03
10675
29
 EURi 
60
ja esimese 29 osamakse tulevikuväärtuse peale 29-ndat makset: 
1
( 
01
0
29 1
S
( ) 


29 R
96
177
83
5952
 EURi. 
01
0
Siis valemi (2.7.3) abil  leiame 30-nda osamakse intressiosaks 
I

 L  01
0
 (S (A )  S (R)) 
30
01
0
29
29
60
29
 
01
0

03
10675

83
5952
 47,22  EURi 
ja nimiväärtuse kustutamiseks minev osa valemi (2.7.5) järgi on  
d
 R  I 
96
177
 ,
47 22 
74
130
30
30
 EURi. 
Teine 
võimalus.  Leiame  järelejäänud  maksete  (n-k+1  =  60-30+1=31) 
nüüdisväärtuse 31
A  peale 29-ndat osamakset (valem (2.7.1), kus n =31) 

1  1
( 
01
0
31
A

96
177


4723 47
31
 EURi. 
01
0
Siis valemi (2.7.4) põhjal 
I
 01
0

4723 47 
47 23
30
 EURi. 
Väike erinevus 47,23- 47,22 =0,01 EURi on tingitud ümmardamisest. 
 
88 
f)  Teisel aastal makstud intress on arvutatav valemiga 
 12R  (L

12
24
L
, 
kus   
12R on teisel aastal makstud osamaksete nominaalne summaarne väärtus  
ning  

12
L
24
L
 peale 12-ndat ja  24-ndat osamakset arvutatud laenujääkide vahe. 
 
Arvutame: 
12
S
A



12 (

60 )
8000 1
01
0
60
9014
 EURi, 
1
( 
01
0
12 1
S ( ) 

12 R
96
177
= 2256,98 EURi, 
01
0
S (A ) 
12
L = 
S (R) 
12
60
12
 9014,60 - 2256,98 = 6757,62 EURi, 
12R  (L

)  12 
96
177

62
6757

68
5357

12
24
L
735,58 EURi. # 
 
Näide  2.7.2.    Laen  üks  miljon  eurot  võeti  viieks  aastaks.  Kogu  laenusumma  tasutakse 
võrdsete osamaksetena iga aasta lõpus ja laenu võlajäägilt makstakse intressi 10% aastas iga-
aastase kapitalisatsiooniga. Koostada laenu tasumise graafik, kus eraldi tuua välja igaaastane 
osamakse ja selles näidata ära laenu nimiväärtuse tasumiseks minev osa ning intress.  
Lahendus. 
Antud maksegraafikut saame käsitleda lihtsa tavaannuiteedina, sest makseperioodide sagedus 
ühtib kapitalisatsioonide sagedusega ja maksed on perioodide lõpus. Seega  
A  1 000
000
p  i 
n 
L  A 
5
 
10

1
0
 
5
1
0
5
 000 000. 
 Laenu tasumise graafik esitame järgmise tabelina: 
 
Aasta k 
Võlajääk L
Põhisummat 
k-1 
Aastane osa-
Intressid Ik 
makse R = dk + 1k 
kustutav osa dk 
1 
   1 000 000 
 
163 797 (3) 
100 000 (2) 
2 
836 203 (4) 
 
180 177 (6) 
83620,3 (5) 
3 
658 026 (7) 
263 797 (1) 
198 155 
65802,6 
4 
457 831 
 
218014 
45783,1 
5 
239 814 
 
239 816 
23981,6 
 
Esitame mõned arvutused (jälgi numbreid tabelis): 
1 

1
1
5
(1)   1000000   R 
   1000000  R  790787
3
  
1
0
1 000 000
R 
 263 797 EURi, 
790787
3
 
89 
(2)   I  1
0 1 000 000  100 000
1
 EURi, 
(3)   d  263 797 100 000  163 797
1
 EURi, 
(4)   L  1000 000 163 797  836 203
1
 EURi,  
(5)   I  1
0  836 203 
3
83620
2
 EURi, 
(6)  d  263 797  83
3
620
 180177
2
 EURi,  
(7)  L  836 203 180 177  658 026
2
 EURi. #  
Vaatleme  varianti  II,  kus  kõigepealt  määratakse  ära  osamakse  suurus  ja  seejärel  leitakse 
laenumaksete arv. Laenumaksete arvu n määramiseks saame kasutada varemesinenud valemit 
(2.6.15): 

p  A 
ln1
n



R

    n  
.  
 
 
          (2.7.6) 
ln 1
(  p)
Siin  üldjuhul  n  väärtuseks  ei  tule  täisarv,  st,  et  viimane  osamakse  on  erineva  suurusega. 
Viimase  osamakse  suurus  koosneb  võlajäägist  peale  eelviimast  makseperioodi,  millele 
lisandub viimase (pooliku) perioodi intress. 
 
Näide  2.7.3.  Kirsti  võttis  laenu   7500   EURi  nominaalse  intressimääraga  8% 
kapitalisatsiooniga  igas  kvartalis.  Millise   ajaga   saab  Kirsti  laenu  kustutatud,  kui  osamaksed 
toimuvad iga kvartali lõpus suurusega 500 EURi? Milline on viimane osamakse suurus?  
Lahendus. 
Antud maksegraafikut saame käsitleda lihtsa tavaannuiteedina, sest makseperioodide sagedus 
ühtib kapitalisatsioonide sagedusega ja maksed on perioodide lõpus. Seega  
8
R 
500

7500
p  i 


n
A
 
2
01
0
 
 
4
Valemi (2.7.5) abil arvutame  

02
0
 7500 
ln1 


500

n  
=18,0115 kvartalit. 
ln 1
( 
02
0
Seega  saab  Kirsti  võla  kustutatud  19  makseperioodiga  ehk  nelja  aasta  kahe  kuu  ja 
0115
0
90  16 päevaga.  
Võlajääk eelviimase makseperioodi järel on järelejäänud 0,0115 osamakse nüüdisväärtus: 

1  1
( 
02
0
0 0115
A
 500 
 69
5
0 0115
 EURi, 
02
0
millelt tuleb veel maksta intressi 
 
90 
02
0
 69
5
 11
0
 EURi. 
Järelikult viimase osamakse suurus on 5,69 + 0,11= 5,80 EURi. # 
 
2.7.2 Laenu kustutamine meetodil, kus laenu nimiväärtus tasutakse võrdsetes osades.     
Rõhutame,  et  sel  juhul  pole  enam  tegemist  annuiteediga,  sest  osamaksed  on  muutuva  suurusega.  Näiteks 
eluasemelaenude puhul kasutatakse vahel ka seda meetodit, aga palju harvem, kui annuiteedi meetodit. Olgu 
n  laenu makseperioodide arv, 
       L  A  laenu nimiväärtus,  
0
n
d  laenu nimiväärtuse kustutamiseks minev osamakse; 
        p  makseperioodi intressimäär, 
 
Lk laenujääk pärast k-ndat makseperioodi, 
 
I  k-nda makseperioodi intress, 
k
R  k-nda perioodi osamakse. 
k
Siis  
A
d =  n  ja  R = d + 1k. 
n
k
Vaatleme maksegraafiku koostamise põhimõtet järgmise lihtsa näite abil. 
 
Näide 2.7.4.  Laen üks miljon eurot võeti viieks aastaks. Laenu põhisumma tasutakse võrdsete osamaksetena iga 
aasta  lõpus  ja  laenujäägilt  makstakse  intressi  10%  nominaalse  intressimääraga  iga-aastase  kapitalisatsiooniga. 
Koostada  laenu  tasumise  graafik,  kus  eraldi  tuua  välja  igaaastane  osamakse  ja  selles  näidata  ära  põhisumma 
tasumiseks minev osa ning intressid.  
Lahendus.  
Siin     A  L  1;  n  5;  p= i = 10%. 
5
0
Aasta k 
Võlajääk L
Põhisummat 
k-1 
Aastane osa-makse Rk 
Intressid Ik 
(miljonites EURides) 
= d + 1k 
kustutav osa d 
1 
1 
0,3 (3) 
 
0,1 (2) 
2 
0,8 (4) 
0,28 (6) 
 
0,08 (5) 
3 
0,6 (7) 
0,26 
0,2 (1) 
0,06 
4 
0,4 
0,24 
 
0,04 
5 
0,2 
0,22 
 
0,02 
 
Näitame mõned arvutused (kõik väärtused antud tabelis on miljonites EURides):  
1
(1)  d 
 0,2 milj. EURi, 
5
(2)    I  0,11  0,1 milj. EURi, 
1
(3)  R  d  I  0, 2  0,1  0,3  milj. EURi, 
1
1
(4)    L  1 0, 2  0,8  milj. EURi, 
1
 
91 
(5)  I  0,1 0,8  0, 08  milj. EURi, 
2
(6)  R  d  I  0, 2  0, 08  0, 28  milj. EURi, 
2
2
(7)    L  0,8  0, 2  0, 6  milj. EURi. # 
2
 
 
2.7.3.  Liisingud 
Liising   (lease  /  leasing)  on  laenuvõtmise  vorm,  milles  laenuandja  ehk   liisingufirma   annab 
laenuvõtjale  õiguse  hallata  ja  kasutada  seadmeid,  esemeid  lepingus  fikseeritud  ajavahemiku 
jooksul kindlate ajavahemike tagant laekuvate maksete eest. 
Liisingut kasutatakse seadmete hankeks tootmisettevõtetes ning auto, mootorratta, veesõiduki, 
elamispinna hankimiseks. Tuleb rõhutada, et liisingusaaja ei saa liisitava objekti omanikuks. 
Omanikuks on liisingufirma, mis ostab liisitava objekti selle tootjalt või omanikult välja ning 
annab liisinguvõtjale õiguse hallata ja kasutada seda objekti lepingus fikseeritud ajavahemiku 
jooksul  kindlate  ajavahemike  tagant  laekuvate  maksete  eest.   Liisingu   puhul  peavad 
laenumaksed katma  kõik liisinguandja kulud ning andma veel täiendavat tulu. 
Võlgnevus liisingulepingu järgi kustutatakse järgmist liiki maksetega: 
-  avanss (payment in advance), st makstakse lepingu algul kohe teatav summa liisitava 
objekti väärtusest, 
-  perioodilised  liisingu  maksed  (periodic  leasing  payments)  (kas  perioodi  lõpul  või 
algul),  
-  väljaostu summa (redemption sum). 
Avanss  ja  väljaostu  summa  ei  ole  liisingu  kohustuslikud  elemendid.  Tavaliselt  kaetakse 
liisingus   avansi   ja  perioodiliste  maksetega  vaid  suurem  osa  liisitava  objekti  väärtusest, 
tasumata  jäänud  osa  moodustab  objekti  jääkväärtuse  (residual  value).  Liisinguvõtjal  on 
võimalus osta liisitav ese peale liisingutähtaja lõppemist liisingufirmalt välja, makstes objekti 
jääkväärtuse.  Kui   liisinguvõtja   ei  soovi  liisitavat  objekti  välja  osta,  siis  see  objekt  jääb 
liisingufirma  omandisse.  Liisinguid  on  erinevat  tüüpi,  mida  me  siin  detailselt  kirjeldama  ei 
hakka,  kuid  erinevate  liisingu  tüüpidega  on  võimalik  tutvuda  pankade  veebilehekülgedel, 
näiteks SEB panga kõik liisingukalkulaatorid leiate aadressilt 
http://www.seb.ee/liising, 
Swedbanki autoliisingukalkulaator on aadressil  
https://www.swedbank.ee/private/credit/leasing/car?language=EST 
 
Vaatleme järgnevalt liisinguga seotud maksete arvutamist. Olgu 
 
K  liisingu andja kulutused, 
 
R  liisingu osamakse suurus, 
 
92 
n  liisingu tähtaeg kuudes (ka osamaksete arv kuudes, vaatleme lihtsuse mõttes ainult 
juhtu, kus osamaksete perioodiks on üks kuu, 
p   intressimäär ühe kuu kohta, 
s   liisitava objekti jääkväärtuse  osamäär objekti esialgses maksumuses, 
A  avanss ehk kohustuslik esimene osamakse.. 
Vaatleme liisingu osamakse R arvutamist erinevatel juhtudel, kuid eeldame kõigil juhtudel, et 
osamaksed  leiavad  aset  makseperioodi  algul  (st  tegemist  on  avanssannuiteediga)  ning 
kapitalisatsioon toimub igakuiselt: 
I.  Eeldame,  et  osamaksed  katavad  kõik  liisinguandja  kulud.  Siis  on  tegemist  lihtsa 
avanssannuiteediga, sest kapitalisatsioonide sagedus ühtib makseperioodide sagedusega. Siis 
valemi (2.6.9) põhjal võime kirjutada (K on avanssannuiteedi nüüdisväärtus) 

1  1
(  p) n
       K  R 
 1
(  p),  
 
 
          (2.7.7) 
p
millest järeldame, et 

R  
K p

.   
 
          (2.7.8) 
1  1
(  p) n  1
(  p)
II.  Eeldame,  et  lepingu  sõlmimisel  makstakse  ära  avanss  A.  Siis  seose  (2.7.7)  asemel 
saame seose  

1  1
(  p) n
K  A  R 
 1
(  p),  
p
millest avaldame 


R   (K )A p

   
 
          (2.7.9) 
1  1
(  p) n 
 1
(  p)
 
III. Eeldame,  et  lepe  näeb  ette  objekti  väljaostu  jääkväärtuse  alusel.  Siis  jääkväärtuse 
nüüdisväärtuseks on  
K
s 
, 
n
1
(  p)
mistõttu seose (2.7.7) asemel saame seose  
n
1  1
(  p)
K
     K  R 
1
(  p)  s 
.        
        (2.7.10) 
n
p
1
(  p)
Järelikult 
 
93 
1  1
( 
n
p)

s

R 
 1
(  p)  K  1 
 

 
n 
p

1
(  p) 
K  p

s

          R  
 


 
 
        (2.7.11) 
n

n 
1  1
(  p)

1
 1
(  p) 
1
(  p) 
 
IV.  Eeldame, et leping näeb ette nii avanssi A kui ka objekti väljaostu jääkväärtuse alusel. 
Siis on võimalik näidata, et kehtib valem 


s


p
  R  K  1
 
  A 





 
        (2.7.12) 
1
(  p)n


 1 1
(  p) n 
 1
(  p)
 
Näide  2.7.5.    Ettevõte  liisis  endale  tööpingi,  mille  maksumus  oli  6000  eurot  tähtajaga  viis 
aastat, kusjuures leping nägi ette, et seadme kogumaksumus kaetakse iga kuu algul toimuvate 
osamaksetega.  Kui  suur  oli  see  osamakse,  kui  nominaalne  intressimäär  oli  9%  igakuise 
kapitalisatsiooniga. 
Lahendus.  
Siin     
9
K  6000 ;  n  5 12 
60  p = i = 

75
0

0075
0
 
12
Järelikult valemi (2.7.8)  põhjal on liisingumakse 
R

6000 

0075
0
123,62 EURi. # 
1  1
( 

0075
0
60 

 1
( 
0075
0
 
Näide 2.7.6.   Kui suur  oleks näite 2.7.5  andmetel  osamakse, kui  algul  makstaks ära avanss 
1000 EURi? 
Lahendus.  
Kuna sel juhul   A 
1000  siis valemi (2.7.9)  põhjal saksime liisingumakseks 
R   (6000
1000  0075
0
103,02 EURi. # 
1  1
( 

0075
0
60 

 1
( 
0075
0
 
Näide 2.7.7.  Marina liisis neljaks aastaks auto, mille väärtus oli 15 000 EURi. Leping näeb 
ette  liisinguvõtjale  õiguse  osta  liisingutähtaja  möödumisel  auto  välja,  makstes  ära  auto 
jääkväärtuse,  milleks  on  25%  selle  esialgsest  maksumusest.  Kui  suur  oli  iga  kuu  alguses 
makstav osamakse, kui nominaalne intressimäär oli 12% igakuise kapitalisatsiooniga?   
Lahendus.  
Siin on tegemist lihtsa avanssannuiteediga, kus 
 
94 
12
K  15000 ;  n  4 12 
48  p = i = 
 %
1

01
0
  s  ,
0 25 . 
12
Järelikult valemi (2.7.11)  põhjal on liisingumakse 
15000  01
0

0 25

R  
1
= 330,45 EURi. # 
1  1
( 
48
01
0

 


48 
 1
( 
01
0

1
( 
01
0

 
Näide 2.7.8.  Kui suure osamakse peaks näite 2.7.7 andmetel Marina iga kuu alguses tegema, 
kui ta maksaks alguses esimese kohustusliku osamakse ehk avansi 3000 EURi? 
Lahendus.  
Kuna sel juhul   A 
3000  siis valemi (2.7.12)  põhjal saaksime liisingumakseks 


0 25


R  15000

 1
 
 
 
= 252,23 EURi. # 





1
48



 
01
0
3000
01
0
1  1
( 
01
0
48 
 1
( 
01
0
 
 
2.7.4.  Krediitkaardid, kiirlaenud  
 
Vaatleme  veel  lühiajaliste  laenude  selliseid  tüüpe  nagu  laenamine  krediitkaardi  abil  ning 
kiirlaenud või nn sms-laenud.  
Alustame  kõigepealt  krediitkaartidega  ( credit   cards),  milliseid    on  kasutusel  mitmesuguste 
funktsionaalsustega.  Osad  krediitkaardid  nõuavad  kaardiomanikult  igakuist  hooldustasu, 
teised on aga sellised, mille puhul tuleb intressi maksta vaid siis, kui krediitkaardil olevat raha 
reaalselt  kasutatakse.  Intresside  arvutamisel  kasutatakse  lihtintresside  meetodit.  Vaatleme 
ühte konkreetset näidet. 
 
Näide 2.7.9.  Hubertil on krediitkaart, mille kasutamise korral ta maksab pangale intressi iga 
kuu  lõpus  arvel  olevalt  võla  jäägilt  nominaalse  intressimääraga  21%.  Eelmise  kuu  lõpu 
seisuga oli Hubert pangale võlgu 200 EURi, sel kuul sooritas Hubert  krediitkaardiga ostusid 
85 EURi eest ja maksis pangale tagasi 45 EURi. Määrata  
a)  selle kuu intress eelmise kuu võlajäägilt, 
b)  võlajääk selle kuu lõpus, 
c)  järgmise kuu intress  
Lahendus. 
Intressimäär ühe kuu kohta tuleb 
21
:12 
75
1

0175
0
 
a)  selle kuu intress =  0175
0
 200  5
3  EURi, 
b)  eelmise kuu võlajääk 200   EURi 
 
95 
lisandus ost                 85   EURi 
intress    
 
    3,5 EURi 
 
 
 
 
 __________ 
 
 
kokku   
288,5 EURi 
 
tagasimakse pangale   -45   EURi 
 
 
 
 
___________ 
kokku  243,5  EURi, see on ka uus võlajääk selle kuu lõpus 
c)  järgmise kuu intress =  0175
0

5
243  ,
4 26  EURi.   # 
Järgnevalt  vaatleme  viimastel  aastatel  laialt  levinud  laenuliiki,  milleks  on  kiirlaen  ehk  sms-
laen  (nimetus  tuleneb  sellest,  et  laenu  saab   tellida   mobiiliga,  saates  laenu  andvale  firmale 
mobiililt  sõnumi).  Selliste  laenude  puhul  ei  saa  rääkida  ei  liht-  ega  liitintressimäärast. 
Kiirlaenu   puhul  on  sõltuvalt  laenu  tähtajast  ja  laenatavast  summast  fikseeritud  kindla 
suurusega laenu kustutavad kuumaksed. Esitame siin ühe näite laenufirma Smsraha tabelist, 
kus  vastavate  maksete  suurus  kuus  (EURides)  selle  firma  püsikliendile  on  ära  toodud  (vt  
http://www.smsraha.ee/  ): 
 
Tabel 2.7.1. Kiirlaenufirma Smsraha laenumaksete graafik. 
 
Summa 
15 päeva 
30 päeva 
2 kuud 
3 kuud 
6 kuud 
9 kuud 
12 kuud 
Püsiklient 
50 
55.- 
60.- 
 
 
 
 
 
100 
110.- 
120.-   
 
 
 
 
150 
165.- 
175.- 
105.- 
75.- 
45.- 
32.- 
24.- 
200 
220.- 
235.- 
140.- 
100.- 
60.- 
42.- 
33.- 
250 
275.- 
290.- 
160.- 
120.- 
70.- 
52.- 
40.- 
300 
320.- 
340.- 
185.- 
130.- 
85.- 
62.- 
49.- 
 
 
Analüüsime seda tabelit veidi. Näeme, et võttes 15 päevaks kiirlaenu 200 EURi, maksate selle 
eest   (20 :
200 
100
 %
10
 intressi. Kuna  aastas on  360 :15  24  15-päevast perioodi, siis 
aastaintressimääraks  tuleb  24 
10

240
.  Näiteks,  võttes  kuueks  kuuks  ehk  poolaastaks 
kiirlaenu 200 EURi, maksate selle eest täiendavalt  6  70  200  220  EURi intressi; see teeb 
poolasta intressimääraks (220 :
200 
100

110
 ja seega aasta intressimääraks 220%.  
 
 
96 
Näide 2.7.10.  Roobert soovib võtta üheks aastaks kiirlaenufirmalt Smslaen teleri  ostmiseks  
laenu 300 EURi. Kui palju peab Roober maksma laenu kustutamiseks intressi ja kui suur on 
selle laenu aastane intressimäär (lahendamisel kasutada tabelit 2.7.1)? 
Lahendus. 
Tabelist  2.7.1 näeme, võttes  üheks aastaks laenu  300  EURi, on  kuumakse  suurus 49  EURi. 
Järelikult  kogu  laenu  kustutamiseks  peab  Roobert  kiirlaenufirmale  tasuma  12 49  588  
EURi,  millest  intress  moodustab  588  –  300  =  288  EURi.  Aastane  intressimäär  on  seega 
(288 :
300 
100
 %.
96
 # 
Küsimus  iseseisvaks  mõtlemiseks.  Võrreldes  näidetes  2.7.9  ja  2.7.10  esitatud  ülesannete 
lahendusi,  hinnata,  kumb  laenamiseviis,  kas  krediitkaardiga  või  sms-laenu  abil,  on 
laenuvõtjale soodsam? 
 
2.7.5.  Erinevate laenude võrdlemine 
Seni oleme laene ning erinevaid finantsotsuseid  võrrelnud märkuses 2.6.3, näidetes 2.2.17 ja 
2.6.7.  Nüüd  käsitleme  laenude  võrdlemise  probleemi  põhjalikumalt.  Lisaks  nominaalsele 
intressimäärale on väga oluliseks näitajaks erinevate laenude võrdlemisel on krediidi kulukuse 
määr.  
Krediidi  kulukuse  määr  (annual  percentage  rate)    on  laenatud  rahale  aastas  langev  kõigi 
kulude  (kaasa  arvatud  lepingutasu,  kindlustus)  koormus  protsentides,  eeldusel,  et  leping 
kehtib kokkulepitud tähtaja jooksul.  
Lepingurikkumisega  seonduvad  kulud  (sh  sissenõude  kulud  jms)  ei  lähe  krediidi  kulukuse 
määra arvutamisel ja avaldamisel arvesse. Esitame krediidi kulukuse määra arvutamise valemi 
erijuhul, kui  
A  on laenu nimiväärtus, 
R  võrdse suurusega laenu osamaksete väärtus, 
tk  k-nda osamakse toimumise aeg aastates peale laenu saamist, 
l   krediidi kulukuse määr. 
Siis krediidi kulukuse määr l arvutatakse valemist 
R
R
R
A 

...
.    
        (2.7.13) 
t
t
t
1
2
(1 l)
(1 l)
(1 l) k
Esitame paar lihtsat näidet krediidi kulukuse määra arvutamise kohta. 
 
Näide 2.7.11.  Laen 2000 EURi anti üheks aastaks ja kolmeks kuuks. Leida krediidi kulukuse 
määr, kui laen kustutati ühekordse maksega 2500 EURi laenutähtaja lõpus. 
 
97 
Lahendus. 
Siin  
A = 2000,  R = 2500,   k = 1,  t1 = 1,25 
 
ning seepärast valemi (2.7.13) põhjal 
2500
2000 
,  
1,25
(1 l)
millest järeldub 
1
 5  ,125
1
( 
1 25
l
 2500
  1 l   
  
2000
 4 
1
 5 
l 
1 25
 
1  1954
0
 19,54%. # 
 4 
Näide 2.7.12.  Laen 2000 EURi anti kaheks aastaks. Leida krediidi kulukuse määr, kui laen 
kustutati  kahe  võrdse  osamaksega  1300  EURi  üks  aasta  pärast  laenu  saamist  ja  laenutähtaja 
lõpus. 
Lahendus. 
Siin  
A = 2000,  R = 1300,   k = 2,  t1 = 1,  t2 = 2 
ning seepärast valemi (2.7.13) põhjal 
1300
1300
2000 

,  
1
(  l)1
1
(  l)2
millest järeldub 
2000  1
(  l)2  1300  1
(  l) 1300  2000  2
l  2700  l  600  0 
20  2
l  27  l  6  0   
 27  729 
l 
480  1943
0
 19,43% (negatiivne lahend loomulikult ei sobi). # 
40
Üldjuhul on l arvutamine selle valemiga küllaltki keeruline, sest tuleb kasutada ligikaudseid 
numbrilisi  meetodeid.  Kuid   pankadel   on  l  arvutamiseks  vajalikud   programmid   olemas. 
Krediidi kulukuse määra tähtsuse rõhutamiseks lisagem, et alates 01.07.2011 peavad pangad 
laenupakkumiste  tegemisel  laenutaotlejale  alati  esitama  ka  krediidi  kulukuse  määra.  Minnes 
pankade 
koduleheküljele 
(näiteks 
Swedbanki 
ja 
SEB-ikoduleheküljed 
on  
https://www.swedbank.ee/private,  http://www.seb.ee/   ),  saab  erinevat  tüüpi  laenude  korral 
leida ka tüüpnäited krediidi kulukuse määra kohta. Loomulikult on siis eelistatavamad need 
pakkumised, milles krediidi kulukuse määr on väiksem. 
Veel  on  laenuvõtjale  kasulik  teada  pankade  veebilehel  paiknevaid  laenukalkulaatoreid. 
Näiteks Swedbanki kõik laenukalkulaatorid paiknevad adressil  
 
98 
https://id.swedbank.ee/private/home/more/calculator;jsessionid=yYgNTpcQpPjjpLBy
N0ybnG2MyPpJ3002pnhvJLVN2bnyGMq5QZxH!-875561873  
Klõpsates  lingile  „Kodulaenu   kalkulaator “,   avaneb   teil  võimalus  sisestada   soovitav  
laenusumma,  valida  tähtaeg,  kui   kauaks   soovite  laenu,  sisestada  intressimäär,  millega  laenu 
väljastatakse,  Kui  vajutata  lingile  „Arvuta“,  väljastab  kalkulaator  teile  kuumakse  suuruse, 
intressikulud   kokku,  tulumaksutagastused  kokku.  Seejärel  klõpsate  lingile  „Graafik“, 
väljastab  kalkulaator  teile  maksegraafiku.  Kalkulaatoris  on  teil  võimalus  muuta  laenu 
tähtaega, intressimäära ja sel teel näha, kui palju tehtud muudatused mõjutavad kuumakset ja 
intressikulusid. 
Klõpsates  lingile  „Lisavõimalustega  kodulaenu  kalkulaator“,  avaneb  täiendavalt  võimalus 
valida  tagasimaksegraafiku  tüübi  (kas  annuiteedi  või  nimiväärtuse  võrdsetes  osades 
tagasimaksmise), saate näha laenukindlustuse makset, saate valida tulemuse sõltuvana sellest, 
kas olete mees või naine või kui vana te olete. 
Valides   „Maksimaalse  laenusumma  kalkulaatori“,  saate  sisestada,  kas  võtate  laenu  üksi  või 
kellegagi  koos,  kui  palju  on  teil  ülalpeetavaid,  sisestate  oma  viimase  6  kuu  keskmise 
netopalga,  oma  täiendavad  igakuised  kohustused  eurodes.  Klõpsates  lingile  „Arvuta“, 
väljastab  kalkulaator  teile  maksimaalse  võimaliku  summa,  mida  teil  on  võimalik  laenuks 
saada ning igakuise maksukoormuse. 
Kasutades  „Pandikulude  kalkulaatorit“,  on  teil  võimalus  teada  sada,  kui  palju  tuleb  maksta 
antud lepingu pealt riigilõivu ning notaritasu. 
Veel  saate  kasutada  spetsiaalset  „Autoliisingu  kalkulaatorit“,  milles  saate  valida  erinevate 
liisingutüüpide vahel ning vastavalt valitud liisingutüübile määrata maksegraafiku. 
„Riikliku õppelaenu kalkulaatoris saate valida laenusumma, tagasimakse viisi (kas kord kuus 
või kord kvartalis), tagasimakseperioodi pikkuse, saate valida, kas vajate maksepuhkust ja kui 
kauaks  ning  vastavalt  valitud   väärtustele   leida  osamakse  suuruse,  intresskulu  kokku  ning 
maksegraafiku. Õppelaenu nominaalne intress on fikseeritud ja see on 5%.   
Veel  on  võimalik  kasutada  „Väikelaenu  kalkulaatorit“,  „Püsimaksega  krediitkardi 
kalkulaatorit“ ja „Järelmaksu kalkulaatorit“, mida me siinkohal pikemalt ei kirjelda. 
Pikaajaliste  laenude  korral  (näiteks  eluasemelaenud)  tuleb  laenu  taotlejal  arvestada 
võimalusega,  et  intressimäär  võib  laenutähtaja  jooksul  muutuda.  Tavaliselt  koosneb 
intressimäär  kahest  osast:  pangaga  kokkulepitud  nn  baasosa,  mis  laenutähtaja  jooksul  ei 
muutu,  ning  kuue  kuu   Euribor   ehk  üleeuroopaline  pankadevaheline  intressimäär,  mis  võib 
muutuda  iga  kuue  kuu  järel.  Näiteks,  kui  panga  baasintressimäär  on  4,2%  ja  Euribor  1,8%, 
 
99 
siis  laenu  intressimääraks  on  4,2%  +  1,8%  =    6%.  Pikaajaliste  laenude  korral  võib  Euribor 
laenutähtaja  jooksul  muutuda  küllaltki  palju,  isegi  suurusjärgus  3-4  protsendipunkti. 
Tavaliselt  on  Euribori  ühekordne  muutus  küllalt  väike,  näiteks  0,6  protsendipunkti  ja  võib 
esmapilgul  tunduda,  et  see  ei  saa  laenukoormusele  palju  mõjuda,  kuid  see  pole  nii. 
Pikaajaliste  laenude  korral  tingivad  väikesed  muudatused  laenutingimustes  küllaltki  suure 
muutuse.  Võite  selles  kergesti  veenduda,  kasutades  eespool  kirjeldatud  pankade 
laenukalkulaatoreid, varieerides selles väikese suuruse võrra intressimäära.  Demonstreerime 
seda ka järgmise näitega. (vt ka märkus 2.6.3).   
 
Näide  2.7.13.    Volli  võttis  25  aastaks  eluasemelaenu  60 000  EURi  nominaalse 
intressimääraga 5,4% igakuise kapitalisatsiooniga.  
a)  Leida  igakuise  osamakse  suurus,  nominaalne  kuumaksete  kogusumma  ja  kogu  laenu 
nominaalne intress, 
b)  Mitu protsenti suureneks kogu makstud intress, kui Euribor oleks antuga võrreldes 0,6 
protsendipunkti suurem? 
Lahendus. 
a)  Siin  
5 %
4
n  25 12 
300 A

60000  p  i 


300
0
45
0045
0
 
12
Järelikult valemi (2.7.1) põhjal 

1  1
( 
0045
0
300
60000  R 
1
 
 
        (2.7.14) 
0045
0
ehk 
60000 

164 438547 
1
R
 
60000
R 

88
364
1
 EURi. 
164 438547
Nominaalne kuumaksete summa on siis  
300 
88
364
 109464 EURi 
ning nominaalne intress 
109464 - 60000=49 464 EURi. 
b)  Kui Euribor suureneks 0,6% võrra, siis nominaalseks intressimääraks oleks 6% ning 
6
p  i 

5
0

005
0
 
12
Siis osamakse R2 arvutamiseks saaksime seose (2.7.14) asemel seose  
 
100 
1  1
( 
005
0
300
60000  R 
2
 
005
0
millest  
R 
58
386
2
 EURi. 
Nominaalne kuumaksete summa on siis  
300 
58
386
 115974 EURi 
ning nominaalne intress 
115974 - 60000=55974 EURi. 
Nominaalne intress suureneks siis 
115974 109464  6510  EURi 
ehk 
6510 
100

16
13
 võrra. 
49464
Seega  0,6  protsendipunktine  intressimäära  tõus  põhjustab  intresside  suurenemise  ligikaudu 
13% võrra. # 
Märkus  2.7.1.    Eluasemelaenude  puhul  kasutatakse  tavaliselt  hüpoteeki  (mortgage, 
hypothecation),  st  laenu  tagatiseks  on  mingi  kinnisvara,  milleks  enamasti  ongi  laenu  abil 
ostetav  korter  või  maja.  See  tähendab,  et  kui  laenuvõtjal  tekivad  makseraskused  ning  ta  ei 
suuda enam tasuda igakuist makset, siis võib pank laenu teel soetatud vara endale nõuda või 
võib nõuda, et laenuvõtja müüks soetatud  eluaseme , et maksta ära pangale võlgu olev summa. 
Seejuures  tagatiseks  oleva  korteri  või  maja  väärtus  on  mõnevõrra  suurem  laenuks  antavast 
summast.  See   peidab   endas  veel  ühte  ohtu  laenuvõtja  jaoks.  Nimelt,  kui  kinnisvaraturul 
majade  ja   korterite   hinnad  langevad,  siis  langeb  ka  laenu  tagatiseks  oleva  hüpoteegi  (ehk 
korteri või maja) väärtus ning uus hind ei tarvitse enam  katta  laenatud summat. Siis võib pank 
nõuda   täiendavaid   tagatisi  või  nõuda  eluaseme  müümist  laenu  võtja  poolt.  Kuid  eluaseme 
hind  võib  olla  langenud  isegi  sel  määral,  et  müügist  saadud  summa  on  väiksem  laenatud 
summast.  Sellisel  juhul  on  laenuvõtja  ilma  eluasemest  ning  lisaks  on  veel  pangale  teatava 
summa võlgu. 
Järgnevas näites võrdleme sms-laenu, krediitkaart ja järelmaksu. 
Näide  2.7.14.    Roobert  soovib  osta  300  EURi  maksva  teleri,  kuid  vajab  selleks  laenu 
tähtajaga üks aasta. Milline järgmistest laenuvõtmise võimalustest on soodsaim? 
a)   Sms-laen kiirlaenufirmalt Smslaen, 
b)  Kasutada  krediitkarti,  mille  puhul  tuleb  maksta  intressi  nominaalse  intressimääraga 
20% iga kuu lõpus olevalt võlajäägilt, 
 
101 
c)  Osta  teler  järelmaksuga,  kusjuures  laenu  nominaalne  intressimäär  on  20%  igakuise 
kapitalisatsiooniga? 
Lahendus. 
a)  Näitest  2.7.10  näeme,  et  kogu  laenu  kustutamiseks  peab  Roobert  kiirlaenufirmale 
tasuma  588  EURi,  millest  intress  moodustab  288  EURi  ning  aastane  intressimäär  on 
96%. 
b)  Oletame, et Roobert tegi aasta jooksul krediitkardiga ainult 300 EURi teleri ostu ning 
vahepeal  ta ühtegi tagasimakset võla kustutamiseks ei tee.. Siis on 12 kuuga tema võlg 
20
5
krediitkaardil kasvanud (1 kuu intressimäär on 
% 
% )  
12
3

5
12

300   1
( 
 
82
365
 EURini; 

3 100 
 
Järelikult intress on 65,82 krooni. 
c)  Antud juhul kujutab järelmaks endast lihtsat tavaannuiteeti, kus 
20%
5.
p  i 
 %,1,667%  0,01667 ,  n = 12,   A  300
12
. 
12
3
Siis valemist (2.7.1) saame 
1  1
( 
12
300  R 
01667
0
 300  R 
79489035
10
  
01667
0
300
R 

79
27
EURi. 
79489035
10
 
Seega kogu laenumaksete summa on  
12 
79
27

333 48  EURi, 
 
millest intress moodustab 33,48 EURi. 
Järelikult kõige vähem tuleb intressi maksta järelmaksu puhul ning seetõttu on see laenuviis 
kõige soodsam. # 
Märkus 2.7.2.  Näites 2.7.14 eeldasime, et Roobert krediitkaardi kasutamise korral enne ühe 
aasta  möödumist  ühtegi  tagasimakset  ei  tee.  Kuid  kui  Roobert  piisava  rahavaru  olemasolu 
korral maksab teatava summa enne ühe aasta möödumist tagasi, siis võib krediitkaar osutuda 
sama  kasulikuks  kui  järelmaks  või  isegi  kasulikumaks,  kui  Roobert  teeb  tagasimaksed 
piisavalt  varakult.  Seega  võib  krediitkaarti  ja  järelmaksu  lugeda  enam-vähem  sama 
soodsateks. Kindlalt kõige halvem variant on aga sms-laen. 
 
102 
Märkus 2.7.3.  Tarbimislaenude kohta on Riigikogus 2011. aastal vastu võetud seadus, mille 
kohaselt  ei  tohi  krediidi  kulukuse  määr  ületada  Eesti  krediidiasutuste  tarbimislaenude 
kolmekordset keskmist krediidi kulukuse määra. See väärtus on suurusjärgus 25-30%. Näites 
2.7.14 variandi a) puhul  leitud 96% intressimäära puhul on  krediidi kulukuse määr 300,29% 
(vt   http://www.smsraha.ee/ ),  mis  selgelt  ületab  vastuvõetud  seadusega  määratud  piiri.  Seega 
võib  laenuvõtja  sellist  intressi  mitte  maksta  ja  selle  kohtus  vaidlustada.  Sms-laenu  krediidi 
kulukuse  määr  300,29%  pole  midagi  erakordset,  sest  veebist  võib  kiirlaenufirmade 
kodulehekülgedelt  leida  märgatavalt  suurema  (isegi  tuhandetesse  protsentidesse  ulatuva 
krediidi kulukuse määraga) laenuvõtmise võimalusi. 
 
2.7.6.   Hoiused . Säästmine  
Kui  tekib  ülejäävat  vaba  raha,  mida  ei  ole  vajadust  koheselt  ära  kulutada,  siis  tuleks  valida 
säästmiseks sobivaim  viis, mis võimaldaks säästetavalt rahalt võimalikult palju teenida.  
Kõige levinumaks raha hoiustamise viisiks on tavaline  arvelduskonto  ehk nõudmiseni  hoius  
( current   account  /   demand    deposit ).  Kuid  tuleb  arvestada,  et  intressimäär  tavalisel 
arvelduskontol  on  äärmiselt  madal,    näiteks  Swedbankil  ja  SEB-il  oli  see  2011.  aasta  lõpul 
vaid  0,1%  aastas  igakuise  kapitalisatsiooniga.  Swedbankis  kehtib  intresside  arvestamisel  ja 
lisamisel  järgmine  kord:  intressid  arvestatakse  iga  päeva  lõpus  kontol  oleva  summa  pealt, 
tulemus ümmardatakse 2  kohani  peale  koma  ning arvestatud intress lisatakse  kontole 1 kord 
kuu  lõpus.  Oletame,  et  teil  on  päeva  lõpus  kontol  1000  eurot;  siis  selle  päeva  intressiks  on 
ülalkirjeldatud ümmardamisreegli kohaselt 
1000  001
0
1


...
0027
0
 0 eurot. 
360
360
Kui oletame, et teil terve kuu (pikkusega 30 päeva) jooksul konto seis ei muutu, siis ühe kuu 
jooksul lisandunud intress on 0 EURi, sama ka ühe aasta ning mistahes muu tähtaja korral. 
SEB  pangas  on  intresside  arvestamise  kord  veidi  teine:  intressid  lisatakse  samuti  iga  kuu 
lõpus,  kuid  kuu  intress  arvutatakse  konto  keskmise  jäägi  järgi  kogu  kuu  vältel.  Kui  oletada 
nagu  ennegi,  et  kuu  vältel  on  kontojääk  konstantselt  1000  EURi,  siis  SEB  panga  reeglite 
kohaselt oleks 30 päevase kuu intress  
1
1
30 

 08
0
 EURi. 
360
12
Kui kahe aasta jooksul kontole raha juurde ei panda ega kontolt välja ei võeta, on konto seis 
kahe aasta pärast liitintresside reegli kohaselt  
 
103 
001
0
24

1000   1
( 
  1002 EURi, 

12 
Seega teenitud intress on vaid 2 EURi. 
Soodsam  on  kasutada  tähtajalist  hoiust  (term  deposit  /  time  deposit).  Tähtajalise  hoiuse 
intressimäärad  sõltuvad  hoiuse  tähtajast  ja  hoiustatavast  summast.  Pankade  kodulehtedelt 
leiate tabelid, kus on ära toodud erineva suurusega ja erineva tähtajaga hoiuste intressimäärad. 
Näiteks Swedbanki andmed paiknevad aadressil 
https://www.swedbank.ee/private/investor/deposits/my/interests  
 
Näide 2.7.15.  Kui suur on intress, kui hoiate tähtajalisel hoiusel 1000 EURi tähtajaga kaks 
aastat  juhul,  kui  nominaalne  intressimäär  on  2%  igakuise  kapitalisatsiooniga  ja  intress 
makstakse välja üks kord tähtaja lõpus? 
Lahendus. 
Liitintresside reegli kohaselt siis  

02
0
24

1000   1
( 
 
78
1040
EURi, 

12 
Seega intress on 40,78 EURi. # 
 
Märkus  2.7.4.  Võrreldes  näites  2.7.15  saadud  intressi  40,78  EURi  enne  seda  näidet 
kirjeldatud olukorraga, kus 1000 EURi teenis arvelduskontol sama ajaga vaid 2 EURi, näeme, 
et  tähtajaline  hoius  on  märksa  soodsam.  Tähtajalise  hoiuse  intress  on  kõrgem  seetõttu,  et 
hoiustamistähtaja  jooksul  ei  saa  hoiuse  valdaja  hoiusele  pandud  raha  vabalt  kasutada.  Kui 
hoiustaja siiski soovib enne tähtaja lõppu raha hoiuselt välja võtta, kaotab ta  üldreeglina  juba 
selleks  hetkeks  teenitud  intressid.  Arvelduskontol  olevat  raha  saab  aga  hoiuse  valdaja  igal 
hetkel kasutada.  
Finantstehingutes kehtib üldine reegel: mida vabamalt on raha kasutatav ehk mida likviidsem 
( liquid )  on raha, seda väiksem on tehingust teenitav intress.  
 
Ka   igat   liiki  hoiuste  kalkulaatorid  leiate  pankade  veebilehekülgedelt,  näiteks  Swedbanki 
hoiuste kalkulaator paikneb aadressil 
https://www.swedbank.ee/private/investor/deposits/my?pageId=private.home.more.calculator .
calc.deposit&securityId=&encoding=UTF-8& language =EST 
Sellel aadressil paikneva kalkulaatori abiga saate leida erinevat liiki tähtajaliste hoiuste kui ka 
kogumishoiuse  hoiustatavatele  summadele  vastavad  intressid.  Loomulikult  tuleb  arvestada 
kehtivad intressimäärad võivad ajas muutuda, siin kasutatavad intressimäärad on võetud antud 
õppevahendi kirjutamise ajal kehtinud seisuga.  
 
104 
Märkus  2.7.5.    Peale  antud  punktis  kirjeldatud  raha  paigutamise  viiside  on  olemas  palju 
suuremat intressi võimaldavaid investeerimisviise, näiteks mitmesugused investeerimisfondid, 
võlakirjad,   aktsiad ,  kuid  nendega  käib  kaasas  ka  palju  suurem  risk.  Nende  puhul  pole 
võimalik enne lepingu sõlmimist välja arvutada kindlalt  laekuvat   tulu. Kui  rahaturul on hea 
seis,  siis  siin  kirjeldatud  investeerimisviisid  annavad  oluliselt  suurema  tulu,  kui  tähtajalisele 
hoiusele paigutatavad summad, kuid rahaturu kehva seisu korral tuleb olla valmis taluma ka 
raha kaotust. Näiteks aktsiahinna languse puhul aktsiatesse paigutatud raha väärtus hoopiski 
langeb. 
 
 
ÜLESANDED 
 
2.7.1.  Valdur  võttis  laenu  neljaks  aastaks  7000  EURi  14%  aastaintressimääraga 
kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  kvartali  lõpul 
toimuvate osamaksetega. Leida 
 
a) osamakse suurus, 
 
b) kogu laenu kustutamiseks vajalik nominaalne summa 
c)  makstud intresside nominaalne suurus. 
2.7.2.  Väikefirma  võttis  laenu  kuueks  aastaks  15  000  EURi  11%  intressimääraga 
kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  kvartali  lõpul 
toimuvate osamaksetega. Leida 
 
a)  osamakse suurus, 
 
b)  kogu laenu kustutamiseks vajalik nominaalne summa, 
 
c)  makstud intresside nominaalne suurus. 
2.7.3.  Perekond   Jänes   võttis  laenu  viieks  aastaks  12  000  EURi  12%  aastaintressimääraga 
kapitalisatsiooniga  iga  poolaasta  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  poolasta  lõpul 
toimuvate osamaksetega. Leida laenujääk peale kolmandat aastat. 
2.7.4. Firma võttis  laenu  neljaks  aastaks 18 000  EURi 15% aastaintressimääraga  kapitalisat-
siooniga  iga  kuu  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  kuu  lõpul  toimuvate 
osamaksetega. Leida laenujääk peale teist aastat. 
2.7.5.*  Perekond  Rebane  võttis  laenu  seitsmeks  aastaks  30  000  EURi  9%  intressimääraga 
kapitalisatsiooniga  iga  kuu  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  kuu  lõpul  toimuvate 
osamaksetega.  Leida  50-nda  osamakse  intressiks  minev  summa  ja  laenu  nimiväärtust 
kustutav osa.  
 
105 
2.7.6.*  Ettevõte  võttis  laenu  viieks  aastaks  ja  kuueks  kuuks  55  000  EURi  8% 
aastaintressimääraga  kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete 
iga  kvartali  lõpul  toimuvate  osamaksetega.  Leida  kaheksanda  osamakse  intressiks 
minev summa ja laenu nimiväärtust kustutav osa. 
2.7.7.*  Perekond  Kits  võttis  laenu  neljaks  aastaks  ja  kolmeks  kuuks  30  000  EURi  12% 
intressimääraga  kapitalisatsiooniga  iga  kuu  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  kuu 
lõpul toimuvate osamaksetega. Leida kolmandal aastal makstud intressid. 
2.7.8.*  Firma  võttis  laenu  viieks  aastaks  ja  kuueks  kuuks  70  000  EURi  11% 
aastaintressimääraga  kapitalisatsiooniga  iga  kvartali  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete 
iga kuu lõpul toimuvate osamaksetega. Leida neljandal aastal makstud intressid.  
2.7.9.*  Järgnevas  tabelis  on  esitatud  andmed  laenude  kohta,  mida  kustutatakse  võrdsete 
makseperioodide lõpul toimuvate osamaksetega. Leida iga laenu korral 
 
a)  perioodilise osamakse suurus, 
 
b) võlajääk peale tabelis viidatud makset, 
 
c)  intress  ja  nimiväärtust  kustutav  osa  punktis  b)  viidatud  makseperioodile  järgneval 
perioodil. 
nr 
Laenu 
Laenu 
Makseperi-
Intr. 
Kapitalis. 
Võlajääk peale 
nimiv.(EUR) 
tähtaeg 
oodi pikkus 
määr  aastas 
 
1. 
14 000 
6 aastat 
1 aasta 
16%  1 
4-ndat makset? 
2. 
10 000 
5 aastat 
1 kuu 
18%  12 
25-ndat makset? 
3. 
22 000 
12 aastat 
3 kuud 
12%  4 
15-ndat makset? 
4. 
9000 
4 aastat 
poolaasta 
20%  2 
5-ndat makset? 
2.7.10.*  Lembit  võttis  laenu  neljaks  aastaks  7000  EURi  15%  aastaintressimääraga  igakuise 
kapitalisatsiooniga, mida kustutatakse võrdsete iga kuu lõpul toimuvate osamaksetega. 
Leida  
 
a)  perioodilise osamakse suurus, 
 
b)  kogu laenu kustutamiseks vajalik nominaalne summa, 
 
c)  makstud intresside nominaalne suurus, 
 
d) võlajääk peale kolmandat aastat, 
 
e)  32-se osamakse intressiks minev summa ja laenu nimiväärtust kustutav osa, 
 
f)  kolmandal aastal makstud intressid. 
2.7.11.*  Ettevõte    võttis  laenu  kuueks      aastaks    65  000  EURi    10%  aastaintressimääraga 
kapitalisatsiooniga  iga  poolaasta  lõpus,  mida  kustutatakse  võrdsete  iga  poolaasta  lõpul 
toimuvate osamaksetega. Leida 
 
106 
 
a)  perioodilise osamakse suurus, 
 
b)  kogu laenu kustutamiseks vajalik nominaalne summa, 
 
c)  makstud intresside nominaalne suurus, 
 
d) võlajääk peale neljandat aastat, 
 
e)  neljanda osamakse intressiks minev summa ja laenu nimiväärtust kustutav osa, 
 
f)  viiendal aastal makstud intressid. 
2.7.12.  Laen  10  000  EURi  võeti  viieks  aastaks.  Kogu  laenusumma  tasutakse  võrdsete 
osamaksetena  iga  aasta  lõpus  ja  laenu  võlajäägilt  makstakse  intressi  20%  aastas  iga-
aastase kapitalisatsiooniga. Koostada laenu tasumise graafik, kus eraldi tuua välja iga-
aastane  osamakse  ja  selles  näidata  ära  laenu  nimiväärtuse  tasumiseks  minev  osa  ja 
intress. 
2.7.13.  Laen  30  000  EURi  võeti  kolmeks  aastaks.  Kogu  laenusumma  tasutakse  võrdsete 
osamaksetena  iga  poolaasta  lõpus  ja  laenu  võlajäägilt  makstakse  intressi  18%  aastas 
poolaasta  lõpul  toimuvate  kapitalisatsioonidega.  Koostada  laenu  tasumise  graafik,  kus 
eraldi tuua välja poolaasta osamakse ja selles näidata ära laenu nimiväärtuse tasumiseks 
minev osa ja intress.  
2.7.14.*   Jorma   võttis  laenu  8000  EURi  nominaalse  intressimääraga  12%  kapitalisatsiooniga 
igas kuus. Millise ajaga saab Jorma laenu kustutatud, kui osamaksed toimuvad iga kuu 
lõpus suurusega 500 EURi? Milline on viimase osamakse suurus?  
2.7.15.**  Väikefirma    võttis    laenu  88  000    EURi    nominaalse    intressimääraga    9% 
kapitalisatsiooniga igas kuus. Millise ajaga saab firma laenu kustutatud, kui osamaksed 
toimuvad  iga  poolaasta  lõpus  suurusega  9000  EURi?  Milline  on  viimase  osamakse 
suurus?  
2.7.16.  Laen  80  000  EURi  võeti  viieks  aastaks.  Laenu  põhisumma  tasutakse  võrdsete 
osamaksetena  iga  aasta  lõpus  ja  laenujäägilt  makstakse  intressi  12%  nominaalse 
intressimääraga  iga-aastase  kapitalisatsiooniga.  Koostada  laenu  tasumise  graafik,  kus 
eraldi tuua välja igaaastane osamakse ja selles näidata ära põhisumma tasumiseks minev 
osa ja intressid.  
2.7.17.  Laen  120  000  EURi  võeti  kolmeks  aastaks.  Laenu  põhisumma  tasutakse  võrdsete 
osamaksetena  iga  poolaasta  lõpus  ja  laenujäägilt  makstakse  intressi  18%  nominaalse 
intressimääraga  kapitalisatsiooniga  iga  poolaasta  lõpus.  Koostada  laenu  tasumise 
graafik,  kus  eraldi  tuua  välja  osamakse  iga  poolaasta  kohta  ja  selles  näidata  ära 
põhisumma tasumiseks minev osa ja intressid.  
 
107 
2.7.18.  Ettevõte  liisis  endale  seadme,  mille  maksumus  oli  7000  EURi  tähtajaga  neli  aastat, 
kusjuures leping nägi ette, et seadme kogumaksumus kaetakse iga kuu algul toimuvate 
osamaksetega. Kui suur oli see osamakse, kui nominaalne intressimäär oli 12% igakuise 
kapitalisatsiooniga? 
2.7.19.*  Firma  liisis  endale  tööpingi,  mille  maksumus  oli  6000  EURi  tähtajaga  viis  aastat, 
kusjuures  leping  nägi  ette,  et  seadme  kogumaksumus  kaetakse  iga  kvartali  algul 
toimuvate  osamaksetega.  Kui  suur  oli  see  osamakse,  kui  nominaalne  intressimäär  oli 
12% kapitalisatsiooniga kvartali lõpus? 
2.7.20.  Kui  suur  oleks  ülesande  2.7.18  andmetel  osamakse,  kui  algul  makstaks  ära  avanss 
1500 EURi? 
2.7.21.*  Kui  suur  oleks  ülesande  2.7.19  andmetel  osamakse,  kui  algul  makstaks  ära  avanss 
1200 EURi?  
2.7.22.  Kuldev  liisis  viieks  aastaks  auto,  mille  väärtus  oli  16  500  EURi.  Leping  näeb  ette 
liisinguvõtjale  õiguse  osta  liisingutähtaja  möödumisel  auto  välja,  makstes  ära  auto 
jääkväärtuse, milleks on 20% selle esialgsest maksumusest. Kui suur oli iga kuu alguses 
makstav osamakse, kui nominaalne intressimäär oli 12% igakuise kapitalisatsiooniga? 
2.7.23.  Firma  liisis  neljaks  aastaks  auto,  mille  väärtus  oli  20  000  EURi.  Leping  näeb  ette 
liisinguvõtjale  õiguse  osta  liisingutähtaja  möödumisel  auto  välja,  makstes  ära  auto 
jääkväärtuse, milleks on 23% selle esialgsest maksumusest. Kui suur oli iga kuu alguses 
makstav osamakse, kui nominaalne intressimäär oli 12% igakuise kapitalisatsiooniga? 
2.7.24. Kui suure osamakse peaks ülesande 2.7.23 andmetel firma iga kuu alguses tegema, kui 
ta maksaks alguses avanssi 5000 EURi? 
2.7.25.  Hanno  omab krediitkaarti, mille kasutamise korral ta maksab pangale intressi iga kuu 
lõpus  arvel  olevalt  võla  jäägilt  nominaalse  intressimääraga  18%.  Eelmise  kuu  lõpu 
seisuga  oli  Hanno  pangale  võlgu  350  EURi,  sel  kuul  sooritas  Hanno  krediitkaardiga 
ostusid 85 EURi eest ja maksis pangale tagasi 75 EURi. Määrata 
a) selle kuu intress eelmise kuu võlajäägilt,  
b) võlajääk selle kuu lõpus, 
c) järgmise kuu intress 
2.7.26.  Kuuno  omab krediitkaarti, mille kasutamise korral ta maksab pangale intressi iga kuu 
lõpus  arvel  olevalt  võla  jäägilt  nominaalse  intressimääraga  22%.  Eelmise  kuu  lõpu 
seisuga oli Hanno pangale võlgu 250 EURi, järgneval viiel kuul Kuuno krediitkaardiga 
ühtegi  tehingut  ei  teinud,  kuuendal  kuul  sooritas  Hanno  krediitkaardiga  ostusid  125 
EURi eest ja maksis pangale tagasi 100 EURi. Määrata 
 
108 
a) selle kuu intress eelmise kuu võlajäägilt, 
b) võlajääk selle kuu ning teise, kolmanda, neljanda ja viienda kuu lõpus,  
c) seitsmenda kuu intress. 
2.7.27.  Hülger  soovib  võtta  üheksaks  kuuks  kiirlaenufirmalt  Smslaen  laenu  250  EURi.  Kui 
palju  peab  Hülger  maksma  laenu  kustutamiseks  intressi  ja  kui  suur  on  selle  laenu 
aastane intressimäär (lahendamisel kasutada tabelit 2.7.1)?  
2.7.28.  Leo  soovib  võtta  kuueks  kuuks  kiirlaenufirmalt  Smslaen  laenu  200  EURi.  Kui  palju 
peab  Leo  maksma  laenu  kustutamiseks  intressi  ja  kui  suur  on  selle  laenu  aastane 
intressimäär (lahendamisel kasutada tabelit 2.7.1)?  
2.7.29. Laen 3000 EURi anti üheks aastaks ja üheksaks kuuks. Leida krediidi kulukuse määr, 
kui laen kustutati ühekordse maksega 4000 EURi laenutähtaja lõpus. 
2.7.30.  Laen  1500  EURi  anti  üheks  aastaks  ja  kuueks  kuuks.  Leida  krediidi  kulukuse  määr, 
kui laen kustutati ühekordse maksega 1900 EURi laenutähtaja lõpus. 
2.7.31. Laen 5000 EURi anti kaheks aastaks. Leida krediidi kulukuse määr, kui laen kustutati 
kahe  võrdse  osamaksega  2900  EURi  üks  aasta  pärast  laenu  saamist  ja  laenutähtaja 
lõpus. 
2.7.32.   Hjalmar   võttis  20  aastaks  eluasemelaenu  70  000  EURi  nominaalse  intressimääraga 
6,4% igakuise kapitalisatsiooniga. 
a) leida osamakse suurus, nominaalne kuumaksete kogusumma ja kogu laenu 
      nominaalne intress, 
  b) mitu protsenti suureneks kogu makstud intress, kui Euribor oleks antuga võrreldes 
     
      ühe protsendipunkti võrra suurem? 
2.7.33.  Eduard  võttis  22  aastaks  eluasemelaenu  55  000  EURi  nominaalse  intressimääraga 
5,8% igakuise kapitalisatsiooniga. 
a) Leida igakuise makse suurus, nominaalne kuumaksete kogusumma ja kogu laenu 
      nominaalne intress, 
  b) Mitu protsenti suureneks kogu makstud intress, kui Euribor oleks antuga võrreldes 
     
      0,5 protsendipunkti võrra suurem? 
2.7.34.  Raul  soovib võtta eluasemelaenu 58 000 EURi. Kasutades Swedbanga ja SEB panga 
laenukalkulaatoreid,  
a)  valides tähtajaks 20 aastat ja intressimääraks 4,2% ,leida kuumakse suurus, intressi-  
kulud kokku, tulumaksutagastused kokku,  25-nda ja 50-nda osamakse intressid ja 
nimiväärtuse kustutamiseks minev summa mõlema panga laenukalkulaatorite puhul, 
 
109 
b) teha kindlaks, kui palju (EURides) muutuvad summaarsed intressikulud ja 
summaarsed tulumaksutagastused, kui suurendada intressimäära 0,6%, 1,2%, 1,8% 
võrra, kui palju muutuvad nimetatud kulud protsentuaalselt , 
c) teha kindlaks, kui palju (eurodes, protsentides) muutuvad summaarsed intressikulud 
ja summaarsed tulumaksutagastused, kui vähendada tagasimakse tähtaega, kolme 
aasta, viie aasta võrra, jättes intressimäära 4,2% muutmata? 
Hinnata igal erineval juhul, millise panga tingimused on soodsamad. 
2.7.35.  30-aastane  Raul  soovib  võtta  eluasemelaenu  58 000  EURi.  Kasutades  Swedbanga 
„Lisavõimalustega  kodulaenu  kalkulaatorit“,  teha  20  aastase  tähtaja    ja  4,2% 
intressimäära puhul kindlaks  
a) kas kasulikum on kasutada annuiteeti või võrdsetes põhiosades tagasimakset, 
b) kas 30 aastase naise puhul oleksid tingimused soodsamad või mitte, 
c)  kui  palju  erineksid  summaarsed  intressid  ja  summaarsed  tulumaksutagastused,  kui 
tegemist oleks 40 aastase mehega? 
2.7.36.  Oletame,  et  ülesande  2.7.34  andmetele  lisaks  on  Rauli  viimase  kuue  kuu  keskmine 
netopalk 1200 EURi ning ta omab kaks ülalpeetavat ja ta võtab laenu üksi. Kasutades 
Swedbanga „Maksimaalse laenusumma kalkulaatorit“, määrata maksimaalne võimalik 
laenusumma, mida Raul võib saada, kui   
 
a) tal muid rahalisi kohustusi ei ole, 
 
b) ta peab maksma igakuist autoliisingu makset suuruses 150 EURi. 
2.7.37.  Kalle  soovib  liisida  20 000  EURi  maksva  auto,  tehes  esimese  osamakse,  mis 
moodustab  10%  auto  maksumusest.  Kasutades  Swedbanga  ja  SEB  panga 
„Autoliisingu kalkulaatorit“, teha kindlaks igakuise makse suurus, kui intressimäär on 
6% ja tegemist on  
 
a) jäägita kapitalirendiga, 
 
b) jäägiga kapitalirendiga, kus jääkväärtus  on 30%, 
 
c) järelmaksuga jäägita, 
 
d) järelmaksuga jääkväärtusega 30% auto väärtusest, 
 
e) kasutusrendiga. 
2.7.38.  Ülesande  2.7.37  andmetel  teha  kindlaks,  kui  palju  iga  erinevat  tüüpi  liisingu  korral 
muutub igakuise makse suurus, kui  
   a) esimese osamakse suurust suurendada 5% võrra auto maksumusest, 
   b) auto jääkväärtust vähendada 10%, 
   c) intressimäära suurendada 2% võrra. 
 
110 
Juhtudel  a)  ja  b)  määrata,  kui  palju  iga  erinevat  tüüpi  liisingu  korral  muutusid 
liisinguga seotud nominaalsed kogukulud. 
2.7.39.  Osvald  võttis  õppelaenu  3000  EURi  tagasimaksetähtajaga  10  aastat.  Kasutades 
Swedbanga ja SEB panga „Õppelaenukalkulaatorit“ teha kindlaks kui suur on igakuine 
osamakse  ning  kui  suur  on  summaarne   intressikulu ,  kui  maksepuhkus  on  12  kuud? 
Millise panga pakkumine on soodsam?  
2.7.40. Swedbanga „Õppelaenukalkulaatoriga“ teha kindlaks, kui palju (eurodes, protsentides) 
muutub summaarne intressikulu, kui 
 
a) maksepuhkuse periood on kaheksa kuud, neli kuud, null kuud, 
 
b) tagasimaksetähtaega vähendada ühe aasta, kahe aasta, nelja aasta võrra? 
2.7.41.  Hülger  soovib  osta  250  EURi  maksva  Bly-Ray  mängija,  kuid  vajab  selleks  laenu 
tähtajaga üheksa kuud. Milline järgmistest laenuvõtmise võimalustest on soodsaim?  
a) sms-laen kiirlaenufirmalt Smslaen (kasutada andmeid tabelist 2.7.1), 
b) kasutada krediitkarti, mille puhul tuleb maksta intressi nominaalse intressimääraga 
                22% iga kuu lõpus olevalt võlajäägilt, intress tasutakse peale üheksa kuu 
möödumist, 
c) osta seade järelmaksuga, kusjuures laenu nominaalne intressimäär on 22% igakuise 
       kapitalisatsiooniga? 
2.7.42. Megavald soovib osta 300 EURi maksva külmkapi, kuid vajab selleks laenu tähtajaga 
üks aasta. Milline järgmistest laenuvõtmise võimalustest on soodsaim?  
a) sms-laen kiirlaenufirmalt Smslaen (kasutada andmeid tabelist 2.7.1), 
b) kasutada krediitkarti, mille puhul tuleb maksta intressi nominaalse intressimääraga 
                18% iga kuu lõpus olevalt võlajäägilt, intress tasutakse peale ühe aasta möödumist, 
c) osta külmkapp järelmaksuga, kusjuures laenu nominaalne intressimäär on 18%     
igakuise kapitalisatsiooniga? 
2.7.43. Kui suur on intress, kui hoiate 1500 EURi 
a) harilikul Swedbanga arvelduskontol kahe aasta vältel (ning sellel kontol mingeid     
tehinguid  vaadeldaval perioodil ei tee), 
b) tähtajalisel hoiusel tähtajaga kaks aastat nominaalse intressimääraga 2% igakuise 
kapitalisatsiooniga, kusjuures intress makstakse välja üks kord tähtaja lõpus? 
2.7.44. Kui suur on intress, kui hoiate 3500 EURi  
a) harilikul Swedbanga arvelduskontol kolme aasta vältel (ning sellel kontol mingeid    
muudatusi vaadeldaval perioodil ei toimu), 
 
111 
b) tähtajalisel hoiusel tähtajaga kolm aastat nominaalse intressimääraga 2,6% igakuise 
kapitalisatsiooniga, kusjuures intress makstakse välja üks kord tähtaja lõpus? 
 
 
 
ÜLESANNETE VASTUSED 
 
2.6.1. 
1. 
tulevikuväärtus  10  717,2  EURi,  nüüdisväärtus  6522,82  EURi;  2. 
tulevikuväärtus5325,56  EURi,  nüüdisväärtus  4420,18  EURi;  3.  tulevikuväärtus  6440,04 
EURi,  nüüdisväärtus  2995,36  EURi;    4.  tulevikuväärtus  22119,09  EURi,  nüüdisväärtus 
10466,23  EURi;  5.  tulevikuväärtus  6628,52  EURi,  nüüdisväärtus  3386,30  EURi.  2.6.3. 
Tulevikuväärtus 881 771,28 EURi, nüüdisväärtus 461823,2 EURi. 2.6.5.* a) 24 979,01 EURi, 
b)  9000  EURi,    c)    15  979,01  EURi.  2.6.7.  Korteri  maksumus    38  146,27  EURi,  intressid 
7453,73  EURi.  2.6.9.*  47  704,74  EURi.  2.6.11.*  a)  ligikaudu  4,40%,    b)  ligikaudu  7,74%. 
2.6.13.* 1. tulevikuväärtus 10 843,67 EURi, nüüdisväärtus 6394,42 EURi; 2. tulevikuväärtus 
5310,37 EURi, nüüdisväärtus 4433,77 EURi; 3. tulevikuväärtus 6345,01 EURi, nüüdisväärtus 
3032,63  EURi;  4.  tulevikuväärtus  22215,07  EURi,  nüüdisväärtus  10426,51  EURi;  5. 
tulevikuväärtus 6522,05  EURi, nüüdisväärtus 3435,20 EURi. 2.6.15. 583,93 EURi. 2.6.17.* 
1. 1285 päeva; 2. Ligikaudu 9,1 aastat; 3. Ligikaudu 19,2 aastat;  4. 40 kuud 9 päeva; 5. 22 
aastat  11  kuud  4  päeva;  6.  34  kuud  13  päeva.  2.6.19.**  a)  18  aastat  ja  9  kuud;  intresside 
nominaalväärtus 27 882,4 EURi;  b) 15 aastat ja 5 kuud; intresside nominaalväärtus 22 278,7 
EURi.  B)  variandi  korral  makstakse  intressi  vähem  5603,7  EURi  võrra.  2.6.21.  22  727,27 
EURi.  2.7.1.  a)  578,79  EURi,    b)  9260,64  EURi,  c)  2260,64  EURi.  2.7.3.  5649,57  EURi. 
2.7.5.* intressiks minev summa 111,07 EURi, nimiväärtust kustutav osa 371,60 EURi 2.7.7.* 
1739,85  EURi.  2.7.9.*  1.  a)  3799,46  EURi,    b)  6099,01  EURi,  c)  intress  975,84,64  EURi, 
nimiväärtust  kustutav  osa  2823,62  EURi;  2.  a)  253,93  EURi,    b)  6875,42  EURi,  c)  intress 
103,13 EURi, nimiväärtust kustutav osa 150,80 EURi; 3. a) 870,71 EURi,  b) 18 021 EURi, c) 
intress 540,63 EURi, nimiväärtust kustutav osa 330,08 EURi; 4. a) 1687 EURi,  b) 4195,31 
EURi,  c)  intress  419,53  EURi,  nimiväärtust  kustutav  osa   1267 ,47  EURi.  2.7.11.*  7333,65 
EURi,    b)  88003,8  EURi,  c)  intress  23003,8  EURi,  d)  26004,76  EURi,  e)  intress  2606,32 
EURi,  nimiväärtust  kustutav  osa  4727,33  EURi,  f)  2298,85  EURi.  2.7.13.  poolaasta  makse 
6687,59  EURi.  2.7.15.**  6  aastat  7  kuud  ja  19  päeva,  viimane  osamakse  2445,06  EURi. 
2.7.17.  Põhisumma  tasumiseks  minev  osa  igas  osamakses  20  000  EURi.  2.7.19.*  391,55 
EURi. 2.7.21.* 313,24 EURi. 2.7.23. 447,07 EURi. 2.7.25. a) 5,25 EURi; b) 365,25 EURi; c) 
5,48  EURi.  2.7.27.  218  EURi,    ligikaudu  116,27%.  2.7.29.  ligikaudu  17,87%.  2.7.31. 
 
112 
ligikaudu  10,49%.  2.7.33.  a)    igakuine  makse  369,22  EURi,  nominaalne  kuumaksete 
kogusumma 97 474,08 EURi, nominaalne intress 42 474,08 EURi;  b)  ligikaudu 10%. 2.7.43. 
a) 0 EURi; b) 61,16 EURi. 
 
 
 
 
 
 
 
113