Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra (0)

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused
1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed   tehted  maatriksitega ( liitmine  ja skalaariga 
korrutamine ).  Nullmaatriks .  Transponeeritud  maatriks  
2.  Maatriksite  korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete  tehete  ning korrutamise 
vahel. Ühikmaatriks.
3. Teist ja kolmandat järku determinandid .
4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi 
põhiomadused 
5. Maatriksi elemendi  minor . Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja  veeru  järgi. Determinantide 
teooria põhivalem.
6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise  eeskiri . Pöördmaatriksi 
omadused. 
7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi  kordajad , vabaliikmed,  lahend . Vasturääkiv, 
kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi  maatriks  ja laiendatud maatriks. 
8. Süsteemi lahendamine  Crameri   valemitega .
Maatriksi minor. Maatriksi  astak . Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea 
juhtelement, treppmaatriks.  Treppmaatriksi astak.  Kronecker -Capelli  teoreem
9. Gaussi meetodi sisu.
10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, 
kaaskompleksarv.  Kompleksarvude  liitmise , korrutamise ja  jagamise  valemid. Kompleksarvu  moodul , 
argument ja  trigonomeetriline  kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja 
kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude 
korrutamise, jagamise,  astendamise  ja juurimise valemid. Juurte arv.  
11. Geomeetriline  vektor . Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor . Kolmnurka ja rööpküliku 
reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine).  Lineaarsete 
tehete 8 omadust 
12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted  aritmeetiliste  vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). 
Aritmeetiline ruum. 
13.  Vektorruumi  ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide 
geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja  mittetriviaalne  Vektorite lineaarne kombinatsioon. 
Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad  vektorid . 
14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite 
vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon . Vektori koordinaadid 
15. Skalaarkorrutise definitsioon  vektorruumis . Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. 
Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne 
baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas.  Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi.
16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja 
omadused.
17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja  normaalvektor , normaalvektori 
koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral.  Tasandi 
vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi 
üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti 
kauguse arvutamine  tasandist .  Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud 
sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel.
18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi 
ekstsentrilisus  ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus. Hüperbooli definitsioon ja kanooniline võrrand. 
Hüperbooli fookused, harud, ekstsentrilisus. Hüperbooli kaldasümptoodid ja juhtjooned. Hüperbooli 
alternatiivne  definitsioon.  Parabooli  definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli  fookus , juhtjoon , 
ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. 
Matemaatikutele tulemused tõetustega
1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga.
2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi.
3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem.
4. Crameri valemi  tuletamine
5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine
6. Igal nullist  erineval  kompleksarvul on n erinevat n-juurt.
7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor.
8. Cauchy-Bunjakovski võrratus
9. Kolmnurga võrratus
10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem
11. Punkti kauguse sirgeni leidmise valem
12. Tasandi üldvõrrandi saamine parameetrilistest võrranditest
13. Taandatud võrranditega sirgete vahelise nurga  tangensi  valem
14. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine
15. Hüperbooli kaldasümptootid
16. Parabooli optilise omaduse tõestus
1. Kasutatavad tähistused
  - kuulub; 
 
 – element a kuulub hulka X / a hulgast X
  - sisaldub;
 – hulk A sisaldub hulgas B
  - iga;
          
- iga a hulgast X / iga a korral hulgast X
  - eksisteerib;
- eksisteerib a hulgast X / leidub a hulgast X
n
  summa
x
∑ = x1 + x +
2
+ x
i
n
i=1
2. Maatriksi mõiste. Maatriksite liitmine ja arvuga korrutamine
Definitsioon.  Maatriks on arvude tabel; kui maatriksis   on   rida ja    veergu , siis räägitakse 
)- maatriksist   ja kirjutatakse
kusjuures  arve aij nimetatakse maatriksi  elementideks.
Kui 
 nimetatakse seda n-järku ruutmatriksiks.
Definitsioon.  1) Öeldakse, et  maatriksid  A ja B on võrdsed, kui nende vastavad elemendid on 
võrdsed, s.t.
2) Maatriksite A ja B  summaks  nimetatakse sellist maatriksit C; mille elemendid on võrdsed 
maatriksite A ja Bvastavate elementide  summaga , s.t.
3) Maatriksi A  korrutiseks  arvuga   nimetatakse sellist maatriksit B; mille elemendid on 
maatriksi A elementide   - kordsed , s.t.
Kõikide reaalarvuliste elementidega (
)-maatriksite hulka tähistame 
Muidugi, siia hulka kuulub ka nullmaatriks
Definitsioon. Maatriksi  transponeeritud  maatriksiks  nimetatakse sellist maatriksit 
, mis on 
saadud maatriksist   ridade ja veergude ümbervahetamise teel (maatriksi   esimene rida on 
maatriksi 
 esimeseks veeruks, maatriksi   teine rida on maatriksi 
 teiseks veeruks jne) , s.t.
Näide.       
1 5
T
1 7
A =
→ A =




7 9
5 9
3. Maatriksite korrutamine
Definitsioon.  Maatriksite  A  =   (aij)  
  ja  B  =   (bij)  
  korrutiseks 
nimetatakse 
 -maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru element on võrdne
Seega me korrutame maatriksi A iga liige reas i maatriksi B veeru j vastava elemendiga ja 
liidame tulemused kokku.
                                                     
4. Teist ja kolmandat järku determinandid.
Olgu antud teist järku ruutmaatriks:
 a
a
11
12 
A = 

a
a
21
22 
Definitsioon.   Avaldist   a a −a a  nimetatakse teist järku determinandiks (maatriksi A 
11
22
12
21
determinandiks) ning tähistatakse 
a
a
11
12
det(
A = a
a
21
22
Näide. 
3
5 =3⋅4 −2⋅5 =2.
2
4
Vaatleme  kolmandat järku ruutmaatriksi:
a
a
a
 11
12
13 
A = a
a
a
21
22
23 


a
a
a
31
32
33 
Definitsioon.   Kolmandat järku determinandiks (maatriksi A determinandiks) nimetatakse 
avaldist
a
a
a
11
12
13
det( A) = a
a
a
= a a a +a a a +a a a −
21
22
23
11
22
33
12
23
31
13
21
32
a
a
a
31
32
33
−a a a −a a a −a a a
12
21
33
11
23
32
13
22
Kolmandat järku determinandi arvutamise eeskirja võib esitada kujul:
a
a
a
a
a
a

 11
12
13 
11
12
13 


a
a
a
a
a
a
21
22
23 
 21
22
23 


a
a
a
 


a
a
a
31
32
33 
 31
32
33 
+ märgiga liikmed
 – märgiga liikmed
Tahame üldistada determinandi mõistet  igat  järku ruutmaatriksitele. Selleks toome  esmalt  sisse 
mõningad mõisted.
5. Permutatsioonid. Inversioonid. Kõrgemat järku determinandid.
Definitsioon.   Arvude  ,
1 ,
2  , n  ümberjärjestus, milles iga arv esineb täpselt üks kord, 
nimetatakse permutatsiooniks. 
Antud n korral kõigi permutatsioonide hulka tähistame Pn.
Näide. Kui n=1, siis on võimalik ainult 1=1! premutatsioon: 1
Arvu n=2 korral on 2=2! permutatsiooni: (1,2) ja (2,1)
Arvu n=3 korral on 6=3! permutatsiooni:
(1,2,3);  (2,3,1);  (3,1,2);  (2,1,3);  (3,2,1);  (1,3,2).
Teoreem. Permutastoonide arv n elemendist on Pn=n!
Tõestus. Permutatsiooni esimese elemendi valimiseks on n võimalust. Teise elemendi valikuks 
jääb n –1 võimalust. Seega esimese kahe elemendi valikuks on n(n – 1) võimalust. 
Analoogiliselt jätkates saame, et n elemetide ümberjärjestamiseks n(n – 1)(n –2) … 2 ⋅ 1 = n! 
võimalust.
Definitsioon.   Öeldakse, et permutatsioonis
elemendipaar ( , 
) moodustab inversiooni, kui selles paaris esimene arv   on suurem teisest 
arvust 
 , s.o. 
 
Inversioonide arvu permutatsioonis 
 tähistatakse 
Koostame järgmised tabelid n = 2; 3 korral.
Märk
(i
a a
1,i2)
 (i1,i2)
1i
i
σ ( i i, )
1
2
1 2
(−
2
1
(1,2)
0
a11a22
(2,1)
1
a12a21
Summerides tabeli viimases  veerus  olevad liikmed koos vastavate märkidega, saame 
ehk
Samasugune  tabel n = 3 korral näeb välja selliselt :
Märk
(i
a a a
1,i2,i3)
 (i1,i2,i3)
1 1i 2i
3i
2
3
  i i
i
, )
1 2
3
(− )
1
(1,2,3)
0
a11a22 a33
(2,3,1)
2
a12a23 a31
(3,1,2)
2
a13a21 a32
(2,1,3)
1
a12a21 a33
(1,3,2)
1
a11a23 a32
(3,2,1)
3
a13a22 a31
Summerides tabeli viimases veerus olevad liikmed koos vastavate märkidega, saame 
a a a +a a a +a a a
11
22
33
12
23
31
13
21
32
a
a
a
 
11
12
13
−a a a −a a a −a a a = a
a
a
12
21
33
11
23
32
13
22
31
21
22
23
a
a
a
31
32
33
ehk 
 
Nüüd üldistame tulemused.
Definitsioon.   Maatriksi 
determinandiks (ehk n järku determinandiks) nimetatakse  summat
6. Determinandi põhiomadused.
Olgu antud n× n -maatriks  A .
Omadus 1. Maatriksi transponeerimisel  determinant  ei muutu, s.t. det AT = det A .
See omadus võimaldab sõnastada ja tõestada järgmised omadused ainult ridade jaoks (veergude 
jaoks need teoreemid  kehtivad samuti).
Omadus 2. Determinandi mistahes rea (veeru) elementidest võib ühise teguri tuua tegurina 
determinandi märgi ette.
Tõestus. 
Järeldus. Kui determinandi mingi reas (veerus) on ainult  nullid , siis on determinant null. 
 
Tõestus: võtame omaduses 2   ܿ ൌ 0. 
 
Omadus  3.  Kui  determinandis  kaks  rida  (veergu)  omavahel  ümberpaigutada,  siis 
determinandi märk muutub vastupidiseks. 
 
Näide: 
1 2 3 4
3 4 1 2
ተ2 3 4 1
2 3 4 1
3 4 1 2ተ ൌ െ ተ1 2 3 4ተ 
4 1 2 3
4 1 2 3
 
Omadus  4.    Kui  determinandis  on  kaks  rida  (veergu)  omavahel  võrdsed,  siis  võrdub 
determinant nulliga. 
 
Tõestus.  Oletame,  et  determinandis  read  indeksitega  ݉  ja  ݇  on  võrdsed  ning  võrdugu 
determinant  ܦ  -ga.  Vahetame  antud  deteminandis  read  indeksitega  ݉  ja  ݇  ümber,  siis 
omaduse  3  põhjal  saadud  determinant  võrdub  െܦ  -ga.  Et  aga  read  indeksitega  ݉  ja  ݇  on 
võrdsed, siis nende ridade ümbervahetamisel determinant ei muutu, s.t. 
ܦ ൌ െܦ,     2ܦ ൌ 0,     ܦ ൌ 0. 
 
Järeldus. Kui determinandis kaks rida (veergu) on  proportsionaalsed , siis determinant võrdub 
nulliga. 
 
Tõestus. Kui kaks rida on proportsionaalsed, siis üke neist võrdub teine korda konstant. 
Omaduse 2 kohaselt saame viia seda konstandi determinanti ette. Siis maatriksi read on 
võrdsed, seega omaduse 4 kohaselt determinant võrdub 0. 
 
Omadus 5. Olgu determinandi mingi rea (veeru) element kahe liidetava summa. Siis avaldub 
determinant  kahe  determinandi  summana.  Esimeses  determinandis  on  vaadeldavas  reas 
(veerus)  esimesed  liidetavad  ja  teise  determinandi  vaadeldavas  reas  (veerus)  on  teised 
liidetavad. Ülejäänud read ( veerud ) on  endised . 
 
 
Tõestus.  Determinandi definitsiooni põhjal  
  
Omadus 6. Detrminant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita mistahes arvuga 
korrutatud teine rida ( veerg ). 
 
Tõestus.  Olgu determinant ܦԢ saadud determinandist ܦ tema k-nda rea elementidele arvu c 
kordsete m-nda rea elementide liitmisel. Siis omaduse 5, omaduse 2 ja omaduse 4 kohaselt 
ܽଵଵ
ܽଵ௡
ܽଵଵ ڮ ܽଵ௡
ڮ ڮ ڮ
ተܽ௞ଵ ൅ ܿܽ௠ଵ ڮ ܽ௞௡ ൅ ܿܽ௠௡ተ ተܽ௞ଵ ڮ ܽ௞௡ ተ
ܦᇱ ൌ
ൌ ڮ ڮ ڮ  
ተ
ܽ௠ଵ
ܽ௠௡
ܽ௠ଵ ڮ ܽ௠௡
ተ ተ ڮ ڮ ڮ ተ
ܽ௡ଵ
ܽ௡௡
ܽ௡ଵ ڮ ܽ௡௡
 
ܽଵଵ ڮ ܽଵ௡
ܽଵଵ ڮ ܽଵ௡
ڮ ڮ ڮ
ተܿܽ௠ଵ ڮ ܿܽ௠௡ተ
ተܽ௠ଵ ڮ ܽ௠௡ተ
൅ ڮ
ڮ ൌ ܦ ൅ ܥ ڮ ڮ ڮ ൌ ܦ 
ተ ܽ௠ଵ ڮ ܽ௠௡
ܽ௠ଵ ڮ ܽ௠௡
ڮ ተ
ተ ڮ ڮ ڮ ተ
ܽ௡ଵ ڮ ܽ௡௡
ܽ௡ଵ ڮ ܽ௡௡
 
 
Omadus 7. Kui determinandil on peadiagonaalist allapoole on ainult nullid, siis võrdub 
determinant peadiagonaali elementide korrutisega. 
 
Näide.  
 
 
 
 
 
 
Omadustel 6 ja 7 põhineb  
 
Determinantide leidmise meetod:  
 
1)  Lisades determinandi ridadele (veergudele) mingi rida (veerg) korda sobiv arv 
teisendada determinanti  kujule , kus peadiagonaalist allapoole on ainult nullid. 
2)  Siis determinant võrdub padigonaali elementide korrutisele. 
 
Näide:  
1 4 1 1
1 4 1 1
ተ1 െ1 2 3
0 െ5 1 2
0 0 2 3ተ െሺIሻ ൌ ተ0 0 2 3 ተ ൌ 1 · ሺെ5ሻ · 2 · 0,5 ൌ െ5 
0 0 1 2 െ0,5ሺIIIሻ
0 0 0 0,5
 
Omadus 8. Maatriksite korrutise determinant võrdub maatriksite determinantide korrutisega: 
 
 
 
7.  Determinandi arendamine rea (veeru) järgi. 
 
Vaatleme teise meetodi determinandi arvutamiseks. 
 
Definitsioon. Maatriksi A = (a ) elemendi 
ij
aij miinoriks Mij nimetatakse determinanti, mis 
saadakse maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-nda veeru eemaldamisel. 
 
Näide. Determinandis 
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  
 
on elemendi a21 = 2 miinoriks 
 
 
Definitsioon. Arvu 
 
nimetatakse ka elemendi a  
ij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks. 
 
Lemma  1. Kui determinandi  detA  viimases reas (veerus) kõik elemendid peale a  võrduvad 
nn
nulliga, siis determinant võrdub elemendi ja tema täiendusmiinori korrutisega: detA =a
. 
nnMnn
 
Tõestus. Olgu 
 
Siis determinandi definitsiooni põhjal 
 
Et n on indeksitest ݅ଵ, … , ݅௡ିଵ suurem, siis nende indeksitega ta ei moodusta ühegi 
inversiooni ja võib kirjutada: 
 
ning sellepärast 
 
 
 
Lemma 2. Kui determinandi detA mingis reas (näiteks, i-ndas reas) (veerus) kõik elemendid 
peale ühe (näiteks, a ) võrduvad nulliga, siis determinant võrdub selle elemendi ja tema 
ij
algebralise täiendi korrutisega: detA = a
. 
ijAij
 
Tõestus. Eeeldame, et i-ndas reas kõik elemendid peale ühe a  võrduvad nulliga.
ij
 Esmärgiga 
kasutada eelmise lemma nihutame rida vimasele kohale ja elemendi a kohale ݊ ൈ ݊. 
ij 
Selleks kõigepealt vahetame i-nda ja (i+1) rea elemendid. Determinandi omaduse 3 kohaselt 
on uus determinant võrdne detܣ · ሺെ1ሻ. Nüüd vahetame uue (i+1) ja (i+2) rea ning peame 
determinandi veel (-1)-ga korrutama, ehk uus determinant on nüüd ሺെ1ሻଶ · detܣ. Jätkame 
kuni arv aij on vimases reas. Selleks teeme kokkuvõttes n-i reavahetust, seega uus 
determinant on seotud esialgse determinandiga valemiga ሺെ1ሻ௡ି௜ · detܣ ehk  
ܽଵଵ
ܽଵ௝
ܽଵ௡
ተܽ௜ିଵ,ଵ ڮ ܽ௜ିଵ,௝ ڮ ܽ௜ିଵ,௡ተ
ܽ௜ାଵ,ଵ ڮ ܽ௜ାଵ,௝ ڮ ܽ௜ାଵ,௡ ൌ ሺെ1ሻ௡ି௜ · detܣ. 
ተܽ
ተ
௡ିଵ,ଵ
ڮ ܽ௡ିଵ,௝ ڮ ܽ௡ିଵ,௡
0
ܽ௜௝
0
 
Edasi toimetame arvu a kohale ݊ ൈ ݊
ij 
 . Selleks vahetame kõigepealt j-nda ja (j+1) veeru 
elemendid, siis (j+1) ja uue (j+2) veeru elemendid, jätkame seni, kuni arv a jõuab kohale 
ij 
 
݊ ൈ ݊. Iga veeruvahetusel korrutame determinandi (-1)-ga. Kokkuvõttes peame tegema n-j 
veeruvahetust. Seega uus determinant võrdub 
ሺെ1ሻ௡ି௝ · ሺെ1ሻ௡ି௜ · detܣ ൌ ሺെ1ሻି௜ି௝ · detܣ 
ehk 
ܽଵଵ
ܽଵ,௝ିଵ
ܽଵ,௝ାଵ
ܽଵ௡
ܽଵ௝
ተܽ௜ିଵ,ଵ ڮ ܽ௜ିଵ,௝ିଵ ܽ௜ିଵ,௝ାଵ ڮ ܽ௜ିଵ,௡ ܽ௜ିଵ,௝ተ
ܽ௜ାଵ,ଵ ڮ ܽ௜ାଵ,௝ିଵ ܽ௜ାଵ,௝ାଵ ڮ ܽ௜ାଵ,௡ ܽ௜ାଵ,௝ ൌ ሺെ1ሻି௜ି௝ · detܣ. 
ተܽ
ተ
௡ିଵ,ଵ
ڮ ܽ௡ିଵ,௝ିଵ ܽ௡ିଵ,௝ାଵ ڮ ܽ௡ିଵ,௡ ܽ௡ିଵ,௝
0
0
0
0
ܽ௜௝
Nüüd Lemma 1 kohaselt vasakpool võrdub 
ܽଵଵ
ܽଵ,௝ିଵ
ܽଵ,௝ାଵ
ܽଵ௡
ተܽ
ተ
ܽ
௜ିଵ,ଵ
ڮ ܽ௜ିଵ,௝ିଵ ܽ௜ିଵ,௝ାଵ ڮ ܽ௜ିଵ,௡
௜௝ ·
 
ተܽ௜ାଵ,ଵ ڮ ܽ௜ାଵ,௝ିଵ ܽ௜ାଵ,௝ାଵ ڮ ܽ௜ାଵ,௡
ڮ ተ
ܽ௡ିଵ,ଵ ڮ ܽ௡ିଵ,௝ିଵ ܽ௡ିଵ,௝ାଵ ڮ ܽ௡ିଵ,௡
Determinant, mis esineb avaldises on maatriksi A determinant, kus on eemadlatud i-ndas 
rida ja j-ndas veerg. Seega ta võrdub  miinori  definitsiooni kohaselt ܯ௜௝. Kokkuvõttes saame 
võrduse  
ܽ௜௝ · ܯ௜௝ ൌ ሺെ1ሻି௜ି௝ · detܣ, 
kust  
detܣ ൌ ܽ௜௝ · ܯ௜௝ · ሺെ1ሻ௜ା௝ ൌ ܽ௜௝ · ܣ௜௝ 
 
Teoreem. Determinant detA võrdub mingi rea (veeru) elementide ja nende algebraliste 
täiendite korrutiste summaga: 
 
 
 
(1) 
 
ning 
 
 
(2) 
 
 
Märkus. Avaldist (1) nimetatakse determinandi detA arendiseks i-nda rea järgi, avaldist (2) – 
determinandi detA arendiseks j-nda veeru järgi.  
 
Tõestus. Tõestame valemi (2). 
 
 
 
 
8.  Determinantide teooria põhivalemid 
 
Olgu A ruutmaatriks, mille järk on n. 
Eelmise paragrahvi teoreemi põhjal arendades determinandi i-nda rea järgi, saame: 
 
(1) 
 
Siin rea i elemeid korrutatakse sama rea elementide alamdeterminantidega. Vaatleme, mis 
aga juhtub, kui korrutame mingi teise rea alamdeterminantidega.  
 
Lause.  Determinandi mingi rea (veeru) elementide korrutiste summa mingi teise rea 
(veeru) elementide alamdeterminantidega on võrdne nulliga e.  
 
a A + a
A
a
A
 kui  k ≠ i  
(2) 
k
i
k
i
... +
kn
in
0
1
1
2
2
 
Tõestus. Eeldame, et  k ≠ i . Vaatleme maatriksi B,  kus reas i paiknevad elemendid 
a ,K, a
k1
kn ning ülejäänud ridades maatriksi A elemendid.   Rakendame  eelmise paragrahvi 
teoreemi põhjal ja arendame maatriksi B determinandi rea i järgi: 
 
a
a
...
a
... a
11
12
1k
1n
...
...
...
...
...
...
i a
a
... a
.. ... a
k1
k 2
kk
kn
det B =
...
...
...
...
...
... = a A + a A + ... + a A
k1
i1
k 2
i 2
kn
in . 
a
a
...
a
... a
k1
k 2
kk
kn
k
...
...
...
...
...
...
a
a
...
a
... a
n1
n 2
nk
nn
Kuna maatriksis B kaks rida oma omavahel võrdsed, siis selle determinant võrdub 0: 
det B = .
0 Seega 
a
A + a
A
a
A
k
i
k
i
... +
kn
in
0.
1
1
2
2
 
 
 
Selleks, et ühendada valemid (1) ja (2) üheks  valemiks  toome sisse definitsiooni: 
 
Definitsioon. Kroneckeri sümboliks nimetatakse suurust 
 
 
Nüüd Kroneckeri sümboli δik  abil on võimalik ühendada valemid (1) ja (2): 
 
a
A + a
A
= δ
⋅
k
i
k
i
... a A
kn
in
ik
det .
A
1
1
2
2
 
(3) 
 
Tõepoolest, kui i = k, siis δ = 1 ning saame valemi (1), vastasel juhul δ  = 0 ning saame 
ik
ik
valemi (2). 
Et determinandi võib arendada ka veeru järgi, siis analoogilise aruteluga saame: 
 
(4) 
 
 
Valemeid (3) ja (4) nimetatakse determinantide teooria põhivalemiteks. 
 
9.  Maatriksi pöördmaatriks 
 
Olgu  
 
ning  
 
n-ndat järku ühikmaatriks. Determinantide omaduse 7 kohaselt 
det E = 1⋅1⋅K⋅1 = 1.  
 
Definitsioon 1. Maatriksit A nimetatakse regulaarseks, kui  detA ≠ 0. 
 
Definitsioon 2. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit 
1
−
A
, mille korral 
−1
−1
A
A = AA
= E.  
 
Teoreem. Kui maatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. 
 
Tõestus. Olgu B ja C mõlemad maatriksi A pöördmaatriksid, st 
AB = E = BA 
ja  
AC = E= CA. 
Siis maatrikskorrutise assotsiatiivsuse tõttu 
B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 
 
Lause. Kui maatriksil A on pöördmaatriks 
1
−
A
 olemas, siis maatriks A on  regulaarne . 
 
Tõestus. Eelduse kohaselt 
1
−
∃A
 nii et  AA−1 = E . Kuna maatriksite korrutise determinant 
võrdub maatriksite determinantide korrutisega (omadus 8), siis 
det E = det(
1
−
AA ) = det A ⋅ det
1
−
A
= .
1  
Siit järeldub, et  det −1
A
= 1/ det A = (det
)−1
A
≠ 0. 
 
Muuhulgas   saime  lause tõestamisel järgmise omaduse:  
 
Omadus 1. Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud e.  
det −1
A
= (det A)−1.  
 
Vaatleme ka teised pöördmaatriksi omadused. 
 
Omadus 2. Maatriksi A pöördmaatriksi pöördmaatriks 
1
1 −
−
A )  langeb kokku maatriksiga A: 
 
−
−
1
Tõestus. Selleks, et kehtiks  (A 1) = A, peab kehtima 
−1
−1
AA
= A
A = E.  See võrdus on aga 
rahuldatud, kuna 
1
−
A
on A pöördmaatriks. 
 
Omadus 3. Ühikmaatriks on iseenda pöördmaatriksiks: 
−1
E
= E.  
 
Tõestus. Kehtib, kuna  EE = E.  
 
Omadus 4. Kui A ja B on sama järku regulaarsed ruutmaatriksid, siis on regulaarne ka AB, 
kusjuures  
(AB) 1
−
1
−
1
−
= B
A . 
Tõestus. Selleks tuleb näidata, et 
(AB)(
1
−
1
B
A− ) = (
1
−
1
B
A− )(AB) = E.  
Tõepoolest 
(AB)(
1
−
1
B
A− ) =
1
A BB− )
1
−
1
−
1
A
= AEA
= AA− = E.  
Analoogiliselt kehtib ka teine võrdus. 
 
Omadus 5. Kui maatriks A on regulaarne ja  c ≠ 0 , siis on regulaarne ka cA, kusjuures  
(c ) 1
−
1
−
1
−
A
= c
A .  
 
T
Omadus 6. Kui A on regulaarne, siis on regulaarne ka  A ,  kusjuures 
 
T
1
−
T
1
−
T
T
Tõestus. Näitame, et  A ( A ) = ( A ) A = E. Maatriksite korrutamise omaduse tõttu 
AT (
1
A− )T = (
1
A−
A T = ET = E,  
sest  ET = E . Analoogiliselt tõestatakse teine võrdus. 
 
Teoreem. Kui maatriks A on regulaarne, siis maatriksil A on olemas pöördmaatriks 
1
−
A
 ning 
 
Tõestus. Teoreemi eelduse põhjal maatriks A on regulaarne, s.t. detA ≠ 0 definitsiooni põhjal, 
järelikult, leidub arvu detA pöördarv  (det ) 1−
A
.  Kontrollime tingimuste  A 1
− A  = E ja 
1
−
AA
 = E 
kehtivust: 
 
 
 
Analoogiliselt võib näidata, et kehtib ka võrdus  A 1−A  = E. 
 
Järgmine järeldus annab  mugava  valemi 2 ൈ 2 maatriksi pöördmaatriksi leidmiseks. 
 
Näide: Leida 
 
2 െ1 0 ିଵ
൭1 3 െ1൱  
2 1
1
Lahendus. Leiame kõigepealt 
ܣଵଵ ൌ ሺെ1ሻଵାଵ ቚ3 െ1
1 1 ቚ ൌ 4,  ܣଵଶ ൌ ሺെ1ሻଵାଶ ቚ1 െ1
2 1 ቚ ൌ െ3,  ܣଵଷ ൌ ሺെ1ሻଵାଷ ቚ1 3
2 1ቚ ൌ െ5, 
ܣଶଵ ൌ ሺെ1ሻଶାଵ ቚെ1 0
1 1ቚ ൌ 1,  ܣଶଶ ൌ ሺെ1ሻଶାଶ ቚ2 0
2 1ቚ ൌ 2,  ܣଶଷ ൌ ሺെ1ሻଶାଷ ቚ2 െ1
2 1 ቚ ൌ െ4, 
ܣଷଵ ൌ ሺെ1ሻଷାଵ ቚെ1 0
3 െ1ቚ ൌ 1,  ܣଷଶ ൌ ሺെ1ሻଷାଶ ቚ2 0
1 െ1ቚ ൌ 2,  ܣଷଷ ൌ ሺെ1ሻଷାଷ ቚ2 െ1
1 3 ቚ ൌ 7. 
 
Arendame determinanti 1. rea järgi: 
det ܣ ൌ  ܽଵଵ ܣଵଵ ൅  ܽଵଶ ܣଵଶ  ൅  ܽଵଷ ܣଵଷ  ൌ 2 · 4 ൅ ሺെ1ሻ · ሺെ3ሻ ൅ 0 · ሺെ5ሻ ൌ 11. 
Seega 
    ்
1 4 െ3 െ5
1 4
1 1
ܣିଵ ൌ 11൭1 2 െ4൱ ൌ
െ3 2 2൱ 
1 2
7
11 ൭െ5 െ4 7
  
 
 
Järeldus. Kui 2 ൈ 2-maatriks ܣ on kujul  
ܣ ൌ ቀܽ ܾ
ܿ ݀ቁ, 
Siis tema pöördmaatriks on leitav valemiga 
ܣିଵ ൌ ଵ ቀ ݀ െܾ
௔ௗି௕௖ െܿ
ܽ ቁ. 
 
Tõestus. 2 ൈ 2-maatriksi ܣ determinant võrdub 
det ܣ ൌ ܽ݀ െ ܾܿ. 
Leiame elementide algebralised täiendid: 
ܣଵଵ ൌ ሺെ1ሻଵାଵ݀ ൌ ݀,          ܣଵଶ ൌ ሺെ1ሻଵାଶܿ ൌ െܿ, 
ܣଶଵ ൌ ሺെ1ሻଶାଵܾ ൌ െܾ,       ܣଵଶ ൌ ሺെ1ሻଶାଶܽ ൌ ܽ. 
Seega Teoreemi kohaselt 
1
்
1
ܣିଵ ൌ ܽ݀ െ ܾܿቀ ݀ െܿ
െܾ ܽ ቁ ൌ ܽ݀ െ ܾܿ ቀ ݀ െܾ
െܿ ܽ ቁ. 
 
 
Näide: Leida 
 
ିଵ
ቀ 2 5
െ2 3ቁ  
Lahendus. 
ିଵ
1
1
ቀ 2 5
െ2 3ቁ ൌ 2 · 3 െ 5 · ሺെ2ሻ ቀ3 െ5
2 2 ቁ ൌ 16 ቀ3 െ5
2 2 ቁ. 
 
 
10. 
Lihtsamad maatriksvõrrandid 
 
Pöördmaatriksi mõiste abil saab lahendada maatriksvõrrandid. Edasi näeme, et  linear -
võrrandite süsteem taandub maatriksvõrrandiks, seega pöördmaatriks on  rakendatav  linear-
võrrandite süsteemi lahendamiseks 
 
Me vaatleme kolm tüüpi maatriksvõrrandeid 
ܣܺ ൌ ܤ,       ܺܣ ൌ ܤ,       ܣܺܤ ൌ ܥ. 
 
Lause 1. Regulaarse A korral on võrrandi  AX = B  ainus lahend  X = A−1B . 
Tõestus: Kuna maatriks A on regulaarne, siis leidub pöördmaatriks ܣିଵ. Korrutame võrrandi 
ܣܺ ൌ ܤ mõlemad pooled vasakult maatriksiga ܣିଵ: 
ܣିଵܣܺ ൌ ܣିଵܤ 
ܧܺ ൌ ܣିଵܤ 
ܺ ൌ ܣିଵܤ 
 
1
−
Lause 2. Regulaarse A korral on võrrandi  XA = B  ainus lahend 
X
BA  
 
Tõestus: Kuna maatriks A on regulaarne, siis leidub pöördmaatriks ܣିଵ. Korrutame võrrandi 
ܺܣ ൌ ܤ mõlemad pooled paremalt maatriksiga ܣିଵ: 
ܺܣܣିଵ ൌ ܤܣିଵ 
ܺܧ ൌ ܤܣିଵ 
ܺ ൌ ܤܣିଵ 
 
−1
−1
Lause 3: Regulaarsete A ja B korral on võrrandi  AXB = C  ainus lahend 
X
A CB  
Tõestus: Kuna  maatriksid  A  ja  B on  regulaarsed,  siis  leiduvad  pöördmaatriksid  ܣିଵ ja ܤିଵ. 
Korrutame võrrandi ܣܺܤ ൌ ܥ mõlemad pooled vasakult maatriksiga ܣିଵ: 
ܣିଵܣܺܤ ൌ ܣିଵܥ 
ܧܺܤ ൌ ܣିଵܥ 
ܺܤ ൌ ܣିଵܥ 
Nüüd kasutades Lause 2 saame võrrandi  lahendiks  
ܺ ൌ ܣିଵܥܤିଵ. 
 
11. 
Lineaarvõrrandite süsteemi mõiste. 
 
Olgu antud võrrandisüsteem  
 
(1) 
, 
 
kus  ݔଵ, ݔଶ, … , ݔ௡  on  tundmatud;  ܾଵ, ܾଶ, … , ܾ௠  on  vabaliikmed  ning  ܽଵଵ, ܽଵଶ, … , ܽ௠௡on 
süsteemi (1) kordajad. 
 
Definistioon  1.  Süsteemi  (1)  nimetatakse  lineaarvõrrandite  süsteemiks  (lühidalt  LVSiks). 
Arve  ܿଵ, ܿଶ, … , ܿ௡  nimetatakse  süsteemi  (1)  lahendiks,  kui  süsteemi  (1)  tundmatute 
asendamisel nende  arvudega  saame m samasust.  
 
Definistioon 2. LVSi nimetatakse 
1) vasturääkivaks, kui tal ei ole ühtegi lahendit, 
2) kooskõlaliseks, kui tal on vähemalt üks lahend, 
3) määratuks, kui tal on täpselt üks lahend. 
 
Näide 1.  Võrrandisüsteem  
ቄ2ݔ ൌ 2
2ݔ ൌ 3 
on vasturääkiv (lahend puudub). Siin m=2, n=1. 
 
Näide 2.  Vaatleme võrrandisüsteemi 
 
Selle võrrandisüsteemi üheks lahendiks on x = 3; y = 2; z = 1. Kuid lahendiks on ka x = 2; y 
= 1; z = 3. Seega see võrrandisüsteem on kooskõlaline, kuid pole määratu. Siin m=2, n=3. 
 
 
Toome sisse järgmisi tähistusi: 
- süsteemi (1) maatriks, 
 
 
- süsteemi (1) 
laiendatud maatriks; 
 
 
- tundmatute veerg ehk 
tundmatute maatriks; 
 
 
- vabaliikmete veerg 
ehk vabaliikmete 
maatriks. 
 
 
 
Tähistades sümboliga Aj maatriksi A j-ndat veergu, s.t 
 
saab LVSi (1) esitada järgmisel kujul: 
 
 
12. 
Crameri valemid. 
 
Vaatleme LVSi, kus 
1)  võrrandite arv = tundmatute arvuga ning 
2)  süsteemi maatriks on regulaarne e. det ܣ   ് 0. 
 
LVS on siis kujul 
(1) 
 
 
 
Kirjutame LVSi (1) maatrikskujul:  ܣܺ ൌ ܤ 
(2) 
 
 
Olgu ܦ௞ sellise maatriksi determinant, mis on saadud maatriksist A k-nda veeru asendamisel 
vabaliikmete veeruga: 
 
 
Leiame selle maatriksi determinandi. Kui determinandis det ܣ k-nda veeru elementide 
algebralised täiendid on ܣଵ௞, ܣଶ௞, … , ܣ௡௞ siis arendades determinandi ܦ௞ k-nda veeru 
elementide järgi saame: 
 
Eelduse põhjal maatriks A on regulaarne, järelikult det ܣ   ് 0, seega maatriksil A leidub 
pöördmaatriks 
 
Nüüd Lause 1 paragrahvist 10 kohaselt maatriksvõrrandli (2) ܣܺ ൌ ܤ on olemas ainus 
lahend: 
ܺ ൌ ܤܣିଵ. 
Tähistame det ܣ ൌ ܦ, siis 
 
 
Teoreem. Kui süsteemi (1) korral on võrrandite arv = tundmatute arvuga ning süsteemi 
maatriks on regulaarne, siis süsteemil on täpselt üks lahend 
 
 
Definitsioon. Valemeid  
 
nimetatakse Crameri valemiteks. 
 
Näide.  Lahendame  süsteemi 
൜ ݔଵ ൅ 3ݔଶ ൌ 0
2ݔଵ ൅ 4ݔଶ ൌ 6 
Siin  
ܦ ൌ ቚ1 3
2 4ቚ ൌ െ2,      ܦଵ ൌ ቚ0 3
6 4ቚ ൌ െ18,      ܦଶ ൌ ቚ1 0
2 6ቚ ൌ 6. 
Seega 
ݔଵ ൌ ஽భ=ିଵ଼ ൌ 9,       ݔ
= ଺ ൌ െ3. 
஽ ିଶ
ଶ ൌ ஽మ
஽ ିଶ
 
13. Maatriksi astak.  
 
Definitsioon.  Maatriksi   miinorid   on  selle  maatriksi  ridade  ja  veergude 
eemaldamise teel saadud determinandid. r-t järku minor on r-t järku determinant. 
 
Seega 
-maatriksi   mingi elemendi  miinor  on maatriksi 
-t järku 
miinor. 
 
Näide. Maatriksi 
 
esimest järku miinorid on selle maatriksi elemendid: 1,2, 3 jne. Teist järku 
miinorid on näiteks 
 
Kolmandat järku miinorid on 
 
Kõrgemat järku miinorid antud maatriksil puuduvad. 
 
Definitsioon. Maatriksi astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim 
järk. 
Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 
1)  leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, 
2)  puuduvad nullist erinevad r-ist kõrgemat järku miinorid. 
Maatriksi A astakut tähistatakse  rank (A) või r(A). 
 
Näide. Vaatleme maatriksi 
 
Sellest  on  võimalik  koostada  kuni  4-t  järku  miinorid.  Meid  huvatavad  aga 
nullist erinevad miinorid. Saame maatriksist koostada nullist erineva nt. sellise 
3-t järku miinori 
 
Teiselpoolt puuduvad maatriskil nullist erinevad 4-t järku miinorid,  kunas  igas 4-t 
järku miinoris peab  sisalduma  nullide rida, mis annab miinori väärtuseks 0. Seega 
maatriksi astak on 3 e.  
 
 
Lause 1. Kui maatriksi A astak on r,  
 
1)  siis  leidub  maatriksil  A  r  veergu  millede  lineaarse  kombinatsioonina 
avalduvad  kõik  maatriksi  veerud  e.  leduvad  veerud
k
k
k
1
2
r
  A
, A ,..., A  
sellised et iga veeru  k
A  jaoks leiduvad arvud  λ , λ ,..., λ et kehtiks 
k
k
k
1
2
r
k
k
k
k
1
2
r
A = λ A + λ A + ... + λ A
k
k
k
 
1
2
r
 
2)  siis leidub maatriksil A r rida millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad 
kõik  maatriksi  read  e.  leduvad  read    sellised  A , A ,..., A et  iga  rea  A  
k
k
k
1
2
r
k
jaoks leiduvad arvud  λ , λ ,..., λ et kehtiks 
k
k
k
1
2
r
A = λ A + λ A + ... + λ A
k
k
k
k
k
k
 
1
1
2
2
r
kr
 
 
Tuleb välja, et maatriksi nn. elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. 
 
Definitsioon.  Maatriksi 
ridade  (veerude)  elementaarteisendusteks   nimetakse   
üleminekut maatriksilt A maatriksile B järgmise kahe võimaliku reegli abil:  
1.  maatriksi mistahes rea (veeru) korrutamine 
 arvuga. 
2.  mistahes reale (veerule) arvkordse teise rea (veeru) liitmine (lahutamine). 
Lause 2. Kui maatriks B saadakse maatriksist A elemntaarteisenduste abil, siis 
nende astakud on võrdsed e.   
 
 
Maatriksi  astaku  leidmiseks  tuleb  maatriks  elementaarteisenduste  abil 
teisendada nn. treppmaatriksiks. 
 
Definitsioon.  Maatriksi  rea  juhtelemendiks  nimetatakse  selle  rea  (vasakult) 
esimest nullist erinevat elementi. 
 
Definitsioon. Öeldakse, et maatriks on trepikujuline ehk treppmaatriks, kui 
1) read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all); 
2) mistahes  rea  juhtelement  (kui  leidub)  asetseb   rangelt   paremal  temale 
eelneva rea juhtelemendist. 
 
Näide. Maatriksitest 
 
esimene on trepikujuline, kuid teine ei ole. 
 
Teoreem. Treppmaatriksi astak võrdub selle maatriksi juhtelementide arvuga. 
 
Tõestus.  Eemaldame  need  read  ja  veerud,  mis  ei  sisalda  juhtelemente.  Saame 
determinandi,  kus  peadiagonaalist  allapoole  asuvad  nullid  je  peadiogonaalil 
kõik  mittenullised  elemendid  See  on  nullist  erinev  ja  tema  järk  võrdub 
juhtelementide  arvuga.  Suurema  järguga  miinorid  on  kõik  nullid  (kui 
eksisteerivad), sest sisaldavad ainult nullidest  koosnevat  rida. 
 
Teisisõnu teoreem ütleb, et treppmaatriksi astak võrdub mittenull ridade arvule. 
 
Maatriksi astaku leidmiseks tuleb maatriks elementaarteisenduste abil 
teisendada treppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. 
 
Näide. Leiame maatriksi 
 
astaku. 
Teisendame maatriksi treppkujule 
 
Mittenullridade arv on 2, seega esiaglse maatriksi astak on 2. 
 
14. Kronecker-Capelli teoreem 
Selles  paragrahvis  me tuletame LVSi kooskõlalisuse tunnuse. 
 
Olgu antud LVS 
 
Olgu  
 
 
LVSi maatriks, 
 
 
laiendatud maatriks ning 
 
vabaliikmete veerg. 
 
 
Teoreem  (Kronecker-Capelli  teoreem).  LVS  on  lahenduv   parajasti   siis,  kui 
süsteemi laiendatud maatriksi astak  on sama kui süsteemi maatriksi astak  .  
 
Tõestus. „Tavilikkus“e. „ “ Eeldame, et süsteemil leidub lahend 
 
ning näitame, et  
 
Kuna 
 
on süsteemi lahend, siis 
 
Nüüd  lahutame  maatriksi 
  viimasest  veerust  1.  veergu  korrutatud 
,  2. 
Veergu korrutatud   jne kuni vimase veergu korda  , saame maatriksi  
 
 
 
 
See  maatriks  on  saadud  maatriksist 
  veerude  lementaartesendustega,  seega 
tema  astak  ona  sama,  mis    astak.  Teiseltpoolt,  kuna  see  maatriks  on  saadud 
maatriksist A 0 veeru lisamisel, siis me  same  sellest koostada nullist erineva r-t 
järku miinorit (sama,  mis  maatriks A jaoks), samuti me ei saa sellest koostada 
r+1-t  järku  nullist  erineva  miinori,  kuna  0  veergu  lisamisel  determinant  saab 
nulliks. Järelikult maatriksi C astak sama nagu maatriksi A astak. Seega 
. 
 
„Piisavus“e. „ ⇐ “ Eeldame, et 
 
Näitame, et süsteemil leidub lahend. 
Lause  1  kohaselt  süsteemi  maatriksil  A  r  veergu  millede  lineaarse 
kombinatsioonina  avalduvad  kõik  maatriksi  veerud.  Lihtsuse  mõtte  eeldame,  et 
need  on  veerud 
.  Kuna  süsteemi  maatriksi    astak  on  samuti  r,  siis 
tema  kõik  veerg,   muuhulgas   ka  vabaliikmete  veerg  B  avaldub  nende  veerude 
lineaarse kombinatsioonina. Seega leiduvad arvud 
 et 
 
ehk kehtib 
 
(1) 
 
 
Võtame 
 
 
(2) 
Siis valemi (1) kohaselt kehtib 
 
Seega arvud 
  on LVS lahend. 
Näide. Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi 
 
Selle võrrandisüsteemi maatriks ja laiendatud maatriks on   
 
       
              
Leiame nende astakud elementaarteisenduste abil (Lause 2 kohaselt ei muuda 
nad maatriksi astakut). Rakendame  elementaartesiendusi laiendatud maatriksile, 
kunas ta sisaldab süsteemi maatriksi, siis samal ajal rakenduvad nad süsteemi 
maatriksile. 
 
 
Süsteemi maatriksist A saadud maatriksi astak on 2, kuna üks tema nullist erinev 
2-järku minor on  
 
ning kõik tema 3-t järku miinorid on 0-d. Laiendatud maatriksist teisendatud 
maatriksist on aga võimalik valmistada 3-t järku nullist erineva miinori, nt.  
 
Seega  laiendatud  maatriksi  astak  on  3.  Kronecker-Capelli  teoreemi  kohaselt 
LVS-l puuduvad  lahendid . 
 
15. Gaussi meetod 
Definitsioon.  Kahte  n  tundmatuga  lineaarvõrrandite  süsteemi  nimetatakse 
ekvivalentseteks, kui nendel on ühed ja samad lahendid. 
 
Definitsioon.   Lineaarvõrrandite süsteemi teisendust, mis seisneb kas 
(1) süsteemi kahe erineva võrrandi ümbervahetamises; 
(2) süsteemi teatud võrrandi korrutamises nullist erineva arvuga; 
(3) süsteemi  teatud võrrandile  mingi  arvuga korrutatud  mistahes  teise  võrrandi 
liitmises. 
nimetatakse vastavalt esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. 
 
Teoreem.  Kaks  LVSi  on  ekvivalentsed siis  ja  ainult siis,  kui üks neist  on  saadav 
teisest teatava arvu elementaarteisenduste teel. 
 
Gaussi meetodi sisu: 
 
Olgu meil tarvis lahendada süsteemi 
 
Selle süsteemi laiendatud maatriks on 
 
1)  Viime LVSi laiendatud maatriks ekvivalentsele treppkujule. 
2)  Kontrollime astakutingimust (et laiendatud maatriksi astak sama, mis on 
maatriksi astak). Kui see pole täidetud, siis süsteem pole lahenduv.  
 
Edasi teeme ainult kooskõlalise süsteemi korral 
3)  Kui LVSi astak on väiksem tundmatute arvust, siis valime juhttundmatud 
(vastavad treppmaatriksi juhtelementidele). Ülejäänud on vabad tundmatud, 
anname neile väärtusteks konstandid C
,… 
1, C2
4)  Avaldame juhttundmatud vabaliikmete ja vabade tundmatute kaudu.  
5)  Kirjutame välja lahend. 
 
Näide. Lahendada võrrandisüsteem 
 
Selle LVSi laiendatud maatriksiks on 
 
Teisendame selle treppkujule 
 
 
Teisendame treppmaatriksi juhtelementidele vastavates veergudes ülejäänud 
elemendid nullideks. 
 
Vastav võrrandisüsteem on 
 
Avaldame juhttundmatud 
 
Valime vabade tundmatute x2, x4 ja x5 väärtuseks konstandid C1, C2 ja C3 ning 
kirjutame välja üldlahendi: 
 
16. Kompeksarvud 
 
Vajadus  arvuvalla  laiendamiseks   reaalarvude    vallast   üldisemasse  arvude  hulka 
tekkis juba selliste  lihtsate  võrrandite lahendamisel, nagu ݔଶ ൅ 1 ൌ 0 ja ݔଶ ൅ ݔ ൅
2 ൌ 0.  
On  teada,  et  kompleksarvudest  kõneldi  juba  16.  sajandil  (G.  Cardano).  Siiski 
esinesid  nad  kuni  18.  sajandi  keskpaigani  vaid  episoodiliselt  üksikute 
matemaatikute  töödes.  Süstemaatiline  kompleksarvude  käsitlemine  algas  seoses 
geniaalse Peterburi akadeemiku L.  Euleri  (1707 – 1783) töödega. 
 
Definitsioon. Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus 
a ja b on  reaalarvud  ja i on imaginaarühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, 
defineeritakse  võrdusega ݅ଶ ൌ െ1. 
 
Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse ԧ. 
 
Definitsioon. Kompleksarvu z = a + ib א ԧ korral nimetatakse arvu a א Թ selle 
kompleksarvu reaalosaks ja arvu b א Թ nimetatakse selle kompleksarvu 
imaginaarosaks. 
  
Definitsioon. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 
1)  on  võrdsed nende reaalosad, 
2)  on võrdsed nende imaginaarosad. 
a + ibൌ ܿ ൅ ݅݀  ฻   ܽ ൌ ܿ  ja  b=d 
Defineerime tehted arvudega  a + ib ja ܿ ൅ ݅݀: 
 
Definitsioon. Kompleksarvude z1 = a1 + ib1 ja z2 = a2 + ib2 summaks on 
kompleksarv  
z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2). 
 
Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse  reaal - ja imaginaarosad eraldi. 
 
Näide. 
(2 + 5i) + (3 - 3i) = (2 + 3) + (5 - 3)i = 5 + 2i: 
 
Leiame kahe kompleksarvu korrutise. Selleks korrutame liikmeti läbi ja arvestame 
võrdust ݅ଶ ൌ െ1: 
 
 
Enne kompleksarvude  jagatise  defineerimist defineerime kaaskompleksarvu 
mõiste. 
 
Definitsioon. Kompleksarvu z = a+ib kaaskompleksarvuks nimetatakse arvu 
ݖҧ ൌ ܽ െ ܾ݅. 
 
Kaaskompleksarvude omadused: 
 
 
 
Kompleksarvude jagatise leidmisel korrutakse ja jagatakse  nimetaja  
kaaskompleksarvuga: 
 
 
 
Kompleksarve saab kujutada geomeetriliselt komplekstasandil, seejuures x- telg  on 
reaaltelg, y-telg on imaginaartelg. 
 
Kompleksarvule z = a + bi seame vastavusse (฽) punkti A(a, b) ning kohavektori 
ܱሬሬܣ
ሬԦ= (a, b) ; s.t. 
z = a + bi ฽ ܣሺܽ, ܾሻ ฽   ܱ
ሬሬܣሬԦ= (a, b). 
Niisiis  geomeetriliselt kompleksarv z = a + bi näeb välja selliselt:  
 
 
Sellist 
tasandit , 
millel 
on 
kujutatud 
kompleksarvud , 
nimetatakse 
komplekstasandiks.  
 
Vaatleme,  kuidas  saab  geomeetirliselt  tõlgendada  kaaskompleksarvu  mõiste  ning 
algebralised tehed kompleksarvudega. 
 
Kui z = a + ib, siis ݖҧ ൌ ܽ െ ܾ݅ ehk y- koordinaat  on –b ja x-koordinaat on sama 
 
 
Seega geomeetriliselt kujutuvad kompleksarvud z ja ݖҧ sümmeetriliselt x –telje 
suhtes.  
 
Vaatleme  nüüd  liitmise  geomeetrilise  tõlgenduse.  Olgu  ݖଵ ൌ ܽ ൅ ܾ݅, ݖଶ ൌ ܿ ൅ ݀݅, 
siis ݖ ؔ ݖଵ ൅ ݖଶ ൌ ሺܽ ൅ ܿሻ ൅ ሺܾ ൅ ݀ሻ݅. Arvudele ݖଵ, ݖଶ ja ݖ vastavad kohavektorid 
on  O
ሬ A
ሬሬԦ ൌ ሺa,bሻ, OሬሬBሬԦ ൌ ሺc,dሻ ja OሬሬCሬԦ ൌ ሺa ൅ c,b ൅ dሻ.  Teiselt  poolt  
OሬA
ሬሬԦ ൅ OሬሬBሬԦ ൌ ሺa,bሻ ൅ ሺc,dሻ ൌ ሺa ൅ c,b ൅ dሻ ൌ OሬሬCሬԦ. 
Seega  geomeetriliselt  tähendab  kompleksarvude  liitmine  vastavate  kohavekotrite 
liitmist. 
 
 
 
Analoogiliselt saab näidata, et kompleksarvude lahutamine kujutub geomeetriliselt  
kohavektorite lahutamist. 
 
 
17. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. 
 
Vaatleme  komplekstasandil  nullist  erinevat  kompleksarvu  z  =  a  +  ib   vektorina . 
Selle  vektori  pikkust  tähistatakse  r  =|z|  ja  nimetatakse  kompleksarvu  mooduliks. 
Nurka kompleksarvu tähistava vektori ja reaaltelje positiivse suuna vahel tähistame 
φ= arg z ja  nimetame  kompleksarvu argumendiks. 
 
 
 
Siis a = r cos φ; b = r sin φ: Saame kompleksarvule z= a + bi kuju 
 
 
(1) 
 
 
kus r =|z| ja tan ߮ ൌ ௕ , ߮ ൌ  arctan  ቀ௕ቁ ൅ ߨ݇, 0 ൑ ߮ ൏ 2ߨ.
௔
௔
 
Valem (1) on tuntud kompleksarvu trigonomeetrilise kuju all. 
 
Näide. Esitame kompleksarvu ݖ ൌ െ1 െ ݅√3 trigonomeetrilisel kujul: 
|z| ൌ r ൌ ටሺെ1ሻଶ ൅ ሺെ√3ሻଶ ൌ √4 ൌ 2, 
െ1
1
െ
cos ߮ ൌ
√3
2 ൌ െ 2,    sin ߮ ൌ 2 ൌ െ √3
2 , 
kust ߮ ൌ ߨ ൅ గ ൌ ସగ
ଷ
ଷ  ja  
4ߨ
4ߨ
െ1 െ ݅√3 ൌ 2 ൬cos 3 ൅ ݅sin 3  ൰ 
 
Mooduli omadused: 
 
 
 
Vaatleme komleksarvude korrutamise ja jagamise trigonomeetrilisel kujul.  
 
Olgu ߙ ൌ ݎଵሺcos ߮ଵ ൅ ݅ sin ߮ଵሻ ja ߚ ൌ ݎଶሺcos ߮ଶ ൅ ݅ sin ߮ଶሻ. Siis 
 
  
 
Seega kompleksarvude korrutamisel nende moodulid korrutatakse ning 
argumendid liidetakse kokku e. 
หߙߚ| ൌ |ߙ|หߚ|,    arg ߙߚ ൌ arg ߙ ൅ arg ߚ 
 
Enne arvude jagatise leidmist leiame arvu pöördarvu jaoks valemi:  
Olgu ߚ ് 0. Siis 
 
 
Seega pöördarvu leidmisel peame leida mooduli pöördarvu ning argumendi 
vastandarvu e.  
|ߚିଵ|ൌ |ߚ|ିଵ,   arg ߚିଵ ൌ െ   arg ߚ. 
Leiame nüüd ߙ/ߚ: 
 
 
Nüüd tuletame korrutamise  valemist  astendamise valemi: 
 
ߙଵ ൌ ߙ ൌ ݎሺcos ߮ ൅ ݅ sin ߮ሻ 
ߙଶ ൌ ߙ · ߙ ൌ ݎ · ݎሺcosሺ߮ ൅ ߮ሻ ൅ ݅ sinሺ߮ ൅ ߮ሻሻ 
      ൌ ݎଶሺcos 2߮+i sin 2߮) 
ߙଷ ൌ ߙଶ · ߙ ൌ ݎଶ · ݎሺcosሺ2߮ ൅ ߮ሻ ൅ ݅ sinሺ2߮ ൅ ߮ሻሻ 
      ൌ ݎଷሺcos 3߮+i sin 3߮) 
……………………………………………………….. 
ߙ௡ ൌ ݎ௡ሺcos ݊߮+i sin ݊߮) 
(2) 
 
Seega astendamisel me astendame arvu mooduli ning korrutame argumendi 
astmega. 
 
Näide. Leiame ሺ1 ൅ ݅ሻଶ଴. Selleks kõiegepealt esitame arvu ݖ ൌ 1 ൅ ݅ 
trigonomeetrilisel kujul:  
1
1
ݎ ൌ |ݖ| ൌ ඥ1ଶ ൅ 1ଶ ൌ √2,   cos ߮ ൌ
,   sin ߮ ൌ , 
√2
√2
seega 
 ߮ ൌ 4, 1 ൅ ݅ ൌ √2ቀcos4 ൅ ݅sin4 ቁ.  
Siit me saame 
     ሺ1 ൅ ݅ሻଶ଴ ൌ ሺ√2ሻଶ଴ ቀcos 20 · 4 ൅ ݅sin20 · 4 ቁ ൌ 2ଵ଴ሺcos 5ߨ ൅ ݅sin5ߨ ሻ
ൌ 1024ሺcos  ߨ ൅ ݅ sin ߨ ሻ ൌ 1024ሺെ1 ൅݅  · 0 ሻ ൌ െ1024. 
 
Erijuhul, kui r = 1, saame valemist (2) 
 
See valem kannab Moivre’i nime. Moivre’i valemi abil saab tuletada trigonomeet-
rilised  valemid cos nx ja sin nx avaldamiseks cos x ja sin x kaudu. 
 
Näide. Kirjutades Moivre’i valemi üles n = 2 jaoks saame 
 
Teiselt poolt 
Kuna võrduste vasakud pooled on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka nende 
paremad pooled. Kaks kompleksarvu on võrdsed, kui on võrdsed nende reaal- ja 
imaginaarosad, seega saame 
 
 
Nüüd vaatleme astendamise pöördtehe. Olgu antud kompleksarv z = a + ib. 
 
Definitsioon. Kompleksarvu ߙ n-juureks nimetatakse iga kompleksarvu w, mille 
korral ݓ௡ ൌ ߙ. 
 
Kui antud võrrandil leidub kompleksarvuline lahend  w ൌ ρሺcos ψ ൅ i sin ψ ሻ; siis 
 
Siit saame: 
 
Siis 
 
Igale k väärtusele vastab üks n-astme  juur   
 
Aga mitte kõik väärtused ݓ௞ erinevad üksteisest. Me näitame, et kui ݇ଵ ൒ ݊, siis 
೙
௞ ൌ ݓ
భ
௞మ mõni ݇ଶ ൌ 0, … , ݊ െ 1 jaoks. Siis me saame n-astme juurele  √ߙ vaid n 
erinevat väärtust 
 
Olgu  ݇ଵ ൒ ݊  fikseeritud.   Jagame   ݇ଵarvuga  n  jäägiga.  Olgu  q  jagatis  ning  ݇ଶ 
jagatise jääk (݇ଶ ൌ 0, … , ݊ െ 1ሻ. Siis ݇ଵ saab esitada kujul ݇ଵ ൌ ݍ݊ ൅ ݇ଶ. Seega 
߮ ൅ 2ߨ݇ ߮ ൅ 2ߨሺݍ݊ ൅ ݇
߮ ൅ 2ߨ݇
arg ݓ
ଶሻ
ଶ
௞ ൌ
భ
ൌ
ൌ
൅ 2ߨݍ. 
Siit 
߮ ൅ 2ߨ݇
߮ ൅ 2ߨ݇
               ݓ
೙
ଶ
ଶ
௞ ൌ √ݎ ൬cos ൬
భ
൅ 2ߨݍ൰ ൅ ݅ sin ൬
൅ 2ߨݍ൰൰
߮ ൅ 2ߨ݇
߮ ൅ 2ߨ݇
ൌ √೙ݎ ൬cos൬
ଶ
ଶ
൰ ൅ ݅ sin ൬
൰൰ ൌ ݓ௞మ 
 
Teoreem. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 
 
Näide. Leiame 
య
య
య
  √1 ൌ √1 ൅ 0݅ ൌ ඥ1ሺcos 0  ൅ ݅ sin 0ሻ 
0 ൅ 2݇ߨ
0 ൅ 2݇ߨ
ൌ √య1 ൬cos
3
 ൅ ݅ sin
3
൰ ,
݇ ൌ 0, 1, 2. 
Seega  
 
 
18. Geomeetrilised vektorid 
 
Definitsioon. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakses suunatud sirgloiku tasandil või ruumis.  
 
B
 
A
 
Vektoril on nn alguspunkt A ja lõpp-punkt B ning teda tähistatakse 
. Samuti kasutatakse 
väiksed ladina tähed: 
 
 
Iga  vektorit  iseloomustab tema siht, suund ja pikkus. Vektori   pikkust tähistatakse 
. 
 
Definitsioon. Kahte geomeetrilist vektorit   ja    loetakse võrdseiks ja kirjutatakse 
, kui 
need vektorid on  kollineaarsed  (
), samasuunalised 
ja ühepikkused 
. 
 
Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et iga vektorit võib kanda ruumi mistahes punkti. 
 
Definitsioon. Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku nimetatakse nullvektoriks. 
Tähistame nullvektorit    
Definitsioon. Vektorite 
 ja 
 summaks nimetatakse vektorit 
 ja tähistatakse 
 
B
 
A
C
 
Siit tuleneb reegel vektorite liitmiseks:  
 
Vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava lõpp-punkti. Vektorite   
ja   summaks on vektor 
, mis kulgeb esimese liidetava alguspunktist teise liidetava lõpp-
punkti. Seda reeglit nimetatakse kolmnurka reegliks. 
 
 
 
Mõnikord  on  otstarbekas  kasutada  vektorite  liitmisel  ka  nn  rööpküliku  reeglit,  mis  seisneb 
järgnevas:  
 
Vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava alguspunkti. 
Vektorite  summaks  on  vektor,  mis  väljub  nende  ühisest  alguspunktist  ja  on  niisuguse 
rööpküliku  diagonaal , mille külgedeks on liidetavad vektorid. 
 
  
Definitsioon.  Arvu  (skalaari) α ja  geomeetrilise vektori  korrutiseks nimetatakse vektorit 
 
mis  rahuldab  tingimusi 1) vektor 
 on paralleelne vektoriga   2) kui 
 siis vektori suund 
ühtib  vektori    suunaga, 
  korral  aga  on  vektorid 
  ja    vastassunalised  3)  vektori 
pikkus saadakse vektori   pikkuse korrutamisel arvu   absoluutväärtusega e. 
 
Teoreem.  Vektorite  liitmine  ja  skalaariga  korrutamine  kõigi  geomeetriliste  vektorite  hulgal  V 
rahuldavad järgmised omadused:  
 
V5.  
, 
 
V6. 
, 
 
V7.  
, 
 
V8.  1
 
19.  Aritmeetilised vektorid 
 
Vektoreid saab esitada ka koordinaatide kaudu. Näiteks kolmemõõtmelises ruumis 
 
  
 
Lihtne on üldistada, võttes kolme koordinaadi asemel rohkem koordinaate.  Fikseerime 
naturaalarvu  
 
 
Definitsioon. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n koosnevat arvude jada 
 
 
Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse vektori  koordinaatideks  ehk komponentideks. 
Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks 
ruumiks ja tähistatakse 
 e. 
 
 
Definitsioon. Aritmeetiliste vektorite 
  ja  
 
summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit  
 
 
Näide:  
 
 
(2;-1; 0; 5) + (-3; 9; 7;-5) = (-1; 8; 7; 0), 
 
Definitsioon.    Arvu  (skalaari)  α  ja  aritmeetilise  vektori  korrutiseks  nimetatakse  aritmeetilist 
vektorit  
 
Näide:  
 
 
 
Teoreem.  Vektorite  liitmine  ja  skalaariga  korrutamine  kõigi  aritmeetiliste  vektorite  hulgal  V 
rahuldavad omadused V1-V8 eelmise paragrahvi teoreemist. 
 
 
 
 
20. Vektorruum 
 
 
Eelpool  nägime,  et  nii  geomeetriliste  kui  aritmeetiliste  vektorite  korral  kehtisid  teatud 
omadused  V1-V8.  Need  omadused  võetakse  vektorruumi  aksioomideks.  Kõiki  objekte,  mille 
korral need omadused on rahuldatud,  nimetatakse edaspidi vektoriteks. 
 
Definitsioon.  Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulka     kui  temal  on defineeritud 
liitmine ja skalaariga korrutamine nii, et 
 
 
V5.  
, 
 
V6. 
, 
 
V7.  
, 
 
V8.  1
 
 
Definitsioon.  Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. 
 
Näited: 1) Reaalarvude hulk on liitmise ja korrutamise  tehte  suhtes vektorruum. 
2) Kompleksarvude hulk on vektorruum üle reaalarvude hulka. 
3) Kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja ruumis tavaliste  tehetega  on vektorruum. 
4) Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulk on vektorruum. 
5) Kõigi 
maatriksite hulk on vektorruum maatriksite liitmise ja skalaariga korrutamise 
suhtes. 
6) Näide hulgast, mis pole vektorruum. 
Olgu V = 
 ja defineerime tehted järgmiselt. Olgu 
 ja 
, siis 
 
Antud juhul omadus V8 aksioom ei kehti, sest 
 korral, kui 
, siis 
 
Seega hulk V ei ole selliste tehete suhtes vektorruum. 
 
 
Vektorrumi definitsioonis aksioomis V3 öeldakse, et leidub vähematl üks nullvektor.  Me 
näitame, et leidub täpselt üks nullvektor. 
 
Lause. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. 
 
Tõestus. Vektorruumis on vähemalt üks nullvektor   vektorruumi aksioomide tõttu. 
Näitame, et see nullvektor on ainus. Selleks oletame vastuväiteliselt, et vektorruumis leidub 
veel teinegi nullvektor    mille korral kehtib samuti 
. 
Siis kehtib see ka 
  korral, seega 
 +  = . 
Teiselt poolt, kuna    on vektorruumi nullvektor, siis vektorruumi aksioomide tõttu 
 +  = . 
Saime kaks võrdust, mille vasakud pooled on võrdsed. Siis on võrdsed ka nende võrduste 
paremad pooled, st = . 
 
 
21. Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse mõiste. 
 
Olgu V  vektorruum üle reaalarvude hulka     ning  1, 2,…, m
 
 
Definitsioon.   Mistahes avaldist, millel on kuju 
 
kus  1,…, m 
, nimetatakse vektorite  1, 2,…, m lineaarkombinatsiooniks. Skalaare  1,…, m 
nimetatakse antud lineaarkombinatsiooni kordajateks.  
 
Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui kõik tema kordajad võrduvad nulliga, 
s.t 1= 2 = …= m = 0.  
 
Lineaarkombinatsioon  on mittetriviaalne, kui vähemalt üks tema kordajatest on nullist erinev, 
s.t. kui 
i
i = 1, 2, …, m. 
 
Näide:  Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil ja olgu antud kaks vektorit  1, 2
, mis 
ei  ole  paralleelsed.  Siis  avaldub  iga  vektor  sellel  tasandil  vektorite  1  ja 2  lineaarse 
kombinatsioonina. 
 
 
 
Definitsioon.  Vektorite süsteemi  1, 2,…, m
 nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui 
vektorite  1, 2,…, m mingi mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdub nulliga, s.t., leiduvad 
arvud k
, ning mingi kordaja 
1, k2, …, km
 nii, et 
 
Vastasel juhul vektorite süsteemi  1, 2,…, m nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, s.t., et  
 
 parajasti siis, kui k
: (Öeldakse ka, et vektorid 
1=k2= …= km
1,
2,…, m on kas lineaarselt 
sõltuvad või lineaarselt sõltumatud). 
 
Teoreem:  Vektorid  1, 2,…, m on lineaarselt sõltuvad parajasti siis kui sellest hulgast leidub 
vähemalt üks vektor, mis avaldub ülejäänud vektorite lineaarse kombinatsioonina. 
 
Näited. 1. Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil. Iga kaks vektorit  1, 2
 , mis ei 
ole paralleelsed, on lineaarselt sõltumatud. 
2. Kaks  paralleelset  vektorit  1, 2
 on lineaarselt sõltuvad, sest üks avaldub teise 
kaudu: 
 
3. Iga kolm vektorit  1, 2 3
 on lineaarselt sõltuvad. 
4. Olgu V = 
 aritmeetiliste vektorite ruum. Näitame, et vektorid 
 
on lineaarselt sõltumatud. Moodustame lineaarkombinatsiooni 
1
1+ 
2
2 + …+ 
n
n
1,
2,…,
n) 
See lineaarkombinatsioon võrdub nullvektorile ainult siis, kui  1= 2=…,
n=0. 
Seega vektorid  1, 2,…, n on lineaarselt sõltumatud. 
 
 
Lause:  Iga vektorite hulk, mis sisaldab nullvektorit on lineaarselt sõltuv. 
 
Tõestus. Olgu antud vektorid 
2,…, m. Siis saame moodustada nullvektoriga 
vorduva lineaarkombinatsiooni 
1
 + 0
2 + … +0
m=  , 
mille kõik kordajad ei ole nullid (
1
), seega vektorid on lineaarselt sõltuvad. 
 
 
22. Vektorruumi baas ja mõõde. 
 
Olgu V mistahes vektorruum. 
 
Definitsioon. Vektorite süsteemi  1, 2,…, n vektorruumis V nimetatakse vektorruumi V  baasiks , 
kui 
1)  vektorruumi V mistahes vektor on avaldatav vektorite  1, 2,…, n 
lineaarkombinatsioonina. 
2)  vektorite süsteem  1, 2,…, n on lineaarselt sõltumatu. 
 
Näited.  
1)  Olgu V geomeetriliste vektorite hulk tasandil, siis moodustavad baasi iga kaks 
mitteparalleelset vektorit sellel tasandil. 
 
Järeldus. Vektorruumis võib olla lõpmata palju baase.  
 
2)  Olgu V = 
. Me näitasime juba, et vektorite süsteem  
 
on lineaarselt sõltumatu. Selleks et veenduda, et see on baas, on vaja veel näidata, et iga 
aritmeetiline vektor 
 on avaldatav vektorite  1, 2,…, n lineaarkombinatsioonina. 
Olgu 
 
Siis teda saab esitada kujul  
1,
2,…,
n)=
1
,…,
)+ 2
,…,
)+…
n
,…,
)= 1 1+  2 2 + …+  n n 
Seega vektorid  1, 2,…, n moodustavad baasi. 
3)  Olgu V  kõigi m  n -maatriksite vektorruum. Olgu Eij maatriks, mille enamus 
elemente on nullid, ainult i-nda rea j-nda veeru elemendiks on 1. Moodustame hulga 
  
Siis avaldub iga m  n maatriks A = (a ) baasi kaudu: 
ij
 
Näiteks 
 
 
Fakte baaside kohta. 
1)  Igas nullruumist  erinevas  vektorruumis leidub baas. 
2)  Iga lineaarselt sõltumatut vektorite süsteemi saab täiendada baasiks. 
3)  Sama vektorruumi iga kaks erinevat baasi sisaldamad sama arvu vektoreid. 
 
Definitsioon. Vektorruumi V mõõde ehk dimensioon (tähistatakse dim V ) on tema baasis 
esinevate vektorite arv.  
 
Näited. 
1) Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil. Siis dim V = 2. 
2) Olgu V = 
, siis dim V = n. 
3) Olgu V = 
, siis dim V = m   n. 
 
Olgu vektorruumi V  baasiks . Siis on iga vektor 
 avaldatav 
lineaarkombinatsioonina 
 
 
Definitsioon. Arve  1,  2, …, n
.  nimetatakse vektori   koordinaatideks antud baasil B.  
 
Teoreem. Vektori koordinaadid baasil B on on üheselt määratud. 
 
Tõ estus . Oletame, et 
 
ja on veel mingid arvud  1,…, n 
 nii, et 
 
Siis 
1- 1
1+ 
2- 2
2 + …+
n- n
n 
 
millest baasivektorite lineaarse sõltumatuse tõttu järeldub, et 
 
23. Vektorite  skalaarkorrutis  ja eukleediline vektorruum. 
 
Eesmärgiga üldistada vektori pikkuse ja nurk vektorite vahel mõisted mistahes vektoruumile 
defineerime skalaarkorrutise: 
 
Definitsioon.  Skalaarkorrutiseks  vektorruumis 
  nimetatakse  reeglit,  mis  igale  kahele 
vektorile 
 
  seab  vastavusse  parajasti  ühe   reaalarvu ,  mida  tähistatakse 
  ja 
nimetatakse vektorite   ja   skalaarkorrutiseks, kui on täidetud järgmised omadused 
 
  2. 
 parajasti siis, kui 
; 
 
Näited:  1) aritmeetilises vektorruumis 
 kahe vektori  = (x1; x2; …; xn) ja  = (y1; y2; …; 
yn) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: 
 
2) kahemõõtmelises aritmeetilises vektorruumis 
 kahe vektori  = (x1; x2)  ja  = (y1; y2) 
skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: 
 
aga näiteks, avaldised 
 
skalaarkorrutist ei määra. 
3) 2  2-maatriksite hulgas võib skalaarkorrutise defineerida järgmise valemiga: Olgu 
 
 
Siis 
määrab skalaarkorrutise. 
 
Definitsioon.  Vektorruumi 
  koos  temas  defineeritud  skalaarkorrutisega  nimetatakse 
eukleidiliseks vektorruumiks. 
 
Definitsioon. Vektori   
  pikkuseks  nimetatakse arvu  
 
 
Näide:  Kui  aritmeetilises  vektorruumis 
  kahe  vektori  =  (x1;  x2)    ja  =  (y1;  y2) 
skalaarkorrutis on defineeritud võrdusega 
, siis vektori   pikkus 
 
langeb kokku tavalise tasandilise vektori pikkusega. 
 
Vektori pikkuse omadused: 
 
 
 
Tõestus:  
 
 2) On kerge kontrollida, et antud võrratus kehtib kui 
 või 
: Seepärast eeldame, et 
 ja 
 . Võtame suvalise reaalarvu t ja moodustame vektori 
 
Skalaarkorrutise esimese aksioomi põhjal 
 ehk  
 
ja kasutades skalaarkorrutise omadusi 3)-5) ja pikkuse definitsiooni, saame: 
 
 
Viimase võrratuse vasak pool on  kolmliige  (ruutvõrrandi vasak pool) t suhtes, mis peab iga t 
korral olema positiivne (või null). See tähendab, et võrrandil 
 
on maksimaalselt üks lahend. Järelikult ruutvõrrandi diskriminant peab olema nullist 
väiksem (või võrdne nulliga): 
 
 
 
 3. Arvutame 
: 
 
Võttes saadud võrratuse 
 mõlemast poolest ruutjuure, saamegi 
kolmnurga võrratuse. 
 
Definitsioon. Eukleidilise vektorruumi kahe vektori 
 ja 
 vaheliseks nurgaks 
nimetatakse sellist nurka 
 , et 
 
See definitsioon on  korrektne : Cauchy-Bunjakovski võrratusest järeldub, et kui 
 ja 
, siis 
 
ehk 
 
Seega saab iga kahe nullist erineva vektori korral määrata nendevahelise nurga. 
 
 
24. Ortogonaalne ja ortonormaalne baas. 
 
Definitsioon. Öeldakse, et vektorid   ja  on ortogonaalsed ehk risti, kui 
 = 0. 
 
Termin “risti” on seotud järgmise aruteluga: kui 
 = 0, siis  
 
 
Definitsioon.  Vektorruumi  baasi  B  = 
1,
2,…, n}  nimetatakse  ortogonaaleseks  ehk 
ristbaasiks, kui iga kaks erinevat baasivektorit on omavahel risti, st 
=0,    kui   
 
 
Igast  baasist  on  võimalik  konstrueerida  ortogonaalse  baasi.  Seda  protsessi  nimetatakse 
ortogonaliseerimiseks. 
Definitsioon. Öeldakse, et vektor   on normeeritud ehk ühikvektor, kui tema pikkus 
=1. 
 
Kui vektor   ei ole normeeritud, siis seda võib normeerida  jagades  vektor   tema pikkusega 
. S.t., et vektorile   vastav normeeritud vektor  on leitav valemiga  =
 
Veendume, et vektor    on tõepoolest normeeritud. Vektori pikkuse omaduse 1 kohaselt: 
 
 
 
Definitsioon.  Ortogonaalse  baasi,  mille  kõik  vektorid  on  normeeritud  (ühikvektorid), 
nimetatakse ortonormeeritud ehk ortonormaalseks baasiks. 
 
Seega, kui  B =  1, 2,…, n} on vektorruumi ortonormaalne baas, siis 
 
(1) 
 
Juhul n = 2 tähistatakse tavaliselt  1 =  ;  2 =  ; juhul n = 3 tähistatakse tavaliselt  1 =  ;  2 = 
  3 =  . 
 
Teoreem 1. Eukleidilises vektorruumis alati võib valida ortonormaalse baasi. 
 
Teoreem 2. Olgu eukleidilises vektorruumis   antud ortonormaalne baas B =  1, 2,…, n} 
ning 
 
1)  Siis vektorite   ja   skalaarkorrutis on arvutatav valemiga 
 
2)  Vektori   pikkust saab leida valemiga 
 
 
Tõestus. 1) Arvutame vektorite   ja  skalaarkorrutis: 
 
Ortonormaalne baasi omaduse (1) kohaselt  
 
2)  Nüüd vektori pikkuse definitsiooni kohaselt 
 
 
 
25. Vektorite  vektorkorrutis  
 
Vaatleme  kolmemõõtmelise  (n=3)  eukleidilise  vektorruumi  ning  valime  seal  mingi 
ortonormaalse baasi B =  ;    } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega) 
 
Definitsioon. Vektorite   ja    vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit 
 , mille korral on 
täidetud tingimused:  
 
2. Vektorkorrutise 
 pikkus
 on võrdne veltoritele   ja 
 ehitatud rööpküliku pindalaga, st SABCD =
, kui AB =   ja 
AD =   ;  
Seega 
    
 
 
3. Vektorid  ,  , 
  moodustavad parema käe kolmiku; 
 
Vektorkorrutise  omadused:  
1. 
 - vektorkorrutis on antikommutatiivne  
2.  Kui 
 ja 
 , siis
 
Tõestus: 
 
 
 
3. 
 
     
Leiame baasi vektorite  omavahelised  vektorkorrutised: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nüüd olgu  
 ja 
 
Leiame nende vektorkorrutise 
 
 
 
Kasutades determinandi mõiste saame kirjutada  
 
 
(1) 
 
 
ehk 
 
Samuti saame ümber kirjutada (1) 3. Järku determinandi abil kujul 
 
 
 
26. Vektorite  segakorrutis  
 
Vaatleme  kolmemõõtmelise  (n=3)  eukleidilise  vektorruumi  ning  valime  seal  mingi 
ortonormaalse baasi B =  ;    } (mille suunad langevad kokku koordinattelgede suunadega) 
 
Definitsioon. Vektorite     ja  segakorrutiseks  
nimetatakse arvu 
.  
Leiame segakorrutise väärtuse:  
 
Seega 
 
 
Segakorrutise  omadused:  
1. Vektorite     ja   segakorrutise 
 absoluutväärtus 
võrdub vektoritele     ja   ehitatud rööptahuka 
ruumalaga 
2.  Tetraeedri  (kolmnurkse püramiidi) ABCD; mille servad 
on DA =   ; DB =   ja DC =   ; ruumala VABCD =
. 
3. Vektorid     ja   on komplanaarsed parajasti siis kui 
nende segakorrutis 
  
 
4. Vektorid     ja   moodustavad paremkäe kolmiku, kui 
nende segakorrutis 
on positiivne ja moodustavad 
vasakkäe kolmiku, kui nende segakorrutis 
on 
negatiivne. 
 
 
 
27.  Sirged  
 
1)  Vaatleme sirge kolmemõõtmilseses ruumis.  
Sirge ߬ on määratud mingi  punktiga  A(ax; ay; az), mille ta läbib (st A א ߬ ), ja vektoriga ݏԦ = 
(sx;  sy;  sz)  ് 0
ሬԦ,  millega on see sirge paralleelne, st ݏԦԡ߬ (seda vektorit nimetatakse sirge ߬ 
sihivektoriks). 
߬ 
 
Olgu X (x; y; z) sirgel ߬ paiknev  suvaline  punkt. Et vektor ሬሬሬԦ
  ܣܺԡݏԦ, siis leidub mingi arv ݐ א Թ, 
et ܣ
ሬ ܺ
ሬሬԦ ൌ ݐݏԦ 
 
Definitsioon. Võrrandit  
ሬ ܺ
ሬሬԦ ൌ ݐݏԦ,   ݐ א Թ  
nimetakse sirge ߬ parameetriliseks vektorvõrrandiks. 
 
 
Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt 
 
߬ 
߬ 
 
Seega 
 
Kuna ܣ
ሬ ܺ
ሬሬԦ ൌ ݐݏԦ, siis 
 
millest saame sirge ߬ nn parameetrilisi võrrandeid : 
 
Kui vektori ݏԦ = (sx; sy; sz) kõik koordinaatid pole võrdsed nulliga, saame avaldada 
parameetrilistest võrranditest parameetri t: 
 
saame sirge nn kanoonilisi võrrandeid: 
 
Kui vektori ݏԦ üks koordinaat on null, nt. ݏ௭ ൌ 0, siis jab kehtima ainult üks võrdusest:  
 
ning teine saab kuju 
ݖ ൌ ܽ௭. 
Kui vektori ݏԦ kaks  koordinaati  on 0, nt. ݏ௬ ൌ ݏ௭ ൌ 0, siis sirge konoonilisteks võrranditeks on 
ݕ ൌ ܽ௬;   ݖ ൌ ܽ௭. 
 
2) Kahemõõtmelises ruumis sirge ߬ on määratud mingi punktiga A(ax; ay), mille ta läbib,  ja 
vektoriga ݏԦ = (sx; sy) ് 0
ሬԦ, millega on see sirge paralleelne. Seega sirge parameetrilised 
võrrandid on  
 
ja sirge kanoonilised võrrandid 
 
Võttes võrrandis ristkorrutise, saame 
ݏ௬ሺݔ െ ܽ௫ሻ ൌ ݏ௫൫ݔ െ ܽ௬൯      ehk        ݏ௬ݔെݏ௫ݕ ൅ ൫ݏ௫ܽ௬ െ ݏ௬ܽ௫൯ ൌ 0. 
Tähistades 
ܽ ൌ ݏ௬,
ܾ ൌ െݏ௫,        ܿ ൌ ݏ௫ܽ௬ െ ݏ௬ܽ௫ 
saame sirge ߬ võrrandile kuju 
 
ܽݔ ൅ ܾݕ ൅ ܿ ൌ 0. 
(1) 
Definitsioon. Võrrandit  (1) nimetakse sirge ߬ üldvõrrandiks.  
 
Kuna ݏԦ ് 0
ሬԦ ൌ ሺ0; 0ሻ, siis võrrandis (1) ei ole a,b samaaegselt nullid. 
Tähistame ݊ሬԦ ൌ ሺܽ; ܾሻ ja leiame tema skalaarkorrutise sirge ߬  sihivektoriga  ݏԦ: 
݊ሬԦ · ݏԦ ൌ ሺܽ; ܾሻ · ൫ݏ௫; ݏ௬൯ ൌ  ൫ݏ௬; െݏ௫൯ · ൫ݏ௫; ݏ௬൯ ൌ ݏ௫ݏ௬ െ ݏ௫ݏ௬ ൌ 0. 
Seega vektorid n
ሬԦ ja ݏԦ on risti ning järelikult vektor ݊ሬԦ on risti  sirgega  ߬. 
Definitsioon. Mis tahes nullvekotirst erinevat vektorit ݊ሬԦ, mis on risti sirgega ߬ nimetatakse 
sirge ߬ normaalvektoriks.  
Leiame nüüd mingi punkti kaugust sirgeni. 
Definitsioon. Punkti kauguseks sirgeni nimetakse sellest punktist sirgeni tõmmatud 
ristlõigu pikkust. 
 
Olgu ܯ ൌ ൫݉ݔ; ݉ݕ൯ punkt kahemõõtmelises ruumis, leiame punkti ܯ kaugus sirgest ߬. 
 
ܲ 
ܺ  ߬ 
 
ߠ 
݊ሬԦ 
 
ܯ 
 
Punkti M kaugust sirgeni ߬ tähistame d(M, ߬) abil. Seega vastavalt definitsioonile  
d(M, ߬)= ฮܯ
ሬሬ ܲ
ሬԦฮ. 
Vektor  ܯ
ሬሬ ܲ
ሬԦ  on  risti  sirgega  ߬,  seega  parelleele  tema  normaalvektoriga  ݊ሬԦ. Valime  sirgel  ߬ 
mingi  punkti  X=(x;y)  ning  olgu  ߠ  nurk  vektorite  ܯ
ሬሬ ܲ
ሬԦ  ja  ܯ
ሬሬ ܺ
ሬԦ  vahel,  seega  ߠ  või  ߨ െ ߠ  on 
nurkvektorite ݊ሬԦ  ja ܯ
ሬሬ ܺ
ሬԦ vahel. Siis 
ห݊ሬԦ · ܯ
ሬሬ ܺ
ሬԦห
ห݊ሬԦ · ܯ
ሬሬ ܺ
ሬԦห
݀ሺܯ, ߬ሻ ൌ ฮܯ
ሬሬ ܲ
ሬԦฮ ൌ ฮܯ
ሬሬ ܺ
ሬԦฮ cos ߠ ൌ ฮܯ
ሬሬ ܺ
ሬԦฮ
ൌ
ԡ݊ሬԦԡฮܯ
ሬሬ ܺ
ሬሬԦฮ
ԡ݊ሬԦԡ
หܽሺݔ െ ݉
หܽݔ ൅ ܾݕ െ ܽ݉
ൌ
௫ሻ ൅ ܾሺݕ െ ݉௬ሻห ൌ
௫ െ ܾ݉௬ห
√ܽଶ ൅ ܾଶ
√ܽଶ ൅ ܾଶ
หെܿ െ ܽ݉
หܽ݉
ൌ
௫ െ ܾ݉௬ห ൌ
௫ ൅ ܾ݉௬ ൅ ܿห. 
√ܽଶ ൅ ܾଶ
√ܽଶ ൅ ܾଶ
 
28.  Tasandid . 
 
Tasand ߨ on määratud temal asuva mingi punktiga Aሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷሻ (st A א ߨ ) ning veel kahte 
mittekollineaarsete  vektoritega  ݑሬԦ  ja  ݒԦ  (ݑሬԦ ק ݒԦ)  millega  on  see  tasand  paralleelne.    Kuna 
vektorid ݑሬԦ ja ݒԦ on mitteparallellsed, siis moodustavad nad selle tasandi vektorite jaoks baasi. 
Tasandit määravaid mittekollineaarseid vektoreidnimetatakse tasandi rihivektoriteks. 
 
Olgu X ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ mingi punkt tasandil ߨ.  Kuna ሼݑሬԦ, ݒԦሽ on baas, siis vektori ܣ
ሬ ܺ
ሬሬԦ saab üheselt 
avaldada vektorite ݑሬԦ, ݒԦ lineaarkombinatsioonina: 
 
(1) 
 
 
Definitsioon. Võrrandit (1) nimetatakse tasandi parameetriliseks vektorvõrrandiks. 
Muutujaid t1 ja t2 nimetatakse aga parameetriteks.  
 
Tasandil π on võrrandeid (1) lõpmatult palju, sest punkti A võib tasandil π  fikseerida  väga 
erinevalt. Sama olukord on rihivektorite ݑሬԦ, ݒԦ valikuga. 
 
Olgu punktide A ja X kohavektoreid ܱ
ሬሬܣሬԦ ja ܱሬሬܺሬԦ tähistatud 
 
Me saame 
 
ehk 
 
 
Seda võrrandit nimetatakse tasandi vektorvõrrandiks. Leiame nüüd tasandi π võrrandi 
koordinaatides, selleks asendame vektorvõrrandisse vektorite koordinaatid: 
ܱሬሬܺ
ሬԦ ൌ ݔԦ ൌ ሺݔଵ,ݔଶ,ݔଷሻ;   ܱሬሬܣሬԦ ൌ ܽԦ ൌ ሺܽଵ,ܽଶ,ܽଷሻ;   ݑሬԦ ൌ ሺݑଵ,ݑଶ,ݑଷሻ;   ݒԦ ൌ ሺݒଵ,ݒଶ,ݒଷሻ. 
Seega 
ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ൌ ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷሻ ൅ ݐଵሺݑଵ, ݑଶ, ݑଷሻ ൅ ݐଶሺݒଵ, ݒଶ, ݒଷሻ 
ehk 
 
(2) 
 
Saadud võrrandeid nimetatakse tasandi π parameetrilisteks võrranditeks. 
 
Meie järgmiseks sammuks on saada võrranditest (2) tasandi selline võrrand, mis ei sisalda 
parameetreid t1 ja t2. Teisendame süsteemi esimesed kaks võrrandit:  
 
ቄݐଵݑଵ ൅ ݐଶݒଵ ൌ ݔଵ െ ܽଵ
 
ଵݑଶ ൅ ݐଶݒଶ ൌ ݔଶ െ ܽଶ
 
See on lineaarne süsteem muutujate ݐଵ, ݐଶ suhtes. Eeldame, et süüstemi determinant ei võrdu 
0:  
Δ ൌ ቚ ଵ ݒଵ
ቚ ൌ ݑ
ଶ
ݒଶ
ଵݒଶ െ ݑଶݒଵ 
Vastasel juhul saame valida teised vektorid ݑሬԦ, ݒԦ. Seega sellel süsteemil parajasti üks lahend, 
mis on Crameri valemite põhjal leitav valemitega: 
ଵ
ଶ
ଵ ൌ Δ ,   ݐଶ ൌ Δ , 
kus 
ଵ െ ܽଵ
ݒଵ
ଵ
ݔଵ െ ܽଵ
ଵ ൌ ቚݔ
ቚ    ja    Δ
ቚ. 
ଶ െ ܽଶ
ݒଶ
ଶ ൌ ቚݑଶ ݔଶ െ ܽଶ
Nüüd asendame ݐଵ, ݐଶ väärtusi süsteemi (2) vimasesse võrrandisse: 
ଵ
ଶ
ଷ െ ܽଷ ൌ Δ ݑଷ ൅ Δ ݒଷ 
ning korrutame läbi determinandiga Δ: 
ሺݔଷ െ ܽଷሻΔ ൌ Δଵݑଷ ൅ Δଶݒଷ 
ehk 
ሺݔ
ଵ
ݒଵ
ଵ െ ܽଵ
ݒଵ
ଵ
ݔଵ െ ܽଵ
ଷ െ ܽଷሻ ቚݑ
ቚ ൌ ቚ
ቚ ݑ
ቚ ݒ
ଶ
ݒଶ
ݔଶ െ ܽଶ ݒଶ ଷ ൅ ቚݑଶ ݔଶ െ ܽଶ ଷ. 
Arvutades esimese ja teise determinanti saame: 
ሺݔ
ଵ
ݒଵ
ଷ െ ܽଷሻ ቚݑ
ቚ ൌ ሾሺݔ
ଶ
ݒଶ
ଵ െ ܽଵሻݒଶ െ ሺݔଶ െ ܽଶሻݒଵሿݑଷ ൅ ሾሺݔଶ െ ܽଶሻݑଵ െ  ሺݔଵ െ ܽଵሻݑଶሿݒଷ
ൌ ሾሺݔଵ െ ܽଵሻሺݒଶݑଷ െ ݑଶݒଷሻ ൅ ሺݔଶ െ ܽଶሻሺݑଵݒଷ െ ݒଵݑଷሻ. 
Siit 
 
ሺ
ଵ
ݒଵ
ଶ
ݒଶ
ଵ
ݒଵ
ଷ െ ܽଷሻ ቚݑ
ቚ ൌ െሺݔ
ቚ ൅ ሺݔ
ቚ 
ଶ
ݒଶ
ଵ െ ܽଵሻ ቚݑଷ ݒଷ
ଶ െ ܽଶሻ ቚݑଷ ݒଷ
ehk 
ሺݔ
ଶ
ݒଶ
ଵ
ݒଵ
ଵ
ݒଵ
ଵ െ ܽଵሻ ቚݑ
ቚ െ ሺݔ
ቚ ൅ ሺݔ
ቚ ൌ 0, 
ଷ
ݒଷ
ଶ െ ܽଶሻ ቚݑଷ ݒଷ
ଷ െ ܽଷሻ ቚݑଶ ݒଶ
mis saab kolmandat järku determinandi abil kirjutada kujul 
ݔଵ െ ܽଵ ݑଵ ݒଵ
ݔଵ െ ܽଵ ݔଶ െ ܽଶ ݔଷ െ ܽଷ
อݔଶ െ ܽଶ ݑଶ ݒଶอ ൌ อ ݑଵ
ݑଶ
ݑଷ อ ൌ 0. 
ݔଷ െ ܽଷ ݑଷ ݒଷ
ݒଵ
ݒଶ
ݒଷ
 
Tähistades  
ܣ ൌ ቚ ଶ ݒଶ
ଵ
ݒଵ
ଵ
ݒଵ
ቚ ,
ܤ ൌ െ ቚ
ቚ ,       ܥ ൌ ቚ
ቚ,  
ଷ
ݒଷ
ݑଷ ݒଷ
ݑଶ ݒଶ
saame  
ܣሺݔଵ െ ܽଵሻ ൅ ܤሺݔଶ െ ܽଶሻ ൅ ܥሺݔଷ െ ܽଷሻ ൌ 0 
ehk teisiti 
 
ܣݔଵ ൅ ܤݔଶ ൅ ܥݔଷ ൅ ܦ ൌ 0, 
(3) 
kus 
ܦ ൌ െሺܣܽଵ ൅ ܤܽଶ ൅ ܥܽଷሻ. 
 
Definitsioon. Võrrandit (3) nimetatakse tasandi üldvõrrandiks. 
 
Tähistame ݊ሬԦ ൌ ሺܣ, ܤ, ܥሻ, siis 
݊ሬԦ ൌ ቀቚ 2 ݑ3
1
ݑ3
1
ݑ2
ቚ , െ ቚ
ቚ , ቚ
ቚቁ ൌ ݑሬԦ ൈ ݒԦ. 
3
ݒ3
ݒ1 ݒ3 ݒ2 ݒ2
Kuna ݑሬԦ ് 0
ሬԦ,ݒԦ ് 0ሬԦ ning ݑሬԦ ק ݒԦ, siis ݊ሬԦ ൌ ݑሬԦ ൈ ݒԦ ് 0ሬԦ. Samuti vektorkorrutisena vektor ݊ሬԦ on 
risti vektoritele ݑሬԦ ja ݒԦ, seega ka  tasandile  ߨ. 
 
Definitsioon. Vektorit ݊ሬԦ, mis on risti tasandile ߨ, nimetatakse tasandi ߨ normaalvektoriks. 
 
Vektori ݊ሬԦ pikkuseks on  
ԡ݊ሬԦԡ ൌ ඥܣଶ ൅ ܤଶ ൅ ܥଶ. 
Jagame võrrandi (3) suurusega ԡ݊ሬԦԡ: 
 
 
ܤ
ԡ݊ሬԦԡ ݔଵ ൅ ԡ݊ሬԦԡ ݔଶ ൅ ԡ݊ሬԦԡ ݔଷ ൅ ԡ݊ሬԦԡ ൌ 0. 
(4) 
Tähistame  
 
ܤ
1
1
݊ሬԦ଴ ൌ ൬ԡ݊ሬԦԡ;ԡ݊ሬԦԡ;ԡ݊ሬԦԡ൰ ൌ ԡ݊ሬԦԡሺܣ,ܤ,ܥሻ ൌ ԡ݊ሬԦԡ݊ሬԦ. 
Seega  ݊ሬԦ଴  on  ühikvektor,  mis  on  risti  tasandile  ߨ ehk  samuti  tasandi  ߨ  normaalvektor. 
Leiame,  mis  nurgad  moodustab  vektor  ݊ሬԦ଴  koordinaateljede  sihivektoritega  iԦ;  jԦ;  kሬԦ. 
Tähistame vastavad nurgad vastavalt ߙ, ߚ, ߛ, siis 
݊ሬԦ0 · iԦ
cos ߙ ൌ
ൌ ԡ݊ሬԦԡ · 1 ൅ ܤ
ԡ݊ሬԦԡ · 0 ൅ ܥ
ԡ݊ሬԦԡ · 0
ቛ݊ሬԦ0ቛ ฮiԦฮ
1 · 1
ൌ ԡ݊ሬԦԡ. 
Analoogiliselt 
ܤ
cos ߚ ൌ ԡ݊ሬԦԡ    ja  cosߛ ൌ ԡ݊ሬԦԡ. 
Seega  vektori  ݊ሬԦ଴ ൌ ሺcos ߙ; cos ߚ; cos ߛሻ  koordinaatid  on  vektori  ݊ሬԦ଴  koordinaatteljedega 
nurgade koosinused. 
Nüüd tasandi võrrand (4) saab kuju 
 
ݔଵ cos ߙ ൅ ݔଶ cos ߚ ൅ ݔଷ cosߛ ൌ ݌, 
(5) 
kus ݌ ൌ െܦ/ԡ݊
ሬԦԡ. 
 
Definitsioon. Võrrandit (5) nimetatakse tasandi normaalvõrrandiks. 
 
Leiame konstandi p geomeetrilise tõlgenduse. Eeldame, et ݌ ൒ 0, vastasel juhul korrutame 
võrrandi (5) -1-ga. 
L 
߮  ݊ሬԦ଴
 
Olgu Xሺݔ
ሬሬሬԦ
ଵ, ݔଶ, ݔଷሻ suvaline punkt tasandil ߨ ja ݔԦ ൌ ܱܺ tema  kohavektor . Valime tasandil ߨ 
punkti  L  selliselt,  et  vektor  ܱ
ሬሬܮሬԦ  oleks  risti tasandiga  ߨ.  Seega vektor ܱሬሬܮሬԦ  on  paralleelne 
vektoriga ݊ሬԦ଴. Tähistame ߮-ga vektorite ܱ
ሬሬܺሬԦ ja ܱሬሬܮሬԦ (seega ka ݊ሬԦ଴) vahel. Siis 
݊ሬԦ0 · ݔሬԦ
cos ߮ ൌ
ൌ ଵ cos ߙ ൅ ݔଶ cos ߚ ൅ ݔଷ cos ߛ
ቛ݊ሬԦ0ቛ ԡݔሬԦԡ
ԡݔሬԦԡ
ൌ ԡݔሬԦԡ. 
Nüüd kuna ฮܱ
ሬሬܮሬԦฮ ൌ ԡݔԦԡ cos ߮, siis 
ԡݔሬԦԡ݌
ฮܱሬሬܮ
ሬԦฮ ൌ ԡݔሬԦԡcos߮ ൌ ԡݔሬԦԡ ൌ ݌. 
Kuna vektor ܱ
ሬሬܮሬԦ on vektori ܱሬሬܺሬԦ proektsioon vektori ݊ሬԦ଴ suunale, siis me saame, et vektori 
ܱሬሬܺ
ሬԦ proektsioon vektori ݊ሬԦ଴ suunale võrdub p.  
 
 
29. Punkti kauguse arvutamine tasandist. 
 
Definitsioon. Punkti kauguseks tasandini nimetatakse sellest punktist tasandini tõmmatud 
ristlõigu pikkust. 
 
Vaatleme punkti X ሺݔ
0
଴, ݕ଴, ݖ଴ሻ ja leiame tema kaugust ݀ tasandini 
ߨ:  ݔ cos ߙ ൅ ݕ cos ߚ ൅ ݖ cos ߛ ൌ ݌ 
 
ܭ 
 
଴ 
 
݀ 
 
 
 
ܮ 
ݔԦ଴ 
 
· 
· 
 
 
 
݊ሬԦ଴ 
 
ܱ 
 
Tõmbame  punktist  X0  ristlõigu  tasandini  ߨ,  selle  ristlõigu  pikkus  ongi  kaugus  ݀.  Olgu 
ݔԦ଴=ሺݔ
ሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ
଴, ݕ଴, ݖ଴ሻ puntki X
ൌ ݔԦ
0    kohavektor  ning  olgu  vektor  ܱܭ vektori ܱܺ଴
଴  proektsioon 
vektori ݊ሬԦ଴ suunale (valime vektori ݊ሬԦ଴ suunda selliselt, et nurk vektorite ݔԦ଴ ja ݊ሬԦ଴ vahel oleks 
terav ). Tema pikkus on  
ݔԦ
ฮܱሬሬܭ
ሬሬԦฮ ൌ ԡݔԦ
଴ · ݊ሬԦ଴
଴ԡ cos ݔԦ଴, ݊ሬԦ଴
෣ ൌԡݔԦ଴ԡԡݔԦ଴ԡԡ݊ሬԦ଴ԡ ൌ ݔԦ଴ ·݊ሬԦ଴ ൌ ݔ଴cosߙ ൅ݕ଴cosߚ൅ݖ଴cosߛ 
Nüüd olgu L lõigu ܱܭ ja tasandi lõikepunkt. Siis  
݀ ൌ ฮܱሬሬܭ
ሬሬԦฮ െ ฮܱሬሬܮሬԦฮ ൌ ݔ଴ cosߙ ൅ ݕ଴ cosߚ ൅ ݖ଴ cosߛ െ ݌
ൌ |ݔ଴ cosߙ ൅ ݕ଴ cosߚ ൅ ݖ଴ cosߛ െ ݌| 
Nüüd asendame cos ߙ , cos ߚ , cos ߛ ja ݌ väärtuste suuruste A,B,C,D kaudu saame, et punkti 
X ሺݔ
0
଴, ݕ଴, ݖ଴ሻ kaugus tasandist  
ܣݔ ൅ ܤݕ ൅ ܥݖ ൅ ܦ ൌ 0 
võrdub 
 
݀ ൌ |ܣݔ଴ ൅ ܤݕ଴ ൅ ܥݖ଴ ൅ ܦ|
(1) 
 
ඥܣ2 ൅ ܤ2 ൅ ܥ2
 
Näide 1. Koostada võrrandi tasanditele, mis asuvad tasandist 
2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 3 ൌ 0 
kaugusel ݀ ൌ 5. 
Lahendus:  Iga  punkt  otsitavatest  tasandites  asub  antud  tasandist  kaugusel  5.  Valemi  (1) 
kohaselt iga punkti (x,y,z) jaoks  
|2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 3|
5 ൌ |2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 3| ൌ
ට
3
, 
22 ൅ ሺെ2ሻ2 ൅ 12
seega 
|2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 3| ൌ 15. 
Kõrvaldadess absoluutväärtust, saame kaks võrrandit: 
2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 3 ൌ 15     ja    2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 3 ൌ െ15, 
mis vastavalt annavad otsitava tasandite võrranditeks 
2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ െ 18 ൌ 0     ja    2ݔ െ 2ݕ ൅ ݖ ൅ 12 ൌ 0. 
 
 
Uurime nüüd, kuidas saab leida sirgete ja tasandite vahelised kaugused:  
 
 
Kaks tasandit: 
Kaks  tasandit  on  kas  lõikuvad  (erijuhul  langevad  kokku)  ja  siis  nende  vaheline  kaugus  on 
null või on paralleelsed. Paralleelsete tasandite vahelise kauguse võrdub ühel tasandil asuva 
punkti kaugusega teisest tasandist. 
 
Näide 2: Leida tasandite 3x - 6y- 2z + 1 = 0 ja 6x - 12y - 4z + 3 = 0 vaheline kaugus. 
 
Lahendus. Uurime, kas tasandid on parallelsed või lõikuvad. Kui tasandid on parallesed, siis 
nende normaalvektorid peavad olema parallelsed. Esimese tasandi normaalvektor on (3,-6,-
2) ja teise tasandi normaalvektor on (6,-12,-4). Vektorid on parallelsed, kuna 
2ሺ3, െ6, െ2ሻ ൌ ሺ6, െ12, െ4ሻ.  
 
Võtame mingi punkti  esimesest  tasandist, nt. kui x=y=0, siis  
3 · 0 െ 6 · 0 െ 2ݖ ൅ 1 ൌ 0, 
kust ݖ ൌ 1/2. Nüüd leiame saadud punkti (0;0;1/2) ja teise tasandi vahelise kauguse: 
1
݀ ൌ |6 · 0  െ  12 · 0  െ  4 · 1/2  ൅  3 | ൌ
ට
14. 
62 ൅ ሺെ12ሻ2 ൅ ሺെ4ሻ2
 
Sirge ja tasand 
Sirge ja tasand on kas lõikuvad (erijuhuna sirge asub tasandil) ja siis nende vaheline kaugus 
on null või on paralleelsed. Sirge on paralleelne tasandiga ainult siis kui tema sihivektor on 
risti tasandi normaalvektoriga. Kui nad on parallelsed, siis sirge iga punkti kaugus tasandist 
võrdub sirge kaugusega tasandist. 
 
Näide 3: Leida sirge 
 
kaugust tasandist -3x + y + 5z + 6 = 0.  
 
Lahendus: Kuna sirge sihivektor  ݏԦ=  (2; 1; 1) on tasandi  normaalvektoriga ݊ሬԦ=(-3;1;5)   risti: 
ݏԦ · ݊ሬԦ ൌ 2 · ሺെ3ሻ ൅ 1 · 1 ൅ 1 · 5 ൌ 0, 
 
siis antud sirge on tasandiga parallelne. Sirge kauguse d tasandist leidmiseks võtame sirgel 
suvalise punkti, näiteks, A(3;1; 1) ja leiame selle punkti kaugus tasandist:  
3
݀ ൌ |െ3 · 3  ൅  1  ൅  5 · 1  ൅  6 | ൌ
ටሺെ3ሻ2 ൅ 12 ൅ 52
√35 
 
Kaks sirget 
Kaks sirget ruumis on 1) lõikuvad (erijuhul langevad kokku) ja siis sirgete vaheline kaugus 
on null; 2) on paralleelsed (kui sirgete sihivektorid on paralleelsed) või 3)  kiivsed . 
Kui sirged on parallelsed, siis ühe sirge iga punkti kaugus teisest sirgest võrdub sirgete 
vahelise kaugusega. 
Kui sirged on kiivsed, siis eelkõige on vaja leida kaks parallelset tasandit nii et kumbki sirge 
asub ühel tasandil. Tasandite normaalvektor on leitav kui sirgete sihivektorite vektorkorrutis. 
Sirgete vaheline kaugus võrdub siis tasandite vahelise kaugusega. 
 
Näide 4: Leida sirgete 
 
 vaheline kaugus. 
 
Lahendus. Need sirged ei ole paralleelsed, kuna nende sihivektorid (1;-2;1) ja (2,1,1) ei ole 
parallelsed; kontrollime, kas need sirged lõikuvad või on kiivsed. Kui sirged lõikuvad, leidub 
nendel ühine punkt, üritame seda leida järgmise süsteemi abil:  
 
See süsteem ei ole lahenduv ja seega need sirged ei lõiku, järelikult, nad on kiivsed. Kiivsete 
sirgete  vahelise  kauguse  leidmiseks   paneme   läbi  esimese  sirge  tasandi,  mis  oleks  teise 
sirgega paralleelne. Selleks võtame esimese sirge võrrandist punkti A(1; 3;-1) ja sihivektori 
ݏሬଵሬԦ=  (1;-2;  1)  ja  teise  sirge  võrrandist  võtame  sihivektori  ݏሬଶሬԦ=    (2;  1;  1):  Nüüd  koostame 
võrrand tasandile, mis läbib punkti A ja on vektoritega i ݏሬଵ
ሬԦ ja i ݏሬଶሬԦ paralleelne 
 
ehk  
-3x + y + 5z + 6 = 0. 
Nüüd on vaja leida teise sirge, st 
 
ଷ
kaugust tasandist -3x + y + 5z + 6 = 0. See on aga oli tehtud Näites 3: d=
. 
√35
 
30. Nurgad sirgete ja tasandite vahel. 
 
Nurgad kahe sirge vahel. 
Olgu antud kaks sirget s1 ja s2, kusjuures pole oluline kas nad on tasandil või ruumis. 
Juuresoleval joonisel on sirged s1 ja s2 ruumi  kiivsirged . 
 
ߙଶ 
ߙଵ 
ߙସ 
ߙଷ 
 
Fikseerime mingi punkti A ja  joonistame  läbi tema kaks sirget ݏᇱ
ᇱ
ଵ ja ݏଶ,  mis on vastavalt 
paralleelsed sirgetega s
ᇱ
ᇱ
1 ja s2. Sirged ݏଵ ja ݏଶ tekitavad neli nurka. Tähistame neid α1, α2, α3 
ja α4 abil. Seejuures α3 = α1, α4 = α2 ja α1+α2= π tõttu on olulisi ainult üks. 
Definitsioon. Sirgete s1 ja s2 vaheliseks nurgaks, mida tähistame סሺݏଵ, ݏଶሻ abil, nimetatakse 
sirgete ݏᇱ
ᇱ
ଵ ja ݏଶvahelistest nurkadest α1, α2, α3 ja α4 vähimat. 
 
Selle definitsiooni kohaselt kahe sirge vaheline nurk on esimese veerandi nurk, s.o. 
 
Leiame nüüd valemid kahe sirge vahelise nurga arvutamiseks. Skalaarkorrutise abil lihtne 
on  leida  sirgete  sihivektorite  vahelise  nurga  koosinust.  Viimane  annab  kas  sirgete 
vahelise nurga סሺݏଵ, ݏଶሻ või nurga π − סሺݏଵ, ݏଶሻ koosinuse. Viimase kaudu saab siiski leida 
ka sirgete vahelise nurga.  
Tähistame sirgete s
ሬሬԦ ሬሬԦ
1 ja s2 sihivektoreid vastavalt ݏଵ ja ݏଶ abil. Samad sihivektorid on ka 
abisirgetel ݏᇱ
ᇱ
ଵ ja ݏଶ.  Siis 
סሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ,                   kui  סሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ א ቂ0,
סሺݏ
2ቃ ,
ଵ, ݏଶሻ ൌ ൞
 
π  െ  סሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ,
kui  סሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ א ቀ2,πቃ.
Kui סሺݏሬሬԦ, ݏሬሬԦሻ א ቀ஠ , πቃ
 
ଵ ଶ
, siis  
ଶ
cos סሺݏଵ, ݏଶሻ ൌ cosሾπ  െ  סሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻሿ ൌ െcosסሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ ൌ |cosסሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ|. 
Kui סሺݏሬሬԦ, ݏሬሬԦሻ א ቂ0, ஠ቃ
 
ଵ ଶ
ଶ , siis 
cos סሺݏଵ, ݏଶሻ ൌ cosסሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ ൌ |cosסሺݏሬଵሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ|. 
Seega igal juhul 
 
|ݏሬሬԦ · ݏሬሬԦ|
cos סሺݏ
ଵ
ଶ
ଵ, ݏଶሻ ൌ |cosסሺݏሬଵ
ሬԦ, ݏሬଶሬԦሻ| ൌ ԡݏሬଵሬԦԡԡݏሬଶሬԦԡ 
(1) 
 
Viimast  valemit  saab  kasutada  juhul,  kui  sirged  on  antud  kas  parameetriliste  või 
kanooniliste  võrrandite  abil,  sest  siis  on  käepärast  võtta  sirgete  sihivektorid.  Siin  pole 
oluline, kas sirged on tasandil või ruumis. 
Eeldame, et sirged on antud üldvõrranditega (siis nad on tasandilised sirged) 
ݏଵ:  ܽଵݔ ൅ ܾଵݕ ൅ ܿଵ ൌ 0   ja    ݏଶ:  ܽଶݔ ൅ ܾଶݕ ൅ ܿଶ ൌ 0. 
Nende sihivektorid on siis 
ݏሬ
ଵ ଵ
ଶ ଶ
ଵ
ሬԦ ൌ ሺݏଵ, ݏଶሻ ൌ ሺെܾଵ, ܽଵሻ,         ݏሬଶሬԦ ൌ ሺݏଵ, ݏଶሻ ൌ ሺെܾଶ, ܽଶሻ. 
mistõttu valemist (1) saame 
|ݏሬሬԦ · ݏሬሬԦ|
|ݏଵݏଶ ൅ ݏଵݏଶ|
cos סሺݏ
ଵ
ଶ
ଵ ଵ
ଶ ଶ
ଵ, ݏଶሻ ൌ ԡݏሬ
ଵ
ଵ
ଶ
ଶ
ଵ
ሬԦԡԡݏሬଶሬԦԡ ൌ ԡሺݏଵሻଶ ൅ ሺݏଶሻଶԡԡሺݏଵሻଶ ൅ ሺݏଶሻଶԡ
|ܾ
|݊ሬሬԦ · ݊ሬሬԦ|
ൌ
ଵܾଶ ൅ ܽଵܽଶ|
ଵ
ଶ
ԡሺܾଵሻଶ ൅ ሺܽଵሻଶԡԡሺܾଶሻଶ ൅ ሺܽଶሻଶԡ ൌ ԡ݊ሬଵሬԦԡԡ݊ሬଶሬԦԡ 
ehk 
 
|݊ሬሬԦ · ݊ሬሬԦ|
cos סሺݏ
ଵ
ଶ
ଵ, ݏଶሻ ൌ ԡ݊ሬଵሬԦԡԡ݊ሬଶሬԦԡ, 
(2) 
kus vektorid 
݊ሬଵሬԦ ൌ ሺܽଵ, ܾଵሻ,       ݊ሬଶሬԦ ൌ ሺܽଶ, ܾଶሻ. 
on sirgete s1 ja s2 normaalvektorid. 
Nüüd eeldame, et sirged on antud taandatud võrrandite abil 
ݏଵ:  ݕ ൌ ܽݔ ൅ ܾ     ja    ݏଶ:  ݕ ൌ ܽതݔ ൅ ܾത . 
Siit saame leida nende sirgete üldvõrrandid 
ݏଵ:  ܽݔ ൅ ሺെ1ሻݕ ൅ ܾ ൌ 0     ja    ݏଶ:  ܽതݔ ൅ ሺെ1ሻݕ ൅ ܾത ൌ 0 . 
ja  nendest  meie sirgete normaalvektorid 
 
Valemi (2) abil saame 
 
(3) 
 
 
Tavaliselt antakse siin nurga סሺݏଵ, ݏଶሻ  tangens . Selleks on vaja leida sin סሺݏଵ, ݏଶሻ. 
Tegelikult me leiame koosinuse ja siinuse  ruudud  ning nende abil tangensi ruudu, millest 
saame lõpuks tangensi. Teeme lubatud arvutused: 
 
 
ja 
 
 
Vastavalt definitsioonile nurk סሺݏଵ, ݏଶሻ on esimese veerandi nurk, siis viimases valemis 
sobib ainult üks lahend, selline, kus tangens on positiivne. Seega sirgete vahelise nurga 
arvutamiseks saame valemi 
 
 
Valemist (3) saame, et 
 
Saime, et ristuvate sirgete tõusude korrutis on −1. 
 
 
Nurgad kahe tasandi vahel. 
Vaatleme kaks lõikuvat tasandit. Võtame tasandite π1 ja π2 lõikesirgel s = π1 ∩ π2 mistahes 
punkti A א s ning joonistame läbi tema kaks sirget, millest üks s1 on tasandil π1 ja teine s2 
tasandil π2 ning lisaks mõlemad olgu risti lõikesirgega s. 
 
 
 
Definitsioon. Tasandite π1 ja π2 vaheliseks nurgaks ס (π1, π2) nimetame sirgete s1 ja s2 
vahelist nurka: 
 
Paraku on selle definitsiooni abil tasandite vahelist nurka üsna raske leida, sest meil pole 
sirgete s1 ja s2 sihivektoreid, et kasutada valemit (1). 
Olukorra parandamiseks pöörame sirgepaari s1 ja s2 ümber nende lõikepunkti A nurga π/2  
võrra,   saades   uued  sirged  ݏᇱ
ᇱ
ଵ  ja  ݏଶ  Meie  jaoks  on  siin  olulised  kaks  asjaolu:    esiteks 
סሺݏ
ᇱ
ᇱ
ଵ, ݏଶሻ ൌ סሺݏଵ , ݏଶሻ, mistõttu 
 
Teiseks  on  sirged  ݏᇱ
ᇱ
ଵ  ja  ݏଶ    vastavalt  risti  tasanditega  π1  ja  π2,  mistõttu  nende  tasandite 
normaalvektorid ݊
ሬ
ᇱ
ᇱ
ଵ
ሬԦ ja ݊ሬଶሬԦon sirgete ݏଵ ja ݏଶsihivektoriteks. 
Normaalvektorid saame aga tasandite π1 ja π2 üldvõrranditest: 
 
 
Nendeks on 
 
Nüüd valemi (2) abil saame 
 
(4) 
 
 
Sama valem normaalvektorite koordinaatide kaudu 
 
Märgime, et saadud valem on kasutatav ka paralleelsete tasandite korral. Kui tasandid on 
paralleelsed,  siis  nende  vaheline  nurk  on  0,  mille   koosinus   on  1.  Teiselt  poolt  nende 
normaalvektorid on ka paralleelsed, seega ݊
ሬ ଶሬԦ ൌ ߣ݊ሬଵሬԦ mingi arvu ߣ jaoks. Nüüd valemi (4) 
järgi 
|݊ሬሬԦ · ݊ሬሬԦ|
|݊ሬሬԦ · ߣ݊ሬሬԦ|
|ߣ||݊ሬሬԦ · ݊ሬሬԦ|
cos סሺߨ
ଵ
ଶ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ, ߨଶሻ ൌ ԡ݊ሬଵሬԦԡԡ݊ሬଶሬԦԡ ൌ ԡ݊ሬଵሬԦԡԡߣ݊ሬଵሬԦԡ ൌ ඥ|݊ሬଵሬԦ · ݊ሬଵሬԦ|ඥ|ߣ݊ሬଵሬԦ · ߣ݊ሬଵሬԦ|
|ߣ||݊ሬሬԦ · ݊ሬሬԦ|
ൌ
ଵ
ଵ
ൌ 1. 
ඥ|݊ሬଵሬԦ · ݊ሬଵሬԦ||ߣ|ඥ|݊ሬଵሬԦ · ݊ሬଵሬԦ|
 
 
Nurg sirge ja tasandi vahel. 
Leiame lõikuvate sirge s ja tasandi π vahelise nurga ס (s, π). Lõikepunkti on tähistatud 
tähega A. Nüüd projekteerime sirge s tasandile π – saadud sirge olgu s’. 
 
 
Definitsioon. Sirge s ja tasandi π vaheliseks nurgaks nimetatakse sirgete s ja s′vahelist 
nurka, s.o. 
 
 
(5) 
 
 
 
 
Selle  definitsiooni  puuduseks  on  asjaolu,  et  raske  on  leida  sirge  ݏԢ  sihivektorit, et saaks 
kasutada kahe sirge vahelise nurga leidmise valemit, mis on meil leitud. Sellest puudusest 
üle  saamiseks  võtame  läbi  punkti  A  tasandiga  π  ristuva  sirge  ݏ’ . Tema sihivektoriks on 
tasandi π normaalvektor ݊ሬԦ. Oluline on märgata, et kolm sirget s, s′ja ݏ’  asuvad 
ühisel tasandil, mistõttu 
 
Seega valem (5) saab kuju  
 
 
Kerge on leida nurga ס (s, π) siinust. Saame 
|ݏሬԦ · ݊ሬԦ|
sin סሺݏ, ߨሻ ൌ sinሺ2 െ סሺݏ,ݏᇱᇱሻሻ ൌ cosסሺݏ,ݏᇱᇱሻ ൌ ԡݏሬԦԡԡ݊ሬԦԡ 
Saime 
 
|ݏሬԦ · ݊ሬԦ|
sin סሺݏ, ߨሻ ൌ
(6) 
ԡݏሬԦԡԡ݊ሬԦԡ. 
 
Viimane valem on rakendatav ka siis, kui sirge on paralleelne tasandiga või asub hoopis 
temal. Ilmselt siis ס(s, π) = 0. Sama tulemuse saame valemi (6) abil, sest siis 
ݏԦ ٣ ݊ሬԦ   ฻ ݏԦ · ݊ሬԦ ൌ 0  ฺ sin סሺݏ, ߨሻ ൌ 0  ฺ סሺݏ, ߨሻ ൌ 0. 
 
 
31.  Ringjoon  ja  ellips  
 
Definitsioon.  Ringjooneks  nimetatkse  kõigi  selliste  punktide  P(x;  y)  hulka,  mis  asuvad 
kindlal kaugusel r fikseeritud punktist K(x0; y0). 
 
P(x; y) asub ringjoonel parajasti siis, kui d(K; P) = r (kaugus K ja P vahel on r).  
 
Kauguse definitsioonist  ඥሺݔ െ ݔ଴ሻଶ ൅ ሺݕ െ ݕ଴ሻଶ ൌ ݎ saame ringjoone võrrandi 
 
Punkti K(x0; y0) nimetatakse ringi keskpunktiks ja kaugust r nimetatakse ringi  raadiuseks . 
 
Näide: Leida järgmise ringjoone raadius ja  keskpunkti  koordinaadid: 
 
Lahendus: Eraldame täisruud x-i järgi: ሺݔଶ ൅ 2ܽݔ ൌ ݔଶ ൅ 2ܽݔ ൅ ܽଶ െ ܽଶ ൌ ሺݔ ൅ ܽሻଶ െ ܽଶሻ 
ݔଶ െ 4ݔ ൅ 4 െ 4 ൅ ݕଶ ൅ 2ݕ ൅ 1 ൌ 0, 
ሺݔ െ 2ሻଶ ൅ ሺݕ ൅ 1ሻଶ ൌ 4, 
ሺݔ െ 2ሻଶ ൅ ሺݕ ൅ 1ሻଶ ൌ 2ଶ. 
Seega ringjoone raadius ݎ ൌ 2 ning keskpunkt on (2,-1). 
 
 
Definitsioon.  Joont  tasandil,  mille  iga  punkti  kauguste  summa  kahest  fikseeritud  punktist 
ܨଵ ja ܨଶ on konstantne nimetatakse ellipsiks. Punkte ܨଵ ja ܨଶ nimetakse ellipsi fookusteks. 
 
Olgu X(x;y) punkt ellipisil, ning punkti kauguste summa punktist ܨଵ ja ܨଶ olgu 2a, siis ellipsi 
võrrand on  
 
(1) 
 
 
Kõige lihtsamal kujul ellipsi võrrandi saame, kui valime ellipsi fookusteks punktid ܨଵ(-c; 0) 
ja ܨଶ(c; 0).  
ܺ 
 
· ܾ
 
 
 
 
ଵ 
ܨଶ 
 
· 
· 
 
െܽ 
െܿଵ
ܿ 
ܽ 
 
െܾ 
 
 
Jooniselt näeme, 2ܿ ൏ 2ܽ e. ܿ ൏ ܽ. Võrrandist  saame kauguse definitsiooni kasutades 
võrrandi 
 
ehk 
 
Tõstes mõlemad pooled  ruutu , saame 
 
millest koondades jääb järele 
 
 
Jagame võrrandit neljaga ja tõstame jällegi mõlemad pooled ruutu. Saame 
 
 
millest peale koondamist saame 
 
Kuna a > c, siis a2–c2 > 0. Seetõttu võime tähistada a2–c2 = b2. Peale sellist asendamist 
saame võrrandi 
 
millest a2b2-ga jagades saame ellipsi kanoonilise võrrandi. 
 
 
Omadus 1. Ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes. 
Omadus 2. Ellipsi lõikepunktid x- teljega  on  (−a; 0)  ja  (a; 0)  ning y-teljega  (0; − b)  ja  (0; b) . 
Punkte  (±a; 0)  ja  (0; ± b)  nimetatakse ellipsi tippudeks. 
Tippe   (−a; 0)   ja  (a; 0)   ühendavat  lõiku  ning  tippe  (0; − b)   ja  (0; b)   ühendavat  lõiku 
nimetatakse  ellipsi   telgedeks .  Arvud  a  ja  b  on  ellipsi  pooltelgede  pikkused.  Ellipsi   telgede  
lõikepunkti  (0; 0)  nimetatakse ellipsi keskpunktiks. 
Ellipsi kui joone kuju sõltub ainult arvude a ja c valikust. 
 
Definitsioon. Arvu e := c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. 
 
Kuna a > c > 0, siis näeme, et mistahes ellipsi ekstsentrilisus kuulub vahemikku (0, 1). 
Leiame ekstsentrilisus ellipsi pooltelgede a ja b kaudu:  
 
 
Kui e=0, siis  
ܾ ଶ
1 െ ൬ܽ൰ ൌ 0    ฻    ܽ ൌ ܾ, 
ehk tegemist on ringjoonega. Mida väiksem e, seda rohkem ellips on lähedane ringjoonele. 
 
Omadus 3 (ellipsi optiline omadus): Vaatleme  suvalist  punkti P ellipsil. Konstrueerime selles 
punktis  ellipsi   puutuja .  Lisaks  tõmbame  sirglõigud  punktist  P  mõlemasse  fookusesse  F1  ja 
F2. Lõik PF1 moodustab puutujaga nurga ߙ ja lõik PF2 moodustab puutujaga nurga ߚ. Kehtib 
omadus ߙ = ߚ. 
 
ܲ 
 
· 
 
ߚ 
 
 
ܨଵ 
ܨଶ 
 
· 
· 
 
 
 
 
Omadust  3  nimetatakse  ellipsi  optiliseks  omaduseks.  Selline  nimetus  tuleneb  omaduse 
optilisest tõlgendusest: paigutades valgusallika ühte fookusesse, peegelduvad sealt lähtuvad 
valguskiired ellipse ja koonduvad edasi teises  fookuses . 
 
Ellipsi saab defineerida ka ellipsi juhtjoonte kaudu. Sirgeid võrranditega 
ݑ:  ݔ ൌ ௔మ௖   ja   ݒ:  ݔ ൌ െ௔మ௖ 
nimetatakse ellipsi juhtjoonteks. Kuna  
ܽଶ
ܿ ܽ
ܿ ൌ ܽ: ܽ ൌ ݁ ൐ ܽ, 
 
siis asuvad ellipsi juhtjooned väljaspool ellipsit. 
 
Omadus 4.  Ellips koosneb parajasti  sellistest  punktidest P, mille korral punkti kaugus 
fookuseni jagatud punkti kaugus juhtjooneni võrdub ellipsi ekstsentrilisus: 
ௗሺ௉,ிమሻ ൌ ݁ ௗሺ௉,ிభሻ ൌ ݁
ௗሺ௉,௨ሻ
  ja   ௗሺ௉,௩ሻ
 
 
݀ሺܲ, ܨଵሻ 
݀ሺܲ, ܨଶሻ  ݑ 
ݒ 
 
32. Hüperbool 
 
Definitsioon.  Hüperbooliks  nimetatakse  kõigi  selliste  punktide  X  hulka  tasandil,  mille 
kauguste vahe etteantud punktidest  F  ja  F  võrdub konstantselt arvuga 2a: 
1
2
 
Punkte  F  ja  F  nimetatakse selle hüperbooli fookusteks. 
1
2
 
 
 
 
 
Olgu X(x;y) punkt hüperboolil. Valime fookuste koordinaatideks F1(–c; 0) ja F2(c; 0). 
Eeldame, et antud punkti X jaoks 
 siis kolmnurka reegli kohaselt 
 ehk 
, 
kust järeldub c>a. 
Saame analoogiliselt ellipsiga  hüperbooli kanooniliseks võrrandiks 
 
(1) 
 
 
kus 
 
 
 
Hüperbool koosneb kahest harust. Kui võrrandist (1) avaldada  muutuja  x, siis saadakse 
 
2
y
a
2
2
x = ±a 1 +
= ±
b + y . 
(2) 
2
b
b
Võttes  avaldises  (2)  märgiks “+”,  saadakse  hüperbooli parempoolse haru  võrrand,  märgile 
“-“ vastab hüperbooli vasakpoolne haru.  
 
Omadus 1. Hüperbooli lõikepunktid x-teljega on  (−a; 0)  ja  (a; 0) , lõikepunktid y-teljega 
hüperboolil puuduvad. 
Punkte  (−a; 0)  ja  (a; 0)  nimetatakse hüperbooli tippudeks. 
Omadus 2. Hüperbool on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes. 
 
Hüperbooli kuju sõltub arvudest a ja c. Suhet  
c
e =
 
a
nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Kuna c>a, siis  e > 1 . 
Definitsioon. Kui joone punkti X(x,y) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest 
läheneb  nullile,  siis seda  sirget  nimetame  joone  asümptoodiks.  Asümptooti  võrrandiga  y  = 
ax + b, kus a 0, nimetatakse joone kaldasümptoodiks. 
 
Teoreem. Sirged 
b
b
y = −
x     ja    
y =
x . 
a
a
on hüperbooli kaldasümptoodid. 
 
Tõestus: Hüperboolil on neli lõpmatusse minevat ”otsa”. Näitame, et hüperbooli 
”parempoolse” haru ”ülemise otsa” asümptoodiks on sirge l2. Sellel osal 
 
Seega 
 
 
Leiame punkti (x,y) kaugus   väidetavast asümptootist   
 
Asümptooti üldvõrrand on  
 
seega punkti (x,y) kaugus   asümptootist võrdub 
 
Korrutame lugejat ja nimetajat teguriga 
 
Me saame 
 
Nüüd kui 
 siis 
 Seega sirge l2 on hüperbooli parempoolse haru ”ülemise otsa” 
asümptoodiks.  Kuna  sirged  l1  ja  l2  on  vastastikku  sümmeetrilised  ja  hüperbool  on 
sümmeetriline  teljede  x  ja  y  suhtes,  siis  sirged  l1  ja  l2  on  asümptootideks  ka  ülejäänud 
osadeks .   
 
Hüperbooli saab defineerida ka hüperbooli juhtjoonte kaudu. Sirgeid võrranditega 
   ja   
 
nimetatakse hüperbooli juhtjoonteks. Kuna  
 
siis asuvad hüperbooli juhtjooned tema vasakpoolse ja parempoolse haru vahel. 
 
 
Kanoonilise võrrandiga antud hüperbooli juhtjoonte sihivektoriks on (0;1). 
 
Omadus 4.  Hüperbool koosneb parajasti sellistest punktidest P, mille korral punkti kaugus 
fookuseni jagatud punkti kaugus lähima juhtjooneni võrdub hüperbooli ekstsentrilisus: 
  või  
 
Omadus  4  võimaldab  defineerida  hüperbooli  ka  teisiti,  kasutades  sirget  (juhtjoont), 
väljaspool sirget asuvat punkti (fookust) ja ühest suuremat  positiivset  arvu (ekstsentrilisust). 
Definitsioon.  Olgu  tasandil  antud  sirge  u,  punkt  F  väljaspool sirget  u  ja  positiivne  arv  e>1. 
Hüperbooliks nimetatakse selliste punktide P hulka  sellelt   tasandilt , mille korral  
   
 
Näide.  Olgu  hüperbooli  ekstsentrilisus 
  üheks   fookuseks  
  ja  sellele 
fookusele  lähim  juhtjoon  läbib  punkte   
  ja 
.  Leiame  selle  hüperbooli 
võrrandi.  
Lahendus. Hüperbooli juhtjoone  sihivektoriks on 
 seega kanooniline võrrand 
siin  ei  sobi.  Kasutame  hüperbooli  võrrandi  leidmiseks  eelmise  definitsiooni.  Juhtjoone   
kanooniline võrrand on  
 
kust 
 
Olgu 
 suvaline punkt hüperboolilt. Eelmise definitsiooni kohaselt  
 
 
ehk 
 
Viimane võrdus on samaväärne võrdusega 
 
kust 
 
 
Siit saamegi vaadeldava hüperbooli võrrandi 
 
 
Iga  hüperbooli  jaoks  saab  määrata  tema  kaashüperbool,  kus  sümmeetria  teljed  on  ära 
vahetatud  ja kaldasümptoodid on samad. Kaashüperbooli võrrand on  
 
Kaasahüperbooli  fookusteks  on  punktid  (0;c),  (0,-c),  kus 
.  Seega  mõlema 
hüperbooli fookused asuvad ringjoonel 
. 
   
 
33.  Parabool  
 
Definitsioon. Olgu tasandil fikseeritud sirge u ja väljaspool seda sirget punkt F. Parabooliks 
nimetatakse kõigi selliste punktide P hulka tasandil, mille kaugus sirgest u võrdub tema 
kaugusega punktist F: 
 
 
(1) 
 
 
Punkti F nimetatakse vaadeldava parabooli fookuseks, sirget u aga tema juhtjooneks. 
Seega parabooli korral  
 
 
Olgu p juhtjoone ja fookuse vaheline kaugus. Valime juhtjooneks u sirge võrrandiga x = -p/2 
2 ja fookuseks punkti F(p/2; 0).  
 
Kirjutame ümber juhtjoone võrrandi sirge üldvõrrandina:  
 
Kui vaadeldava parabooli suvaline punkt on  P ( x; y) , siis arvutades nõutavad kaugused 
võrduses (1), saadakse 
p
x +
2
2

p 
2
 x −
 + y ,  
2
2

2
1
0

2
p

p 
2
                                                        x +
 x −
 + y .
2

2 
 
 
 
 
(2) 
 
Võrrand (2) ongi antud parabooli võrrand. Tõstes võrduse (2) mõlemad pooled ruutu, 
saadakse temaga samaväärne võrrand 
2
2
p
p
2
2
2
x + px +
= x − px +
+ y  
4
4
ehk 
2
                                                              
y = 2 px
. 
 
 
 
(3) 
Võrrandi (3) nimetatakse parabooli kanooniliseks võrrandiks. 
Omadus 1.  Parabool on sümmeetriline x-telje suhtes. 
 
Omadus 2.  Parabooli puutuja võrrand punktis P(x0; y0) on 
 
 
Tõestus: Kuna punkt P(x0; y0) asub paraboolil, siis 
. Leiame y tuletise punktis P. 
Tuletise saame: 
 
Tuletuse  väärtuseks punktis P on 
. See on võrdne puutuja tõusuga, seega puutujaks 
on 
 
 
asendades 
, saame 
 ehk parabooli puutuja võrrand punktis  
P(x0; y0) on: 
 
Omadus 3.  Parabooli mis tahes punkti P(
 korral lõigu PF ja punktis P võetud puutuja 
v vaheline nurk võrdub selle puutuja ja punktist P lähtuva ning x-teljega paralleelse kiire w 
vahelise nurgaga.  
 
 
 
 
 
Tõestus: Olgu valitud punkt P(x0; y0) paraboolil. Kuna punkt P(x0; y0) asub paraboolil, siis 
. Selles punktis on puutujaks   
 
 Seega puutuja normaaliks (so puutujaga risti olevaks vektoriks) on  
 = 
, 
x-telje sihilise kiire suunavektoriks on  
 = (1; 0), 
vektori 
koordinaadid on 
. Näitame, et nurk vektorite   ja   vahel 
võrdub nurgaga 
 ja  vahel. Selleks  piisab , kui näidata, et 
  )=
  ). 
 
Leiame 
 
 
 
millest saamegi vajaliku võrduse. 
 
Omadust 3 nimetatakse parabooli optiliseks omaduseks, sest sellest järeldub, et kõik x-teljega 
paralleelsed kiired peegelduvad parabooli pinnalt nii, et kõik kiired läbivad oma edasisel 
teekonnal parabooli fookust. 
 
Võrrand 
  esitab  parabooli,  mille  teljeks  on  x-telg  ja  haripunktiks 
koordinaatide alguspunkt, kuid mis  avaneb  x-telje negatiivses suunas. Võrrandite 
 
ja 
 puhul on tegemist parabooliga, mille teljeks on y-telg ja haripunktiks 
koordinaatide  alguspunkt  ning  mis  esimesel  juhul  avaneb  y-telje  positiivses  suunas,  teisel 
juhul y-telje negatiivses suunas.   
 
Näide. Koostada parabooli 
 juhtjoone võrrand. 
Lahendus. Teisendame antud võrrandi kujule 
 
tähistame x’=x-3, y’=y+5, saame uutes koordinaatides võrrandi kuju 
 
Seega tegemist on parabooliga, mille haripunkt on (3;-5),  mille teljeks on y-tejega 
paralleelne sirge y=-5 ning mis avaneb y-telje negatiivses suunas, seejuures 
, 
seega 
. Selle parabooli juhtjooneks on järelikult x-teljega paralleelne sirge, mille 
punktide ordinaadid (y-koordinaadid) on 
 võrra suuremad  haripunkti  ordinaadist -5. 
Juhtjoone võrrand on seega