. (1.1) . .. .. .. .. .. . . . . am1 am2 am3 ··· amn Sellisel juhul öeldakse, et maatriks on (m × n)-järku. Siinjuures ar- ve aij nimetatakse maatriksi elementideks, i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Maatriksi elemendi aij indeks i näitab rida ja indeks j näitab veergu, mil- les element asetseb. Tavaliselt tähistame maatriksit ennast suure tähtega (näiteks A) ning maatriksi elemente tähistame indeksiga varustatud väikse tähega (näiteks aij ). Lühidalt esitatakse sama maatriksit ka kujul A = (aij ). Definitsioon 1
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks.
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks.
maatriksit diagonaalmaatriksiks. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel
võrdsed, siis nim seda skalaarmaatriksiks.
· Kui skalaarmaatriksi kõik peadiagonaali elemendid =1, siis nim seda ühikmaatriksiks.
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks 2. Maatriksid: liitmine, arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine. Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Kuigi maatriks on iseenesest lihtsalt tabel, pakuvad maatriksid huvi eelkõige sellepärast, et maatriksi elementidega tehtavate tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) abil on võimalik defineerida tehted maatriksitega. Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks
Vektorruum Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks üle reaalarvude hulga R, kui sellel hulgal on defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja korrutamine skalaaridega nii, et on täidetud järgmised tingimused: hulk V on kinnine elementide liitmise suhtes ja hulk V on kinnine skalaariga korrutamise suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R Lineaarkate
Eksami mõisted (35 punkti), igale küsimusele võivad lisanduda näited. I osa Algebra ja geomeetria (8 punkti) 1. Vektorruumi mõiste, omadused. 2. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused. Vektorkorrutise arvutamine koordinaatkujul. Rööpküliku ja kolmnurga pindala arvutamine. 10. . Segakorrutise mõiste. Segakorrutise omadused. Segakorruti
.. + ancn = b Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1; ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = || aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriks (süsteemi laiendatud maatriks) 10. Gaussi meetod. Teisendatakse süsteem Ax = b uuele kujule, millel on samad lahendid ning mille lahendeid on lihtne välja lugeda. Kasutatavad teisendused: 1. süsteemi mis tahes võrrandit võib korrutada nullist erineva skalaariga 2
Kõik kommentaarid