e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en , kus x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) . Lõplikumõõtmeline – vektorruum, milles leidub lõplikust arvust vektoritest koosnev baas B . Lõpmatumõõtmeline – kui eelnevalt mainitud baasi ei leidu. TEOREEM: Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv ei sõltu baasi valikust. DEF2: Vektorruumi V baasivektorite arv on vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Lin.kombo ⃗x =x 1 ⃗ e 1 + x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en kordajad x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) on vektori ⃗x koordinaadid antud baasi suhtes. LAUSE: Vektorruumi
elemendiga korrutamise assotsiatiivsus) 7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗
z2 r2 3) Kompleksarvude juurimine. astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos +isin ), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] juurimine Igal k-arvul z=r(cos +isin ) 0 on parajasti n juurt + 2 k +2 k cos + isin n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus.
n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1 ; a 2;... a n ) , võetuna kindlas järjekorras. Aritmeetiliste vektorite = (a1 ; a 2;... a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ....an bn . i =1 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud lineaarsete tehete 8 omadust
+ anbn . i =1 Teoreem 2. Skalaarkorrutis n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis V = n rahuldab omadusi 1° 0 iga V korral; = 0 parajasti siis, kui = (vt. selgitust peale teoreemi); 2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 4° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 5° a ( ) = ( a ) = ( a ) iga a ja , V korral. 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Def. 1. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud II ptk
Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed
LINEAARKOMBINATSIOON V on vektorruum üle reaalarvude hulga R . Valides k vektorit ja k reaalarvu a1 , ⃗ ⃗ ak ∈ V a2 , … ,⃗ ning λ 1 , λ2 , … , λ k ∈ R . Kasutades vektorruumi lineaartehteid, saab moodustada uue vektori: λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ ak ∈V , mida nimetatakse vektorite a2 , … , λk ⃗ a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗
suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R Lineaarkate Vektorruumi V elementide a1, a2, ..., an lineaarkatteks nimetatakse hulka L(a1, a2, ..., an)={k1a1+k2a2+...+knan, k1, k2, ..., kn R} Lineaarne sõltumatus Vektorsüsteemi a1, ..., an nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mistahes k 1, ..., kn R korral võrdusest k1a1+k2a2+..
Eksami mõisted (35 punkti), igale küsimusele võivad lisanduda näited. I osa Algebra ja geomeetria (8 punkti) 1. Vektorruumi mõiste, omadused. 2. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline näide. 3. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. 4. Moodustajate süsteem. 5. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid baasi suhtes. 6. Vektorid. Geomeetrilise vektori mõiste. Lineaartehted, tehete omadused. Vektori projektsioon sirgele, teljele. Vektori pikkus. Vektori ja punkti koordinaadid 3- mõõtmelises ruumis. 7. Skalaarkorrutise mõiste. Skalaarkorrutise omadused. Skalaarkorrutise arvutamine koordinaatkujul. 8. Vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tingimused. Kahe vektori vahelise nurga leidmine. 9. Vektorkorrutise mõiste. Vektorkorrutise omadused.
t. iga x, y V korral x + y = y + x. 5. Iga x V korral 1x = x. 6. Iga , R ja iga x V korral ()x = (x). 7. Iga R ja iga x, y V korral (x + y) = x + y. 8. Iga , R ja iga x V korral ( + )x = x + x Nullelement Kehtivad seosed x+0=x ja 0+x=x Vektorite vahe Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi summat: x-y = x+(-y) Vastandelement Kehtivad seosed x + (-x)=0 ja (-x)+x=0 VEKTORRUUMI ALAMRUUM: Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema alamruumiks, kui Q on V tehete liitmise ja arvuga korrutamise - suhtes vektorruum (üle reaalarvude) Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui: 1) iga x,y korral summa x+y Q 2) iga IR ja iga x korral x Lineaarkate Olgu m ja a1, a2, ...,am vektorruumi V elemendid. Hulka L(a1, a2, ...,am)= ={x=1a1+ 2a2 + ... + mam| 1, 2... m }
järgi- mingi rea(veeru) abil.siin alam determinant on K-1 järku ja nende arendis 2- järku,samm sammu järel saame 3-järku alamdeterminandi mida saab leida sarruse või diogonaali reegli järgi. 2)detrminandi 6 omaduse järgi,pärast asendame kõiki elemente peale ühte nulli võttete abil valitud reas(veerus)-see on võrdne elemendi ja alamdeterminandi(n-1 järk) korrutisega,arendame 3 või 2 järguni ja leiame väärtuse. 16. Vektorruumi def.,lin.tehted. Vektorruumi näited,vektorite lin.sõltuvus. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le (on ) elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5
Olgu hulgad V ja W vektorruumid siis 2 vektorruumi korral määratud kujutust f:VW nimetatakse lineaarkujutuseks kui ta rahuldab tingimust f(·a+·b)= ·f(a) + ·f(b) J: = =1 f(a+b)=f(a)+f(b) J2: =0 f(·a)= ·f(a) J3: = =0 f(0)=0. Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutlust f:VV nim selle vektorruumi V lineaarteisenduseks (ehk kujutusest vektorruumist V iseendasse tagasi. 1º leidub või eksisteerib vähemalt üks punkt. 2º igale kahele kindlas järjekorras võetud punktide paarile (A;B) on vastavusse seatud parajasti üks vektor AB. 3º iga punkti A ja iga vektori a korral eksisteerib parajasti üks B nii et punktidele A ja B vastab vektor a. 4º rööpküliku aksioom, kui vektor AB on võrdne vektoriga CD siis AC on võrdne BD'ga. J1: AC=BD a+b=b+a. J2: AD=BD+AB a+(b+c)=(a+b)+c
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0
(unitaalsus) 8) = , K (korrutamise kommutatiivsus) 9) 0 = K -1 K nii, et -1 = 1 = -1 (p¨o¨ordelemendi -1 olemasolu) Korpuse elemente nimetatakse skalaarideks ehk arvudeks. Lisaks eeldatakse, et K on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, s.t ska- laaride summad ja korrutised kuuluvad samuti korpusesse K. N¨ aiteid Q, R, C 1 2 V. Vektorruumid 2 Vektorruumi m~ oiste ja n¨ aited 2.1 Vektorrumi m~ oiste Hulka V = {a, b, c, . . . } nimetatakse vektorruumiks u ¨le korpuse K, kui on defineeritud hulga V elementide liitmine ja hulga V elementide korrutamine korpuse K skalaaridega nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused: 1) a + b = b + a a, b V
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W
+ ai2Ak2 + ... + ainAkn = iAk = (1<=j<=n)aijAkj = D, kui i=k ja 0, kui ik, kus Akj on determinandi D elemendi akj alamdeterminant. Analoogiliselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral a1jA1k + a2iA2k + ... + aniAnk = jBk = (1<=j<=n)aijAik = D, kui j=k ja 0, kui jk 10. kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis nende maatriksite korrutise AB determinant võrdub maatriksite A ja B determinantide korrutisega. A, B, AB Knxn; |AB| = |A|*|B| 16. Vektorruumi defnitsioon ja näiteid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet - liitmine (igale kahele elemendie , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a R ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V), mis rahuldavad omadusi V1-V8. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks Vektorruume: 1. V - geomeetriliste vektorite hulk tasandil (ruumis); K = R 2
Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis
..xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
(reaalarvuline juur) ja 2) nA = fi + 2kPi., st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1: Tehted kompleksarvudega algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul. Kompleksarvude juurimine ja juurte graafiline kujutamine. Piirkondade kujutamine komplekstasandil. Vektorruum Vektorruumi mõiste. Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul.
8. Terve on suurem kui osa. 9. Kaks sirget ei saa määrata ruumi. Eukleidese postulaatidest mitmed, näiteks 1. ja 5. läksid mõnevõrra modifitseeritult geomeetria hilisemate rangelt loogiliste ülesehituste aksioomidesse. Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ehk tasane kolmruum on vektorruum, mida enamasti seostatakse ruumiga füüsikas. Selle ruumi elemente nimetatakse vektoriteks või täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugus, vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil. Elementaarmatemaatikas määratletakse kolmemõõtmelise eukleidiline ruum vektori mõisteta. See ruum "koosneb" punktidest, sirgetest ja tasanditest. Samuti eeldatakse Eukleidese aksioomide kehtivust. Viimasesse käsitlusse saab vektori mõiste sisse tuua loomulikul teel
Hulkade H1,....,Hn, otsekorrutiseks e Cartesiuse korrutiseks H1x...xHn nim kõigi järjendite (h1...hn), kus hkHk (k=1,...,n), hulka. Järjendit nim ka korteeziks. Kui Hk=H (k=1,...,n), siis n teguri, millest igaüks on H, otsekorrutise H x...x H jaoks kasutatakse ka tähistust Hn Aritmeetiliseks punktruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetiliseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgmiselt: (x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(def) (x1+y1,...,xn+yn), (x1,...,xn)=(def) (x1,...,xn), kus (x1,...,xn), y1,...,yn) Rn ja R Ruumi Rn punktide p(x1,...,xn) ja Q(y1,...,yn) vaheliseks kauguseks nim arvu d(P,Q)= ( x1 - y1) 2 + ... + ( xn - yn) 2 . Vektorruumi Rn vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,..,yn) skalaarkorrutiseks nim arvu x*y=x1y1+...+xnyn Vektorruumi Rn nullvektorist erinevate vektorite x=(x1,...,xn) ja y=(y1,...,yn) vahelise nurga koosinuse...
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
Vektorid Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused Suurusi mis on kirjeldatavad üksnes arvulise väärtusega nagu aeg, lõigu pikkus, kujundi pindala jne, nim skalaarseteks suurusteks ehk skalaarideks. Suurusi mille iseloomustamiseks on vaja teada peale arvulise väärtuse ka suunda nagu jõud, kiirus jne, nim vektoriaalseteks suurusteks ehk vektoriteks. Vektori pikkus Iga vektorit võime geomeetriliselt kujutada kindla pikkuse ja suunaga sirglõiguna. Vektori pikkuseks ehk moodduliks nim vektori kui lõigu pikkust. *Vektorit, mille moodul võrdub ühega nim ühikvektoriks. Nullvektoriks nim vektorit mille alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad. Vektorite võrdsus Kaht vektorit nim võrdseteks kui nad on võrdse pikkusega ja samasuunalised ja vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vabavektor- see on veektorid mille alguspunkti valik ei ole millegagi kitsendatud. Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektoreid nim kollineaarseteks, kui peale ühisesse alg...
Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis ...
kinni. Hulk C on osutunud kinniseks kõigi 4 aritmeetilise tehte suhtes (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine). Omadused hulgas C: Om1 + ( + ) = ( + ) + Om2 +=+ Om3 += Om4 + (-) = Om5 = Om6 ( ) = ( ) Om7 ( + ) = + Om8 E= Hulka, kus kehtivad nimetatud 8 arvutusseadust nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i. i = -1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Arv i on sisu poolest ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks. Def2 Hulka C, mille elementideks on sellised ( 2 × 2) järku ruutmaatriksid, kus peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid on üksteise vastandarvud nimetatakse kompleksarvude hulgaks ja elemente kompleksarvudeks.
ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = 1e1 + + 2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat- sioon. Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (1, 2). Ortonor- meeritud baasi tasandil tähistatakse { i, j }, kus i = (1, 0), j = (0, 1). 3. Ruumivektorid moodustavad 3-mõõtmelise vektorruumi, sest nende
ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = 1e1 + + 2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat- sioon. Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (1, 2). Ortonor- meeritud baasi tasandil tähistatakse { i, j }, kus i = (1, 0), j = (0, 1). 3. Ruumivektorid moodustavad 3-mõõtmelise vektorruumi, sest nende
Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuld...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate - alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s~oltuvus ja s~oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate − alamruumi oluline n¨aide . . 53 9. Vektors¨ usteemi lineaarne s˜oltuvus ja s˜oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid u ¨leminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
tuhandeid näitlikult ette kujutatud, kui pikkuseta ja laiuseta objekti. Punkte tähistame suurte trükitähtedega. Fikseeritud punkti korral ka- sutame reeglina suuri trükitähti tähestiku algusest, näiteks A, B, C. Kui on tegemist suvalise punktiga, siis tähestiku lõpuosast, näiteks X, Y , Z. Märkus 13.2 Osutub, et ruumi, tasandi kui ka sirge punktide abil saab üsna loomu- likul teel anda igaühe korral eraldi teatava vektorruumi. Definitsioon 13.1 Ruumi, tasandit ja sirget me tähistame järgnevas vastavalt E3 , E2 ja E1 abil. Üldiselt kasutame nende ruumide jaoks ühtset tähist E. Märkus 13.3 Mistahes kahe punkti X, Y E poolt määratud lõiku saame tähistada kahel erineval moel XY või Y X. Esimesel kohal olevat tähte loeme lõigu alguspunktiks ja teisel kohal olevat tähte lõigu lõpp-punktiks. Seega XY ei tähista ainult lõiku otspunktidega X ja Y , vaid tähistab
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi ...
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn) · Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0 |AB|=|BA| |AB| |AC|+|CB| · Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = 1(t), x2 = 2(t), . . . , xm = m(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi ...
.. ; an ) B ja = ( b1; b2 ; ... ; bn ) B skalaarkorrutis analoogselt reegliga (1): n = aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn . i =1 Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1
¨he ja sama topoloogia hulgal X. 2.8 N¨aidata, et loomulik topoloogia reaalarvude hulgal R on tekitatud meetrikaga d, kus d(x, y) = |x − y|. 2.9 Olgu X eukleidiline ruum ja A ⊂ X, A = ∅. Vaatleme ruumi X alamhulka F = { x ∈ X | < x, y >= 0 iga y ∈ A korral }. N¨aidata, et ¨ 2.5 Ulesandeid 25 1) F on ruumi X kui vektorruumi alamruum; 2) F on kinnine alamhulk ruumis X. 2.10 Olgu Y normeeritud ruumi X kui vektorruumi u ¨hem˜o˜ot- meline alamruum. N¨aidata, et Y on kinnine alamhulk ruumis X. 2.11 N¨aidata, et normeeritud ruumi X iga l˜oplikum˜o˜otmeli- ne alamruum on kinnine hulk ruumis X. 2.12 N¨aidata, et kui topoloogiline ruum X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis tema igal punktil x leidub selline ¨mbruste baas {U1 , U2 , U3 , . . . }, et U1 ⊃ U2 ⊃ U3 ⊃ . . . . u 3 SISEMUS JA SULUND 3
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
