Lineaaralgebra eksam (0)

1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused.
Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y)
Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) ∈ C; z2 = (x2; y2) ∈ C
1. liitmine : z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2)
2. korrutamine : z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1)
Kompleksarvudega tehete omadused
1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 ∀ z1, z2 ∈ C korral
2. liitmine on assotsiatiivne , st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ∀ z1, z2, z3 ∈ C korral
3. liitmise suhtes leidub nullelement ( reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z ∀ z ∈ C korral), st leidub ε ∈ C, nii et z + ε = ε + z = z ∀ z korral; ε = (0; 0) = 0
4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv , st selline arv w ∈ C, et z + w = w + z = 0; w = -z
5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 ∀ z1, z2 ∈ C korral
6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) ∀ z1, z2, z3 ∈ C korral
7. korrutamise suhtes leidub ühikelement, selleks on reaalarv 1: 1z = z1 = z ∀ z ∈ C korral
8. igal nullist erineval kompleksarvul z = (x;y) = x + yi leidub pöördarv w ∈ C, nii et wz=zw=1
9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 ∀ z1, z2, z3 ∈ C korral
Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi;
Tuletatavad tehted:
1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2
2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 ≠ 0
Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud omadused.
2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju. Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega. Moivre'i valem. Kompleksarvude juurimine (Tõestusega).
r - arvu z moodul |z|; φ - arvu z argument; i - imaginaarühik
r = sqrt (x2 + y2); cosφ = x/r; sinφ = y/r
z = x + yi = r(x/r + yi/r) = r(cosφ + isinφ)
Kompleksarvu z ≠ 0 avaldist nurga φ ja arvu r abil nimetatakse tema trigonomeetriliseks kujuks.
Tehted trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvudega:
z1 = x1 + y1i = r1(cosφ1 + isinφ1); z2 = x2 + y2i = r2(cosφ2 + isinφ2)
1. korrutamine: z1z2 = r1r2 (cosφ1cosφ2 + icosφ1sinφ2 + isinφ1cosφ2 - sinφ1sinφ2) = r1r2(cos(φ1+φ2) + isin(φ1+φ2))
2. jagamine: z1/z2 = (r1/r2) * ((cosφ1 + isinφ1)/(cosφ2 + isinφ2)) = (r1/r2) * ((cosφ1 + isinφ1)*(cosφ2 - isinφ2)/(cos2φ2 + sin2φ2)) = (r1/r2) * (cosφ1cosφ2 - icosφ1sinφ2 + isinφ1cosφ2 + sinφ1sinφ2) = (r1/r2)*(cos(φ1-φ2) + isin(φ1-φ2))
astendamine: zn = rn(cosnφ + isinnφ)
Movier'i valem: astendamise erandjuht r=1 korral - (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ
Kompleksarvu z-ndaks juureks nimetatakse sellist kompleksarvu w, mille korral wn = z (n - naturaalarv )
z = 0 => 01/n = 0; z ≠ 0 - otsime n-dat juurt w
w = ρ(cosψ + isinψ) nii, et wn = z ehk ρn(cosnψ + isinnψ) = r(cosφ + isinφ) => ρncosnψ = rcosφ ja ρnsinnψ = rsinφ => ()2 ja liita => ρ2n = r2 => ρ = r1/n; ρn = r
cosnψ = cosφ ja sinnψ = sinφ => nψ = φ + 2πk, k ∈ Z => ψ = (φ + 2πk)/n
wk = ρ(cosψk + sinψk)
ψ1 ja ψ2 määravad ühe ja sama nurga juhul, kui nad erinevad arvu 2π täisarvu kordse võrra.
ψ1 - ψ2 = 2πt; t ∈ Z => (ψ1 - ψ2) / 2π ∈ Z
(ψ1 - ψ2) / 2π = ((φ + 2πk1)/n - (φ + 2πk2)/n) / 2π = (k1 - k2) / n ∈ Z
k1/n = q1 + r1/n; 0 = 0 cα ↑↑ α; c Lineaarsete tehete omadused geomeetriliste vektorite korral
1. liitmine on kommutatiivne, st α + β = β + α iga α, β ∈ V korral
2. liitmine on assotsiatiivne, st (α + β) + γ = α + (β + γ) iga α, β, γ ∈ V korral
3. liitmise suhtes leidub nullelement (nullvektor), st leidub Θ, nii et α + Θ = Θ + α = α iga α ∈ V korral
4. liitmise suhtes leidub igal vektoril α vastandelement (vastandvektor), st iga α korral leidub β, nii et α + β = β + α = Θ (β = -α)
5. (ab)α = a(bα) iga a, b kuulub R ja α ∈ V korral
6. (a + b)α = aα + bα iga a, b kuulub R ja α ∈ V korral
7. 1α = α iga α ∈ V korral
8. a(α + β) = aα + bβ iga a kuulub R ja iga α, β ∈ V korral
5. Aritmeetiline vektor . n-mõõtmeline aritmeetiline ruum. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega ja nende omadused.
K - korpus; n - positiinve naturaalarv; Kn - kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulk üle korpuse K
n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1; a2; ...; an) = α võetuna kindlas järjekorras; a1, ..., an ∈ K
Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega:
α = (a1; ...; an); β = (b1; ...; bn)
1. liitmine: α + β = (a1 + b1; a2 + b2; ...; an + bn)
2. skalaariga korrutamine: aα = (aa1; aa2; ...; aan)
Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega rahuldavad samu omadusi mis geomeetriliste vektorite korral. Nullvektori Θ osas on Θ = (0; 0; ...; 0); -α = (-a1; -a2; ... -an) = (-1)α; α - β = α + (-β) = α + (-1)β
6. Maatriksi definitsioon ja tähistused. Lineaarsed tehted maatriksitega ja nende omadused.
K - korpus; m, n - positiivsed naturaalarvud; (mxn)- maatriks üle korpuse K - m- realine ja n-veeruline skalaaride tabel; K(mxn) - kõigi (mxn)- maatriksite hulk üle korpuse K
(mxn)- maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit
A = ||aij|| =
(aij ∈ R iga i ja j korral)
Erikujulised maatriksid :
1. ruutmaatriksid (m=n) 2. diagonaalmaatriks (m=n; aij = 0 ∀ i≠j) 3. skalaarmaatriks (m=n; aij = 0 ∀ i≠j; a11 = a22 = ... = ann)
Lineaarsed tehted maatriksitega
A = ||aij|| ∈ Kmxn; B = ||bij|| ∈ Kmxn; c ∈ K
1. liitmine: A + B = ||cij|| ∈ Kmxn; cij = aij + bij ∀ i,j
2. skalaariga korrutamine: cA = ||dij|| ∈ Kmxn; dij = caij ∀ i,j
Samad omadused kui vektorite korral, kus α = A, β = B, γ = C, V = Rnxm
7. Maatriksite korrutamine. Korrutamise omadused ja seos lineaarsete tehetega.
A = ||aij|| ∈ Kmxn; B = ||bjk|| ∈ Knxp
A reavektorid: α1 = (a11; a12; ...; a1n) ∈ Kn ... αm = (am1; am2; ...; amn) ∈ Kn
B veeruvektorid: β1 = (b11; b21; ...; bn1) ∈ Kn ... βp = (b1p; b2p; ...; bnp) ∈ Kn
AB = A*B = ||αiβk|| ∈ Kmxp; reavektorid: γ1 = (α1β1; α1β2; ...; α1βp) ∈ Kn ... γm = (αmβ1; αmβ2; ...; αmβp) ∈ Kp
Maatriksite korrutamise omadused
1. maatriksite korrutamine pole kommutatiivne, st üldjuhul AB ≠ BA; kui AB = BA, siis öeldakse, et A ja B on kommuteeruvad
2. maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, st (AB)C = A(BC)
3. maatriksite korrutamise suhtes leiduvad ühepoolsed ühikud. (Kehtib omadus A kuulub Kmxn => EmA = AEn = A)
4. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
5. kui eksisteerib maatriksite korrutis AB, siis a(AB) = (aA)B = A(aB), a ∈ R
8. Maatriksite transponeerimine. Transponeerimise omadused.
Maatriksi A = ||aij|| ∈ Rmxn transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT = ||bji|| ∈ Rnxm, mille veeruvektoriteks on parajasti maatriksi A reavektorid, st bji = aij iga i ja j võimaliku väärtuse korral
Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, kui AT = A
Maatriksite transponeerimise omadused
1. (AT)T = A iga maatriksi A korral
2. (A + B)T = AT + BT iga A, B ∈ Rmxn korral
3. (cA)T = cAT iga c ∈ R ja maatriksi A korral
4. (AB)T = BTAT iga A ∈ Rmxn ja B ∈ Rnxp korral
9. Lineaarne võrrandisüsteem, selle lahend ja maatrikskuju.
K - mingi korpus; a1, ...,an ∈ K, b - fikseeritud arvud; x1, ..., xn - tundmatud skalaarid ; ai - kordajad ; b - vabaliige
Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
Võrrandi lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1, ..., xn väärtusi c1, ..., cn ∈ R, et nende paigutamisel võrrandi vasakusse poolde tundmatute x1, ..., xn asemele kehtiks võrdus a1c1 + ... + ancn = b
Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetataksse lõplikust arvust lineaarset võrrandist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1;
... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm. aij - kordajad; b1,...,bm - vabaliikmed
Arve c1,...,cn, mis rahuldavad süsteemi kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi lahendiks
Lineaarne võrrandisüsteem on maatrikskujul antav võrdusega Ax = b. A = ||aij|| - lineaarse võrrandisüsteemi kordajatest moodustatud maatriks (süsteemi maatriks). x - maatriks x1 xn-ni üksteise alla paigutatult. b - maatriks b1 bm-ni üksteise alla paigutatult. B = ||A, b|| - maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriks (süsteemi laiendatud maatriks)
10. Gaussi meetod.
Teisendatakse süsteem Ax = b uuele kujule , millel on samad lahendid ning mille lahendeid on lihtne välja lugeda. Kasutatavad teisendused :
1. süsteemi mis tahes võrrandit võib korrutada nullist erineva skalaariga
2. süsteemi mis tahes võrrandile võib juurde liita mis tahes skalaari kordse mingi teise võrrandi samast süsteemist
3. võib muuta võrrandite järjekorda süsteemis
Mugavuse tõttu teostatakse teisendusi süsteemile vastava laiendatud maatriksiga. Teisenduse eesmärk - avaldada osa tundmatuid ülejäänute kaudu. Saadud tabeli abil kirjutatakse välja lahend
Kõigi lahendite11. Võrrandisüsteemi Ax = b pseudolahend. Pseudolahendite seos tavaliste lahenditega.
Vahel Ax = b ei oma lahendit, aga on vaja leida x, mis teatud mõttes rahuldab kõige paremini süsteemi Ax = b
Süsteemi Ax = b pseudolahendiks nimetatakse süsteemi ATAx = ATb mis tahes lahendit
Iga Ax = b lahend on ka ATAx = ATb lahendiks. Saab näidata, et ATAx = ATb on alati lahenduv ning kui Ax = b on lahenduv, siis süsteemidel Ax = b ja ATAx = ATb on ühed ja samad lahendid.
Funktsioonile f(x1, ..., xn) = ||Ax - b|| vähima väärtuse annavad parajasti võrrandisüsteemi ATAx = ATb lahendid
12. Substitutsioon. Inversioon , inversioonide arv substitutsioonis.
n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1, 2, ..., n iga ümberjärjestust i1, i2, .., in. Kõigi n-ndat järku substitutsioonide arv Sn = n!
Olgu substitutsioonist i1, i2, ..., in valitud kaks arvu ikja il selles järjekorras, nagu nad seal esinevad st k il, siis öeldakse, et paar ik, il moodustab inversiooni vaadeldavas substitutsioonis.
σ(i1, i2, ..., in) - kõigi inversioonide arv substitutsioonis i1, i2, ..., in
13. n-ndat järku determinandi definitsioon. Teist ja kolmandat järku determinant .
Maatriksi A determinandiks nimetatakse summat ∑(i1, i2, ..., in) ∈ Sn (-1)σ(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin, kus iga n-ndat järku substitutsiooni (ii, i2, ..., in) jaoks on üks liidetav (-1)σ(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin
detA = |A| =
= ∑(i1, i2, ..., in) ∈ Sn (-1)σ(i1, i2, ..., in)a1i1a2i2...anin
Teist järku determinant: detA = ∑(i1, i2) ∈ Sn (-1)σ(i1, i2)a1i1a2i2 = (-1)σ(1, 2)a11a22 + (-1)σ(2, 1)a12a21 = a11a22 - a12a21
Kolmandat järku determinant: detA = ∑(i1, i2, i3) ∈ Sn (-1)σ(i1, i2, i3)a1i1a2i2a3i3 = (-1)σ(1, 2, 3)a11a22a33 + (-1)σ(1, 3, 2)a11a23a32 + (-1)σ(2, 1, 3)a12a21a33 + (-1)σ(2, 3, 1)a12a23a31 + (-1)σ(3, 1, 2)a13a21a32 + (-1)σ(3, 2, 1)a13a22a31 = a11a22a33 - a11a23a32 - a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 + a13a22a31
Sarruss'i reegel - skeem kolmandat järku determinandi leidmiseks
14. Crameri valemid ja nende tõestus juhul n = 2.
x1 = D1/D; x2 = D2/D; ...; xn = Dn/D, kus Dj on determinant, mis tekib determinandist D, kui seal j veerg asendada vabaliikmete veeruga b1, b2, ..., bn
Nõuded: võrrandite arv = tundmatute arv; D ≠ 0
a11x1 + a12x2 = b1 ja a21x1 + a22x2 = b2
Tundmatu x1 leidmiseks lahutatakse arvu a22 kordsest esimesest võrrandist arvu a12 kordne teine võrrand ja saadakse (a11a22 - a12a21)x1 = b1a22 - b2a12 => x1 = (b1a22 - b2a12) / (a11a22 - a12a21)
Tundmatu x2 leidmiseks lahutatakse arvu a11 kordsest teisest võrrandist arvu a21 kordne esimene võrrand ja saadakse (a11a22 - a12a21)x2 = b2a11 - b1a21 => x2 = (b2a11 - b1a21) / (a11a22 - a12a21)
15. Determinantide omadused (tõestusteta).
detA; A = ||aij|| ∈ Rnxn
1. |A| = |AT| => kõik omadused, mis kehtivad ridade kohta, kehtivad ka veergude kohta
2. Kui determinandil D = detA vahetada omavahel kaks rida (või veergu ), siis saadud determinandi väärtus on -D
3. Kui determinandi kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga
4. Determinandi mis tahes reast või mis tahes veerust võib ühise teguri determinandimärgi ette tuua; |cA| = cn|A|
5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud ak1, ak2, ..., akn avalduvad kahe liidetava summana ak1 = b1 + c1, ak2 = b2 + c2, ..., akn = bn + cn, siis determinant D avaldub kahe determinandi summana (kõik avaldises esinevad determinandid erinevad ainult k-nda rea poolest). Analoogiline väide kehtib ka determinandi D veergude jaoks
6. Determinandi väärtus ei muutu, kui selle mis tahes reale (veerule) liita juurde suvalise skalaarikordne mingi teine rida (veerg)
7. Determinandi arendis rea või veeru järgi: Aij = (-1)i+j Mij (elemendile aij vastav alamdeterminant); aij -> Mij - determinant, mis tekib determinandist |A| i-nda rea ja j-nda veeru mahatõmbamisel (elemendile aij vastav miinor ). Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib D = ∑(1 arendus I rea järgi -> M = 0, mis on vastuolu
2. kõik reavektorid α1; ...; αn avalduvad lineaarse kombinatsioonina vektoritest α1; ...; αk
α1 = 1α1 + 0α2 + ... + 0αn; ...; αk = 0α1 + 0α2 + ... + 1αk; ...; αl = (al1; al2; ...; aln), l > k. Moodustame k+1 järku determinandi (α1 = (a11; ...; a1k; ...; a1s); ...; αk = (ak1; ...; akk; ...; aks); ...; αl; ...; 1 B2AB1 = B2E = B2 ja AB1B2 = EB1 = B1 => B1 = B2
Ruutmaatriksil A = ||aij|| ∈ Rnxn leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Tõestus: A-1 eksisteerib |A| ≠ 0
=> 1. A-1 eksisteerib => AA-1 = E => |AA-1| = |E| = 1 => |A| ≠ 0; 2. |A| ≠ 0; |A-1| = 1/|A| = |A|-1
ridade ja veergude elementaarteisendused -> ||E|A-1||
||A, B|| -> ... -> ||E, B'||; B' = E'B, A' = E = E'A => A-1 = EA-1 = (E'A)A-1 = E'(AA-1) = E'E = E'; B' = E'B = A-1B => ||A,B|| -> ... -> ||E,A-1B||; erijuhul B=E saadakse pöördmaatriksi skeem ||A,E|| -> ... -> ||E,A-1||
23. Afinne ruum. Koordinaatide sissetoomine afinsesse ruumi ( reeper ehk teljestik ). Omadusi (tõestustega).
dimV = n;; ξ ∈ V => ξ = (x1; x2; ...; xn)B; V ≌ Kn
Eesmärk: tuua sisse vektorruumide teooriasse geomeetriline keel; tehakse analoogia põhjal juhuga n= 2. ξ = (x1; x2)B; K=R; ξ = x1ε1 + x2ε2. Sellise tõlgenduse korral (V-vektorite hulk; P- pinktide hulk), kus V ja P on seotud omadustega:
1. ∀ A,B∈P -> vektor(AB) ∈ V
2. ∀ A∈P, ∀ α∈V ∃! B∈P, nii et α = vektor(AB)
3. ∀ A,B,C∈P korral kehtib vektor(AB) + vektor(BC) = vektor(AC)
Afiinseks ruumiks nimetatakse paari (V; P), kus V on vektorruum üle korpuse K ja P mingi hulk, mille elemente nimetatakse punktideks, kusjuures V ja P on seotud reeglitega 1-3. Afiinse ruumi mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet .
Koordinaatide sissetoomine afiinsesse ruumi:
Fikseerime suvalise punkti O∈P, siis 1. põhjal ∀ punktile O vastab vektor v(OP). Sellel vektoril on koordinaadid baasil v(OP) = (x1; ...; xn). Punkti P koordinaatideks nimetatakse vektori v(OP) koordinaate ja tähendab P(x1;...;xn). Seega punkti P koordinaatide juures on vaja fikseerida O∈P baas B vektorruumis V ehk koordinaadid on määratud komplektiga R = (O; ε1; ...; εn)
Hulka R = (O; ε1; ...; εn), mis koosneb afiinse ruumi (V;P) mingist punktist O ja vektorruumi V baasivektoritest ε1; ...; εn nimetatakse afiinse ruumi (V,P) reeperiks ehk teljestikuks
Omadusi:
1. vektor(AA) = θ ∀A ∈ P. Tõestus: (3.) A=B=C; v(AA) + v(AA) = v(AA) |-v(AA) => v(AA) = θ
2. A,B∈P => v(AB) = -v(BA). Tõestus: C=A, siis v(AB) + v(BA) = v(AA) = θ |-v(BA) => v(AB) = -v(BA)
24. Skalaarkorrutise definitsioon üldjuhul. Skalaarkorrutise näiteid.
Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile α ja β paneb vastavusse reaalarvu α*β nii, et on täidetud järgmised tingimused:
1. α*α >= 0 ∀ α∈V
2. α*α = 0 α = θ
3. α*β = β*α ∀ α,β∈V (kommutatiivsus)
4. α*(β+γ) = α*β + α*γ; (α+β)*γ = α*γ + β*γ ∀ α,β,γ∈V (distributiivsus)
5. c(α*β) = (cα)*β = α*(cβ) ∀ c∈R, ∀ α,β∈V (homogeensus)
Näiteid:
1. α*β = ||α||*||β||*cosαˇβ
2. V = Rn; α = (a1; ...; an); β = (b1; ...; bn); α*β = ∑aibi = a1b1 + ... + anbn
3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; α*β = ∑ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn
4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fikseeritav baas; α = (a1; ...; an)B; β = (b1; ...; bn)B; α*β = ∑aibi
5. V = C[a;b]; f,g∈V; f(x), g(x); f*g = ʃab f(x)g(x)dx
25. Eukleidilise vektorruumi ja eukleidilise ruumi definitsioon. Eukleidilises ruumis defineeritavad mõisted.
Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks.
Afiinset ruumi A = (V,P), milles V on eukleidiline vektorruum, nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. Eukleidilise ruumi A = (V,P) mõõtmeks nimetatakse vektorruumi V mõõdet.
Eukleidilises ruumis defineeritavad mõisted:
1. vektori α pikkus ||α|| = sqrt(α*α)
2. punktide A ja B vaheline kaugus ρ(A, B) = ||vektor(AB)||
3. vektorite α ja β vaheline nurk αˇβ; cos(αˇβ) = (α*β) / (||α||*||β||)
4. ristseis ehk ortogonaalsus
5. ortonormaalne baas
26. Vektori pikkus ja selle omadused (tõestustega).
vektori α pikkus ||α|| = sqrt(α*α)
Eksisterib skalaarkorrutise 1. omaduse põhjal. Pikkuse omadused:
1. ||α|| >= 0; ||α|| = 0 α = θ (2. omadus)
2. ||cα|| = |c|*||α|| (Tõestus: ||cα|| = sqrt((cα)*(cα)) = sqrt(c2(α*α)) = |c|*||α||)
3. Cauchy-Bunjakovski võrratus: |α*β| 0 ∀x => α*α + α*(xβ) + (xβ)*α + (xβ)*(xβ) >= 0 ∀x => α*α + 2x(α*β) + x2(β*β) >= 0 ∀x => y = ax2 + bx + c >= 0 ∀x. Kuna α=θ või β=θ korral võrratus kehtib, siis võib eeldada, et β≠ θ, st a = β*β > 0. b2 - 4ac 4(α*β)2 - 4(β*β)(α*α) (α*β)2 a1(¯x1 - ^x1) + ... + an(¯xn - ^xn) = 0 => v(BA)*v(n) = 0 ehk v(BA)⏊v(n); A,B∈τ => v(BA)⏊v(n); τ
Iga kahe punkti P ja Q korral hüpertasandil τ on vektor v(PQ) risti hüpertasandi τ normaalvektoriga v(n)
Kahemõõtmelises eukleidilises ruumis on hüpertasandiks punki A läbiv sirge normaalvektoriga v(n)
Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis on hüpertasandiks punkti A läbiv ja vektoriga v(n) risti olev tasand
32. Punkti kaugus mingist punktihulgast eukleidilises ruumis. Punkti kaugus hüpertasandist (tõestusega). Saadud valemi erijuhud .
E = (V,𝒫); P⊂𝒫; A∈𝒫
Kui hulgas U leidub punkt Q nii, et ρ(A,Q) a1(a1t + ^x1 ) + ... + an(ant + ^xn) + b = 0 => (a12 + a22 + ... + an2)t + a1^x1 + ... + an^xn + b = 0 => t = - (a1^x1 + ... + an^xn + b) / ||v(n)||2 = ^t => τ⋂u ühisosa punkti koordinaadid: x1 = a1^t + ^x1; ...; xn = an^t + ^xn => saime ainult ühe ühise punkti, tähistame seda Q(a1^t + ^x1; ...; an^t + ^xn) => v(AQ) = (a1^t; ...; an^t) = ^t(a1; ...; an) = ^t*v(n)
ρ(A, τ) = min||v(AP)|| = min sqrt(v(AP) * v(AP)) = min sqrt((v(AQ)+v(QP)) * (v(AQ)+v(QP))) = min sqrt(v(AQ)*v(AQ) + v(AQ)*v(QP) + v(QP)*v(AQ) + v(QP)*v(QP)) = min sqrt(||v(AQ)||2 + ||v(QP)||2) = sqrt(||v(AQ)||2) = ||v(AQ)|| = ||^t*v(n)|| = |^t|*||v(n)|| = |a1^x1 + ... + an^xn + b| / ||v(n)||2 * v(n) = |a1^x1 + ... + an^xn + b| / sqrt(a12 + a22 + ... + an2)
n=2: τ: ax + by + c = 0; A(x0; y0); ρ(A, τ) = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a2 + b2)
n=3: τ: ax + by + cz + d = 0; A(x0; y0; z0); ρ(A, τ) = |ax0 + by0 + cz0 + d| / sqrt(a2 + b2 + c2)
33. Teist järku determinandi geomeetriline tõlgendus (tõestusega).
D = |a1 a2| = |α|; α = (a1; a2); β = (b1; b2) (joonis lk 139); v(n) = β + aα
|b1 b2| |β|
D2 = D*D = |a1 a2| * |a1 b1| = |αα αβ| = |αα αβ | = (αα)(v(n)β) = (αα) (v(n)β + 0) = (αα) (v(n) (β + aα))= ||α||2 *
|b1 b2| * |a2 b2| |βα ββ|+aI |v(n)α v(n)β|
||v(n)||2 => |D| = ||α|| * ||v(n)||
Teist järku determinandi absoluutväärtus võrdub selle determinandi reavektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga.
34. Kolmandat järku determinandi geomeetriline tõlgendus (tõestusega).
^β = β + aα; ^γ = γ + bα + cβ; α⏊^β => ^βα = 0; ^γ⏊α,β => ^γα = ^γβ = 0
D2 = D*D = |a1 a2 a3| * |a1 b1 c1| = |αα αβ αγ| = |αα αβ αγ | = |αα αβ αγ| = (αα)(^ββ)(^γγ) = (αα)
|b1 b2 b3| * |a2 b2 c2| |βα ββ βγ|+aI |^βα ^ββ ^βγ| |0 ^ββ ^βγ|
|c1 c2 c3 | * |a3 b3 c3| |γα γβ γγ|+bI+cII |^γα ^γβ ^γγ| |0 0 ^γγ|
(^ββ + 0)(^γγ + 0 + 0) = (αα)(^β^β)(^γ^γ) = ||α||2 * ||^β||2 * ||^γ||2 => |D| = ||α|| * ||^β|| * ||^γ||
Kolmandat järku determinandi absoluutväärtus võrdub selle determinandi reavektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga
35. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise omadused (tõestustega).
Kui α = (a1; a2; a3) ja β = (b1; b2; b3), siis nende vektorite vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit
α x β = (|a2 a3|; -|a1 a3|; |a1 a2|)
(|b2 b3|; |b1 b3|; |b1 b2|)
Vektorite α ja β vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit α x β, mis on risti vektoritega α ja β, mille pikkus ühtib vektoritele α ja β ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga.
Omadused:
1. α,β ⏊ (α x β)
α(α x β) = |a1 a2 a3| = 0. Analoogiliselt β(α x β) = 0
|b1 b2 b3|
|a1 a2 a3|-I
2. α x α = θ (definitsioonist)
3. α x β = -(β x α) (definitsioonist)
4. Vektorkorrutise α x β pikkus ||α x β|| on arvuliselt võrdne vektoritele α ja β ehitatud rööpküliku pindala. V = |D| = |(α x β)*γ| = ||α x β|| * ||γ|| * |cosρ|
5. α x β suund - parema käe kruvi reegli järgi
6. α x (β + γ) = (α x β) + (α x γ); (α + β) x γ = (α x γ) + (β x γ)
7. c (α x β) = (cα) x β = α x (cβ)
8. Kehtib Jacobi samasus α x (β x γ) = γ x (α x β) = β x (γ x α) = θ
Üldjuhul α x (β x γ) ≠ (α x β) x γ
36. Kujutus . Lineaarne kujutus. Näiteid. Lineaarne kujutus koordinaatkujul. Lineaarse kujutuse maatriks.
X, Y - hulgad; y = f(x); x,y∈R; V,W - vektorruumid
Kujutuseks hulgast X hulka Y nimetatakse reeglit f, mis hulga X igale elemendile paneb vastavusse mingi elemendi y hulgast Y. f: X -> Y
Näiteid:
1. funktsioonid f: D⊂R -> R (y=lnx, f=ln; y= cosx , f=cos)
2. X = Rnxm; Y = R; det: X -> Y; x -> |x|
Lineaarseks kujutuseks vektorruumist V vektorruumi W nimetatakse kujutust L: V -> W, mis rahuldab omadusi 1. ( aditiivsus ) L(α + β) = L(α) + L(β) ∀ α,β∈V ja 2. (homogeensus) L(cα) = cL(α) ∀ c∈R; α∈V
Näiteid:
1. L(α) = θ ∀ α∈V
2. samasuskujutus. 1v: V -> V; 1V(α) = α ∀ α∈V
3. V = W - geomeetriliste vektorite hulk tasandil; L(ξ); L - projekteerimine x-teljele
4. V = C[a;b]; W=R; L = ʃab: V -> W; f∈V; ʃab(f) = ʃabf(x)dx
5. V = C∞[a;b] - lõigul [a;b] lõpmata arv kordi diferentseeruvate pidevate funktsioonide hulk; W = V; L: V -> V; f -> f' = df/dx; L = d/dx
Lineaarne kujutus koordinaatkujul:
V baas ε1, ..., εn; ξ∈V; ξ = (x1; ...; xn) = x1ε1 + ... + xnεn = ||x1ε1 + ... + xnεn|| = ||x1 ... xn||*ε = xTε
W baas δ1, ..., δn; η∈V; η = (y1; ...; yn) = yTη
Lineaarne kujutus L: V -> W
Olgu L(ξ) = η; L(ξ) = L(xTε) = L(x1ε1 + ... + xnεn) = L(x1ε1) + ... + L(xnεn) = x1L(ε1) + ... + xnL(εn) = xT * L(ε)
L(ξ) on teada, kui on teada L(ε) ehk lineaarne kujutus L on täielikult määratud baasivektorite ε1, ..., εn kujutustega L(ε1), ..., L(εn)
L(ε1) = (a11; ...; am1); ...; L(εn) = (a1n; ...; amn)
A = ||aij|| = maatriks (a11 ... a1n; ...; an1 ... amn) - L on määratud selle maatriksiga; lineaarse kujutuse maatriks
maatriksi kujul: L(ε) = maatriks(L(ε1); ...; L(εn)) = maatriks(a11δ1 + ... + am1δm; ...; a1mδ1 + ... + ammδm) = maatriks(a11 ... am1; a1m ... amm)*δ = ATδ
yTδ = η = L(ξ) = L(xTε) = xT * L(ε) = xTATδ => yT = xTAT = (Ax)T => y = Ax - lineaarse kujutuse koordinaatkuju
37. Ortogonaalteisenduse definitsioon. Ortogonaalteisenduse seos vektori pikkusega ja vektorite vahelise nurgaga. Ortogonaalteisenduse maatriks. Ortogonaalmaatriksi definitsioon. Tarvilik ja piisav tingimus selleks, et ruutmaatriks oleks ortogonaalmaatriks (kõik tõestustega).
ε = (V,P) - eukleidiline ruum; L: V -> V; lineaarne teisendus - lineaarne kujutus, kus V = W (ε = δ); R = (O; ε1; ...; εn) - reeper; ξ = (x1; ...; xn) = xTε; η = L(ξ) = (y1; ...; yn) = yTε; y = Ax
Lineaarteisendust L: V -> V nimetatakse ortogonaalteisenduseks, kui ta säilitab vaadeldavas eukleidilise ruumis skalaarkorrutise, st ξ1 * ξ2 = L(ξ1) * L(ξ2)
Kui L on ortogonaalteisendus, siis ta säilitab vektorite pikkused, st ||L(ξ)|| = ||ξ|| ∀ ξ∈V (Põhjus: ||ξ|| = sqrt(ξ*ξ) = sqrt(L(ξ)*L(ξ)) = ||L(ξ)||)
Ortogonaalteisendus L säilitab vektorite vahelised nurgad st ξ1^ξ2 = L(ξ1)^L(ξ2) (Põhjus: cos(ξ1^ξ2) = ξ1ξ2 / (||ξ1|| * ||ξ2|| = cos(L(ξ1)^L(ξ2))
L -> A (teisenduse L maatriks); ^xTε = ξ1 -> koordinaatide maatriks ^x; ¯xTε = ξ2 - koordinaatide maatriks ¯x; ^yTε = η1 = L(ξ1); ¯yTε = η2 = L(ξ2)
ξ1 * ξ2 = ||^x1¯x1 + ^x2¯x2 + ... + ^xn¯xn|| = ^xT * ¯x
η1 * η2 = ... = ^yT * ¯y
L - ortogonaalne => ξ1 * ξ2 = η1 * η2 => ^xT * ¯x = ^yT * ¯y = (A^x)T(A¯x) = ^xT * AT * A * ¯x => E = ATA => A-1 = AT
1 = |E| = |AT| * |A| = |A| * |A| = |A|2; |A| = +-1 => ∃A-1
L on ortogonaalmaatriks parajasti siis, kui tema maatriks A rahuldab omadust A-1 = AT
Ruutmaatriks A on ortogonaalmaatriks parajasti siis, kui tema reavektorid on omavahel risti ja pikkusega 1.
Tõestus: A*AT = maatriks(α1α1 .... α1αn; ...; αnα1 ... αnαn) = E αiαj = 1, kui i=j ja 0, kui i≠j => ||αi|| = 1 ∀i ja αiαj, kui i≠j
Analoogiliselt tõestatakse teoreem veergude jaoks.
38. Omaväärtused ja omavektorid ning nende leidmine.
ε = (V,P); R = (O; ε1; ...; εn); ξ∈V; ξ = xTε
Lineaarteisenduse L omavektoriks nimetatakse nullvektorist erinevat vektorit ξ, mille jaoks leidub selline reaalarv t∈R nii, et L(ξ) = tξ, arvu t nimetatakse seejuures omavektorile ξ vastavaks omavääruseks. Omavektorit ξ omakorda omaväärtusele t vastavaks omavektoriks.
L(ξ) = tξ; ξ ≠ 0; t∈R
Ax = tx = tEx => Ax - tEx = θ => (A-tE)x = θ - lineaarne homogeenne võrrandisüsteem maatrikskujul
Omavektoriteks on süsteemi null-lahenditest erinevad lahendid. Süsteemis peab det(A - tE) = |A - tE| = 0, sest vastasel juhul leidub A(-E)-1 pöördmaatriks ja süsteemis saaksime A(-E)-1; Ex = θ ehk x = θ ehk ξ = θ, aga omavektor ≠θ
Siit saame eeskirja omaväärtuste ja omavektorite leidmiseks:
1. omaväärtused t leiame võrdusest |A - tE| = 0
2. omaväärtusele t vastavate omavektorite ξ koordinaadid x leitakse süsteemi (A-tE)x = 0 null-lahenditest erinevate lahenditena
39. Omaväärtuste ja omavektorite omadused (ainult loetleda ).
1. t - maatriksi A (teisenduse A) omaväärtus< => maatriksi A omaväärtusele t vastavate kõigi omavektorite hulk koos nullvektoriga moodustab alamruumi Vt vaadeldavas vektorruumis V
2. t1, t2, ..., tn - erinevad omaväärtused maatriksile A
↓ ↓ ↓
ξ1, ξ2, ..., ξn - vastavad omavektorid
vektorid ξ1, ..., ξn on lineaarselt sõltumatud
3. n = dimV; A∈Rnxn; moodustame maatriksid:
C - veeruvektorid ξ1, ..., ξn
D - diagonaalmaatriks ti - dest
Siis AC = CD
4. Sümmeetrilise maatriksi A erinevatele omaväärtustele vastavad omavektorid on omavahel risti (AT = A - sümmeetria)
5. Sümmeetrilise maatriksi A jaoks leidub ortogonaalmaatriks C, mille veeruvektoriteks on maatriksi A omavektorid
C leidmine: 1. leitakse maatriksi A omaväärtused ja omavektorid. 2. saadud vektorite hulgast valitakse välja n omavahel risti olevat omavektorit. 3. leitakse vektorite suunalised ühikvektorid. 4. moodustatakse maatriks leitud veeruvektoritega
40. Ruutvorm ja tema maatrikskuju. Kanooniline kuju. Ruutvormi viimine kanoonilisele kujule.
x1, x2, ..., xn - muutujad; f(x1; ...; xn) - n- muutuja funktsioon
Ruutvorm on järgmise kujuga funktioon: f(x1; ...; xn) = ... + bijxiyi + ... = ∑(i C-1AC = D => CTAC = D
Siis: xTAx = (Cy)TA(Cy) = yTCTACy = yTDy = t1y12 + ... + tnyn2
Skalaarkorrutis: α * β = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = ∑aibi
Skalaarkorrutise (mittelineaarne tehe ) omadused
1. α * α >= 0 iga α ∈ V korral; α * α = 0 parajasti siis, kui α = Θ
2. kommutatiivne, st α * β = β * α iga α, β ∈ V korral
3. distributiivne, st α * ( β + γ) = α * β + α * γ; (α + β) * γ = α * γ + β * γ iga α, β, γ ∈ V korral
4. a(α * β) = (aα) * β = α * (aβ) iga a ∈ R ja α, β ∈ V korral
(AB)-1 = B-1A-1; (AT)-1 = (A-1)T