Algebra ja geomeetria kordamine (0)

MAATRIKS :
Maatriks – nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad 
read ja veerud .
Maatriksi mõõtmed – Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- 
maatriksiks  ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks.
Maatriksi järk – Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks  Mat(n,n)  nim.  n-järku 
maatriksiks. 
Maatriksi elemendid –nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb.
Maatriksi ja maatriksite  hulga tähistused – Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina 
tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina 
tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike 
mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi  Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka 
tähistame edaspidi Mat(m, n) abil.
Ruutmaatriks –maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n
Ristkülikmaatriks –maatriks, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m n. 
Kolmnurkne maatriks- nim. maatriksit, kus ühel pool pea- või kõrvaldiagonaali on kõik 
elemendid  nullid .
Diagonaalmaatriks - on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole 
nullid. 
Ühikmaatriks – nim. maatriksit, kus peadiagonaali elemendid on 1-ed ning ülejäänud 
elemendid on 0-id 
                                                               
Nullmaatriks – Maatriks, mille kõik elemendid on nullid. Maatriksi tähis on 
                                                                  
Vastandmaatriks - nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide 
vastandarvud. Maatriksi A vastandmaatriksi tähiseks on −A.
Transponeeritud maatriks – Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, 
mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud 
maatriksi tähiseks on AT.
                          
     
 m×n-maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n×m-maatriks
, kus 
Omadused:
 
 
Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma 
transponeeritud maatriksiga:
 
Sümmeetrilise maatriksi A = (aij) kõikide elementide puhul kehtib seega
Näiteks järgmine 3×3-maatriks on sümmeetriline:   
                                            
Kaldsümmeetriline maatriks – on selline ruutmaatriks, mille transponeeritud maatriks ühtib 
selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A
                                                       
Tehted  maatriksitega.
Maatriksite võrdsus - Me nimetame  maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel 
on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid. Maatriksite A ja B 
võrdsust tähistame A = B.
Liitmine
Maatriksite liitmine on  assotsiatiivne , s.t. mistahes X,Y , Z ∈ Mat(m, n) korral kehtib 
(X + Y ) + Z = X + (Y + Z).
Iga X ∈ Mat(m, n) ning nullmaatriksi   ∈ Mat(m, n) korral kehtivad X +   = X,   + X = X.
Iga X ∈  Mat(m, n) ning tema vastandmaatriksi −X ∈  Mat(m, n) korral kehtivad X + (−X) =  ,
 (−X) + X =  .
Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X,Y ∈ Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y 
+ X.
Lahutamine - Maatriksite X,Y ∈ Mat(m, n)  vaheks  nimetatakse (m, n)-maatriksit X − Y := X 
+ (−Y ).
Korrutamine  reaalarvuga -  Reaalarvu   λ  ja mistahes mõõtmetega maatriksi A  korrutiseks  
nimetatakse maatriksit, mille elemendid saadakse maatriksi A vastavate elementide 
läbikorrutamisel arvuga λ. Arvu  λ  ja maatriksi A korrutise tähiseks on  λA. Vastavalt 
defnitsioonile on seega reaalarvu  λ ∈ R ja maatriksi
A = (aij ) ∈ Mat (m, n) korrutiseks maatriks:
λ A =
ehk λ A = (λ aij ) ∈ Mat (m,n).
Maatriksi reaalarvuga korrutamise omadused.
Mistahes λ ∈ R ja mistahes X,Y ∈ Mat(m,n) korral kehtivad:
1). 1X = X.
2) (-1)X = -X.
3) 0X =  .
4) λ   = 
5) (λμ)X = λ (μX).
6) λ (X + Y ) = λX +λY .
7) (λ+ μ)X = λX + μX.
8) λ (X - Y ) = λX - λY .
9) (λ - μ)X = λX - μX.
Maatriksite korrutamise omadused.
1. Maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. mistahes kolme maatriksi X ∈ Mat(p, q), Y ∈ 
Mat(q, r ) ja Z ∈ Mat(r ,s) korral (XY )Z = X(YZ):
2. Mistahes maatriksi X ∈ Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em ∈ Mat(m;m) ja En ∈ 
Mat(n, n) korral XEn = X; EmX = X:
3. Mistahes kolme maatriksi X,Y ∈ Mat(p, q) ja Z ∈ Mat(q,r ) korral (X±Y )Z = XZ ±YZ:
4. Mistahes kolme maatriksi X ∈ Mat(p, q) ja Y , Z ∈ Mat(q, r ) korral X(Y±Z) = XY ±XZ:
Maatriksite transponeerimise omadused.
1. Mistahes maatriksite X, Y ∈ Mat(m, n) korral
(X ± Y )T = XT ± Y T :
2. Mistahes a ∈ R ja mistahes X ∈ Mat korral
(aX)T = aXT :
3. Mistahes X ∈ Mat(p, q) ja Y ∈ Mat(q,r ) korral
(XY )T = YTXT :
PERMUTATSIOON :
Kõigi permutatsioonide hulga tähiseks on P(x1, x2, x3…xn).
Hulga  n kõigi permutatsioonide hulga tähiseks on Pn või P(1, 2, . . . , n).
Permutatsioon – Hulga H = {x1, x2, x3…xn}(Näiteks H =  n) elementide ümberjärjestust, 
milles hulga H iga element esineb täpselt 1 kord, nim hulga H permutatsiooniks
Loomulik permutatsioon – permutatsioon 1,2,3,…,n hulgas Nn
Inversioon  – Öeldakse, et elemendipaar (ai, aj) moodustab inversiooni, kui selles paaris 
esimene arv ai on suurem kui aj. Inversioonide arvu tähiseks permutatsioonis _1, _2, . . . , _n on
I (_1, _2, . . . , _n).
Paaritu permutatsioon – permutatsiooni nimetatakse paarituks permutatsiooniks, kui tema 
inversioonide arv on paaritu
Paaris permutatsioon - permutatsiooni nimetatakse paaris permutatsiooniks, kui tema 
inversioonide arv on paaris
OMADUSED:
1) Hulga  n elementidest saab moodustada n! permutatsiooni
2) Kui permutatsioonis omavahel ära vahetada 2 elementi, siis permutatsioon muudab paarsust
3) kui n>=2, siis permutatsioonide hulgas Pn on paaris ja paarituid permutatsioone samapalju, st 
kumbagi ½n!
DETERMINANT :
Determinant – Me nimetame n-järku ruutmaatriksi determindandiks reaalarvu, mida tähistame 
|X| ja leiame valemiga |X|= 
OMADUSED:
1) maatriksi ja transponeeritud maatriksi  determinandid  on võrdsed, s.t.
 X  Mat(n, n) => | X |=| XT |
2) maatriksi kahe rea ( veeru ) äravahetamisel muudab maatriksi determinant märki.  
        
        
3) Kui maatriksi kaks rida (veergu) on võrdsed, siis maatriksi determinant on 0
4) Kui maatriksi mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi determinant 
korrutub sama arvuga
5) Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes teine rida 
( veerg ), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse  maatriksi determinandiga.
6)Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant võrdub nulliga.
                                           
7) Kolmnurksete maatriksite X1 ,X2 ,X3 ja X4 korral 
|X1|=|X2| = x11x22…xnn    |X3|=|X4|=
 x1nx2,n-1…xn1
MIINOR : 
*Determinanti 
x
x
...
x
i1 j1
i1 j 2
i1 jn
x
x
...
x
2 j1
i 2 j 2
i 2 jn
M :=
m
 nimetame maatriksi m-järku miinoriks
...
...
...
...
x
x
...
x
inj1
inj 2
injn
*Miinorit
x
x
...
x
im 1
+ jm 1
im 1
+ jm 2
im 1
+ jn
x
x
...
x
im 2
+ jm 1
im 2
+ jm 2
im 2
+ jn
M
m n
−
 nimetame miinori M
...
...
...
...
m täiendusmiinoriks
x
x
...
x
injm 1
injm 2
injn
Märgiga varustatud täiendusmiinorit 
An−m := (−1)rMn−m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . . . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem  – Olgu X n-järku ruutmaatriks 
 ja 
  selliselt , et i1 x + y, mida nimetame (hulga V) elementide 
liitmiseks.
II On antud kujutus  : R × V −> V; (λ, x) −> λx, mida nimetame (hulga V) elemendi 
korrutamiseks reaalarvuga (vasakult) .
III Elementide liitmine ja reaalarvuga korrutamine peavad rahuldama
järgmisi aksioome:
1. Elementide liitmine on assotsiatiivne, s. t. iga x, y, z   V korral kehtib
(x + y) + z = x + (y + z).
2.Hulgas V leidub selline element, mida nimetame nullelemendiks ja tähistame 0 abil, et iga x   
V korral kehtivad seosed
x + 0 = x, 0 + x = x.
3.Iga elemendi x   V korral leidub hulgas V selline element, mida nimetame elemendi x 
vastandelemendiks ja tähistame −x abil, et kehtivad seosed x + (−x) = 0, (−x) + x = 0.
4.Elementide liitmine on kommutatiivne, s.t. iga x, y   V korral x + y = y + x.
5. Iga x   V korral 1x = x.
6. Iga λ, μ   R ja iga x   V korral (λμ)x = λ (μx).
7. Iga λ   R ja iga x, y   V korral λ (x + y) = λx + λy.
8. Iga λ, μ   R ja iga x   V korral (λ + μ)x = λx + μx
Nullelement – Kehtivad seosed x+0=x   ja 0+x=x
Vektorite vahe – Vaheks nimetatakse elemendi ja vastandelemendi  summat : x-y = x+(-y)
Vastandelement – Kehtivad seosed x + (-x)=0    ja (-x)+x=0
VEKTORRUUMI  ALAMRUUM:
Vektorruumi alamruum - Nimetame vektorruumi V mittetühja alamhulka Q tema 
alamruumiks, kui Q on V  tehete – liitmise  ja arvuga korrutamise  - suhtes vektorruum (üle 
reaalarvude)
Vektorruumi V tehted on teheteks tema alamhulgal Q, kui:
1) iga x,y 
 korral summa x+y   Q
2) iga λ   IR ja iga x
 korral λx 
Lineaarkate Olgu m
 ja a1, a2, …,am vektorruumi V elemendid. Hulka L(a1, a2, …,am)=< on vektorruumi V alamruum.
3) Olgu a
  Siis  on vektorruumi V alamruum. 
VEKTORSÜSTEEM: 
Vektorsüsteem – Elementide a1, a2, …,am 
 komplekti { a1, a2, …,am}, kus on fikseeritud 
elementide  järjekord , nimetame elementide a1, a2, …,am poolt moodustatud vektorsüsteemiks
Vektorvõrrand – Võrrandit kujul ξ 1a1 + ξ 2a2 + · · · + ξ mam = 0, kus {a1, a2, . . . , am} on ette 
antud vektorsüsteem ja ξ 1, ξ 2, . . . , ξ m   R on otsitavad, nimetatakse vektorsüsteemi {a1, 
a2, . . . , am} poolt
määratud vektorvõrrandiks. Iga sellist otsitavate väärtuste komplekti  ξ 1, ξ 2, . . . , ξ m, mille 
korral eelpooltoodud võrdus paika peab, nimetatakse selle vektorvõrrandi  lahendiks .
Vektorvõrrandi 0 lahend  – lahendikomplekt ξ1=0, ξ2=0… ξm =0
Vektorsüsteemi alamsüsteem – Vektorsüsteemi {ai1 , ai2 , . . . , aik} nimetame
vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} alamsüsteemiks.
Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus  (sõltumatus) –Vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} nimetame 
lineaarselt sõltuvaks (lineaarselt sõltumatuks), kui vektorvõrrandil ξ1a1+ ξ 2a2 + … + ξ mam on 
rohkem kui 1 lahend (on ainult 1 lahend)
?Tulemused lineaarse sõltuvuse kohta väikese elementide arvuga vektorsüsteemides – 
vi mane tähendab seda, et kui vektorsüsteemis on 1  vektor , siis l-sõltuv on ainult siis kui see vektor on 0 vektor, kui 2 
vektorit , siis l-sõltuv, kui need  vektorid  on kol ineaarsed
VEKTORRUUMI BAAS:
Vektorruumi baas – Vektorsüsteemi {e1, e2, .... , en} nimetatakse vektorruumi V  baasiks , kui:
1) see vektorsüsteem on lineaarselt sõltumatu;
2) vektorruumi V iga element on avaldatav selle vektorsüsteemi
elementide kaudu.
Lõpmatumõõtmeline vektorruum – Vektorruumi, millel puuduvad baasid, nimetatakse
lõpmatumõõtmeliseks ehk lõpmatudimensionaalseks vektorruumiks
Lõplikumõõtmeline vektorruum – Vektorruumi, millel on baas(id) olemas, nimetatakse
lõplikumõõtmeliseks ehk lõplikudimensionaalseks vektorruumiks
Mõõtmed - Elementide arvu vektorruumi baasis nimetatakse vektorruumi mõõtmeks
ehk dimensiooniks. Vektorruumi V mõõdet tähistatakse dimV
Vektori koordinaadid – kordajaid x1,x2…xn avaldises x=x1e1 + x2e2 +…xnen  nimetatakse 
elemendi x koordinaatideks  baasil {e1,e2, . . .,en}:
*elementide koordinaadid igal baasil määratakse üheselt
TEOREEM: Elementide liitmisel, lahutamisel ja arvuga korrutamisel  tuleb elementide 
koordinaadid vastavalt liita, lahutada ja sama arvuga korrutada
Baasiteisenduse maatriks - Maatriksit A nimetatakse baasiteisenduse maatriksiks üleminekul 
vanalt baasilt uuele baasile. Vahel nimetatakse maatriksit A ka lihtsalt baasiteisenduse 
maatriksiks.
?Koordinaatide teisenemise valemid üleminekul  ühelt  baasilt teisele -
LINEAARVÕRRANDISÜSTEEM:
Lineaarvõrrandisüsteem - Võrrandisüsteemi
                                               a11x1 + a12x2 +  . . . + a1nxn = a1,
                                               a21x1 + a22x2 +  . . . + a2nxn = a2,
                                               . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,          (1)
                                               ai1x1 + ai2x2 +  . . .  + ainxn = ai,
                                               . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
                                               am1x1 + am2x2  + . . . + amnxn = am,
kus x1, x2, . . . , xn on tundmatud ehk otsitavad ning tundmatute kordajad aij , i   Nm, j   Nn ja 
vabaliikmed a1, a2, . . . , am on ette antud reaalarvud, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemiks.
Homogeenne  LVS – Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse  homogeenseks , kui kõik 
vabaliikmed on võrdsed nulliga, s.t. a1 = a2 = . . . = am = 0.
Mittehomogeenne LVS –Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui 
vähemalt üks vabaliige on nullist erinev.
LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks – Maatriksit
nimetatakse vastavalt lineaarvõrrandisüsteemi (1) maatriksiks ja lineaarvõrrandisüsteemi (1) 
laiendatud maatriksiks. Võrrandisüsteemi (1) saame nüüd kirja panna ka maatrikskujul:
LVS üldlahend – fikseeritud reaalarvude komplekt x1 = α1 jne…
LVS erilahend  – Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = α 1, x2 = α 2, . . . , xn = α n nimetatakse 
lineaarvõrrandisüsteemi (1) lahendiks ehk erilahendiks, kui nende arvude asendamisel süsteemi 
(1) võrranditesse tundmatute asemele  same   samasused .
Lahenduv LVS – Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse lahenduvaks, kui tal leidub 
vähemalt üks lahend 
Vastuoluline LVS - Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse vastuoluliseks ehk 
vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid . 
Elementaarteisendused: nim.
1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga
2) tema mingile võrrandile teise mistahes arvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist
Gaussi meetodi kirjeldus - 
Gaussi meetodi puhul  kirjutatakse  välja süsteemi laiendatud maatriks, mis koosneb  
süsteemi kordajatest ja vabali kmetest.(A/B)
Kasutades maatriksi elementaarteisendusi, teisendatakse antud maatriks  kujule :(E/α
).
Maatriksi elementaarteisendused on järgmised:
            Maatriksi ridade vahetamine.
• Maatriksi rea elementide korrutamine 0-ist erineva arvuga.
• Maatriksi rea elementidele mistahes arvkordsete teise rea vastavate elementide  
li tmine.
Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased  maatriksid , mis  
vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele.
Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid.
A = (aik) – süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest,
B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg,
X = (xk) – tundmatute maatriks-veerg.
Vabad tundmatud – muutujad, mis üheski reas ei osutu juhtelementideks
LINEAARV ÕRRANDIS ÜSTEEMI ÜLDLAHEND  ERILAHENDI  JA 
FUNDAMENTAALSÜSTEEMI KAUDU
LVS-i lahendivektor – lahendivektor on vektor a=(a1,a2 ,an) kui asendades a1=x1, siis tekib samasus...vms
Erilahendivektor – erilahend on 1 konkreetne lahend, st kui  fikseerida  vabad tundmatud
Fundamentaalsüsteem - Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi  
                    a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0,
                    a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0,
                    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                    ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = 0,
                    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                    am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0,
lahendiruumi baasi {c1, c2, . . . , cn−s} nimetatakse tema fundamentaalsüsteemiks
Taandatud LVS - Homogeenset lineaarvõrrandisüsteemi
                      a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0,
                      a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0,
                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                      ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = 0,                       (2)
                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                      am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0,
nimetame võrrandisüsteemi 
                        a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1,
                      a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2,
                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    (1)
                      ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai ,
                      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
                      am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am.   
taandatud lineaarvõrrandisüsteemiks.
Mittehomogeense LVS-i lahendivektori avaldamine LVS-i erilahendi ja taandatud LVSi 
fundamentaalsüsteemi kaudu vektorkujul ja komponentkujul – 
Valemeid
x = t1c1 + t2c2 + . . . + tn−scn−s,     iga t1, t 2, . . . , tn−s   R
ja
x1 = t1c11 + t2c21 + . . . + tn−scn−s,1,
x2 = t1c12 + t2c22 + . . . + tn−scn−s,2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi = t1c1i + t2c2i + . . . + tn−scn−s,i ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               iga    t1, t2, . . . , tn−s   R.
xn = t1c1n + t2c2n + . . . + tn−scn−s,n,                                
nimetatakse vastavalt homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks fundamentaalsüsteemi 
kaudu vektorkujul ja homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks fundamentaalsüsteemi 
kaudu komponentkujul.
CRAMERI  PEAJUHT:
Crameri peajuht – Öeldakse, et on tegemist Crameri peajuhuga, kui LVS-is on tundmatuid ja 
võrrandeid sama palju ning süsteemi maatriks on regulaarne .
Crameri peajuhuga on seega tegemist, kui lineaarvõrrandisüsteem on
kujul 
                            a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1,
                          a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2,
                          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (1)
                          ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai ,
                          . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                          an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = an,
ja tema maatriks
                    a11 a12 . . . a1n
                    a21 a22 . . . a2n
      A=         . . . . . . . . . . . 
                    an1 an2 . . . ann
on regulaarne, s.t.  |A|   0.
Crameri valemid lahendi avaldamiseks Crameri peajuhul-
Tähistame D := |A| ning
Di :=      a11 . . . a1,i−1   a1    a1,i+1 . . . a1n
              a21 . . . a2,i−1    a2    a2,i+1 . . . a2n
              . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
              an1 . . . an,i−1   an     a1,i+1 . . . ann                      , iga  i ϵ Nn.
Viimases valemis on determinandi arvutamisel i -s veerg maatriksis A
asendatud vabaliikmete veeruga.
Crameri valemid:
xi =Di/D         iga i   N
ϵ n.       |A|=D  0 ,m=n
SUUNATUD LÕIKUDE VEKTORRUUM:
Kidunud lõik – juhtum, kus lõigu algus ja lõpp punkt langevad kokku. Kidunud lõigu korral ei 
ole lõigu suund üheselt määratud
Seotud vektor – Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, s.o. suund, nimetatakse suunatud 
lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp- punktiga Y tähistame 
edaspidi    abil. Kõigi seotud vektorite hulka tähistame Ē abil.
Seotud nullvektor  – Seotud vektor, mille algus ja lõpp-punkt langevad kokku
Seotud vektori pikkus Seotud vektori    pikkuseks , tähis |  |, nimetame teda määrava lõigu 
XY pikkust, s.t. |  | := |XY |.
Vastandvektor – Seotud vektorit   nimetame seotud vektori   vastandvektoriks. Seotud 
vektori   vastandvektorit t¨ahistame –  abil, s.t. −  :=  .
Kollineaarsed  seotud vektorid – Kui kaks vektorit on omavahel paralleelsed
OMADUSED:
1)  Refleksiivsus  - iga seotud vektor on kollineaarne  iseendaga .
2) Transitiivsus - kui seotud vektor on kollineaarne teise seotud vektoriga ja teine oma 
korda kolmandaga, siis on ka esimene seotud kolmandaga.
3) Sümmeetria - kui üks seotud vektor on kollineaarne teise seotud vektoriga, siis teine 
seotud vektor on kollineaarne esimesega
Samasuunalised (erisuunalised) seotud vektorid – kui vektorid a ja b on kollineaarsed ning 
nende suund on sama (suund on vastupidine )
Seotud vektori  ekvivalents  – kui kaks vektorit on omavahel võrdete pikkustega, paralleelsed ja 
samasuunalised
OMADUSED:
1) Refleksiivsus - iga seotud vektor on ekvivalentne  iseendaga
2) Transitiivsus - Kui esimene seotud vektor on ekvivalentne teisega  ning teine 
kolmandaga siis on ka esimene ja kolmas seotud vektor omavahel ekvivalentsed.
3) Sümmeetria - Kui üks seotud vektor on ekvivalentne teise seotud vektoriga, siis on ka 
teine ekvivalentne esimesega.
Ekvivalentsiklass - Seotud vektoriga  AB  
ϵ E0  ekvivalentsete seotud vektorite hulka < nimetame ekvivalentsiklassiks moodustajaga  AB . Ekvivalentsiklassi 
moodustajaga  AB  tähistame 
 abil. Seega  <.
Vabavektor ehk vektor – Hulga E elemente, täpsemalt hulga Ē ekvivalentsiklasse, nimetame 
edaspidi vabavektoriteks ehk lühidalt vektoriteks.
Nullvektor - 
Vektorite summa – 
.
Vektorite     ja   
y    summaks  nimetatakse vektorit z   E
ϵ , mis saadakse järgmisel teel:
1) valime mingi punkti A   E
ϵ  ning leiame sellise punkti B   E
ϵ , et  AB    
ϵ ;
2) leiame sellise punkti C   E

ϵ , et BC   
ϵ y ;
3)  +  
y   =  z :=AC.
 
Vektori pikkus – Tähistame | | ning nimetatakse suvalise seotud vektori pikkust.
Kollineaarsed(1), samasuunalised(2) ja vastassuunalised vektorid(3)
1) 
       2)
      3)
Reaalarvu ja vektori korrutis - Reaalarvu ξ ja vektori   korrutiseks ξ  nimetatakse
vektorit, mis määratakse tingimustega
1. | ξ  | = | ξ || |,
2. (ξ  ) ↑↑  ,  kui ξ > 0,  (ξ  ) ↑↓  ,  kui ξ  Punkti  projektsioon  sirgel s paralleelselt  sirgega  l või tasandiga π – Punkti X’  nimetame 
punkti X projektsiooniks sirgel s paralleelselt sirgega l (tasandiga π).
Vektori projektsioonivektor teise vektori sihile paralleelselt sirgega l või (tasandiga π)– 
Vektori  

x = XY  projektsioonivektoriks vektori  a  sihile paralleelselt sirgega l (tasandiga π ) 
nim. vektorit 


Pr x ||
= ′ ′   ( Pr x || π = ′ ′ ),   kus  X ′(Y )′  on punkti X (Y) projektsioon 
a
( ) X Y
a
( l) X Y
vektori  
a  poolt määratud sirgel s paralleelselt sirgega l(tasandiga π).
 Projektsioonivektori tähis ja omadused – tähis: Pr 

a (| l) ja Pr a (|  π)


1.Vastavalt projektsioonivektori defnitsioonile:  Pr 0
a
=0
2.Vektorite summa projektsioonivektor on võrdne nende vektorite projektsioonivektorite 




summaga , s.o.  Pr + = Pr + Pr
a ( x
y)
x
y
a
a


3.  Mistahes reaalarvu α   R
ϵ  ja mistahes vektori  korral:  

Pr α =α Pr
a (
x)
x
a
4.  
 

Pr x || a
a
Ristprojektsioonivektor – Projektsioonivektorit  Pr 
a  nimetame ristprojektsioonivektoriks, 
kui sirge l (tasand π) on risti sirgega s.
Vektori projektsioon teise vektori sihile - Vektori   projektsiooniks vektori 


a ≠ 0  sihile
nimetame reaalarvu, mida tähistame pr 
a  abil ja anname valemiga: 






Pr x , kui

Pr x
a
a
↑↑ a
prx :
a
= 



− 
Pr x , kui

Pr x
a
a
↑↓ a
Projektsiooni  omadused – 1. Vektorite summa projektsioon on võrdne nende vektorite




projektsioonide summaga, s.t.  pr


a ( x
y)
pr x
pr y
a
a
2. Mistahes reaalarvu α   R


ϵ  ja mistahes vektori   korral  pr

α =α
a (
x)
pr x
a

3.  
pr 0
a
=0
Ühikvektor –  Vektorit pikkusega üks nimetame ühikvektoriks.
Ristprojektsioon  – Projektsiooni 

prx
a
 nim. ristprojektsiooniks, kui sirge l (tasand π) on risti 
vektori  
a  poolt määratud sirgega s.


Vektorite vaheline nurk – Vektorite  

x ≠ 0 ja  y ≠0  vaheliseks nurgaks nimetame
nurka (lõigust [0; π]), mis tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule 
AC. Tähistame seda nurka  (  
∠

x, y ) abil. Kui vektoritest   ja  y   vähemalt üks on nullvektor, siis 
nurgaks  (  
∠x, y)  loeme ükskõik millist reaalarvu lõigust [0; π]. 
 
Risti olevad vektorid –Me ütleme, et vektor 

 on risti vektoriga  y , kui  ∠ ( x, y) = .
2

Seda asjaolu tähistame   




x ⊥ y  abil. Omadused:  x ⊥0     x ⊥ y ⇔ y ⊥ x
Valem projektsiooni arvutamiseks vektorite vahelise nurga kaudu - 


 
pr x = x cos ∠ ,
a
(x a)  
BAAS. REEPER . PUNKTI KOORDINAADID. NENDE TEISENEMISE VALEMID
Kollineaarsed vektorid – samasihilised vektorid
  
Komplanaarsed vektorid – Vektorsüsteemi {a ,a ,a
1
2
3}  nimetame komplanaarseks, kui neid 
vektoreid määravad lõigud on paralleelsed mingi tasandiga.
Sirge, tasandi ja kolmemõõtmelise ruumi baasid ja reeperid -


Vektorruumide E1, E2 ja E3 baasiks on vastavalt mistahes vektorsüsteem {e
e
1} , mille vektor  1  ei 
 
ole nullvektor, mistahes kahest mittekollineaarsest  vektorist  koosnev vektorsüsteem {e ,e
1
2 }  
  
ja mistahes kolmest mittekomplanaarsest vektorist koosnev vektorsüsteem {e ,e ,e
1
2
3} . Hulki <  nimetame vastavalt sirge E
1
2 }
1}
1, tasandi E2 ja ruumi E3 reeperiks 

 
  
ehk koordinaatsüsteemiks, kui {e , {e ,e  ja {e ,e ,e
1
2
3}  on vastavalt vektorruumide E
1
2 }
1}
1, E2 ja 
E3 baasid.
Reeperi  alguspunkt - Punkti O nimetame reeperi ehk koordinaatsüsteemi alguspunktiks.
Ristbaas – kui temasse kuuluvad vektorid on paarikaupa risti ja pikkusega 1
Ristreeper – kui temasse kuuluv baas on ristbaas
 
Parema (vasaku) käe baas – Vektorruumi E2 baasi {e ,e  nimetame parema käe (vasaku käe) 
1
2 }
baasiks, kui  seotud vektori 
 pööre lühemat teed pidi ümber punkti K seotud vektorini 
 
toimub  kellaosuti  liikumisele vastupidises suunas (kellaosuti liikumise suunas)
 
Parema (vasaku) käe reeper Vektorruumi E2 reeperit {O,e ,e
1
2 }  nimetame parema käe (vasaku 
 
käe) reeperiks, kui temasse kuuluv baas {e ,e
1
2 }  on parema käe (vasaku käe) baas.
  
Punkti kohavektor - Vektorit  OX  nim. punkti X kohavektoriks reeperi {O,e ,e ,e
1
2
3}  suhtes.
Vektori ristkoordinaadid – vektori koordinaadid ristbaasi suhtes
Punkti ristkoordinaadid – punkti koordinaadid ristreeperi suhtes
Vektori parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Vektori koordinaadid parema käe (vasaku 
käe) baasi suhtes.
Punkti parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Punkti koordinaate parema käe (vasaku käe) 
reeperi suhtes nimetatakse punkti parema käe (vasaku käe) koordinaatideks.
Rööplüke ehk paralleellükke: } 
SKALAARKORRUTIS :
 
Skalaarkorrutis – Vektorite  x, y ∈ E skalaarkorrutiseks   
x, y  nim. reaalarvu 
 
 
 
x, y = x y cos
(x
∠ , y) .
OMADUSED:
1) Kui skalaarkorrutises üks vektoritest on nullvektor, siis skalaarkorrutis on võrdne nulliga, s.t. 
 = 0   , 


x,0
0
2) Skalaarkorrutamine on kommutatiivne: 
 = 
   

3) Skalaarkorrutamine ja ristprojektsioon on seotud:   

 
x, y
x p 
r y, x
x
≠0  
!4) iga x , x ,



 


     1 2
  korral kehtib: 
x +x , y = x , y + x , y
  1
2
1
2
5) Iga  ,
 ja iga α   R
ϵ  korral kehtib: 
 
 
x
α, y
x, y
6) Vektor 

 on risti vektoriga  y  siis ja ainult siis, kui nende
vektorite skalaarkorrutis on null, s.t.    
 
x ⊥y ⇔ x, y =0
7) Iga vektori 

 
 ϵ E pikkus avaldub valemiga  x = x, x
Arvutamise valemid koordinaatides ristbaasis - 
VEKTORKORRUTIS :
  
Parema (vasaku) käe  kolmik  – Mittekomplanaarset 3-vektorilist vektorsüsteemi {a , a , a
1
2
3 }  
nim. parema (vasaku) käe kolmikuks, kui seotud vektori  AA  pööre seotud vektorini  AA  
1
2
lühemat teed pidi vaadelduna punktist A3 toimub vastupäeva (vastavalt päripäeva).
Vektorkorrutis - Vektorite 
 E3 vektorkorrutiseks, mida tähistatakse 
 abil, nim vektorit 
mis määratakse 3 tingimusega:
1) |
 | = | || |sin( , )
2) 
  |          
  | 
3) vektorsüsteem 
on parema käe kolmik
OMADUSED:
1)vektorsüsteem 
 on lin sõltuv => 
2)vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline: 
3): 
4) (  


x
α ) × y = (
α x × y)
Vektorkorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: 


 x
x
x
x
x
x
2
3
1
3
1
2 
x × y = 
,−
y
y
y
y
y
y 
 2
3
1
3
1
2 
Kahele vektorile ehitatud rööpkülik:
Srk ( , )= |
 |
=   x2 x3
1
x
x3
1
x
x2 


;−


 y2
y3
1
y
y3
1
y
y2 
SEGAKORRUTIS :
  
Segakorrutis: Kolme vektori  x, y, z ∈ E




 
3 segakorrutiseks nim. reaalarvu  x z
y
= x
y
× , z .
OMADUSED:
1) Vektorsüsteem {  



x, y, z}  on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui segakorrutis  x z
y
0
= .
Vektorsüsteem {  
x, y, z}  on parema (vasaku) käe kolmik siis ja ainult siis, kui segakorrutis 






x z
y >0 ( x z
y