· Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on tõmmatud koordinaatide alguspunktist antud punkti. Nihkevektor on liikumise alguspunktist lõpp-punkti tõmmatud vektor. (nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t) · Näidata, et konstantse kiirendusega liikudes avaldub kiirus ajahetkel t järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. v= = a*t + c (integreerimiskonstant, antud juhul v0) = a*t + v0
11. Jõu moment telje suhtes Jõu pöördevõime sõltub jõu suurusest F ja õlast h. Jõu pöördevõimet iseloomustavat skalaarset korrutist Fh nimetatakse jõu momendiks telje suhtes. Mt(F)=±Fh 12. Jõu moment punkti suhtes Jõu F momendiks punkti O suhtes loetakse vektorit Mo(F), mis on risti jõudu ja punkti läbiva tasandiga ja mille moodul võrdub korrutisega Fh (kus h on jõuvektori mõjusirge kaugus punktist). See on vektorkorrutis: Mo(F)= r ´ F, kus r on kohavektor. M Oz = xFy - yFx . 13. Kuidas on seotud momentvektori projektsioon teljele ja jõu moment telje suhtes? Leiame jõu F momendi telje z suhtes Mz(F)=MOz. . Mz(F)=xFy yFx Seega momentvektori projektsioon teljele võrdub jõu momendiga selle telje suhtes. 14. Kahe paralleelse jõu liitmine Fres= F1' + F2' = F1 + F2 15. Resultandi asukoht
mingi teise funktsiooni väärtusega samal argumendil. Asja uurinud W. Leibnitz tuli järeldusele, et funktsiooni muutumise kiirus argumendi suvalisel väärtusel on kogu määramispiirkonna ulatuses avaldatav ühe ja sama funktsiooniga, mida ta nimetas tuletiseks Otsitava seose leidmiseks tuleb nüüd üle minna "normaalsetele" suurustele, liites kokku kõik need "lõpmata väikesed tükid". Sellisel teel leitud summat nimetataksegi integraaliks (ld. integer, tervik). f Taustkeha ja kohavektor- Taustkeha on keha, mille suhtes vaadeldakse teiste kehade liikumist (täpsemalt, suhtelist liikumist).Taustkehaga seotakse sobiv koordinaadistik ja kell, mis koos moodustavad taustsüsteemi. Mingi keha asukoht taustkeha suhtes määratakse koordinaatidega vastavas koordinaadistikus. Kohavektor on selline vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Seetõttu on kohavektori koordinaadid võrdsed vektori lõpp- punkti koordinaatidega. r Ristkoordinaadid (ortonormaalne reeper)
Jäik keha on keha, mis vastastikmõjus või interaktsioonis teiste kehadega muudab oma
mõõtmeid tühisel määral.
Taustsüsteem kehade süsteem, mille suhtes antud liikumist vaadeldakse.
Liikumisseadus kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas:
x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t).
Nihkevektor - r, kohavektori juurdekasv vaadeldava ajavahemiku jooksul.
Trajektoor on kõver, mida punktmass joonistab liikudes.
Kohavektor r määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistikus.
Teepikkus on kõigi antud vahemikus läbitud trajektoorlõikude summa.
2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine.
Kiirus on vektor/vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist
ajavahemikus.
Keskmine kiirus -
). z punktmass v r O taustkeha y x taustsüsteem r - punktmassi kohavektor vaadeldavas taustsüsteemis. v - punktmassi kiirusvektor vaadeldava taustsüsteemi suhtes. Punktmassi koordinaadid tema kohavektori komponendid (projektsioonid). r (t ) = i x(t ) + j z (t ) + k y (t ) = ( x, y , z ) . (1.1) Trajektoor keha liikumisjoon. Seda kirjeldavad võrrandid parameetrilised võrrandid, x = x(t )
ALATI JA IGAL POOL: i - x-telje suunaline ühikvektor j - y-telje suunaline ühikvektor k - z-telje suunaline ühikvektor Sirgliikumine x asukoha koordinaat v kiirus (märgiga suurus) vav keskmine kiirus a kiirendus (märgiga suurus) aav keskmine kiirendus x0 liikumise alguspunkt v0 algkiirus Liikumine ruumis r punkti kohavektor r nihkevektor v kiiruse suurus s tee pikkus t aeg v kiirusvektor vav keskmine kiirus vektorina a kiirendusvektor a k keskmine kiirendus vektorina at kiirenduse tangentsiaalkomponent at kiirenduse tangentsiaalkomponendi suurus a n kiirenduse normaalkomponent an kiirenduse normaalkomponendi suurus R kõverusraadius Ühtlane ringliikumine r ringjoone raadius 0 algfaas (algnurk) pöördenurk t ajavahemik nurkkiirus
1. Kuidas leida kahe vektori liitmisel tekkiva vektori pikkust kui on teada liidetavate vektorite pikkused. Liidetavad vektorid on o a) samasuunalised; liitmine nt a(2;3;4) + b(2;4;1) = c(4;7;5) o b) vastassuunalised; sama o c) üksteisega risti. 2. Kuidas peavad olema vektorid suunatud, et nende o a) skalaarkorrutis oleks 0; risti o b) vektorkorrutis oleks 0? Samas suunas/ vastassuunas 3. Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on vektor, mis on tõmmatud koordinaadi alguspunktist etteantud punkti. Nihkevektor on vektor, mis on tõmmatud liikumise alguspunktist liikumise lõpp-punkti. Nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t 4. Mis on nihkevektor? Mis on trajektoor? Millal ühtib keha trajektoor nihkevektoriga? Nihkevektor on vektor, mis on tõmmatud liikumise alguspunktist
vedavate lülide liikumisseadustega määratud on veetav lüli. 18) Ahela vabadusaste näitab, mitut liikumist (teljesihilised või translatoorsed) saab ahel teha 19) Punktmassi virtuaalsiirdeks nimetatakse tema niisugust lõpmata väikest siiret, mis on kooskõlas antud hetkel eksisteerivate sidemetega. Antud hetk viitab siin ajaolule, et side võib aja jooksul muutuda - meie loeme sidemed antud hetkel "tardunuks". Kui punktmassi kohavektor on r = (x; y; z), siis tema virtuaalsiiret tähistatakse tavaliselt 20) Virtuaaltöö on töö, mida teevad aktiivsed jõud, kui nende rakenduspunkte nihutada virtuaalsiirete võrra. (aktiivsed jõud on jõud, mis ei ole toereaktsioonid) 21) Aktiivsed jõud on kõik ülejäänud jõud, mis ei ole toereaktsioonid. 22) - virtuaaltöö jäiga keha juhtumil 23) Üldistatud koordinaatideks võib olla suvaline parameetrite hulk, mis täidab järgmist kolme nõuet:
Kinemaatika- teadus, mis tegeleb kehade punktmasside liikukumisega, ning liikumise geomeetrilisi seaduspärasid. Trajektoor- punktmassi liikumise tee kindlas taustsüsteemis. Liikumisseadus- Vektoriaalne määramisviis r=r(t) Koordinaatviisiline määramisviis (telef), Loomulik liikumisseadus s=f(t) Punktmass- materiaalne keha, mille mõõtmeid liikumise uurimisel ei arvestata. Punkti kiirendus- tema kohavektor esimese tuletise järgi. Kiirus- vektor, mis on suunatud piki trajektooripuutujat liikumissuunas ja isel. Kohavektori pikkuse kui ka suuna muutus. (telef) Punkti kiirendus- kiirusvektori I tuletis aja järgi ehk kohavektori II tuletist aja järgi. Kiirendus- isel. Kiiruse muutust (telef) Rööpliikumine- kui keha liigub ühest punktist teise ja sellel olevad sirged on paralleelsed. (telef) Jäiga keha selline liikumine, mille puhul
b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b
b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b
1 Jooniselt näeme, et x = rcos ja z = rsin s vt Valemist (1) tuleneb = + 0 , millest edasi saame = + 0 = t + 0 r r Kui alghetke loeme nulliks, siis t = t ja saamegi liikumisvõrranditeks x = r cos(t + 0 ) (2) z = r sin (t + 0 ) Punkti kohavektor on seega r (t ) = r cos(t + 0 )i + r sin (t + 0 )k (3) Siit saab diferentseerimise teel arvutada kiiruse suvalisel ajahetkel t. Teatavasti dx dy dz v(t ) = i+ j+ k dt dt dt Käesoleval juhul tegeleme ainult xz-tasandiga, mistõttu saame v(t ) = -r sin (t + 0 )i + r cos(t + 0 )k (4) Nagu näha, muutub kiirusvektor ajas.
ay j x axi Vektor ja tema koordinaadid kahemõõtmelisel juhul. Vektori pikkus arvutatakse järgmise valemi järgi: a = a x2 + a y2 + a z2 Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit, mille alguspunkt asub koordinaatide alguspunktis ja lõpp-punkt meid huvitavas punktis. Kui lõpp- punkti koordinaadid on x, y, z, avaldub kohavektor komponentides järgmiselt: r = xi + y j + z k 2. Vektorite liitmine, lahutamine ja korrutamine skalaariga Vektorite liitmist on lihtsaim kirjeldada geomeetriliselt: kasutatakse rööpküliku reeglit. Liitmise tulemusena saadakse uus vektor: a + b = c . Liitmine on kommutatiivne: a + b = b + a . Lahutamine on liitmine vastandmärgiga: a - b = a + (-b) . Miinusmärk ei muuda vektori suurust. Ta muudab vektori suuna vastupidiseks.
Kui soovitakse rohkem kui kahte vektorit kokku liita, tuleb kasutada kolmnurga reeglit; uue vektori algupunkt pannakse eelmise vektori lõpp-punkti. Tuleb arvestada suundasid, saab kuitahes palju vektoreid kokku liita) 2. Kuidas peavad olema vektorid suunatud, et nende: a) skalaarkorrutis oleks 0; b) vektorkorrutis oleks 0 ? a) Selleks et skalaarkorrutis oleks null peavad vektorid risti olema. b) Selleks et vektorkorrutis oleks null peab vektorid olema samasihilised. 3. Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Vektor on suunaga sirglõik. Kohavektor on vektor, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktis antud punkti (r). Nihkevektor on liikumise algpunktist liikumise lõpp-punkti tõmmatud vektor (∆r). (Δr = r2 – r1) 4. Näidata, et konstantse kiirendusega liikudes avaldub kiirus ajahetkel t järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. v = ∫a dt = a ∫dt = at + v 0
Füüsika eksami küsimused ja vastused! Füüikalised suurused ja nende etalonid: Klassikaline mehaanika 2) Kulgliikumise kinemaatika põhimõisteid o Ainepunkt (punktmass)keha,mille kuju ja mõõtmetega või antud ülesandes arvestamata jätta o Taustsüsteem (+ joonis) on kehade süsteem,mille suhtes antud liikumist vaadeldakse o Kohavektor (+ joonis)kohavektor määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistikus o Nihkevektor (+ joonis) kohavektori juurdekasv vaadeldava ajavahemiku jooksul o Liikumisseadus (+ valem)Kui punkt liigub ruumis,siis tema koordinaadid muutuvad ajas o Kiirus ja kiirendus(+ valemid)kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus, Kiirendus on füüsikaline suurus,
Kuidas käsitleda liikumisvõrrandit. Vektorkujul antud liikumisvõrrandiga on ikka ja jälle probleeme. Et asi ükskord selgeks saaks, annan lühikonspekti. Alguseks lepime kokku tähistes: 1. Mis on liikumisvõrrand? - on funktsioon, mis määrab liikuva keha (punkti!) asukoha mingil ajahetkel. Võib olla igasugune funktsioon. - keha (punkti!) asukoha määrab kohavektor, mis antakse kolme koordinaadiga (x,y,z). Need koordinaadid määravad keha asukoha kolmruumi ortonormaalse reeperi suhtes. - ortonormaalne reeper koosneb kolmest omavahel risti olevast ühikvektorist. Tähistame neid: i, j, k, peale paneme vektorimärgid. Kokku saame valemi vektorkujul mis on samaväärne kolme skalaarse võrrandiga: 2. Newtoni mehaanikas on kombeks esitada neid võrrandeid ruutpolünoomina 3. Liikumisvõrrandi esimest tuletist nimetatakse kiiruseks:
FÜÜSIKA EKSAMIKÜSIMUSED JA VASTUSED 1. Kinemaatika põhimõisted: Punktmass- keha, mille mõõtmetega antud ülesandes võib jätta arvestamata. Jäik keha- keha, mis teiste kehadega vastasmõjus olles jätab oma mõõtmed muutmata. Taustsüsteem- kehade süsteem, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Liikumisseadus- punktmassiga keha asukohta saab määrata kolme parameetri järgi (kiirus, aeg, läbitud teepikkus) Kohavektor- koordinaatide alguspunktist antud punkti tõmmatud vektor. Nihkevektor- vektor, mis on tõmmatud alguspunktist teise punkti. 2. Kiirus- on vektori suurus, mis isel. punktmassi asukoha muutust ajaliselt. Ühtlane liikumine- liikumine, mille kiiruse suurus ei muutu, ehkki suund võib muutuda. Ühtlaselt muutuv liikumine- liikumine, kus kiirenduse suurus ei muutu. 3. Kiirendus- on vektor, mis isel. seda, kuidas kiirus ajaliselt muutub. Tangentsiaalkiirendus- isel
18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. 19. Ellimineerige alljärgnevatest võrranditest aeg ja ilmutage ilma ajata kinemaatilisi suurusi siduv valem. 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 24. Lähtudes seosest kiiruste vahel, tuletage seos kiirenduste vahel, nimetage need ja tehke joonis vektorite kohta. 25
LIIKUMINE RUUMIS Kiirus Punkti kohavektor oli r = xi + y j + z k . Joonisel 1 liigub objekt punktist P1 punkti P2, mille kohavektorid on vastavalt r1 ja r2 . Nihe on vektor, mis viib liikumise algpunktist liikumise lõpppunkti. Joonisel 1 on nihkevektoriks r = r2 - r1 . Trajektoor on joon, mida mööda punkt liigub. Trajektoor on skalaar. Trajektoori mööda ds mõõdetakse tee pikkust. Kui tee pikkus on s, siis kiiruse suurus on v = .
on tõkestatud lõigus [a, b] Newtoni-Leibnizi valem: Olgu funktsioon f(x) lõigus [a, b] integreeruv ja leidugu tal selles lõigus algfunktsioon F(x). Siis . Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks. Lõiku [a; b] nimetatakse integreerimislõiguks. Näide. Loeng 2 · Taustkeha ja kohavektor. taustkeha ,,keha", kust kohavektor lähtub. Kohavektori muutumine väljendab uuritava keha liikumist taustkeha suhtes. Taustkehas lähtub enamasti koordinaatide võrgustik, selle 0-punkt on taustkehaks. kohavektor on suunatud lõik taustkehast uuritava kehani. Ta näitab uuritava keha asukohta taustkeha suhtes · Ristkoordinaadid (ortonormaalne reeper). Lihtsaim ja sagedamini kasutatav koordinaatsüsteem on ristkoordinaadistik: kolm
r r q1 q 2 r q 2 vastastikune mõju on määratud Coulombi seadusega: F = k , kus r2 r 1 1 r k SI = , elektriline konstant 0 = , r - ühe laengu kohavektor teise suhtes, 4 0 4 9 10 9 r laengutevaheline kaugus r = r . Laengutevahelisedr mõjud toimivad elektrivälja kaudu, mida iseloomustatakse elektrivälja r F tugevusega E = - see on vektor, mis on samastatav ühikulisele proovilaengule q r mõjuva jõuga
Füüsika eksami kordamine 1)Liikumise kirjeldamine: Taustsüsteem: koordinaadistik + käik (on võimalik aja mõõtmine) Kohavektor Trajektoor: joon, mida mööda keha liigub Kiirus: asukoha muutus jagatud aja muutusega, kohavektori tuletis aja järgi Kiirendus: kiiruse muutus jagatud vastava ajaga, kiiruse tuletis aja järgi 2)Sirgjooneline ühtlaselt muutuv liikumine: Keha liigub sirgjoonelisel trajektooril, kusjuures tema kiirendus on nii suunalt kui suuruselt muutumatu ning samasihilise kiirusega. Realiseerub olukorras, kus keha liigub muutumatu jõu toimel (näiteks vabalangemine raskusjõu
fs Võimsus näitab, kui palju tööd tehakse ajaühikus: kus ω on keha nurkkiirus ja ρ seda punkti tema ringjoonelise s Kui A const, siis liikumistee keskpunktiga ühendav kohavektor. A dA dA ds Jäiga keha nurkkiirendus ε = M/I, kus M on välisjõudude moment Pot. jõuvälja igale punktile vastab sellesse punkti asetatud W lim W f W f v pöörlemistelje suhtes ja I on keha inertsimoment sama telje suhtes. jõuvektori f mingi väärtus ja pot. energia mingi hulk
Tasapinda, milles asetsevad jõupaari jõud, nimetatakse jõupaari mõjutasapinnaks. NB! Kui kehale mõjub ainult jõupaar, siis keha ei saa olla tasakaalus). Teoreem jõupaari paralleelsesse tasapinda ülekandmisest (Teoreem: Jõupaari ülekandmisel paralleelsesse tasapinda ei muutu jõupaari mõju jäigale kehale.) Jõupaari moment. (* Jõupaari momendi moodul: M= F`*h (h-jõupaari õlg). Jõupaari momendi vektor ~M=~r12*~F`.kus ~r12 = ~AB on jõupaari ühe jõu ~ F` rakenduspunkti A1 kohavektor jõupaari teise jõu ~F`` rakenduspunkti A2 suhtes. * Jõupaari momentvektor on risti jõupaari mõjutasapinnaga. Vektorkorrutis ei ole kommutatiivne, s.t. vektorite järjekorda korrutamise valemis ei tohi muuta.) Jõupaaride ekvivalentsus (Teoreem: Jõupaarid, mille momentvektorid on võrdsed, on ekvivalentsed.) Jõupaaride liitmine (Teoreem: Kui kehale on rakendatud jõupaaride süsteem, mis koosneb jõupaaridest momentidega ~M1, ~M2,..., ~Mn, siis need jõupaarid võib
kasutatakse ruumikoordinaate. KOORDINAADID. Asukoha määramiseks piisab kolmest arvust (tinglikult pikkus, laius ja kõrgus). Nende kolme arvu saamiseks tuleb konstrueerida KOORDINAATSÜSTEEM - reeglistik nimetatud arvude leidmiseks. Lihtsaim ja sagedamini kasutatav on RISTKOORDINAADISTIK (ka René Descartes (1596-1650 Descartes'i või Cartesiuse koordinaadid): kolm üksteisega risti olevat ühikvektorit, mille suunale projekteeritakse kirjeldatav kohavektor.) Matemaatilise mudeli koostisosad Muutujade. otsustusparameetrid e. juhitavad parameetrid Konstandid, ka kalibreeritavad parameetrid Sisendparameetrid e. andmed Faasimuutujad e. seisundiparameetrid Väljundparameetrid Müra e. juhuslikud parameetrid Mudeli koostamine on mõistlik jagada järgmisteks osadeks (1): Probleemi püstitamine, mudeli eesmärgid. Suurem süsteem tuleb jagada alammudeliteks. Määrame põhimuutujad, märgiühikud;
1. Punktmass:Teatud tingimustel võib jätta keha mõõtmed arvestamata ja vaadelda keha punktmassina. Taustsüsteem:Selleks, et uurida antud keha liikumist teiste kehade suhtes, tuleb kasutusele võtta taustsüsteem. Taustsüsteemi moodustavad taustkeha ja temaga seotud koordinaatteljed. Nihkevektor: kohavektori juurdekasv vaadeldava aja jooksul, kohavektor määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistukus. 2. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nim liikumist, kus keha kiirus muutub mis tahes võrdsetes ajavahemikes sama palju. 3. Kiirendus on füüsikaline suurus, mis iseloomustab keha kiiruse muutumist ajas. 4. Pöörlemise kinemaatika: Kõik jäiga keha punktid liiguvad mööda ringjooni, mille keskpunktiks on pöörlemistelg. Kui
i, j, k – vektori komponendid ⃗a + b⃗ =i⃗ ( a x + bx ) + ⃗j ( a y +b y ) + ⃗k (a z +b z ) Skalaarkorrutis: ⃗a ∙ ⃗b=|⃗a||b⃗| cosα=a x b x +a j b j +a z b z Kui suudame ära näidata, et vektorid on risti, siis võime öelda, et skalaarkorrutis on 0. ⃗ ⃗ Vektorkorrutis: |a⃗ × b|=¿ ⃗a∨∙∨b∨sinα Vektorid on võrdsed, kui suund ja siht on sama. Samasihilised võivad olla erisuunalised. 2. Mis on taustsüsteem, kohavektor, nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Kohavektor on vektor, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist antud punkti (r). Nihkevektor on liikumise alg-punktist liikumise lõpp- punkti tõmmatud vektor (∆r). ⃗ ∆ r =⃗ r 2−⃗
FÜÜSIKA I põhimõisted Kohavektor on koordinaatide alguspunktist antud punkti tõmmatud vektor G G G G r = xi + yj + zk , kus ( x, y, z ) on punkti koordinaadid. Nihe on vektor, mis ühendab G G G punktmassi kahte asukohta suunaga ajaliselt hilisemasse asukohta r = r (t ) - r (t + t ) . G G Kiirus v ja kiirendus a on punktmassi (punkti) liikumist iseloomustavd füüsikalised
ruumipunkti. Keha võib vaadelda punktmassina, kui selle mõõtmed on antud ülesande kontekstis tühiselt väikesed. Punktmassi kinemaatiline võrrand ⃗r =⃗r (t) . Taustsüsteem- kehade süsteem, mille suhtes kehade kinemaatikat vaadeldakse. keha asukoht- Keha asukoha määramiseks on vajalik taustsüsteem (taustkeha ja koordinaatteljed ) nihkevektor- ∆ r⃗ , kohavektori juurdekasv vaadeldava aja jooksul, kohavektor ( ⃗r ) määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistukus. 2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus. Kui ⃗r =⃗r (t) on punktmassi liikumise kinemaatiline võrrand, siis t d r⃗ ds hetkkiirus v⃗ =
DEF 14. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) (xX) on esitatud võtrrandi F(x;y)=0 abil ilmutamata kujul , kui iga x korral X kehtib F(x; f(x))=0 DEF 15. Funktsionaalse sõltuvuse y=f(x) (xX) esitust kujul x=(t) ja y=(t) (tT), kus (T)=X ja iga t korral T kehtib (t)=f((t)) nim. funktsiooni f parameetriliseks esituseks ning kõneldakse parameetriliselt esitatud funktsioonist f. DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
19. Elimineerige alljärgnevatest võrranditest aeg ja ilmutage ilma ajata kinemaatilisi suurusi siduv valemitest 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. Asja mõte on see, et kõik inertsiaalsed taustsüsteemid onnendes kulgevate mehaanikaprotsesside kirjeldamisel samaväärsed. 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor(r), joonkiiruse vektor(v) , pöördenurk(), pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor(). 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. d(f) - lõpmata väike suurus/protsess, mille käigus võib leida üha väiksemaid suurusi 24
18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. dv ds a= v= dt dt dv ds a= v= dt dt 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor, järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. d - d 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. kiirus kiirendus võrrand 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 24
Tähistame i-nda punktmassi massi mi r ja tema kohavektori i . m2 m1 mn m3 ri mi Süsteemi masskeskme kohavektor arvutatakse valemist n n m r i i mi ri rC = i =1n = i =1 M mi i =1 . (5.13) Masskeskme x-koordinaadi valem avaldub seega n n m x i i m x i i xC = i =1 n = i =1
toimub kellaosuti liikumisele vastupidises suunas (kellaosuti liikumise suunas) Parema (vasaku) käe reeper Vektorruumi E2 reeperit {O, e1 , e2 } nimetame parema käe (vasaku käe) reeperiks, kui temasse kuuluv baas {e1 , e2 } on parema käe (vasaku käe) baas. Punkti kohavektor - Vektorit OX nim. punkti X kohavektoriks reeperi {O, e1 , e2 , e3 } suhtes. Vektori ristkoordinaadid vektori koordinaadid ristbaasi suhtes Punkti ristkoordinaadid punkti koordinaadid ristreeperi suhtes Vektori parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Vektori koordinaadid parema käe (vasaku käe) baasi suhtes. Punkti parema käe (vasaku käe) koordinaadid - Punkti koordinaate parema käe (vasaku käe) reeperi suhtes nimetatakse punkti parema käe (vasaku käe) koordinaatideks.
Seda joont, mida mööda keha liigub, nimetatakse trajektooriks. Liikumistrajektoori ei tohi samastada teega! Auto trajektoor on kujuteldav joon, maantee aga teetammist ja asfaltkattest koosnev keha. Punktmassi asukohta kirjeldavad kolm koordinaati (vabadusastet) kolmemõõtmelises ruumis. Punktmassi kinemaatika põhivõrrandid on esimest järku harilike diferentsiaalvõrrandite süsteem. Siin tähistab t aega. Punkt suuruse tähise kohal tähistab tuletist aja järgi. r (kohavektor), v (kiirus) ja a (kiirendus) on kolmemõõtmelised vektorid. Suurused r ja v on olekusuurused. Coriolise teoreem Coriolise kiirendus on vektor, mis on risti vektorite ja poolt määratud tasapinnaga ja mille suund määratakse parema käe kruvi reegli järgi, pöörates vektorit väiksemat nurka mööda vektori poole. Kehale mõjuv coriolisi kiirendus avaldub maakera pöörlemise nurkkiiruse ja keha kiiruse kaudu järgmiselt:
1 kui i = j ei e j = ij = kus ij on Kroneckeri sümbol . 0 kui i j Kolmemõõtmelises x, y , z ristkoordinaadistikus tähistatakse telgede suunalised ühikvektorid sageli i = (1, 0, 0 ) , j = ( 0,1, 0 ) , k = ( 0, 0,1) , kohavektor: x = ( x, y, z ) = xi + yj + zk , kiirusvektor: v = ( u , v, w) = ui + vj + wk . Olgu vektorid a = ( a x , a y , a z ) = a x i + a y j + a z k ja b = (b x , b y , bz ) = bx i + b y j + bz k ning nendevaheline nurk
● III seadus ehk mõju ja vastastikmõjuseadus- kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, mis on suuruselt võrdsed ja vastassuunalised. 8. Gravitatsiooniseadus ● kaks keha tõmbuvad teineteise poole jõuga, mis on võrdeline nende kehade masside korrutisega ja pöördvõrdeline nendevahelise kauguse ruuduga. 9. Punktmassi ja süsteemi impulss. ● punktmassi impulsimoment koordinaatide alguspunkti suhtes on L=r*p=r*mv, kus r osakese kohavektor, v kiiruse vektor, m mass ja p=mv impuls ● Impulsi jäävuse seadus: suletud süsteemi koguimpulss (sinna kuluvate kehade summa) on sinna kuuluvate kehade igasugusel vastastikmõjul jääv (p1+p2+p3+…+pn= mv1+mv2+mv3+…+mvn =const; ). Impulsi jäävuse seadus võimaldab kirjeldada mitmeid põrgetega seotud nähtusi ja reaktiivliikumist 10. Impulsi jäävuse seadus. ● välise jõumomendi puudumisel on keha impulsimoment jääv.
Punkti asend taustsüsteemis : ( ). asend taustsüsteemis : ( ). Antud Galilei teisenduste diferent- seerimisel aja järgi saab leida kiiruse: { { { 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor, järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöör- denurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor: kohavektor joonkiiruse vektor pöördenurk
pikkuseks võetakse vektoritele ja ehitatud rööpküliku jargmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. Aja ja ruumi homogeensus tagab teadmiste kogumise. pindala
Kosmoloogiline printsiip kehtib ainult piisavalt suures mastaabis, so minimaalselt sellises mastaabis nagu kaugus galaktikaparvede vahel, seega umbes 100 miljonit valgusaastat. Väikesteks piirkondadeks ehk punktideks loetakse galaktikate parvesid läbimõõduga umbes 30 miljonit valgusaastat. Hubble´i seadus- mida kaugemal asub vaatlejast kosmoloogiline objekt (nt galaktika), seda kiiremini ta vaatlejast eemaldub: kus - eemaldumise kiirus, - vaadeldava objekti kohavektor (vaatleja on koordinaatide alguspunktis), - Hubble´i konstant. H- on konstant selles tähenduses, et antud ajahetkel on kõigi galaktikate jaoks sama. Kuid nagu hiljem näeme, muutub Hubble´i konstant Universumi evolutsiooni jooksul. Mikrolaineline foonkiirgus - on isotroopne ja vastab soojuslikus tasakaalus oleva absoluutselt musta keha kiirgusele temperatuuril 2,7 K. Vaadeldavad üliväikesed kõrvalekalded nimetatud seaduspärasustest
Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 22. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. 23. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste vahel, tuletage seos kiiruste vahel. 24. Lähtudes seosest kiiruste vahel, tuletage seos kiirenduste vahel, nimetage need ja tehke joonis vektorite kohta. 25
(6.9) dt Tuletisemärgi all sulgudes saame uue füüsikalise suuruse, mida nimetatakse vaadeldava punktmassi impulsimomendiks punkti O suhtes. Punktmassi impulsimomendiks mingi punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutist LO = r × p = r × mv , (6.10) kus r on selle punktmassi kohavektor punkti O suhtes ja p selle punktmassi impulss. Vastavalt vektorkorrutise arvutamise eeskirjale tema moodul avaldub LO = mp sin , (6.11) kus on nurk kohavektori ja impulssvektori vahel. Vastavalt vektorkorrutise definitsioonile on ka impulssmomendi vektor risti kehavektori ja impulssvektoriga määratud tasandi suhtes, vt. joonis järgmisel leheküljel. m O
Punktmassi kinemaatiline võrrand . Jäik keha keha, mis talle mõjuvate jõudude toimel ei muuda oma suurust ega kuju ehk keha, mille kõik osad on üksteisega seotud nii, et keha kuju muutumine ei ole võimalik. Taustsüsteem kehade süsteem, mille suhtes kehade kinemaatikat vaadeldakse. Liikumisseadus kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas (x=x(t), y=y(t), z=(t)). Nihkevektor , kohavektori juurdekasv vaadeldava aja jooksul, kohavektor () määrab üheselt ära keha asukoha ristkoordinaadistukus. Kulgev liikumine kõik keha punktid liiguvad keskpunkti suhtes ühesuguse kiirusega. Kui keha punktid liiguvad keskpunkti suhtes erineva kiirusega, on tegu pöörleva liikumisega. 2. Kiirus. Ühtlane ja ühtlaselt muutuv liikumine. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis iseloomustab punktmassi asukoha muutumist ajavahemikus. Kui on punktmassi liikumise kinemaatiline võrrand, siis hetkkiirus ja keskmine kiirus , millest teepikkus
0 v1 v 2 v2 as 2 a s v 22 v12 2 v1 20) On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. x x' y y 'v0 t z z' t t' 21) Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 22) Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. d Nurkkiirus: dt d
Klassikaline mehaanika 2) Kulgliikumise kinemaatika põhimõisteid o Ainepunkt (punktmass) – nimetatakse keha mille mõõtmed ja kuju võib jätta arvestamata tema liikumise kirjeldamisel o Taustsüsteem (+ joonis) – Targalt valitud keha , mille sutes on otsustatud määrata kea asendit ruumis ja millega on seotud koordinaadistik ja ajamõõtmise viis. (JOONIS ON X;Y;Z TELJESTIK) o Kohavektor (+ joonis)- nimetatakse sellist vektorit, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist O kuni vaadeldava ainepunktini A (väikeste tähtede koal noolekesed) z A r k y x i j
Füüsika eksam 1. Liikumise kiirendamine. Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Kohavektor on vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Trajektoor on keha või ainepunkti teekond liikumisel ruumis või tasandil. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis võrdub nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajagavahemiku suhtega(kiirusvektor on igas trajektoori punktis suunatud mööda trajektoori puutujat selles punktis) Kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus. Kiirendus näitab keha kiiruse muutumist ajaühikus (Kiirendusvektor lahutub
ajas. Tähistades konstantse kõverusraadiuse tähega R saame normaalkiirenduse avaldada �� = � 2 � . Ringliikumisel nimetatakse seda tavaliselt kesktõmbekiirenduseks, sest ta on suunatud ringi keskpunkti. Ringjoonelistest on kõige lihtsam ühtlane ringliikumine. Selle puhul �� = 0 . Kiirus ei muutu suuruse poolest, suund aga muutub. Seetõttu �� ≠ 0 . Punkti asukohta ringjoonel võib määrata ka nurgaga � . Kui koordinaatide alguspunkt O on ringi tsentris, siis kohavektor muutub ainult suuna poolest. Olgu see aja ∆� jooksul pöördunud nurga ∆� võrra. Ajaühikus sooritatud pöördenurk on siis ∆� ∆� . Seda nimetatakse keskmiseks nurkkiiruseks ajavahemikul ∆� või kaarel A1A D)Pöörlemist kirjeldavate suuruste vektoriseloom Kiiruse � , kiirenduse � , tangentsiaal- � � ja normaalkiirenduse � � vektoriaalsus selgus juba eelnevalt. Osutub, et ka nurk � pi , nurkkiirus � omega ja nurkkiirendus � on vektorid
∙ᵇ+ ᵆ⃗ 0 ᵅ⃗ ᵇ+ ᵆ⃗ = ʃ(ᵄ⃗ ᵇ2/2+ ᵆ⃗ 0)ᵆᵇ= ᵄ⃗ 0ᵇ+ ᵅ⃗ 0 9. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. 10. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöördenurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor. 11. Andke nurkkiiruse ja nurkkiirenduse definitsioonvõrrandid. Milline on kiireneva pöördliikumise liikumisvõrrand. Kasutage kiireneva kulgliikumise liikumisvõrrandit eeskujuna. kiirus kiirendus võrrand 12. Lähtudes seosest pöördliikumist iseloomustavate suuruste
Füüsika eksam 1. Liikumise kiirendamine. Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Kohavektor on vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Trajektoor on keha või ainepunkti teekond liikumisel ruumis või tasandil. Trajektoori saab korrektselt kasutada ainult punktmassi korral. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis võrdub nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajagavahemiku suhtega(kiirusvektor on igas trajektoori punktis suunatud mööda trajektoori puutujat selles punktis) Kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus
mool - (mol) ainehulk kandela - (cd) valgustugevus Ainepunkt (punktmass) Ainepunktiks nimetatakse keha, mille mõõtmed ja kuju võib jätta arvestamata tema liikumise kirjeldamisel. Punktmass on füüsikalise keha mudel, mille puhul keha mass loetakse koondatuks ühte ruumipunkti. Taustsüsteem Taustsüsteem on targalt valitud keha, mille suhtes on otsustatud määrata keha asendit ruumis, ja millega on seotud koordinaadistik, ja ajamõõtmise viis. Kohavektor Kohavektoriks või raadiusvektoriks nimetatakse sellist vektorit, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist 0 kuni vaadeldava ainepunktini A. Nihkevektor Osakese asendi muutumist punktist A1 (algpunkt) punkti A2 (lõpp punkt) ajavahemiku (t) jooksul nimetatakse nihkeks (nihkevektoriks) Liikumisseadus Kui punkt liigub ruumis, siis tema koordinaadid muutuvad ajas. Valem: r = f (t) Kiirus ja kiirendus
annaabi.ee 
