64.Lahenduv LVS- LVS-il leidub vähemalt üks lahend 65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine. Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67.vabad tundmatud – LVS-is olevad fikseeritud reaalarvus, mis ei ole tundmatute kordajateks 68.Maatriksi astak- Öeldakse, et maatriksi A astak on r, kui selle maatriksi elementidest saame moodustada vähemalt ühe nullist erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi nullist erinevat (r+1)-järku miinorit. 69.maatriksi rea juhtelement - nimetatakse selle rea (vasakult) esimest ≠ 0 elementi. Veergu milles juhtelement asetseb, nim juhtelemendiks. 70.treppkujuline maatriks – Ütleme, et maatriks on treppmaatriks, kui on täidetud järgmised tingimused:
variatsioonikordaja on mõõtühikuta suurus variatsioonikordajat tavaliselt esitatakse protsentides Küsimus 26 On antud arvude rida 4, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 2. Leidke arvu 2 astak (vastuse lahtrisse sisestage ainult arv). Õige Hindepunkte Vastus: 4 1.00/1.00 Küsimus 27 Kui tippspetsialistide töötasu I detsiil oli 2010. aastal 566 eurot ja II detsiil 670 eurot, siis mitu protsenti tippspetsialistidest sai palka Vale vahemikus 566 - 670 eurot? Hindepunkte (vastuse lahtrisse sisestage ainult arv) 0.00/1.00 Vastus: 20
saab võrduda null-maatriksiga (nullvektoriga) ka lineaarse kombinatsiooni nullist erinevate kordajate korral, st üht maatriksit saab avaldada ülejäänute kaudu Baasimaatriksid k * = k max = mn Ak * +1 = a1 A1 + a2 A2 + ... + ak * Ak * (nxm) maatriksite hulgas leidub maksimaalselt mn lineaarselt sõltumatut mitte nullmaatriksit, nad moodustavad baasi, st kõik ülejäänud maatriksid on avaldatavad nende lineaarse kombinatsioonina Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga. Ülejäänud reavektorid (veeruvektorid) avalduvad nende r vektori kaudu 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid
sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente. Lahend-f y=y(x), mis y'võrrand muudab samaks muutuja x suhtes. I järku DV-F(x,y,y')=0, x-argum, y-otsitav, F 3 muutuja f. Lin DV-y'+p(x)y=g(x), kus p(x), g(x) on teatavad f-id. Kron-Cap teoreem-lin VS on lahenduv kui maatriks ja laiend maatr on =. Maatr astak-leidub r-järku0 erinev miinor, kuid mitte kõrgemat miinorit, siis maatr astak on r. Maatr- arvuliste elementidega tabel, n-rida, m-veerg. Liitm-liidetavate suurused =. A+B=) +)=()+). Korrut-AxB, A veergude arv=B ridade arvuga. Kor arvuga-maatriksi skalaararvuga k, mille element algmaatriksi korrut selle arvuga.Alamdet-= . Gramer-D, Dx/D=x
maatriksiks. Kui mn siis nim maatriksit ristkülikmaatiksiks ehk mn-maatriksiks. Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi
1 6) ehk lühidalt (B.17 ) 3. Matriksi astak, Kronecker Capelli teoreem. Maatriksi astak on maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade või veergude arv. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Kui meil on n × m maatriks A, siis r(A) min(n,m). Öeldakse, maatriks on täisastakuga, kui ruutmaatriksi astak võrdub tema ridade ja veergude arvuga. Kui ruutmaatriks ei ole täisastakuga, siis tema determinant võrdub nulliga.
Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja
Crameri peajuhtumi korral Maatriksite jagamisest ei saa on suunatud lõik. Tehted avalduvad lin. Võrrandi süsteemi rääkida! vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant
Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem:
% Integraalne TS väljundi järgi (järgimiseks) + TS oleku järgi % Laiendatud olekuvektoriga süsteem % ~ % X = [ X ; Z ] % . % Z = R - Y = R - CX % % ! ~ ~ ~ % U = +K*X +Ki*Z = -K*X , K = [-K -Ki] % % P - soovutud suletud süsteemi pooluste paigutus n + dim(Y) tükki. nnn=size(A,1); rrr=size(B,2); % olekumuutujate arv ja sisendite arv if exist('C'), y_r=size(C,1); A2=[A zeros(nnn,y_r); -C zeros(y_r,y_r)]; B2=[B;zeros(y_r,rrr)]; r2=rank(ctrb(A2,B2)) %juhitavuse maatriksi astak else disp('C maatriks puudub!') end 5. Regulaatorite süntees diskreetajas. Q2=diag([1/(0.2*0.2) 0 1/(0.7*0.7) 0 10]) R2=5/(100*M*M) K2=lqr(A2, B2, Q2, R2) % Q2 ja K2 on laiendatud olekuvektoriga mudeli kaalumaatriksid, R2 on laiendatud olekuvektoriga mudeli juhitavuse maatriksi astak. pi_yregd %käsufail diskreetaja regulaatori sünteesiks PI_yreg.m käsufaili sisu: % PI järgivsüsteemi süntees DISKREETNE % Integraalne TS väljundi järgi (järgimiseks) + TS oleku järgi
elementaarteisendusi kasutades kujule, kus on võimalikult palju nulle 3)kirjutada välja saadud maatriksile vastav lvs 4)kirjutada välja lvsi lahend kasutades vajadusel tagasiasendust. Def lvsi üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, millest on parameetritele arvväärtuste omistamise teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud,
Vastuoluline LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole lahendeid. Gaussi meetod Gaussi meetod baseerub võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Vabad tundmatud Maatriksi astakust lahutada juhtelemendid, siis saab vabad tundmatud. Neid kasutame juhtelementide arvutamiseks. Maatriksi astak Maatriksi astak on nullist erinevate täiendusmiinorite kõrgeim järk. Astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Maatriksi rea juhtelement Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Treppkujuline maatriks Öeldakse, et maatriks on treppkujuline, kui 1. read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (all) 2. mistahes rea juhtelement asetseb rangelt paremalt temale eelneva rea juhtelemendist
Korrutada saab ainult selliseid maatrikseid, mille puhul esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga. Am*n*Bn*p=Cm*p; Maatriksi korrutamine ei ole kommutatiivne. A*BB*A Kui maatriksis leidub vähemalt 1 nullist erinev r-järku miinor ja mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. r=rank A Maatriksi astakut määravat miinorit nim baasimiinoriks. Baasimiinorid ei ole üheselt määratud. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori on vektoritena lineaarselt sõltumatud. Et leida maatriksi astakut teisendatakse maatriksit nii, et ta kõrgemat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi. * maatriksi rea korrutamine nullist erineva teguriga; * maatriksi ühele
Oluline on teada, et maatriksil ei ole väärtust, see on ainult arvude tabel. Determinandi korrutamisel arvuga korrutatakse mingit rida (või veergu) selle arvuga, maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse sellega kõik elemendid.Maatriksite liitmisel ja lahutamisel peavad maatriksite järgud olema samad. Maatriksi A veergude arv peab olema sama kui maatriksi B ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse
Pärast .................... Maatriksit nimetatakse regulaarse maatriksi pöördmaatriksiks, kui = = , kus on ühikmaatriks 6. Lihtsamad maatriksvõrrandid. A*X=B lahendus: X = A-1*B või X*A=B lahendus: : X = B*A-1 7. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lahend teostab Gaussi või Crameri meetodi abil, näiteks: 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. 9. Maatriksi miinor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement. Kronecker-Capelli teoreem Miinor - Mij nimetatakse determinandi , mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j-inda veeru eemaldamisel Igale nullmaatriksist erinevale maatriksile pannakse vastavusse sellega üheselt määratud naturaalarv maatriksi astak. Leiame maatriksi astakut maatriksi elementaarteisenduste abil. Maatriksi astak ei muutu, kui maatriksile rakendada
17. Vektorruumi baas (sirge,tasand,3-mõõtmeline ruum,aritmeetiline vektorruum) vektori kordinaadid. Tasnd- kasutatakse vektorruum pikkusega 1 kordinaadid-baasiks on iga 2 lin.sõltumatu vektor sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor aritmeetiline vektorruum-valitakse ruumis ,avaldub aritm.vektor kordinaadid-vektori arvud ()on B baasil valitud kordinaadid. 3-mõõtmeline ruum-on baasiks iga 3-lin.sõltumatu vektor 18. Maatriksi astak ja selle leidmine. Maatriksi astak-on maatriksi minoor,mis erineb nullist ja on kõrgemat järku. Leidmine-maatriksi ridade(veergude) elementaarsete teisenduste abil. 19. Pöördmaatriks ja selle leidmise 2 moodust. Pöördmaatriks- A*B=BA=E, E-on ühikmaatriks.on võimalik kui-1) A maatriks on ruutmaatriks, 2) maatriksi pöördtähis on ,2) kui pöördmaatriksi determinant ei võrdne nulliga.
Def1: m korda n maatriksiks A nimetame m korda n elemendist moodustatud arvtabelit, milles on m rida ja n veergu. Kui m=n, siis on tegemist ruutmaatriksiga, vastupidisel juhul on tegemist ristkülikmaatriksiga. Def2_Maatriksid on võrdsed, kui nad on sama järku ja nende kõik vastavad elemendid on võrdsed. Üherealist maatriksit nimetatakse vektoriks. Def3_2 sama järku maatriksi summaks nimetame maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksite kõigi vastavate elementide summa. Def:4 Maatriksi korrutiseks arvuga lambda nimetame sama järku maatriksit, mille elementideks on maatriksi kõigi elementide korrutised arvuga lambda. Def5: maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit, mille elementideks on lähtemaatriksi kõigi elementide vastandväärtused. Def6: Kahe sama järku maatriksi vaheks A-B nimetatakse sama järku maatriksit, mis loetakse võrdseks maatriksi A ja maatriksi (-1)*B summaga. A-B=A+(-1)B Def7: maatriksite korrutiseks...
kirjelduse protsent r^2: 64.90% ressioonisirgega määratud keskmisest tasemest on s=1,6. % tudengite jalanumbri muutlikkusest. eldab leitud lineaarne mudel. 9 1 6 4 2 6 2 6 3 39 23.08% 2.56% 15.38% 10.26% 5.13% 15.38% 5.13% 15.38% 7.69% 100% el on kasvav seos, tugev seos) ne, seda suurem on tema jalg. pikem inimene, seda suurem on tema kehakaal. Jnr Pikkus Pikkuse astak Jalanumber Jalanumbri astak 1 155 1 38 1 2 164 2 38 1 3 166 3 38 1 4 166 3 38 1 5 168 5 38 1 6 170 6 38 1 7 170 6 38 1 8 170 6 38 1
Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused. Determinandi mõiste ja omadused n-järku determinandi mõiste. Determinantide omadused ja arvutamine. Determinantide arendusteoreem. Pöördmaatriks, maatriksvõrrandid Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmine. Erinevat tüüpi maatriksvõrrandite lahendamine. Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste. Carmeri valemid.Maatriksi astak. Üldise lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine, Kronecker Capelli teoreem. Teist järku pinnad Teist järku pindade kanoonilised võrrandid. Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad.
8) Kui det mingi rea/veeru kõik elemendid on nulid, siis võrdub ka det enda väärtus nulliga 9) Kui det peadiagonaalist ülal- või allpool kõik elemendid võrduvad nulliga, siis det väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega 10) Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on lineaarselt sõltuv (üks avaldub teiste kaudu kasut lineaarseid tehteid) Maatriksi astak DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk
järku; tähis: r(A) = rank(A) Maatriksi ridade elementaarteisendused (veergude puhul analoogilised): 1. mingile reale skalaarikordse mingi teise rea juurde liitmine 2. mingi rea korrutamine nullist erineva skalaariga (3. kahe rea omavaheline vahetamine) Kui maatriks B on saadud maatriksist A ridade ja veergude elementaarteisendustega, siis r(A) = r(B) Maatriksi A astaku r(A) leidmiseks teisendatakse see maariks ridade ja veergude elementaarteisendustega selliseks maatriksiks B, mille astak r(B) on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;..
¨ks lahend. Lahend avaldub valemitega det Ai xi = , i = 1, . . . , n det A T~ oestus. Kasuta p¨oo¨rdmaatriksit. 5 LVS-i omadusi LVS-i koosk~olalisust kirjeldab nn Kroneckeri-Capelli 2 teoreem. 5.1 Kroneckeri-Capelli teoreem (astakutingimus) Teoreem 4. LVS on koosk~ olaline parajasti siis, kui tema maat- riksi astak v~ ordub laiendatud maatriksi astakuga. 5.2 ¨ Ulesanne N¨ aidata, et s¨ usteem 2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 6 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 2 on koosk~ olaline. 2 Alfredo Capelli (1855-1910), itaalia matemaatik 6 IV. Lineaarv~
. . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev
. . , n. (B) JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas (veerus), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid. DETERMINANDI ARVUTAMINE 1) Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element. 13 2) Arendada determinant selle rea (veeru) järgi. MAATRIKSI ASTAK Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev
Allolevas Tabelis 1 on näitlikustatud, kuidas see protsess välja näeb. Meil on toorandmete põhjal tehtud allolevalt järjestus väiksemast suuremani. Seejärel saab selle järjekorra alusel iga väärtus omale vastava astaku; tuleb tähele panna, et kui andmetabelis on samasugused väärtused, siis nad jagavad astaku väärtust. Viimase olukorra näiteks on Tabelis 1 toodud esimesed kaks rida, kus toorskooriks on mõlemal indiviidil 1 punkt. Et sellele sama astak anda, võetakse nende sama väärtust jagavate andmepunktide astakute aritmeetiline keskmine (seega praeguses olukorras ,,hõivasid" skooriga 1 väärtused kaks esimest astakut järjekorras, st 1. ja 2. väärtus selles reas: (1+2)/2 = 1.5). Tabel 1 Andmetabel, kus on grupeeriv tunnus, toorandmed ning andmete astakud. Grupp Väärtus Väärtus (toorandmed) (astakud)
ristkoordinaadistik. 1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest. || = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu.
2 8 8 8 7 7 81 18 - 39 - 39 -3 -5 - 14 8 8 3 - 76 4.19. 4 4.20. 4.21. 5. Maatriksi astak. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... ... a am2 ... a m3 Olgu antud maatriks A = m1 . Definitsioon 1. Maatriksi A astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute reavektorite (veergude) maksimaalarvu.
3 - 76 7 8 8 -3 -5 4 - 31 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 5. Maatriksi astak. a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Olgu antud maatriks A = . ... ... ... ... a am2 ... a m 3 m1 Definitsioon 1
2 moodust-1) valemi järgi A = =a a a A 12 22 n 2 ,2) kasutades a13 a23 an 3 ridade(veergude) elementaar teisendusi A,E ..... E, A -1 12) Lineaarne võrrandisüsteem ja selle lahendamine Crameri valemitega.! 13) Maatriksi astak. Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus. 14) Kronecker-Capelli teoreem. 15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum. Skalaarkorrutis on arv =a1 b 1+a 2 b 2 ...+anbn On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel.
Alustatud esmaspäev, 18. jaanuar 2021, 14.00 Olek Lõpetatud Lõpetatud esmaspäev, 18. jaanuar 2021, 14.22 Aega kulus 21 min 51 sekundit Hinne 27.25, maksimaalne 30.00 ﴾91%﴿ Tagasiside Suurepärane! Küsimus 1 Millise kujuga on uuritava tunnuse jaotus juhul, kui keskväärtus on oluliselt suurem kui mediaan? Õige Hindepunkte Valige üks: 1.00/1.00 a. Paremale kallutatud jaotus Märgi küsimus lipuga b. Vasakule kallutatud jaotus c. Sümmeetriline jaotus Küsimus 2 Millises vahemikus asub lineaarse korrelatsioonikodaja r väärtus? Õige Hindepunkte Valige üks: 1.00/1.00 a. 0 kuni 1 Märgi küsimus lipuga b. ‐1 kuni 1 c. ‐1 kuni 0 Küsimus 3 Jaotus...
MAINORI KÕRGKOOL Juhtimise instituut Annika Krutto ANDMEANALÜÜS SOTSIAALTEADUSTES Loengukonspekt Tartu 2009 SISUKORD SISSEJUHATUS...........................................................................................................................3 1. ANDMEANALÜÜSI põhimõisted ......................................................................................... 3 1.1 Üldkogum ja valim............................................................................................................... 3 1.2. Valimi valikumeetodid.........................................................................................................4 1.3. Mõõtmismeetod ja mõõtmisvahend ....................................................................................5 1.4. Andmetabel................................................................................................
· graafid on võrdsed kui märgendamata graafid (aR1b h(a)R2h(b)) · f1(a) = f2(h(a)) samadele tippudele on samad märgendused · g1((a,b)) = g1((h(a), h(b))) samadele tipupaaridele e kaartele on samad märgendused on võrdsed. Tippude jada (a1, ..., an) nimetatakse teeks pikkusega n (n >= 1)., kui igast tipust ai leidub kaar tippu ai+1. Tsükkel on tee, mille korral a1 = an. Graaf on tugevalt sidus, kui iga kahe tipu vahel eksisteerib tee. Tipu astak sisendite ja väljundite suhtes on vastavalt tipust sisenevate või tippu väljuvate kaarte arv . Puud + tsüklivabad orienteeritud graafid: graafi baas tippude hulk, mille astak sisendi suhtes 0. graafi lehed e lõpptipud mille astak väljundi suhtes 0. Puu tsüklivaba graaf, mille baas sisaldab ühe tipu (juur), teiste tippude astak sisendu järgi on 1 ja iga tipu jaoks leidub tee. Tipu sügavus on juurest temani tuleva tee pikkus.
Nõrgad kohad: 1. erindid - teistest väga palju erinevad uurimisobjektid. 2. Ainult lineaarne 3. Kaks erinevat punktiparve 4. Anscombe´i kvartett ·Kui tunnuste vahel on märgata ühist käitumist, siis ei pruugi see tegelikult alati tuleneda nendevahelisest sisulisest seosest. ·Olla ettevaatlik seoste tõlgendamisel: erindid; erinevad grupid; seos, mis tuleneb mingitest kõrvalistest tunnustest/nähtustest Spearmani astakKK, astak - in. järjekorra nr. Soo, rahvuse lõikes ei saa korrelatsiooni kasutada. Kasutatakse arvtunnuste puhul. ·Spearmani korrelatsioonikordaja kasutab mõõtmistulemuste asemel nende astakuid. ·Astakkorrelatsioonikordaja väärtus vaatab tunnuse väärtuste järjestust. ·Seetõttu pole astakkorrelatsioonikordaja ka nii tundlik erindite suhtes. ·Võib teatud mööndustega kasutada ka järjestustunnuste puhul.
. . . . . . . . . . . . 13 2 Pöördmaatriks. Lineaarvõrrandisüsteemid 15 2.1 Maatriksi pöördmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Maatriksvõrrandite lahendamisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Pöördmaatriksi leidmine valemi abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Maatriksi astak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Cramer'i peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Gauss'i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . .
SÕLTUMATUS Definitsioon. Vektoreid a1 , , an nimetatakse lineaarselt sõltuvateks, kui leiduvad reaalarvud 1 , , n , millest vähemalt üks on nullist erinev, nii et 1a1 2 a2 n an 0 . (1) Vastasel korral, kui niisuguseid arve ei leidu, siis nimetatakse vektoreid lineaarselt sõltumatuteks. Nii saab defineerida ka maatriksi astakut: astak on maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade (veergude) arv. Sõltumatute ridade korral ei saa neid arvuga korrutades ja üksteisele liites ühtki rida nulliks teisendada. Teiste sõnadega, vektorid on lineaarselt sõltumatud, kui võrdus (1) kehtib ainult siis, kui 1 2 n 0 .
1 x2 n x3n xkn Kui mudel T b1 b2TS b3 MTS b4 KS u Selle maatriksi astak peab olema k rank ( X ) k Seda mudelit hinnata ei saa. Kui 2) vaatluste arv on väiksem kui parameetrite arv, n < k; 3) mõni seletav tunnus X ei varieeru (kõigil objektidel ühesugune väärtus);
Lahenduskäik Juhitavuse määramiseks peame leidma juhitavuse maatriksi. Juhitavuse maatriks Qc = [ ] 2 K n-1 , kus n on süsteemi järk. Kuna antud juhul on tegemist teist järku süsteemiga ( n = 2 ), siis 1 2 Qc = [ ] = 1 1 - 4 Kui juhitavuse maatriksi astak on võrdne süsteemi järguga rank (Qc ) = n, siis süsteem on täie- likult juhitav. Kui juhitavuse maatriksi astak on süsteemi järgust väiksem rank (Qc ) < n, siis süsteemil on mittejuhitavad olekud. Ainuke juhitavuse maatriksi Qc 2 × 2 alammaatriks on see maatriks ise. 1 2 1 9 det 1 = - - 2 = - 0 1 -
Maatriksi astakuks nim arvu r, kui maatriksi ridade ja ridade ja veergude kustutamise teel maatriksi elementidest moodustatud r-järku determinantiide hulgas on vähemalt üks nullist erinev, kõik sel viisil moodustatud (r+)-järku determinandid aga on nullid (või neid ei saagi moodustada). Kui vähemalt üks maatriksi r-järku determinantidest erineb nullist, kõik kõrgemat järku det-d aga võrduvad 0ga, siis öeldakse, et selle maatriksi astak on r. Tähis r(A). 14. Diferentsiaalid, täisdiferentsiaalid, täistuletised, ilmutamata funktsioonide tuletised. Diferentsiaalid: Varem (dy/dx) (sisult 1 sümbol - tuletis), nüüd (dy)/(dx), dy=(dy/dx)dx e. dy='(x)dx:dx (dy)/(dx)=(dy/dx), Suurusi dy ja dx võib vaadata vastvalt y-i ja muutuja x-i differentsiaalidena. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) U U U
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
