Näide2. : Arvutada kolmandat järku determinant Sarruse reegliga. Lahendus: Kasutame valemit (2.3) 2 -3 4 5 0 -1 2 0 4 + (-3) (-1) 6 + 5 (-2) 4 - 4 0 6 - (-3) 5 4 - (-2) (-1) 2 = 6 -2 4 = 0 + 18 - 40 - 0 + 60 - 4 = 34 . 14. Kõrgemat (neljandat, viiendat jne), järku (2.1) determinantide väärtused leitakse kasutades determinantide omadusi. 2.2. Determinantide omadused. Miinorid. Alamdeterminandid. Vaatleme determinandi põhiomadusi, piirdudes näidetega teist ja kolmandat järku determinantide kohta. 1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada. (determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT). Näide 1: 2 5 2 -3 Antud : = 8 + 15 = 23; Transponeerime : = 8 + 15 = 23 .
leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks.
Siin 1 3 0 3 1 0 2, 18, 6. 2 4 6 4 2 6 Seega = 9, = 3. 13. Maatriksi astak. Definitsioon. Maatriksi miinorid on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel saadud determinandid. r-t järku minor on r-t järku determinant. Seega -maatriksi mingi elemendi miinor on maatriksi -t järku miinor. Näide. Maatriksi esimest järku miinorid on selle maatriksi elemendid: 1,2, 3 jne. Teist järku miinorid on näiteks Kolmandat järku miinorid on Kõrgemat järku miinorid antud maatriksil puuduvad. Definitsioon
. . xi1 jm x xi2 j2 . . . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n - m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . . . , in ; jm+1 , jm+2 , . . . , jn . Definitsioon 4.2. Miinorit
. . xi1 jm x xi2 j2 . . . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n − m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . . . , in ; jm+1 , jm+2 , . . . , jn . Definitsioon 4.2. Miinorit
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on
1. Kui vahetada omavahel 2 rida või 2 veergu, siis determinandi märk muutub vastupidiseks ( + - , - + ). 2. Kui maatriksi 2 rida või 2 veergu on võrdsed, siis vastuseks on ,,0", või kui kõik elemendid reas või veergus on ,,0"-id, siis selle maatriksi determinant on ,,0". 23. september 2008.a. KÕRGEMAT JÄRGU DETERMINANDID Need on kõik determinandid alates 4-st järgust. MIINORID ja ALAMDETERMINANDID 6 Majandusmatemaatika ja Statistika (RP089) Elemendi aij miinoriks (Mij) nimetatakse D-di, mis saadakse antud maatriksist või D-st vastava rea (i-nda rea) ja veergu (j-nda veergu) ära jätmisel. esimene veerg jääb välja
teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem
kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
kombinatsioonina, siis determinant võrdub nulliga. 6. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis determinandi märk muutub vastupidiseks. 7. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga k, siis determinandi väärtus suureneb k korda. 8 .Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele liita teise rea vastavad elemendid, mida on eelnevalt korrutatud nullist erineva arvuga. Miinorid ja alamdeterminandid. Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik. Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik . Dik = (-1)i+kMik. Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
(r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid. Üldsust kitsendamata võib eeldada M1,..,k1,..,k 0. Peame näitama, et 1. 1; ...; k on lineaarselt sõltumatud vastuväiteliselt eeldame, et 1; ...; k on lineaarselt sõltuvad, näiteks 1 = c22 + ... + ckk; c2,..., ck K, siis M -> esimesest reast lahutada c22 + ... + ckk -> arendus I rea järgi -> M = 0, mis on vastuolu 2. kõik reavektorid 1; ...; n avalduvad lineaarse kombinatsioonina vektoritest 1; ...; k 1 = 11 + 02 + ... + 0n; ...; k = 01 + 02 + ... + 1k; ..
Lahendus: Kasutame valemit (2.3) 2 -3 4 2 0 4 + ( -3) ( -1) 6 + 5 (-2) 4 - 4 0 6 - ( -3) 5 4 - ( -2) ( -1) 2 = 5 0 -1 = 0 +18 - 40 - 0 + 60 - 4 = 34 . 6 -2 4 · Kõrgemat (neljandat, viiendat jne), järku (2.1) determinantide väärtused leitakse kasutades determinantide omadusi. 2.2. Determinantide omadused. Miinorid. Alamdeterminandid . Vaatleme determinandi põhiomadusi, piirdudes näidetega teist ja kolmandat järku determinantide kohta. 1. omadus : determinant ei muutu, kui read ja veerud omavahel ümber paigutada. (determinandi väärtus ei muutu transponeerimisel det A = det AT). Näide 1: 2 5 2 -3
0 31 32 33 0 arendus 1. rea järgi: ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 70 * A * ' (& 1)1 % 1 a11 M11 % (& 1)1 % 2a12 M12 % (& 1)1 % 3 a13 M13 ' a11 M11 & a12 M12 % a13 M13 Arvestades, et antud juhul on miinorid II järku determinandid, M11 ' /0 /0 M12 ' /0 /0 M13 ' /0 / 00 a a 000 a22 a23 a21 a23 a21 a22 00 a a 00 00 a a 00 0 32 33 0 0 31 33 0 0 31 32 0 saame III järku determinandi jaoks
annaabi.ee 
