TASANDID Anna Karin Ericson 12.klass Tasand • - normaalvektor • a, b, c – telglõigud • A, B, C, D – kordajad tasandi üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand • Tasandi normaalvõrrand =0 NB: Märk ruutjuure ees võetakse vastupidine D märgiga. • Nurk tasandite vahel =
3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on Sirge üldvõrrandiks on Ax + By + C = 0, kus sihivektori koordinaadid on ja normaalvektori koordinaadid . Normaalvektor on risti sihivektoriga . Sirge tõusu saab arvutada valemitega . Punkti kaugus sirgest Ax + By + C =0 . Kahe sirge lõikepunkti saab vastavate võrranditega moodustatud lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisega. Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. Risti olevate sirgete tõusude korrutis on -1. Nurk kahe sirge vahel on arvutatav valemiga . On antud kaks punkti A(-2; 6) ja B(4; -3) Kirjuta nende punktidega määratud sirge võrrand ......................................
tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega.
vektor AB asuvad kõik ühel tasandil (on komplanaarsed, determinant = 0). 4. Sirged on kiivsirged, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed ning sihivektorid ja vektor AB ei asu kõik ühel tasandil (ei ole komplanaarsed). Tasandi võrrandid: Antud on tasandi üks punkt P ( x1 ; y1 ; z1 ) ja ( x - x1 ) A + ( y - y1 ) B + ( z - z1 ) C = 0 normaalvektor n = ( A; B; C ) : Tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 Tasandi võrrand telglõikudes (kus a ,b ja c on x y z + + =1 lõikekohad vastavate telgedega) a b c Kahe tasandi vastastikused asendid On antud 2 tasandit A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ja A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Nende
F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P.
Tasand on I järku algebraline pind. Kui tasandi võrrandis A=0, siis tasand on risti y-z tasandiga. Kui B=0, siis risti x-z tasandiga. Kui C=0, siis risti x-y tasandiga. Kui D=0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti. Kui A=B=0, siis tasand on paralleelne x-y tasandiga. Kui A=D=0, siis tasand läbib x-telge. Tasandi võrrand telglõikudes Punkti Po(xo; yo; zo) kaugus tasandist Ax+By+Cz+D=0 Kahe tasandi vastastikused asendid Olgu 2 tasandit : A1x+B1y+C1z+D1=0; ja tema normaalvektor : A2x+B2y+C2z+D2=0; ja tema normaalvektor Ühtivad tasandid = Paralleelsed tasandid || Lõikuvad tasandid =l Tasandid on risti kui Nurk tasandite vahel Sirge ruumis Sirge sihivektoriks nim iga vektorit, mis on paralleelne sirgega. Sirge kanooniline võrrand Vaatleme sirget, mis läbib punkti Mo(xo;yo;zo) ja sihivektor on . Valime sirgel suvalise punkti M(x;y;z). Moodustame vektori .
+Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 25. Sirge afiinses ruumis.sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Iga kahe erineva punkti p.A ja p.B korral afiinses ruumis leidub parajasti üks sirge u, millel asuvad need punktids.o. (Au, Bu). Sirgeks läbi p.A ja sihivektoriga nim. kõigi selliste punktide PP hulka u mille korral ( ) mingi AR Seda tähistatakse lühidalt: U=PP, iga 26. Sirge 2-mõõtmelises eukleidilises ruumis.sirge üldvõrrand,normaalvektor. Kahemõtmelises eukleidilises ruumis kasutame tuntud x,y-teljestiku.Siin tähistatakse P(x,y) see on x1=x;x2=y, A(x0,y0) sihivektor =(sx,sy),nad avalduvad võrandid kujul. 27. Hüpertasandi mõiste,vektorvõrrand.hüpertasand 2-ja 3 mõõtmelises ruumis.' A(V,P) on-mõõtmiline afiine ruum,milles on määratud mingi reeper.T=(O,B).Hüpertasandiks afiinses ruumis A nim kõige selliste punktide hulka,mille koordinadid rahuldavad lineaarsed võrrandit
Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos
pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t Parameetriline: x = c + s t Kanooniline: x1 - c1 = x 2 - c 2 = ... = x n - c n Kolmemõõtmelise ruumi tasand: 2 2 2 s1 s2 sn .......... . xn = c n + s n t Tähistades sel korral x1 = x, x 2 = y , x3 = z , , ja muutes arvude
funktsiooni täisdiferentsiaaliks kohal A ja tähistatakse dz või d. · Tõestus: Ci = xi`(A) z = Ci* xi + g = g'(ai) * xi + (xi) * xi Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub
funktsiooni täisdiferentsiaaliks kohal A ja tähistatakse dz või d. · Tõestus: Ci = xi`(A) z = Ci* xi + g = g'(ai) * xi + (xi) * xi Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub
Afiinseks ruumiks. Tasandi võrrandid. 1. Tasand läbib punkte A(2; -1; 5) B(3; 0; 7) C(6; -4; 12). Kirjutada tasandivõrrand. Toome sisse muutuva punkti P(x; y; z). AB = (1; 1; 2) AC = (4; -3; 7) AP = ( x -2; y + 1; z 5) AP = AB + AC Tasandi võrrand determinant kujul: 1 1 2 4 -3 7= 0 x -2 y+1 z- 5 Tasandi üldvõrrand: 13x + y 7z 10 = 0 2. Tasand läbib punkti P0( -3; 4; 5) ja normaalvektor on n = (2; -6; 7). Leia tasandi üldvõrrand. (toon sisse muutuva punkti P( x; y; z) P0P n = 0 P0P = (x +3; y -4; z 5) Ax + By + Cz + D = 0 n = (A; B; C) 2 ( x +3) -6 (y 4) + 7 (z 5) = 0 2x + 6 -6y +24 +7z 35 = 0 2x - 6y +7z -5 = 0 3. Tasand läbib punkti P0(6; 0; 8) ja rihivektorid on u = (3; -1; 4) ja v = (2; 5; -7). Toon sisse muutuva punkti P (x; y; z). u × v = n n = ( -13; 29; 17) AP = u + v
Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel
A 2 x +B 2 y +C 2 z + D 2=0 74.Sirge sihivektor – nimetatakse sirge suvalise 2. Erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on ´s . Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingil sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t ´s = A´B , kus AB ⊂ s. 75.Normaalvektor- nimetatakse vektorit n´ =( A 1− A 2 ) sirge s : A 1 x + A 2 y + A3=0 76.Sirge parameetriline vektorvõrrand – Olgu X sirge s suvaline punkt. ⃗ Võrrandit s: AX = t s⃗ , t ∈ R ¿
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 14.8 Nurk kahe tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 14.9 Nurk sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Kontrolltöö teemad 1. Tasandi ja sirge võrrandite koostamine ruumis. 2. Punkti kaugus sirgest ja tasandist. 3. Tasandite ja sirgete vastastikused asendid (nurgad nende vahel). Eksamiteemad 1. Tasandi riht. Normaalvektor. Sihivektor. 2. Tasandi parameetriline vektorvõrrand, tasandi üldvõrrand. 3. Sirge parameetriline vektorvõrrand, sirge kanooniline võrrand ruumis. 4. Punkti kaugus sirgest ja punkti kaugus tasandist. 5. Kahe sirge vaheline nurk, kahe tasandi vaheline nurk, sirge ja tasandi vaheline nurk. PEATÜKK 14. SIRGE JA TASAND RUUMIS Antud loengu materjal pärineb suuresti Aivo Parringu loengu-
x1 = a1 + s1t; ...; xn = an + snt elimineerime parameetrilisest võrrandist t: kanooniline võrrand (x 1 - a1) / sn = ... = (xn - an) / sn (=t) Vaatame juhtu n=2. x1 = x; x2 = y; a1 = x0; a2 = y0; s1 = sx; s2 = sy parameetrilised võrrandid x = x0 + sxt; y = y0 + syt kanooniline võrrand (x - x0) / sx = (y - y0) / sy -> sy(x-x0) = sxy-sxy0 -> syx - sxy + (-syx0 + sxy0) = 0 -> sirge üldvõrrand ax + by+c=0 y - y0 = k(x - x0); k = tan = sy/sx 31. Hüpertasand, selle normaalvektor, omadusi. Hüpertasandi erijuhud. E = (V,P) - eukleidiline ruum; R = (O; 1; ...; n) - reeper Hüpertasandiks eukleidilises ruumis E nimetatakse kõigi selliste punktide P(x1; ...; xn) hulka, mille koordinaadid x1, ..., xn rahuldavad lineaarset võrrandit a1x1 + a2x2 + ... + anxn + b = 0, kus a1, ..., an ja b on fkseeritud reaalarvud ning arvude a1, ..., an seas on vähemalt üks arv nullist erinev (|a1| + ... + |an| 0 ehk a12 + ... + an2 0). = {P(x1; ...; xn) | a1x1 + ... + anxn + b = 0}
Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes on sirge sihivektor suvaline vektor, mille moodustajaks on mingi sirgel asuv seotud nullvektorist erinev seotud vektor, s.t. s = , kus AB s. Joonis: Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1,A2) nimetatakse sirge s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 normaalvektoriks. Koordinaattelg - Sirget, mis läbib reeperi alguspunkti O ja mille sihivektoriks on vektor e , nimetame koordinaatteljeks. Punkti O ja i ei poolt määratud koordinaattelge nimetame O e -teljeks ehk xi -teljeks. i Sirge parameetriline vektorvõrrand - Sirge s võrrandit kujul s :AX = ts, t R
Kuna (xi )xi ja on k~orgemat j¨arku l~opmatult v¨aikesed suurused xi suhtes protsessis xi 0 siis v~orduse (6.29) parem pool l¨aheneb nullile kui xi 0. Seega peab vasak pool (mis on konstantne) v~orduma nulliga. Seega Ci - g (ai ) = 0 ehk Ci = g (ai ). L~opuks, kuna g (ai ) = fxi (A), saamegi valemi (6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud. 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk-
r 2 x + 3 y = 23 , siis saame võrrandist lugeda normaalvektori n = (2; 3) , mida saaks kasutada sirgete vahelise nurga leidmisel sihivektorite asemel. Normaalvektori kasutamist võibki näidata kas tasandi võrrandi õpetamise juures või eksamieelse kordamise ajal. Normaalvektorite kasutamiseni jõutakse tavaliselt alles ruumigeomeetrias, sest ainekavasse jõuab normaalvektori mõiste koos tasandi võrrandiga. Seega sobib normaalvektor sirgetevahelise nurga leidmiseks eksamieelsel kordamisel. Sirgete võrrandite abil saab kirjeldada ühtlast liikumist, temperatuuri muutusi, ürituse korraldamisel ruumi ja toidu peale tehtavaid kulutusi, loodusressursside kasutamist jne (vaata õpikuid ja jälgi meedias toodud graafikuid). Saame õpilastele näidata, et õpitut on võimalik rakendada elus toimuvate protsesside kirjeldamiseks. Ruutfunktsiooni ja pöördvõrdelise seose graafikute joonestamisega ette antud valemi järgi on
Punktiga ( x1 ; y1 ) ja sihivektoriga s = ( X ; Y ) määratud sirge: x - x1 y - y1 = . X Y Sirge üldvõrrand: Ax + By + C = 0 . r r Selle sirge sihivektor s = ( - B ; A ) , normaalvektor (sirgega risti olev vektor) n = ( A ; B ) , tõus A k =- . B 8.3 Ringjoon ja sfäär Olgu ringjoone keskpunkt K ( x0 ; y0 ) ja raadius r, siis ringjoone võrrand on 46 ( x - x0 ) + ( y - y0 ) = r 2 . 2 2 Kui ringjoone keskpunkt on koordinaatide alguspunktis, siis
Olgu sirge s määratud oma sihivektoriga s = (s1 ; s2 ) ja punktiga A(x1 ; y1 ). Punkt X(x; y) asub vaadeldaval sirgel parajasti siis, kui vektorid s = (s1; s2) ja AX = (x-x1; y -y1) on samasihilised (AX||s), st parajasti siis, kui ülalolev võrdus on tõene. Üldvõrrand kanoonilise võrrandi lineaarvõrrandiks teisendatud kuju s2 x + (-s1 )y + (s1 y1 - s2 x1 ) = 0 Ax + By + C = 0 A = s2 , B = -s1 , C = s1 y1 -s2 x1 sihivektor s=(-B; A) ja normaalvektor s=(A; B) võrrand tõusu ja algordinaadi abil y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega ja 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. antud sirged s ja t: ja ja ja kaks sirget on paralleelsed, kui nende sihivektorid on kollineaarsed/sihivektorite
Punktiga x1 ; y1 ja sihivektoriga s X ; Y määratud sirge: x x1 y y1 . X Y Sirge üldvõrrand: Ax By C 0 . r r Selle sirge sihivektor s B ; A , normaalvektor (sirgega risti olev vektor) n A ; B , tõus A k . B 8.3 Ringjoon ja sfäär Olgu ringjoone keskpunkt K x0 ; y0 ja raadius r, siis ringjoone võrrand on 46 x x0 y y0 r 2 . 2 2
ruumalaga. Valem (3) annab eeskirja segakorrutise arvutamiseks. Peale rööptahuka ruumala arvutamise võib segakorrutist kasutada ka kahe mitteparalleelse sirge vahelise kauguse arvutamiseks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis 7.Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. Defineerime sirge mõiste mis tahes afiinses ruumis nii, et et erijuhuna saaksime sirge, mida tunneme kooligeomeetriast. Selleks vaatleme mis tahes sirget u tasandil. r r
3 1. Olgu s vektor ruumis R . Siis kehtib valem s f ' ( P ) = |s| 2. Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui vektor s on gradiendisuunaline 3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A. Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A 12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge Pinna puutujatasand ja tema võrrand Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b)) Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis 13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid
Kui eksisteeriva integraalid D f(P)dS ja cD g(P)dS ning iga P D korral kehtib f(P) <= g(P), siis D f(P)dS Võtame viimase seose mõlemast poolest piirväärtuse, valides piirprotsessiks (,) (0;0). Soovitud puutujatasandi võrrandiks on -(,) = (,)( -)+(,)( -) ehk (,)( -)+(,)( -)-( -(,)) = 0. cD g(P)dS Viimasest võrrandist on leitav võrrandiga = (,) antud pinna normaalvektor punktis (,,(,)) = ((,), (,), 6. Kui eksisteerib integraal D f(P)dS ja piirkonnas D kehtib võrratus m f(P) M, siis m D f(P)dS M -1). Et vektor n on punktis P pinna normaali (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali võrranditeks on - / (,) = - /(,) = -(,)/ -1 , kusjuures (,,) on selle normaalsirge suvaline punkt. Kui aga P on pinna fikseeritud punkt, Muutujavahetus kordses integraalis
Elektriväljatugevuse jõujooned: sellised jooned elektriväljas, mille puutujaks igas punktis on väljatugevus. Ekvipotentsiaalpinnad: sellised pinnad elektriväljas, mille ulatuses on potentsiaalil sama väärtus, täpsemalt vaata 6. punkt. Elektrivälja (samuti grad fi) jõujoon on igas punktis risti seda punkti läbiva ekvipotensiaalpinnaga. Elektriväljatugevuse voog on mingit pinda läbivate jõujoonte arv. Voogu arvutatakse valemiga: ϕ =ES(vektoritega)=EScos α , kus S on selle pinna normaalvektor ehk nn pindalavektor, mille moodul võrdub selle pinna pindalaga. alfa on pinna (samuti pindalavektori) ja elektrivälja vaheline nurk. Valem otseselt mittehomogeenses väljas ega kõverapinna puhul ei kehti. Sellisel juhul on vaja esmalt arvutada voog läbi elementaarpinnalemendi dS d Φ=E(→) dS(→)=EdScos α ning seejärel summeerida kõiki pinnaelemente läbivad vood ehk integreerida üle pinna S: ❑ ❑
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus teisendus on kujul 𝑧=𝑧 .Tavaliselt € [0, +lõpmatus) φ € [0, 2π). ∭Ω 𝑓(𝑥, ...
annaabi.ee 
