2 4 6 4 2 6 Seega = 9, = 3. 13. Maatriksi astak. Definitsioon. Maatriksi miinorid on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel saadud determinandid. r-t järku minor on r-t järku determinant. Seega -maatriksi mingi elemendi miinor on maatriksi -t järku miinor. Näide. Maatriksi esimest järku miinorid on selle maatriksi elemendid: 1,2, 3 jne. Teist järku miinorid on näiteks Kolmandat järku miinorid on Kõrgemat järku miinorid antud maatriksil puuduvad. Definitsioon. Maatriksi astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1) leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor,
3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,...,m; j=1,...,n; k=1,...q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma.) C(cik), kus cik = n j=1 aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ... ainbnk. Omadused: A(BC)=(AB)C; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; kui A=B, siis CA=CB; kui A=B, siis AC=BC;k(AB)=(kA)B=A(kB). 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Determinant-lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Determinandi järk tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud). Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Miinor rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa) Alamdeterminant miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis 4
vektoritega: Summa, vahe, tundmatud murdudena, mille 1. Maatriksi astak, selle korrutamine skalaariga (arvuga) nimetajates on süsteemi maatriks leidmine. Näide Koordinaatidega antud vektorid, determinant , lugejas maatriks kus Kui maatriksis leidub vähemalt tehted nendega Olgu antud tundmatute veerg on asendatud üks nullist erinev r –järku miinor, vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vabaliikmetega, determinant. kuid mitte ühtegi nullist Erinevat vektorit b kujul b _ a1a1 _ a2a2 Determinantide omadused, kõrgemat järku miinorit, siis _. . ._akak, kus a1, a2, . . . , ak on determinandi arendus rea (veeru) öeldakse, maatriksi astak on r. reaalarvud, nimetatakse vektorite järgi Maatriksi astaku hõlpsamaks a1, a2, . .
sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente. Lahend-f y=y(x), mis y'võrrand muudab samaks muutuja x suhtes. I järku DV-F(x,y,y')=0, x-argum, y-otsitav, F 3 muutuja f. Lin DV-y'+p(x)y=g(x), kus p(x), g(x) on teatavad f-id. Kron-Cap teoreem-lin VS on lahenduv kui maatriks ja laiend maatr on =. Maatr astak-leidub r-järku0 erinev miinor, kuid mitte kõrgemat miinorit, siis maatr astak on r. Maatr- arvuliste elementidega tabel, n-rida, m-veerg. Liitm-liidetavate suurused =. A+B=) +)=()+). Korrut-AxB, A veergude arv=B ridade arvuga. Kor arvuga-maatriksi skalaararvuga k, mille element algmaatriksi korrut selle arvuga.Alamdet-= . Gramer-D, Dx/D=x
nimetatakse nilpotentsuse astmeks. Nullmaatriksist erinevaid maatrikseid, milliste korrutis aga on nullmaatriks, nimetatakse nulliteguriteks. Kahte maatriksit nimetatakse sarnasteks maatriksiteks, kui leidub teatav regulaarne maatriks C nii, et on täidetu tingimus A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed.
selle arvuga. · Maatriksi korrutamine. Korrutada saab ainult selliseid maatrikseid, mille puhul esimese maatriksi veergude arv on võrdne teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga. Am*n*Bn*p=Cm*p; Maatriksi korrutamine ei ole kommutatiivne. A*BB*A Kui maatriksis leidub vähemalt 1 nullist erinev r-järku miinor ja mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. r=rank A Maatriksi astakut määravat miinorit nim baasimiinoriks. Baasimiinorid ei ole üheselt määratud. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori on vektoritena lineaarselt sõltumatud. Et leida maatriksi astakut teisendatakse maatriksit nii, et ta kõrgemat järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakusse nurka. Teisenduseks kasutame elemntaarteisendusi
2) ; 3) ( + ) = + ; 4) () = (). 5) () = () = (). lineaarsete tehete: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Ruutmaatriksit, mille peadiagonaali elementideks on ühed ja kõik ülejäänud elemendid nullid, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E: 3. Esimest, teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Maatriksi elemendi miinor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks nimetatakse arvu Aij = (-1) i+j Mij. Analoogiliselt arendusega (5.1) saab kolmandat järku determinanti arendada mis tahes rea või veeru järgi, kusjuures kõik arendused annavad determinandi väärtuseks sama tulemuse. Arendus rea järgi Arendus veergu järgi Mulle tundub, et det teooria põhivalem on 5
t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik · M võib korrutada arvuga, s.t. me peame korrutada kõiki M-i elemeente · M võib korrutada 3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed
nulliga 9) Kui det peadiagonaalist ülal- või allpool kõik elemendid võrduvad nulliga, siis det väärtus võrdub peadiangonaali elementide korrutisega e pealiikmega 10) Det väärtus võrdub nulliga siis ja ainult siis, kui tema ridada/veergude hulk on lineaarselt sõltuv (üks avaldub teiste kaudu kasut lineaarseid tehteid) Maatriksi astak DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst
Lühidalt tähistatakse maatriksit A= (aik) kus sümbol aik tähistab maatriksi mistahes elementi. I näitab elemendi asukohta ridades, indeks k-veergudes. Maatriksi elemendid võivad olla nullid aga ühegi elemendi asukoht ei tohi tühi olla. Maatriksite teisendamisel kasutatakse samaväärsusteisendusi, mistõttu teisendatud maatriksid on vaid samaväärsed. Samaväärsuse tähistamiseks kas. Märki ~ Maatriksi astak Kui maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis maatriksi astak on r. Kui tegemist on mn-maatriksiga siis ei saa moodustada miinorit, millisel oleks enam kui m rida või enam kui n veergu, seega rm rn. Maatriksi astaku hõlpsamaks leidmiseks teisendatakse maatriksit enne nii et ta kõrgemait järku nullist erinev miinor tuleks maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Selleks vajatakse järgmisi elementaar-teisendusi. Need on: 1
min(n,m). Öeldakse, maatriks on täisastakuga, kui ruutmaatriksi astak võrdub tema ridade ja veergude arvuga. Kui ruutmaatriks ei ole täisastakuga, siis tema determinant võrdub nulliga. Vahel defineeritakse maatriksi astak maatriksi miinorite (ehk alamdeterminantide) kaudu. Nimelt, maatriksi astak on nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. St. kui maatriksil leidub vähemalt üks i- järku miinor, siis on maatriksi astak i. See definitsioon ütleb, et maatriks on täisastakuga, kui tema kõrgeimat järku miinor (determinant) erineb nullist Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Lahenduvuse uurimiseks moodustatakse laiendatud maatriks ja kontrollitakse, kas süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed 5. Pöördmaatriks, p.leidmine, p
maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse sellega kõik elemendid.Maatriksite liitmisel ja lahutamisel peavad maatriksite järgud olema samad. Maatriksi A veergude arv peab olema sama kui maatriksi B ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB BA (omadus). Maatriksi astak, selle leidmine. Näide Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet): 1
reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Maatriksi transponeerimine: maatriksi transponeerimiseks vahetatakse selle read ja veerud. (m × n)-maatriksi A = (aij ) transponeeritud maatriksiks nimetatakse (n × m)-maatriksit AT = (bji ), mille veergudeks on parajasti maatriksi A vastavad read 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. determinant ruutmaatriksile algoritmiga vastavusse seatud arv. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A| determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus antud element paikneb.
teel võimalik saada antud lvsi kõik lahendid. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetritele kindla arvväärtuse omistamise teel nim lvsi erilahenditeks. Maatriksi astak: miinoriks on selle maatriksi ridade ja veergude eemaldamise teel moodustatud det. Astak on selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. Maatriksi astak on r, kui sellel maatriksil 1)leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor 2)puuduvad nullist erinevad r-ist nõrgemat järku miinorid. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Def. Kui maatriksitel A ja B on ühesugused järgud ja astakud, siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust
A*B = C, mille elemendid c ik leidakse summana: Seega tuleb korrutismaatriksi elemendi cik leidmiseks korrutada maatriksi A i-nda reamaatriksi ja maatriksi B k-nda veerumaatriksi vastavad elemendid ja saadud korrutised liita. Nt 1: Nt 2: · Maatriksi transponeerimine: transponeeritud maatriks on maatriks AT, mille veergudeks on maatriksi A vastavad read. 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Igale ruutmaatriksile saab vastavusse seada ühe reaalarvu, mis leaitakse ühe ja sama algoritmi järgi ruutmaatriksi elementide abil. Saadud arvu nim selle ruutmaatriksi determinandiks. Täh | A|. Ruutmaatriksi A järku nim ka determinandi järguks. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nim sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element.
on maatriksi B kujust hõlpsasti leitav. (r(B) suurune ühikmaatriks, ülejäänud nullid) 21. Teoreem maatriksi astakust (tõestusega). Järeldusi sellest. Kui maatriksi A astak on k, siis maatriksil A leidub k lineaarselt sõltumatut reavektorit, millede lineaarse kombinatsioonina avalduvad kõik reavektorid. A = ||aij|| Kmxn. Olgu r(A) = k ja reavektorid 1 = (a11; a12; ...; a1n) Kn ; ...; m = (am1; am2; ...; amn) Kn => leidub k-ndat järku nullist erinev miinor M i1, ...;ikj1;...jk 0 ja kõrgemat järku miinorid on nullid. Üldsust kitsendamata võib eeldada M1,..,k1,..,k 0. Peame näitama, et 1. 1; ...; k on lineaarselt sõltumatud vastuväiteliselt eeldame, et 1; ...; k on lineaarselt sõltuvad, näiteks 1 = c22 + ... + ckk; c2,..., ck K, siis M -> esimesest reast lahutada c22 + ... + ckk -> arendus I rea järgi -> M = 0, mis on vastuolu 2. kõik reavektorid 1; ...; n avalduvad lineaarse kombinatsioonina vektoritest 1; ...; k 1 = 11 + 02 + ..
.. xinjn
Märgiga varustatud täiendusmiinorit
An-m := (-1)rMn-m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . . . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem Olgu X n-järku ruutmaatriks ja selliselt, et i1
Oeldu p~ohjal v~oime leida algebralise t¨aiendi (4.2) ka valemi An-m = (-1)l Mn-m . (4.3) abil. Kokkuv~ottes me leiame algebralise t¨aiendi kas valemi (4.2) v~oi (4.3) abil olenevalt sellest kas kergem on leida k v~oi l. Lause 4.1. Miinori Mm ja tema algebralise t¨ aiendi An-m korrutis Mm An-m koosneb liidetavatest, mis on osa determinandi |X| avaldise (3.1) liidetavatest. T~oestus. T~oestame lemma esmalt erijuhul, kui miinor Mm asub maatriksis X priviligeeritud kohal, s.o. loodenurgas. Seega i1 = 1, i2 = 2, . . . , im = m; j1 = 1, j2 = 2, . . . , jm = m. Valemi (3.1) abil saame x11 x12 . . . x1m x21 x22 . . . x2m Mm = = ..................... xm1 xm2 . . . xmm = (-1)I(1 ,2 ,...,m ) x11 x22 . .
2) ka valemi An−m = (−1)l Mn−m . (4.3) abil. Kokkuv˜ottes me leiame algebralise t¨aiendi kas valemi (4.2) v˜oi (4.3) abil olenevalt sellest kas kergem on leida k v˜oi l. Lause 4.1. Miinori Mm ja tema algebralise t¨ aiendi An−m korrutis Mm An−m koosneb liidetavatest, mis on osa determinandi |X| avaldise (3.1) liidetavatest. T˜oestus. T˜oestame lemma esmalt erijuhul, kui miinor Mm asub maatriksis X priviligeeritud kohal, s.o. loodenurgas. Seega i1 = 1, i2 = 2, . . . , im = m; j1 = 1, j2 = 2, . . . , jm = m. Valemi (3.1) abil saame x11 x12 . . . x1m x21 x22 . . . x2m Mm = = ..................... xm1 xm2 . . . xmm = (−1)I(α1 ,α2 ,..
det ( A B ) = = 13 6 - (-16) 10 = 78 + 160 = 238, 10 6 det A det B = 14 17 = 238. det ( A B ) = 238 = det A det B = 238. Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega. n järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i nda rea ja j veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor, ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg. Näide 10 : 1 0 M 11 = 7, M 12 = 2, M 21 = 0, M 22 = 1 . 2 7 1 0 -1 3 -2 2 -2 2 3 2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = = 17; 4 -4 -3 -4 -3 4 -3 4 -4 0 -1 1 -1 1 0 0 -1 M 21 = = 4; M 22 = = -7; M 23 = = 4; M 31 = = 3;
det ( A B ) = = 13 6 - ( -16) 10 = 78 +160 = 238, 10 6 det A det B = 14 17 = 238. det ( A B ) = 238 = det A det B = 238. Ennem, kui vaatleme 10. ja 11 omadust, tutvume veel mõne uue mõistega. n järgulise maatriksi A elemendi aij miinoriks nimetatakse n 1 järguline determinant, mis tekib algdeterminandist i nda rea ja j veeru kõrvaldamisel . Miinorit tähistatakse kas mij või Mij . Näiteks, M45 on elemendi a45 miinor, ehk determinant kus jäi välja neljas rida ja viies veerg. Näide 10 : 1 0 M 11 = 7, M 12 = 2, M 21 = 0, M 22 =1 . 2 7 1 0 -1 3 -2 2 -2 2 3 2 3 - 2 M 11 = = -4; M 12 = = -14; M 13 = =17; 4 -4 -3 -4 -3 4 -3 4 -4
selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS
selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid. DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest. DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A. DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS. NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud. MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades. TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut. JÄRELDUS
MAJANDUSMATEMAATIKA I Maatriksid 69 Kõrgemat järku maatriksitest determinantide leidmine on järk-järgult taandatav madalamat järku determinantide arvutamisele, s.t III järku determinandi saame II järku determinantide kaudu, IV järku determinandi saame III järku determinantide kaudu jne. Nii on suvalist järku determinandi leidmine taandatav II järku determinantide leidmisele. Elemendi aij miinor Mij on (n - 1) järku determinant, mis saadakse determinandist * aij * i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Seega elemendile aij vastava miinori saame, kui kõrvaldame rea ja veeru, mille ristumiskohas asub element aij. Näiteks III järku determinandi * A * miinori M11 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 1. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatud determinant ongi miinor M11 : Elemendile a12 vastava miinori M12 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 2. veerg
.. := .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3 1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel. Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨ (-1)i+j nimetame elemendi aij ja alamdeterminandi Aij m¨ argi- teguriks. 1.9 Determinandi (induktiivne) definitsioon arku determinandi (n - 1)-j¨arku determinantide
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
