Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0
s = (sx ; s y ; sz ) y = y1 + ts y : z = z1 + ts z Kahe sirge vastastikused asendid On antud 2 sirget s ja t. Sirge s olgu määratud punktiga A( x1 ; y1 ; z1 ) ja sihivektoriga s = (sx ; s y ; sz ) ning sirge t olgu määratud punktiga B ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) ja sihivektoriga x - x1 y - y1 z - z1 = = t = (t x ; t y ; t z )
Sirged tasandil Sirge esitamise viisid: 1. Kahe punktiga esitatud sirge võrrand: Olgu antud kaks punkti , siis sirge võrrandiks on 2. Punkti ja sihivektoriga esitatud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on
y - y1 = k ( x - x1 ) Algordinaat sirge ja y-telje lõikepunkti y-koordinaat. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: y = kx + b Kahe punktiga määratud sirge võrrand: y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 Sirge võrrand telglõikudes: x y + =1 a b y-teljega paralleelse sirge võrrand on x = a x-teljega paralleelse sirge võrrand on y = b Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand: x - x1 y - y1 = sx sy Nurk kahe sirge vahel: k1 - k 2 tan = 1 + k1 k 2 Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. k1 = k2 Ristuvate sirgete tõusude korrutis võrdub -1-ga. k1·k2 = -1
Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad ühel sirgel. = Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand A(a;b) =(c;d) on sisevektor Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand A(a;b) k=sirge tõus y b = k(x a) Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand k=sirge tõus b=algordinaat y=kx + b
(ex)` = (ax)` = (logax)´= (sin x)´ = (cos x)´ = (tan x)´ = LÕIK, SIRGE, VEKTOR, TASAND Lõigu pikkus ruumis: d = Tasandi projektsiooni pindala: Sp = Vektorite paralleelsuse tingimus: Vektorite ristseisu tingimus: Skalaarkorrutis: Nurk vektorite vahel: Vektorite liitmine ja lahutamine: Vektori pikkus: Ühel tasandil olevaid vektoreid nimetatakse komplanaarseteks. Komplanaarsuse tingimus: Sirge võrrand tasandil Kahe punktiga: Punkti ja sihivektoriga: Punkti ja tõusuga: Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis Paralleelsuse tingimus: Millal lõikub, millal kiivne: Tasandi võrrandi üldkuju: Asendid Sirge on paralleelne tasandiga, kui: Lõikab, kui: On tasandil, kui : Nurga leidmine sirge ja tasandi vahel: Nurga leidmine kahe tasandi vahel: Ringjoone võrrandi üldkuju: NB! Tuleta meelde täisruudu eraldamise võte KUUPIDE VALEMID a3 + b3 = a3 b3 =
- Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand x - x1 y - y1 - Kahe punktiga määratud sirge võrrand = x 2 - x1 y 2 - y1 x - x1 y - y1 = - Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand sx sy Ax + By + C = 0 , A, B, C Z - Sirge üldvõrrand x y + =1 - Sirge võrrand telglõikudes a b k - k2 tan = 1
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga...
B(0;b) 1 a b x s A(a;0) y-teljega paralleelne sirge x = a x-teljega paralleelne sirge y = b Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib x-telge punktis -5 ja y-telge punktis 4. x y 1 5 4 x y 1 20 5 4 4 x 5 y 20 .... y 0,8 x 4 y 0,8 x 4 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand y y1 x x1 y P(x;y) y2 y1 x2 x1 B(x2;y2) A(x1;y1) s sx ; s y x y y1 x x1 s sy sx Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit,
tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. k = tan = x 2- x 1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand on y y1 k( x- x1 ). Tõusu ja algoordinaadiga määratud sirge võrrand y kx + b. Kahe punktiga määratud sirge võrrand on y- y 1 x - x1 x - x 1 y- y 1 = y 2- y 1 x 2- x1 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand on sx = sy . Sirge üldvõrrand Ax By +C 0. k - k 1 ( 1 2 )
y = kx + b y A(0; b) 0 x Tõusu ja ühe punktiga määratud sirge võrrand Sirge võrrandiks, kui on teada tõus k = tan ja mingi punkt A(x1; y1) sirgelt, on y - y1 = k ( x - x1 ) . y A(x1; y1) 0 x Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirgega kollineaarset (paralleelset) vektorit. Kui on teada sirge sihivektor s = ( s1 , s2 ) ja mingi punkt A(x1; y1) sellelt sirgelt, siis saab sirge võrrandi esitada kujul x - x1 y - y1 = . s1 s2 y s A(x1; y1)
X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ; 4) määratud sirge tõus. Kas sirge on tõusev või langev?
x+y x - yy-teljega paralleelne x=a sin 2 + cos 2 = 1 cos x - cos y = -2 sin sin sin 2 2 x-teljega paralleelne y=b tan = sin x sin y = 0,5[ cos( x - y ) - cos( x +punkti y ] ja sihivektoriga cos x-x y - y1 cos cos x cos y = 0,5[ cos( x + y ) + cos( x - y )] 1 = cot = s sy sin sin x cos y = 0,5[sin( x + y ) + sin( x - y )]x
segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 32. Sirge, kui kahe tasandi lõikejoon
segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 32. Sirge, kui kahe tasandi lõikejoon
Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P. Kui P(a; b; c) on võrrandiga F(x; y; z) = 0 esitatud pinna punkt ja funktsiooni F(x; y; z) kõik esimest järku osatuletised on pidevad punktis P(a; b; c) ning Puutujatasandi normaalvektor n on risti joone X puutuja sihivektoriga (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) kui skalaarkorrutis (n, (x'(t0); y'(t0); z'(t0)) = n1x'(t0) + n2y'(t0) + n3z'(t0) = 0: Seega puutujatasandi normaalvektoriks sobib n = (Fx (P); Fy (P); Fz (P)) 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju. Kahe muutuja funktsioonia z=f(x,y) jaoks, kusjuures 13. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt
Sirge parameetriline võrrand Parameeter t on muutuv suurus, erinevatel sirge punktidele vastab erinev t väärtus. Sirge kanooniliste ja parameetriliste võrrandite leidmiseks on vaja punkti, mis asuks sirgel ja sirge sihivektorit. Sirge ja tasandi vastasikused asendid Olgu sirge s: A(xo;yo;zo); Tasand : Ax+By+Cz+D=0; Sirge asetseb tasandil s ;A Sirge on tasandiga paralleelne s|| ;A Sirge lõikab tasandit s={L} Kahe punktiga määratud sirge võrrand Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. Tähistatakse k. 6. Teist järku algebralised jooned Ringjoon Ringjooneks nim tasandi nende punktide hulka, mille kaugus tasandi antud punktist on konstantne. Koostame ringjoone võrrandi, kui keskpunkt Q(a;b) ja raadius on r. Tähistame ringjoonel suvalise punkti M(x;y) ja arvutame selle kauguse keskpunktist, siis MQ=r.
Kaugus-on vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused- A,B,CA=(V,P)eukleidil.siis: 1) (Q(A,B)0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)Q(A,C) +Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 25. Sirge afiinses ruumis.sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Iga kahe erineva punkti p.A ja p.B korral afiinses ruumis leidub parajasti üks sirge u, millel asuvad need punktids.o. (Au, Bu). Sirgeks läbi p.A ja sihivektoriga nim. kõigi selliste punktide PP hulka u mille korral ( ) mingi AR Seda tähistatakse lühidalt: U=PP, iga 26. Sirge 2-mõõtmelises eukleidilises ruumis.sirge üldvõrrand,normaalvektor. Kahemõtmelises eukleidilises ruumis kasutame tuntud x,y-teljestiku.Siin tähistatakse P(x,y) see on x1=x;x2=y, A(x0,y0) sihivektor =(sx,sy),nad avalduvad võrandid kujul. 27. Hüpertasandi mõiste,vektorvõrrand.hüpertasand 2-ja 3 mõõtmelises ruumis.'
Vektorite liitmine 4) kasutab vektorite ristseisu ja ja lahutamine. kollineaarsuse tunnuseid; Vektori 5) lahendab kolmnurka vektorite korrutamine abil; arvuga. 6) leiab lõigu keskpunkti Lõigu keskpunkti koordinaadid; koordinaadid. Kahe 7) tuletab ja koostab sirge vektori vaheline võrrandi (kui sirge on määratud nurk. Vektorite punkti ja sihivektoriga, punkti ja kollineaarsus. Kahe tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, vektori kahe punktiga ning teisendab skalaarkorrutis, selle üldvõrrandiks; määrab kahe selle rakendusi, sirge vastastikuse asendi tasandil, vektorite ristseis. lõikuvate sirgete korral leiab Kolmnurkade sirgete lõikepunkti ja nurga sirgete lahendamine vahel; vektorite abil. 8) koostab hüperbooli, parabooli ja Sirge võrrand
Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB Vektorit, mis on risti vaadeldava sirge sihivektoriga, nimetatakse selle sirge normaalvektoriks Sirge tõus sirge tõusunurga tangens. k = tan (sirge tõusu saab leida vaid x-teljega mitteristuvate sirgete korral, st tan väärtus puudub 90° juures). Sirge tõusunurgaks nimetataksse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel (mõõdetakse vastu kellaosuti liikumissuunda). Sirge tõusunurga suurus on alati 0° ja 180° vahel. Kanooniline võrrand on sirge võrrand, mis on määratud sihivektori ja punktiga.
uuur r u = P AP = ts mingi t R korral } . (1) Sirge selles esituses ei ole ruumi mõõdet n. See võimaldab üldistada sirge mõiste mis tahes afiinsele ruumile (ka ruumi eukleidilisus pole vajalik). Olgu A = (V; P) afiinne ruum. r r r Def. 1. Olgu A P ja s V , s . Sirgeks läbi punkti A ja sihivektoriga s nimetatakse kõigi selliste punktide P P hulka u, mille korral uuur r AP = ts mingi t R korral: uuur u = { P P P, AP = tsr mingi t R korral } . (2) Võttes selles võrduses t = 0 , näeme, et ka punkt A ise asub sirgel u ( A u ) . uuur r
funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand
Kui reeper on ortonormaalne, siis * = aibi = a1b1 + ... + anbn Vektori pikkus |||| avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul |||| = sqrt(*) = sqrt(a12 + a22 + ... + an2) Punktide A(a1; ...; an) ja B(b1; ...; bn) vaheline kaugus (A,B) avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul (A,B) = ||v(AB)|| = sqrt((b1-a1)2 + ... + (bn - an)2) 30. Sirge ja tema võrrandid. Sirge võrrandid kahemõõtmelises eukleidilises ruumis. = (V,P) - n-mõõtmeline eukleidiline ruum. Sirgeks läbi punkti A ja sihivektoriga nimetatakse punktide hulka u = {P | v(AP) = t mingi tR korral} uP <=> tR ... v(AP) = t = (ts1; ...; tsn) <=> parameetrilised võrrandid: x1 = a1 + s1t; ...; xn = an + snt elimineerime parameetrilisest võrrandist t: kanooniline võrrand (x 1 - a1) / sn = ... = (xn - an) / sn (=t) Vaatame juhtu n=2. x1 = x; x2 = y; a1 = x0; a2 = y0; s1 = sx; s2 = sy parameetrilised võrrandid x = x0 + sxt; y = y0 + syt kanooniline võrrand (x - x0) / sx = (y - y0) / sy -> sy(x-x0) = sxy-sxy0 -> syx - sxy
· Sirge sihivektor. Iga vektorit, mis on paralleelne vaadeldava sirgega või asub sellel sirgel, nimetatakse sirge sihivektoriks. Järelikult on sihivektoreid lõpmatult palju ja nad erinevad omavahelt pikkuselt või suunalt (2 sihivektorit erinevad vaid arvulise kordaja poolest). Selle leidmiseks piisab kahe punkti leidmisest vaadeldaval sirgel. Nende punktidega määratud vektor ongi üks sirge sihivektor. · Punkti ja sihivektoriga määratud sirge. Antud on punkt A ja sirge sihivektor s. Läbi punkti A saab panna lõpmatult palju sirgeid, nende seast eraldab s välja ühe sirge, mille võrrandit otsime. Olgu otsitava sirge mis tahes punkt M(x;y). Nüüd AM=(x-x1;y-y1) ja järeldub et · Sirge tõus. Positiivset nurka a, mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel, on tõusunurk. Tõusva sirge tõus on pos, langeva sirge tõus neg. · Punkti ja tõusuga määratud sirge
Tasandi võrrand ruumis. Kahe tasandi vastastikused asendid. Tasandi normaal iga vektor, mis on risti tasandi mistahes vektoriga (n = (nx=A; ny=B;nz =C) Tasandi vôrrand ruumis: 1) Ax + By + Cz + D = 0. 2) Viimase saamislugu: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 24. Sirge ja tasandi vastastikused asendid ruumis. Sirge ja tasandi vastastikused asendid ruumis: 1) Paralleelsed: sihivektor risti tasandi normaaliga ja ei ole ühiseid punkte 2) Ühtivad: tasandi normaal on risti sihivektoriga, kôik sirge punktid sobivad tasandi vôrrandisse 3) Lôikuvad: sihiketor ei ole risti tasandi normaaliga (risti juhul kui sihivektor kollineaarne tasandinormaaliga) 25. Ellips (mõiste, kanooniline võrrand). Ellips teist järku joon, mille iga punkti kauguste summa kahest fikseeritud punktist (fookusest) on konstantne. X(x;y) suvaline punkt joonel; F1 ja F2 fookused |F1X| + |F2X| = const. = 2a. e. |r1 + r1| = 2a. Vôrrandiks on vaja fikseerida koordinaatteljestik
........................................................................................................... 34 Sirge tõusunurk, sirge tõus..................................................................................................... 34 Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand................................................................... 35 Kahe punktiga määratud sirge võrrand...................................................................................35 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand......................................................................35 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand.............................................................................. 36 Sirge võrrand telglõikudes......................................................................................................36 Koordinaatteljega paralleelse sirge võrrand........................................................................... 36
x - x1 y - y1 = x2 - x1 y2 - y1 r y2 - y1 sirge sihivektor s = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ) ja tõus k = tan = . x2 - x1 r Punktiga ( x1 ; y1 ) ja sihivektoriga s = ( X ; Y ) määratud sirge: x - x1 y - y1 = . X Y Sirge üldvõrrand: Ax + By + C = 0 . r r Selle sirge sihivektor s = ( - B ; A ) , normaalvektor (sirgega risti olev vektor) n = ( A ; B ) , tõus A
x x1 y y1 x2 x1 y2 y1 r y2 y1 sirge sihivektor s x2 x1 ; y2 y1 ja tõus k tan . x2 x1 r Punktiga x1 ; y1 ja sihivektoriga s X ; Y määratud sirge: x x1 y y1 . X Y Sirge üldvõrrand: Ax By C 0 . r r
Võttes võrrandis ristkorrutise, saame ehk 0. Tähistades , , saame sirge võrrandile kuju 0. (1) Definitsioon. Võrrandit (1) nimetakse sirge üldvõrrandiks. 0; 0, siis võrrandis (1) ei ole a,b samaaegselt nullid. Kuna 0 Tähistame ; ja leiame tema skalaarkorrutise sirge sihivektoriga : · ; · ; ; · ; 0. Seega vektorid n ja on risti ning järelikult vektor on risti sirgega . Definitsioon. Mis tahes nullvekotirst erinevat vektorit , mis on risti sirgega nimetatakse sirge normaalvektoriks. Leiame nüüd mingi punkti kaugust sirgeni. Definitsioon. Punkti kauguseks sirgeni nimetakse sellest punktist sirgeni tõmmatud ristlõigu pikkust. Olgu ; punkt kahemõõtmelises ruumis, leiame punkti kaugus sirgest .
y (5) 3 (5) y 5 8 millest peale lihtsustamist saame 8 11 y x . 7 7 Ülesanne. Leidke sirge võrrand, kui A(–3; –5) ja B(4; –5) Ülesanne. Leidke sirge võrrand, kui A(–3; –5) ja B(–3; 5) © Allar Veelmaa 2014 28 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium PUNKTI JA SIHIVEKTORIGA MÄÄRATUD SIRGE VÕRRAND. SIRGE ÜLDVÕRRAND Punkt A(x1; y1) asub sirgel ning sirge sihivektor on s (s1; s2 ) . Nii määratud sirge võrrand esitub kujul x x1 y y1 s1 s2 Näide. Kui sirge läbib punkti A(3; 4) ja sihivektor s (1;5) , siis sirge võrrand on x 3 y 4 , ehk 1 5
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
