Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vek...
(reaalarvuline juur) ja 2) nA = fi + 2kPi., st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1: Tehted kompleksarvudega algebralisel ja trigonomeetrilisel kujul. Kompleksarvude juurimine ja juurte graafiline kujutamine. Piirkondade kujutamine komplekstasandil. Vektorruum Vektorruumi mõiste. Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite lineaarse sõltuvuse ja sõltumatuse definitsioonid. Vektorite hulga lineaarse sõltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid. Eukleidiline vektorruum Vektorite skalaarkorrutis. Cauchy-Bunjakovski võrratus. Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine
Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon. Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. 14. Vektorruumi baasi definitsioon. Geomeetriliste vektorite baas, aritmeetiliste vektorite baas, maatriksite vektorruumi baas. Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist
lin.kombona, s.t ∀ ⃗x ∈V korral ⃗x =x 1 ⃗ e 1 +x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗ en , kus x 1 ∈ R (i=1,2, … , n) . Lõplikumõõtmeline – vektorruum, milles leidub lõplikust arvust vektoritest koosnev baas B . Lõpmatumõõtmeline – kui eelnevalt mainitud baasi ei leidu. TEOREEM: Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv ei sõltu baasi valikust. DEF2: Vektorruumi V baasivektorite arv on vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Lin.kombo ⃗x =x 1 ⃗ e 1 + x1 ⃗ e 1+ …+ x n ⃗
järku,samm sammu järel saame 3-järku alamdeterminandi mida saab leida sarruse või diogonaali reegli järgi. 2)detrminandi 6 omaduse järgi,pärast asendame kõiki elemente peale ühte nulli võttete abil valitud reas(veerus)-see on võrdne elemendi ja alamdeterminandi(n-1 järk) korrutisega,arendame 3 või 2 järguni ja leiame väärtuse. 16. Vektorruumi def.,lin.tehted. Vektorruumi näited,vektorite lin.sõltuvus. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le (on ) elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6
seatud vastavusse element ⃗c ∈ . V × V →V ( ⃗a , ⃗b ) ↦ c⃗ =⃗a + ⃗b DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommutatiivsus) 2) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ ⃗c ∈V korral ( ⃗a + b⃗ )+ ⃗c =⃗a +(b⃗ + ⃗c ) (liitmise assotsiatiivsus)
kujul z=r(cos +isin ), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2 [ cos ( 1+ 2 ) +isin( 1+ 2) ] juurimine Igal k-arvul z=r(cos +isin ) 0 on parajasti n juurt + 2 k +2 k cos + isin n n ,anname k väärtused (1,2,3....n-1) n n z= r ¿ 4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le ( , V on )elemendile on pandud + V vastandisse. 2) skalaarkorrutamine- vastavuse elemet( C V on pandud arvule( C R ja hulga elemendile ( V ) .vektorruumi element-on vektor. 5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Lineaarse s~oltuvuse tarvilik ja piisav tingimus. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka
1.Vektorruumis on ainult üks nullelement tõestus: Olgu V vektorruum 2 omadus ütleb, et leidub . Olgu meil vektorruumis 1 ja2 vektorruumid. Vastavalt 2 saame seosed x+ 1 =x, 1 +x =x iga xV, y+ 2 =y, 2+y=y iga yV. Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s:
4. Kui mittevõrdsetele lisame võrdsed, saame mittevõrdsed. 5. Kui kahekordistame võrdsed, saame võrdsed. 6. Pooled võrdsetest on võrdsed. 7. Ühtimisse viidavad on omavahel võrdsed. 8. Terve on suurem kui osa. 9. Kaks sirget ei saa määrata ruumi. Eukleidese postulaatidest mitmed, näiteks 1. ja 5. läksid mõnevõrra modifitseeritult geomeetria hilisemate rangelt loogiliste ülesehituste aksioomidesse. Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ehk tasane kolmruum on vektorruum, mida enamasti seostatakse ruumiga füüsikas. Selle ruumi elemente nimetatakse vektoriteks või täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugus, vektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil.
Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon). 5)Polaarkoordinaadid tasandil
on regulaarsed *Maatriksi ja tema pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud *Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis ainult üks. * Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)-1 = B-1A-1. * Maatriksi A-1 pöördmaatriksiks on maatriks A, s. t.(A- 1)-1 = A. *Ühikmaatriksi E pöördmaatriks on ta ise, s. t. E-1 = E. * Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmiseoperatsioon on kommuteeruvad ehk vahetatavad, s. t.(AT )-1= (A-1)T . VEKTORRUUM (ÜLE REAALARVUDE HULGA): Mittetühja hulka V nimetame vektorruumiks üle reaalarvude R, kui hulgal V on järgmine ehitus: I On antud kujutus + : V × V ->V; (x, y) -> x + y, mida nimetame (hulga V) elementide liitmiseks. II On antud kujutus : R × V -> V; (, x) -> x, mida nimetame (hulga V) elemendi korrutamiseks reaalarvuga (vasakult) . III Elementide liitmine ja reaalarvuga korrutamine peavad rahuldama järgmisi aksioome: 1. Elementide liitmine on assotsiatiivne, s. t
LINEAARKOMBINATSIOON V on vektorruum üle reaalarvude hulga R . Valides k vektorit ja k reaalarvu a1 , ⃗ ⃗ ak ∈ V a2 , … ,⃗ ning λ 1 , λ2 , … , λ k ∈ R . Kasutades vektorruumi lineaartehteid, saab moodustada uue vektori: λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ ak ∈V , mida nimetatakse vektorite a2 , … , λk ⃗ a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarkombinatsiooniks. Reaa...
rahuldavad omadusi V1-V8. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks Vektorruume: 1. V - geomeetriliste vektorite hulk tasandil (ruumis); K = R 2. V = Kn - n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulk 3. V = Kmxn - maatriks 4. V = {} - nullruum 5. V = C[a;b] - kõigi lõigul [a;b] pidevate funktsioonide hulk; C R K 6. Ax = b - lineaarne võrrandisüsteem, kui b = 17. Vektorite lineaarne kombinatsioon. Vektorite lineaarse sõltuvuse mõiste. Näiteid. V - vektorruum üle korpuse K; 1, ..., m V Vektorite 1, ..., m V lineaarseks kombinatsiooniks nimetatakse iga vektorit V, mis avaldub kujul = c11 + c22 + ... + cmm, kus c1, ..., cm K. Öeldakse, et vektorid 1, ..., m on lineaarselt sõltumatud, kui ükski neist ei avaldu ülejäänud m-1 vektori lineaarse kombinatsioonina. Vastasel juhul nimetatakse neid vektoreid lineaarselt sõltuvateks. Lõpmatut vektorite hulka W (V) nimetatakse lineaarselt sõltumatute
millal nullvektoriga. Selguse huvides v~ oib kasutada ka t¨ahistust 0V . VI. Vektorruumid 3 2.2 N¨ aide: nullruum Nullruumiks nimetatakse vektorruumi O := {o}, milles on u ¨ksainus element - nullvektor o. Nullruumi t¨ ahistamiseks v~oib kasutada j¨allegi arvu 0. Nullruumi nimetatakse ka triviaalseks vektorruu- miks. Nullruume u ¨le erinevate korpuste tuleb lugeda erinevateks. 2.3 N¨ aide: korpused Iga korpus on vektorruum u ¨le iseenda. 2.4 N¨ aide: maatriksruumid Matk × n (K) on vektorruum u ¨le K. Arvutusoperatioonid defineeri- sime II. peat¨ ukis. 2.5 N¨ aide: aritmeetilised vektorruumid Aritmeetilised vektorid on u ¨herealised ja u ¨heveerulised maatriksid elementidega korpusest K. Aritmeetilised vektorruumid on Kn := Mat1 × n (K)
iga vektor vektorruumist V avaldub lineaarse kombinatsioonina hulka B kuuluvatest vektoritest. Tavaliselt valitakse vektorruumi paljude baaside hulgast välja üks baas B, mis enamasti tekib loomulikul viisil. Sellist kokkuleppeliselt välja valitud baasi nimetatakse vaadeldava vektorruumi loomulikuks ehk kanooniliseks baasiks. Vektorite arvu vektorruumi V mis tahes baasis nimetatakse vektorruumi mõõtmeks ehk dimensiooniks ja seda tähistatakse dimV. V n-mõõtmeline vektorruum ja B = { 1 , 2 ,..., n } tema mingi baas. Vektoreid 1 , 2 ,..., n hakkame nimetama baasivektoreiks. Iga vektor avaldub lineaarse kombinatsioonina baasivektoritest: = x1 1 + x2 2 + ... + xn n , x1, x2 ,..., xn R. Vektoriga üheselt määratud arve x1, x2 ,..., xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor
2. ( f) a = f ( a ) skalaariga korrutamise kommutatiivsus lineaarkujutuste suhtes. Öeldakse, et lineaarkujutused f ja g on võrdsed, kui on täidetud tingimus : f ( a) = g ( a ). Osutub, et kõik lineaarkujutused, mis rahuldavad eelpool esitatud tingimusi moodustavad omaette vektorruumi, millist nimetatakse lineaarkujutuste vektorruumiks. Lineaarkujutust seal hulgas lineaarteisendust saab kujutada maatriksi mõistet kasutades. W = V = V3 geomeetriliste vektorite vektorruum. { e1 ; e2 ; e3 }.....9 aksioomi ... ( x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 ) x = x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 x1 e1 ; x2 e2 ; x3 e3 = 0 [ f (e1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e1 ] A = [ f (e2 ) ] = ( a21 a22 a23) [e2 ] [ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral.
omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle reaalarvude hulga R Lineaarkate Vektorruumi V elementide a1, a2, ..., an lineaarkatteks nimetatakse hulka L(a1, a2, ..., an)={k1a1+k2a2+...+knan, k1, k2, ..., kn R} Lineaarne sõltumatus Vektorsüsteemi a1, ..., an nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mistahes k 1, ..., kn R korral võrdusest k1a1+k2a2+...+knan=0 järeldub, et k1=k2=...=kn=0
..xn=cn+snt arv t on parameeter
Kanooniline võr x1-c1/S1=x2-c2/S2=...xn-cn/Sn
Tasandi norm võrrand xcosa+ycosB+zcosg=P P-norm vektori suund =>0, kordajad on määratud
üheselt.
Punkti kaugus tasandist nim antud punktist tasandile tõmmatud ristlõigu pikkust.
L=
..........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju............................................................................................................ 13 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Üks tingimustest tõestada.......................................................................................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2 k , || x ||1 := k | x k | ja || x || := max | x k | . Ruumi Rn vektorite x = (x1; ... ; xn) ja y = (y1; ... ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 + ... + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3).
Tõestus. Eelduses, et eksisteerib sisaldub vaikimisi, et Olgu suurus selline, et . Vaatleme abifunktsioone: ja . Ning nendest järeldub, et , kusjuures . Et , siis funktsioonid F(x) ja G(x) rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi ning kehtib väide: . Vasakpoolse piirväärtusega analoogselt: (kirjutan ümber sama aint a-) Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus . N. N. 1.18.Taylori polünoom. Olgu y=Pn(x) n-järku vektorruum, kus baasiks on {1, x-a, (x-a)2,...,(x-a)n} . Leian kordajad Ck: Pn(a)=C0 . Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et . Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni: N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2] 1.19. Taylori valem. Kui funktsioon f(x) on kohal a diferentseeruv n-korda, siis on võimalik funktsioonile seada vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos:
.. + xn n . Tavaliselt valitakse vektorruumi paljude baaside hulgast välja üks baas B, mis enamasti tekib loomulikul viisil. Sellist kokkuleppeliselt välja valitud baasi nimetatakse vaadeldava vektorruumi loomulikuks ehk kanooniliseks baasiks. 1) vektorruumi V erinevad baasid sisaldavad ühe ja sama palju vektoreid. Vektorite arvu vektorruumi V mis tahes baasis nimetatakse vektorruumi mõõtmeks ehk dimensiooniks ja seda tähistatakse dimV ; Olgu V n-mõõtmeline vektorruum ja B = { 1 , 2 , ... , n } tema mingi baas. Vektoreid 1 , 2 , ... , n hakkame nimetama baasivektoreiks. Iga vektor avaldub lineaarse kombinatsioonina baasivektoritest: = x11 + x2 2 + ... + xn n , x1 , x2 , ... , xn . (1) Saab näidata, et vektor avaldub kujul (1) üheselt. Def. Vektoriga üheselt määratud arve x1 , x2 , ... , xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B. Seejuures kasutatatakse tähistust
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv~orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ~oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li~opilastele.
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨ ukki on p¨ uhendatud algebrale ja kolm viimast peat¨ ukki anal¨ uu¨tilisele geomeetriale. Algebra peat¨ ukkideks on 1) maatriksid ja determinandid, 2) vektorruum u ¨le reaalarvude ning 3) lineaarv˜orrandis¨ usteemid. Anal¨ uu ¨tilise geomeetria omad on aga 4) vek- toralgebra, 5) sirged ja tasandid ning 6) ellips, h¨ uperbool, parabool ja u ¨levaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ˜oppeainet loetakse matemaa- tika-informaatika, f¨ uu ¨sika-keemia ja haridusteaduskonna u ¨li˜opilastele.
. . + nen . (A) MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada: a = ( 1, 2, . . . , n ). (B) Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI- NAATIDEKS. MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on
. . + nen . (A) MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada: a = ( 1, 2, . . . , n ). (B) Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI- NAATIDEKS. MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks. NÄITEID 1. Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõtmeline vektorruum baasiga {e, e 0 }, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = e. Siinjuures e 0 ja avaldis a e = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (). 2. Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga {e1, e2 | e1 || e2} , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on
Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi. Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks. Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori skalaarkorrutis nullvektoriga : = = 0 . (2) Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga. Def. 1. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Seega 2 = ehk = .
. . . . . . . . . . 116 13.3 Projektsioonivektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 13.4 Kohavektorid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 v SISUKORD 13.5 Eukleidiline vektorruum Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 13.6 Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 13.7 Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 13.8 Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
defineerime lahtise kera B(x; r) keskpunktiga x ja raa- diusega r: B(x; r) = { y ∈ X | d(x, y) < r }. Olgu B(x) k˜oigi selliste lahtiste kerade hulk, mille keskpunkt on x. Siis hulgad B(x) on mingi topoloogia suhtes hulga X punktide u¨mbruste baasiks. Selle topoloogia kohta ¨oeldakse, et ta on tekitatud (e. indutseeritud) lahtiste kerade ¨ poolt. Oeldakse ka, et ta on tekitatud (e. indutseeritud) meetrikaga d. N¨ aide 2.3 Olgu X normeeritud ruum, st vektorruum ule R v˜oi C), milles iga x ∈ X jaoks on antud tema norm (¨ x ∈ R. Seejuures n˜outakse j¨argmiste tingimuste t¨aidetust: 10 x ≥ 0 iga x ∈ X korral; 20 x = 0 parajasti siis, kui x on nullvektor; 30 cx =| c | · x iga c ∈ R (v˜oi c ∈ C) ja x ∈ X korral; 2.3 N¨aiteid 19 40 x + y ≤ x + y iga x, y ∈ X korral (nn. kolmnurga aksioom). Kui defineerida d(x, y) = x − y , saame meetrika d hul- gal X
𝜕𝑥 𝑚 ,𝜑𝑚 〉 〈𝜑𝑚 ,𝜑𝑚〉 7. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Aritmeetiliseks punktiruumiks 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑓𝑥 (𝑥 + 𝜃∆𝑥, 𝑦 + 𝜃∆𝑦)∆𝑥 + 𝑓𝑦 (𝑥 + 𝜃∆𝑥, 𝑦 + 𝜃∆𝑦)∆𝑦. ortonormeeritud süsteemiga {𝜑𝑘 (𝑥)} (𝑘 ∈ 𝑁0), omandab valem kuju 𝑐𝑘 = 〈𝑓, 𝜑𝑘 〉 (𝑘 ∈ 𝑁0). Def
annaabi.ee 
