KT spikker (3)

1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad , vabaliikmed, lahend . Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks.
Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul
, (1)
kus
ja b on fikseeritud arvud ning
on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve
aga tema kordajateks.
Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute
väärtusi , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus
Võrrandi (1) lahend on n arvust
koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina
kus
Mõnikord on sobiv paigutada arvud
veergu ja vaadelda lahendit kui üheveerulist maatriksit
. (2)
Lahendi (2) korral öeldakse ka, et arvud
rahuldavad võrrandit (1).
Def. 2. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarseist võrrandeist koosnevat süsteemi. Tema üldkuju on
(3)
Arve
nimetatakse võrrandisüsteemi (3) kordajateks, arve
aga süsteemi (3) vabaliikmeteks.
Def. 3. Arve , mis rahuldavad süsteemi (3) kõiki võrrandeid, nimetatakse võrrandisüsteemi (3) lahendiks.
Ka süsteemi (3) lahendit vaadeldakse aritmeetilise vektorina , aga teda kirjutatakse ka kujul (2).
Def. 4. Lineaarse võrrandisüsteemi (3) kordajatest moodustatud maatriksit
nimetatakse süsteemi (3) maatriksiks . Maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veeruga tekkinud maatriksit
nimetatakse süsteemi (3) laiendatud maatriksiks.
2.Substitutsiooni definitsioon, näide. Inversiooni definitsioon, näide. N-järku determinandi definitsioon.
Determinandi defineerimisel kasutatakse substitutsiooni mõistet.
Def. 1. n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1, 2, ... , n iga ümberjärjestust .
Näide 1. Kolmandat järku substitutsioone on 6:
1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1.
Võib veenduda (meie seda siin ei tee), et n-ndat järku substitutsioone on
tükki. Kõigi n-ndat järku substitutsioonide hulka tähistatakse .
Def. 2. Olgu substitutsioonist
valitud kaks arvu
ja
selles järjekorras, nagu nad seal seisavad, s.t.
ehk . Kui , siis öeldakse, et paar
moodustab inversiooni vaadeldavas substitutsioonis.
Näide 2. Neljandat järku substitutsioonis 4, 1, 3, 2 saab vaadelda paare
4, 1; 4, 3; 4, 2; 1, 3; 1, 2; 3, 2.
Nendest moodustavad inversiooni ainult paarid
4, 1; 4, 3; 4, 2; 3, 2.
Tähistagu
kõigi inversioonide arvu substitutsioonis .
Näide 3. .
Determinantide teeoria käsitlusel on vajalikud mõned substitutsioonide omadused, mis on seotud inversioonide arvuga.
Seostame iga substitutsiooniga
maatriksi
Vahetades maatriksi M veerge nii, et selle teise rea arvud oleksid kasvavas järjekorras, saadakse maatriks
mille esimeseks reaks on omakorda substitutsioon . Kui paar
moodustab inversiooni substitutsioonis , siis
ja seetõttu paar l, k moodustab inversiooni substitutsioonis . Nii tekib üksühene vastavus substitutsioonide
ja
inversioone moodustavate paaride vahel. Seega kehtib
Lemma 1. Kui
on n-ndat järku substitutsioon ja substitutsioon
on saadud substitutsioonist
äsja kirjeldatud viisil, siis
Näide 4. Vaatleme näites 2 esinevat neljandat järku substitutsiooni 4, 1, 3, 2. Siin
ja esialgse substitutsiooniga 4, 1, 3, 2 seostatakse substitutsioon 2, 4, 3, 1. Maatriksi M veergude järjekorda muutes tekitab substitutsiooni 4, 1, 3, 2 inversiooni moodustav paar 4, 3 inversiooni moodustava paari 3, 1 substitutsioonis 2, 4, 3, 1 ehk sümboolselt
Nii tekitatakse substitutsiooni 2, 4, 3, 1 iga inversiooni moodustav paar substitutsiooni 4, 1, 3, 2 mingi inversiooni moodustava paari poolt:
ja
Lemma 2. Iga substitutsiooni
korral
(1)
ehk
, (2)
kus
on hulga
kõigi kaheelemendiliste hulkade hulk.
Tõestus. Vaatleme korrutist
. (3)
Selles korrutises esinevad lugejas teguritena kõikvõimalikud vahed , kus
ja . Korrutise (3) nimetajas esinevad iga
ja
jaoks aga tegurid kujul . Siin märk ““ tekib vaid juhul, kui paar t, s moodustab inversiooni substitutsioonis . Seega tekib korrutisest (3) pärast taandamisi korrutis, kus teguritena esinevad arvud 1 ja –1 teatav arv kordi . Seejuures ülalöeldu põhjal on arvu –1 tegurina esinemiste arv võrdne inversioonide arvuga substitutsioonis . Siit järeldubki võrdus (1). Kuna
siis võrdus (2) järeldub vahetult võrdusest (1).
Näide 5. Näidetes 2 ja 4 vaadeldud substitutsiooni 4, 1, 3, 2 korral
Esitame tõestuseta järgmise lemma.
Lemma 3. Kui substitutsioon
on saadud substitutsioonist
kahe arvu (näiteks
ja ) asukoha vahetamisel, siis
. (4)
3.Determinantide 10 omadust.
Vaatleme ruutmaatriksi
determinanti
Esitame tõestuseta omadused 1 ja 2.
Omadus 1. Maatriksite A ja
determinantide väärtused langevad kokku, s.t. determinandi D väärtus ei muutu, kui tema read paigutada vastavateks veergudeks ja vastupidi:
See omadus ütleb, et determinandi iga ridade puhul kehtiva omaduse jaoks saab sõnastada analoogse omaduse veergude jaoks.
Omadus 2. Kui determinandil
vahetada omavahel kaks rida (või veergu), siis saadud determinandi väärtus on –D ( determinant muudab märki).
Selle omaduse tõestuses kasutatakse lemmat 3 (§ 1).
Omadus 3. Kui determinandis kaks rida (või veergu) langevad omavahel kokku, siis selle determinandi väärtus võrdub nulliga.
Tõestus. Langegu determinandis D kaks rida omavahel kokku. Nende ridade vahetamisel ühelt poolt determinandi D väärtus ei muutu, teiselt poolt aga omaduse 2 põhjal muutub tema märk vastupidiseks. Seega ,
ja .
Omadused 4 ja 5 järelduvad summa märgi omadustest.
Omadus 4. Determinandi mis tahes rea (või veeru ) arvudest võib ühise teguri tuua tegurina determinandi märgi ette.
Omadus 5. Kui determinandi D mingi rea, näiteks k-nda rea arvud
avalduvad kahe liidetava summana
siis determinant D avaldub kahe determinandi summana:
Analoogne väide kehtib determinandi D veergude jaoks.
Omadus 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea arvudele liita mingi arvu kordsed teise rea arvud.
Analoogne väide kehtib determinandi veergude jaoks.
Tõestus. Olgu
determinandi D reavektorid. Tähistagu
determinanti, mis on saadud determinandist D tema k-nda rea arvudele arvu c kordsete l-nda rea arvude liitmisel. Siis eelmiste omaduste põhjal
omadus 5
omadus 4
omadus 3 .
Järgmise omaduse saamiseks fikseerime determinandis D mingi rea, näiteks k-nda rea
ja vaatleme determinandi definitsioonis antud summat
(1)
Selles summas on
liidetavat. Valime summast (1) välja liidetavad, milles on tegurina k-nda rea esimene element , s.t. liidetavad, mis vastavad substitutsioonidele , kus . Kuna selliseid substitutsioone on
tükki, siis on summas (1)
liidetavat, mis sisaldavad tegurina k-nda rea esimest elementi . Võttes nendest liidetavatest ühise teguri
sulgude ette ja tähistades sulgudesse jäävate arvude summat , on tegurina elementi
sisaldavate liidetavate summa avaldises (1) avaldatav kujul . Analoogselt on k-nda rea järgmist elementi
sisaldavate liidetavate arv
ja nende liidetavate summa on avaldatav kujul . Nii saadakse k-nda rea iga elemendi jaoks
liidetavat summast (1). Need liidetavad on erinevad ja nende arv on . Seega peab saadud liidetavate summa võrduma summaga (1) ehk
. (2)
Def. Summat (2) nimetatakse determinandi D arendiks k-nda rea järgi. Arvu
nimetatakse determinandi D elemendi
alamdeterminandiks ehk algebraliseks täiendiks.
Leiame nüüd eeskirja alamdeterminantide
väärtuste leidmiseks. Alamdeterminantide moodustamise eeskirjast tuleneb, et alamdeterminantide
avaldistes
liidetava summana ei esine determinandi D k-nda rea elemente . Tähistagu
determinandist D tema i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel tekkivat-st järku determinanti.
Lemma 1. .
Tõestus. Elementi
sisaldavad liidetavad summas (1) on kujuga
Seega
Tähistame
Ilmselt
Seetõttu
Lemma 2. .
Tõestus. Valime determinandist D välja i-nda rea ja j-nda veeru elemendi . Viime i-nda rea determinandi esimeseks reaks, jättes ülejäänud ridade järjekorra muutmata. Selleks tuleb vahetada i-nda rea asukohta
eelneva reaga . Saadud determinandi j-nda veeru viime tema esimeseks veeruks. Selleks tuleb vahetada j-nda veeru asukohta
eelneva veeruga. Tekkinud determinandi
esimese rea ja esimese veeru elemendiks on :
Omaduse 2 põhjal
. (2)
Determinandi
i-nda rea ja j-nda veeru elemendile vastavat alamdeterminanti tähistame . Rakendades lemmat 1 determinandile , saame
, (3)
kus
on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel.
Võttes determinandi
arendise esimese rea järgi ja determinandi D arendise i-nda rea järgi, saadakse võrdusest (2)
(4)
Kuna alamdeterminantide
ja
arvutuseeskirjades ei esine determinandi D i-nda rea elemente , siis kehtib võrdus (4) mis tahes arvude
korral. Valides
ja , kui , siis saadakse , kust võrduse (3) põhjal . Saadud võrdusest saadakse arvuga
korrutades lemma väide.
Sõnastame nüüd tõestatud lemma 2 ja valemi (2) järgmise omadusena.
Omadus 7. (Determinandi arendis rea või veeru järgi) Determinandi D mis tahes reanumbri i korral kehtib
(arendis i-nda rea järgi) ja mis tahes veerunumbri j korral kehtib
(arendis j-nda veeru järgi), kus
ja
on determinant, mis tekib determinandist D i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel.
Omadus 8. Kui determinandi mingis reas või veerus on kõik arvud nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga.
See omadus järeldub eelmisest omadusest, kui vaadelda determinandi arendit selle rea või veeru järgi, kus on kõik arvud nullid.
Omadus 9. Ruutmaatriksi
determinandi
mis tahes reanumbrite i ja k korral kehtib võrdus
(5)
kus
on determinandi elemendi
alamdeterminant. Analoogselt mis tahes veerunumbrite j ja k korral
(6)
Tõestus. Fikseerime determinandis D kaks reanumbrit i ja k. Kui , siis võrdus (5) kehtib omaduse 7 põhjal. Seepärast eeldame, et . Tähistagu
determinanti, mis tekib determinandist D tema k-nda rea arvude asendamisel i-nda rea arvudega . Arendades determinandi
tema k-nda rea järgi, saame:
Omaduse 3 põhjal , sest determinandi
i-s rida ja k-s rida langevad kokku. Siit järeldub võrdus (5) juhul . Analoogselt tõestatakse valem (6).
Omadus 10. Kui A ja B on ühte ja sama järku ruutmaatriksid, siis
4.Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri . Regulaarse ja singulaarse maatriksi mõisted.
Def. 1. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mille korral
, (1)
kus E on sobivat järku ühikmaatriks.
Võrdustes (1) on korrutamine võimalik, kui A on ruutmaatriks. Seega pöördmaatriks võib leiduda ainult ruutmaatriksil.
Teoreem 1. Maariksi A pöördmaatriks, juhul, kui ta eksisteerib, on üheselt määratud.
Tõestus. Olgu
ja
maatriksi A pöördmaatriksid. Siis
ja
s.t.
ning teoreemi väide kehtib.
Maatriksi A pöördmaatriksit tähistatakse . Seega
Osutub, et mitte kõik ruutmaatriksid ei oma pöördmaatriksit.
Teoreem 2. Ruutmaatriksil
leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui tema determinant ei võrdu nulliga. Kui , siis
, (2)
kus
on maatriksi A determinandi
elemendi
alamdeterminant.
Tõestus. Oletame, et maatriksil A leidub pöördmaatriks. Siis
ning omaduse 10 (VI peatükk § 3) põhjal
Siit järeldubki, et .
Vastupidi, eeldame, et . Moodustame maatriksi
ja veendume determinantide teooria valemeid kasutades, et :
Analoogselt tõestatakse võrdus . Ongi näidatud, et . Sellega on teoreem tõestatud.
Def. 2. Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks.
Teoreemi 2 kohaselt leidub pöördmaatriks ainult regulaarsetel ruutmaatriksitel.
5.Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis . Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus.
Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne. Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine.
Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu , mida tähistatakse
ja nimetatakse vektorite
ja
skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused:
1°
iga
korral;
2°
parajasti siis, kui
( nullvektor )
3°
iga
korral (kommutatiivsus);
4°
iga
ja
korral (homogeensus);
5° ,
iga
korral (distributiivsus).
Näide 1. Aritmeetilises vektorruumis
vaadeldakse tavaliselt II peatükis § 2 määratud skalaarkorrutist:
. (1)
Selliselt defineeritud korrutise jaoks on täidetud definitsioonis 1 esitatud nõuded .
Näide 2. Igas lõplikumõõtmelises vektorruumis on võimalik defineerida skalaarkorrutis . Selleks tuleb fikseerida ruumis mingi baas
ja defineerida vektorite
ja
skalaarkorrutis analoogselt reegliga (1):
Kui V ei ole nullruum, siis on vektorruumis V lõpmata palju baase ja seega ka erinevaid skalaarkorrutisi.
Def. 2. Vektorruumi V koos temas fikseeritud skalaarkorrutisega nimetatakse eukleidiliseks vektorruumiks.
Eukleidilises vektorruumis võrdub nulliga iga vektori
skalaarkorrutis nullvektoriga :
. (2)
Järgnevalt olgu V mis tahes eukleidiline vektorruum. Defineerime skalaarkorrutise abil vektori pikkuse ja vektoritevahelise nurga.
Def. 1. Vektori
pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori
pikkust tähistatakse .
Seega
ehk .
Skalaarkorrutise aksioomi
põhjal on igal vektoril pikkus ja see on üheselt määratud. Aksioomist
järeldub, et
parajasti siis, kui
on nullvektor.
Teoreem. Mis tahes arvu c ja kahe vektori
ja
korral eukleidilisest vektorruumist V kehtivad järgmised omadused:
, (1)
, (2)
. (3)
Tõestus. Kuna , siis
ja võrdus (1) kehtib.
Tõestame nüüd võrratuse (2). Kui
või , siis võrratus (2) kehtib. Seepärast eeldame, et
ja . Valime suvalise reaalarvu x ja moodustame vektori . Aksioomi
põhjal , s.t.
. (4)
Avame skalaarkorrutise aksioome kasutades sulud:
(5)
Kuna , siis on võrratus (5) ruutvõrratus. Võrratus (5) kehtib iga reaalarvu x korral, mistõttu peab tema vasakul pool esineva ruutkolmliikme diskriminant D rahuldama võrratust :
(6)
Teisendame seda võrratust:
kust järeldubki võrratus (2).
Võrratuse (3) näitamiseks arvutame
(kasutati võrratust (2)). Siit saabki pärast juurimist võrratuse (3).
Def. 2. Olgu
ja
nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite
ja
vaheliseks nurgaks nimetatakse nurka . mis on määratud võrdusega
. (7)
Kui
ja , siis võrduse (7) paremal pool esineva murru väärtust saab leida ning Cauchy-Bunjakovski võrratuse põhjal ei ületa selle absoluutväärtus arvu 1.Seega saab vaadeldav murd olla mingi nurga koosinuseks. Koosinusfunktsiooni omaduste tõttu pole nurk
üheselt määratud. Võib nõuda, et . Siis on nurk üheselt määratud.
Vektorid on risti, kui nendevaheline nurk on . Kuna , siis peab sel korral skalaarkorrutis
võrduma nulliga.
Def. 2. Öeldakse, et vektorid
ja
on omavahel risti ehk ortogonaalsed ja tähistatakse , kui .
6.Vektorkorrutise definitsioon. Teoreem vektorkorrutise ristseisust ja pikkusest (tõestuseta). Segakorrutise definitsioon.
Vaatleme kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis vektoreid
mis on antud koordinaatidega xyz-teljestikus.
Def. 1. Vektorite
ja
vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit , mis on määratud võrdusega
. (1)
Tähistades koordinaattelgede suunalisi ühikvektoreid vastavalt ,
ja , on avaldis (1) esitatav kujul
(2)
(sest kasutati viimase kolmandat järku determinandi arendist esimese rea järgi). Võrdust (2) on sobiv kasutada vektorkorrutise arvutamiseks.
Vektor - ja skalaarkorrutise abil on esitatav kolmandat järku determinandi arvutamise eeskiri. Determinandi
mille reavektorid on
väärtuse arvutamiseks arendame selle determinandi kolmanda rea järgi ja kasutame seejärel vektor- ja skalaarkorrutise definitsiooni:
ehk
. (3)
Teoreem. Vektorkorrutis
on risti mõlema teguriga
ja . Vektorkorrutise
pikkus
on arvuliselt võrdne vektoritele
ja
ehitatud rööpküliku pindalaga.
Tõestus. Vaatleme vektorite
ja
vektorkorrutist . Võrduse (3) kohaselt
(selle determinandi väärtus võrdub nulliga, sest ta sisaldab kaks võrdsete elementidega rida). Seega saime , et . See aga tähendab, et vektorid
ja
on risti. Analoogselt põhjendatakse vektorite
ja
ristseis.
Teoreemi teise väite tõestuseks kasutame kolmandat järku determinandi geomeetrilist tähendust:
kus V on vektoritele , ,
ehitatud rööptahuka ruumala ning
on vektorite
ja
vaheline nurk. Selle rööptahuka kõrgus h on aga (vt. eelmist joonist ja arvestada, et vektor
on paralleelne vektoriga ). Seega . Siit järeldub, et arv
võrdub vaadeldava rööptahuka põhja pindalaga. See on samaväärne teoreemi teise väitega.
Järeldus. Vektorkorrutis
võrdub nullvektoriga parajasti siis, kui vektorid
ja
on kollineaarsed.
Ütleme tõestuseta, et vektorid ,
ja
moodustavad nn. parema käe kolmiku (vektori
suunda saab määrata ka nn. kruvireegliga).
Eeltoodu põhjal saab vektorkorrutisele anda teise definitsiooni:
Def. 2. Vektorite
ja
vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit , mis on risti vektoritega
ja , mille pikkus ühtib vektoritele
ja
ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga.
Selles definitsioonis pole vaja teada vektorite
ja
koordinaate. Ühtlasi näitab see, et definitsiooniga 2 määratud vektor
ei sõltu teljestiku valikust vaadeldavas kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis.
Def. 3. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite ,
ja
segakorrutiseks nimetatakse vektorite
ja
vektorkorrutise
skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu .
Paragrahvis 2 toodud teoreemi ja võrduse (3) tõttu on vektorite ,
ja
segakorrutise absoluutväärtus võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Valem (3) annab eeskirja segakorrutise arvutamiseks.
Peale rööptahuka ruumala arvutamise võib segakorrutist kasutada ka kahe mitteparalleelse sirge vahelise kauguse arvutamiseks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis
7.Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor.
Defineerime sirge mõiste mis tahes afiinses ruumis nii, et et erijuhuna saaksime sirge, mida tunneme kooligeomeetriast. Selleks vaatleme mis tahes sirget u tasandil.
Sirge u on üheselt määratud temal asuva punktiga A ja mingi nullvektorist
erineva vektoriga , mis on paralleelne sirgega u . Sirge u koosneb parajasti sellistest punktidest P, mille korral vektor
on paralleelne vektoriga :
Vektorite
ja
paralleelsus on aga samaväärne nõudega, et vektor
on vektori
kordne ehk leidub selline , et . Seega on sirge u järgmine punktide hulk:
mingi
korral. (1)
Sirge selles esituses ei ole ruumi mõõdet n. See võimaldab üldistada sirge mõiste mis tahes afiinsele ruumile (ka ruumi eukleidilisus pole vajalik).
Olgu A = (V; P) afiinne ruum.
Def. 1. Olgu P ja . Sirgeks läbi punkti A ja sihivektoriga
nimetatakse kõigi selliste punktide P hulka u, mille korral
mingi
korral:
P,
mingi
korral. (2)
Võttes selles võrduses , näeme, et ka punkt A ise asub sirgel u .
Iga reaalarvu t korral leidub afiinse ruumi aksioomi
põhjal parajasti üks punkt P nii, et . Seega tekib üksühene vastavus kõigi reaalarvude hulga ja sirge u punktide vahel: arvule t vastab punkt P sirgelt u, kus .
Esitame tõestuseta järgmise teoreemi.
Teoreem. Iga kahe erinava punkti A ja B korral afiinsest ruumist leidub parajasti üks sirge u, millel need punktid asuvad (s.t.
ja ).
Def. 2. Olgu U mingi punktide hulk afiinsest ruumist A (UP). Punktide hulga U võrranditeks nimetatakse n tundmatut
sisaldavat võrrandisüsteemi, mida rahuldavad parajasti tundmatute
sellised väärtused, mis on mingi hulka U kuuluva punkti P koordinaatideks (ehk võrrandisüsteem, mille lahendite hulgaks on U).
Erijuhul võib võrrandisüsteem koosneda ainult ühest võrrandist. Siis räägitakse vaadeldava punktide hulga võrrandist.
Olgu u punkti A läbiv sirge sihivektoriga
ning
Vaadeldava n-mõõtmelise afiinse ruumi mis tahes punkt olgu
Siis
ja punkt P kuulub sirgele u parajasti siis, kui leidub selline , et , s.t.
ehk
(3)
Avaldisi (3) nimetatakse vaadeldava sirge u parameetrilisteks võrranditeks. Arvu t avaldistes (3) nimetatakse parameetriks. Sirge u parameetrilisi võrrandeid (3) tuleb mõista järgnevalt: kui parameetrit t muuta üle reaalarvude hulga, siis punkt P koordinaatidega
muutub üle sirge u. Järelikult iga
korral saadakse avaldistes (3) sirge u punkt
ja sirge u iga punkti
korral leidub selline , et punkti P koordinaadid avalduvad kujul (3).
Elimineerides võrdustest (3) parameetri t, saadakse
(4)
(neid murde tuleb vaadelda suhtena). Võrdustesse (4) on ühendatud mitu erinevat võrrandit ja neid nimetatakse vaadeldava sirge kanoonilisteks võrranditeks.
Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis on hüpertasandiks (2) punkti A läbiv ja vektoriga
risti olev tasand.
Tähistades sel korral
ja muutes arvude
ning b tähistusi, saadakse tasandi võrrandiks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis
. (3)
Kordajad a, b, c võrrandis (3) ei tohi võrduda samaaegselt nulliga ning nendest moodustatud vektor
on risti selle tasandiga. Vektorit
nimetatakse vaadeldava tasandi normaalvektoriks.
Üldiselt:
Def. 3. Vektorit nimetatakse hüpertasandi (1) normaalvektoriks.
Võrdusest (2) järeldub, et iga kahe punkti P ja Q korral hüpertasandil
on vektor
risti hüpertasandi
normaalvektoriga .