Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks (2)

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks
See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks,
kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema
korrastatud.
Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist
erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi
determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava
tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid .
Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi , siis öeldakse, et tegemist on Crameri
peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| ≠ 0.
Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend , mis
avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A|
Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi
Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetamisel) detrminant ei
muutu. See omadus lubab kõiki ridadele saadud omadusi kanda üle ka veergudele.
Omadus 2. Kui determinandis kaks rida (või veergu) ümber paigutada, siis muutub
determinandi märk vastupidiseks. Omadus 3. Determinandi rea (või veeru) korrutamisel (jagamisel) mingi arvuga korrutub ( jagub ) kogu determinant selle arvuga.
Selle võib sõnastada ka teisel kujul Omadus 3’. Determinandi rea (või veeru) elementide ühise ↑↓teguri saab tuua determinandi märgi ette. Omadus 4. Kui determinandis on kaks rida (või veergu) omavahel võrdsed, siis determinant võrdub nulliga. Omadus 5. Kui determinandis mingi rea (või veeru) iga element kujutab kahe liidetava summat , siis saab determinanti esitada kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vaadeldav rida (või veerg ) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest; ülejäänud read (või veerud) jäävad samadeks. Omadus 6. Determinant ei muutu, kui tema ühele reale (või veerule) liita mistahe teguriga korrutatud teine rida (või veerg). Seda omadust kasutatakse tihti determinandi arvutamisel. Omadus 7. n-järku determinandi jaoks |A|=n∑k=1 aik · Aik, kus esimeses summas determinant on arendatud rea i=1, 2, ...,n järgi, teises summas
veeru k=1, 2, ...,n järgi.
Arendamine: def1. n-järku deteminandi |A| elemendi aik miinorik Mik nimetatakse seda (n-1)-järku determinanti, mis saadakse feterminanadist |A|, kui selles jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Def2. n-järku determinanadi |A| elemendi aik alamdeterminanat Aik saadakse seosest Aik=(-1)i+k · Mik
Maatriks, tehted maatriksitega
Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis sisaldab arvusid. Neid arve nimetatakse
maatriksi elementideks. Elemendid on ridades ja ka veergudes. m realist ja n veerulist
maatriksit nimetatakse mxn- maatriksiks . Siis maatriksi dimensioon (mõõde) on mxn.
Maatriksi elemente märgitakse aik, kus i on rea indeks ja k on veeru indeks. Oluline on teada, et maatriksil ei ole väärtust, see on ainult arvude tabel.
Determinandi korrutamisel arvuga korrutatakse mingit rida (või veergu) selle arvuga, maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse sellega kõik elemendid. Maatriksite liitmisel ja lahutamisel peavad maatriksite järgud olema samad. Maatriksi A veergude arv peab olema sama kui maatriksi B ridade arv. Vastasel juhul ei saa maatriksite korrutist arvutada. Üldiselt AB ≠ BA (omadus).
Maatriksi astak , selle leidmine. Näide
Def. Kui Maatriksis leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor (maatriksi ühistest ridadest ja veergudest moodustatud determinant), kuid mitte ühtegi
nullist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis on maatriksi astak r. Seega m x n-maatriksile r ≤ m, n. Maatriksi astaku leidmiseks teisendatakse maatriksit elementaarteisendustega (mis ei
muuda maatriksi astakut) nii, et tema nullist erinev kõrgemat järku miinor tuleb maatriksi ülemisse vasakpoolsesse nurka. Maatriksi elementaarteisendused (ei muuda maatriksi astet):
1. maatriksi rea (veeru) korrutamine nullist erineva arvuga,
2. maatriksi reale (veerule) mingi arvu kordse teise rea (veeru) liitmine,
3. maatriksi kahe rea (veeru) ümbervahetamine.
Nt:
[1,3,5,4; [1,3,5,4; [1,3,5,4; |1 3 | = -7 ≠0
2,-1,3,1; ~2I 0,-7,-7,-7; 0,-7,-7,-7; r=2 |0 -7|
8,3,19,11] ~8I 0,-21,-21,-21] ~3II 0,0,0,0]
Pöördmaatriks, selle leidmine. Näide.
Pöördmaatriks on vaid ruutmatriksil. Kui maatriksi tüüp on n_n, siis ka pöördmaatriks
on n_n-maatriks.
Definitsioon. n2-maatriksi A pöördmaatriks on n2-maatriks A-1,mille jaoks A·A-1=A-1·A=I
Adjungeeritud maatriks ~A. Olgu Aik n2-maatriksi A elemendi aik alamdeterminant. Siis maatriksi A adjungeeritud maatriks ~A saadakse maatriksi alamdeterminantide maatriksi transponeerimisel, s.t. ~A=[Aik]T. NB! ÕPI NÄIDE VIHIKUST!!!
Maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui ta on regulaarne , st. |A|=detA ≠0 e. Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n
Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker -Capelli teoreem. Näide.
Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on
võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul
AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B.
Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis,
kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed
(Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see
on nn. astakutingimus).
Gaussi ja Gauss -Jordani meetod. Näited
Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid lubatud vahetada, mis vastab ju tundmatute ümbernummerdamisele.
Gauss-Jordan. Selle järgi teisendatakse laiendatud maatriksi elemendid peadiagonaalil ühtedeks ja sellesta alla- ja ülalpool nullideks. Siis saab kohe välja kirjutada vastuse
Vektorid , tehted vektoritega
Vektori pikkuseks (ehk normiks ehk mooduliks ) nimetatakse vektori kui lõigu pikkus.
Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a.
Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama
sirgega . Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a↑↑ b või vastassuunalised a ↑↓ b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b on võrdsed (on sama suured), a=b, kui nende pikkus on sama ja nad on samasuunalised
Vektorite a ja b summa a+b on vektor , mille alguspunkt on a alguspunkt ja lõpp-punkt saadakse b paralleellükkega a lõpp-punkti, siis a+b lõpp-punkt on b lõpp-punkt. Tihti kasutatakse ka rööpküliku reeglit, kus vektorid a ja b pannakse paralleellükkega algama samast punktist. Summa on siis rööpküliku pikem diagonaal .
a-b=a+(-b). Seega ahelreelgi järgi tuleks vektorite a ja b vaheks vektor a-b, mis saadakse a lõppu b vastasvektori –b lisamisega. Rööpküliku reeglite järgi oleks vektorite a ja b vahe neile ehitatud rööpküliku lühem diagonaal. Selle suund on selline, et b+(a-b)=a.
Kahe vektori summa ja vahe pikkused ja vektorite vahelised nurgad saab arvutada siinus - või koosinusteoreemi abil.
Koordinaatidega antud vektorid, tehted nendega
Olgu antud vektorid a1, a2, ..., ak. Siis iga vektorit b kujul b = a1a1 + a2a2 +. . .+akak, kus a1, a2, . . , ak on reaalarvud , nimetatakse vektorite a1, a2, . . . , ak lineaarseks kombinatsiooniks. Kui vektor on esitatud mingite vektorite lineaarse kombinatsioonina, siis öeldakse, et ta on arendatud nende vektorite järgi. T1 Iga tasandi vektor α on esitatav üheselt kahe mittekollineaarse vektori ε1 ja ε2 lineaarse kombinatsioonina, s.t α= a1ε1 + a2ε2. T2 Iga ruumi R3 vektor α on esitatav üheselt kolme mittekomplanaarse vektori ε 1, ε 2 ja ε 3 lineaarse kombinatsioonina, s.t α=a1 ε 1 + a2 ε 2 + a3 ε 3.
Kahemõõtmelise ruumi ristkoordinaadistikus kasutasime x- ja y-telje suunalisi vektoreid i ja j. Kolmemõõtmelises ruumis on 3 korordinaati, st i,j ja k. Nt. α+β=(ax+bx)i +(ay+by)j + (az+bz)k jne.
Skalaarkorrutis
Definitsioon. Kahe vektori a ja b skalaarkorrutis on arv a·b= |a||b| cos( a,b) . Rakendusi: 1)Pikkus |a|=√a · a=√a2x+a2y+a2z 2) Ristseisu tunnus a┴b ↔axbx + ayby + azbz =0 3)Vektorite vaheline nurk cos(a,b)=a ·b/ |a||b|
Vektorkorrutis
Kahe vektori korrutisi on 2 liiki: skalaarkorrutis a·b on arv, vektorkorrutis a x b aga vektor. Def. Vektorite a ja b vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit c = a x b ,
1. mis on risti vektoritega a ja b (seega ka nende läbi mineva tasandiga).
2. vektorid a, b ja c moodustavad parema käe kolmiku
3. ja selle pikkus on võrdne vektoritele a ja b ehitatud rööpküliku pindalaga, s.t.
|c| = a b sin(a, b)
Kui vektorid on anutd komponentide või koordinaatidega, siis arvutatakse nende vektorkorrutis determinante kasutades. Vektorkorrutise omadused: 1)a x b=-b x a 2) (ka)xb=a x (kb)=k(a x b)
3)a x (b+c)=a x b+a x c Vektorkorrutise rakendused: 1)Vektorite kollinaarsuse tunnus a||b↔a x b=0, kui a≠0 ja b≠0 2)Vektoritega a ja b ristiolev vektor on c=a x b 3)Pindalade arvutamine: kui a ja b on rööpküliku või kolmnurga küljed, siis Srööpkülik=|a x b|
Segakorrutis
Kuna kahe vektori vektorkorrutis on vektor, siis võib seda korrutada kolmanda vektoriga. Kui seda tehakse vektorkorrutisena, siis saadakse uus vektor: see oleks kolme vektori vektorkorrutis. Siin on oluline vektorkorrutise võtmise järjekord. a x b · c=skalaar. Segakorrutise omadused: 1)segakorrutis ei sõltu korrutise võrmise järjekorrast 2)kui segakorrutises 2 vektori järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad).
Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis
r=ro+ts, t€R, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter . Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t€[a,b]. Pmst sama ruumis.
Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis
Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus t€R. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy. y=k(x-xo)+yo, kus k=sy/sx nim. Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga α tangens , st. k=tanα. Sirge võrrand esitatakse tavaliselt üldvõrrandina. See näitab, et sirge tasandil on kahe muutuja lineaarne võrrand.
Tasandi võrrandid
Fikseeritud punkt ja kaks nullist erinevat mittekollineaarset vektorit määravad tasandi. Neid tasandi suunalisi vektoreid nimetatakse tasandi suunavektoriteks.Tasandi üldvõrrand A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0. Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest. Tasandi ja sirge vahelise nurga all mõistetakse sirge ja selle tasandile võetud projektsiooni vahelist nurka: see on tasandi normaali ja sirge suunavektori vahelise nurga täiendnurk.
Arve a, b ja c nimetatakse telglõikudeks. Telglõgud näitavad, kus tasand lõikub koordinaattelgedega. Nende abil on võimalik saada ettekujutus tasandi paiknemisest ruumis: kui tahame joonistada tasandit , siis on selleks sobivaim kuju võrrand telglõikudes.
Sirge ja tasand kui alamruumid
Ruumi Rn ühe võrra madalamat alamruumi Rn_1 nimetatakse hüpertasandiks. Sirge R1 on ruumi R2 hüpertasand ja tasand R2 on ruumi R3 hüpertasand.
II järku jooned.
Teist järku joone saab esitada üldvõrrandiga
Ax2 +Bxy+Cy2+Dx+E+F=0,kus vähemalt üks kordajatest A, B või C≠0. Kolmliiget Ax2 + Bxy+Cy2
nimetatakse ruutliikmeks. Teist järku joonteks on ringjoon (A=C ja B=0), ellips (A ja C on sama märgiga),hüperbool (A ja C on erimärgilised) ja parabool (ûks kordajatest A või C=0).
II järku jooned. Ellips
Def. Ellips on tasapinna R2 nende punktide hulk, millede jaoks kauguste summa kahest antud punktist F1 ja F2, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne. x2/a2+y2/b2=1. Ellipsi omadusi:
1. a>c ja kuna a>0, võime oletada, et ka b>0 (pane tähele, et b2 = a2 -c2).
2. Ellipsi kõigis punktides on |x|≤a ja |y|≤b.
3. Võrrandi (12) põhjal on ellips sümmeetriline kõver ja ülaloleva joonise põhjal asub
ellips joontega x=+-a ja y=+-b piiratud ristkülikus, olles selle puutujaks
4. Kordajate a, b ja c seos fookustega on näha Pütagorase kolmnurgast a2=b2+ c2.
Ellipsi sümmetriatelgedeks on sirged A1A2 ja B1B2, mida kutsutakse vastavaks
suuremaks ja väiksemaks teljeks. Suurema pooltelje OA1 =OA2 pikkus on a ja väiksema
pooltelje OB1=OB2 pikkus on b.
5. Suhet e=c/a nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Kuna 0≤c0. Lõige xy-tasandiga on punkt, sellega paralleelset tasanditega z=a, on ellipsid , lõiked xz- ja yz-tasandiga on aga paraboolid . Juhul p=q on tegu jälle elliptilise pöördparaboloidiga. Hüperboolne paraboloid e. sadulpind: selle kanooniline võrrand on x2/p-y2/q=2z, pq>0. Nüüd annab lõige xy-tasandiga ristuvad sirged, sellega paralleelsete tasanditega aga hüperboolid. Lõiked xz- ja yz-tasandiga on aga paraboolid.