Vektor tasandil Vektori mõiste · Skalaarsed suurused · Vektoriaalsed suurused B Vektoriks nimetatakse AB suunatud sirglõiku Vektori alguspunkt A a Vektori lõpppunkt Vektorite võrdsus Kollineaarsed vektorid c · samasuunalised b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor
Kasutatud Elma Männi esitlust http://koolielu.ee/pg/waramu/view/d4c1972cd88d813b988125e46e8534b62f5c2cc8 Vektori mõiste · Skalaarsed suurused · Vektoriaalsed suurused B Vektoriks nimetatakse AB suunatud sirglõiku Vektori alguspunkt A a Vektori lõpppunkt Vektorite võrdsus Kollineaarsed vektorid c · samasuunalised b · vastassuunalised a · võrdsed d e Vektori koordinaadid Vektori pikkus · vektori koordinaadid y d B(c;d) AB=(c-a;d-b) · vektori pikkus b A(a;b) AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor
BC = (0 - (-3);-2 - 1;1 - 1) = (3;-3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA = 5 2 + (-1) 2 + (-2) 2 = 30 BC = 3 2 + (-3) 2 + (0) 2 = 18 Vektorite skalaarkorrutis Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub BA BC = 5 3 + (-1) (-3) + (-2) 0 = 18 Ja seega BA BC 183 cos = = = BA BC 30 18 5 ning 3 = arccos 39°14 5 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a = ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1
BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA 5 2 (1) 2 (2) 2 30 BC 3 2 (3) 2 (0) 2 18 Vektorite skalaarkorrutis Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub BA BC 5 3 (1) (3) (2) 0 18 Ja seega BA BC 18 3 cos BA BC 30 18 5 ning 3 arccos 3914 5 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1
BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA 5 2 (1) 2 (2) 2 30 BC 3 2 (3) 2 (0) 2 18 Vektorite skalaarkorrutis Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub BA BC 5 3 (1) (3) (2) 0 18 Ja seega BA BC 18 3 cos BA BC 30 18 5 ning 3 arccos 3914 5 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1
. Nende sirgete kanoonilised võrrandid on siis x - x2 y - y 2 z - z 2 = = tx ty tz ja . 1. Sirged ühtivad, kui nende sihivektorid on kollineaarsed ja ka vektor AB on mõlema sihivektoriga kollineaarne. 2. Sirged on paralleelsed, kui nende sihivektorid on kollineaarsed, aga vektor AB ei ole kummagi sihivektoriga kollineaarne. 3. Sirged lõikuvad, kui nende sihivektorid ei ole kollineaarsed, aga sihivektorid ja
u v Nurk vektorite vahel cos = r r, uv r r r r Vektorite ristseisu tunnus u v u v = 0 r r r r Kahe vektori skalaarkorrutis u v = u v cos X1 Y1 Z1 Vektorid on komplanaarsed X 2 Y2 Z 2 = 0 X 3 Y3 Z3 Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = =k . X 2 Y2 Z 2 r uuur Vektori pikkus: v = AB = X 2 + Y 2 + Z 2 . uuur Vektori koordinaat AB = ( x2 - x1 ; y2 - y1 ; z 2 - z1 ) r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) r r u v Nurk vektorite vahel cos = r r ,
KONTROLLTÖÖ 12.KL. VEKTOR TASANDIL A 1. Kolmnurga ABC kaks tippu on A(4;-1), B(-3; -2). Arvuta puuduva tipu C koordinaadid, kui vektor BC =(6;8). Määrake tekkinud kolmnurga liik, arvutage ümbermõõt ja pindala. 2. Rööpküliku KLMN tipud on K(-3; 0), L(-5;7), M(5;3). Lida puuduva tipu N koordinaadid, tipu L juures olev rööpküliku nurk ning arvutada diogonaali LN pikkus. 3. On antud vektorid a = (a;-3), b =(2;5), c = (-3;4). Leida: 1)a+b+c 2)/a/+/b-c/ 3)(a+b)*(b-c) 4. Leida x nii, et vektorid oleksid kollineaarsed, kui u = (2;x+5) v=(-3; 12)
VEKTOR Punktid A(x1; y1) ja B(x2; y2) Vektori koordinaadid AB = ( x2 - x1 ; y 2 - y1 ) Vektori pikkus AB = ( x2 -x1 ) 2 +( y2 - y1 ) 2 Vektorid a = ( a1; a2 ) ja b = ( b1;b2 ) Vektorite liitmine a + b = ( a1 + b1 ; a 2 + b2 ) Vektorite lahutamine a - b = ( a1 - b1 ; a 2 - b2 ) Vektori korrutamine arvuga k a = ( k a1; k a2 ) Vektori pikkus a = a12 + a22 Võrdsed vektorid a = b a1 = b1 ja a 2 = b2 Kollineaarsed vektorid a a b b = b 1 2 a 1 2 Ristuvad vektorid a b a b = 0 a b a1 b1 + a 2 b2 = 0 a b Vektorite vaheline nurk: cos = a b
Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku. Nullvektori moodul on alati võrdne nulliga, tema suund ei ole määratud. Definitsioon. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille moodul (pikkus) on 1. Definitsioon. Kollineaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Kollineaarseid vektoreid tähistatakse a b . Kollineaarsed vektorid võivad olla suunatud samapidi a b või vastupidi a b . Definitsioon. Vastandvektoriteks nimetatakse kahte vastassuunalist ühepikkust vektorit: a , a . Definitsioon. Võrdseteks nimetatakse kahte vektorit, kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja ühepikkused (ei pea olema rakendatud samast punktist). Definitsioon. Komplanaarseteks vektoriteks nimetatakse vektoreid, mis asuvad ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Definitsioon
reaalarvude järjestatud kolmikuga (xP ; yP ; zP ), kus xP on punkti P ristprojektsiooni Px koordinaat abstsissteljel, yP on punkti P ristprojektsiooni Py koordinaat ordinaatteljel ja zP on punkti P ristprojektsiooni Pz koordinaat aplikaatteljel. punkti silinderkoordinaadid üleminekuvalemid silinderkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. iseloomustab: suund, siht ja pikkus. tähistus a=(a1; a2; a3) või AB=(a1; a2; a3). geomeetrilised vektorid on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja pikkuselt võrdsed. erineda võivad alguspunktid. geomeetrilised vektorid on samasihilised ehk kollineaarsed, kui nad asuvad kas ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad)
Vektorite komplanaarsus Punkte, mis asuvad ühel tasandil, nimetatakse komplanaarseteks. Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks siis, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal tasandil. Kaks vektorit on alati komplanaarsed. See tähendab, kui kaks vektorit rakendada ühisesse alguspunkti, siis saab neist alati läbi panna tasandi. Kui need vektorid on kollineaarsed, siis nad tasandit ei määra. Kui need kaks vektorit on mittekollineaarsed, siis nad määravad tasandi. Neid kahte mittekollineaarset vektorit nimetatakse sel juhul tasandi rihivektoriteks. Kolm vektorit ruumis võivad olla komplanaarsed või mittekomplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas on kollineaarseid vektoreid, siis need kolm vektorit on komplanaarsed. Kui kolme vektori hulgas ei ole kollineaarseid vektoreid, siis nad on komplanaarsed
seos? 1x+4y+6=0 -2.·1=-1 Millised on paralleelsete sirgete võrdsed 6x+8y+1=0 tõusud? 3x+4y+4=0 6/3=8/4 1/4 Mis juhtub, kui sirgete Sirged lõikuvad sihivektorid s1 ja s2 ei ole kollineaarsed? Mis on võrdsed, kui sirged on Sirgete tõusud; K1 = k2 paralleelsed või ühtivad? Kui suur on maksimaalne 180° Vähim tõusunurk: k1 = 0° sirgete tõusunurkade vahe? Suurim tõusunurk: k2 = 180° Kui suur on sirgete vaheline 90° nurk, kui mõlemad sirged on erinevate nurkade nurgapoolitajad?
.. a n ) ja = (b1 ; b2;...bn ) summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit + = (a1 + b1 ; a2 + b2 ;...; an + bn ; ) , korrutiseks vektori = (a1 ; a2 ;...; an ) ca = (ca1 ; ca2 ;...; can ; ) . Vektorite skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu n = ai bi =a1b1 + a2 b2 + ....an bn . i =1 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud lineaarsete tehete 8 omadust. 1. Olgu V kõigi geomeetriliste vektorite hulk tasandil ning ja suvalised mittekollineaarsed vektorid ruumist V
lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. 10. Kui punktid A(x1; y1) ja B(x2;y2) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti C(xc;yc) koordinaadid on 11. Vektor on lõik, millel on suund, siht ja pikkus. 12. Vektoreid saab liita, kui liita vektorite vastavad koordinaadid. 13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus, kuid vastupidine suund. 14. Vektorid on kollineaarsed ehk samasihilised, kui nad asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. 15. v= lp - ap 16. Vektori pikkus võrdub koordinaatide ruutjuure summast. 17. sin= vastask./hüp. cos= lähisk./ hüp. tan= vastask./ lähisk. 18. 1 radiaan on raadiuse pikkusele kaarele toetuv kesknurk. 19. Skalaarkorrutis: a ja b skalaarkorrutiseks a*b nim. nende vektorite pikkuste ning vektoritevahelise nurga koosinuse korrutist. a * b = |a|* |b| * cos 20
2. P( - 2,5;1) ja KP = ( 2;-4,2 ) . Leidke K ( ; ). 1 v= i+4 j 3. u ja v on kollineaarsed vektorid. Leidke p väärtus, kui u = p i - 2 j ja 3 . 4. s = 4 i - 3 j ja t = - i - j . Leidke s c) s + t s+ t g) 2 s + 3 t a) e)
1 7.2 Lineaarsed tehted vektoritega r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r u = v X 1 = X 2 , Y1 = Y2 , Z1 = Z 2 , r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r
X klassi matemaatika V perioodi arvestuse näidisküsimused ja -ülesanded Teemad: Valemid: 1. Vektor tasandil d= ( x2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 - Kahe punkti vaheline kaugus - Mis on vektor? Vektorite liigitus? a1 a 2 - Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22 - Vektori koordinaadid ja pikkus - Nullvektor ja vastandvektor - Vektorite liitmine
Pikkus näitab vektori arvväärtust. Kui vektori alguspunkt on A ja lõpppunkt on B, siis vektorit tähistatakse . Vektorit tohib tähistada ka väiketähega, näiteks Üldiselt mõistetakse matemaatikas vektori all vabavektoreid kui pole öeldud teisiti. Samasihilisteks ehk kollineaarseteks ehk paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Teine koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda y-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Vektoreid saab liita algebraliselt ja geomeetriliselt
arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku
a1 , ⃗ ⃗ a2 , … ,⃗ ak lineaarse kombono, so ⃗a =λ1 ⃗ a1 + λ2 ⃗ a2 +…+ λk ⃗ ak . ⃗a ⃗b λ , et ⃗a =λ ⃗b . DEF3: Vektorid ja on kollineaarsed, kui leidub selline reaalarv ⃗a ⃗b λ μ , DEF4: Vektorid ja on komplanaarsed, kui leiduvad sellised reaalarvud ja et ⃗c =λ ⃗a + λ ⃗b .
pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused 1, vektorite a ja b vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui vähemalt üks korrutatavatest vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6
12. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. Polaarkoordinaadistik tasandil: 1) Suunaga arvtelg e. polaartelg. 2) Alguspunkt 3) Ühiku pikkus 4) Polaarraadius r = |OM| 5) Polaarnurk , nurk OM ja polaartelje pos. suuna vahel. M(r;). Punkti polaarkoordinaatide ja ristkoordinaatide vahelised seosed: 1) x = rcos; y = rsin. 2) r = (x2+y2)1/2; tan = y/x. 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor e. suunatud lôik lôik, millel on määratud suund (siht, suund ja suurus). Tähistused a = (a1;a2;a3) vôi AB = (a1;a2;a3). Vektorite vôrdsus - vektoreid nim. vôrdseteks, kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja vôrdse pikkusega (vôivad erineda vaid alguspunkti poolest). Kollineaarsed vektorid vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel vôi paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suud ja pikkus vôivad olla erinevad). 14
teljeks. Ristkoordinaadistik ruumis: · Kolm ristuvat suunaga arvsirget; · Alguspuntkid ühtivad; · Ühikud on võrdsed. Punkti ristkoordinaadid ruumis - (punkti koordinaatide saamiseks võtame ristprojektsioonid vastavatele telgedele) M(x;y;z) Mx(x), My(y), Mz(z). Seosed punkti rist- ja sfäärkoordinaatide vahel: 1) x 2) y 3) z = sin* 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Vektor ehk suunatud lõik lõik, millel on määratud suund, siht ja suurus. Täh a=(a1;a2;a3) või AB=(a1;a2;a3). Vektorite võrdsus: vektoreid nim võrdseteks kui nad on kollineaarsed, samasuunalised ja võrdse pikkusega (võivad erineda vaid alguspunktide poolest). Kollineaarsed vektorid: vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). 14
Olgu vektorid a = ( a x , a y , a z ) = a x i + a y j + a z k ja b = (b x , b y , bz ) = bx i + b y j + bz k ning nendevaheline nurk Skalaarkorrutis a b = a x bx +a y b y +a z b z = a b cos Kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Vektorkorrutis on vektor, mis on risti mõlema korrutatava vektoriga. Kui vektorid on kollineaarsed (vektorite sihid paralleelsed, = 0 ), siis vektorkorrutis on nullvektor. Kui vektorid ei ole kollineaarsed, siis vektorkorrutis on risti vektorite sihilise tasapinnaga. Vektorkorrutis moodustab teguritega parema käe kolmiku. i j k ay az ax az ax ay
Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus (sõltumatus) Vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} nimetame lineaarselt sõltuvaks (lineaarselt sõltumatuks), kui vektorvõrrandil 1a1+ 2a2 + ... + mam on rohkem kui 1 lahend (on ainult 1 lahend) ?Tulemused lineaarse sõltuvuse kohta väikese elementide arvuga vektorsüsteemides viimane tähendab seda, et kui vektorsüsteemis on 1 vektor, siis l-sõltuv on ainult siis kui see vektor on 0 vektor, kui 2 vektorit, siis l-sõltuv, kui need vektorid on kollineaarsed VEKTORRUUMI BAAS: Vektorruumi baas Vektorsüsteemi {e1, e2, .... , en} nimetatakse vektorruumi V baasiks, kui: 1) see vektorsüsteem on lineaarselt sõltumatu; 2) vektorruumi V iga element on avaldatav selle vektorsüsteemi elementide kaudu. Lõpmatumõõtmeline vektorruum Vektorruumi, millel puuduvad baasid, nimetatakse lõpmatumõõtmeliseks ehk lõpmatudimensionaalseks vektorruumiks Lõplikumõõtmeline vektorruum Vektorruumi, millel on baas(id) olemas, nimetatakse
punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk samasihilisteks, kui lõigud AB ja CD asuvad kas ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Komplanaarsed vektorid Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning on samas suunas. Vastassuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning vastupidises suunas üksteise suhtes. Vektorite vaheline nurk
selgitust peale teoreemi); 2° = iga , V korral (kommutatiivsus); 3° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 4° ( + ) = ( ) + ( ) iga , , V korral (distributiivsus); 5° a ( ) = ( a ) = ( a ) iga a ja , V korral. 5. Vektorruumi definitsioon. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Lineaarselt sõltumatud ja sõltuvad vektorid. Kollineaarsed vektorid. Def. 1. Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks, kui temas on antud kaks tehet liitmine (igale kahele elemendile , V on vastavusse pandud parajasti üks element + V ) ja skalaariga korrutamine (igale arvule a ja hulga V elemendile on vastavusse pandud parajasti üks element a V ) nii, et on täidetud II ptk. §1 teoreemis loetletud aksioomid 1° 8°. Vektorruumi V elemente nimetatakse vektoriteks. Def. 1. Vektorite 1 , 2 , ..
8. vektori ja reaalarvu korrutis- vektori korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit, mille pikkus võrdub arvu absoluutväärtuse ja lähivektori pikkuse korrutisega ning mis on lähivektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele, kas arv on positiivne või negatiivne 9. Vektori pikkus- Lõigu AB pikkust nimetatakse vektori AB pikkuseks ja tähistatakse | AB| . Vektori AB(x,y,z) pikkust saab arvutada valemiga AB=√ x2 + y 2 + z 2 10.Kollineaarsed vektorid- Vektorid on kollineaarsed, kui mõlemad lõigud asuvad kas ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. 11.samasuunalised vektorid- mõlemad vektorid on samasuunalised ( a ↑↑ b ; a ↓ ↓b ¿ 12.vastassuunalised vektorid- üks vektor on ühes suunas, teine teises suunas ( a ↑↓ b ; a ↓ ↑b ) 13.Vektorite vaheline nurk- vektorite vaheline nurk tekib lõigu AB pööramisel ümber punkti A lühemat teed pidi lõigule AC 14
teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks
teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad. Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest. Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel. Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2 LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA VEKTORITE LIITMINE: V × V V: (a, b) a + b = c. 1) KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks
Areaalruut võrdub nulliga Ringi, mille kõik nullelemendist erinevaid elemendid moodustavad rühma korrutamise suhtes, nim. korpuseks. Ringi om+ ea=ae=a + s Korpust, milles korrutamine on kommutatiivne, nim. kommutatiivseks 3. Kui vektorid on kollineaarsed, siis nende korpuseks. Komm ring + eelmise om + s kompleksarvude hulk on areaalkorrutis on 0. algebraliste süsteemide mõistes kommutatiivne korpus. Aditiivset Abeli rühma, milles on defineeritud skalaariga korrutamine,
Lause: Cauchy-Bunjakovski võrratus muutub funktsionaalrida ∑∞ 𝑘=1 𝑢𝑘 (𝑥) saab liikmeti diferentseerida. võrduseks parajasti siis, kui vektorid 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ on kollineaarsed. Tõestus: Tarvlikkus. Olgu vektorid 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ kollineaarsed, s.o 𝑎⃗ = Tõestus. Järelduse 2 põhjal, eeldusel, et 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, saame 𝜆𝑏⃗⃗. Leiame (𝑎⃗ ∗ 𝑏⃗⃗)2=(𝜆𝑏
A1/A2=B1/BC1/C2 Sirged lõikuvad (tõusud erinevad, risti on kui tõusude korrutis on 1) a1a2 Vektor on suunaga lõik, millel on alguspunkt (rakenduspunkt) ja lõpppunkt. Igal sihil on kaks suunda. Paralleelsetel sirgetel on sama siht. Vektoreid tähistatakse kas 2 suure tähega või 1 väikse tähega. AB vastandvektor on BA; v vastandvektor on v Vektorid on võrdsed kui nendel on sama pikkus ja suund. Sama sihiga ehk samasihilisi vektoreid nimetatakse kollineaarseteks. Vektorid on kollineaarsed siis, kui nende koordinaadid on võrdelised (s.t. vastavate koordinaatide jagatised on võrdsed). Vektori lahutamisel asendame lahutamise vastandvektori liitmisega. Vektori liitmisel liidame vastavad koordinaadid, lahutamisel lahutame. Vektorid i ja j ristuvad ühik vektorid. Ühe ühiku pikkused, teljestiku sihis. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutan lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega koordinaatide ruutude summast.
· Vektorite vahe koordinaatideks on lahutavate vektorite vastavate koordinaatide vahed · Vektori korrutamiseks mingi arvuga tuleb selle arvuga korrutada vektori koordinaate. · Vektori vastandvektori koordinaadid on esialgse vektori vastandarvud · Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised · Kui kahe vektori vastavad koordinaadid on võrdelised, siis on vektorid kollineaarsed. 6.9 Otspunktidega määratud vektori koordinaadid Vektori koordinaadid avalduvad vektori lõpp-punkti ja alguspunkti samanimeliste koordinaatide vahedena. 6.10 Vektori skalaarkorrutis Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks a·b nimetatakse nende vektorite pikkuste ning vektorivahelise nurga koosinuse korrutist. 6.11 Järeldusi skalaarkorrutiste definitsioonist · Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis nende vektorite skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega
r r Kui vektorit v korrutada reaalarvuga, siis saame vektorid, mis kõik kuuluvad vektoriga v ühte sihti. r Siht on vektorite hulk R v , kus R on reaalarv. Ühte sihti kuuluvaid vektoreid nimetatakse kollineaarseteks r r vektoriteks (e. samasihilisteks). r r a Pb - kollineaarsed vektorid. a Pb - mittekollineaarsed vektorid. Sihid saavad olla kas samasuunalised ( ) või erisuunalised ( ). r r Olgu antud kaks vektorit koordinaatidega a (a1;a2) ja b (b1;b2). Kollineaarsuse tunnus: Kaks vektorit on kollineaarsed siis ja ainult siis, kui nende vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, st. ur r a1 a2
rööpküliku pindalaga, mis on ehitatud vektoritele a ja b kui külgedele ja mis on risti nende vektoritega ning suunatud nii et lühem pööre vektorist a vektorini b ümber vektori y toimub vastupäeva, kui vaadata vektori y lõpust. Vektorkorrutise omadused 1, vektorite a ja b vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui vähemalt üks korrutatavatest vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6
Lause: Cauchy- Lause Funktsiooni f(x) Fourier’ rida koondub keskmiselt funktsiooniks f(x) parajasti siis, kui funktsiooni f(x) korral x = (x1, . . . , xn) määrab ära sama järjend (x1, . . . , xn) .Ruumi Rn vektorite x = (x1, . . . , xn) ja y = (y1, . . . , yn) Bunjakovski võrratus muutub võrduseks parajasti siis, kui vektorid 𝑎⃗ ja 𝑏⃗⃗ on kollineaarsed. Tõestus: Tarvlikkus. Olgu kehtib Parsevali võrdus. skalaarkorrutis
Gauss-Jordan. Selle järgi teisendatakse laiendatud maatriksi elemendid peadiagonaalil ühtedeks ja sellesta alla- ja ülalpool nullideks. Siis saab kohe välja kirjutada vastuse Vektorid, tehted vektoritega Vektori pikkuseks (ehk normiks ehk mooduliks) nimetatakse vektori kui lõigu pikkus. Vektori a pikkus on a ja tähistatakse |a| = a. Vektoreid a ja b nimetakse kollineaarseteks (a ||b), kui nad on paralleelsed sama sirgega. Kollineaarsed vektorid on kas samasuunalised a b või vastassuunalised a b. Vektoreid a ja b nimetatakse komplanaarseteks, kui nad on paralleelsed ühe ja sama tasandiga. Vektorid a ja b on võrdsed (on sama suured), a=b, kui nende pikkus on sama ja nad on samasuunalised Vektorite a ja b summa a+b on vektor, mille alguspunkt on a alguspunkt ja lõpp-punkt saadakse b paralleellükkega a lõpp-punkti, siis a+b lõpp-punkt on b lõpp-punkt. Tihti kasutatakse
• Vektori pikkus • Vektorite liitmine ja lahutamine (kolmnurga ning rööpkülikureegli järgi) • Nullvektor • Vektori korrutamine arvuga, skalaarkorrutis, projektsioon (ei küsi KT-s) ning vektorkorrutis Vektorid • Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, mida iseloomustavad: • - siht (näitab, kuidas vektor asetseb) • - suund (näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud • - pikkus (vektori arvväärtus) • Vektorid on samasihilised (kollineaarsed), kui nad on paralleelsed. Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised. • Kui kaks vektorit on teineteise vastandvektorid, siis on nad ühepikkused ja samasihilised, aga vastassuunalised. • Vektorid on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Vektorid • Vektori pikkust nimetatakse vektori mooduliks. Vektorid Vektorid Vektorid • Joonesta,(alusta nullpunktist) a=(2;5), b=(0;-4), c=(-1;2),
, st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka
seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et
erinevaid juuri on täpselt n: nRjz = nRJr(cos(fi + 2kPi/n) + isin( fi + 2kPi/ n)); k = 0; 1;.. ; n - 1:
Vektorkorrutis Ruumis E3 x ja y korrutiseks nim XxY mille korral on täidetud järgm tingimusd
1)Xristi XxY ja YristiXxY 2)|XxY|=|X| |Y|sina 3)X,Y XxY mood paremakäe kogumiku. Omadused
1)XxY=-YxX 2)XxY=¤óx||y kollineaarsed 3
Vektorite segakorrutis E3 vaatleme ristbaasi mille vektoriteks on i,j,k. Eukleidilises ruumis E3
vektorite x,y,z segakorrutiseks nim reaalarvu mis leitakse vastavalt reeglile (x,y,z)=
ka olulised normaal-ja tangentsiaalkiirendused. Nad avalduvad kujul . Seega nii at = R normaal kui ka tangentsiaalkiirendus kasvavad lineaarselt punkti ja pöörlemistelje vahelise kauguse R suurenedes. Kiiruse ja nurkkiiruse vaheline seos v = [R ] . Distributiivsusest lähtudes [R ] = [( r + R )] = [r ] + [R ] . Samuti on vektorid r ja w kollineaarsed, seega on ka nende korrutis null. Järelikult v = [R ] Newtoni I,II,III seadus I seadus- iga keha püsib kas paigal või ühtlases sirgliikumises seni, kuni teiste kehade mõju ei sunni teda seda olekut muutma. Mõlema oleku puhul keha kiirendus on null. Tegelikult looduses ei eksisteeri kehi, mis oleksid täiesti vabad teiste kehade mõjust. Enne Galileid arvati, et mõju on vajalik mitte kiiruse muutmiseks vaid selleks, et säilitada kiirus muutumatuna
suunalised) vektorid ja määrake kindlaks, missuguse arvuga on vektorit korrutatud. Kahte vektorit u ja v , millede vahel kehtib seos u = k · v , kus k on konstant, nimetatakse kollineaarseteks. Kahe kollineaarse vektori u = (a; b) ja v = (c; d) vastavad koordinaadid on võrdelised, a b s.t. . c d Näide. Vektorid koordinaatidega (3; 5) ja (6; 10) on kollineaarsed, samuti on kolline- aarsed vektorid (2; 0) ja (3; 0), kuid (3; 4) ja (5; 6) ei ole kollineaarsed. © Allar Veelmaa 2014 24 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTORITE SKALAARKORRUTIS Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
Sisuliselt saaks samad tulemused t-testi puhul Simpsoni paradoks – esineb, kui juhtumid on jagatud mingi tunnuse poolest gruppideks. Logistiline regressioon Sõltuv muutuja on dihhotoomne väärtus (nt jah/ei, on/ei ole, 0/1); see eeldab ka vastavat muutuja kodeerimist (st kujule 0 ja 1), sest arvutatakse sündmuse asetleidmise tõenäosust On üks või rohkem sõltumatut muutujat. Omavahel sõltumatud ja mitte kollineaarsed vaatlused. Šansid (odds) – tõenäosus, et midagi juhtub, jagatud tõenäosusega, et see sama asi ei juhtu (eeldades, et need kaks on ainsad võimalikud variandid). o Šansid=P(y=1) / 1−P(y=1) o Kui šansid on 1, peavad murrujoone pooled olema võrdsed ehk tõenäosus (probability) P=50% o Järelikult: kui šansid<1, on mitte-juhtumise tõenäosus suurem kui juhtumise
kus V on vektoritele , , ehitatud rööptahuka ruumala ning on vektorite × ja vaheline nurk. Selle rööptahuka kõrgus h on aga cos (vt. eelmist joonist ja arvestada, et vektor ^ on paralleelne vektoriga × ). Seega V = × h . Siit järeldub, et arv × võrdub vaadeldava rööptahuka põhja pindalaga. See on samaväärne teoreemi teise väitega. Järeldus. Vektorkorrutis × võrdub nullvektoriga parajasti siis, kui vektorid ja on kollineaarsed. Ütleme tõestuseta, et vektorid , ja × moodustavad nn. parema käe kolmiku (vektori × suunda saab määrata ka nn. kruvireegliga). Eeltoodu põhjal saab vektorkorrutisele anda teise definitsiooni: Def. 2. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja
omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis. Kahte geomeetrilist vektorit loetakse võrdseiks, kui need vektorid on kollineaarsed ( || ), samasuunalised ( ) ja ühepikkused (|||| = ||||) Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega: 1. liitmine 2. skalaariga korrutamine (skalaaride hulgaks R). Korrutis rahuldab tingimusi: 1. c || ; 2. c >= 0 <=> c ; c < 0 <=> c ; 3. ||c|| = |c| * ||||; Lineaarsete tehete omadused geomeetriliste vektorite korral 1. liitmine on kommutatiivne, st + = + iga , V korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral 3
ühtse tähisena E. Definitsioon 13.5 Seotud vektori XY pikkuseks |XY | nimetame teda määrava lõigu XY pikkust. Definitsioon 13.6 Seotud vektorit Y X nimetame seotud vektori XY vastandvektoriks, mida tähistame -XY abil, s.o. -XY := Y X. Definitsioon 13.7 Seotud vektorit AB nimetame kollineaarseks seotud vektoriga CD, kui lõik AB on paralleelne lõiguga CD. Öeldut tähistame AB CD abil. Kui vektorid ei ole kollineaarsed, siis tähistame seda AB CD abil. Märkus 13.5 Seotud nullvektor on kollineaarne iga seotud vektoriga, kuna seda null- vektorit määrav lõik on paralleelne mistahes seotud vektorit määrava lõiguga. Definitsioon 13.8 Seotud vektorit AB nimetame samasuunaliseks (vastassuunaliseks) seotud vektoriga CD, kui esiteks AB CD ja teiseks suunad on ühe- sugused (suunad on vastupidised). Öeldut tähistame esimesel juhul AB CD ja teisel juhul AB CD abil.
Joone L normaaltasand on risti vektoriga r?( t 0 ) = { x?( t 0 ) , y?( t 0 ) , z?( t 0 )} ja läbib punkti P( x0 , y 0 , z 0 ) , kus x0 = u ( t 0 ) , y 0 = v( t 0 ) , z 0 = w( t 0 ) . ? ? nx = 0 ? ? n = r?( t 0 ) ? x = PQ = { x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 } x?( t 0 )( x - x 0 ) + y?( t 0 )( y - y 0 ) + z?( t 0 )( z - z 0 ) = 0 (11.2) Normaaltasandi võrrand. ? ? s = r?( t 0 ) ? x = PQ ? ? ?? ? ? x ja s on kollineaarsed ( s x ) ehk x = k s x - x0 y - y0 z - z 0 (11.3) = = x( t 0 ) y ( t0 ) z(t 0 ) Puutuja võrrandid. Parameetrilisel kujul x = x 0 + x( t 0 ) t y = y 0 + y( t 0 ) t (11.3') z = z + z(t ) t 0 0 12. Teoreem gradiendist ja nivoojoonest (nivoopinnast). Kõverpinna puutujatasand ja normaal. Teoreem 12.1. Funktsiooni gradient on risti vaadeldavat punkti läbiva nivoojoonega või nivoopinnaga. Tõestus.
7.2 Lineaarsed tehted vektoritega r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis 44 r r u = v X 1 = X 2 , Y1 = Y2 , Z1 = Z 2 , r r u + v = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z1 + Z 2 ) , r r u - v = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z1 - Z 2 ) , r ku = ( kX 1 ; kY1 ; kZ1 ) . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u = ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) ja v = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u = kv = = = k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r
2 Lineaarsed tehted vektoritega r r Kui u X 1 ; Y1 ; Z1 ja v X 2 ; Y2 ; Z 2 , siis 44 r r u v X 1 X 2 , Y1 Y2 , Z1 Z 2 , r r u v ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 ) , r r u v ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 ) , r ku kX 1 ; kY1 ; kZ1 . 7.3 Vektorite kollineaarsus ja komplanaarsus Vektorid on samasihilised e. kollineaarsed, kui nende sihid on paralleelsed. r r Kui u X 1 ; Y1 ; Z1 ja v X 2 ; Y2 ; Z 2 , siis r r r r X 1 Y1 Z1 u Pv u kv k (kollineaarsete vektorite vastavate koordinaatide X 2 Y2 Z 2 suhted on võrdsed). Vektorid on komplanaarsed, kui nad kuuluvad ühe ja sama tasandi rihti. r r r
annaabi.ee 
