Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria konspekt (0)

Eksami kordamisküsimused  Lineaaralgebra  ja analüütiline  geomeetria  (2015-
2016  aasta sügis)  
 
Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt 
P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P  ristprojektsioon  
abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P 
ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). 
Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis 
kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga 
 
Vektori mõiste  Vektor  
on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp- punktiga  
punktis B. 
Nullvektor  Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nul vektoriks määramata 
suunaga vektor, mille pikkus on null. 
Ühikvektor  Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. 
Vektorite  liitmine  ja lahutamine 
 
Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. 
Reaalarvu  ja vektori korrutis. 
 
Vektori pikkus Vektori 
  pikkuseks  loetakse sel ele vektorile vastava sirglõigu AB 
pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv. Tähistus
 
Kollineaarsed   vektorid  Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk 
samasihilisteks, kui  lõigud  AB ja CD asuvad kas ühel sirgel või paral eelsetel sirgetel. 
Komplanaarsed vektorid Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad 
asetsevad kas ühel tasandil või paral eelsetel tasanditel. 
Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised  ning on samas suunas. 
Vastassuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning vastupidises suunas 
üksteise suhtes. 
Vektorite vaheline nurk  
Vektori projektsioon Vektori a projektsiooniks vektori b sihile  nimetame  arvu |a| cos 
θ, kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk, st θ = ∠(a,b)
 
 
Ristreeper 
on ristkoordinaadisüsteemi ristreeper. 
 
1 
 
Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu 
 
Skalaarkorrutamise omadused 
1.  Skalaarkorrutis on null  parajasti  siis, kui vähemalt üks vektoritest on nul vektor 
või kui vektorid on omavahel risti.  
2.  Skalaarkorrutis on kommutati vne: a · b = b · a.  
3.  Skalaarkorrutis on  assotsiatiivne  arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · 
b.  
4.  (a +b) · c = a · c +b, c distributi vsus. 
Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis
 
 
Parema käe  kolmik  
Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui 
vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed 
pidi kellaosuti liikumise suunale vastupidises suunas. 
 
Vektorkorrutis  Vektorite x, y vektorkorrutiseks nimetatakse  vektorit  x×y, mis on 
määratud järgmiste tingimustega:  
1.  |x×y| = |x||y| sin ∠(x, y), kus ∠(x, y) on nurk vektorite x ja y vahel 
2.  vektor x×y on risti nii vektoriga x, kui ka vektoriga y 
3.  vektorsüsteem {x, y, x×y} on parema käe kolmik 
Vektorkorrutamise omadused  
1.  vektorid x, y on kollineaarsed vektorid parajasti siis, kui x×y = 0, st kui 
vektorite x, y vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga 
2.  vektorite x, y vektorkorrutise pikkus |x×y| on võrdne vektoritele x, y ehitatud 
rööpküliku  pindalaga Srk(x, y), st |x×y| = Srk(x, y) 
3.  vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline, st x×y = −y×x 
4.  suvaliste vektorite x, y, z korral ja suvalise reaalarvu α korral kehtivad valemid 
 
2 
 
 
Arvutamise valemid koordinaatides ristreeperis 
 
Kahele vektoritele ehitatud rööpkülik
 
 
Rakendused :  
●  jõu moment punkti A suhtes on võrdne vektorkorrutisega
 
●  Masspunkti  liikumishulga  momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse 
vektorkorrutist
 
Segakorrutis Segakorrutamine antakse vektorkorrutamise ja skalaarkorrutamise 
kaudu. Kuna vektorkorrutamine on antav  vektorruumis  E3, siis on ka 
segakorrutamine antav ainult vektorruumis E3.  Kolme vektori x, y, z ∈ E3 
segakorrutiseks nimetatakse reaalarvu, mida tähistatakse 
 abil ja mis antakse 
valemiga 
 
Segakorrutamise omadused 
1.  Segakorrutamine sõltub vektorite järjekorrast järgmiselt 
 
2.  Vektorite a, b, c segakorrutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele 
ehitatud  rööptahuka  ruumalaga ehk 
 
3.  Vektorite x, y, z segakorrutis võrdub nulliga parajasti siis, kui vektorid on 
komplanaarsed ehk kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel 
tasanditel 
3 
 
Arvutamise valem koordinaatides 
 
Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas 
 
 
Maatriks   Maatriksiks  nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, 
milles on eristatavad read ja  veerud . Maatriksit, milles on m rida ja n  veergu , 
nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks.  
Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse sel e maatriksi mõõtmeteks.  
Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. 
Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat 
järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. 
Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi 
elementideks.  Maatriksite  elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina 
tähtedega, mis võivad ol a varustatud ka indeksitega: a, b, c.. 
Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte 
ladina tähtedega A, B, . . . , X, Y, Z.  
Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame  Mat abil ning kõigi 
(m, n)-maatriksite hulka tähistame Mat(m, n) abil.  
Maatriksite liigid:  
●  ruutmaatriks Maatriksit, mil e ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m = 
n, nimetatakse ruutmaatriksiks.  
●  ristkülikmaatriks Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 
6= n, nimetatakse ristkülikmaatriksiks.  
●  ühikmaatriks Maatriks, mil e peadiagonaalil olevad  numbrid  on ühed ja 
ülejäänud nul id. 
●  nullmaatriks Me nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle 
maatriksi kõik elemendid on nul id. Nullmaatriksi tähiseks on Θ. 
●  vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit, 
mille elementideks on maatriksi A elementide  vastandarvud . Maatriksi A 
vastandmaatriksi tähiseks on −A. Seega (m, n)-maatriks B = (bkl) on (m, n)-
maatriksi A = (a
= −a
ij ) vastandmaatriks, kui bij 
ij .  
4 
 
●  transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks 
nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude 
äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on AT . 
●   sümmeetriline  maatriks Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT = 
A 
●  kaldsümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse kaldsümmeetriliseks, 
kui AT = −A. 
Tehted  maatriksitega:  
●  maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga 
B = (bkl), kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ühesugustel kohtadel 
on võrdsed elemendid aij = bij . Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. 
●  Liitmine 
 
●  Lahutamine Sama põhimõte nagu li tmisel.  
●  arvuga  korrutamine  
Ehk kõik li kmed 
korrutatakse sama kordajaga läbi. 
●  maatriksite korrutamine Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A 
veergude arv  võrduma  maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise 
eksisteerimise eeldust võib nimetada tegurite järkude  kooskõla  tingimuseks. 
Seejuures on saadud maatriks C, kus on maatriksi A ridade arv ja 
maatriksi B veergude arv. 
 
●  transponeerimine ja nende omadused 
5 
 
 
1.  Kui A on sümmeetriline, siis A = AT. 
2.  (A + B)T=AT + BT. 
3.  (AB)T = BTAT. 
Maatriksi elemendi täiendusmiinor Kui  maatriksist  A ära jätta i-s rida ja j-s  veerg , 
siis saadud (n − 1)-järku ruutmaatriksi determinanti nimetatakse elemendi aij 
täiendusmi noriks ja tähistatakse Mij. 
Maatriksi elemendi algebraline  täiend  Arvu (−1)i+j Mij nimetatakse elemendi aij 
algebraliseks täiendiks (alamdeterminandiks). 
Determinandi arendus rea või  veeru  järgi
 
Determinandi omadused  
1.  Maatriksi ja transponeeritud maatriksi  determinandid  on võrdsed, s.t. |A| = 
|AT|. 
2.  Maatriksi kahe rea (veeru) äravahetamisel muudab maatriksi  determinant  
märgi. 
3.  Kui maatriksis mingit rida (veergu) korrutada mistahes arvuga, siis maatriksi 
determinant korrutub sama arvuga. 
4.  Kui maatriksi mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud mistahes 
teine rida (veerg), siis uue maatriksi determinant on võrdne esialgse maatriksi  
determinandiga. 
5.  Kui determinandis on kaks ¨uhesugust rida (veergu), siis on determinant null. 
 
 
6 
 
Pöördmaatriks  Olgu A n-järku maatriks. Maatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse 
sellist n-järku maatriksit B, mis  rahuldab  tingimust AB = E = BA, kus E on n-järku 
ühikmaatriks. Kui maatriksi A pöördmaatriks eksisteerib, siis pöördmaatriksit 
tähistame A-1. 
Regulaarne  maatriks Me nimetame n-järku maatriksit A regulaarseks 
(singulaarseks), kui |A| 6= 0 (|A| = 0) 
Pöördmaatriksi omadused.  
1.  Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis ni  maatriks A kui ka tema 
pöördmaatriks on regulaarsed. 
2.  Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteise pöördarvud, s.t. |A| · 
|A−1| = 1 
3.  Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt. 
4.  Regulaarsete n-j¨arku maatriksite A ja B korral kehtib valem (AB)−1 = B−1A−1 
5.  Maatriksi A−1 pöördmaatriks on maatriks A, s.o (A−1)−1 = A 
6.  Ühikmaatriksi E pöördmaatriksiks on tema ise, s.o. E−1 = E 
7.  Maatriksi transponeerimine ja pöördmaatriksi leidmise  operatsioon  on 
vahetatavad ehk kommuteeruvad, s.o. (AT)−1 = (A−1)T 
 
Lineaarvõrrandisüsteem (LVS) 
 
Homogeenne  LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse homogeenseks, kui 
vabali kmed on võrdsed nul iga: b1 = b2 = . . . = bm = 0 
Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsttemi nimetatakse mittehomogeenseks, 
kui vähemalt üks vabali ge on nul ist erinev. 
LVS-i maatriks  
Maatriksis on tundmatute kordajad. 
Laiendatud maatriks 
 Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 
7 
 
LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse 
lineaarvõrrandisösteemi  lahendiks , kui nende arvude asendamisel tema 
võrranditesse tundamatute asemel saame  samasused . 
LVS-i  erilahend  Kui avaldame juhtelemendid vabade tundmatutega ja asendame 
vabad tundatud mingite  arvudega , siis saame erilahendid. 
LVS-i elementaarteisendused 
Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendusteks nimetatakse  
1.  tema mistahes võrrandi korrutamist nul ist erineva reaalarvuga 
2.  tema mingile võrrandile teise mistahes reaalarvuga läbikorrutatud võrrandi 
liitmist 
3.  süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist. 
Lahenduv LVS Võrrandisüsteemi nimetatakse kooskõlaliseks, kui tal leidub 
vähemalt üks lahend. 
Vastuoluline  LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole 
lahendeid . 
Gaussi meetod Gaussi meetod baseerub võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi 
elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi 
kõik elemendid al pool peadiagonaali nul ideks, opereerides seejuures eranditult vaid 
maatriksi ridadega. 
Vabad tundmatud Maatriksi astakust lahutada juhtelemendid, siis saab vabad 
tundmatud. Neid kasutame juhtelementide arvutamiseks. 
 
Maatriksi  astak  Maatriksi astak on nul ist erinevate täiendusmi norite kõrgeim järk. 
Astakut tähistatakse  rank (A) või r(A). 
Maatriksi rea juhtelement Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea 
(vasakult) esimest nullist erinevat elementi. 
Treppkujuline maatriks 
Öeldakse, et maatriks on treppkujuline, kui  
1.  read, mis koosnevad ainult nullidest, on maatriksi põhjas (al )  
2.  mistahes rea juhtelement asetseb  rangelt  paremalt temale eelneva rea 
juhtelemendist 
Kronecker-Capelli teoreem LVS on  kooskõlaline  ehk lahenduv parajasti siis, kui 
tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. 
Teoreem LVS-i  lahendite  arvust 
Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis 
tundmatute arvuks n.  
1.  Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid.  
2.  Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend.  
3.  Kui rank(A) = rank(B)  c, kus 2c = |F
| on lõigu F
1F2| ja |F1F2
1F2 pikkus. Punkte F1, F2 
nimetatakse ellipsi fookusteks 
Ellipsi  ekstsentrilisus  Ellipsi ekstsentrilisuseks nimetatakse arvu e = c/a (0