. . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n - m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . . . , in ; jm+1 , jm+2 , . . . , jn . Definitsioon 4.2. Miinorit xim+1 jm+1 xim+1 jm+2 . . . xim+1 jn
. . xi2 jm Mm := i2 j1 (4.1) ......................... xim j1 xim j2 . . . xim jm nimetatakse maatriksi X jaoks m-j¨ arku miinoriks. Kui m < n, siis m rida ja m veergu saab fikseerida v¨aga erinevalt. Seega m-j¨arku miinoreid on palju. N¨aiteks m = 1 korral saame 1-j¨arku miinorid, milleks on maatriksi X elemendid. Samas suurimat j¨arku miinori saame m = n korral. Neid on ainult u ¨ks, nimelt maatriksi X determinant |X|. Olgu m-j¨arku miinori (4.1) korral m < n. Sel korral j¨a¨ ab fikseeri- mata n − m rida ja samapalju veerge. T¨ahistame nende indeksid kasvavas j¨arjekorras vastavalt im+1 , im+2 , . . . , in ; jm+1 , jm+2 , . . . , jn . Definitsioon 4.2. Miinorit xim+1 jm+1 xim+1 jm+2 . . . xim+1 jn
liidetavatest; ülejäänud read jäävad aga endisteks. · D ei muutu, kui D-i ühe reaga liita mistahes tegutriga korrutatud teine rida. D-i seda omadust kasutatakse mõnede elementide nulliks muutmiseks, et D-i arvutamist lihtsustada. n-järku D-i elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse (n-1)- järku D, mis tuleb D-st, kui sellest jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Alam-D Aik ja miinori Mik vahel kehtib järgmine seos: Aik = (-1)i+k Mik 2. Maatriksi põhimõisted. Lineaarsed tehted maat-ga. Maatriks on ja jääb arvutabeliks, tema väärtust kunagi ei arvestata. Maatriksi teisendamiseks kasutatakse samasväärsus teisendusi, s.t. teisendi M samaväärsed e. bivalentsed () · i=k - ruutmaatriks · ik ristkülkmaatriks A(aik); B(bik) i = 1, 2, 3... n; k = 1, 2, 3... n · M on võrdsed, kui aik = bik · A + B = C, aik + bik = cik
( a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2nxn = b2
( a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3nxn = b3
Kolme moodi seotud: m=n , m
Nüüd Lemma 1 kohaselt vasakpool võrdub , , , , · , , , , , , , , rida ja j-ndas veerg. Seega ta võrdub miinori definitsiooni kohaselt . Kokkuvõttes saame Determinant, mis esineb avaldises on maatriksi A determinant, kus on eemadlatud i-ndas · 1 · det, võrduse det · · 1 · kust Teoreem. Determinant detA võrdub mingi rea (veeru) elementide ja nende algebraliste täiendite korrutiste summaga: (1) ning
..; n}; V; = a11 + a22 + ... + ann; a1, ...an K - vektori koordinaadid vaadeldavas baasis B = (a1; ...; an)B; = (b1; ...; bn)B; c K + = (a11 + ... + ann) + (b11 + ... + bnn) = (a1 + b1)1 + ... + (an + bn)n = (a1+b1; ...; an+bn)B c = c(a11 + ... + ann) = (ca1)1 + ... + (can)n = (ca1; ...; can)B n-mõõtmeline vektorruum V üle korpuse K on isomorfne n-mõõtmelise aritmeetilise ruumiga Kn. V <-> Kn; <-> (a1; ...; an)B = A; <-> (b1; ...; bn)B; + <-> A + B; c <-> cA 20. Miinori defnitsioon. Maatriksi astaku defnitsioon. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Astaku leidmine. Valime maatriksist A välja k rida reanumbritega i1, i2, ..., ik (i1 < i2 < ... < ik) ja k veergu veerunumbritega j1, j2, ..., jk (j1 < j2 < ... < jk). k <= m,n. Moodustame väljavalitud k rea ja veeru ühistest elementidest k-ndat järku determinandi. Saadud determinanti nimetatakse maatriksi A k-ndat järku miinoriks.
.. xi1 jn
x 2 j1 xi 2 j 2 ... xi 2 jn
Mm := nimetame maatriksi m-järku miinoriks
... ... ... ...
xinj1 xinj 2 ... xinjn
*Miinorit
xim +1 jm +1 xim +1 jm +2 ... xim +1 jn
xim +2 jm +1 xim +2 jm +2 ... xim +2 jn
M m -n := nimetame miinori Mm täiendusmiinoriks
... ... ... ...
xinjm +1 xinjm +2 ... xinjn
Märgiga varustatud täiendusmiinorit
An-m := (-1)rMn-m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . . . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem Olgu X n-järku ruutmaatriks ja selliselt, et i1
siis nim neid maatrikseid ekvivalentseteks ja kirjutatakse A~B (omadused: 1)refleksiivuss iga A~A 2)sümmeetria A~B B~A 3)transitiivsus A~B ja B~C A~C). Astaku leidmine: tuleb maatriks elementaarteisenduste abil teisendada tereppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Kronecker-Capelli teoreem.Öeldakse, et maatriksi astak on r, kui selle maatriksi rea ja veeru elementidest saab moodustada vähemalt ühe 0-st erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi 0-st erinevat r+1 järku miinorit. Pöördmaatriks.Kuna maatriksite korrutamine ei olnud kommutatiivne ja lisaks leidusid nullitegurid, siis ei saa rääkida maatriksite jagamisest, kuid teatud juhtudel leidub maatriksil pöördmaatriks. Def. Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nim sellist matrx B, mis rahuldab tingimust AB=I=BA. Teoreem. Kui matrx on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt.Tõestus: olgu B ja C mõlemad
65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine. Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67.vabad tundmatud – LVS-is olevad fikseeritud reaalarvus, mis ei ole tundmatute kordajateks 68.Maatriksi astak- Öeldakse, et maatriksi A astak on r, kui selle maatriksi elementidest saame moodustada vähemalt ühe nullist erineva r-järku miinori ja mitte ühtegi nullist erinevat (r+1)-järku miinorit. 69.maatriksi rea juhtelement - nimetatakse selle rea (vasakult) esimest ≠ 0 elementi. Veergu milles juhtelement asetseb, nim juhtelemendiks. 70.treppkujuline maatriks – Ütleme, et maatriks on treppmaatriks, kui on täidetud järgmised tingimused: read, mis koosnevad nullidest, asetsevad maatriksi põhjas mistahes rea juhtelement asetseb rangelt vasakul temale järgneva rea juhtelemendist 71
ruutmaatriksi elementide abil. determinandi järk ruutmaatriksi A järk Tähistus detA või |A| determinandi elemendi miinor tekib siis, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus antud element paikneb. n-järku determinandi mingi elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse sellist (n-1)-järku determinanti, mis tekib, kui antud determinandist eemaldada rida ja veerg, kus paikneb vaadeldav element. determinandi elemendi alamdeterminant (miinori algebraline täiend) tekib siis, kui miinoriga korrutada (-1) astmes elemendi indeksite summa. n-järku determinandi mingi elemendi aij alamdeterminandiks nimetatakse arvu Aij=(-1)i+j Mij kus Mij on vaadeldava elemendi aij miinor. mistahes determinandi D väärtus on võrdne tema ridade elementide ja nende alamdeterminantide korrutiste summaga. 4. Teist ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad.
determinantide arvutamisele, s.t III järku determinandi saame II järku determinantide kaudu, IV järku determinandi saame III järku determinantide kaudu jne. Nii on suvalist järku determinandi leidmine taandatav II järku determinantide leidmisele. Elemendi aij miinor Mij on (n - 1) järku determinant, mis saadakse determinandist * aij * i-nda rea ja j-nda veeru kõrvaldamisel. Seega elemendile aij vastava miinori saame, kui kõrvaldame rea ja veeru, mille ristumiskohas asub element aij. Näiteks III järku determinandi * A * miinori M11 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 1. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatud determinant ongi miinor M11 : Elemendile a12 vastava miinori M12 leidmiseks kõrvaldatakse 1. rida ja 2. veerg. Järele jäänud elementidest moodustatakse miinor M12 : Neljandat järku determinandi korral näiteks
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Kontrolltöö teemad 1. Tehted maatriksitega. 2. Maatriksite korrutamine. 3. Determinantide omadused. 4. Determinandi väärtuse arvutamine, arendades determinanti rea või veeru järgi. Eksamiteemad 1. Tehted maatriksitega. 2. Determinandi mõiste ja omadused. 3. Determinandi elemendile vastava miinori ja alamdeterminandi mõisted. 4. Determinandi arendamine rea või veeru järgi. PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID 1.1 Maatriksi mõiste Maatriksi A vastandmaatrik- Definitsioon 1.1 siks nimetatakse maatriksit -A
annaabi.ee 
