Lineaaralgebra (0)

Kordamisküsimused
1) Kompleksarvu mõiste. Kompleksarvu algebraline kuju ja tehted algebralisel
kujul.
DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,b€R. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik).
Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i.
Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2),
2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul.
geomeetriline kujutamine k-arv/ reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X- telg k-arvu reaal telg ja Y-telg – imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy
trigonomeetriline kuju tähistame nurk X- teljel ja vektori
pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos. avaldist z=r(cos+isin) ongi trigonomeetriline kuju.
Arvutamine
z1*z2=r1r2,
3) Kompleksarvude juurimine .
astendamine On võimalik kui k-arv on esitatud trig.kujul z=r(cos+isin), astendamise kasutatakse korrutamise reeglit z1*z2=r1r2
juurimine Igal k-arvul z=r(cos+isin)0 on parajasti n juurt ,anname k väärtused (1,2,3....n-1)
4) Vektorruumi mõiste, vahetud järeldused aksioomidest.
Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1) liitmine -2le (on )elemendile on pandud
vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor .
5) Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus . Lineaarse s~oltuvuse tarvilik
ja piisav tingimus.
Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka
nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui
Vektorruumi X(ülekorpuse K) mingit vektorite hulka nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui ta ei ole lineaarselt sõltuv
6) Vektorruumi baas ja mõõde. Vektori koordinaadid.
Tasnd - kasutatakse vektorruum pikkusega 1
kordinaadid-baasiks on iga 2 lin.sõltumatu vektor
sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor
aritmeetiline vektorruum-valitakse
ruumis ,avaldub aritm.vektor
kordinaadid-vektori
arvud ()on B baasil valitud kordinaadid.
3-mõõtmeline ruum-on baasiks iga 3-lin.sõltumatu vektor
7) Maatriksi mõiste, maatriksite liigid ja lineaartehted maatriksitega. Maatriksite
vekrorruum.
Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub.
Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . .
Maatriksi üldkuju on:
A = .
Lühemalt on võimalik maatriksit esitada kujul:
A = mn.
Maatriksi erikujud:

Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks.
Ruutmaatriksi võrdsete indeksitega elemendid aii moodustavad peadiagonaali ja peadiagonaaliga ristuvad elemendid moodustavad kõrvaldiagonaali.

Kui m = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks - reaks ehk üherealiseks maatriksiks; näiteks A = ( 3 5 2,6 7 ).

Kui n = 1, siis nimetatakse maatriksit maatriks-veeruks ehk üheveeruliseks maatriksiks; näiteks A = .
Viimast kahte maatriksit nimetatakse ka vektoriteks.

Ruutmaatriksit, mille elemendid paiknevad peadiagonaali suhtes sümmeetriliselt, nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks;
näiteks A = .

Kui maatriksis A vahetada omavahel vastavad read ja veerud , siis saadud maatriksit nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT või A´;
näiteks
A = , siis AT = .

Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaalist väljaspool asuvadelemendid on nullid , nimetatakse diagonaalmaatriksiks; näiteks
A =

Diagonaalmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on ühed, nimetatakse ühikmaatriksiks ja tähistatakse E; näiteks
E = .
8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või θ.
8) Maatriksite korrutamine ja selle omadused.
Maatriksite
ja
korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja
)korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist.
Transponeerimine m=i A=⎸⎸aij⎸⎸€
(A read on veergudes) transp-d maatriks on =⎸⎸bij⎸⎸€
. bij= aij iga i ja j korral
Reeglid ,
,
9) Determinandi definitsioon ja omadused.
Determinant -on lin. algebra fuktsioon,mis seab igale ruutmaatriksile skalaari.2 ja 3 järgu ruutmatritsatele seatakse nende vastava elementide abil arv mis on arvutatud reegli abil- diagonaali reegel,sarruse reegel. Kõrgemate determinantide väärtused arvutatakse üldiste reeglite järgi. Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada,  Kui determinandis on kaks rida ( veergu )omavahel ümber paigutada, siis  muutub determinandi märk vastupidiseks, Determinandi mingi rea ( veeru ) kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama  teguriga kurrutub kogu determinant selle teguriga. Kui determinandis on kahe rea (veeru) elemendid omavahel võrdelised, siis võrdub determinant nulliga. Determinant, milles ühel pool peadiagonaali asuvad ainult nullid, on võrdne peadiagonaali elementide korrutisega
10) Determinantide arendusvalem (arendusteoreem).
11) Pöördmaatriks ja selle kasutamine maatriksvõrrandite lahendamiseks.
Pöördmaatriks- A*B=BA=E, E-on ühikmaatriks.on võimalik kui-1) A maatriks on ruutmaatriks, 2) maatriksi pöördtähis on ,2) kui pöördmaatriksi determinant ei võrdne nulliga.
2 moodust-1) valemi järgi
,2) kasutades ridade(veergude) elementaar teisendusi ⎸⎸A,E ⎸⎸..... ⎸⎸E, ⎸⎸
12) Lineaarne võrrandisüsteem ja selle lahendamine Crameri valemitega .!
13) Maatriksi astak . Maatriksi rea- ja veeruvektorite lineaarne sõltuvus.
14) Kronecker-Capelli teoreem .
15) Vektorite skalaarkorrutamine ja selle arvutamine. Eukleidiline vekorruum.
Skalaarkorrutis on arv –
On vektorruum V,defineeritud skalaarkorrutisega.siin skalaarkorrutis on reegel,mis on 2 vektori vastavuse reaalarv ,kasutatakse kindlaid tingimusi neid on 5.eukleidiline vektorruum defineerib pikkust ehk ja nurka vektorite vahel.
16) Cauchy-Bunjakovski võrratus . Põhilised meetrilised suurused: vektori
pikkus, ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk.
)2≤ 22
17) Ortogonaalsed vektorite süsteemid. Ristbaas. Vektori suunakoosinused.
On eukleidilises vektoriruumis V.ortogonaalsed vektorin on lineaarselt sõltumatud.ühik vektor on kui tema pikkus on võrdne 1,tähistatakse ,üleminek
on normeerimine.kui ühikvektoritele,see ongi ortogonaalne vektorisüsteem.
18) Afiinse ja eukleidiline punktiruum. Reeperi mõiste ja punkti koordinaadid
reeperi suhtes. Ristreeper.
Afiinne ruum-A=(V,P) paar (V-vektorruum,P-hulk).elemente nim puktideks.
a)igale kahele punktile A, B∈P vastab parajasti üks vektor
∈V
b)iga punkti A∈P ja vektori α∈V korral leidub parajasti üks punkt B ∈P nii, et α= ;
c)iga kolme punkti A, B, C∈P korral kehtib võrdus
kordinaadid-
Eukleidiline ruum-ortonormaalne reeper ,kaugus,omadused.
A=(V,P)- vektorruumis v on võimalik teostada ainult lineaartehteid (liitmist ja korrutamist)
A=(V,P)-kus on eukleideline vektrruum-on euklideline ruum,vektorruumi mõõde V on ka eukleideline mõõde.
Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid.
Kaugus-on
vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused-A,B,CA=(V,P)eukleidil.siis:
1) (Q(A,B)≥0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)≤Q(A,C)+Q(C,B) -on kolmnurga omadus.
19) Kahe vektori vektorkorrutis , selle omadused, arvutamine ja geomeetriline
tähendus.
Vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise tulemuseks on kolmas vektor c = a × b.Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. Vektorte vektorkorrutist võib esitada ka maatrikskujul:
20) Kolme vektori segakorrutis , selle omadused, arvutamine ja geomeetriline
tähendus.
21) Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanooniline võrrand.
22) Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja üldvõrrand.
23) Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist.
24) Analüütilise geomeetria ülesannete lahenadmine vektorkujul.
6.13. Ruumigeomeetria ülesannete lahendusi vektorkujul, lk.215 - 218.
25) Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand.
Kanooniline võrrand tuletada. Ellipsi optiline omadus kirjeldavalt.
26) Hüpebrooli definitsioon ja kanooniline võrrand.
27) Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand.
28) Teist järku pindade kanoonilised võrrandid.
Teist järku pindade kanoonilised võrrandid, lk.362 - 381.
29) Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad.
Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad, lk 387 - 397
30) Maatriksi omaväärtused ja omavektorid.
31) Sarnased matriksid ja maatriksi diagonaliseerimine.