Konspekt (5)

I. Determinandid
1 Determinandi m~ oiste 1.1 Idee selgitus Algul defineerime esimest j¨ arku determinandi, siis esimest j¨arku determinandi abil teist j¨ arku determinandi, seej ¨arel teist j¨arku determinandi abil kolmandat j¨ arku detereminandi jne, n-j¨arku determinandi defineerime (n - 1)-j¨arku determinandi kaudu. Sel- list defineerimisviisi nimetatakse induktiivseks ja vastavat objekti induktiivseks konstruktsiooniks. Eelnevalt on soovitatav tutvuda maatriksi m~oistega (II.1.1). Kooloniga v~ ordus A := B t¨ahendab j¨argnevas, et A on defineeri - tud B kaudu. Seda v~ordust kasutame ka samav¨ a¨arsete t¨ ahistuste sissetoomiseks.
1.2 Esimest j¨ arku determinant Arvu a R determinandi |a| ehk esimest j¨ arku determinandi de- fineerime valemiga |a| := det a := a.
1.3 N¨ aide | - 5| = -5, || = jne.
1.4 Teist j¨ arku determinant Olgu a11 , a12 , a21 , a22 R. Teist j¨ arku determinandi defineerime arendusvalemiga
a11 a12 a a := det 11 12 a21 a22 a21 a22 := a11 |a22 | - a12 |a21 | = a11 a22 - a12 a21
1 2 I. Determinandid
1.5 Kolmandat j¨ arku determinant Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, 3. Kolmandat j¨ arku deter - minandi defineerime arendusvalemiga a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 := det a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a22 a23 a a a a := a11 - a12 21 23 + a13 21 22 a32 a33 a31 a33 a31 a32
1.6 N¨ aide Arvutame kolmandat j¨arku determinandi
1 -1 3 0 -1 1 -1 1 0 1 0 -1 = 1 +1 +3 1 6 2 6 2 1 2 1 6 = 1(0 · 6 + 1 · 1) + 1(1 · 6 + 1 · 2) + 3(1 · 1 - 0 · 2) = 12
1.7 T¨ ahistusi Analoogiliselt edasi toimides saame defineerida k~orgemat j¨arku determinandid. Olgu aij R ning indeksid i, j = 1, 2, . . . , n. T¨ahistame n-j¨arku ruutmaatriksi A determinandi det A ehk (l¨ uhi- dalt ¨oeldes) n-j¨ arku determinandi j¨argmiselt: a11 a12 ... a1n a11 a12 . . . a1n a21 a22 ... a2n a21 a22 . . . a2n det A := det . .. := .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
Determinandi det A ridade ja veergude all m~oeldakse maatriksi A ustkriipse | · | nimetame determinandi m¨arkideks. ridu ja veerge. P¨ I. Determinandid 3
1.8 Miinor ja alamdeterminant Maatriksi A = (aij ) elemendi aij miinoriks Mij nimetatakse de- terminanti, mille saame maatriksi A determinandist i-nda rea ja j- inda veeru eemaldamisel . Elemendi aij alamdeterminandiks ehk al- aiendiks nimetatakse arvu Aij := (-1)i+j Mij . Suurust gebraliseks t¨ (-1)i+j nimetame elemendi aij ja alamdeterminandi Aij m¨ argi - teguriks.
1.9 Determinandi (induktiivne) definitsioon arku determinandi (n - 1)-j¨arku determinantide Defineerime n-j¨ kaudu arendusvalemiga a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n det A := . .. .. .. .. := a11 A11 + a12 A12 + · · · + a1n A1n . . . an1 an2 . . . ann Seega det on funktsioon, mis igale ruumaatriksile A seab arendus- det valemi abil vastavusse kindla arvu, A - det A. Teisiti ¨oeldes, funktsiooni det argumendiks on ruutmaatriksid ja v¨a¨artusteks ar- vud.
1.10 N¨ aide (u ¨ lesanne ) Vastavalt determinandi definitsioonile 4 3 -5 0 2 0 -5 3 0 -5 3 2 0 -5 = 4 0 -2 3 - 3 1 -2 3 1 0 -2 3 1 -3 4 0 -3 4 0 1 -3 4 3 2 -5 3 2 0 -5 1 0 3 - 0 1 0 -2 0 1 4 0 1 -3 Siin esinevad kolmandat j¨arku determinandid on omakorda v~oima- lik arvutada arendusvalemi abil. Determinandi v¨a¨artuse arvutami- se j¨atame lugejale iseseisvaks u ¨lesandeks. 4 I. Determinandid
2 Arendusteoreemid ja arendusvalemid
2.1 Kroneckeri su ¨ mbol
Kroneckeri1 s¨ umboli ij defineerime valemiga
1, kui i = j ij = 0, kui i = j
2.2 Arendusteoreemid
Teoreem 1. Olgu A ruutmaatriks ning Aij elemendi aij alamde- terminant. Siis
ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · · + ain Ajn ij det A = a1i A1j + a2i A2j + · · · + ani Anj
2.3 Arendusvalemid
V~otame arendusteoreemides j = i. Saame nn arendusvalemid
ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain det A = a1i A1i + a2i A2i + · · · + ani Ani
Esimene valem on determinandi arendus i-nda rea j¨argi ning tei- ne valem on determinandi arendus i-nda veeru j¨argi. Esimesest arendusvalemist saame i = 1 korral determinandi definitsiooni. Arendusvalemeid v~oib kasutada determinandi arvutamiseks. Otstarbekas on kasutada arendusi eesk¨att nende ridade (veergude) j¨argi, mis sisaldavad nulle.
1 Leopold Kronecker (1823-1891), saksa matemaatik I. Determinandid 5
2.4 N¨ aide (u ¨ lesanne) Arendame kolmandat j¨arku determinandi teise rea ja kolmanda veeru j¨argi
a11 a12 a13 a a a a a a a21 a22 a23 = -a21 12 13 + a22 11 13 - a23 11 12 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a21 a22 a a a a = +a13 - a23 11 12 + a33 11 12 a31 a32 a31 a32 a21 a22
V~ orduste kehtivuse kontrollimise j¨atame lugejale.
3 Determinantide omadusi ja arvutamine Arendusvalemid on determinantide arvutamiseks u¨ ldiselt liiga t¨o¨o- mahukad. Mugavam on arvutada determinante allj¨argnevate oma- duste abil. Enne aga defineerime kolmnurkse determinandi.
3.1 Kolmnurkne determinant ¨ Utleme, et determinant on kolmnurksel kujul ehk kolmnurkne, kui tema peadiagonaalist allpool (¨ ulalpool) asetsevad elemendid on nullid .
3.2 Determinantide omadusi Teoreem 2. Determinantidel on j¨ argmised omadused.
1) Kolmnurkne determinant v~ ordub peadiagonaali elementide korrutisega. 2) Kui determinandis on kaks u ¨hesugust rida ( veergu ), siis on determinant null. 3) Determinant ei muutu, kui tema read kirjutada u ¨ mber veer - gudena (loomulikus j¨ arjestuses). 4) Vahetame determinandis kaks rida (veergu). Tulemus v~ ordub esialgse determinandi vastandarvuga. 6 I. Determinandid
5) Korrutame determinandi mingit rida (veergu) arvuga. Tule- mus v~ ordub esialgse determinandi ja arvu korrutisega. Tei- siti ¨ oeldes v~ oib determinandi rea v~oi veeru u ¨hise teguri tuua determinandi m¨ arkide ette. 6) Determinant ei muutu, kui reale (veerule) liita arvkordne tei- ne rida ( veerg ). 7) Olgu determinandi mingi rea (veeru) iga element kahe lii- detava summa. Siis avaldub determinant kahe determinan- di summana. Esimeses determinandis on vaadeldavas reas ( veerus ) esimesed liidetavad ja teise determinandi vaadelda- ¨ a¨ vas reas (veerus) teised liidetavad. Ulej¨ anud read (veerud) on endised .
3.3 Determinantide arvutamine Kasutades u ¨laltooduid determinantide omadusi, teisendame deter- minandi kolmnurkseks ning seej¨arel kasutame omadust 1) teoree- mist 2.
3.4 N¨ aide Arvutame determinandi omaduste abil 4 3 -5 0 III 1 0 -2 3 3 2 0 -5 3 2 0 -5 -3I =- 1 0 -2 3 4 3 -5 0 -4I 0 1 -3 4 0 1 -3 4 1 0 -2 3 1 0 -2 3 0 2 6 -14 0 1 3 -7 =- = -2 · 3 0 3 3 -12 0 1 1 -4 -II 0 1 -3 4 0 1 -3 4 -III 1 0 -2 3 1 0 -2 3 0 1 3 -7 0 1 3 -7 = -6 = -6 0 0 -2 3 0 0 -2 3 0 0 -4 8 -2III 0 0 0 2 = -6 · 1 · 1 · (-2) · 2 = 24 I. Determinandid 7
4 ¨ Ulesandeid 4.1 ¨ Ulesanne Arenda determinant teise rea ning kolmanda veeru j¨argi ning ar- vuta tema v¨a¨ artus m~olemal viisil. V~ordle tulemusi.
4 3 -5 0 3 2 0 -5 1 0 -2 3 0 1 -3 4
4.2 ¨ Ulesanne Arvuta determinant omaduste (vt teoreem 2) abil.
3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 = · · · = 5 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3
4.3 Vandermonde'i determinant Arvuta n-j¨arku Vandermonde'i determinant
1 1 ... 1 x1 x2 ... xn Vn (x1 , . . . , xn ) := x21 x22 ... x2n = ··· = (xk - xi ) .. .. .. .. . . . . k>i
xn-1 1 xn-1 2 ... xn-1 n II. Maatriksarvutus 1 Maatriksi m~ oiste ja elementaartehted 1.1 Maatriksi m~ oiste Maatriksiks nimetame (arvuliste elementidega) tabelit, mille ele- mendid on paigutatud (korrastatud) ridadeks ja veergudeks. Olgu aij R ning i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n. Need arvud paigutame maatriksisse A j¨argmiselt: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A := . .. := (aij ) .. .. .. . . . ak1 ak2 . . . akn Elemendis aij n¨aitab esimene indeks (i) rida (reaindeks), teine in- deks (j) osutab veergu (veeruindeks), kus element aij asetseb. Ar- vupaari k × n := (k, n) nimetatakse maatriksi A j¨ arguks. Selguse huvides v~oib maatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt (aij )k × n . Kui k = n, siis ¨oeldakse, et A on ruutmaatriks. Ruutmaatriksi j¨arguks nimetame lihtsalt selle maatriksi ridade (ehk veergude) ar- vu. Elementide j¨arjendit a11 , a22 , . . . nimetatakse (ruut)maatriksi A peadiagonaaliks. K~oigi k × n-j¨arku reaalarvuliste elementidega maatriksite hul- ka t¨ahistame edaspidi Matk × n := Matk × n (R).
1.2 Aritmeetilised vektorid ¨ Uherealisi ja u ¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse ka (aritmeeti- listeks) vektoriteks. Aritmeetiliste vektorite elemente nimetatakse tavaliselt vektori koordinaatideks ehk komponentideks. Aritmeetiliste vektorite hulgadeks on seega Mat1 × n ja Matk × 1 . Maatriksi ridadest moodustatud u ¨herealisi maatrikseid nime- tatakse maatriksi reavektoriteks. Maatriksi veergudest moodusta- tud u¨heveerulisi maatrikseid nimetatakse maatriksi veeruvektori- teks.
1 2 II. Maatriksarvutus
1.3 Maatriksite v~ ordsus ¨ Oeldakse, et maatriksid A = (aij ) ja B = (bij ) on v~ ordsed ja kirjutatakse A = B, kui
1) neil on u ¨hesugused j¨argud, 2) nende vastavad elemendid on v~ordsed, s.t aij = bij .
1.4 Maatriksite liitmine Olgu A = (aij ) ja B = (bij ) u ¨hesuguste j¨arkudega maatriksid. Maatriksite A ja B summaks A + B nimetatakse maatriksit ele- mentidega (A + B)ij := aij + bij
Teiste s~onadega, maatriksite liitmisel liidame vastavad elemendid.
N¨ aide: summa arvutamine Arvutame maatriksite summa
1 2 3 3 -2 1 1+3 2-2 3+1 + = 4 5 6 -6 4 -5 4-6 5+4 6-5 4 0 4 = -2 9 1
1.5 Maatriksi korrutamine arvuga Maatriksi A = (aij ) ja arvu R korrutiseks A nimetatakse maatriksit elementidega (A)ij := aij . Korrutis A defineeritak- se valemiga (A)ij := aij . Ilmselt A = A, sest (arvude korral) aij = aij . Teiste s~onadega, maatriksi korrutamisel arvuga korrutame an- tud arvuga maatriksi k~oik elemendid. II. Maatriksarvutus 3
N¨ aide: korrutise arvutamine Arvutame maatriksi ja arvu korrutise
3 -2 1 3 · 3 -3 · 2 3·1 3 = -6 4 -5 -3 · 6 3 · 4 -3 · 5 9 6 3 3 -2 1 = = 3 -18 12 -15 -6 4 -5
1.6 Nullmaatriks Maatriksit, mille k~ oik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaat- riksiks ehk nulliks ja t¨ahistatakse 0 0 ... 0 0 0 . . . 0 0 := . . . .. := (0ij ) .. .. .. . 0 0 ... 0
Paneme t¨ahele, et nullmaatriksi t¨ahistamiseks kasutame arvu 0 (null). Lugeja peab kontekstist m~oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullmaatriksiga. Seda mugavat kahem~ottelist t¨ahistust on t¨ ulikas v¨altida. Sel- guse huvides v~oib nullmaatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt 0k × n on k × n-j¨arku nullmaatriks. Nullmaatriksi j¨arku tavaliselt ei ekponeerita, see selgub kontekstist. N¨aiteks nullmaatriksi liitmis - el mingi teise maatriksiga peavad summa eksisteerimiseks j¨argud olema u ¨hesugused. Lause 1 (nullmaatriksi neutraalsus ). A + 0 = A = 0 + A T~ oestus. T~oepoolest
(A + 0)ij = aij + 0ij = aij + 0 = aij = 0 + aij = 0ij + aij = (0 + A)ij 4 II. Maatriksarvutus
1.7 Vastandmaatriks Maatriksi A vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit -A := (-1)A. Teiste s~onadega, vastandmaatriksi elemendid on maatriksi elementide vastandarvud , s.t (-A)ij := -aij . Lause 2. A + (-A) = 0 = -A + A T~ oestus. T~oepoolest [A + (-A)]ij = aij + (-A)ij = aij - aij = 0 = 0ij = -aij + aij = (-A)ij + aij = [-A + A]ij
2 Maatrikstehete omadusi 2.1 Elementaarsed omadused Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame j¨argmiselt. Teoreem 3. Olgu A, B, C u ¨hesuguste j¨ arkudega maatriksid ning , R. Siis 1) A + B = B + A ( liitmise kommutatiivsus ), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus ), 3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus), 4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5
2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga
A - B := A + (-B)
Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus.
orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~
oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~
A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B
Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis
Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A
¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u
J¨ areldus 5. V~ orrandi A + X = A ainus lahend on nullmaatriks.
Seda omadust kasutatakse sageli nullmaatriksi defineerimiseks. Nullmaatriks defineeritakse siis kui v~orrandi A + X = A (ainus) lahend.
J¨ areldus 6. V~orrandi A + X = 0 ainus lahend on maatriksi A vastandmaatriks -A.
Seda omadust kasutatakse sageli vastandmaatriksi defineeri- miseks. Maatriksi A vastandmaatriks -A defineeritakse siis kui v~orrandi A + X = 0 (ainus) lahend. 6 II. Maatriksarvutus
3 Maatriksite korrutamine 3.1 Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis Aritmeetiliste vektorite u := (u1 , . . . , un ) ja v := (v1 , . . . , vn ) ska- laarkorrutiseks nimetatakse arvu n (u|v) := u1 v1 + u2 v2 + . . . + un vn = us vs s=1
N¨ aide Olgu u = (2, -3, 4, -5) ja v = (4, 5, 2, -3). Siis
(u|v) = 2 · 4 - 3 · 5 + 4 · 2 + 5 · 3 = 16
3.2 Maatriksite korrutamine Olgu A Matk × n ja B Matn × l . Maatriksite A ja B korrutiseks nimetatakse maatriksit AB Matk × l , mille i-ndas reas ja j-indas veerus asetseb maatriksi A i-nda reavektori ja maatriksi B j-inda veeruvektori skalaarkorrutis n (AB)ij := ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj = ais bsj s=1
T¨ ahelepanek 1) Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv v~orduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise ek- siteerimise eeldust v~oib nimetada tegurite j¨ arkude koos~ ola tingimuseks . 2) Korrutises AB on samapalju ridu kui maatriksis A ja sama- palju veerge kui maatriksis B. II. Maatriksarvutus 7
N¨ aide: erinevat j¨ arku maatriksite korrutis 2 1 3 -1 2 3·2-1·0-2·1 3·1-1·2+2·0 4 1 0 2 = 0·2+1·0-4·1 0·1+1·2+4·0 = 0 1 4 -4 2 -1 0 2 1 0 2 3 -1 2 = 2·3+1·0 -2·1+1·1 2·2+1·4 0·3+2·0 0·1+2·1 0·2+2·4 0 1 4 -1·3+0·0 1·1+0·1 -1·2+0·4 -1 0 6 -1 8 = 0 2 8 -3 1 -2
N¨ aide: rea- ja veeruvektorite korrutised 4 1, 2, 3 5 = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32 6 4 4·1 4·2 4·3 4 8 12 5 1, 2, 3 = 5 · 1 5 · 2 5 · 3 5 10 15 6 6·1 6·2 6·3 6 12 18
N¨ aide: ruutmaatriksite korrutised
1 2 5 6 1·5+2·7 1·6+2·8 19 22 = = 3 4 7 8 3·5+4·7 3·6+4·8 43 46 5 6 1 2 5·1+6·3 5·2+6·4 23 34 = = 7 8 3 4 7·1+8·3 7·2+8·4 31 46
3.3 Maatrikskorrutise mittekommutatiivsus ¨ Oeldakse, et maatriksid A ja B kommuteeruvad, kui AB = BA. Eelmised n¨aited u ¨tlevad, et maatrikskorrutamine on u ¨ldiselt mit- tekommutatiivne tehe, s.t AB = BA. Korrutamine on u ¨ldiselt mittekommutatiivne ka siis, kui tegurid on ruutmaatriksid. 8 II. Maatriksarvutus
Avaldist [A, B] := AB -BA (kui leidub) nimetatakse maatrik - site A ja B kommutaatoriks ehk Lie korrutiseks. Kommutaator on m¨a¨aratud vaid u ¨hesuguste j¨ arkudega ruutmaatriksite korral. Kom- mutaatori omadusi vaatleme allpool (teoreem 9).
3.4 Nullitegurid
Arvutame
2 6 9 6 9 6 9 := -4 -6 -4 -6 -4 -6 6·6-9·4 6·9-9·6 0 0 = = -4 · 6 + 6 · 4 -4 · 9 + 6 · 6 0 0
Tulemus u ¨ tleb , et leidub A = 0 nii, et korrutis AA = 0. Osutub, et korrutis AB v~ oib olla null (AB = 0) ka siis, kui m~olemad te- gurid on nullist erinevad ja A = B. Seda omadust nimetatakse nullitegurite olemasoluks.
N¨ aide
0 1 1 0 0·1+1·0 0·0+1·0 0 0 = = = 02 × 2 0 0 0 0 0·1+0·0 0·0+0·0 0 0 nullitegur nullitegur
Korrutades aga teises j¨arjekorras, saame
1 0 0 1 1·0+0·0 1·1+0·0 0 1 = = = 02 × 2 0 0 0 0 0·0+0·0 0·1+0·0 0 0
¨ Uhtlasi veendusime veelkord maatrikskorrutise mittekommutatiiv- suses. II. Maatriksarvutus 9
3.5 ¨ Uhikmaatriks Ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil on u ¨hed ning mujal nullid, nimetame u ¨ hikmaatriksiks ehk u ¨ hikuks ehk u ¨ heks ning t¨ahistame 1 0 ... 0 0 1 . . . 0 I := . . . := (Iij ) := (ij ) .. .. . . ... 0 0 ... 1
Siin ij on Kroneckeri s¨ ¨ umbol. Uhikmaatriksi t¨ahistamiseks kasu- tatakse sageli ka arvu 1. Sellisel juhul peab kontekstist m~oistma, millal on tegemist arvuga 1 ja millal u ¨hikmaatriksiga. ¨ Uhikmaatriksi korrutamisel mingi teise maatriksiga peavad te- gurite j¨argud olema koosk ~olas. Selguse huvides v~oib u ¨hikmaatriksi j¨arku n¨aidata ka t¨ahistuses, nt In on n-j¨arku u ¨ ¨hikmaatriks. Uhik- maatriksi (nagu ka nullmaatriksi) j¨arku tavaliselt ei eksponeerita, see selgub kontekstist.
N¨ aide: madalamat j¨ arku u ¨ hikmaatriksid 100 I1 := (1), I2 := ( 10 01 ) , I3 := 010 jne 001
3.6 Maatrikskorrutise omadusi Maatrikskorrutise lihtsamad omadused v~otame kokku j¨argmiselt.
Teoreem 7. Olgu maatriksid A, B, C sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis
1) (AB)C = A(BC) (korrutamise assotsiatiivsus) 2) (A ± B)C = AC ± BC (korrutamise distributiivsus) 3) A(B ± C) = AB ± AC (korrutamise distributiivsus) 4) (A)B = (AB) = A(B) (arvuga korrutamise assotsiatiivsus) 5) I A = A = A I (unitaalsus) 6) det AB = det A · det B 10 II. Maatriksarvutus
T~ oestus. T~oestame n¨aiteks omaduse 2)
[(A + B)C]ij = (A + B)i1 c1j + . . . + (A + B)in cnj = (ai1 + bi1 )c1j + . . . + (ain + bin )cnj = ai1 c1j + . . . + ain cnj + bi1 c1j + . . . + bin cnj (AC)ij (BC)ij
= (AC)ij + (BC)ij = (AC + BC)ij
¨ a¨anud omadustest 1)-5) t~oes- mis t~oestabki n~outava v~orduse. Ulej¨ tatakse analoogiliselt. Omadus 6) t~oestatakse determinantide teoo- rias.
N¨ aide: ruutude vahe valem Lause 8. Maatriksid A ja B olgu u ¨hesuguse j¨ arguga ruutmaatrik- sid. Siis (A + B)(A - B) = A2 - B 2 - [A, B]
T~ oestus. T~oepoolest
(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = AA - AB + BA - BB = A2 - B 2 - [A, B]
Seega
(A + B)(A - B) = A2 - B 2 [A, B] = 0
mis u ¨tleb, et ruutude vahe valemit v~oib kasutada siis ja ainult siis, kui maatriksid A ja B kommuteeruvad.
3.7 Maatrikskorrutise omadusi: Poissoni -Lie algebra Teoreem 9. Maatriksid A, B, C olgu u ¨hesuguse j¨ arguga ruutmaat- riksid ning R. Siis
1) [A, B] = -[B, A] (antis¨ ummeetria) II. Maatriksarvutus 11
2) [A ± B, C] = [A, C] ± [B, C] ( aditiivsus ) 3) [A, B] = [A, B] = [A, B] ( homogeensus ) 4) [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] (Leibnizi valem) 5) [[A, B], C] + [[B, C], A] + [[C, A], B] = 0 (Jacobi identsus)
Omadused 1) - 5) on nn Poissoni-Lie algebra definitsioonseo- sed. Neid algebraid kasutatakse laialdaselt mehhaanikas .
4 Transponeerimine ja selle omadusi 4.1 Transponeerimine Maatriksi A Matk × n transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT Matn × k , mille veergudeks on maatriksi A read (loomulikus j¨arjestuses).
N¨ aide Transponeerime maatriksi 1 4 1 2 3 A= Mat2 × 3 AT = 2 5 Mat3 × 2 4 5 6 3 6 1 2 3 (AT )T = = A Mat2 × 3 4 5 6
N¨ aide Transponeerime reavektori 1 2 aT = a = (1, 2, 3, 4) Mat1 × 4 3 Mat4 × 1
4 (aT )T = (1, 2, 3, 4) = a Mat1 × 4 12 II. Maatriksarvutus
4.2 Su ¨ mmeetria ja antisu ¨ mmeetria Maatriksit A nimetatakse s¨ummeetriliseks, kui AT = A, ning an- ummeetriliseks, kui AT = -A. tis¨
T¨ ahelepanek Nii s¨ ummeetrilised kui ka antis¨ ummeetrilised maatriksid on ruut- maatriksid. Antis¨ ummeetrilise maatriksi peadiagonaalil asetsevad nullid.
N¨ aide Selles n¨aites on A s¨ ummeetriline ja B antis¨ ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0
Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis
1) (AT )T = A 2) (A)T = AT 3) (A ± B)T = AT ± B T 4) (AB)T = B T AT 5) det AT = det A
Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 4).
Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT s¨ ummeetriline ja maatriks A - AT antis¨ ummeetriline. II. Maatriksarvutus 13
T~ oestus. T~oepoolest (A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A (A - AT )T = AT - (AT )T = AT - A = -(A - AT ) Teoreem 12. Iga ruutmaatriks on u ¨heselt esitatav s¨ ummeetrilise ja antis¨ ummeetrilise maatriksi summana. T~ oestus. V~ordus 1 1 A = (A + AT ) + (A - AT ) 2 2 s¨ ummeetriline antis¨ ummeetriline
koos lausega 11 u ¨ ¨tleb, et selline esitus ( avaldis ) leidub. Uhesuse n¨aitamiseks oletame, et A = B + C, kus B on s¨ ummeetriline ja C antis¨ummeetriline maatriks. Siis ilmselt AT = B T + C T = B - C. V~orranditest A =B+C AT = B - C j¨areldub, et B = 21 (A + AT ) ja C = 12 (A - AT ).
5 Po ¨o¨rdmaatriks, selle omadusi ja arvutamine 5.1 Po ¨o ¨rdmaatriks Ruutmaatriksi A p¨o¨ ordmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit B, mis rahuldab tingimust AB = I = BA. Lause 13 (p¨ o¨ordmaatriksi ainsus ). Kui maatriksil on olemas p¨ o¨ordmaatriks, siis on ta m¨ a¨aratud u ¨heselt. T~ oestus. Olgu B ja C maatriksi A p¨o¨ordmaatriksid, s.t AB = I = BA ja AC = I = CA Arvutame kasutades maatrikskorrutise assotsiatiivsust B = I B = (CA)B = C(AB) = C I = C 14 II. Maatriksarvutus
5.2 Po ¨o ¨ratavus Maatriksit nimetatakse p¨ o¨ oratavaks ehk regulaarseks, kui tal lei- dub p¨oo¨rdmaatriks. P¨o¨oratava maatriksi A (ainsat) p¨o¨ordmaatrik- sit t¨ahistatakse A-1 := A1 , s.t
AA-1 = I = A-1 A
Mittep¨o¨oratavat maatriksit nimetatakse singulaarseks.
5.3 Po ¨o ¨rdmaatriksi omadusi P¨oo¨rdmaatriksi omadusi kirjeldame kokkuv~otvalt j¨argmiselt.
Teoreem 14. Olgu maatriksid A, B ning arv R sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud. Siis
1) I-1 = I 2) (A-1 )-1 = A 3) (AB)-1 = B -1 A-1 4) (A)-1 = -1 A-1 5) (AT )-1 = (A-1 )T 6) det A · det A-1 = 1
T~ oestus. T~oestame n¨aiteks omaduse 3). Arvutame
(AB)(B -1 A-1 ) = A(BB -1 )A-1 = A I A-1 = AA-1 = I (B -1 A-1 )(AB) = B -1 (A-1 A)B = B -1 I B = B -1 B = I
¨tleb, et B -1 A-1 on maatriksi AB p¨o¨ordmaatriks. Ulej¨ mis u ¨ a¨anud omadustest 1) - 5) t~oestatakse analoogiliselt. Omadus 6) j¨areldub valemist det A · det B = det AB.
Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 3). II. Maatriksarvutus 15
5.4 Po ¨o ¨rdmaatriksi olemasolu ja arvutamine Teoreem 15. Ruutmaatriks A on p¨ o¨ oratav parajasti siis, kui det A = 0. Olgu Aij maatriksi A = (aij ) elemendi aij alamdeterminant. Siis T A11 A12 . . . A1n 1 1 A21 A22 . . . A2n A-1 := = .. .. . . A det A . . .. .. An1 An2 . . . Ann
T~ oestus. Kasuta determinantide arendusteoreeme.
5.5 N¨ aide Arvutame maatriksi 1 -2 2 A = 2 1 1 1 0 1
p¨o¨ordmaatriksi. K~oigepealt arvutame determinandi
1 -2 2 1 -2 2 1 -2 2 det A = 2 1 1 = 0 1 -1 = 0 1 -1 = 1 1 0 1 0 2 -1 0 0 1
N¨ uu¨d leiame alamdeterminandid
1 1 A11 = (-1)1+1 =1 0 1 2 1 A12 = (-1)1+2 = -1 1 1 2 1 A13 = (-1)1+3 = -1 1 0 -2 2 A21 = (-1)2+1 =2 0 1 16 II. Maatriksarvutus
1 2 A22 = (-1)2+2 = -1 1 1 1 -2 A23 = (-1)2+3 = -2 1 0 -2 2 A31 = (-1)3+1 = -4 1 1 1 2 A32 = (-1)3+2 =3 2 1 1 -2 A33 = (-1)3+3 =5 2 1
Siis saame T T A A12 A13 1 -1 -1 1 11 1 A-1 = A21 A22 A23 = 2 -1 -2 det A 1 A31 A32 A33 -4 3 5 1 2 -4 = -1 -1 3 -1 -2 5
5.6 N¨ aide Arvutame peast -1 a b 1 d -b = c d ad - bc -c a
5.7 Ortogonaalmaatriksid Ruutmaatriksit A nimetatakse ortogonaalmaatriksiks, kui
AAT = I = AT A
Ortogonaalmaatriksi A korral ilmselt A-1 = AT . Ortogonaalmaat- riksid kirjeldavad p¨ o¨ordeid eukleidilistes ruumides. II. Maatriksarvutus 17
5.8 Maatriksite jagamisest Maatriksite mittekommutatiivsuse t~ottu u ¨ldiselt 1 1 A-1 B = BA-1 , s.t B=B A A Siit j¨areldub, et t¨ahistus ( jagatis ) BA on kahem~ otteline. Regulaarse A korral on jagamistehteid u ¨ ldiselt kaks, parem- ja vasakpoolne:
B/A := BA-1 , A\B := A-1 B, det A = 0
Vaid kommuteeruvate maatriksite korral on jagatis u ¨heselt defi - neeritud ning t¨ahistus B A korrektne .
6 Maatriksv~ orrandid Maatriksv~orrandites on oluline tundmatu maatriksi asetus korru- tistes. Vaatleme vaid lihtsamaid lineaarseid maatriksv~orrandeid.
6.1 Tundmatu maatriks X on korrutises paremal Lause 16. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi AX = B ainus lahend X = A-1 B.
oestus. N¨aitame k~oigepealt, et A-1 B on v~orrandi AX = B la- T~ hend . T~oepoolest
A(A-1 B) = (AA-1 )B = I B = B
Olgu Y veel mingi lahend, s.t AY = B. Siis
Y = I Y = (A-1 A)Y = A-1 (AY ) = A-1 B
Siit j¨areldub, et A-1 B on v~orrandi AX = B ainus lahend.
Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist AX = B peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 vasakult. J¨argnevad laused t~oestatakse analoogiliselt. 18 II. Maatriksarvutus
6.2 Tundmatu maatriks X on korrutises vasakul Lause 17. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi XA = B ainus lahend X = BA-1 . Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist XA = B peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 paremalt.
6.3 Tundmatu maatriks X on korrutises keskel Lause 18. Regulaarsete maatriksite A, B korral on v~ orrandi AXB = C ainus lahend X = A-1 CB -1 . Seega maatriksi X avaldamiseks v~orrandist AXB = C peame seda v~orrandit korrutama maatriksiga A-1 vasakult ja maatriksiga B -1 paremalt.
6.4 N¨ aide Lahendada maatriksv~orrand 1 -2 2 3 2 1 1 X= 0 1 0 1 -2 Tundmatu maatriks X on korrutises paremal. Kasutame lauset 16. 1 -2 2 Maatriksi 2 11 p¨o¨ordmaatriksi arvutasime n¨aites 5.5. Seega 1 01 -1 1 -2 2 3 1 2 -4 3 X = 2 1 1 0 = -1 -1 3 0 1 0 1 -2 -1 -2 5 -2 1·3+2·0+4·2 11 = -1 · 3 - 1 · 0 - 3 · 2 = - 9 -1 · 3 - 2 · 0 - 5 · 2 -13 Lahendi kontrollimiseks arvutame 1 -2 2 11 1 · 11 + 2 · 9 - 2 · 13 3 2 1 1 - 9 = 2 · 11 - 1 · 9 - 1 · 13 = 0 1 0 1 -13 1 · 11 - 0 · 9 - 1 · 13 -2 II. Maatriksarvutus 19
7 Maatriksargumendiga funktsioonid 7.1 Maatriksi aste Olgu n on positiivne t¨aisarv ning A ruutmaatriks. Maatriks An defineeritakse valemiga
An := AA · · · A n korda
Kui A on regulaarne maatriks, siis leidub p¨o¨ordmaatriks A-1 . Maatriks A-n defineeritakse valemiga
A-n := (A-1 )n = A-1 A-1 · · · A-1 n korda
Kui n = 0, siis A0 := I.
7.2 Maatrikspolu ¨ noom Avaldist p(A) := a0 I +a1 A + · · · + an An kus n on mittenegatiivne t¨aisarv, nimetatakse maatrikspol¨ unoo- miks. Samuti ¨oeldakse, et p(A) on pol¨ unoomi
p(x) := a0 + a1 x + · · · + an xn
v¨a¨artus kohal A.
7.3 Maatriksastmeread Olgu antud ( koonduv ) astmerida f (x) = an xn , |x| koonduvusraadius ) n=0
Sellele reale seame vastavussse maatriksastmerea f (x) = an An n=0 20 II. Maatriksarvutus
ning u ¨tleme, et f (A) on funktsiooni f (x) v¨a¨artus kohal A. Vaiki - misi eeldame, et rida f (A) koondub samuti. Seega, funktsiooni f (x) arendame (kui v~oimalik) koonduvasse astmeritta, seej¨arel asendame muutuja x maatriksiga A.
N¨ aiteid
M~onedele elementaarfunktsioonidele vastavad maatriksread:
An eA := n! n=0 (-1)n A2n+1 sin A := (2n + 1)! n=0 (-1)n A2n cos A := (2n)! n=0 (-1)n An+1 ln(I +A) := n+1 n=0 1 (I -A)-1 = := An I -A n=0
Definitsioon 19. Kui leidub arv ja vektor v = 0 nii, et Av = v, siis ¨oeldakse, et on maatriksi A omav¨ a¨artus ja vektor v on maatriksi A (omav¨a¨artusele vastav) omavektor.
Teoreem 20. Maatriksrida f (A) koondub parajasti siis, kui vas- tav astmetrida f () koondub maatriksi A iga omav¨ a¨artuse kor- ral.
Teoreem 21. Kui f (A) koondub ning on A omav¨ a¨artus, siis f () on maatriksi f (A) omav¨ a¨artus. II. Maatriksarvutus 21
8 ¨ Ulesandeid 8.1 ¨ Ulesanne Lahendada lineaarne maatriksv~orrandite s¨ usteem ja kontrollida la- hendit. 0 1 X + Y = -1 0
0 -2 2X + 3Y = 2 0
8.2 ¨ Ulesanne Lihtsustada avaldised
A(3B - C) + (A - 2B)C + 2B(C + 3A) = · · · = 3AB + 5BA A(BC - CD) - A(B - C)D + AB(D - C) = · · · = 0
8.3 ¨ Ulesanne n Leida ( 10 11 ) .
8.4 ¨ Ulesanne Leida D()D(), D-1 () ja Dn () (n N), kui
cos - sin D() := , R sin cos
Veenduda, et D() on ortogonaalmaatriks.
8.5 ¨ Ulesanne T~ oestada, et maatriks a b rahuldab ruutv ~orrandit c d
x2 - (a + d)x + ad - bc = 0 22 II. Maatriksarvutus
8.6 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit.
1 2 3 4 X= 3 4 5 9
8.7 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit.
3 -2 -1 2 X = 5 -4 -5 6
8.8 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit.
3 -1 5 6 14 16 X = 5 -2 7 8 9 10 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 1 LVS ja tema lahend 1.1 T¨ ahistusi ja m~ oisteid Lineaarv~orrandis¨ usteemiks (LVS-iks) nimetatakse j¨ argmist v~ orran- dis¨ usteemi: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................ a x + a x + · · · + a x = y k1 1 k2 2 kn n k
Siin · aij on LVS-i kordajad , · yi on LVS-i vabaliikmed, · xi on LVS-i tundmatud. Tundmatute arv n ja v~orrandite arv k on s~ oltumatud. LVS-i korda- jate maatriksit A = (aij ) nimetatakse lihtsalt LVS-i maatriksiks. LVS-i maatriksi laiendamisel vabaliikmete veeruga (l¨ aheb viima- seks veeruks) saadakse LVS-i laiendatud maatriks a11 a12 . . . a1n y1 a21 a22 . . . a2n y2 .. .. . . .. .. . . . . . ak1 ak2 . . . akn yk LVS on ilmselt u ¨heselt m¨a¨aratud oma laiendatud maatriksiga.
1.2 Lahendi m~ oiste Arvude j¨arjendit nimetatakse v~ orrandis¨ usteemi lahendiks , kui 1) j¨arjendi elementide arv v~ ordub s¨ usteemi tundmatute arvuga, 2) j¨arjendi elementide asendamine (loomulikus j¨ arjestuses) s¨ us- teemi mis tahes v~orrandisse tundmatute asemele muudab selle v~orrandi samasuseks.
1 2 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid
1.3 Lahenduvusega seotud m~ oisteid S¨usteemi nimetatakse koosk~olaliseks, kui tal leidub v¨ahemalt u ¨ks ¨ lahend. Oeldakse, et s¨ usteemi on m¨a¨ aratud, kui tal leidub parajasti u ¨ks lahend. S¨ usteemi nimetatakse vastur¨ a¨ akivaks, kui tal puuduvad lahendid .
N¨ aide V~orrand 0x = 0 on koosk~ olaline (l~ opmata palju lahendeid ). V~ or- rand 2x = 6 on m¨a¨ aratud (parajasti u¨ks lahend). V~ orrand 0x = 1 on vastur¨a¨akiv (lahendid puuduvad).
2 LVS-i maatrikskuju Defineeerime maatriksid a11 a12 . . . a1n x1 y1 a21 a22 . . . a2n x2 y2 A= . .. .. .. , x = . , y=. .. . . . .. .. ak1 ak2 . . . akn xn yk
Siis LVS 1.1 on samav¨ a¨ arne maatriksv~ orrandiga a11 a12 . . . a1n x1 y1 a21 a22 . . . a2n x2 y2 .. .. .. .. .. = .. . . . . . . ak1 ak2 . . . akn xn yk
Samav¨a¨arsuses v~oib veenduda maatriksarvutuse reeglite abil. Kor- rutades maatriksid A ja x, saame maatriksv~ orduse y a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn 1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn y = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn yk IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 3
mille vastavate elementide v~ ordsustamine annabki s¨ usteemi 1.1 v~orrandid. Seega LVS-i saab kompaktselt esitada maatrikskujul, maat - riksv~orrandina Ax = y. V~orrandi Ax = y lahendi all m~ oistame sellist aritmeetilist (veeru) vektorit , mille asendamisel v~ orrandisse saame (maatriks)samasuse.
3 Homogeense LVS-i omadusi 3.1 Homogeenne LVS LVS-i nimetatakse homogeenseks, kui vabaliikmed on nullid, s.t y1 = · · · = yk = 0. Homogeennne LVS on seega j¨ argmine: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0 a x + a x + · · · + a x = 0 21 1 22 2 2n n ............................... a x + a x + · · · + a x = 0 k1 1 k2 2 kn n
Homogeenne LVS on samav¨a¨arne maatriksv~ orrandiga Ax = 0.
3.2 Koosk~ olalisus Lause 1. Homogeenne LVS on koosk~ olaline.
T~oestus. T~oepoolest, homogeense LVS-i u ¨heks lahendiks on nn tri- viaalne lahend x = 0 ( nullvektor ).
3.3 Triviaalne lahend ja mittetriviaalsed lahendid Homogeense LVS-i Ax = 0 lahendit x = 0 nimetatakse triviaalseks lahendiks. Homogeense LVS-i u ¨lej¨a¨anud lahendeid (kui leiduvad) nimeta- takse mittetriviaalseteks. 4 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid
3.4 Lahendite omadusi Teoreem 2. Olgu a ja b homogeense LVS-i Ax = 0 lahendid, s.t Aa = 0 = Ab. Siis a + b ja a on samuti lahendid. T~ oestus. T~oepoolest, kasutades maatrikstehete omadusi, saame 1) A(a + b) = Aa + Ab = 0 + 0 = 0 2) A(a) = (A)a = (A)a = (Aa) = 0 = 0 Seega homogeense LVS-i lahendihulk (kui aritmeetilise vektor- ruumi alamhulk) on kinnine liitmise ja arvuga korrutamise suhtes.
3.5 Kui tundamatute arv = vo ~ rrandite arv (n = k) Kui n = k ja det A = 0, siis homogeensel LVS-il leidub vaid tri- viaalne lahend. Kui n = k, siis mittetriviaalse lahendi olemasoluks peab det A = 0. T~oestus. T~oepoolest, kui n = k, siis regulaarse A korral on v~ orran- di Ax = 0 parajasti u¨ks lahend, selleks on x = A-1 0 = 0.
4 Crameri peajuht ja valemid 4.1 Crameri peajuht ¨ Oeldakse, et LVS-i korral on tegemist Crameri 1 peajuhuga, kui 1) tundmatute arv v~ordub v~ orrandite arvuga, 2) s¨ usteemi maatriksi determinant erineb nullist.
4.2 T¨ ahistusi Crameri peajuhul on LVS j¨ argmise kujuga: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a x + a x + · · · + a x = y 21 1 22 2 2n n 2 ................................. a x + a x + · · · + a x = y n1 1 n2 2 nn n n 1 Gabriel Cramer (1704 - 1752), sveitsi matemaatik IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 5
kusjuures det A = 0. Maatriksil A leidub siis teatavasti p¨ o¨ ordmaat- riks A-1 . Olgu Ai maatriks, mis on saadud maatriksist A i-nda veeru asendamisel LVS-i vabaliikmete veeruga.
4.3 Crameri valemid Teoreem 3. Crameri peajuhul on LVS-il parajasti u ¨ks lahend. Lahend avaldub valemitega
det Ai xi = , i = 1, . . . , n det A
T~ oestus. Kasuta p¨oo¨rdmaatriksit.
5 LVS-i omadusi LVS-i koosk~olalisust kirjeldab nn Kroneckeri-Capelli 2 teoreem.
5.1 Kroneckeri-Capelli teoreem (astakutingimus) Teoreem 4. LVS on koosk~ olaline parajasti siis, kui tema maat- riksi astak v~ ordub laiendatud maatriksi astakuga.
5.2 ¨ Ulesanne N¨ aidata, et s¨ usteem 2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 6 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 2
on koosk~ olaline. 2 Alfredo Capelli (1855- 1910 ), itaalia matemaatik 6 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid
5.3 ¨ Ulesanne N¨aidata, et s¨ usteemil 4x1 + 2x2 - 5x3 + 3x4 = 4 6x1 + 4x2 - 7x3 - 5x4 = - 6 3x1 + x2 - 4x3 + 7x4 = 10
puuduvad lahendid. Uurida (selgitada) p~ ohjust.
5.4 Lahendite arvust Teoreem 5. Koosk~ olalisel LVS-il 1.1 on 1) parajasti u ¨ks lahend kui n = r(A), 2) l~ opmata palju lahendeid, kui n > r(A).
6 ¨ Uld- ja erilahend 6.1 ¨ Uld- ja erilahendi m~ oiste LVS-i u¨ldlahend on selline parameetritest s~ oltuv lahend, mis ra- huldab j¨argmist tingimust: parameetritele arvv¨ aa ¨rtuste omistami- se teel on v~oimalik saada antud LVS-i k~ oik lahendid. Lahendeid, mis saadakse u ¨ldlahendist parameetritele (k~ oigile v~oi osale neist) arvv¨ a¨artuste omistamise teel, nimetatakse LVS-i erilahenditeks.
6.2 Vabad tundmatud Osutub, et LVS-i u¨ldlahendi parameetreid saab valida tundmatute hulgast. Tundmatuid, mis on valitud u ¨ldlahendi parameetriteks, nimetatakse vabadeks tundmatuteks. LVS-i vabade tundmatute arvu (v. t. a.) leidmiseks v~ oib kasu- tada j¨argmist teoreemi. Teoreem 6. Koosk~ olalise LVS-i maatriksi astak v~ ordub tundma- tute arvu ja vabade tundmatute arvu vahega. IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 7
Meil on seega lihtne valem v.t.a. = t.a. - r Kui s¨ usteemil on v¨ahemalt u ¨ks vaba tundmatu, siis on tal ilmselt l~opmata palju lahendeid.
6.3 Homogeense LVS-i mittetriviaalse lahendi olemasolu Teoreem 7. Kui homogeensel LVS-il on tundmatute arv suurem v~ orrandite arvust, siis leidub tal mittetriviaalne lahend. T~oestus. Olgu LVS 1.1 homogeenne (y1 = · · · = yk = 0) ning olgu tundmatute arv suurem v~orrandite arvust, s.t n > k. Olgu r sellise s¨ usteemi maatriksi astak. Ilmselt r k, r n ning v.t.a. = n - r = (n - k) + (k - r) >0 Seega on teoreemi eeldustel LVS-i u¨ldlahendis v¨ ahemalt u ¨ks vaba tundmatu. Siit j¨areldubki, et antud juhul leidub LVS-il mittetri- viaalseid lahendeid.
7 Gaussi meetod N¨ uu¨d selgitame LVS-ide lahendamist elementaarteisendustega, mi- da kirjanduses tuntakse ka Gaussi 3 meetodi nime all.
7.1 LVS-ide ekvivalentsus ¨ Oeldakse, et LVS-id on ekvivalentsed ehk samav¨a¨ arsed, kui neil on u ¨hesugused lahendihulgad, s.t esimese LVS-i iga lahend on teise LVS-i lahendiks ja vastupidi, teise LVS-i iga lahend on esimese LVS-i lahendiks. LVS-ide ekvivalentsuse t¨ahistamiseks kasutame s¨umbolit 3 Carl Friedrich Gauss (1777-1855), saksa matemaatik 8 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid
7.2 Ekvivalentsi omadusi 1) Refleksiivsus : iga LVS on ekvivalentne iseendaga, s.t LV S LV S. 2) S¨ummeetria: kui LV S(1) LV S(2), siis LV S(2) LV S(1). 3) Transitiivsus: kui LV S(1) LV S(2) ja LV S(2) LV S(3), siis LV S(1) LV S(3).
7.3 LVS-i elementaarteisendused LVS-i esimest liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i mis tahes v~orrandi l¨abikorrutamist nullist erineva arvuga. LVS-i teist liiki elementaarteisenduseks nimetatakse LVS-i min- gile v~orrandile sama s¨ usteemi m~one teise arvkordse v~ orrandi liit- mist. LVS-i elementaarteisenduseks nimetatakse ka LVS-i v~ orrandite j¨ arjestuse muutmist . See elementaarteisendus ei ole aga s~ oltuma- tu, vaid on realiseeritav esimest ja teist liiki elementaarteisenduste kompositsioonina (analoogiline maatriksi ridade j¨ arjestuse muut- misega).
Teoreem 8. LVS-i elementaarteisendused ei muuda LVS-i lahen- dihulka.
T~ oestus. Soovitav t~ oestada iseseisva harjutusena.
7.4 Trepikujuline LVS ¨ Utleme, et LVS on trepikujuline, kui tema kordajate maatriks on treppmaatriks.
7.5 Gaussi meetodi idee Gaussi meetod on LVS-ide ¨ okonoomne lahendusmeetod elemen- taarteisenduste abil. Meetodi aluseks on t¨ ahelepanek, et LVS-i elementaarteisendusi v~oib sooritada maatriksesituses, kasutades IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 9
LVS-i laiendatud maatriksi (peamiselt ridade) elementaarteisen- dusi. LVS teisendatakse elementaarteisendudte abil ekvivalentsele treppkujule. Meetod v~oimaldab 1) leida LVS-i maatriksi ja tema laiendatud maatriksi astakud, 2) kontrollida astakutingimust (koosk~olalisust), 3) selekteerida v¨alja vabad tundmatud (kui leiduvad), 4) koosk~olalisuse korral leida LVS-i k~ oik lahendid, olemasolu korral u ¨ldlahend.
7.6 Gaussi meetod (LVS-i lahendamine) 1) Kirjutame v¨alja LVS-i laiendatud maatriksi, eraldades sel- gelt vabaliikmete veeru. 2) Kasutades ridade elementaarteisendusi, teisendame LVS-i laiendatud maatriksi ekvivalentsele treppkujule. Veergude elementaarteisendustest on lubatud vaid veergude j¨ arjestuse muutimine, sellega kaasneb tundmatute j¨ arjestuse muutmi- ne. 3) Leiame LVS-i maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud ning kontrollime astakutingimust. 4) Koosk~olalisuse korral leiame LVS-i vabade tundmatute arvu. 5) Kirjutame v¨alja LVS-i ekvivalentse treppkuju. 6) Tundmatud selekteerime juhtivateks ja (olemasolu korral) vabadeks. Juhttundmatud asetsevad treppmaatriksi juhtele- mentide k~orval. 7) LVS-i ekvivalentsest treppkujust avaldame juhttundmatud vabaliikmete ja (olemasolu korral) vabade tundmatute kau- du. Kasutada saab a) asendusmeetodit, b) Crameri valemeid, c) p¨oo¨rdmaatriksit. 8) Kirjutame v¨alja k~oik lahendid, olemasolu korral u ¨ldlahendi, n¨aidates ¨ara vabad tundmatud. ¨ 9) Kahtluse korral kontrollime lahendit. Uldlahendi asendami- sel LVS-i v~orranditesse peavad vabad tundmatud koonduma. 10 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid
7.7 Gaussi meetodi kokkuv~ ote LVS teisendatakse ekvivalentsele kujule nii, et eralduksid vabad tundmatud. Tulemus kuulutatakse u ¨ldlahendiks ja lahendamine l~opetatuks. Juhttundmatute avaldamine on vaid mugavuse k¨ usi- mus.
7.8 N¨ aide Lahendada LVS 2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 6 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 2
Lahendus Selle s¨ usteemi laiendatud maatriks 2 7 1 3 6 A = 3 5 2 2 4 9 4 7 1 2
Ridade elementaarteisendustega leidsime, et maatriksiga A ekvi- valentne treppmaatriks on 1 - 2 -1 -1 - 2 0 11 -1 5 10 0 0 0 0 0
Vahetades n¨uu ¨d (murdude v¨ altimiseks j¨ argnevates arvutustes) tei- se ja kolmanda veeru, saame 1 1 - 2 -1 - 2 A0 -1 11 5 10 0 0 0 0 0
Ilmselt r(A) = 2 ja s¨ usteemi v. t. a. = 4 - 2 = 2. IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 11
Kirjutame v¨alja esialgse LVS-iga ekvivalentse s¨ usteemi 1x1 + 1x3 - 2x2 - 1x4 = - 2 0x1 - 1x3 + 11x2 + 5x4 = 10 0x1 + 0x3 + 0x2 + 0x4 = 0 Triviaalsed liikmed ja v~orrandid eemaldame ning juhttundmatud raamime . Siis saame x1 + x3 - 2x2 - x4 = - 2 - x3 + 11x2 + 5x4 = 10 Vabadeks (parameetriteks) loeme tundmatud x2 ja x4 . N¨ uu ¨d aval- dame juhttundmatud x1 , x3 vabaliikmete ja vabade tundmatute x2 , x4 kaudu. Seda on mugav teha nii, et k~ oigepealt avaldame x3 teisest v~orrandist. Saame x3 = -10 + 11x2 + 5x4 Edasi arvutame esimesest v~orrandist x1 = -2 - x3 + 2x2 + x4 = -2 - (-10 + 11x2 + 5x4 ) + 2x2 + x4 = 8 - 9x2 - 4x4 ¨ Uldlahend on x1 = 8 - 9x2 - 4x4 x3 = -10 + 11x2 + 5x4 x2 , x4 - vabad tundmatud ¨ Kahtluse korral kontrollime lahendit. Uldlahendi asendamisel s¨ us- teemi v~orranditesse peavad vabad tundmatud koonduma. Kontrol - lime (¨ uld)lahendit n¨aiteks esimese v~ orrandiga 2x1 + 7x2 + 1x3 + 3x4 = 2(8 - 9x2 - 4x4 ) + 7x2 + (-10 + 11x2 + 5x4 ) + 3x4 =6 = 6=6 ¨ aa¨nud v~orranditega kontrollitakse lahendit analoogiliselt. Ulej¨ 12 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid
8 ¨ Ulesandeid 8.1 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit 3x1 - 2x2 + 5x3 + 4x4 = 2 6x1 - 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3 9x1 - 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4
8.2 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit -6x1 + 9x2 + 3x3 + 2x4 = 4 -2x1 + 3x2 + 5x3 + 4x4 = 2 -4x1 + 6x2 + 4x3 + 3x4 = 3
8.3 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3 6x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 7 9x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 13
8.4 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit 6x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 1 3x + 2x + 4x + x + 2x = 3 1 2 3 4 5 3x 1 + 2x2 - 2x 3 + x4 = -7 9x + 6x + x + 3x + 2x = 2 1 2 3 4 5 IV. Lineaarv~ orrandisu ¨ steemid 13
8.5 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit
2 -1 1 3 X = 4 -2 2 6
8.6 ¨ Ulesanne Lahendada maatriksv~orrand ja kontrollida lahendit
2 -1 1 3 X= 4 -2 2 6 V. Kompleksarvud
1 Kompleksarvu m~ oiste ja esitusi 1.1 Kompleksarvu m~ oiste Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvuliste elementidega teist j¨ ar- ku ruutmaatriksit, milles
1) peadiagonaali elemendid on v~ ordsed, 2) k~orvaldiagonaalil asetsevad teineteise vastandarvud.
K~oigi kompleksarvude hulka t¨ ahistame C ja nimetame kompleks - arvude korpuseks.
1.2 T¨ ahistusi Seega maatriks z = ( zz11 21 z12 z22 ) C, kui
1) z11 = z22 R, 2) z12 = -z21 R.
Mugav on t¨ahistada
z11 = z22 = a R, z12 = -z21 = -b R
Avaldist a -b z= C b a nimetame kompleksarvu z maatrikskujuks ehk maatriksesituseks.
N¨ aide
2 -3 2 - 2 2 3 2 C, - 2 C, - 2 / C, 2 /C
1 2 V. Kompleksarvud
1.3 Reaal - ja imaginaarosa Arvu a R nimetatakse kompleksarvu z = ab -b a C reaalosaks ja t¨ahistatakse a = Re z. Arvu b R nimetatakse kompleksarvu z = ab -ba C imaginaarosaks ja t¨ ahistatakse b = Im z.
1.4 ¨ Uhik, imaginaaru ¨ hik ja null Kompleksarvu I := ( 10 01 ) := 1, s.t teist j¨ arku u ¨hikmaatriksit ni- metatakse u ¨hikuks ehk u ¨heks. Kompleksarvu i := 01 -1 0 nime- uhikuks. Kompleksarvu 0 := ( 00 00 ) nimetatakse tatakse imaginaar ¨ nulliks. Lause 1. Iga kompleksarv avaldub u ¨heselt u ¨ hiku ja imaginaar¨ uhiku lineaarkombinatsioonina kujul C z = (Re z) I +(Im z)i. T~ oestus. T~oepoolest 1 0 Re z 0 (Re z) I = (Re z) = 0 1 0 Re z 0 -1 0 - Im z (Im z)i = (Im z) = 1 0 Im z 0
Liites saame Re z 0 0 - Im z (Re z) I +(Im z)i = + 0 Re z Im z 0 Re z - Im z = =z Im z Re z
mis t~oestabki n~outava v~ ¨ orduse. Uhesus j¨ areldub kergesti maatrik- site v~ordsuse definitsioonist.
M¨ arkus Korrutamist u¨hikuga (¨ uhega) I tavaliselt ei eksponeerita. Seega kirjutatakse z = Re z + (Im z)i = Re z + i Im z V. Kompleksarvud 3
1.5 Kompleksarvu algebraline kuju (esitus) Avaldist z = Re z + i Im z = a + ib nimetatakse kompleksarvu z algebraliseks kujuks ehk (harvemini) algebraliseks esituseks. Arvutusi kompleksarvudega sooritamegi mitte maatrikskujul, vaid eelistatavalt algebralisel kujul.
1.6 Kompleksarvude vo ~rdsuse tunnus Lause 2. Kompleksarvud on v~ ordsed parajasti siis, kui
1) on v~ ordsed nende reaalosad, 2) on v~ ordsed nende imaginaarosad.
T~ oestus. Kasuta maatriksite v~ ordsuse definitsiooni.
1.7 Kompleksarvu geomeetriline t~ olgendus (esitus) Et kompleksarv z = Re z + i Im z s~ oltub kahest reaalarvulisest parameetrist (Re z ja Im z), on kompleksarv reaalarvu tasandili- ne u¨ldistus. Piltlikult ¨oeldes kompleksarv ongi tasandiline (ehk 2-m~o~otmeline) arv. Piltlikustamiseks v~oib kasutada xy-tasandit, kus kompleksarvu z x-koordinaat on Re z ning y-koordinaat on Im z. Sellises t~olgenduses nimetatakse xy-tasandit komplekstasan- diks, x-telge nimetatakse reaalteljeks ja y-telge imaginaarteljeks. Kompleksarv esitub u ¨heselt komplekstasandi punktina. Joonise koostamine j¨aa¨gu iseseisvaks harjutuseks.
2 Tehted kompleksarvudega 2.1 Idee selgitus Kompleksarve nimetatakse arvudeks ehk skalaarideks eesk¨ att sel- lep¨arast, et nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, 4 V. Kompleksarvud
lahutamist, korrutamist ja jagamist. Tehted saab defineerida maat- rikstehetena. Osutub, et tehete tulemuseks on samuti kompleks- arvud, s.t C on kinnine aritmeetiliste tehete suhtes.
2.2 Tehete definitsioon Kompleksarvude liitmine, lahutamine ja korrutamine defineeritak- se kui maatriksite liitmine, lahutamine ja korrutamine. Kompleks- arvu p¨o¨ordarvuks (kui leidub) on tema p¨ o¨ ordmaatriks. Jagamine defineeritakse p¨o¨ordarvu abil, seda selgitame hiljem.
3 Kompleksarvude liitmine ja lahutamine 3.1 Summa ja vahe Kompleksarvude summa ja vahe defineeritakse kui maatriksite summa ja vahe.
3.2 Kinnisus Lause 3. C on kinnine liitmise ja lahutamise suhtes, s.t komp- leksarvude summa ja vahe on samuti kompleksarv. Kompeksarvude liitmisel (lahutamisel) liidame (lahutame) reaal- ja imaginaarosad eraldi:
(a1 + b1 i) ± (a2 + b2 i) = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i
T~ oestus. T~oepoolest, kasutades (vaikimisi) maatrikstehete oma- dusi, arvutame
(a1 + b1 i) ± (a2 + b2 i) = a1 + b1 i ± a2 ± b2 i = a1 ± a2 + b1 i ± b2 i = (a1 ± a2 ) ± (b1 ± b2 ) C V. Kompleksarvud 5
3.3 N¨ aide: summa ja vahe arvutamine Arvutame summa
(2 - 5i) + (-1 + 7i) = 2 - 5i - 1 + 7i = 2 - 1 - 5i + 7i = (2 - 1) + (-5 + 7)i = 1 + 2i
Arvutame vahe
(2 - 5i) - (-1 + 7i) = 2 - 5i + 1 - 7i = 2 + 1 - 5i - 7i = (2 + 1) - (5 + 7)i = 3 - 12i
4 Kompleksarvude korrutamine 4.1 Korrutise m~ oiste Kompleksarvude korrutamine defineeritakse kui maatriksite kor- rutamine . Korrutamistehet v~ oimaluse korral ei eksponeerita, s.t z1 z2 := z1 · z2 . Korrutamist illustreerime k~oigepealt n¨ aidetega.
4.2 N¨ aide: imaginaaru ¨ hiku ruut Kasutades maatrikskorrutist, arvutame
0 -1 0 -1 -1 0 1 0 i2 := ii = = = -1 1 0 1 0 0 -1 0 1 = -1 I = - I = -1
kus viimaste v~orduste v¨aljakirjutamisel arvestasime seda, et kor- rutamist u ¨ ¨hikutega (tavaliselt) ei eksponeerita. Uhikute mitteeks- poneerimine on heas koosk~olas t¨ ahistusega I = 1.
4.3 M¨ arkus: imaginaaru ¨ hiku m~ oistest Seost i2 = -1 loetakse sageli imaginaar¨ uhiku definitsiooniks ja kirjutatakse i := -1. Imaginaar¨ uhik -1 ei ole t~ olgendatav 6 V. Kompleksarvud
reaalarvuna (sest reaalarvude ruudud on mittenegatiivsed), k¨ ull aga spetsiifilise teist j¨ arku ruutmaatriksina, nagu eespool veen - dusime. Korrektne on n¨ aiteks kirjutada -1 := 10 -1 0 . Leidub ka teisi t~olgendusi (esitusi).
4.4 N¨ aide: imaginaaru ¨ hiku p¨ o¨ ordaarv V~orduse i2 = -1 korrutame -1-ga ja kirjutame tulemuse kujul
i(-i) = 1 = (-i)i
See valem u ¨tleb, et imaginaar¨ uhiku p¨ o¨ ordarv avaldub kujul 1 i-1 = = -i i
4.5 N¨ aide: korrutise arvutamine Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame
(2 - 5i)(-4 + 3i) = -2 · 4 + 2(3i) + (5i)4 - (5i)(3i) = -8 + (2 · 3)i + (5 · 4)i - (5 · 3)i2 = (-8 + 15) + (6 + 20)i = 7 + 26i
Muudame tegurite j¨ arjekorda, saame
(-4 + 3i)(2 - 5i) = -4 · 2 + 4(5i) + (3i)2 - (3i)(5i) = -8 + (4 · 5)i + (3 · 2)i - (3 · 5)i2 = (-8 + 15) + (20 + 6)i = 7 + 26i
4.6 Korrutise u ¨ ldvalem Korrutise u ¨ldvalemi esitame j¨ argmise lause t~ oestuses. Lause 4. C on kinnine korrutamise suhtes, s.t kompleksarvude korrutis on ka kompleksarv. Korrutamine on kommutatiivne. V. Kompleksarvud 7
T~ oestus. Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame korrutise
z2 z1 = (a2 + b2 i)(a1 + b1 i) = a2 a1 + a2 (b1 i) + (b2 i)a1 ) + (b2 i)(b1 i) = a2 a1 + (a2 b1 )i + (b2 a1 )i + (b2 b1 )i2 = (a2 a1 - b2 b1 ) + (a2 b1 + b2 a1 )i C
Muutes tegurite j¨arjekorda, saame kommutatiivsuse
z1 z2 = (a1 a2 - b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i = z2 z1
See on ka korrutise z1 z2 u ¨ldvalem.
5 Kaaskompleksarv ja konjugeerimine 5.1 Kaaskompleksarvu m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarv on z := a - bi. Funkt- siooni z z , s.t kaaskompleksarvu leidmist nimetatakse (komp- leksseks) konjugeerimiseks.
N¨ aide (2 + 3i) = 2 - 3i, (-2 - 3i) = -2 + 3i jne.
5.2 T~ olgendusi Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegel- dus reaaltelje suhtes. Maatriksesituses ilmselt z = z T .
5.3 Konjugeerimise omadusi 1) (z ) = z 2) (z1 ± z2 ) = z1 ± z2 3) (z1 z2 ) = z1 z2 4) Re z = 12 (z + z ), Im z = 1 2i (z - z) 8 V. Kompleksarvud
6 Moodul 6.1 Mooduli m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi moodul |z| defineeritakse valemiga
|z| := a2 + b2 Moodul on ilmselt mittenegatiivne reaalarv.
N¨ aide |2 - 3i| = 22 + (-3)2 = 13 jne.
6.2 T~ olgendusi Geomeetriliselt on moodul kompleksarvu ( polaar )kaugus koordi- naatide alguspunktist komplekstasandil. Maatriksesituses |z| = det z.
6.3 Ruutude summa valem
(a + bi)(a - bi) = a2 + b2
T~ oestus. T~oepoolest, kasutades maatrikstehete omadusi, arvuta- me (a + bi)(a - bi) = aa - abi + bia - bibi = a2 - abi + bai - b2 i2 = a2 + b2
6.4 Mooduli omadusi 1) zz = |z|2 = z z 2) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
T~ oestus. Esimene valem on ruutude summa valem. Teine valem j¨aa¨gu iseseisvaks harjutuseks. V. Kompleksarvud 9
7 P¨ o¨ordarv 7.1 P¨ o¨ ordarvu m~ oiste Kompleksarvu z C p¨o¨ordarv (kui leidub) on tema p¨ o¨ ordmaatriks -1 z . Teisiti ¨oeldes, zz -1 = 1 = z -1 z
7.2 T~ olgendus Kompleksarv on ortogonaalmaatriks, s.t z -1 = z T .
7.3 P¨ o¨ ordarvu omadusi 1) (z -1 )-1 = z 2) (z1 z2 )-1 = z1-1 z2-1
7.4 P¨ o¨ ordarvu olemaolu ja arvutamine Teoreem 5. Igal 0 = z C leidub parajasti u ¨ks p¨ o¨ordarv z -1 C ning see avaldub valemiga 1 1 z 1z z -1 := = 2 z = 2 = z |z| |z| zz z T~oestus. Et z = 0, siis |z| = 0 ning |z| 2 on m¨a¨ aratud. Tuleb kont- rollida p¨o¨ordarvu (p¨o¨ordmaatriksi) definitsioonseoseost z zz |z|2 z = = =1 |z|2 |z|2 |z|2 z Analoogiliselt kontrollitakse v~ ordust |z| 2 z = 1. P¨ o¨ordarvu ainsus j¨areldub maatriksi p¨o¨ordmaatriksi ainsusest.
7.5 N¨ aide Leiame i-1 1 1 · (-i) -i i-1 = = = = -i i i · (-i) 1 10 V. Kompleksarvud
7.6 N¨ aide Leiame i-99 1 1 1 1 1 i-99 = 99 = 4·24+3 = 4·24 3 = 4 24 2 = - = i i i i ·i (i ) · i · i i
7.7 N¨ aide Leiame 2 - 5i p¨oo¨rdarvu
1 1(2 + 5i) 2 + 5i 2 + 5i 2 + 5i = = 2 = 2 = 2 - 5i (2 - 5i)(2 + 5i) 4 - (5i) 4 - 25i 4 + 25 2 + 5i = 29
8 Jagamine Et kompleksarvude korrutamine on kommutatiivne, siis on jaga- mistehe u ¨heselt m¨aa ¨ratud.
8.1 Jagatise m~ oiste Kompleksarvude z1 ja z2 jagatis defineeritakse valemiga
z1 1 1 := z1 = z1 , z2 = 0 z2 z2 z2
8.2 Jagatise arvutamine P¨o¨ordmaatriksi arvutamise asemel on otstarbekam kasutada vale- mit z1 z1 z2 z1 z2 = = z2 z2 z2 |z2 |2 T~ oestus. T~oepoolest, kasutades maatrikskorrutise omadusi, saame z1 1 z z1 z2 = z1 = z1 2 = z2 z2 |z2 | z2 z2 V. Kompleksarvud 11
8.3 Jagatis algebralisel kujul N¨ aitame, kuidas jagatis algebralisele kujule teisendada. Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame
z1 a1 + b1 i (a1 + b1 i)(a2 - b2 i) = = z2 a2 + b2 i (a2 + b2 i)(a2 - b2 i) a1 a2 - a1 b2 i + b1 ia2 - b1 ib2 i = a22 - b22 i2 a1 a2 - a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 = a22 + b22 a1 a2 + b1 b2 + (b1 a2 - a1 b2 )i = a22 + b22 a1 a2 + b1 b2 b1 a2 - a1 b2 = + i a22 + b22 a22 + b22
8.4 N¨ aide Arvutame jagatise
2 + 3i (2 + 3i)(3 + 4i) 6 + 8i + 9i + 12i2 6 - 12 + 17i = = 2 = 3 - 4i (3 - 4i)(3 + 4i) 9 - 16i 9 + 16 -6 + 17i = 25
9 Kompleksarvude omadusi 9.1 Arvutusseadused kompleksarvudega Teoreem 6. Olgu z, z1 , z2 , z3 C. Siis kehtivad j¨ argmised arvu- tusseadused:
1) z1 + z2 = z2 + z1 ( liitmise kommutatiivsus), 2) (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) ( liitmise assotsiatiivsus), 3) 0 C nii, et z + 0 = z = 0 + z z C ( nulli 0 olemasolu), 12 V. Kompleksarvud
4) z C - z C nii, et z + (-z) = 0 = -z + z ( vastandarvu -z olemasolu), 5) (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) ( korrutamise assotsiatiivsus), 6) z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 ( distributiivsus), 7) 1 C nii, et 1z = z ( unitaalsus), 8) z1 z2 = z2 z1 ( korrutamise kommutatiivsus), 9) 0 = z C z -1 C nii, et zz -1 = 1 = z -1 z ( p¨o¨ordarvu z -1 olemasolu).
T~oestus. Kompleksarvud defineerisime kui erikujulised teist j¨ arku ruutmaatriksid. Tehete omadused 1) - 7) j¨ arelduvad maatriks- tehete vastavatest omadustest. Kommutatiivsuse (omadus 8) ja p¨o¨ordarvu olemasolu (omadus 9) t~ oestasime eespool.
9.2 M¨ arkus: korpuse m~ oistest Omadused 8) ja 9) maatriksite korral u ¨ldiselt ei kehti. Arvutussea- dused 1) - 9) kehtivad ka ratsionaalarvude ja reaalarvude korral. Need arvutusseadused v~ oetakse aluseks abstraktse korpuse defi- neerimisel. Seda k¨ asitleme hiljem.
10 Ruutv~ orrand kompleksarvude korpuses 10.1 Idee selgitus Osutub, et ruutv~orrandi ax2 + bx + c = 0 lahendusvalemi -b ± b2 - 4ac x= 2a
tuletamisel kasutatakse vaid (korpuse) omadusi 1) - 9) (vt ala- punkt 9.1) ja ruutjuuure m~ oistet. Defineerides ruutjuure komp- leksarvude jaoks, v~ oime seda lahendusvalemit kasutada ka komp- leksarvuliste kordajate a, b, c korral. V. Kompleksarvud 13
10.2 Kompleksarvu ruutjuur Kompleksarvu z C ruutjuur z defineeritakse valemiga ( z)2 = z.
10.3 N¨ aide: ruutjuure arvutamine Leiame -15 - 8i. T¨ahistame -15 - 8i = + i, , R Vastavalt ruutjuure definitsioonile ( + i)2 = 2 + 2i + 2 i2 = 2 - 2 + 2i = -15 - 8i Reaal- ja imaginaarosad peavad olema vastavalt v~ ordsed 2 - 2 = -15 2 = -8 M~olemad v~orrandid t~ostame ruutu (2 - 2 )2 = 225 4 - 22 2 + 4 = 225 = (2)2 = 64 42 2 = 64 Liidame saadud v~orrandid 4 - 22 2 + 4 + 42 2 = 225 + 64 = (2 + 2 )2 = 289 = 2 + 2 = 289 = 17 Teine juur (-17) ei k~olba, sest 2 + 2 0. Moodustame uue s¨ usteemi 2 2 - = -15 2 + 2 = 17 2 = -8 Liidame ja lahutame kaks esimest v~ orrandit. Saame 2 2 2 = -15 + 17 = 2 = 1 2 2 = 17 + 15 = 32 = 2 = 16 2 = -8 2 = -8 14 V. Kompleksarvud
= ±1 = = ±4 2 = -8
Et 2 = -8 (negatiivne), siis saame kaks lahendit
1 = +1, 1 = -4 2 = -1, 2 = +4
ning v~orrand 2 = -8 on rahuldatud. Kokku v~ ottes on ruutjuu - rel kaks v¨aa¨rtust 1 + 1 i 1 - 4i -15 - 8i = = = ±(1 - 4i) 2 + 2 i -1 + 4i
Kontrollime tulemust. T~ oepoolest
[±(1 - 4i)]2 = (1 - 4i)2 = 1 - 8i + 16i2 = 1 - 16 - 8i = -15 - 8i
10.4 N¨ aide: ruutv~ orrandi lahendamine Lahendada ruutv~orrand
x2 - (3 - 2i)x + (5 - i) = 0
Kasutades ruutv~orrandi lahendusvalemit, saame
3 - 2i ±(3 - 2i)2 - 4(5 - i) x= 2 3 - 2i ± 9 - 12i + 4i2 - 20 + 4i = 2 3 - 2i ± -15 - 8i 3 - 2i ± (1 - 4i) = = 2 2 Siin kasutasime ruutjuure -15 - 8i v¨ a¨artusi n¨ aitest 10.3. N¨ uu¨d saame 3 - 2i + (1 - 4i) 4 - 6i x1 = = = 2 - 3i 2 2 V. Kompleksarvud 15
3 - 2i - (1 - 4i) 3 - 2i - 1 + 4i 2 + 2i x2 = = = =1+i 2 2 2 Kontrollime esimest juurt. Arvutame
(2 - 3i)2 - (3 - 2i)(2 - 3i) + 5 - i = 4 - 12i + 9i2 - 6 + 9i + 4i - 6i2 + 5 - i = (4 - 9 - 6 + 6 + 5) + (-12 + 9 + 4 - 1)i = 0 + 0i = 0
Teist juurt kontrollime analoogiliselt
(1 + i)2 - (3 - 2i)(1 + i) + 5 - i = 1 + 2i + i2 - 3 - 3i + 2i + 2i2 + 5 - i = (1 - 1 - 3 - 2 + 5) + (2 - 3 + 2 - 1)i = 0 + 0i = 0
11 Kompleksarvu trigonomeetriline kuju 11.1 T¨ ahistusi ja m~ oisteid Olgu z = Re z+i Im z C. Vastavalt kompleksarvu geomeetrilisele t~olgendusele on reaalosa Re z ja imaginaarosa Im z kompleksarvu z ristkoordinaadid komplekstasandil. L¨ ahme u ¨le polaarkoordinaati- dele. Olgu punkti z kaugus koordinaatide alguspunktist (polaar- kaugus) ning polaarnurk. Lepime kokku: kui nurka m~ o~odame reaaltelje positiivsest poolest vastup¨ aeva, siis > 0, kui m~o~odame reaaltelje positiivsest poolest p¨ arip¨ aeva, siis Im z Ilmselt tan = Re z . Kasutades u ¨leminekuvalemeid, saame
z = Re z + i Im z = |z| cos + i|z| sin = |z|(cos + i sin ) 16 V. Kompleksarvud
Avaldist z = |z|(cos + i sin )
nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks kujuks (ehk esi- tuseks). Polaarnurka nimetatakse kompleksarvu z argumendiks ning t¨ahistatakse := Arg z. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumenti arg z muuta mingi t¨ aisarv korda 2 v~ orra. Seega on kompleksar- vu argument m¨aa¨ratud vaid 2 t¨ aisarvulise kordseni. Polaarnurga v¨a¨artust arg z, mis rahuldab v~orratust - Arg z = arg z + 2k, kZ
Sageli v~oetakse arg z muutumispiirkonnaks vahemik [0, 2).
11.2 Kompleksarvude v~ ordsuse tunnus trigonomeetrilises esituses Lause 7. Kompleksarvud on v~ ordsed parajasti siis, kui
1) nende moodulid on v~ ordsed, 2) nende argumentide vahe on 2 kordne.
11.3 N¨ aide (u ¨ lesanne) Leida kompleksarvude ±1 ± i trigonomeetrilised kujud.
12 Euleri valemid ja kompleksarvu eksponentkuju (eksponentesitus) 12.1 Euleri funktsioon Funktsiooni ei := cos + i sin , R V. Kompleksarvud 17
nimetame Euleri1 funktsiooniks. Maatriksesituses ilmselt
cos - sin ei = sin cos
Euleri funktsiooni seost eksponentfunktsiooniga selgitatakse mate- maatilises anal¨ uu¨sis, kompleksmuutuja funktsioonide teoorias .
12.2 Kompleksarvu eksponentkuju Avaldist z = |z|ei
kus on kompleksarvu z polaarnurk, nimetatakse kompleksarvu z eksponentkujuks (eksponentesituseks).
N¨ aide i 1+i= 2e 4 , i = ei 2 , -1 = ei jne.
12.3 Euleri valemid
1 1 i cos = (ei + e-i ), sin = (e - e-i ) 2 2i
T~ oestus. Kasuta Euleri funktsiooni definitsiooni.
12.4 Euleri funktsiooni omadusi
ei1 ei1 ei2 = ei(1 +2 ) , = ei(1 -2 ) ei2
T~oestus. Kasuta Euleri funktsiooni definitsiooni ja trigonomeetri- liste funktsioonide omadusi. 1 Leonhard Euler (1707 - 1783), sveitsi matemaatik 18 V. Kompleksarvud
12.5 De Moivre'i valem J¨argnev valem kannab de Moivre 2 nime.
(ei )n = ein , nN
T~ oestus. Kasuta matemaatilise induktsiooni meetodit.
12.6 Korrutamine ja jagamine eksponentesituses
z1 |z1 | i(1 -2 ) z1 z2 = |z1 ||z2 |ei(1 +2 ) , = e z2 |z2 |
N¨ aide Arvutame (1 + i 3)(1 + i) 2ei 3 2ei 4 i( + + ) i 11 = = 2e 3 4 3 = 2e 12 1-i 3 2e-i 3 11 11 = 2 cos( ) + sin( ) 12 12
13 Algebra p~ ohiteoreem ja u ¨ hejuured 13.1 Polu ¨ noom n-astme pol¨ unoom Pn (x) ehk hulkliige defineeritakse valemiga
Pn (x) := a0 + a1 x + · · · + an xn
kus a0 , a1 , . . . , an-1 , 0 = an C on pol¨ unoomi Pn (x) kordajad, n on pol¨ unoomi Pn (x) aste, x on pol¨ unoomi Pn (x) muutuja (para- meeter). 2 Abraham de Moivre (1667 - 1754), inglise matemaatik. V. Kompleksarvud 19
13.2 Polu ¨ noomi juur Arvu x0 C nimetame pol¨ unoomi Pn (x) r-kordseks juureks, kui
(r-1) 1) Pn (x0 ) = Pn (x0 ) = · · · = Pn (x0 ) = 0 (r) 2) Pn (x0 ) = 0
N¨ aide unoomi p(x) = x2 - 2x + 1 = (x - 1)2 2-kordne Arv x0 = 1 on pol¨ juur, sest
1) p(1) = p (1) = 0 2) p (1) = 2 = 0
Teoreem 8. Kui pol¨ unoomi kordajad on reaalsed ning x0 C unoomi r-kordne juur, siis ka x0 on sama pol¨ on selle pol¨ unoomi r-kordne juur.
13.3 Algebra p~ ohiteoreem Teoreem 9. Igal kompleksarvuliste kordajatega n-astme pol¨ unoo- mil leidub parajasti n kompleksarvulist juurt (kordsused kaasa ar- vatud).
13.4 ¨ Uhejuured unoomi xn - 1 kompleksarvulisi juuri nimetatakse Pol¨ n-j¨ arku u ¨he- juurteks. K~oigi n-j¨arku u ahistatakse n 1. ¨hejuurte hulka t¨
13.5 ¨ Uhejuurte arvutamine
2k 2k 2k ei n 1= n := cos( ) + i sin( ), k = 0, 1, . . . , n - 1 n n 20 V. Kompleksarvud
2k T~oestus. T¨ahistame k := ei n . Kasutades de Moivre'i valemit, arvutame 2k n 2k (k )n - 1 = ei n - 1 = ei n n - 1 = ei2k - 1 = cos(2k) + i sin(2k) - 1 = 1 - 1 = 0 Et trigonomeetrilised funktsioonid cos ja sin on perioodilised, siis rohkem juuri pole.
13.6 ¨ Uhejuurte geomeetriline t~ olgendus n-j¨arku u ¨hejuured asetsevad komplekstasandil korrap¨ arase hulk- nurga tippudes. Hulknurga tipud asetsevad u ¨hikringjoonel, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunktis.
13.7 N¨ 2< = ±1
13.8 N¨ aide 3 Leiame 1 2k 1 = ei 3 , 3 k = 0, 1, 2 Arvutame k = 0: 0 = ei0 = cos 0 + i sin 0 = 1 i 2 2 2 1 3 k = 1: 1 = e 3 = cos + i sin =- + i 3 3 2 2 4 4 4 1 3 k = 2: 2 = ei 3 = cos + i sin =- - i 3 3 2 2 Seega 3 1 3 1= 1; - ± i 2 2 V. Kompleksarvud 21
3. j¨arku u ¨hejuured paiknevad korrap¨ arase kolmnurga tippudes. Kolmnurga tipud asetsevad u ¨hikringjoonel, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunktis. Joonise koostamine j¨a¨ agu iseseisvaks harjutuseks.
13.9 ¨ noomi xn - a juured Polu unoomi xn -a k~oigi kompleksarvuliste juurte hulka t¨ Pol¨ ahistatakse n a. 13.10 n a arvutamine Teoreem 10. Olgu a = |a|ei . Siis +2k n a= n |a|ei n , k = 0, 1, . . . , n - 1
kus n unoomi xn - |a| ainus reaalarvuline juur. |a| on pol¨
T~ oestus. Analoogiline u ¨hejuurte valemi t~ oestusega.
13.11 N¨ aide Et i = 1ei 2 , siis +2k 2 ei n i= n , k = 0, 1, . . . , n - 1
V~ otame n = 3. Saame +2k 2 ei 3 i= 3 , k = 0, 1, 2
3 Leiame i elemendid algebralisel kujul. 3 i k = 0: x0 = cos + i sin = + 6 6 2 2 5 5 3 i k = 1: x1 = cos + i sin =- + 6 6 2 2 22 V. Kompleksarvud
3 3 k = 2: x2 = cos + i sin = -i 2 2 Tulemuseks saame 3 ± 3+i i= , -i 2
14 ¨ Ulesandeid 14.1 ¨ Ulesanne Arvutada kuupide vahe (3 + i)3 - (3 - i)3 = · · · = 52i
14.2 ¨ Ulesanne Arvutada jagatis (5 + i)(7 - 6i) = · · · = 10 - 11i 3+i
14.3 ¨ Ulesanne Lahendada LVS ja kontrollida lahendit
iz1 + (1 + i)z2 = 2 + 2i 2iz1 + (3 + 2i)z2 = 5 + 3i
14.4 ¨ Ulesanne Lahendada ruutv~orrand ja kontrollida lahendit x2 - (1 + i)x + 6 + 3i = 0
14.5 ¨ Ulesanne Leida kompleksarvude ±1 ± 3i trigonomeetrilised ja ekponent- kujud. V. Kompleksarvud 23
14.6 ¨ Ulesanne 6 Leida hulga i elementide trigonomeetrilised kujud. VI. Vektorruumid< nimetatakse korpuseks, kui hulgal K on defineeritud elementide liitmine ja korrutamine nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused:
1) + = + , K (liitmise kommutatiivsus) 2) ( + ) + = + ( + ) , , K (liitmise assotsiatiivsus) 3) 0 K nii, et + 0 = = 0 + K (nulli 0 K olemasolu) 4) K - K nii, et + (-) = 0 = - + (vastandelemendi - olemasolu) 5) () = () , , K (korrutamise assotsiatiivsus) 6) ( + ) = + , , K (distributiivsus) 7) 1 K nii, et 1 = K (unitaalsus) 8) = , K (korrutamise kommutatiivsus) 9) 0 = K -1 K nii, et -1 = 1 = -1 (p¨o¨ordelemendi -1 olemasolu)
Korpuse elemente nimetatakse skalaarideks ehk arvudeks. Lisaks eeldatakse, et K on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, s.t ska- laaride summad ja korrutised kuuluvad samuti korpusesse K.
N¨ aiteid Q, R, C
1 2 V. Vektorruumid
2 Vektorruumi m~ oiste ja n¨ nimetatakse vektorruumiks u ¨le korpuse K, kui on defineeritud hulga V elementide liitmine ja hulga V elementide korrutamine korpuse K skalaaridega nii, et on t¨ aidetud j¨argmised tingimused:
1) a + b = b + a a, b V (liitmise kommutatiivsus) 2) (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c V (liitmise assotsiatiivsus) 3) o V nii, et a + o = a = o + a a V (nullvektori o V olemasolu) 4) a V - a V nii, et a + (-a) = o = -a + a (vastandvektori -a olemasolu) 5) (a + b) = a + b K, a, b V (distributiivsus) 6) ( + )a = a + a , K, a V (distributiivsus) 7) (a) = ()a , K, a V (skalaariga korrutamise assotsiatiivsus) 8) 1a = a a V (unitaalsus)
Vektorruumi elemente nimetatakse vektoriteks. Lisaks eeldatak- se, et V on kinnine vektorite liitmise ja skalaaridega korrutamise suhtes, s.t vektorite summad ja vektorite korrutised skalaaridega kuuluvad vektorruumi V . Edaspidi eeldame vaikimisi, et K = Q, R v~ oi C. Vastavat vek- torruumi nimetatakse ratsionaalseks, reaalseks v~ oi kompleksseks. Vektorruumi nullvektori t¨ ahistamiseks kasutatakse ka arvu 0. Lugeja peab kontekstist m~ oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullvektoriga. Selguse huvides v~ oib kasutada ka t¨ahistust 0V . VI. Vektorruumid 3
2.2 N¨, milles on u ¨ksainus element - nullvektor o. Nullruumi t¨ ahistamiseks v~oib kasutada j¨allegi arvu 0. Nullruumi nimetatakse ka triviaalseks vektorruu- miks. Nullruume u ¨le erinevate korpuste tuleb lugeda erinevateks.
2.3 N¨ aide: korpused Iga korpus on vektorruum u ¨le iseenda.
2.4 N¨ aide: maatriksruumid Matk × n (K) on vektorruum u ¨le K. Arvutusoperatioonid defineeri- sime II. peat¨ ukis.
2.5 N¨ aide: aritmeetilised vektorruumid Aritmeetilised vektorid on u ¨herealised ja u ¨heveerulised maatriksid elementidega korpusest K. Aritmeetilised vektorruumid on
Kn := Mat1 × n (K) reavektorite ruum n K := Matn × 1 (K) veeruvektorite ruum
Tehted aritmeetiliste vektoritega toimuvad maatriksarvutuse reeg- lite kohaselt.
2.6 N¨ aide: geomeetrilised vektorid Geomeetriline vektor on suunatud sirgl~ oik. Vektorite liitmine defi- neeritakse r¨o¨opk¨ uliku reegliga. Korrutamine arvuga defineeritakse l~oigu pikendamise v~oi l¨ uhendamise teel ja negatiivsete arvude kor- ral veel lisaks suuna muutmisega vastupidiseks. 4 V. Vektorruumid
2.7 N¨ aide: l~ oigus pidevate funktsioonide ruum Olgu C[a, b] k~oigi l~ oigus [a, b] pidevate reaalarvuliste v¨ a¨artustega funktsioonide hulk. Olgu f, g C[a, b] ning R. Tehted defi- neerime j¨argmiselt:
1) (f + g)(x) := f (x) + g(x) x [a, b], 2) (f )(x) := f (x) x [a, b], 3) o(x) := 0 x [a, b] (nullfunktsioon), 4) (-f )(x) := -f (x) x [a, b] (vastandfunktsioon). ¨ Ulaltoodud tehete suhtes on C[a, b] vektorruum u ¨le R (matemaa- tilise anal¨ uu¨si teoreem). Analoogiliselt defineeritakse diferentsee- ruvate ja siledate funktsioonide ruumid.
2.8 N¨ aide: homogeense LVS-i lahendiruum Kirjutame homogeense LVS-i maatrikskujul, Ax = 0. Ilmselt null- vektor o on lahend (nn triviaalne lahend), sest Ao = o. Olgu a ja b lahendid, s.t Aa = o = Ab. Siis a + b ja a on samuti lahendid, sest maatrikstehete omaduste j¨argi
1) A(a + b) = Aa + Ab = o + o = o 2) A(a) = (A)a = (A)a = (Aa) = o = o
Seega homogeense LVS-i lahendihulk (kui aritmeetilise vektorruu- mi alamhulk) on kinnine liitmise ja arvuga korrutamise suhtes. Siit j¨areldub, et homogeense LVS-i lahendiruum on vektorruum.
3 Vektorite omadusi 3.1 Esimest liiki lineaarne vektorv~ orrand Lause 1. V~ orrandil x = v leidub 0 = K ja v V korral parajasti u ¨ks lahend. Selleks lahendiks on vektor v x= := -1 v V VI. Vektorruumid 5
oestus. N¨aitame k~oigepealt, et -1 v on v~ T~ orrandi x = v lahend. T~oepoolest (-1 v) = (-1 )v = 1v = v. Olgu y veel mingi lahend, s.t y = v. Siis ilmselt y = 1y = (-1 )y = -1 (y) = -1 v. ¨tleb, et -1 v on v~orrandi x = v ainus lahend. Tulemus u
3.2 Nullvektori ainsus Lause 2. Vektorruumis on parajasti u ¨ks nullvektor. T~ oestus. Olgu o samuti nullvektor. Siis o +o=o o +o=o+o = o =o o+o =o
3.3 Koondamisreegel Lause 3. Olgu a, u, v vektorruumi V vektorid. Kui a + u = a + v, siis u=v T~ oestus. Ilmselt -a + (a + u) = -a + (a + v) Kasutades k~oigepealt liitmise assotsiatiivsusest, seej¨ arel vastand - vektori ja nullvektori definitsiooni, saame viimasest v~ordusest (-a + a) + u = (-a + a) + v = o + u = o + v = u = v
3.4 Vastandvektori u ¨ hesus Lause 4. Igal vektoril on parajasti u ¨ks vastandvektor . T~oestus. Olgu b V samuti vektori a V vastandvektor, s.t a + b = o. Et a + (-a) = o, siis ilmselt a + b = o = a + (-a) Kasutades koondamisreeglist 3.3 saame b = -a. 6 V. Vektorruumid
3.5 Vahevektor Vektorite a ja b vahe a - b defineeritakse valemiga
a - b := a + (-b)
3.6 Teist liiki lineaarne vektorv~ orrand Lause 5. V~ orrandil a + x = b leidub a, b V korral parajasti u ¨ ks lahend. Selleks lahendiks on x = b - a V . T~ oestus. N¨aitame k~ oigepealt, et b-a on v~ orrandi a+x = b lahend. T~oepoolest
a + (b - a) = a + b - a = (a - a) + b = o + b = b
Olgu y veel mingi lahend, s.t a + y = b. Siis ilmselt
a + y = b = a + (b - a)
Kasutades koondamisreeglit 3.3, saame y = b - a, s.t b - a on v~orrandi a + x = b ainus lahend.
3.7 N¨ aide V~orrandi a + x = a ainus lahend on x = a - a = o, s.t nullvektor.
3.8 N¨ aide V~orrandi a + x = o ainus lahend on x = o - a = -a, s.t vektori a vastandvektor.
3.9 Vektori korrutamine nulliga Lause 6. 0a = o a V T~ oestus. T~oepoolest,
o + 0a = 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a
millest koondamisreegli p~ ohjal 0a = o. VI. Vektorruumid 7
3.10 Nullvektori korrutamine skalaariga Lause 7. o = o K
T~ oestus. T~oepoolest,
o + o = o = (o + o) = o + o
millest koondamisreegli p~ohjal o = o.
3.11 Vastandvektori arvutamine Lause 8. -a = (-1)a a V
T~ oestus. T~oepoolest,
a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1 - 1)a = 0a = o = a + (-a)
millest koondamisreegli p~ohjal (-1)a = -a.
3.12 Vektori korrutamine vastandarvuga (A) (B) Lause 9. (-)a = -(a) = (-a) K, a V
T~ oestus. T~oestame k~oigepealt v~ orduse (A). Peame n¨ aitama , et (-)a on vektori a vastandvektor. T~ oepoolest
a + (-)a = ( - )a = 0a = o = (-)a = -(a)
N¨ uu¨d arvutame
(-)a = (-1)a = [(-1)]a = [(-1)a] = (-a)
mis viib n~outud v~orduseni (B). 8 V. Vektorruumid
3.13 Nullitegurite puudumine vektorruumis Lause 10. Vektorruumis puuduvad nullitegurid, s.t
a = o = 0 v~ oi a=o
T~ oestus. = : Olgu a = o. Oletame vastuv¨ aiteliselt, et leiduvad -1 nullitegurid, s.t = 0 ja a = o. Siis K ning
a = 1a = (-1 )a = -1 (a) = -1 o = o
mis on vastuolus oletusega, et a = o. Tulemus (vastuolu) u ¨tleb, et korrutises a = o peab v¨ ahemalt u¨ks teguritest olema null. = : Olgu = 0 v~ oi a = o. Siis a = o eespool t~ oestatud Lausete 6 ja 7 p~ohjal.
3.14 N¨ aide Avaldada vektorid x, y vektorite a, b kaudu, kui
x - 4y = a 2x + 3y = b
Esitame s¨ usteemi maatrikskujul
1 -4 x a = 2 3 y b
1 -4 1 34 Olgu A = 2 3 . Siis A-1 = 11 -2 1 ning
-1 x 1 -4 a 1 3 4 a 1 3a + 4b = = = y 2 3 b 11 -2 1 b 11 -2a + b
Seega 3 4 x = + 11 a + 11 b 2 1 y = - 11 a + 11 b VI. Vektorruumid 9
Kahtluse korral kontrollime lahendit. Kontrollime lahendit n¨ aiteks esimese v~orrandiga
3 4 2 1 x - 4y = a+ b - 4(- a + b) 11 11 11 11 3 4 8 4 = a+ b+ a- b=a 11 11 11 11 Teise v~orrandiga kontrollitakse lahendit analoogiliselt.
4 Lineaarne s~ oltuvus 4.1 Lineaarkombinatsioonid Vektorite v1 , . . . , vn V lineaarkombinatsiooniks (LK-ks) korda- jatega 1 , . . . , n K nimetatakse avaldist (vektorit)
1 a 1 + · · · + n a n V
Selle vektori kohta ¨oeldakse ka, et ta avaldub lineaarselt vektorite v1 , . . . , vn kaudu. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse triviaalseks, kui k~oik tema kordajad on nullid. Lineaarkombinatsiooni nimetatakse mittetri- viaalseks, kui tal leidub v¨ahemalt u¨ks nullist erinev kordaja.
N¨ aide 1) 1a, 1o, 1o + 0a on mittetriviaalsed LK-d, 2) 0a ja 0o on triviaalsed LK-d.
4.2 Lineaarne s~ oltuvus ja s~ oltumatus Vektoris¨ usteemi (VS-i) nimetatakse lineaarselt s~ oltu- vaks , kui antud s¨usteemi vektorite mingi mittetriviaalne LK v~ or- dub nullvektoriga. Vastasel juhul, s.t kui nullvektoriga v~ orduvat mittetriviaalset lineaarkombinatsiooni ei leidu, nimetatakse VS-i lineaarselt s~ oltumatuks. 10 V. Vektorruumid
Sageli r¨a¨agitakse vektoris¨ usteemi lineaarse s~ oltuvuse ja s~oltu- matuse asemel (s¨ usteemi kuuluvate) vektorite lineaarsest s~ oltuvu- sest ja s~oltumatusest.
4.3 N¨ aide: tu ¨ hihulga lineaarne s~ oltumatus Kui VS on t¨uhihulk, siis s¨ usteemi vektorite lineaarkombinatsioone ei leidu. Puuduvad nii triviaalsed kui ka mittetriviaalsed LK-d. Seega t¨uhihulk on lineaarselt s~ oltumatu.
4.4 N¨ aide Uurime VS-i e1 := (1, 0, 0, . . . , 0) e := (0, 1, 0, . . . , 0) 2 ................... e := (0, 0, 0, . . . , 1) n
lineaarset s~oltuvust. Peame uurima v~ orrandit (seost)
1 e1 + 2 e2 + · · · + n en = o
Tundmatud on 1 , . . . , n . Arvutame 1 e1 = 1 (1, 0, 0, . . . , 0) = (1 , 0, 0, . . . , 0) e = (0, 1, 0, . . . , 0) = (0, , 0, . . . , 0) 2 2 2 2 ......................................... e = (0, 0, 0, . . . , 1) = (0, 0, 0, . . . , ) n n n n
Liites saame
1 e1 + 2 e2 + · · · + n en = (1 , 2 , . . . , n ) = o = (0, 0, . . . , 0)
Siit j¨areldub, et 1 = 2 = · · · = n = 0 Tulemus u ¨ on lineaarselt s~ oltumatu. VI. Vektorruumid 11
4.5 Vektorisu ¨ steem koosneb u ¨ hest vektorist Lause 11. VS, mis koosneb ainult nullvektorist, on lineaarselt s~ oltuv
T~ oestus. T~oepoolest, siis leidub nullvektoriga v~ orduv mittetrivi- aalne LK: 1o = o.
¨ Lause 12. Uhest vektorist koosnev VS on lineaarselt s~ oltumatu parajasti siis, kui see vektor ei ole nullvektor.< oleks lineaarselt s~oltuv, mis on vastuolus eeldusega. = : Kui v = o, siis v~ordusest v = o j¨ areldub (nullitegurite puudumise t~ottu) peab olema lineaarselt s~oltumatu.
¨ Lause 13. Uhest vektorist koosnev VS on lineaarselt s~ oltuv para- jasti siis, kui see vektor on nullvektor.< lineaarselt s~ oltuv. Kui v ei oleks null- vektor, siis eelnenud4.6 Vektorisu ¨ steem sisaldab nullvektorit Lause 14. VS, mis sisaldab nullvektorit, on lineaarselt s~ oltuv.< vaadeldav VS. Siis
1o + 0v1 + · · · + 0vn = o mittetriviaalne LK
millest j¨areldub n~outav lineaarne s~ oltuvus. 12 V. Vektorruumid
4.7 Vektorisu ¨ vaadeldav VS. Siis 1v + (-v) + 0v1 · · · + 0vn = o mittetriviaalne LK
millest j¨areldub n~outav lineaarne s~ oltuvus.
4.8 Vektorisu ¨ steem sisaldab u ¨ hesuguseid vektoreid Lause 16. VS, mis sisaldab u ¨ vaadeldav VS. Siis 1v + (-1)v + 0v1 · · · + 0vn = o mittetriviaalne LK
millest j¨areldub n~outav lineaarne s~ oltuvus.
4.9 VS sisaldab lineaarselt s~ oltuvat alamsu ¨ steemi Lause 17. VS, mis sisaldab lineaarselt s~ oltuvat alams¨ selline, et alams¨ on lineaarselt s~ oltuv. Siis leidub nullvektoriga v~ orduv mittetriviaalne LK 1 v1 + 2 v2 + · · · + n vn = o mittetriviaalne LK
Siit j¨areldub, et mittetriviaalne LK 1 v1 + · · · + n vn +0v1 + · · · + 0vk = o mittetriviaalne LK< on lineaarselt s~ oltuv. VI. Vektorruumid 13
4.10 Lineaarselt s~ oltumatu VS-i alamsu ¨ steemidest Lause 18. Lineaarselt s~oltumatu vektoris¨ usteemi iga alams¨ usteem on lineaarselt s~ oltumatu.
T~ oestus. J¨areldub lausest 17.< on lineaarselt s~ oltuv, siis avaldub vektor v vek- torite v1 , . . . , vn LK-na.< lineaarse s~ oltuvuse t~ ottu
1 v1 + · · · + n vn + v = o mittetriviaalne LK
Viimases seoses peab = 0, sest vastasel juhul oleksid k~ oik korda- jad nullid. Vektor v avaldub siis ilmselt vektorite v1 , . . . , vn LK-na 1 n v=- v1 - · · · - vn< on lineaarselt s~ oltumatu parajasti siis, kui v~ ordusest
1 v 1 + · · · + n v n = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0< lineaarselt s~ oltumatu. Peame n¨aitama, et v~ordusest
1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0
Oletame vastuv¨aiteliselt, et v¨ ahemalt u ¨ lineaarselt s~ oltuv, mis on vastu- olus eeldusega. J¨ arelikult peab 1 = · · · = n = 0. 14 V. Vektorruumid
= : Kui v~ordusest
1 v1 + · · · + n vn = o j¨ areldub 1 = · · · = n = 0< on lineaarselt s~ oltumatu.
4.13 Lineaarse s~ oltuvuse tunnus Teoreem 21. VS, mis sisaldab v¨ ahemalt kahte vektorit, on li- neaarselt s~ oltuv parajasti siis, kui s¨ usteemis leidub vektor, mis avaldub u ¨lej¨ a¨anute LK-na.< lineaarselt s~ T~ oltuv. Siis lei- dub nullvektoriga v~ orduv mittetriviaalne LK
1 v1 + 2 v2 · · · + n vn = o mittetriviaalne LK
Olgu n¨aiteks 1 = 0. Arvutame
1 v1 = -2 v2 - · · · - n vn
Korrutame n¨ uu¨d arvuga 1-1 vasakult, siis saame 2 n v1 = - v2 - · · · - vn 1 1
mis u ¨tleb, et v1 avaldub u ¨lej¨ aa ¨nud vektorite LK-na. = : Avaldugu v1 u ¨lej¨ a¨ anud vektorite LK-na
v1 = 2 v2 + · · · + n vn
Siit saame 1v1 - 2 v2 - · · · - n vn = o mittetriviaalne LK< on lineaarselt s~ oltuv. VI. Vektorruumid 15
5 Moodustajad ja baas 5.1 Moodustajad VS-i nimetatakse vektorruumi V moodustajate s¨ usteemiks, kui V iga vektor on avaldatav selle s¨ usteemi vektorite LK-na. Moodusta- jate s¨ usteemi vektoreid nimetatakse vektorruumi moodustajateks.
N¨ aide Iga vektorruum on iseenda moodustajate s¨ usteem, sest v = 1v. Et iga vektorruum sisaldab nullvektorit, siis see n¨ aide u ¨tleb, et vek- torruumi moodustajate s¨usteemid v~oivad olla lineaarselt s~ oltuvad.
5.2 Baas ¨ Oeldakse, et vektoris¨ usteem B on vektorruumi V = 0 baas ehk koordinaats¨ usteem, kui
1) B on V moodustajate s¨ usteem, 2) B on lineaarselt s~ oltumatu.
Kui vektorruum on nullruum, siis tema baasiks v~ oib defineeri- da t¨ uhihulga (see on teatavasti lineaarselt s~ oltumatu). Nullruumi baasis oleks seega 0 vektorit.
5.3 L~ oplikum~ o~ otmelised ruumid Vektorruumi nimetatakse l~ oplikum~o~otmeliseks, kui tal leidub l~ oplik baas, s.t baas, mis sisaldab l~ opliku arvu vektoreid. Vektorruumi nimetatakse l~opmatum~ o~otmeliseks, kui ta ei ole l~ oplikum~ o~ otmeli- ne. Edaspidi eeldame vaikimisi vektorruumide l~ oplikum~ o~ otmeli- sust. 16 V. Vektorruumid
5.4 N¨ i-1
on aritmeetilise vektorruumi Kn baas.
T~oestus. N¨ on lineaarselt s~ oltumatu. Peame n¨ aitama, et ta on ka vektorruumi Kn moodus- usteem. Olgu a = (1 , . . . , n ) Kn . Paneme t¨ tajate s¨ ahele, et a = 1 e1 + · · · + n en s.t a Kn avaldub (lineaarselt s~ oltumatute) vektorite e1 , . . . , en LK-na. Siit j¨ on vektorruumi Kn baas.
6 Mo ~o~de 6.1 Esimene fundamentaallemma Vektorid b1 , . . . , bn avaldugu vektorite a1 , . . . , ak lineaarkombinat- sioonidena. Kui n > on lineaarselt s~ oltuv.
T~ oestus. Vastavalt eeldusele b1 = 11 a1 + 21 a2 + · · · + k1 ak b = a + a + · · · + a 2 12 1 22 2 k2 k ................................. b = a + a + · · · + a n 1n 1 2n 2 kn k
Moodustame LVS-i 11 1 + 12 2 + · · · + 1n n = 0 + + · · · + = 0 21 1 22 2 2n n ................................ + + · · · + = 0 k1 1 k2 2 kn n VI. Vektorruumid 17
Antud LVS on homogeensuse t~ ottu koosk~ olaline, u ¨heks lahendiks on ilmselt triviaalne lahend 1 = · · · = n = 0. Et tundmatuid on rohkem kui v~orrandeid (n > k), siis leidub sellel LVS-il mitte- triviaalne lahend 1 , . . . , n , s.t v¨ ahemalt u ¨ks arvudest 1 , . . . , n erineb nullist. Vaatame mittetriviaalset lineaarkombinatsiooni
1 b1 + 2 b2 + · · · + n bn = + 1 (11 a1 + 21 a2 + · · · + k1 ak ) mittetriviaalne LK + 2 (12 a1 + 22 a2 + · · · + k2 ak ) ································· + n (1n a1 + 2n a2 + · · · + kn ak )
(avame sulud ja r¨ uhmitame liidetavad u ¨mber)
= + (11 1 + 12 2 + · · · + 1n n )a1 + (21 1 + 22 2 + · · · + 2n n )a2 ································· + (k1 1 + k2 2 + · · · + kn n )ak = 0a1 + 0a2 + · · · + 0ak =o
N¨aitasime, et leidub vektorite b1 , . . . , bn nullvektoriga v~ orduv mit- tetriviaalne LK. J¨ olema lineaarselt s~ oltuv.< olgu V moodustajate s¨ usteem. Siis n k.
T~oestus. Oletame vastuv¨aiteliselt, et n > k. Siis peaks vekto - ris¨ fundamentaallemma 6.1 p~ ohjal olema li- neaarselt s~ oltuv, mis on vastuolus eeldusega. 18 V. Vektorruumid
6.3 Teoreem vektorite arvust baasides Teoreem 22. L~ oplikum~ o~otmelise vektorruumi k~ oikides baasides on u ¨hepalju vektoreid.< l~ oplikum~ oo~t- melise vektorruumi V baasid. Peame n¨ aitama, et k = n. Paneme t¨ahele, et< on V moodustajate s¨ usteem.
Lemma 6.2 p~ohjal n k. Analoogiliselt, kui A ja B vahetavad kohad, saame k n. Kokkuv~ ottes saame k = n.
6.4 M~ o~ode L~oplikum~o~otmelise vektorruumi m~ o~ otmeks ehk dimensiooniks ni- metatakse vektorite arvu selle vektorruumi baasis. Vektorruumi V m~o~odet t¨ahistatakse dim V . Nullruum on 0-m~ o~ otmeline, dim O = 0 (nullruumi baas on t¨ uhihulk).
M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 22.
N¨ aide ohjal dim Kn = n . Eespool toodud n¨aite 5.4 p~
6.5 Vektorisu ¨ steemis on rohkem kui dim V vektorit Teoreem 23. VS, milles on rohkem kui dim V vektorit, on li- neaarselt s~ oltuv. VI. Vektorruumid 19
T~ oestus. T¨ahistame dim V = k. Olgu< mingi VS.< lineaarselt s~ oltuv.
6.6 Vektorite arvust moodustajate su ¨ steemis Teoreem 24. Vektorruumi V igas moodustajate s¨ usteemis on v¨ ahemalt dim V vektorit.
T~ oestus. T¨ahistame dim V = n. Olgu< vektorruumi V moodustajate s¨ usteem.
Peame n¨aitama, et k n. Paneme t¨ on li- neaarselt s~oltumatu (baas). Lemma 6.2 p~ ohjal n k.
7 Homogeense LVS-i lahendite fundamentaalsu ¨ steem (LFS) 7.1 LFS-i mo ~iste Homogeense LVS-i lahendiruum on teatavasti vektorruum. Homo- geense LVS-i lahendite fundamentaals¨usteemiks (LFS-iks) nimeta- takse selle s¨ usteemi lahendiruumi baasi.
7.2 Homogeense su ¨ steemi lahendituumi m~ o~ otmest Teoreem 25. Olgu homogeense LVS-i tundmatute arv n ja s¨ us- teemi maatriksi astak r. Siis s¨ usteemi lahendiruum on (n - r)- m~o~ otmeline. 20 V. Vektorruumid
See teoreem u ¨tleb, et homogeense s¨ usteemi LFS koosneb n - r vektorist. Homogeense s¨ usteemi u ¨ldlahend avaldub (vektoresitu- ses) lahendite fundamentaals¨ usteemi vektorite lineaarkombinat- sioonina, kusjuures kordajateks on suvalised konstandid (¨uldla- hendi parameetrid ).
7.3 LFS-i leidmine LFS-i saame, kui vabadele tundmatutele (mille arv on (n - r)) omistame sobivalt arvv¨ a¨ artusi 1 ja 0.
7.4 N¨ aide Leiame homogeense s¨ usteemi 2x1 + 7x2 + x3 + 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 0 9x1 + 4x2 + 7x3 + x4 = 0 lahendite fundamentaals¨ usteemi. S¨ usteemi u ¨ldlahend on x1 = -9x2 - 4x4 x3 = 11x2 + 5x4 x2 , x4 - vabad tundmatud ¨ Uldlahend vektoresituses on x1 -9x2 - 4x4 x2 x2 x= x3 = 11x2 + 5x4
x4 x4 S¨ usteemi LFS sisaldab 4 - 2 = 2 vektorit. Vabadele tundmatutele x2 ja x4 omistame n¨uu ¨d arvv¨ a¨ artusi 1 ja 0. Saame erilahendid -9 -4 1 0 v1 = 11 , v2 = 5
0 1 VI. Vektorruumid 21
S¨ usteemi u ¨ldlahend avaldub lahendite fundamentaals¨usteemi vek- torite lineaarkombinatsioonina, kusjuures kordajateks on suvalised konstandid (vabad tundmatud):
x = x2 v1 + x4 v2< vektorruumi V baas, dim V = n. Eelnevast teame, et iga vektor a V on avaldatav baasi vektorite LK-na
a = 1 b1 + · · · + n bn
Selle lineaarkombinatsiooni kordajaid 1 , . . . , n nimetatakse vek- toriP~ohjus, miks kasutame veergu rea asemel, selgub hiljem.
8.1 Koordinaatvektori omadusi Olgu B vektorruumi V baas. Siis
1) CB (v1 + v2 ) = CB (v1 ) + CB (v2 ) 2) CB (v) = CB (v)
T~ oestus. Soovitatav t~oestada iseseisva harjutusena.
8.2 Vektori koordinaatide u ¨ hesus antud baasis Teoreem 26. Vektori koordinaadid antud baasis on m¨ a¨aratud u ¨heselt. 22 V. Vektorruumid< vektorruumi V baas ning
a = 1 b1 + · · · + n bn = 1 b1 + · · · + n bn
V~ordusest a - a = o saame
1 b1 + · · · + n bn - (1 b1 + · · · + n bn ) = (1 - 1 )b1 + · · · + (n - n )bn = o
Baasi B lineaarse s~ oltumatuse t~ ottu peab
i = i , i = 1, . . . , n
mis t¨ahendabki koordinaatide u ¨hesust antud baasis.
8.3 Vektorite v~ ordsuse tunnus Teoreem 27. Vektorid on v~ ordsed parajasti siis, kui on v~ ordsed nende vastavad koordinaadid (koordinaatvektorid) vektorruumi V baas ning a, c V . Siis a = 1 b1 + · · · + n bn ja c = 1 b1 + · · · + n bn Arvutame
a - c = 1 b1 + · · · + n bn - (1 b1 + · · · + n bn ) = (1 - 1 )b1 + · · · + (n - n )bn
= : V~ordusest a = c j¨ areldub, et i = i (i = 1, . . . , n), sest B on lineaarselt s~ oltumatu. = : V~ordustest i = i (i = 1, . . . , n) j¨ areldub ilmselt, et a = c.
9 Baasiteisendused 9.1 ¨ Uleminekumaatriks Vektorruumi baas ei ole u ¨ldiselt u ¨heselt m¨ a¨ aratud, s.t vektorruu- mis v~oib olla rohkem kui u¨ ja VI. Vektorruumid 23< n-m~o~otmelise vektorruumi V kaks baasi, vekto- rite arv neis on teatavasti u ¨hesugune (vt teoreem 22). Arendame baasi B vektorid baasi B j¨argi b1 = 11 b1 + 21 b2 + · · · + n1 bn b = b + b + · · · + b 2 12 1 22 2 n2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... b = b + b + · · · + b n 1n 1 2n 2 nn n
Maatriksit 11 12 ... 1n 21 22 ... 2n PBB := . .. .. .. .. . . . n1 n2 . . . nn nimetatakse u ¨ ¨leminekumaatriksiks baasilt B baasile B. Ulemine- kumaatriksi PBB i-ndaks veeruks on baasivektori bi arenduse koordinaadid baasis B: PBB = CB (b1 )CB (b2 ) · · · CB (bn )
9.2 Vektori koordinaatide teisenemine Teoreem 28. Olgu B ja B vektorruumi V baasid. Siis CB (v) = PBB CB (v) v V T~ oestus. Arendame vektori v V baaside B ja B j¨ argi v =1 b1 + · · · + n bn = 1 b1 + · · · + n bn = 1 (11 b1 + 21 b2 + · · · + n1 bn ) + 2 (12 b1 + 22 b2 + · · · + n2 bn ) ................................. + n (1n b1 + 2n b2 + · · · + nn bn )
(avame sulud ja r¨ uhmitame liidetavad u ¨mber)
= + (11 1 + 12 2 + · · · + 1n n )b1 24 V. Vektorruumid
+ (21 1 + 22 2 + · · · + 2n n )b2 ................................. + (n1 1 + n2 2 + · · · + nn n )bn
Vektori arendus baasi j¨ argi on u ¨ hene . J¨ arelikult 1 = 11 1 + 12 2 + · · · + 1n n = + + · · · + 2 21 1 22 2 2n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... = + + · · · + n n1 1 n2 2 nn n
mis on vektori v koordinaatide teisenemisvalemid baasilt B baa- sile B. Tulemuse v~ oime ilmselt kirjutada maatrikskujul 1 11 12 · · · 1n 1 2 21 22 · · · 2n 2 .. = .. .. . . .. .. . . . . . . n n1 n2 · · · nn n
N¨ aide 9.3 ¨ vektorruumi V baas. Kui A on n × n-maatriks, siis
A[CB (v)] = o v V = A = 0
T~ oestus. T~oepoolest, A[CB (bi )](= o) on maatriksi A i-s veerg, sest CB (bi ) on u ¨hikmaatriksi In i-s veerg.
Teoreem 30. Olgu B, B ja B vektorruumi V kolm baasi. Siis
1) PBB = I -1 2) PBB = PB B (p¨ o¨ oratavus) 3) PB B PB B = PB B (transitiivsus) VI. Vektorruumid 25
T~ oestus. Esimese omaduse j¨ atame iseseisvaks harjutuseks. Teine omadus j¨areldub esimesest ja kolmandast. V~ottes kol- mandas omaduses B = B, saame esimese omaduse p~ ohjal PBB PB B = PBB = I Analoogiliselt, kui B ja B vahetavad kohad, siis PB B PBB = PB B = I Seega u¨leminekumaatriks on p¨ o¨ oratav ja teine omadus (valem) kehtib j¨areldusena esimeset ja kolmandast. J¨a¨ ab u ¨le t~ oestada kol- mas omadus. Kasutades teoreemi 28 v~oime iga v V korral kirjutada CB (v) = PB B CB (v), CB (v) = PB B CB (v) Asendades viimases v~orduses CB (v), saame CB (v) = PB B PB B CB (v) Kuid j¨allegi teoreemi 28 t~ottu v~ oime kirjutada CB (v) = PB B CB (v)
Seega lahutades eelviimasest v~ ordusest viimase, saame (PB B PB B - PB B )CB (v) = 0 v V Kolmas omadus j¨areldub n¨ uu¨d lemma 29 kaasabil. ¨ Teoreem 31. Uleminekumaatriksi astak on dim V , s.t det PBB = 0 = det PB B T~oestus. Arvutame (¨ ulemineku)maatriksite determinantide kor- rutise: det PBB · det PB B = det(PBB PB B ) = det PBB = det I =1 Kuna korrutis on 1 = 0, siis tegurid ei saa olla nullid. 26 V. Vektorruumid
10 Alamruum ja lineaarne kate 10.1 Alamruum Vektorruumi V alamruumiks nimetatakse tema sellist mittet¨ uhja osahulka V V , mis rahuldab j¨ argmist tingimust:
a, b V = a + b V , K
10.2 N¨, mis koosneb vaid vektorruumi V nullvektorist 0, on V alamruum. Neid alam- ruume nimetatakse vektorruumi V triviaalseteks alamruumideks. K~oiki u ¨lej¨a¨anud alamruume (kui leiduvad) nimetatakse mittetri- viaalseteks.
10.3 N¨ aide Defineerime V K2 j¨ argmiselt:<
Kontrollime alamruumi tingimust. Olgu (a, -a), (b, -b) V , siis
(a, -a) + (b, -b) = (a, -a) + (b, -b) = (a + b, -(a + b)) V , K
Tulemus u oepoolest aritmeetilise vektorruumi K2 ¨tleb, et V on t~ alamruum.
10.4 N¨ aide: alamruume funktsioonide ruumis 1) Diferentseeruvad funktsioonid moodustavad alamruumi pi- devate funktsioonide ruumis. 2) Siledad funktsioonid moodustavad alamruumi diferentseeru- vate funktsioonide ruumis.
Need on matemaatilise anal¨ uu¨si teoreemid . VI. Vektorruumid 27
10.5 Lause Vektorruumi iga alamruum on samuti vektorruum (¨ ule sama kor- puse).
T~ oestus. Sest kehtivad vektorruumi aksioomid.< nimetatakse selle s¨ usteemi vektorite k~oigi LK-de hulka<< V on vektorruumi V alamruum.
T~ oestus. Kontrolli alamruumi tingimust.
10.8 Teoreem VS on lineaarselt s~ oltumatu parajasti siis, kui ta on oma lineaarse katte baas.
T~oestus. =: Olgu VS lineaarselt s~ oltumatu. See s¨ usteem on ka oma lineaarse katte moodustajate s¨ usteemiks. J¨arelikult on tege- mist (lineaarse katte) baasiga. =: Kui VS on (oma lineaarse katte) baas, siis peab ta ilmselt olema lineaarselt s~oltumatu.
11 Vektorisu ¨ steemi astak. Astakuteoreem 11.1 Baasalamsu ¨ steem VS-i baasalams¨ usteem on tema selline alams¨ usteem, mis rahuldab j¨argmisi tingimusi:
1) baasalams¨ usteem on lineaarselt s~ oltumatu, 28 V. Vektorruumid
2) t¨aiendavate vektorite lisamine vektoris¨ usteemist baasalam- s¨usteemi muudab saadud (laiendatud) s¨ usteemi lineaarselt s~oltuvaks.
L¨ uhidalt ¨oeldes on VS-i baasalams¨ usteem selle s¨ usteemi maksi- maalne lineaarselt s~ oltumatu alams¨ usteem.
11.2 Teoreem lineaarse katte baasist VS-i baasalams¨ usteem on selle VS-i lineaarse katte baas.
T~oestus. Teoreemi 4.11 p~ ohjal avaldub VS-i iga vektor oma baas- alams¨usteemi vektorite LK-na. J¨ arelikult on VS-i baasalams¨ us- teem selle VS-i lineaarse katte moodustajate s¨ usteemiks. Baas- alams¨usteemi lineaarse s~ oltumatuse t~ottu on tegemist baasiga.
11.3 Teoreem vektorite arvust baasalamsu ¨ steemides VS-i k~ oikides baasalams¨ usteemides on u ¨hepalju vektoreid.
T~oestus. Teame, et VS-i lineaarne kate on vektorruum. V¨ aide j¨ a- reldub teoreemidest 11.2 ning 22.
11.4 Vektorisu ¨ steemi astak VS-i astakuks nimetatakse vektorite arvu tema baasalams¨ usteemis.
M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud teoreemiga 11.3.
11.5 Teoreem vektorisu ¨ steemi astakust VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi lineaarse katte m~ o~otmega.
T~ oestus. J¨areldub teoreemist 11.2. VI. Vektorruumid 29
11.6 Astakuteoreem VS-i astak v~ ordub selle s¨ usteemi vektorite koordinaatide maatriksi astakuga. Astakuteoreemi on mugav kasutada VS-i astaku leidmiseks.
12 Lineaarse s~ oltuvuse uurimine Kirjeldame l¨ uhidalt, kuidas leida VS-i baasalams¨ usteemi.
12.1 ¨ lineaarset s~ oltuvust.
Lahendus Peame uurima v~orrandit (seost)
1 v1 + 2 v2 + · · · + n vn = o< vektorruumi V baas. Kasutame arendust baasi B j¨ argi v1 = 11 b1 + 21 b2 + · · · + k1 bk v = b + b + · · · + b 2 12 1 22 2 k2 k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... v = b + b + · · · + b n 1n 1 2n 2 kn k
Vektorite v1 , . . . , vn koordinaatide maatriksi t¨ ahistame 11 12 . . . 1n 21 22 . . . 2n A= . .. .. .. = CB (v1 )CB (v2 ) . . . CB (vn ) .. . . . k1 k2 . . . kn 30 V. Vektorruumid
Asendades u ¨laltoodud arendused seosesse 1 v1 + · · · + n vn = o, saame
1 v1 + 2 v2 + · · · + n vn = 1 (11 b1 + 21 b2 + · · · + k1 bk ) + 2 (12 b1 + 22 b2 + · · · + k2 bk ) ................................. + vn (1n b1 + 2n b2 + · · · + kn bk )
(avame sulud ja r¨ uhmitame liidetavad u ¨mber)
= (11 1 + 12 2 + · · · + 1n n )b1 + (21 1 + 22 2 + · · · + 2n n )b2 ................................. + (k1 1 + k2 2 + · · · + kn n )bk =0
Et baas B on lineaarselt s~ oltumatu, peavad kordajad olema nullid 11 1 + 12 2 + · · · + 1n n = 0 + + · · · + = 0 21 1 22 2 2n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ + + · · · + = 0 k1 1 k2 2 kn n
Paneme t¨ahele, et selle LVS-i maatriks on vektorite v1 , . . . , vn koordinaatide maatriks A = (ij ). Olgu r maatriksi A astak. As- takuteoreemi j¨ astak r, s.t tema baasa- lams¨usteemis on r vektorit. Kasutades Gaussi meetodit, lahenda- me viimase LVS-i, mis on homogeensuse t~ ottu koosk~ olaline. Va- bade tundmatute arv on teatavasti n - r. Olgu 1 , . . . , r juht- tundmatud ning r+1 , . . . , n vabad tundmatud. Juhttundmatud avalduvad lineaarselt triviaalsete vabaliikmete ja vabade tundma- tute kaudu (kui leiduvad). Selekteerime ka vektorid vabadeks ja (olemasolu korral) juhtivateks. Vektorit, mis asetseb LK-s vaba tundmatu k~orval, nimetame juhtvektoriks. Vektorit, mis asetseb VI. Vektorruumid 31
LK-s juhttundmatu k~orval, nimetame vabaks vektoriks. Siis v~ oime kirjutada juhttundmatud vabad tundmatud
1 v1 + · · · + r vr + r+1 vr+1 + · · · + n vn = o vabad vektorid juhtvektorid
Juhtvektorid (kui leiduvad) avalduvad vabade vektorite lineaar - kombinatsioonidena, kui vabadele tundmatutele omistada sobivalt arvv¨a¨artusi 0 ja 1. Vabad vektorid moodustavadki VS-i baasalam- s¨ usteemi. Kui vabu12.2 ¨ Ulesanne Uurida VS-i
v1 = (6, 3, 3, 9), v2 = (4, 2, 2, 6), v3 = (5, 4, -2, 1) v4 = (2, 1, 1, 3), v5 = (3, 2, 0, 2), v6 = (1, 3, -7, 2)
lineaarset s~oltuvust. Leida astak ja mingi baasalams¨usteem. Juht- vektorid arendada baasalams¨ usteemi j¨ argi. Kontrollida arendusi.
13 Skalaarkorrutis Olgu V j¨argnevas vektorruum u ¨le R.
13.1 Skalaarkorrutise m~ oiste ¨ Oeldakse, et reaalses vektoruumis V on defineeritud skalaarkorru- tis, kui igale kahele vektorile a, b V on vastavusse seatud reaalarv (a|b) R nii, et on t¨aidetud j¨ argmised tingimused: 1) (a|b) = (b|a) (s¨ ummeetria) 2) (a + b|c) = (a|c) + (b|c) (aditiivsus) 3) (a|b) = (a|b) R (homogeensus) 4) kui V a = o, siis (a|a) > 0 (positiivsus) 32 V. Vektorruumid
Reaalset skalaarkorrutisega vektorruumi nimetatakse eukleidiliseks ruumiks.
13.2 N¨ aide: skalaarkorrutis nullvektoriga Skalaarkorrutise 3. omaduse p~ ohjal ilmselt
(o|a) = (0o|a) = 0(o|a) = 0 a V
Siit j¨areldub, et ka (o|o) = 0.
13.3 Skalaarkorrutis reaalses aritmeetilises vektorruumis Olgu a = (1 , . . . , n ) Rn ja b = (1 , . . . , n ) Rn . Skalaar- korrutise defineerime valemiga
(a|b) := 1 1 + 2 2 + · · · + n n R
13.4 Skalaarkorrutis funktsioonide ruumis Olgu f, g C[a, b]. Skalaarkorrutise defineerime valemiga b (f |g) := f (x)g(x) dx R a
14 Vektori pikkus 14.1 Vektori pikkuse m~ oiste Vektori a V pikkus ehk norm |a| := ||a|| defineeritakse valemiga |a| := (a|a). Vektori pikkus on ilmselt mittenegatiivne reaalarv.
14.2 Aritmeetilise vektori pikkus Aritmeetilise vektori
a = (1 , . . . , n ) Rn VI. Vektorruumid 33
pikkus on |a| := 12 + 22 + · · · + n2
14.3 Funktsiooni norm T¨ahistades f 2 (x) := f (x)f (x), on funktsiooni f C[a, b] norm
b ||f || := f 2 (x) dx a
14.4 Teoreem (homogeensus) |a| = |||a| R, a V
oestus. T~oepoolest, arvutame T~ |a| = (a|a) = 2 (a|a) = 2 (a|a) = |||a|
14.5 ¨ Uhikvektor Vektorit pikkusega 1 nimetatakse u ¨ ¨hikvektoriks. Uhikvektori kohta ¨oeldakse, et ta on normeeritud.
N¨ aide i-1
Vektorid ei := (0, . . . , 0, 1, 0 . . . , 0) on u ¨ hikvektorid (ehk normee- ritud).
14.6 Lause (vektori normeerimine ) a Olgu a = o. Siis on vektor |a| u ¨ hikvektor .
T~ oestus. T~oepoolest, arvutame
a 1 1 = a = |a| = 1 |a| |a| |a| 34 V. Vektorruumid
15 Schwarzi v~orratus ja vektoritevaheline nurk Karl Hermann Schwarz (1843-1921), saksa matemaatik.
15.1 Schwarzi v~ orratus Teoreem 32. Olgu V eukleidiline ruum. Siis
|(a|b)| |a||b| a, b V
T~ oestus. Iga R korral peab kehtima (a - b|a - b) 0. Kasutades skalaarkorrutise omadusi 1 - 3, saame
(a - b|a - b) = 2 (a|a) - 2(a|b) + (b|b) 0
Kui a = o, siis v~orratus ilmselt kehtib. Olgu a = o ning v~ otame
(a|b) = (a|a)
Saame
(a|b)2 (a|a) (a|b)2 - 2 + (b|b) 0 (a|a)2 (a|a)
Taandame esimeses murrus teguri (a, a) ning korrutame saadud v~orratust positiivse arvuga (a|a). Tulemuseks saame
(a|b)2 - 2(a|b)2 + (a|a)(b|b) = -(a|b)2 + (a|a)(b|b) 0
millest omakorda
(a|b)2 (a|a)(b|b) = (a|b)2 |a|2 |b|2 = |(a|b)| |a||b|
mis ongi n~outud v~ orratus. VI. Vektorruumid 35
15.2 Schwarzi v~ orratus reaalses aritmeetilises vektorruumis Olgu a = (1 , . . . , n ) Rn ja b = (1 , . . . , n ) Rn . Siis on Schwarzi v~orratus
|1 1 + · · · + n n | 12 + · · · + n2 12 + · · · + n2
15.3 Schwarzi v~ orratus funktsioonide ruumis Olgu f, g C[a, b]. Siis on Schwarzi v~ orratus
b b b f (x)g(x) dx f 2 (x) dx g 2 (x) dx a a a
15.4 Vektoritevaheline nurk Olgu V eukleidiline ruum. Olgu V a = o ja V b = o. Vektorite a ja b vaheline nurk defineeritakse valemiga
(a|b) cos := , 0 |a||b|
M¨ arkus Selle definitsiooni korrektsus on garanteeritud Schwarzi v~ orratu- sega.
16 Kolmnurga v~ orratus 16.1 Teoreem Olgu V eukleidiline ruum. Siis
|a + b| |a| + |b| a, b V 36 V. Vektorruumid
T~ oestus. Kasutades Schwarzi v~ orratust, arvutame |a + b|2 = (a + b|a + b) = (a|a) + 2(a|b) + (b|b) |a|2 + 2|(a|b)| + |b|2 |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 = |a + b| |a| + |b| mis ongi kolmnurga v~ orratus.
16.2 Kolmnurga v~orratus reaalses aritmeetilises vektorruumis Olgu a = (1 , . . . , n ) Rn ja b = (1 , . . . , n ) Rn . Siis on kolmnurga v~orratus
(1 +1 )2 + · · · +(n +n )2 12 + · · · +n2 + 12 + · · · +n2
16.3 Kolmnurga v~ orratus funktsioonide ruumis Kui f, g C[a, b], siis on kolmnurga v~ orratus b b b (f (x) + g(x))2 dx f 2 (x) dx + g 2 (x) dx a a a
17 Ortogonaalsus ja ristbaas 17.1 Ortogonaalsus ¨ Oeldakse, et eukleidilise ruumi V vektorid a, b V on ortogonaal- sed ehk risti, kui (a|b) = 0. VS-i nimetatakse ortogonaalseks, kui s¨ usteemi iga kaks erinevat vektorit on ortogonaalsed. VS-i nime- tatakse ortonormeerituks, kui 1) ta on ortogonaalne, 2) s¨ usteemi vektorid on u ¨hikvektorid, s.t normeeritud.
N¨ aide Nullvektor on ortogonaalne eukleidilise ruumi iga vektoriga, kaasa arvatud iseendaga. VI. Vektorruumid 37
17.2 Teoreem Ortogonaalne VS, mis ei sisalda nullvektorit, on lineaarselt s~ oltu- matu.< ortogonaalne, s.t
(ai |aj ) = 0 i = j
Peame n¨aitama, et
1 a1 + · · · + n an = o = 0 = 1 = · · · = n
Arvutame
0 = (o|aj ) = (1 a1 + · · · + n an |aj ) = 1 (a1 |aj ) + · · · + j (aj |aj ) + · · · + n (an |aj ) = j (aj |aj )
Et aj = o, siis (aj |aj ) = 0. J¨arelikult j = o (j = 1, . . . , n).
17.3 Ristbaas Eukleidilise ruumi baasi, mis on ortogonaalne, nimetatakse orto - gonaalbaasiks. Eukleidilise ortonormeeritud baasi nimetatakse ka ristbaasiks.
17.4 Teoreem Eukleidilise ruumi ortogonaalne moodustajate s¨ usteem, mis ei si- salda nullvektorit, on baas.
T~ oestus. J¨areldub teoreemist 17.2.
17.5 Teoreem Eukleidilise ruumi ortonormeeritud moodustajate s¨ usteem on ris- tbaas. 38 V. Vektorruumid< eukleidilise ruumi V ristbaas. Siis arenduse
a = 1 e1 + · · · + n en V
jaoks kehtib i = (a|ei ).
T~ oestus. T~oepoolest, arvutame
(a|ei ) = (1 e1 + · · · + n en |ei ) = (1 e1 |ei ) + · · · + (i ei |ei ) + · · · + (n en |ei ) = 1 (e1 |ei ) + · · · + i (ei |ei ) + · · · + n (en |ei ) = i (ei |ei ) = i |ei |2 = i
mis t~oestabki v~orduse.
18 ¨ Ulesandeid 18.1 ¨ Ulesanne Lihtsustada avaldis
2(a + 3c) - 3(2c - b) - 3[2(2a + b - 4c) - 4(a - 2c)] = · · · = 2a - 3b
18.2 ¨ on li- T~oestada, et funktsioonis¨ neaarselt s~oltuv.
18.3 ¨ Ulesanne T~oestada, et funktsioonis¨ on lineaarselt s~oltumatu.
18.4 ¨ lineaarselt s~ oltumatu. VI. Vektorruumid 39
18.5 ¨ on lineaarselt T~oestada, et funktsioonis¨ s~oltumatu.
18.6 ¨ Ulesanne N¨ aidata, et VS
v1 = (1, 2, -1, -2), v2 = (2, 3, 0, -1) v3 = (1, 2, 1, 4), v4 = (1, 3, -1, 0)
moodustab baasi ja arendada vektor x = (7, 14, -1, 2) selle baasi j¨argi. Kontrollida arendust.
18.7 ¨ Ulesanne Leida VS-i astak ja mingi baasalams¨ usteem, juhtvektorid arenda- da baasalams¨usteemi j¨argi. Kontrollida arendusi.
v1 = (1, 0, 0, -1), v2 = (2, 1, 1, 0) v3 = (1, 1, 1, 1), v4 = (1, 1, 3, 4), v5 = (0, 1, 2, 3)
18.8 ¨ Uleasanne Leida (a|b), kui a = 4, b = 12 ja |a - b| = 10.
Vastus (a|b) = 30