Maatriksid (1)

TARTU ¨
ULIKOOL
MATEMAATIKA - INFORMAATIKA  TEADUSKOND
Puhta matemaatika instituut
Aivo  Parring
ALGEBRA  JA  GEOMEETRIA
Tartu 2005
SISSEJUHATUS
K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ˜oppeaastal, kui
muudeti tollase matemaatikateaduskonna ˜oppekavasid. Selle tulemusena
l¨
ulitati ˜oppekavasse algebra ja anal¨
u¨
utilise geomeetria sissejuhatavaid pea-
t¨
ukke k¨asitlev aine ”Algebra ja geomeetria”.  Vahepeal  on elu edasi l¨ainud.
Matemaatikateaduskonnast on juba saanud matemaatika-informaatikatea-
duskond.
Nelja-aastasest  bakalaureuse  ˜oppest on saamas kolmeaastane
bakalaureuse ˜ope. Uue ˜oppekava kohaselt on selle ˜oppeaine maht n¨
u¨
ud 40
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨oks on ette n¨ahtud 80
tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist
harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨
ukki on p¨
uhendatud algebrale
ja kolm viimast peat¨
ukki anal¨
u¨
utilisele geomeetriale. Algebra peat¨
ukkideks
on 1)  maatriksid  ja  determinandid , 2) vektorruum ¨
ule  reaalarvude  ning 3)
lineaarv˜orrandis¨
usteemid. Anal¨
u¨
utilise geomeetria omad on aga 4) vek-
toralgebra, 5)  sirged  ja  tasandid  ning 6)  ellips , h¨
uperbool,  parabool  ja
ulevaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ˜oppeainet loetakse  matemaa -
tika-informaatika, f¨
u¨
usika-keemia ja haridusteaduskonna ¨
uli˜opilastele.
Ei saa mitte kuidagi j¨atta m¨arkimata, et matemaatilist teksti tuleb
omandada laua taga  pliiatsi  ja paberiga. Valemite teisendamisel peate alati
iga v˜ordusm¨ argi  puhul k¨
usima endalt, miks ta kehtib. Nende  loengute  autor
soovitab  siiralt, et Te iga v˜ordusm¨argi kohale kirjutaksite valemi numbri,
mis selgitab ¨
ulemineku ˜oigsust. ˜
Oige pea Te m¨arkate, et matemaatilise teks-
ti omandamine on t˜oesti meeldiv tegevus. Hea lugeja, j˜oudu s¨
ustemaatilisele
t¨o¨ole.
K¨aesoleva ˜oppevahendi joonised on arvutil teinud ¨
uli˜opilane  Marge
Ilmosaar. S¨
udamlik t¨anu talle selle eest.
1
SISUKORD
I. Maatriksid ja determinandid
1. Maatriksi m˜ oiste .  Tehted  ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.  Laplace ’i  teoreem . Determinandi arendamine rea ja  veeru  j¨argi . . . 34
5. Teoreem  maatriksite  korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II. Vektorruum ¨
ule reaalarvude
7.  Vektorruumi  m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate − alamruumi oluline n¨aide . . 53
9.  Vektors ¨
usteemi lineaarne s˜oltuvus ja s˜oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid
uleminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III. Lineaarv˜orrandis¨
usteemid
11. Lineaarv˜orrandis¨
usteemi m˜oiste. Lineaarv˜orrandis¨
usteemi lahendami-
ne Gaussi ehk tundmatute elimineerimise meetodiga . . . . . . . . . . . . . . 69
12. Lineaarv˜orrandis¨
usteemi ¨
uldlahend erilahendi ja fundamentaals¨
ustee-
mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV. Vektoralgebra
14. Suunatud l˜oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
15. Projektsioonivektor ja  projektsioon . Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16. Baas, reeper. Punkti koordinaadid, nende teisenemise valemid ¨
ulemi-
nekul uuele reeperile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17. Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
18. Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2
19. Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
V. Sirged ja tasandid
20. Sirge v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21. Tasandi v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
22. Punkti kaugus sirgeni ja tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
23. Nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . 184
VI. Ellips, h¨
uperbool ja parabool. ¨
Ulevaade teist j¨arku pindadest
24. Ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
25. H¨
uperbool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
26. Ellipsi ja h¨
uperbooli juhtsirged . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
27. Parabool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
28.
Ulevaade teist j¨arku pindadest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3
I. MAATRIKSID JA DETERMINANDID
1. MAATRIKSI M ˜
OISTE. TEHTED JA NENDE OMADUSED
1.1. ¨
Uldm˜
oisted
Olgu R reaalarvude hulk. K˜oike, mida saab teha reaalarvudega, eel-
dame lugejale teadaolevaks.
Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja
veerud ning on paigutatud ¨umarsulgudesse, nimetatakse  maatriksiks .
Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n  veergu , nime-
tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle
maatriksi m˜o˜otmeteks.
Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne,
s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja  veer -
gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse  ristk ¨ulikmaatriksiks. Ruut-
maatriksit m˜o˜otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks.
Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest  maatriks  koosneb, nimetatakse
maatriksi elementideks.
Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega,
n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe  indeksiga . Neist esimene ¨
utleb
mitmendas  reas ja teine mitmendas  veerus  see element maatriksis asub.
N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine