Maatriksid (1)

TARTU ¨
ULIKOOL
MATEMAATIKA - INFORMAATIKA  TEADUSKOND
Puhta matemaatika instituut
Aivo  Parring
ALGEBRA  JA  GEOMEETRIA
Tartu 2005
SISSEJUHATUS
K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ˜oppeaastal, kui
muudeti tollase matemaatikateaduskonna ˜oppekavasid. Selle tulemusena
l¨
ulitati ˜oppekavasse algebra ja anal¨
u¨
utilise geomeetria sissejuhatavaid pea-
t¨
ukke k¨asitlev aine ”Algebra ja geomeetria”.  Vahepeal  on elu edasi l¨ainud.
Matemaatikateaduskonnast on juba saanud matemaatika-informaatikatea-
duskond.
Nelja-aastasest  bakalaureuse  ˜oppest on saamas kolmeaastane
bakalaureuse ˜ope. Uue ˜oppekava kohaselt on selle ˜oppeaine maht n¨
u¨
ud 40
tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨oks on ette n¨ahtud 80
tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengut ja 20 kahetunnilist
harjutustundi. Loengutest kolm esimest peat¨
ukki on p¨
uhendatud algebrale
ja kolm viimast peat¨
ukki anal¨
u¨
utilisele geomeetriale. Algebra peat¨
ukkideks
on 1)  maatriksid  ja  determinandid , 2) vektorruum ¨
ule  reaalarvude  ning 3)
lineaarv˜orrandis¨
usteemid. Anal¨
u¨
utilise geomeetria omad on aga 4) vek-
toralgebra, 5)  sirged  ja  tasandid  ning 6)  ellips , h¨
uperbool,  parabool  ja
ulevaade teist j¨arku pindadest. K¨aesolevat ˜oppeainet loetakse  matemaa -
tika-informaatika, f¨
u¨
usika-keemia ja haridusteaduskonna ¨
uli˜opilastele.
Ei saa mitte kuidagi j¨atta m¨arkimata, et matemaatilist teksti tuleb
omandada laua taga  pliiatsi  ja paberiga. Valemite teisendamisel peate alati
iga v˜ordusm¨ argi  puhul k¨
usima endalt, miks ta kehtib. Nende  loengute  autor
soovitab  siiralt, et Te iga v˜ordusm¨argi kohale kirjutaksite valemi numbri,
mis selgitab ¨
ulemineku ˜oigsust. ˜
Oige pea Te m¨arkate, et matemaatilise teks-
ti omandamine on t˜oesti meeldiv tegevus. Hea lugeja, j˜oudu s¨
ustemaatilisele
t¨o¨ole.
K¨aesoleva ˜oppevahendi joonised on arvutil teinud ¨
uli˜opilane  Marge
Ilmosaar. S¨
udamlik t¨anu talle selle eest.
1
SISUKORD
I. Maatriksid ja determinandid
1. Maatriksi m˜ oiste .  Tehted  ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.  Laplace ’i  teoreem . Determinandi arendamine rea ja  veeru  j¨argi . . . 34
5. Teoreem  maatriksite  korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II. Vektorruum ¨
ule reaalarvude
7.  Vektorruumi  m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8. Vektorruumi alamruum. Lineaarkate − alamruumi oluline n¨aide . . 53
9.  Vektors ¨
usteemi lineaarne s˜oltuvus ja s˜oltumatus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10. Vektorruumi baas. Vektori koordinaadid. Nende teisenemise valemid
uleminekul uuele baasile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
III. Lineaarv˜orrandis¨
usteemid
11. Lineaarv˜orrandis¨
usteemi m˜oiste. Lineaarv˜orrandis¨
usteemi lahendami-
ne Gaussi ehk tundmatute elimineerimise meetodiga . . . . . . . . . . . . . . 69
12. Lineaarv˜orrandis¨
usteemi ¨
uldlahend erilahendi ja fundamentaals¨
ustee-
mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
IV. Vektoralgebra
14. Suunatud l˜oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
15. Projektsioonivektor ja  projektsioon . Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16. Baas, reeper. Punkti koordinaadid, nende teisenemise valemid ¨
ulemi-
nekul uuele reeperile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17. Skalaarkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
18. Vektorkorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2
19. Segakorrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
V. Sirged ja tasandid
20. Sirge v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
21. Tasandi v˜orrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
22. Punkti kaugus sirgeni ja tasandini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
23. Nurk kahe sirge, kahe tasandi, sirge ja tasandi vahel . . . . . . . . . . . . . 184
VI. Ellips, h¨
uperbool ja parabool. ¨
Ulevaade teist j¨arku pindadest
24. Ellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
25. H¨
uperbool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
26. Ellipsi ja h¨
uperbooli juhtsirged . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
27. Parabool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
28.
Ulevaade teist j¨arku pindadest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3
I. MAATRIKSID JA DETERMINANDID
1. MAATRIKSI M ˜
OISTE. TEHTED JA NENDE OMADUSED
1.1. ¨
Uldm˜
oisted
Olgu R reaalarvude hulk. K˜oike, mida saab teha reaalarvudega, eel-
dame lugejale teadaolevaks.
Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja
veerud ning on paigutatud ¨umarsulgudesse, nimetatakse  maatriksiks .
Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n  veergu , nime-
tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle
maatriksi m˜o˜otmeteks.
Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne,
s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja  veer -
gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse  ristk ¨ulikmaatriksiks. Ruut-
maatriksit m˜o˜otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks.
Definitsioon 1.4. Reaalarve, millest  maatriks  koosneb, nimetatakse
maatriksi elementideks.
Maatriksi kirjapanekuks t¨ahistame tema elemente v¨aikese p˜ohit¨ahega,
n¨aiteks t¨ahega a, mis on varustatud kahe  indeksiga . Neist esimene ¨
utleb
mitmendas  reas ja teine mitmendas  veerus  see element maatriksis asub.
N¨aiteks (m, n)-maatriks n¨aeb v¨alja j¨argmine
 a

11
a12
. . . a1n
 a

 21
a22
. . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .
(1.1)
am1 am2 . . . amn
Selles maatriksis element aij asub i-ndas reas ja j-ndas veerus, ele-
ment  ast asub s-ndas reas ja t-ndas veerus. Kui maatriksi elemendi aij
reaindeks i muutub hulgas Nm := < ja veeruindeks j muutub
hulgas Nn := <, siis me oleme vaadelnud selle maatriksi k˜oiki ele-
mente . Maatriksit (1.1) t¨ahistame tihti ka l¨
uhemalt, juhul kui ei teki kaksi-
pidi m˜oistmist, niinimetatud ¨uldelemendi aij abil,  saades  (aij). Kui teame,
4
kuidas muutuvad indeksid i ja j, siis saame taastada (aij) abil kuju (1.1).
Veel on ¨
uks v˜oimalus t¨ahistada maatriksit (1.1) l¨
uhemalt, nimelt t¨ahistame
teda suure tr¨
ukit¨ahega. Eespool olevat maatriksit (1.1) t¨ahistame t¨ahega
A. Seega v˜oime kirjutada
 a

11
a12
. . . a1n
 a

A =  21
a22
. . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ⇐⇒ A = (aij), i ∈ Nm, j ∈ Nn. (1.2)
am1 am2 . . . amn
Maatriksid


1
1 7
A =
, B = ( 1 −2 3 ) , C =  4  , D = (10)
(1.3)
2 5
−1
on vastavalt (2, 2)-maatriks ehk teist j¨arku maatriks, (1, 3)-maatriks, (3, 1)-
maatriks ja (1, 1)-maatriks ehk esimest j¨arku maatriks. Maatriksite B ja C
kohta ¨oeldakse ka, et nad on vastavalt ¨uherealine ja ¨uheveeruline maatriks.
Definitsioon 1.5. Ruutmaatriksit
 1 0 0 . . . 0 
 0 1 0 . . . 0 


E =  0 0 1 . . . 0 
 . . . . . . . . . . . . . . 
0 0 0 . . . 1
nimetatakse ¨uhikmaatriksiks.
N¨aiteks


1 0 0
1 0
E =
,
E =  0 1 0 
0 1
0 0 1
on vastavalt teist ja kolmandat j¨arku ¨
uhikmaatriksid. ¨
Uhikmaatriksi saab
kirja panna ka l¨
uhidalt ¨
uldelemendi abil, kasutades selleks Kroneckeri s¨um-
bolit δij. Viimane  defineeritakse  valemiga
0, kui i = j
δij :=
.
(1.4)
1, kui i = j
5
N¨aiteks (δij), kus i, j ∈ Nn, on n- j¨arku ¨uhikmaatriks.
Definitsioon 1.6. Me  nimetame  (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks,
kui k˜oik tema elemendid on  nullid . T¨ahistame teda θ abil.
N¨aiteks
 
0
0 0 0
θ =
,
θ =  0 
0 0 0
0
on (2,3)- nullmaatriks  ja (3,1)-nullmaatriks.
Definitsioon 1.7. Maatriksit A nimetame v˜ordseks maatriksiga B,
kui neil on sama palju ridu ja sama palju veerge ning ¨uhesugustel kohtadel
on v˜ordsed elemendid. T¨ahistame A=B.
N¨aiteks maatriksid
 a



11
a12
. . .
a1n
b11
b12
. . .
b1n
 a

 b

A =  21
a22
. . .
a2n
21
b22
. . .
b2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ,
B =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
am1 am2 . . . amn
bm1 bm2 . . . bmn
m˜olemad on (m, n)-maatriksid. Nad on v˜ordsed, s.o. A = B, kui
aij = bij,
∀ i ∈ Nm,
∀ j ∈ Nn.
N¨aiteks valemis (1.3) maatriksid B ja C ei saa olla v˜ordsed, olenemata
elementidest, sest m˜o˜otmed (1,3) ja (3,1) pole ¨
uhesugused.
Definitsioon 1.8. Maatriksi A vastandmaatriksiks, t¨ahistame −A
abil, nimetatakse maatriksit, mille elementideks on maatriksi A elementide
vastandarvud.
Oeldu p˜ohjal maatriksi (1.2) vastandmaatriksiks on
 −a

11
−a12
. . .
−a1n
 −a

−A := 
21
−a22
. . .
−a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .
(1.5)
−am1 −am2 . . . −amn
Vahetult  definitsioonist  1.8 saame
−(−A) = A,
−θ = θ.
6
Maatriksite (1.3) vastandmaatriksid on vastavalt
−1 −7
−A =
,
−B = ( −1 2 −3 ) ,
−2 −5


−1
−C =  −4  ,
−D = ( −10 ) .
1
Definitsioon 1.9. Maatriksi transponeeritud maatriksiks nimetatak-
se maatriksit, mis saadakse antud  maatriksist  ridade ja veergude ¨aravahe-
tamisel . Maatriksi A transponeeritud maatriksit t¨ahistatakse A abil.
N¨aiteks (m, n)-maatriksi (1.2) transponeeritud maatriksiks on (n, m)-
maatriks
 a

11
a21 . . . am1
 a

A :=  12
a22 . . . am2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .
(1.6)
a1n a2n . . . amn
Maatriksite (1.3) korral saame


1
1 2
A =
,
B =  −2  ,
C = ( 1 4 −1 ) ,
D = ( 10 ) .
7 5
3
Uhikmaatriksi korral E = E. Definitsioonist 1.9 saame
(A ) = A.
Transponeeritud maatriksi definitsiooni 1.9 saab kirja panna ka teisiti. Kui
t¨ahistame
 b

11
b12 . . . b1m
 b

A =  21
b22 . . . b2m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ,
(1.7)
bn1 bn2 . . . bnm
siis
bij = aji,
∀ i ∈ Nn,
∀ j ∈ Nm.
(1.8)
Kirjutis (1.6) ning  kirjutised  (1.7) ja (1.8) on samav¨a¨arsed.
7
Definitsioon 1.10. Ruutmaatriksit
 a

11
a12 . . . a1n
 a

 21
a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
an1 an2 . . . ann
nimetatakse s¨ummeetriliseks (kalds¨ummeetriliseks), kui
A = A (A = −A).
(1.9)
Kasutades valemeid (1.7) ja (1.8), saame tingimused (1.9) kirja panna ka
maatriksi elementide abil. Me saame vastavalt
A = A ⇐⇒ aij = aji,
∀ i, j ∈ Nn
ja
A = −A ⇐⇒ aij = −aji,
∀ i, j ∈ Nn.
(1.10)
Kalds¨
ummeetrilise maatriksi korral  valemist  (1.10) me i = j korral saame
aii = −aii ⇐⇒ aii = 0,
∀ i ∈ Nn.
Seega
on
kalds¨
ummeetrlise maatriksi
nn. peadiagonaali elemendid
a11, a22, ..., ann nullid. N¨aiteks maatriksid


1
2 −1
A =  2
3
0  ,
B = (1000)
−1 0 −5
on s¨
ummeetrilised, aga maatriksid


0
1 −5
0 −1
A =  −1 0 −3  ,
B =
1
0
5
3
0
kalds¨
ummeetrilised. ¨
Uhikmaatriks on s¨
ummeetriline, sest E = E. Samas
n-j¨arku nullmaatriks θ on samaaegselt nii s¨
ummeetriline kui ka kalds¨
um-
meetriline, sest θ = θ ja θ = −θ.
Definitsioon 1.11. K˜oikv˜oimalike m˜o˜otmetega maatriksite hulka t¨a-
histame M at abil. K˜oigi (m, n)-j¨arku maatriksite hulka t¨ahistame aga
M at(m, n) abil.
8
1.2. Maatriksite  liitmine , selle omadused
Enne, kui anname maatriksite  liitmise  m˜oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi
meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja
korrutamine . Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine ¨
uhesuguse
olemusega: nimelt v˜oetakse kaks  reaalarvu  kindlas j¨arjekorras ning antakse
eeskiri kuidas nende abil ¨
uheselt m¨a¨arata uus  reaalarv . Juhul kui olete
tuttav kujutuse m˜oistega, siis reaalarvude liitmine ja korrutamine on kuju-
tused
+ :R × R −→ R; (x, y) −→ x + y,
· :R × R −→ R; (x, y) −→ xy.
Kujutiste x + y ja xy leidmist iga x, y ∈ R korral ˜opitakse koolis aastate
kaupa. Seejuures, kui  reaalarvud  x ja y on irratsionaalarvud, siis ilmselt
summa x + y ja korrutis xy j¨a¨avadki oma keerukuse t˜ottu defineerimata.
N¨
u¨
ud, parema viitamise huvides,  paneme  kirja reaalarvude liitmise ja
korrutamise omadused.
1◦ Reaalarvude liitmine ja korrutamine on kommutatiivsed:
x + y = y + x,
xy = yx.
(1.11)
2◦ Reaalarvude liitmine ja korrutamine on assotsiatiivsed:
(x + y) + z = x + (y + z),
(xy)z = x(yz).
(1.12)
3◦ Leiduvad sellised reaalarvud 0 ja 1, et iga reaalarvu x korral
x + 0 = x,
x1 = x.
(1.13)
4◦ Iga reaalarvu x ∈ R jaoks leidub nn. vastandarv
−x, et
x + (−x) = 0.
5◦ Distributiivsused:
x(y + z) = xy + xz,
(1.14)
x(y − z) = xy − xz,
(1.15)
kus lahutamine defineeritakse valemiga
9
x − y := x + (−y).
P¨o¨ordume n¨
u¨
ud tagasi maatriksite juurde. Seejuures ei vaatle me igasu-
guseid maatrikseid, vaid selliseid, mis on ¨
uhesuguste m˜o˜otmetega, n¨aiteks
selliseid, millel on m rida ja n veergu. Seega vaatluse all on maatriksite
hulk M at(m, n).
Definitsioon 1.12. Mistahes kahe (m,n)-maatriksi
 x



11
x12
. . .
x1n
y11
y12
. . .
y1n
 x

 y

X =  21
x22
. . .
x2n
21
y22
. . .
y2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ,
Y =  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
xm1 xm2 . . . xmn
ym1 ym2 . . . ymn
korral hulgast M at(m, n) nende summaks nimetatakse maatriksit, mida
t¨ahistatakse X + Y abil ja defineeritakse valemiga
 x

11 + y11
x12 + y12
. . .
x1n + y1n
 x

X + Y :=  21 + y21
x22 + y22
. . .
x2n + y2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .
(1.16)
xm1 + ym1 xm2 + ym2 . . . xmn + ymn
Paneme t¨ahele, et maatriksite liitmine on ka  kujutus
+ : M at(m, n) × M at(m, n) −→ M at(m, n),
mis defineeritakse tuntud m˜oiste, reaalarvude liitmise, kaudu: maatriksite
X ja Y samadel kohtadel olevad elemendid liidetakse. Maatriksite liit-
mise  definitsiooni saab anda ka kompaktsemalt, kasutades nende maatrik-
site ¨
uldelemente. Nimelt X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n)
saame
X + Y = (zij),
(1.17)
kus
zij := xij + yij,
∀ i ∈ Nm,
∀ j ∈ Nn.
(1.18)
N¨aiteks maatriksite
1
2
3
6 −5 0
A =
,
B =
−3 1 −2
2 −1 1
10
korral
7
−3
3
A + B =
.
−1
0
−1
Maatrikseid
6 −5 0
A = ( 1 2 −3 ) ,
B =
2 −1 1
ei saa aga ¨
uldsegi liita, sest liitmise definitsiooni 1.12 valem (1.16) ei lase
end rakendada. Maatriksite liitmisel on j¨argmised omadused.
1◦ Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme maatriksi
X, Y, Z ∈ M at(m, n) korral
(X + Y ) + Z = X + (Y + Z).
(1.19)
2◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja nullmaatriksi θ ∈ M at(m, n) korral
X + θ = X,
θ + X = X.
3◦ Iga X ∈ M at(m, n) ja tema vastandmaatriksi −X ∈ M at(m, n) korral
kehtib
X + (−X) = θ,
(−X) + X = θ.
4◦ Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.o. mistahes kahe maatriksi
X, Y ∈ M at(m, n)
korral
X + Y = Y + X.
Enne kui t˜oestame need omadused, m¨argime, et t˜oestused tuginevad
tegelikult reaalarvude omadustele (1.11) − (1.15). T˜oestuste l¨abiviimisel
kasutame maatriksite liitmise definitsiooni kompaktsel kujul, mis antakse
valemitega  (1.17) ja (1.18). Soovitame lugejal m˜oned neist t˜oestustest
kirja panna, kasutades maatriksite liitmise detailsemat definitsiooni antuna
valemiga (1.16).
T˜oestame n¨
u¨
ud maatriksite liitmise omadused 1◦ − 4◦.
1◦ Olgu maatriksid X, Y, Z ∈ M at(m, n) antud ¨
uldelementide abil, s.o.
X = (xij),
Y = (yij),
Z = (zij),
∀ i ∈ Nm,
∀ j ∈ Nn.
Valemite (1.17) ja (1.18) abil saame
X + Y = (uij),
(X + Y ) + Z = (vij),
11
kus
uij = xij + yij,
vij = uij + zij = (xij + yij) + zij.
Analoogiliselt saame
Y + Z = (wij),
X + (Y + Z) = (pij),
kus
wij = yij + zij,
pij = xij + wij = xij + (yij + zij).
Reaalarvude liitmise assotsiatiivsuse (1.12) t˜ottu
(xij + yij) + zij = xij + (yij + zij) ⇐⇒ vij = pij
iga i ∈ Nm ja j ∈ Nn korral. Maatriksite v˜orduse definitsiooni 1.7 kohaselt
saame
(X + Y ) + Z = X + (Y + Z). ♠
2◦ Iga X = (xij) ja θ = (oij), kus oij = 0, korral
X + θ = (xij + oij) = (xij + 0) = (xij) = X =⇒ X + θ = X
ja
θ + X = (oij + xij) = (0 + xij) = (xij) = X =⇒ θ + X = X. ♠
3◦ Iga X = (xij) korral hulgast Mat(m, n) valemi (1.5) kohaselt tema
vastandmaatriksiks on −X = (−xij). Seega
X + (−X) = (xij + (−xij)) = (oij) = θ,
(−X) + X = (−xij + xij) = (oij) = θ. ♠
4◦ Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), t¨anu reaalar-
vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame
X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X =⇒ X + Y = Y + X. ♠
Sellega omadused 1◦ − 4◦ on t˜oestatud.
Kasutades vastandmaatriksi m˜oistet, saab maatriksite liitmise abil de-
fineerida  maatriksite  lahutamise .
Definitsioon 1.13. Maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) vaheks, t¨ahistame
X − Y abil, nimetatakse maatriksit
X − Y := X + (−Y ).
12
1.3. Maatriksi korrutamine reaalarvuga
Selles punktis me defineerime reaalarvu ja mistahes m˜o˜otmetega
maatriksi korrutise.
Definitsioon 1.14. Reaalarvu λ ja mistahes m˜o˜otmetega maatriksi X
korrutiseks  nimetatakse maatriksit λX, mille elemendid saame maatriksi X
k˜oigi elementide l¨abikorrutamisel reaalarvuga λ.
Selle definitsiooni kohaselt λ ∈ R ja maatriksi
 x

11
x12
. . .
x1n
 x

X =  21
x22
. . .
x2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
xm1 xm2 . . . xmn
korral
 λx

11
λx12
. . .
λx1n
 λx

λX := 
21
λx22
. . .
λx2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  .
λxm1 λxm2 . . . λxmn
Sama definitsiooni v˜oib anda ka maatriksi ¨
uldelemendi abil:
λ ∈ R,
X = (xij) =⇒ λX := (λxij),
∀ i ∈ Nm,
∀ j ∈ Nn.
N¨aiteks
1
4
2
A =
0 −1 −2
korral
−2 −8 −4
3
12
6
(−2)A =
,
3A =
.
0
2
4
0 −3 −6
Maatriksi  korrutamisel  reaalarvuga on terve rida omadusi. Need on j¨arg-
mised.
Mistahes λ, µ ∈ R ja mistahes X, Y ∈ M at(m, n) korral
1◦
1X = X,
2◦
(−1)X = −X,
3◦
0X = θ,
4◦
λθ = θ,
5◦
(λµ)X = λ(µX),
13
6◦
λ(X + Y ) = λX + λY,
7◦
(λ + µ)X = λX + µX,
8◦
λ(X − Y ) = λX − λY,
9◦
(λ − µ)X = λX − µX.
Nende omaduste t˜oestused tuginevad tegelikult reaalarvude omaduste-
le (1.11)−(1.15). Vaatamata sellele, et nende omaduste t˜oestused on ¨
usna
sarnased, esitame nad siiski k˜oik. T˜oestuseks lisame:
1X = 1(xij) = (1xij) = (xij) = X =⇒ 1X = X,
(−1)X = (−1)(xij) = ((−1)xij) = (−xij) = −X =⇒ (−1)X = −X,
0X = 0(xij) = (0xij) = (oij) = θ =⇒ 0X = θ,
λθ = λ(oij) = (λoij) = (oij) = θ =⇒ λθ = θ,
(λµ)X = (λµ)(xij) = ((λµ)xij) = (λ(µxij) = λ(µX) =⇒
=⇒ (λµ)X = λ(µX),
λ(X + Y ) = λ((xij) + (yij)) = (λ(xij + yij)) = (λxij + λyij) =
= (λxij) + (λyij) = λ(xij) + λ(yij) = λX + λY =⇒
=⇒ λ(X + Y ) = λX + λY,
(λ + µ)X = (λ + µ)(xij) = ((λ + µ)xij) = (λxij + µxij) = (λxij) + (µxij) =
= λ(xij) + µ(xij) = λX + µX =⇒ (λ + µ)X = λX + µX,
λ(X − Y ) = λ(X + (−Y )) = λX + λ(−Y ) = λX + λ((−1)Y ) =
= λX + (λ(−1))Y = λX + ((−1)λ)Y = λX + (−1)(λY ) = λX − λY =⇒
=⇒ λ(X − Y ) = λX − λY,
(λ − µ)X = (λ + ((−1)µ)X = λX + ((−1)µ)X =
= λX + (−1)(µX) = λX − µX =⇒ (λ − µ)X = λX − µX. ♠
Lugejal soovitame toodud t˜oestuste puhul igal  sammul  leida  eestpoolt   viide ,
miks ta kehtib. Lisaks soovitame viia m˜one omaduse t˜oestus l¨abi, kasutades
maatriksi kirjapanekuks detailsemat kuju (1.1).
14
1.4. Maatriksite korrutamine. Omadused
Osutub, et igasuguste m˜o˜otmetega maatrikseid ei saa korrutada. See
on v˜oimalik siis, kui esimese maatriksi veergude arv on v˜ordne teise
maatriksi ridade arvuga.
Definitsioon 1.15.
Maatriksite X ∈ M at(p, q) ja Y ∈ M at(q, r),
kus
 x



11
x12 . . . x1q
y11 y12 . . . y1r
 x

 y

X =  21 x22 . . . x2q
21
y22 . . . y2r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ,
Y =  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  ,
xp1 xp2 . . . xpq
yq1 yq2 . . . yqr
korrutiseks nimetatakse (p, r)-maatriksit
 z

11
z12 . . . z1r
 z

XY :=  21 z22 . . . z2r
. . . . . . . . . . . . . . . . . .  ,
zp1 zp2 . . . zpr
kus
zij := xi1y1j + xi2y2j + . . . + xiqyqj,
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Nr.
(1.20)
N¨aiteks maatriksite




1
−1
1
1
A =  2
1
−2  ,
B = ( 1 −2 3 ) ,
C =  4  ,
D = (10)
−1
3
−3
−1
korral definitsiooni 1.15 kohaselt eksisteerivad j¨argmised maatriksite kor-
rutised


1
−1
1
BA = ( 1 −2 3 )  2
1
−2  = ( −6 6 −4 ) ,
−1
3
−3

 



1
−1
1
1
−4
AC =  2
1
−2   4  =  8  ,
−1
3
−3
−1
14
15
DB = (10) ( 1 −2 3 ) = ( 10 −20 30 ) ,


1
BC = ( 1 −2 3 )  4  = (−10)
−1
ja




1
1
−2
3
CB =  4  ( 1 −2 3 ) =  4
−8
12  .
−1
−1
2
−3
Maatriksite korrutamisel on j¨argmised omadused.
1◦ Maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.o. mistahes kolme
maatriksi X ∈ M at(p, q), Y ∈ M at(q, r) ja Z ∈ M at(r, s) korral
(XY )Z = X(Y Z).
(1.21)
2◦ Mistahes maatriksi X ∈ M at(m, n) ning vastavalt ¨uhikmaatriksite
E1 ∈ Mat(n, n) ja E2 ∈ Mat(m, m) korral
XE1 = X,
E2X = X.
(1.22)
Maatriksite korrutamine on nii liitmise kui ka lahutamise suhtes dist-
ributiivne.
3◦ Mistahes kolme maatriksi X, Y ∈ M at(p, q) ja Z ∈ M at(q, r) korral
(X ± Y )Z = XZ ± Y Z.
4◦ Mistahes kolme maatriksi X ∈ M at(p, q) ja Y, Z ∈ M at(q, r) korral
X(Y ± Z) = XY ± XZ.
(1.23)
Nende omaduste t˜oestamiseks kasutame summeerimism¨arki Σ ja tema
omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t˜oestamine ¨
usna  kohmakas .
N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab Σ abil kirja panna
j¨argmiselt:
q
zij =
xisysj,
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Nr.
(1.24)
s=1
Alustame omaduste 1◦ − 4◦ t˜oestamist.
16
1◦ Maatriksite
X = (xij),
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Nq,
Y = (yij),
∀ i ∈ Nq,
∀ j ∈ Nr
ja
Z = (zij),
∀ i ∈ Nr,
∀ j ∈ Ns
korral toome sisse maatriksite XY , (XY )Z ja Y Z, X(Y Z) ¨
uldelemendid,
t¨ahistades neid j¨argmiselt
XY = (uij),
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Nr,
(XY )Z = (vij),
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Ns,
Y Z = (wij),
∀ i ∈ Nq,
∀ j ∈ Ns,
X(Y Z) = (tij),
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Ns.
Summa m¨argi abil antud maatriksite korrutamise definitsioon, mis antakse
valemiga (1.24), lubab kirjutada
q
uij =
xiayaj,
a=1
r
r
q
vij =
uibzbj =
xiayab)zbj =
b=1
b=1 a=1
r
q
r
q
(xiayab)zbj =
xia(yabzbj) =
(1.25)
b=1 a=1
b=1 a=1
q
r
q
r
xia(yabzbj) =
xia(
yabzbj),
a=1 b=1
a=1
b=1
r
wij =
yibzbj,
b=1
17
q
q
r
tij =
xiawaj =
xia(
yabzbj).
(1.26)
a=1
a=1
b=1
V˜orreldes valemeid (1.25) ja (1.26), saame
vij = tij,
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Ns =⇒ (XY )Z = X(Y Z). ♠
2◦ Maatriksite X = (xij), kus i ∈ Nm, j ∈ Nn, ja n-j¨arku ¨uhikmaatriksi
E1 = (δij) korrutise XE1 = (yij) ¨uldelement avaldub
n
yij =
xisδsj = xij,
∀ i ∈ Nm,
∀ j ∈ Nn,
s=1
mist˜ottu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-j¨arku ¨uhikmaatriks, siis
m
E2X = (
δisxsj) = (xij) = X. ♠
s=1
3◦ Olgu maatriksid X, Y ∈ Mat(p, q) ja Z ∈ Mat(q, r ) antud ¨
uldele-
mentidega
X = (xij),
Y = (yij),
Z = (zij),
mille abil saame leida maatriksite
X ± Y = (uij),
(X ± Y )Z = (wij),
XZ = (tij),
Y Z = (mij),
XZ ± Y Z = (nij)
uldelemendid, saades
q
q
uij = xij ± yij,
wij =
uiszsj =
(xis ± yis)zsj =
s=1
s=1
q
q
q
(xiszsj ± yiszsj) =
xiszsj ±
yiszsj
(1.27)
s=1
s=1
s=1
ja
q
q
tij =
xiszsj,
mij =
yiszsj,
s=1
s=1
18
q
q
nij = tij ± mij =
xiszsj ±
yiszsj.
(1.28)
s=1
s=1
V˜orreldes valemeid (1.27) ja (1.28) omavahel, saame
wij = nij,
∀ i ∈ Np,
∀ j ∈ Nr.
Seega
(X ± Y )Z = XZ ± Y Z. ♠
4◦ Kuna valemi (1.23) t˜oestus on analoogiline eelmise t˜oestusega, siis
j¨atame selle lugejale.
Tavaliselt tuleb korrutada sama j¨arku ruutmaatrikseid, saades tule-
museks sama j¨arku ruutmaatriksi.
1.5. Maatriksite transponeerimise omadused
Maatriksite transponeerimisel on j¨argmised omadused.
1◦ Mistahes maatriksite X, Y ∈ M at(m, n) korral
(X ± Y ) = X ± Y .
2◦ Mistahes a ∈ R ja X ∈ Mat korral
(aX) = aX .
3◦ Mistahes X ∈ Mat(p, q) ja Y ∈ Mat(q, s) korral
(XY ) = Y X .
T˜
oestus. 1◦ N¨
u¨
ud X = (xij) ja Y = (yij), kus X, Y ∈ Mat(m, n),
korral maatriksite
X ± Y = (aij),
(X ± Y ) = (bij),
X = (cij),
Y
= (dij),
X ± Y
= (eij)
uldelemendid avalduvad
aij = xij ± yij,
bij = aji = xji ± yji
(1.29)
19
ja
cij = xji,
dij = yji,
eij = cij ± dij = xji ± yji.
(1.30)
Valemite (1.29) ja (1.30) v˜ordlemisel saame
bij = eij,
∀ i ∈ Nn,
∀ j ∈ Nm,
millest
(X ± Y ) = X ± Y . ♠
2◦ Anname maatriksi X ∈ Mat(m, n) oma ¨
uldelemendi abil, s.o. X =
(xij). Leiame maatriksite
aX = (yij),
(aX) = (zij),
X = (uij),
aX = (vij)
uldelemendid maatriksi X ¨
uldelemendi kaudu. Me saame
yij = axij,
zij = yji = axji,
(1.31)
ja
uij = xji,
vij = auij = axji.
(1.32)
Valemite (1.31) ja (1.32) v˜ordlemisel saame
zij = vij,
∀ i ∈ Nn,
∀ j ∈ Nm =⇒ (aX) = aX . ♠
3◦ Maatriksid X ∈ Mat(p, q) ja Y ∈ Mat(q, r ) olgu antud ¨
uldelemen-
tide abil, s.o. X = (xij) ja Y = (yij). N¨u¨ud maatriksite
XY = (zij),
(XY ) = (uij),
Y
= (vij),
X = (wij),
Y X = (sij)
uldelemendid avalduvad j¨argmiselt:
q
q
zij =
xitytj,
uij = zji =
xjtyti
(1.33)
t=1
t=1
ja
vij = yji,
wij = xji,
q
q
q
sij =
vitwtj =
ytixjt =
xjtyti.
(1.34)
t=1
t=1
t=1
Valemite (1.33) ja (1.34) v˜ordlemisel saame
uij = sij,
∀ i ∈ Nr,
∀ j ∈ Np =⇒ (XY ) = Y X . ♠
20
2. PERMUTATSIOONID
See paragrahv on vajalik ainult j¨argmise paragrahvi jaoks. Meie uuri-
misobjektiks on naturaalarvude alamhulk Nn, erijuhul n¨aiteks N1 ja N2.
Tegelikult v˜oib hulga Nn asemel v˜otta mistahes n  erinevast  naturaalarvust
koosneva  hulga Hn. T¨ahistame edaspidi tema elemente kasvavas j¨arjekorras
h1, h2, ..., hn abil. Seega Hn = <, kus h1