mittehom. dif. erilahend võrrandi üldlahend ja erilahend II järku lineaarne y''+p1(x)y'+p2(x)y=F(x) diferentsiaalvõrrand II järku lineaarse hom. y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x) ja mittehom. y=Y+C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x), kus Y on võrrand üks erilahend ja C 1(x)y1(x) dif.võrrandi üldlahend +C2(x)y2(x) vastava homogeense võrrandi üldlahend II järku lineaarse hom. Kui võrrandi kohta on teada üks erilahend y 1, siis saab alandada võrrandi I dif.võrrandi erilahendi järku dif.võrrandiks leidmine p1 ( x ) dx - ¿ ¿ y2=y1 e¿ ¿ ¿ Kõrgemat järku F(x,y,y',...,y(n))=0 dif.võrrandi üldkuju Kõrgemat järku y=(x,C1,C2, ..., Cn), kus suvalised konstandid C1,C2, ..., Cn saab määrata dif
esinevad vaid esimeses astmes ja nende kordajad sõltuvad vaid x-ist. (5.1) Siin , sest vastasel juhul pole dif.võr. Jagades võrrandi (5.1) mõlemad pooled läbi a(x)-ga, saame: (5.1)' , kus Leiame võrrandi lahendi, otsime korrutist kujul: (5.2) Diferentseerides saame Asendades võrrandisse (5.1)' leiame, et . Võttes ühise teguri sulgude ette, saame: , Et ühe teguri selles korrutises võime vabalt valida, valime selle nii, et: See on eralduvate muutujatega võrrand. Leiame erilahendi See erilahend vastab tingimustele , asendades leitud erilahendi u algsesse võrrandisse, saame: , siit , seega 6. Näited protsessidest, mida kirjeldavad esimest järku dif.võr. Kui mingis protsessid vaadeldav suurus, kasvab või kahaneb kiirusega, mis on võrdne selle suurusega, siis saame võrrandi: (6.1) Vaatleme radioaktiivset lagunemist: Olgu m radioaktiivse aine mass momendil d ja radioaktiivse lagunemise koefitsient, siis saame: (6.2) Siit , seega .
nimetatakse võrrandi F (x;y;y’)=0 lahendiks selles vahemikus kui ta on pidevalt diferentseeruv, (x; y(x); y’(x)) ϵ Ω iga x ϵ (a,b) ning F (x; y (x); y’(x))=0 iga xϵ(a,b) Erilahend : Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse DV lahendit, mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuse andmisel. Esimest järku DV üldlahendist saame erilahendi, kui rahuldame algtingimuse y( x0) = y0 , kus x0 , y0 on etteantud arvud. Kuna n-järku DV üldlahend sisaldab n suvalist konstanti, siis on konstantide määramiseks vaja n algtingimust Tihti esitatakse need kujul : 1. 7.Cauchy ülesanne ehk algväärtusülesanne Cauchy ülesanne esimest järku HDV jaoks: Kus xo,y0 on mingid antud reaalarvud. Lause (Peano teoreem) Olgu f (x;y) pidev kahemuutuja funktsioon piirkonnas D R2. Siis läbi iga punkti (x0; y0) ϵ D
kui ta sisaldab y, y´ ja y´´ esimeses astmes ja ei sisalda nende korrutist. Iga selline võrrand on esitatav kujul y´´+ p(x)y´+ q(x)y = f(x). Kui kordajad p(x)=p ja q(x)=q on konstandid, siis on tegemist konstantsete kordajatega lineaarse teist järku võrrandiga y´´+ py´+ qy =f(x). Kui f(x)0, siis on võrrand mittehomogeenne, kui f(x)=0, siis on võrrand homogeenne. 1. Mittehomogeense võrrandi üldlahend yMHÜ esitatakse tema mingi erilahendi yMHE ja vastava homogeense võrrandi üldlahendi yHÜ summana yMHÜ = yMHE + yHÜ. 2. Homogeense võrrandi üldlahendi leidmine. Karakteristliku võrrandi Homogeense võrrandi 2 k +pk+q=0 lahendid üldlahend yHÜ ____________________________________________ k1k2 C1e k x + C2e k x k1=k2= (C1 + C2x)e x k1=+i, k2=-i ex (C1 cos x + C2 sin x) 19 3
Bernoulli diferentsiaalvõrrandi kuju, teisendamine lineaarseks võrrandiks. 38. Eksaktse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, eksaktsuse tingimus, lahendusmeetod. 39. Euleri ligikaudse lahendusmeetodi arvutusvalem. 40. Lineaarsed konstantsete kordajatega homogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Võrrandi üldkuju, lahendusvalemid kõigil juhtudel. 41. Lineaarsed konstantsete kordajatega mittehomogeensed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Erilahendi leidmine. 42. Lineaarsed teist järku diferentsiaalvõrrandid. Homogeense ja mittehomogeense võrrandi kuju, üldlahend mõlemal juhul. 43. Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid, üldlahend, erilahend. Cauchy ülesanne. 44. Kõrgemat järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid 45. . Harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemid. Lahendusmeetodid, näited. 46. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandi mõiste, üldkuju. Üldlahend ja erilahend
DV: M1(x)M2(y)dx + N1(x)N2(y)dy = 0 Lihtsam n- järku DV y =f (x) 1) Eraldada muutujad Integraalida tagasi n korda kuni y on käes. M 1( x ) N 2 ( y) dx+ dy=0 eeldades , et M 2 ( y ) N 1 (x) ≠0 N 1 (x) M 2( y ) 2) Integreeri 3) Erilahendi leidmine vastavalt algtingimustele Newtoni kehade jahtumise seadus: dT =−λ( T− K) T-keha temp; t-ajahetk; K-ümbritseva dt KK temperatuur
Diferentsiaalvõrrand on homogeenne, kui ta on viidav kujule = F . dx x Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand avaldub kujul dy + p( x ) y = q( x ) , dx dy mille lahend avaldub homogeense võrrandi + p ( x ) y = 0 üldlahendi ja vastava dx mittehomogeense võrrandi mingi erilahendi summana. Homogeenset võrrandit saab teisendada kujule dy dy = -p ( x ) dx , siis lahendamisel saame = ln y = p ( x ) dx + C . y y Konstantsete kordajatega lineaarne diferentsiaalvõrrand (KKLD) Teist järku homogeense KKLD d2y dy a0 2 + a1 + a2 y = 0 dx dx üldlahend avaldub lineaarselt sõltumatute erilahendite lineaarse kombinatsioonina
y 2 dy = x y3 = ln |x| + C1 3 y3 = 3 ln |x| + 3C1 = 3 ln x + C 3 y = 3 ln |x| + C. Erilahendi leidmisel arvestame, et y(1) = 1, seega ka (y(1))3 = 1 ning 1 = 3 ln 1 + C, C = 1. Erilahend on y = 3 3 ln |x| + 1. 3 Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, II variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 3ex + x 2x2 - 3x 2 cos x + 1
Kui q(x)0, siis nimetame vastavat võrrandit lineaarseks homogeenseks diferentsiaalvõrrandiks 11.Lineaarsed konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul y(n)+p1y(n-1)+...+pn-1y'+pny=0. Mittehomogeense DV üldlahend y on esitatav homogeense DC üldlahendi Yh ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* summana y=yh+y*. Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ ... + pn-1y'+ pny = 0. üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) = Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi Pn(k) := kn+ p1kn-1+ ... + pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; ... ; n
üldlahend+mittehomogeense võrrandi erilahend. Seega : y= e-p(x)dx [ ep(x)dx*q(x)dx+c] . Kui sulud avada, siis teine liidetav on homogeense võrrandi üldlahend : y=c* e-p(x)dx 35. Teist järku homogeenne difvõrrand, kolm juhust On antud teist järku homog.dif.võrrand : y''+py'+qy=0 , p ja q on konkreetsed reaalarvud. Üldlahendi leidmiseks piisab kahe lineaarselt sõltumatu erilahendi leidmisest. y=ekx, kus k=const, siis y'=kekx, y''=k2ekx . Asendades need esimesse võrrandisse, same ekx (k2+pk+q)=0, kuna ekx 0, siis k2+pk+q=0. Viimast võrrandit nimetatakse karakteristlikuks võrrandiks. See on ruutvõrand, millel on kaks lahendit. Võimalikud on 3 juhtu: 1) Karakteristliku võrrandi lahendid on reaalsed ja erinevad : k1k2 . Erilahenditeks on funktsioonid y1=ek1x, y2=ek2x , need lahendid on lineaarselt sõltumatud, sest y2/y1const. Üldlahendil
liitmine. Elementaarteisenduste tulemusena saadakse üksteisega sarnased maatriksid, mis vastavad omavahel ekvivalentsetele võrrandisüsteemidele. Ekvivalentsetel võrrandisüsteemidel on ühesugused lahendid. A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Vabad tundmatud muutujad, mis üheski reas ei osutu juhtelementideks LINEAARV ÕRRANDIS ÜSTEEMI ÜLDLAHEND ERILAHENDI JA FUNDAMENTAALSÜSTEEMI KAUDU LVS-i lahendivektor lahendivektor on vektor a=(a1,a2 ,an) kui asendades a1=x1, siis tekib samasus...vms Erilahendivektor erilahend on 1 konkreetne lahend, st kui fikseerida vabad tundmatud Fundamentaalsüsteem - Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0, ...................... ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = 0, ......................
..λn seas on ka paarikaupa erinevaid komplekseid väärtusi.Võrrandi Ly=0 lahenditeks on siis y1=eαxcosβx,y2=eαxsinβx.Võrrandi Ly=0 üldlahend.y=C1eαxcosβx+C2eαxsinβx+...+Cneλnx.III karakteristlike väärtuste seas on kordseid väärtusi.Kui λ1 on reaalne r-kordne karakteristlik väärtus,siis sellisele karakteristlikule väärtusele vastavad funktsioonid y1=eλ1x,y2=xeλ1x;y3=x2eλ1x,...,yr=xr-1eλ1x on konstantsete kordajatega DV Ly=0 lahenditeks.Konstantsete kordajatega DV erilahendi leidmine määramata kordajate meetodil:vaata- me lineaarset konstantsete kordajatega DV p0y(n)+p1y(n-1)+...+pny=f(x).Harilike DV süsteemid üldku- ju:{F1(x,y1,y'1,...,y1n1,y2,y'2,...,y2n2,...,ym,y'm,...,ymnm)=0{F2(x,y1,y'1,...,y1n1,y2,y'2,...,y2n2,...,ym,y'm,...,ymnm) =0{...{Fm(x,y1,y'1,...,y1n1,y2,y'2,...,y2n2,...,ym,y'm,...,ymnm)=0.Arvu n=n1+n2+...+nm nim süsteemi järguks. Normaalkuju:{y1'=f1(x,y1,y2,...,yn){y2'=f2(x,y1,y2,...,yn){...{yn'=fn(x,y1,y2,...,yn).Peano teoreem:olgu
..,pn on konstandid ja f on argumendi y = psin sin x funktsioon. Võrrandi üldlahend avaldub kujul y = yk + y0, kus Yk on vastavad homogeense võrrand y^n + p1y^(n-1) + ... + pny z = pcos = 0 üldlahend ja Y0 on võrrandi mingi erilahend. Erilahendi leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või x^2 + y^2 + z^2 = p^2 määramata kordajate meetodit. J(p, , z) = p^2 sin Tavaliselt p 0, +, 0, 2) ja 0, . Lineaarne diferentsiaalvorrand. Mittehomogeense lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamine.
7 3 1 x 2 = 12 - 2 x1 + 12 x 4 1 5 x3 = - + x 4 6 6 , tähistades x1 = C1, x4 = C2, saame süsteemi üldlahendiks: x1 = C1 7 3 1 x 2 = - C1 + C 2 12 2 12 1 5 x3 = - + C 2 6 6 x4 = C2 Saab kontrollida ka üldlahendit asendades saadud lahendid algsüsteemi, aga mõistlikum on Kontrollida mingit erilahendit. Seega kirjutame välja kas või ühe erilahendi: x1 = C1 = 1 x = C = -1 4 2 x 2 = -1 x3 = -1 Kontroll: 3 1 + 2 (-1) 5 (-1) + 4 (-1) = 2, 3 2 + 5 4 = 2, 2 = 2; 6 1 + 4 (-1) - 4 (-1) + 3 (-1) = 3, 6 4 + 4 3 = 3, 3 = 3; 9 1 + 6 (-1) - 3 (-1) + 2 (-1) = 4, 9 6 + 3 -2 = 4, 4 = 4. Üldise LVS (6.1) lahenduvuse küsimusele annab vastuse Cronecker-Capelli teoreem: Lineaarne võrranditesüsteem (6.1) on lahenduv siis ja ainult siis , kui selle tundmatute kordajate maatriksi (6
7 3 1 x 2 = 12 - 2 x1 + 12 x 4 1 5 , x3 = - + x 4 6 6 tähistades x1 = C1, x4 = C2, saame süsteemi üldlahendiks: x1 = C1 7 3 1 x 2 = - C1 + C 2 12 2 12 1 5 x3 = - + C 2 6 6 x4 = C2 Saab kontrollida ka üldlahendit asendades saadud lahendid algsüsteemi, aga mõistlikum on Kontrollida mingit erilahendit. Seega kirjutame välja kas või ühe erilahendi: - 40 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina x1 = C1 = 1 x = C = -1 4 2 x 2 = -1 x3 = -1 Kontroll: 3 1 + 2 (-1) 5 (-1) + 4 (-1) = 2, 3 2 + 5 4 = 2, 2 = 2; 6 1 + 4 (-1) - 4 (-1) + 3 (-1) = 3, 6 4 + 4 3 = 3, 3 = 3; 9 1 + 6 (-1) - 3 (-1) + 2 (-1) = 4, 9 6 + 3 -2 = 4, 4 = 4. Üldise LVS (6.1) lahenduvuse küsimusele annab vastuse Cronecker-Capelli teoreem:
võrrandi 𝑦 (𝑛) + 𝑝1 𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑝𝑛 𝑦 = 0 üldlahend (2) ja 𝑦0 on võrrandi (4) mingi erilahend. Erilahendi sin 𝜓 ≠ 0. y1 leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või määramata kordajate meetodit. 14
........................... Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st m = n ; |A | 0. TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub
........................... Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1). 17 MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B 0. LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana: XMHÜ = XMHE + XHÜ. CRAMERI PEAJUHTUM DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st m = n ; |A | 0. TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub
3) Ühele reale mingi arvu kordse teise rea liitmine. Vôimalike lahendite arv: 1) Reaalarvulised lahendid puuduvad 2) Lôpmata palju lahendeid 3) Kindel arv lahendeid (konkreetsed arvud vôi konstantidega üldlahend). Lineaarse vôrrandsüsteemi üldlahend: igale muutujale vastab konstante sisaldav avaldis, mis rahuldab süsteemi kôiki vôrrandeid. Nad vôivad olla omavahel avaldiste kaudu seotud. Lineaarse vôrrandsüsteemi erilahend: andes üldlahendi konstantidele väärtusi saab erilahendi. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. Lineaarse vôrrandsüsteemi maatrikskuju: AX=B; A=(aij), i=1,...,m ja j=1,...,n. X muutujate maatriks; B vabaliikmete maatriks; A kordajate e. süsteemimaatriks. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamisest maatrikskujul. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga. Lineaarse vôrrandsüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga: elementaarteisendusi kasutades tuleb tekitada
Hessi matriks e hessiaan. DV sisaldab muutujat y ja ning selle erinevat järku tuletisi aja järgi funktsioonist y=f(t); dy/dt jne. DV lahendiks y(t) on seega avaldis, mis sisaldab muutujana ainult aega t. DV lahend koosneb tavaliset erilahendis ja täiendfun-ist. Erilahend on selline muutuja y väärtus, mille korral y ajas ei muutu-tasakaaluväärtus. Täiendfun on ajas sõltuv fun, mis krjeldab muutuja y liikumist tasakaaluväärtuse ümber. Üldlahend- erilahendi ja täiendfun summa. Diskreetse aja korral muutub fun-i y väärtus alles siis, kui muutuja t omandab uue täisarvulise väärtuse. Diferentsvõrrandi abil on võimalik hinnata tasakaalu stabiilsust. Eksponentfun-x nim fun, kus muutuja on astendaja y=ax (lisating a>0, a ei tohi =1). Eksponentfun pöördfun on logaritmfun. Y=loga x (kus a>0, a e.t.= 1). Logfun väärtus y on selline astendaja, millega arvu a astendades saame tulemuseks muutuja x väärtuse
puuduvad. Lahendite arv: lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui n = k on süsteemil ainult üks lahend k < n aga on süsteemil lõpmata palju lahendeid Üldlahend sisaldab tundmatut C, mis võib omandada mis tahes reaalarvulisi väärtusi. Erilahendi korral on C-le antud konkreetne arvuline väärtus. 8. Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju. Maatrikskujul antud võrrandisüsteemi lahendamisest. maatrikskuju: AX = B. võrrand, kus maatriks ise on otsitavaks. süsteemil on üks lahend, kui süsteemi maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 (detA on nullist erinev) ja võrrandeid ja tundmatuid on ühepalju (m = n). lahend avaldub: X = A-1B näiteks: Crameri valemid: 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III. Lineaarv~orrandis¨ usteemid 11. Lineaarv~orrandis¨ usteemi m~oiste. Lineaarv~orrandis¨ usteemi lahendami- ne Gaussi ehk tundmatute elimineerimise meetodiga . . . . . . . . . . . . . . 69 12. Lineaarv~orrandis¨ usteemi u ¨ldlahend erilahendi ja fundamentaals¨ ustee- mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV. Vektoralgebra 14. Suunatud l~oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III. Lineaarv˜orrandis¨ usteemid 11. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi m˜oiste. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi lahendami- ne Gaussi ehk tundmatute elimineerimise meetodiga . . . . . . . . . . . . . . 69 12. Lineaarv˜orrandis¨ usteemi u ¨ldlahend erilahendi ja fundamentaals¨ ustee- mi kaudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 13. Crameri peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 IV. Vektoralgebra 14. Suunatud l˜oikude vektorruum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15
6x1 + 4x2 - 7x3 - 5x4 = - 6 3x1 + x2 - 4x3 + 7x4 = 10 puuduvad lahendid. Uurida (selgitada) p~ ohjust. 5.4 Lahendite arvust Teoreem 5. Koosk~ olalisel LVS-il 1.1 on 1) parajasti u ¨ks lahend kui n = r(A), 2) l~ opmata palju lahendeid, kui n > r(A). 6 ¨ Uld- ja erilahend 6.1 ¨ Uld- ja erilahendi m~ oiste LVS-i u¨ldlahend on selline parameetritest s~ oltuv lahend, mis ra- huldab j¨argmist tingimust: parameetritele arvv¨ aa ¨rtuste omistami- se teel on v~oimalik saada antud LVS-i k~ oik lahendid. Lahendeid, mis saadakse u ¨ldlahendist parameetritele (k~ oigile v~oi osale neist) arvv¨
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kontrolltöö teemad 1. Pöördmaatriks ja selle leidmine ridade elementaarteisendustega. Maatriksvõrrandite lahendamine. 2. Maatriksi astaku leidmine. 3. Gauss'i meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahendi leidmine. Eksamiteemad 1. Pöördmaatriksi mõisted. Ruut-, ühik- ja nullmaatriks. Regulaarne ja singulaarne maatriks. 2. Maatriksi astak ja selle leidmine. 3. Lineaarvõrrandisüsteemi mõiste, lahend, süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 4. Kronecker'i-Capelli teoreemi sõnastus. Cramer'i peajuht. 5. Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Süsteemi üld- ja erilahend. Homogeenne lineaarvõrran- disüsteem. Triviaalne lahend.
annaabi.ee 
