29. Muutuja vahetus kahekordses integraalis, üleminek polaarkoordinaatidele 30. Kolmekordse integraali mõiste, arvutamine. 31. Muutuja vahetus kolmekordses integraalis, üleminek silindrilistele ja sfäärilistele koordinaatidele. Kolmekordse integraali rakendused: keha ruumala ja massi valem. III osa Diferentsiaalvõrrandid (15 punkti) 32. Diferentsiaalvõrrandi mõiste, liigitus, järk. 33. . Diferentsiaalvõrrandi üldlahend, erilahend. Integraalkõver. Cauchy ülesanne. Lahendi olemasolu ja ühesuse teoreem 34. Esimest järku harilikud diferentsiaalvõrrandid. Eraldatud ja eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandite mõisted, lahendamine. 35. Homogeense diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine. 36. Murdlineaarset avaldist sisaldava diferentsiaalvõrrandi taandamine homogeenseks võrrandiks. 37. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldkuju, lahendamine
Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga · Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine.
2. Dif.võr geomeetriline tõlgendus Esimest järku võrrandi ligikaudne lahendamise idee. Vaatleme esimest järku dif.võr. (2.1) See võrrand määrab igas tasapinna punktis P(x,y) tuletise y' väärtuse. Tuletis on aga võrdne integraaljoone tõusuga (täisnurgatang). Järelikult saame selle funktsiooni f(x,y) määramispiirkonnas suunavälja või vektorvälja . Iga lahendi integraaljoon läbib suunavälja nii, et igas punktis puudutab ta vektorvälja vektorit . erilahend, mis rahuldab algtingimust läbib punkti P( x0 , y0 ). Selline geomeetriline tõlgendus võimaldab dif.võr ligikaudselt lahendada. Algpunktis P( x0 , y0 ) leitakse tõus ja liigutatakse sirgjoont mööda punktini P1( x1 , y1 ), kus . Seejärel leitakse tõus ja jätkatakse mööda sirget kuni punktini P2( x2 , y2) . Saadud murdjoont nim Euleri murdjooneks. 3. Eralduvate muutujatega võrrand Esimest järku dif.võr (3.1)
Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate otsitava järk funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi üldlahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, üldlahend mis sisaldab suvalist konstanti C Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, erilahend mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuste andmisel Cauchy ülesanne Cauchy ülesandeks nimetatakse ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi F(x,y,y',...,y(n))=0 lahend y, mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, y'(x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 Lahendi olemasolu ja Olgu f(x,y) ja f'y määratud ja pidevad muutujate x,y piirkonnas D. Siis iga
Mat mudel koosneb- võrranditest, mis kirjeldavad faktorite käitumist ja seovad muutujaid omavahel. Sellega antakse analüütilised eeldused, mis on aluseks loogiliste järelduste tegemisel. Koostisosad:muutuja, parameetrid, funktsioon, võrrand, samasusvõrrand, käitumisvõrrand, tasakaaluvõrrand. MMT eelised: *konkreetsus, täpsus probleemi püstitamisel *hea jälgitavus igal etapil: kui on eeldused siis ka järeldused. 5)n-dat järki dif võrrandi üldlahend, erilahend -n-dat järku DV üldkuju: F(t, y(t), y´(t), y´´(t),.., y(n) (t))=0 üldlahendiks: on n konstandist C1 , C2 ,...,Cn =0 ja argumendist t sõltuv fun. Y= (t, C1, C2, ..., Cn). Iga lahend mis saadakse üldlahendist konstantide C1,C2, ..., Cn arvuliste väärtuste puhul, on DV erilahend. 6) ilmutamata ja ilmutatud funktsioonid, ilmutamata funtsiooni teoreem. Ilmutamata fun.teoreem-1) fun-il F pidevad osatuletised Fy, F1, Fm punkti (y 0 ,x10 ,.., xm0 ) mingis ümbruses 2)punktis (y0 ,x10 ,.
DV II teooriatöö kordamisküsimused 1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. V: Kõrgemat järku harilikud diferentsiaalvõrrandid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0, kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y(n-1)) (1) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1,
x4 on vaba 3. Antud laiendatud maatriks 1 0 -7 8 5 2 0 1 2 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Selle maatriksi LVS erilahend on x1 = 2 + -7x3 - 8x4 + 5x5 x1 =8 x1 =5 x1 =1 x1 =0 x = -2x3 + 9x5 x2 =0 x2 = -1 x2 =1
y=y(x,C1,...,Cn),mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1,...,Cn ja mille puhul iga punkti (x0,y0,.., y0 0 0 0 0 )€D jaoks leiduvad konstantide väärtused C1 , C2 ,.., Cn 0 . nii,et lahend y=y(x, C1 , .. ,C n ) rahuldab algtingimust (2). Erilahend on lahend,mis on saadud konst. fikseerimisega. Lihtsamate n-järku DV lahendamine Üldkuju F(x,y,y’,.., y n ¿. Vaatame võrrandit kujul n−1 dy y n=f ( x ) , et y n = , siis dx
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {..
x-telje suhtes normaalseks piirkonnaks Dk vastavalt rajajoontega Гk. Et iga y-teljega paralleelset sirglõiku, mis eraldab kaht normaalset piirkonda, läbitakse kokkuvõttes kahes suunas, siis dx= dx= - ydxdy =- ydxdy, st seos kehtib. Kasutades piirkonda D={(x,y)} ( ׀c y d) ˄ ( (y) (y))}, saab analoogiliselt näidata dy= x dxdy. 6. Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend.Erilahend. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni, selle tuletisi ja argumenti. Harilik diferentsiaalvõrrand - otsitav on ühe muutuja funktsioon. y’’+y=2ex Üldjuhul võib hariliku diferentsiaalvõrradit esitada kujul F(x.y,y’,y’’,y(n))=0 I järku HDV üldkuju F(x,y,y’)=0 I järku HDV normaalkuju on y’=f(x,y) I järku HDV sümmeetriline kuju on M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Osatuletistega diferentsiaalvõrrand - otsitav on mitme muutuja funktsioon.
pöördmaatriks ja täh B = A-1. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus A on ruutmaatriks ja maatriksi A determinant ei vôrdu nulliga. Pöördmaatriksi leidmise eeskiri: A-1=(1/|A|)*(Aik)T. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarne vôrrandisüsteem Olgu antud n muutujat, x1, x2, x3,...,xn ja arvud a1, a2, a3, ..., an, saame muutujate suhtes lineaarse vôrrandi a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, kui meil on m lineaarset vôrrandit samade muutujate suhtes, saame lineaarse vôrrandisüsteemi. Lineaarse vôrrandsüsteemi normaalkuju (a kordaja, x muutuja, b vabaliige): a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ................
Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .................................................................................................26 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. ......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend, üldlahend, erilahend, singulaarne lahend. ............................................................................................................................................28 46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega .................29 diferentsiaalvõrrandi lahendamist. .................................................................................................29 47. Homogeenne diferentsiaalvõrrand, kirjeldada homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamist
A2 + . . .. Seega üldisemal juhul Ruumilise kujundi pindala, kus A(x) on vastava ristlõike pindala: 𝑏 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑔2 (𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 39. Diferentsiaalvõrrand (definitsioon). DV-i järk, lahendid ja liigitus (osata määrata järku, liigitada ja kontrollida, kas funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Diferentsiaalvõrrandi järk on diferentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk. DV-i lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse. Kõigi DV-e lahendamisel saadakse kõigepealt üldlahend, millest siis rajatingimusi (algtingimusi) kasutades leitakse sobiv erilahend. Seega, n-järku DV-il on lõpmata palju lahendeid ja need on esitatavad kujul y = φ(x, C1, C2, . . . , Cn), kus konstandid C1, C2, . .
võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada 3) transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit: (A B) = maatriksi elementaarteisendused: Kahe rea (võrrandi) asukoha vahetamine
l x y y y Joonis 13.4 · selle nõtkunud varda differentsiaalvõrrandi lahenditeks on: üldlahend: v1 = C1 sin kx + C 2 cos kx ja erilahend: v2 = f, kokku komplekslahend: v = C1 sin kx + C 2 cos kx + f , kus: C1, C2 integreerimiskonstandid; · integreerimiskonstandid avaldatakse v = 0 piiritingimustest: kui x = 0, siis = 0
b ∫ f (x ) dx=¿ a Kuidas arvutatakse: 32. Määratud integraali rakendusi (pindala, ruumala, kaare pikkus, töö, masskese, f-ni keskmine väärtus). Rakendused: 1) kujundi pindala 2) kujuni ruumala 3) joon kaare pikkus 4) töö arvutamine 5) kujunid masskese 6) funktsiooni keskmine väärtus 33. Diferentsiaalvõrrand (DV) (definitsioon). DV-i järk, lahendid ja liigitus (osata määrata järku, liigitada ja kontrollida, kas funktsioon on lahendiks). Üldlahend ja erilahend. Definitsioon: võrrandit, mis sisaldab sõltumatut muutujat x, tundmatut funktsiooni y=f(x) ja selle tuletisi nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks (DV- ks) Diferentsiaalvõrrandi järk: on differentsiaalvõrrandis esinevate tuletiste kõrgeim järk DV lahendiks: nimetatakse iga funktsiooni y=f(x), mille asetamisel võrrandisse saame samasuse Liigitus: toimub - JÄRK; LINERAARSUS; HOMOGEENSUS 34. Eraldatud ja eralduvate muutujatega DV (definitsioon).
ridadega (alt üles), saavutamaks olukorda, kus nullist erinevate elementide a11, a22, . . . , arr kohal olevad elemendid on nullid. Soovitav oleks, et elemendid a11, a22, . . . , arr oleksid arvud 1. 6) Kirjutada välja lähtesüsteemiga ekvivalentne süsteem. 7) Avaldada sellest süsteemist baasitundmatud vabade tundmatute kaudu. 8) Kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHÜ = B, AXHÜ = 0. 9) Kirjutada (võimalusel, vajadusel) välja mittehomogeense võrrandi erilahend XMHE ja kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHE = B. 10) Kirjutada (vajadusel) välja homogeense süsteemi AX = 0 normaalne lahendite fundamentaalsüsteem X1, X2, . . . , Xn-r . Kontrollida maatrikskujul, et igaüks neist on homogeense süsteemi erilahend: AXk = 0, k = 1, 2, . . . , n-r . 19
ridadega (alt üles), saavutamaks olukorda, kus nullist erinevate elementide a11, a22, . . . , arr kohal olevad elemendid on nullid. Soovitav oleks, et elemendid a11, a22, . . . , arr oleksid arvud 1. 6) Kirjutada välja lähtesüsteemiga ekvivalentne süsteem. 7) Avaldada sellest süsteemist baasitundmatud vabade tundmatute kaudu. 8) Kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHÜ = B, AXHÜ = 0. 9) Kirjutada (võimalusel, vajadusel) välja mittehomogeense võrrandi erilahend XMHE ja kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHE = B. 10) Kirjutada (vajadusel) välja homogeense süsteemi AX = 0 normaalne lahendite fundamentaalsüsteem X1, X2, . . . , Xn-r . Kontrollida maatrikskujul, et igaüks neist on homogeense süsteemi erilahend: AXk = 0, k = 1, 2, . . . , n-r . 19
= ln |x| + C1 3 y3 = 3 ln |x| + 3C1 = 3 ln x + C 3 y = 3 ln |x| + C. Erilahendi leidmisel arvestame, et y(1) = 1, seega ka (y(1))3 = 1 ning 1 = 3 ln 1 + C, C = 1. Erilahend on y = 3 3 ln |x| + 1. 3 Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, II variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 3ex + x 2x2 - 3x 2 cos x + 1 lim , lim , lim x 300 - x x x3 - 3x x4 (x2 - 16)2
37. Olgu a0 , a1 ,…. an reaalarvud. Diferentsiaalvõrrandit kujul F( x , y , y ´ , y ´ ´ … y(n) =0 nimetatakse n-järkus DV-ks. N-järku DV-ks on ka võrrand y(n) = f(x) (n ) (n−1) 38. DV-t kujul a0 y + a1 y +...+ an−1 y ´ + an y=0 nimetatakse konstantsete kordajatega homogeenseks lineaarseks n-järku DV-ks. 39. Lineaarse konstantsete kordajatega mittehomogeense teist järku DV erilahend: a. y ü= y h + y e 40. . Diferentsaalvõrrandite rekendused: a. 1. Kehade jahtumine d. 4. Keemiliste ainete reaktsioonid b. 2. Elektriahelad e. 5. Vabavõnkumine c. 3.Eksponentsiaalne kasvamine ja f. 6. Harmooniline võnkumine kahanemine g. 7. Sundvõnkumine h.
Karakteristliku võrrandi Homogeense võrrandi 2 k +pk+q=0 lahendid üldlahend yHÜ ____________________________________________ k1k2 C1e k x + C2e k x k1=k2= (C1 + C2x)e x k1=+i, k2=-i ex (C1 cos x + C2 sin x) 19 3. Mittehomogeense võrrandi erilahendi leidmine DV parem pool f(x) Tingimus Mittehomogeense võr- randi erilahend y MHE a) Pn(x) 0 ei ole kar. Qn(x)=B0xn+...+Bn _ võrr. lahend _____________________________ 0 on kar. võrr. lahend xQn(x) b) exPn(x) ei ole kar. exQn(x) võrr. lahend ____________________________ on kar.võrr. xkexQn(x) k-kordne lah. ______________________________________________
kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks Maatriksis on tundmatute kordajad. Laiendatud maatriks Lisatud on ka vabaliikmed. (viimane veerg) 7 LVS-i üldlahend Reaalarve x1 = α1, x2 = α2, . . . , xn = αn nimetatakse lineaarvõrrandisösteemi lahendiks, kui nende arvude asendamisel tema võrranditesse tundamatute asemel saame samasused. LVS-i erilahend Kui avaldame juhtelemendid vabade tundmatutega ja asendame vabad tundatud mingite arvudega, siis saame erilahendid. LVS-i elementaarteisendused Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendusteks nimetatakse 1. tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2. tema mingile võrrandile teise mistahes reaalarvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist 3. süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist.
Ta on üksühene. on tükiti sile, siis Xdx + Ydy = D(Yx Xy)dxdy kusjuures rajajoont läbitakse positiivses suunas. Osatuletised xu,xv,yu ja yv on pidevad piirkonnas . Teisenduse jakobiaan : J(u,v) := |xu xv| <> 0, (u,v) c Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend. Erilahend. |yu yv| Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis seob otsitavat funktsiooni tema tuletiste ja sõltumatute muutujatega. Harilik Kui funktsioon (x,y) on pidev piirkonnas D ja teisendus (u,v) (x,y) on regulaarne piirkonnas ning teisendab piirkonna diferentsiaalvõrrand otsitav on ühe muutuja funktsioon y'' + y = 2ex
funktsioonid. Mittehomogeenne: y'+p(x)y=q(x) (1) Homogeenne: y'+p(x)y=0 (2) Homogeenses dif.võrrandis saab muutujaid eraldada. dy/dx=-p(x)y (dy/y)=-p(x)dx lny=-p(x)dx+lnc elny=c*e-p(x)dx See on homogeense võrrandi üldlahend Teoreem: Mittehomogeense võrrandi (1) üldlahend=homoheense võrrandi üldlahend+mittehomogeense võrrandi erilahend. Seega : y= e-p(x)dx [ ep(x)dx*q(x)dx+c] . Kui sulud avada, siis teine liidetav on homogeense võrrandi üldlahend : y=c* e-p(x)dx 35. Teist järku homogeenne difvõrrand, kolm juhust On antud teist järku homog.dif.võrrand : y''+py'+qy=0 , p ja q on konkreetsed reaalarvud. Üldlahendi leidmiseks piisab kahe lineaarselt sõltumatu erilahendi leidmisest. y=ekx, kus k=const, siis y'=kekx, y''=k2ekx
t. a1 = a2 = . . . = am = 0. Mittehomogeenne LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse mittehomogeenseks, kui vähemalt üks vabaliige on nullist erinev. LVS-i maatriks ja laiendatud maatriks Maatriksit nimetatakse vastavalt lineaarvõrrandisüsteemi (1) maatriksiks ja lineaarvõrrandisüsteemi (1) laiendatud maatriksiks. Võrrandisüsteemi (1) saame nüüd kirja panna ka maatrikskujul: LVS üldlahend fikseeritud reaalarvude komplekt x1 = 1 jne... LVS erilahend Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = 1, x2 = 2, . . . , xn = n nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi (1) lahendiks ehk erilahendiks, kui nende arvude asendamisel süsteemi (1) võrranditesse tundmatute asemele same samasused. Lahenduv LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse lahenduvaks, kui tal leidub vähemalt üks lahend Vastuoluline LVS - Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse vastuoluliseks ehk vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid.
59. LVS-i maatriks - maatriks A a11 a 12 … a1 n A= a21 a 22 … a2 n am 1 am 2 … amn ' 60.laiendatud maatriks- maatriks A a11 a12 … a1 n a1 A= a21 a22 … . a2 n a2 am 1 am 2 … amn an 61.LVS-i üldlahend – Kõigi lahendite komplekt x 1=α 1 ; x 1=α 1 Kus α1 sisaldab kõiki x 1 lahendeid 62.LVS- erilahend – ühe konkreetse lahendi komplekti x 1=γ 1 ; x i=γ i kus γ i ∈ R 63.Elementaarteisendused – Ühe võrrandi läbi korrutamine mistahes nullist erineva reaalarvuga Ühele võrrandile mistahes reaalarvuga läbikorrutatud teise võrrandi liitmine 64.Lahenduv LVS- LVS-il leidub vähemalt üks lahend 65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine
Nende arv peaks alati olema väiksem kui sõltumatute muutujate arv fun-is. Kontrollimaks, kas kitsendustega optim-l leitud kriitilised punktid on ekstreemump,koostatakse maatriks mida nim laientatud hessiaaniks. Hessi matriks e hessiaan. DV sisaldab muutujat y ja ning selle erinevat järku tuletisi aja järgi funktsioonist y=f(t); dy/dt jne. DV lahendiks y(t) on seega avaldis, mis sisaldab muutujana ainult aega t. DV lahend koosneb tavaliset erilahendis ja täiendfun-ist. Erilahend on selline muutuja y väärtus, mille korral y ajas ei muutu-tasakaaluväärtus. Täiendfun on ajas sõltuv fun, mis krjeldab muutuja y liikumist tasakaaluväärtuse ümber. Üldlahend- erilahendi ja täiendfun summa. Diskreetse aja korral muutub fun-i y väärtus alles siis, kui muutuja t omandab uue täisarvulise väärtuse. Diferentsvõrrandi abil on võimalik hinnata tasakaalu stabiilsust. Eksponentfun-x nim fun, kus muutuja on astendaja y=ax (lisating a>0, a ei tohi =1)
. . . . . . . . 18 2.4 Maatriksi astak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Lineaarvõrrandisüsteemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.6 Cramer'i peajuht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7 Gauss'i elimineerimise meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.8 Süsteemi üldlahend ja erilahend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Funktsioonid ja jadad 25 3.1 Funktsiooni mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Üksühesus ja pealekujutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝜕2 𝑧 𝜕2 𝑧 = {(x, y) |(a ≤ x ≤ b) ∧ (ϕ (x) ≤ y ≤ ψ (x))} ,kus funktsioonid ϕ(x) ja ψ(x) on mingid pidevad funktsioonid lõigul [a, 9. Diferentsiaalvõrrandi mõiste. Üldlahend. Erilahend. Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis 2. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. 𝐴 ≔ 𝜕𝑥 2 , 𝐵 ≔ 𝜕𝑦 2 , b] , nimetatakse normaalseks piirkonnaks xy-tasandil (x-telje suhtes)
lahend; 40. kui leidub ridu, milles ei ole veel juhtelementi valitud ja mille n 1 esimese elemendi hulgas on nullist erinevaid elemente, siis valida nende hulgast uus juhtelement ( soovitavalt 1 või -1) ja jätkata algoritmi täitmist punktist 3; 41. kirjutada välja saadud maatriksile vastav LVS ja avaldada juhtelementidele vastavat tundmatud; 42. vormistada süsteemi üldlahend (kui see leidub), baaslahend (kui see leidub) ja erilahend (kui see leidub). Kui maatriksitele A ja B vastavad lineaarvõrrandite süstemid omavad ühesuguseid lahendeid, siis tähistatakse seda kujul A ~ B . Ülesannete lahendamisel kirjutatakse laiendatud maatriksite juurde nendega sooritatavad ridade elementaarteisendused. Näide3: x1 - 2 x 2 - 3x3 = -12 2 x1 - 3 x 2 + x3 = -1 x + 2x - x = 2 Lahendada LVS 1 2 3
5. kui leidub ridu, milles ei ole veel juhtelementi valitud ja mille n 1 esimese elemendi hulgas on nullist erinevaid elemente, siis valida nende hulgast uus juhtelement ( soovitavalt 1 või -1) ja jätkata algoritmi täitmist punktist 3; 6. kirjutada välja saadud maatriksile vastav LVS ja avaldada juhtelementidele vastavat tundmatud; 7. vormistada süsteemi üldlahend (kui see leidub), baaslahend (kui see leidub) ja erilahend (kui see leidub). Kui maatriksitele A ja B vastavad lineaarvõrrandite süstemid omavad ühesuguseid lahendeid, siis tähistatakse seda kujul A ~ B . Ülesannete lahendamisel kirjutatakse laiendatud maatriksite juurde nendega sooritatavad ridade elementaarteisendused. Näide3: x1 - 2 x 2 - 3 x3 = -12 Lahendada LVS 2 x1 - 3 x 2 + x3 = -1 Gauss- Jordani meetodiga. x + 2x - x = 2 1 2 3 Lahendus:
Diferentsiaalvõrrandi lahendamine xv(t)=xvvl(t)+xvsl(t) xvvl(t) on vabaliikmete komponent, mis kajastab süsteemi muutumist juhul kui puudub väline toime või kui see on minimaalne. xvsl(t) on sundliikmete komponent, mis kajastab süsteemi parameetrite muutumist välise toime olemasolul. Diferentsiaalvõrrandi lahendamise etapid 1. Määratakse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend 2. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi erilahend 3. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend 4. Määratakse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi omalahend Mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand 2 d xv + dxv + a2 2 a1 dt a0 xv = f (sis ) dt Homogeenne võrrand saadakse eeldusel, et f(sis)=0,: 17
4x1 + 2x2 - 5x3 + 3x4 = 4 6x1 + 4x2 - 7x3 - 5x4 = - 6 3x1 + x2 - 4x3 + 7x4 = 10 puuduvad lahendid. Uurida (selgitada) p~ ohjust. 5.4 Lahendite arvust Teoreem 5. Koosk~ olalisel LVS-il 1.1 on 1) parajasti u ¨ks lahend kui n = r(A), 2) l~ opmata palju lahendeid, kui n > r(A). 6 ¨ Uld- ja erilahend 6.1 ¨ Uld- ja erilahendi m~ oiste LVS-i u¨ldlahend on selline parameetritest s~ oltuv lahend, mis ra- huldab j¨argmist tingimust: parameetritele arvv¨ aa ¨rtuste omistami- se teel on v~oimalik saada antud LVS-i k~ oik lahendid. Lahendeid, mis saadakse u ¨ldlahendist parameetritele (k~ oigile v~oi osale neist) arvv¨
annaabi.ee 
