kas väide on õige või vale : Igal relatsioonil peab relatsioonikriteerium olema alati olemas Vali üks: Tõene Väär Küsimus 12 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised relatsioonide omadused on olemas ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: antisümmeetria antidistributiivsus antirefleksiivsus antitransitiivsus kommutatiivsus sümmeetria antikommutatiivsus antiaktiivsus aktiivsus distributiivsus assotsiatiivsus refleksiivsus antiassotsiatiivsus transitiivsus Küsimus 13 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised omadused on olemas graafil näidatud relatsioonil ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: antikommutatiivsus transitiivsus assotsiatiivsus antiaktiivsus antiassotsiatiivsus antidistributiivsus sümmeetria distributiivsus kommutatiivsus antirefleksiivsus refleksiivsus antitransitiivsus antisümmeetria
vali kõik õiged : Valige üks või mitu: refleksiivsus antiaktiivsus antitransitiivsus sümmeetria distributiivsus antirefleksiivsus antisümmeetria antikommutatiivsus transitiivsus antiassotsiatiivsus assotsiatiivsus kommutatiivsus aktiivsus antidistributiivsus Küsimus 13 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised omadused on olemas graafil näidatud relatsioonil ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: antirefleksiivsus sümmeetria antiaktiivsus antiassotsiatiivsus
Mark 1.00 out of 1.00 Select one or more: antiaktiivsus antiassotsiatiivsus transitiivsus assotsiatiivsus antikommutatiivsus distributiivsus Lehekülg 2/5 24.11.2012 19:39 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - vastavused ja relatsioonid file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%...
Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile. · Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised: a+b=b+a - liitmise kommutatiivsus a*b=b*a korrutamise kommutatiivsus · Def4: Algebralist süsteemi, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks. Seega on olemas: 1. aditiivne kommutatiivne poolrühm
Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommutatiivsus) 2) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ ⃗c ∈V korral ( ⃗a + b⃗ )+ ⃗c =⃗a +(b⃗ + ⃗c ) (liitmise assotsiatiivsus) 3) ∃ 0⃗ ∈V nii, et ∀ ⃗a ∈V korral ⃗a + 0⃗ =⃗a (nullelemendi olemasolu) 4) ∀ ⃗a ∈V korral ∃−⃗a ∈V nii, et ⃗a + (−⃗a ) =⃗0 (vastandelemendi olemasolu)
seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused. a) a+b=b+a a, b liitmise kommutatiivsus(vahetuvusseadus) b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus e) a (b + c) = ab + ac a, b, c korrutamise distributiivsus 2) - hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. 4. Algarvud. 1) Algarvuks nimetatakse 1-st suuremat naturaalarvu, mis jagub ainult iseenda ja 1-ga. 2) Eratosthenese sõel. a) Nimekiri arvudest 2..N.
filosoofilised arutlused. Stiililt olid ülistuslaulud pidulik-tõsised ning värsiehituselt keerulised. Voorust ei pidanud Pindaros kellegi isiklikuks omaduseks, vaid jumalate ja esivanemate päranduseks. Luuletaja arvates ühendas vooruse mõiste atleetikat ja eetikat, see tähendab väljendas harmoonilise isiku ideaali. Pindarose luulet iseloomustavad raskepärane stiil, assotsiatiivsus, kõnekujundite rohkus ning sõnalooming. Pindarose looming oli antiikajal jaotatud 17 raamatusse, mis hõlmasid mitmesuguseid koorilüürika liike: epiniikione, paiaane, ditürambe, prosoodione, porteenine, enkomioone, hüporeeme ja epitalaamione. Tänini on säilinud 4 raamatut 45 üksikteosega: need on oodid olümpia, Delfi (pythia), Isthmose ja Nemeo mängude võitjate
Täisarvude hulga tähis on Ratsionaalarv- on murdavaldis, mille lugeja ja nimetaja on täisarvud, kusjuures nimetaja ei ole 0. Ratsionaalarvude hulga tähis on . Irratsionaalarv on mitteperioodilised lõpmatud kümnendumurrud. Irratsionaalarvude hulga tähis on . Reaalarv lõpmatu kümnendmurd, mis ei lõpe 9-ga perioodis. Ratsionaalarvude hulga tähis on Ratsionaalarvude hulgas kehtivad järgmised tehete põhiomadused: Kommutatiivsus: a + b = b + a ab=ba Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) a(bc)=(ab)c Korrutamise distributiivsus: a(b + c)= ab + ac Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus kui igale arvule a järgneb arv a+1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu.
MODERNISMI TUNNUSED 1) assotsiatiivsus; 2) fragmentaarsus; 3) psühhologism Kirjanduse sotsioloogilise tõlgendamise alusel (kirjandusteose olemuse määrab see ajajärk ja elulaad, milles ta on loodud ja mis temas peegeldub) on modernistlik igasugune teaduslik- tehnilise revolutsiooni alguses või ajal loodud kirjandusteos. Kirjanduse esteetilise tõlgendamise alusel (kirjandusteos kui iseseisev struktuur, omaette mikromaailm) on modernismi mõiste tähendus märksa kitsam ja seda määratlevad kolm ülaltoodud tunnusjoont. Kirjanduse sotsioloogilise tõlgendamise alusel on postmodernistlik igasugune teos, mis on loodud teaduslik-tehnilise revolutsiooni hilisema ja kaugemale jõudnud järgu tingimustes ja seda peegeldab. Esteetilise tõlgenduse alusel (mida esindab näiteks Jean-François Lyotard (1924 – 1998), teenäitava raamatu „Postmodernne olukord: aruanne teadmiste kohta“ (1979) autor) eristuvad kirjanduslik modernism ja postmodernism jä...
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c
Öeldakse, et aditiivses süsteemis M kehtib p.o.o.s., kui mistahes a ja b korral hulgast M on võrrandid: b + x = a ja y + b = a Arvutusoperatsiooni, mis seab M järjestatud elementide paarile ( a, b) vastavusse nende vahe nimetatakse lahutamiseks. Def5 Poolrühma ( aditiivset poolrühma), milles leidub nullelement ja igale elemendile vastandelement nimetatakse aditiivseks rühmaks. Seal kehtivad seadused: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c liitmise assotsiatiivsus a + = a ^ + a = a nullelemendi leidmise seadus a + ( -a ) = ^ ( - a ) + a = vastandelemendi leidmise seadus Def6 Multiplikatiivset poolrühma, milles leidub ühikelement ja igale elemendile vastav pöördelement nimetatakse multiplikatiivseks rühmaks. Selle rühmas kehtivad seadused: a ( b c ) = ( a b ) c korrutamise
Seega vastandarvu vastandarv on arv ise Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu Kahepunkti vaheline kaugus arvteljel Vähendatava ja vähendaja järjestuse muutmisel mmuutub vahemärk vastupidiseks ,ei muutu absoluutväärtus Ratsionaalarvude korrutamine Sama märgiliste arvude korrutamisel on korrutiseks positiivne arv Kahe arimärgilise arvude korrutamisel on korrutiseks negatiivne arv Mitme arvu korrutis Vahetavuse seadus ehk ommunikatiivsus Ühendavuse seadus ehk assotsiatiivsus Mitme 0-st erineva arvu korrutis on negatiivne kui negatiivseid tegureid on paarituarv ja positiivne kui negatiivseid tegureid on paarisarv Arvuaste Astendatav ehk astme alus on arv mille ise endaga korrutamisel teda antud arv korda saadakse aste Astendaja on arv , mis näitab mitu korda on arvu iseednaga korrutatud Astendamiseks nimetatakse väärtuse leidmist Iga arv astmes 1 on võrdne iseendaga. Negatiivne arv paarisarvulisel astmel on positiivne
Jessenin § Ta luuletusi hakkas avaldama Postimees 1943 § 1960. aastate luuleuuenduses kujunes julgeks eksperimenteerijaks, virgutades oma luulega Tartu noori autoreid § Alliksaar ise ei pääsenud aga eluajal ühegi koguga trükki Loomingu olemus § Ülistab oma luules kunsti § Esineb indiviidi valikuvõimaluste ja vabaduse kirgliku kaitsjana sotsiaalse süsteemi piirangute vastu § Luulestiili iseloomustavad rohke assotsiatiivsus, vaimukad, tihti antiteetilised ideesähvatused § Tema loomingus on palju filosoofilisi mõtteväljendusi § Sagedasti kasutatavateks märksõnadeks on surm, ulm, mälu, armastus, veri, valu, õhtu, öö, liiv, vesi Luulekogud § "Olematus võiks ju ka olemata olla" (1968) § "Luule" (1976) § "Väike luuleraamat" (1984) § "Päikesepillaja" (1997) § "Alliksaar armastusest" (2002) Laskumine
niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga. Kui naturaalarvude hulka N täiendada arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; … vastandarvudega, siis saame täisarvude hulga Z . Z Z
niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga. Kui naturaalarvude hulka N täiendada arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; … vastandarvudega, . Z Z Z 0 , kus
lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektorist erinevat vektorit x nim lineaarteisenduse f omavektoriks kui on rahuldatud aga tingimus f(x)=*x, aga lineaarteisenduse omaväärtuseks. Vektorarvutus: 3 algmõistet: punkt, vektor, reaalarv. 1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud
alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a. 3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid 1; 2;...n nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) 1a1 + 2a2+...+nan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu. 4)Vektorruum ja tema baas
4. Anakreon - Soositud õukonnalaulik. Luuletas veinist, lõbusatest armuseiklustest, kaunitest naistest ja jõudeelust. Eleegiad, epigrammid, hümnid jumalatele. 5. Simonides - Poeet Keoselt. piduliku lüürika tähtsaim esindaja. epigrammizanri looja (värsivormis pealiskiri hauakivil) 6. Pindaros - Teeba poeet. Epiniikioni ( ülistuslaul) tuntuim viljeleja. Väljendas harmoonilise isiku ideaali. Tema luulet iseloomustvad teatud raskepärasus, assotsiatiivsus, kõnekujundite rohkus ja sõnalooming. 5) ANTIIKPROOSA, LIIGID JA AUTORID: 1. Hakkas Kreekas arenema 6 saj. e.m.a.a. Liigid: 1. Filosoofiline - antiikfilosoofid andsid oma teadmisi edasi peamiselt suuliselt 2. Ajalooline - (Legendide ja müütide lähedane). Kõige varasem ajalookirjandus tekkis vajadusest panna kirja omaenese rahva minevik ning teadmised teiste maade ja rahvaste kohta. 3
4. Anakreon - Soositud õukonnalaulik. Luuletas veinist, lõbusatest armuseiklustest, kaunitest naistest ja jõudeelust. Eleegiad, epigrammid, hümnid jumalatele. 5. Simonides - Poeet Keoselt. piduliku lüürika tähtsaim esindaja. epigrammizanri looja (värsivormis pealiskiri hauakivil) 6. Pindaros - Teeba poeet. Epiniikioni ( ülistuslaul) tuntuim viljeleja. Väljendas harmoonilise isiku ideaali. Tema luulet iseloomustvad teatud raskepärasus, assotsiatiivsus, kõnekujundite rohkus ja sõnalooming. 5) ANTIIKPROOSA, LIIGID JA AUTORID: 1. Hakkas Kreekas arenema 6 saj. e.m.a.a. Liigid: 1. Filosoofiline - antiikfilosoofid andsid oma teadmisi edasi peamiselt suuliselt 2. Ajalooline - (Legendide ja müütide lähedane). Kõige varasem ajalookirjandus tekkis vajadusest panna kirja omaenese rahva minevik ning teadmised teiste maade ja rahvaste kohta. 3
4 (·x)×y=x×(·y)= ·(x×y). Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (x×y)·z. Om: 1' (x×y×)·z=x·(y×z) 2' segakorrutis ei muutu tegurite tsüklilisel ümberpaigutamisel; 3' [xyz] 2... Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x×y)×z või x×(y×z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F= Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud ij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus
väited oleksid kõik korraga tõesed. Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega). Reeglid: õ 287 Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral): (P v q) = (q v p) Assotsiatiivsus Distributiivsus Liiasus P=pvp p=p&p Kahekordne eitus p = - - p De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q -(p v q) = -p & -q Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q Ümberpööramine p-> q = -q -> -p Materiaalne ekvivalents Täiendavad LA reeglid: Taandamise reeglid: P&1=p P&0=0 P & -p = 0 loogiline vastuolu (samaselt väär) Pv1=1 Pv0=p
korrutisega,arendame 3 või 2 järguni ja leiame väärtuse. 16. Vektorruumi def.,lin.tehted. Vektorruumi näited,vektorite lin.sõltuvus. Vektorruum on-mittetühi hulk V mille elementitega saab teha 2 tehet.1)liitmine-2le (on ) elemendile on pandud vastandisse. 2) skalaarkorrutamine-vastavuse elemet( on pandud arvule( ja hulga elemendile.vektorruumi element-on vektor. Lin.tehted 1. x + y = y + x (liitmise kommutatiivsus); 2. x + (y + z) = (x + y) + z (liitmise assotsiatiivsus); 3. 0 X: 0 + x = x (nullelemendi olemasolu); 4. x V x + 0 = x, 0 + x = x. (vastandelemendi olemasolu); 5. 1x = x (unitaarsus); 6. ( x) = ()x (assotsiatiivsus arvude korrutamise suhtes); 7. (x + y) = x + y (distributiivsus vektorite liitmise suhtes); 8. ( +)x = x + x (distributiivsus arvude liitmise suhtes). Vektorruumi näited-aritmeetilised-,geomeetrilised-,maatriksite-,polünoomide hulk. Lineaarne sõltuvus- Vektorruumi X(üle korpuse K) vektorite hulka
Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Reaalarvude hulk on pidev (arvud katavad kogu arvtelje). Reaalarvude hulk ja arvtelje punktide hulk on üks-ühes vastavuses (igale arvule vastab üks punkt arvteljel ja igale punktile vastab üks arv). -9 ei lahendu reaalarvude hulgas (vastus on ,,-3i"). Tehetes reaalarvudega kehtivad omadused: 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a ; ab = ba 2) Assotsiatiivsus: a + (b + c) = (a + b) + c 3) Distributiivsus: a (b + c) = ab + ac Arvuhulkade omadusi Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a on suurem kui b või a võrdub b või a on väiksem kui b. Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb a +1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu.
Aristrokaat Teine tase Kolmas tase Lüürik Neljas tase 12 raamatut Viies tase TEOSED Ülistamine ja õpetlikud arutlused Pidulik-tõsised Kõnekujundite rohkus Sõnalooming Assotsiatiivsus raskepärasus AISCHYLOS atika ajajärk teatri teke Elas 525 456 eKr. Klõpsake juhtslaidi teksti laadide redigeerimiseks 80-90 näidendit Teine tase Atika tragöödia Kolmas tase ``Orestia`` Neljas tase ``Aheldatud Prometheus``
vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . Seega c P , c = c . Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Teoreem. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1° + = + iga , V korral (liitmise kommutatiivsus); 2° ( + ) + = + ( + ) iga , , V korral (liitmise assotsiatiivsus); 3° leidub selline vektor V , et + = + = iga V korral (nullvektori olemasolu); 4° iga vektori V jaoks leidub selline vektor V , et + = + = (vastandvektori olemasolu); 5° ( a + b ) = a + b iga a, b ja V korral; 6° a ( + ) = a + a iga a ja , V korral; 7° ( ab ) = a ( b ) iga a, b ja V korral; 8° 1 = iga V korral. 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine)
Maatriksi korrutis sõltub tegurite järjekorrast. BAAB 1. Maatriksi, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga nimetatakse nullmaatriksiga. =0 A+=A 2. Ruutmaatriksit, mille kõik peadiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja ülejäänud võrdsed nulliga nimetatakse ühikmaatriksiks E. EA=AAE=A Maatriksite liitmisel, nende korrutamisel arvuga ja nende omavahelisel korrutamisel kehtivad omadused: · A+B = B+A (liitmise kommutatiivsus) · (A+B)+C = A+(B+C) liitmise assotsiatiivsus · A+ = A · A+(-A) = · 1A= A · A= · 0A = · (a+ b ) A= aA + bA · a (A+B) = aA + aB · a( b A) = b (a A) · a (b A) = (ab) A · (a A) B = A (a B) = a ( A B) · A = A= · EA=AE=A · A B B A (üldjuhul) · (A+ B ) C = C A+ C B · ( A B) C = A ( B C) · -A = (-1)A · A B = A + (-1)B · A0 = E Maatriksi ja pöördmaatriksi kommutaator on null maatriks. AA-1= 3
b ab a c a d ad a = : = = c c b d b c bc a a b c ac :c = a : = a = b bc c b b 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a +b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1
Aksioom3 Iga punkti A ja vektori a korral leidub parajasti üks punkt B, nii et punktidele A ja B vastab vektor. Aksioom4 Kui AB = CD kehtib, siis ka AC = BD. Toodud nelja aksioomi ja liitmise definitsiooni põhjal saame järeldada järgmist: Järeldus1 AC = BD AB + BC = BC + CD AB + BC = BC + AB vektorite liitmine on kommutatiivne. Järeldus2 AB + ( BC + CD ) = ( AB + BC ) + CD vektorite assotsiatiivsus. Järeldus3 BB = 0 AB = AB + BB on olemas null vektor. Järeldus4 BA = ( -a ) AA = AB + BA 0 = a + ( -a ) eksisteerib vastandvektor. Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega. Aksioom*1 Igale reaalarvule ja vektorile a seatakse vastavusse parajasti üks vektor b, nii et b = a.
I välistav VÕI ( XOR ) sümmeetriline vahe A B = B A A B = B A konstant 0 tühi hulk { } assotsiatiivsus: konstant 1 universaalhulk ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) HULGAALGEBRA PÕHISEOSED
räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9) Ruutmaatriksi ridade ja veergude arv on sama. Kui me räägime skalaariga korrutamisest, see tähendab lihtslat arv korrutame matriksiga Maatriksit, milles kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse . Maatriksi vastandmaatriksiks nimetatakse maatriksit: + = + KOMMUTATIIVSUS ( + ) + = + ( + ) - ASSOTSIATIIVSUS (A + B) = aA + aB - DISTRIBUTIIVSUS ( + ) = + - DISTRIBUTIIVSUS 1= 0=0 Transponeeritud maatriks (AT) nimetatakse maatriksit, milles on võrreldes maatrksiga A read ja veerud välja vahetatud. 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. Kui maatriksil on rida veergu ning maatriksil on rida ja veergu, siis
L=d+p=x0cosa+y0cosB+Z0cosg d=|x0cosa+y0cosB+z0cosg-p| cosa=A/rj(A^2+B^2+C^2) p=-D/rj(A^2+B^2+C^2) d=|Ax0+By0+Cz0+D|/rj(A^2+B^2+C^2) 2D-s d=Ax0+By0+C/rj(A^2+B^2) Vektorruum Vektorruumi mõiste ehk lineaarne ruum V on elementide (vektorite) x,y,... hulk, mis on vektorite liitmise ja arvuga alf R (või alf C) korrutamise suhtes kinnin ( tulemusex on vektor) ning mille puhul kehtivad nn vektorruumi aksioonid: 1) x +y= y+x( liitmise kommutatiivsus) 2) x+ (y+z) = (x+y)+ z (liitmise assotsiatiivsus), 3) leidub 0 V => 0+x=x (nullvektorite olemasolu), 4) iga elemendi x V leidub (-x) V => x+(-x)= 0( vastandvektor olemasolu) 5) 1*x=x ; 6) alf(bet x) = (alf*bet)*x (assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes) 7)alf( x+y) =alfx + alfy; 8) (alf + bet)x= alfx + betx; . Aritmeetiliste ja geomeetriliste vektorite vektorruum. Geomeetrilised vektorid on suunatud sirglõigud tasandil või ruumis. Iga vektorit iseloomustab tema siht, suund ja pikkus. Kaks vektorit a ja
= 0 = 0ij = -aij + aij = (-A)ij + aij = [-A + A]ij 2 Maatrikstehete omadusi 2.1 Elementaarsed omadused Maatrikstehete lihtsamaid omadusi kirjeldame j¨argmiselt. Teoreem 3. Olgu A, B, C u ¨hesuguste j¨ arkudega maatriksid ning , R. Siis 1) A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus), 2) (A + B) + C = A + (B + C) (liitmise assotsiatiivsus), 3) A + 0 = A = 0 + A (nullmaatriksi neutraalsus), 4) A + (-A) = 0 = -A + A (vastandmaatriksi olemasolu), 5) (A + B) = A + B (distributiivsus), 6) ( + )A = A + A (distributiivsus), 7) (A) = ()A (arvuga korrutamise assotsiatiivsus), 8) 1A = A (unitaalsus). T~oestus. Me juba t~oestasime omaduse 3) lausega 1 ja omaduse 4) lausega 2. T~oestame veel omaduse 5). Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij
Ühe binaarse tehteda algebralist süsteemi nimetatakse grupoidiks. Ühikelement on selline element, millele rakendades tehet suvalise elemendiga, saab vastuses selle sama elemendi. Pöördelement on selline element, mis tehte rakendamisel elemendiga annab vastuseks ühikelemendi. Poolrühm on assotsiatiivse tehtega süsteem. Poolrühm, kus eksisteerib ka ühikelement on monoid. Rühm on süsteem milles kehtib: assotsiatiivsus, ühikelement ja iga element omab pöördelementi. Abeli rühm on rühm, kus kehtib ka kommutatiivsus. Vastavus: Vastavus on ühe hulga elementide seotus teise hulga elementidega. Lähtehulk on hulk, mis on seotud teise hulgaga. Sihthulk on hulk, millega on teine hulk seotud. Määramispiirkond on lähtehulga elemendid ja muutumispiirkond sihthulga elemendid. Vastavuse täiend on paarid, mis ei ole vastavuses.
c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a.
c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a.
· on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on tihe arvuhulk, iga kahe reaalarvu vahel paikneb alati veel reaalarve · on pidev, s.t need arvud katavad kogu arvtelje · on hulk, mis on kinnine liitmise, korrutamise, lahutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 1.4 Põhitehted reaalarvudega ja nende omadused · Kommutatiivsus e vahetuvus: a+b=b+a, ab=ba · Assotsiatiivsus e ühenduvus: a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)=(ab)c · Korrutamise distributiivsus e jaotuvus liitmise suhtes: a(b+c)=ab+ac Sündmuse A toimumise tõenäosuseks P(A) nimetatakse selle sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet: P(A)= m/n 1.5 Reaalarvu absoluutväärtus |a|={a, kui a0 või {-a, kui a<0 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist 1.6 Arvusüsteemidest
Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka AB, mis koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Hulga A täiendiks nimetatakse hulka A'=XA. (universaalhulga X suhtes)
o findall(+Template, +Goal, -Bag) o bagof(+Template, +Goal, -Bag) Operaatorid o Aitavad parandada lähtekoodi loetavust o Kõik süsteemioperaatorid v.a. ”,” on ümberdefineeritavad o Omavad kehtivust mooduli piires, kuid saab ka moodulitest välja eksportida Operaatori deklareerimine o prioriteet (1, ..., 1500) – väiksem number annab kõrgema prioriteedi. o tüüp: §assotsiatiivsus(näide:16/2 + 6) § kuju (prefiks, infiks, postfiks) Kui operaatori # tüüp on yfx, siis täidetakse # korduvesinemisi vasakult paremale Kui operaatori # tüüp on xfy, siis täidetakse # korduvesinemisi paremalt vasakule Operaatori deklaratsioon: :- op(Priority, Type, Name). Võrdus: arg1 = arg2 või =(arg1, arg2)
Hüüumärgiga eksistentsikvantor tähendab, et „leidub täpselt üks x …“. Kvantorid on omavahel seotud nagu ∀𝑥𝑃(𝑥) ≡ ∃ ̅𝑥∃𝑃̅(𝑥). Predikaadid on võrdväärsed (ekvivalentsed), kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku. Loogikaseadused on kuni kolme operandiga lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja samaselt tõesed lausearvutusvalemite võrdused. Implikatsioon ei ole kommutatiivne. Assotsiatiivsus 𝐴 ∨ 𝐵 ∨ 𝐶 = (𝐴 ∨ 𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶) ; 𝐴 ∧ 𝐵 ∧ 𝐶 = (𝐴 ∧ 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) Kommutatiivsus 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐵 ∧𝐴 ;𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐵 ∨𝐴 Idempotentsus 𝐴 ∧ 𝐴 = 𝐴 ;𝐴 ∨𝐴 = 𝐴 Neeldumine 𝐴 ∧ (𝐴 ∨ 𝐵) = 𝐴 ; 𝐴 ∨ (𝐴 ∧ 𝐵) = 𝐴
5 3 1 22) -24 + 8 23) - 45 38 24) 12 (- ) - ( - 15) -1 4 5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b=b+a ab = ba a(b + c) = (b + c)a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus a + (b + c) = ( a + b) + c a(bc) = (ab) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a(b + c) = ab + ac a(b - c) = ab ac Sulgude avamine: a + (b + c) = a +b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a +b - c a - (b - c) = a - b + c 12
Kogu osa luuletusi on valminud sõjaväeteenistuses olles. Aja valusad probleemid liituvad neis orgaaniliselt looja sisepingetega , ema kaotuse ahistus seostub kiindumusega oma rahvasse, teadvustub viimase traagilise saatus ja sotsiaalne ummikolu. Stereotüübivaba lähenemine 11 iseloomustab nii ühiskonna suhete kui ka indiviidi sisemiste seisundite kujutamist. Rummo selle perioodi luulele on omane kõrgpoeetiline väljendusstiil: assotsiatiivsus, isikupärane, semantiliselt avar metafoorika ja sümbol, regilaulu elementide peen rakendamine. (Kruus, Puhvel, 2000) Kõige tähtsam luuletus sellest kogust võiks olla ,,Oo et sädemeid kiljuks mu hing". Selle luuletuse pealkirjast saab hiljem valikkogu pealkiri, kommentaar kõigele kirjutatule. Teose lõpusosas on tekstil väga huvitav vormistus. Salmid on kirjutatud kordamööda vasakule poole lehte ja lehe keskele: *** külmast siniste teleekraanide talvine lõdin
Definitsioon. Vektori a korrutiseks arvuga nimetatakse vektorit a , mis on vektoriga a samasuunaline, kui 0 ja temaga vastassuunaline, kui 0 . Moodul: a a . 1 Lineaartehete omadused: a b b a , kommutatiivsus a b c a b c , assotsiatiivsus k1 k2 a k1k2 a , k1 k2 a k1a k2a , k a b ka kb . VEKTORI PROJEKTSIOON TELJEL Definitsioon. Punkti A projektsiooniks sirgele l nimetatakse punkti A1, milles sirge l lõikub tasandiga, mis läbib punkti A ja on risti sirgega l. Olgu AB a suvaline vektor.
• Täiend: ¿ R ’={ ( x , y ) │ xϵX∧ yϵY ∧¬ ( x , y ) ϵR }=( X ×Y ) 23 28. Pöördrelatsioon. Relatsioonide kompositsioon. Näited. Ühikelement. Näited kompositsiooni mittekommutatiivsuse ja pöördrelatsiooni sobimatuse kohta pöördelemendiks kompositsiooni korral. Kompositsiooni assotsiatiivsus (**tõestus). [2] Pöördrealatsioon o DEF: Relatsiooni R pöördrelatsiooni R−1, mis saadakse relatsioonist R, muutes kõigis sinna kuuluvates elemendipaarides komponentide järjekorra vastupidiseks: R−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ R}. Kui R on relatsioon hulkade X ja Y vahel, siis R−1 on relatsioon hulkade Y ja X vahel. o Näiteks juhul, kui R = {(a, 3), (b, 4)}, on R−1 = {(3, a), (4, b)}. Relatsioonide kompositsioon o DEF
26) a. Pöördrelatsioon: R-1 = {(y, x) | (x, y) R} b. Kompositsioon: R S = {(x, z) | (yY)[(x, y) R & (y, z) S]} c. Ühikelement. Kui IX on samasusrelatsioon hulgal X ja IY on samasusrelatsioon hulgal Y, siis suvalise relatsiooni R X × Y korral R IY = IX R = R d. Kompositsioon ei ole kommutatiivne, st üldiselt R S S R e. Pöördrelatsioon ei ole pöördelement algebralises mõttes, st üldiselt R R-1 I 27) a. Kompositsiooni assotsiatiivsus a.i. **Tõestus.https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=96260 b. Kompositsiooni pöördrelatsioon. Suvaliste relatsioonide R X × Y ja S Y × Z korral (R S)-1 = S-1 R-1. Tõestus: b.i. (z, x) (R S)-1 b.ii. (x, z) (R S) b.iii. y (xRy & ySz) b.iv. y [(y, x) R-1 & (z, y) S-1] b.v. (z, x) S-1 R-1 c. Ühend. Suvalise relatsioonide R X × Y, S Y × Z ja T Y × Z korral R
Induktsiooniskeem P7 annab meile lisaks varasemale veel ühe taktika väidete tõestamiseks naturaalarvude jaoks: Me teame, et valem 0 & [ ] on tõene Seega on tõestamiseks piisav tõestada kahe valemi tõesus: 1) 0 (induktsiooni baas), 2) [ ] (induktsiooni samm) Liitmise assotsiatiivsus Naturaalarvude liitmine on assotsiatiivne: [ + ( + ) = ( + ) + ] Tõestus: Kahe välimise üldisuse kvantori jaoks kasutame otsese tõestamise taktikat. Tähistagu ja suvalisi naturaalarve. Piisab, kui tõestame [ + ( + ) = ( + ) + ] Kasutame siin üldisuse kvantoriga väite tõestamiseks induktsiooni muutuja z järgi. Siis on vaja tõestada: o Lemma 1.1 + ( + 0) = ( + ) + 0 (baaslemma) o Lemma 1
(valemid 8 ja 9 tabel 1.) ja paremal on esitatud implikatsioon normaalkujul (vasakpoolne) ning ekvivalents normaalkujul (parem- poolne, valemid 10 ja 12 tabel 1.) 20_fl_i-v TABEL 1. Liitotsustuse struktuuri teisendamine 1. ¬¬p = p Kahekordne eitus 2. p & q = q & p Kommutatiivsus 3. p & (q & r) = (p & q) & r = p & q & r Assotsiatiivsus 4. p q = q p Kommutatiivsus 5. p (q r) = (p q) V r = p q r Assotsiatiivsus 6. p & (q r) = (p & q) (p & r) Distributiivsus 7. p (q & r) = (p q) & (p r) Distributiivsus 8. ¬(p & q) = ¬p ¬q De Morgani reegel 9. ¬(p q) = ¬p & ¬q De Morgani reegel 10. p q = ¬p q Implikatsioon normaalkujul 11
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu)
· Üksikute ülesannete perioode peab ühtlustama meetod võimsustarbe vähendamiseks keerukus: kettad, tape drives/libraries kunstlikult Eesmärk: hoida ja pakkuda püsivat infot Cache'i kohandamine (arv, suurus, assotsiatiivsus, Madalaim MTBF on ventilaatoritel ja vähendatud perioodid suurenenud koormus Tehing = jada lugemis/kirjutamisoperatsioone rea toiteallikatel protsessori aja Muutused ei ole püsivad kuni need ei ole pikkus) vastavale rakendusele aitab kokku hoida Riistvara ja keskkonna tõrked
Proportsioon (reegel) Assotsiatsioon (seos) Verbaalne Nii verbaalne kui mitteverbaalne Abstraktsem Konkreetsem Modaalsuseta Modaalsusega Eksplitsiitsem Implitsiitsem Tõeväärtusega Tõeväärtuseta Propositsioonilisus-assotsiatiivsus hoiakutes Eksplitsiitne hoiak Implitsiitne hoiak Reeglipõhine Assotsiatiivne Tahtlik Automaatne Teadlik Teadvustamata Tõenäosusega Tõenäosuseta Ei sõltu kontekstist Sõltub kontekstist Argumenteerimine
Loogikaseadused ei ole aksioomid. Nende kehtivus tuleneb loogikatehete ¯¯ ∧ ∨ → definitsioonidest. Seadused konstantidega 0 ja 1 : A ∨ 0 = A A ∧ 1 = A Olgu 3 lauset A B C mis omavad tõeväärtusi 0 või 1. A ∨ 1 = 1 A ∧ 0 = 0 assotsiatiivsus: Välistatud kolmanda seadus : A ∧ B ∧ C = (A ∧ B) ∧ C = A ∧ (B ∧ C) __ A ∨ A = 1 A ∨ B ∨ C = (A ∨ B) ∨ C = A ∨ (B ∨ C) Vastuolu seadus :
annaabi.ee 
