1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suur...
Kõrgem matemaatika 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liit...
a11 a12 a 1n a 21 a 22 a 2n Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist arvude tabelit A = . Maatriksi a m1 am 2 a mn tähisena kasutatakse ka ümarsulge. Maatrik s i elem end ik s nimeta taks e ele men ti a i j , kus i = 1, 2, ..., m ning j = 1, 2, ..., n . Es imene indeks tähis tab rida, teine veergu. Ü ldj uhul r idade ja veergude arv ei pea ole ma võrdne m n. R uu tm aatrik s ik s nimeta taks e ma atriks i t, kus ridade ja veergude arv on võrdne ( m = n) . R is tkü lik m aatrik s ik s nime tataks e m × n ma atriks i t , kui n m Vek torik s nime tataks e maatr iks it, mill el on üks rida või veerg.
a11 a12 a 1n a 21 a 22 a 2n Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist arvude tabelit A . Maatriksi a m1 am 2 a mn tähisena kasutatakse ka ümarsulge. Maatrik s i elem end ik s nimeta taks e ele men ti a i j , kus i = 1, 2, ..., m ning j = 1, 2, ..., n . Es imene indeks tähis tab rida, teine veergu. Ü ldj uhul r idade j a veergude arv ei pea olema võrdne m n. R uu tm aatrik s ik s nimeta taks e ma atriks i t, kus ridade ja veergude arv on võrdne ( m = n) . R is tk ü likm aatrik s ik s nime tataks e m n ma atriks i t , kui n m Vek torik s nimeta taks e ma atriks i t, mi lle l on üks rida või veerg.
regulaarne. Tähitatakse A−1 . Arvutamine T 1 A 11 A 12 A−1= ( | A| A 21 A 22 ) 54.regulaarne maatriks- n-järku maatriks A on regulaarne kui | A|≠ 0 55.singulaarne maatriks- n-järku maatriks A on singulaarne kui | A|=0 56.pöördmaatriksi omadused: Kui n-järku maatriksil A leidub pöördmaatriks, siis nii maatrik A kui ka tema pöördmaatrik on regulaarsed Maatriksi ja pöördmaatriksi determinandid on teineteie pöördarvud st. | A|∙| A−1|=1 Kui ruutmaatriksil on olemas pöördmaatriks, siis on ta määratud üheselt Regulaarsete n-järku maatriksite A ja B korral kehtib valem ( AB)−1=B−1 A−1 A
Jah, me võime luua, kuna oleme Jumalast. Seetõttu saab inimene leiutada, luua uut. See lähtub arengust, progressist. A: Kas see tähendab, et me võime töötada Maatriksiga? D: Jah, igal juhul töötame me Maatriksiga, isegi kui me ei loo. Kõik meie elu ja tege- vus suundub Maatriksisse. A: Miks? D: Sest need on energiavormid, aga Maatriks säilitab need. A: Ja karma ja saatus kõik tuleb sealt? D: Ei tule kuid on seal. Sa sooritad teo. Ütleme, et aitad inimesel terveneda. Maatrik- sisse siseneb energiavorm, hea mõte, sinu soov aidata ja jätab sinna jälje. See säilub seal ja teatud moment, kui sul on vaja, tuleb sulle tagasi. A: Aga mis toimub halbade tegudega? 13 D: Halvad teod, kui neid nii nimetada võib, ilmnevad negatiivsete energiavormidena. Need ei mõjuta Maatriksit kuidagi. Inimene on see, kes kannatab. Kui see loetakse hädavajalikuks, tuleb see inimesele tagasi. Näed siis peab olema tasakaal. Niipalju,
¨ Oeldakse, et maatriksid A ja B kommuteeruvad, kui AB = BA. Eelmised n¨aited u ¨tlevad, et maatrikskorrutamine on u ¨ldiselt mit- tekommutatiivne tehe, s.t AB = BA. Korrutamine on u ¨ldiselt mittekommutatiivne ka siis, kui tegurid on ruutmaatriksid. 8 II. Maatriksarvutus Avaldist [A, B] := AB -BA (kui leidub) nimetatakse maatrik- site A ja B kommutaatoriks ehk Lie korrutiseks. Kommutaator on m¨a¨aratud vaid u ¨hesuguste j¨ arkudega ruutmaatriksite korral. Kom- mutaatori omadusi vaatleme allpool (teoreem 9). 3.4 Nullitegurid Arvutame 2 6 9 6 9 6 9 := -4 -6 -4 -6 -4 -6 6·6-9·4 6·9-9·6 0 0
(1.16) ........................................ xm1 + ym1 xm2 + ym2 . . . xmn + ymn Paneme t¨ahele, et maatriksite liitmine on ka kujutus + : M at(m, n) × M at(m, n) - M at(m, n), mis defineeritakse tuntud m~oiste, reaalarvude liitmise, kaudu: maatriksite X ja Y samadel kohtadel olevad elemendid liidetakse. Maatriksite liit- mise definitsiooni saab anda ka kompaktsemalt, kasutades nende maatrik- site u ¨ldelemente. Nimelt X = (xij ) ja Y = (yij ) korral hulgast M at(m, n) saame X + Y = (zij ), (1.17) kus zij := xij + yij , i Nm , j Nn . (1.18) N¨aiteks maatriksite 1 2 3 6 -5 0 A= , B= -3 1 -2 2 -1 1 10 korral
(1.16) ........................................ xm1 + ym1 xm2 + ym2 . . . xmn + ymn Paneme t¨ahele, et maatriksite liitmine on ka kujutus + : M at(m, n) × M at(m, n) −→ M at(m, n), mis defineeritakse tuntud m˜oiste, reaalarvude liitmise, kaudu: maatriksite X ja Y samadel kohtadel olevad elemendid liidetakse. Maatriksite liit- mise definitsiooni saab anda ka kompaktsemalt, kasutades nende maatrik- site u ¨ldelemente. Nimelt X = (xij ) ja Y = (yij ) korral hulgast M at(m, n) saame X + Y = (zij ), (1.17) kus zij := xij + yij , ∀ i ∈ Nm , ∀ j ∈ Nn . (1.18) N¨aiteks maatriksite 1 2 3 6 −5 0 A= , B= −3 1 −2 2 −1 1
NB! Tegemist on massiivifunktsiooniga nagu ka funkts analoogne Maatrikseid saab liita ja lahutada kahel erineval moel. Esime vastavad elemendid. Teise kohaselt tuleb märgistada tulemu vajutada Shift+Ctrl+Enter. Maatriksite korrutamiseks kasutatakse funktsiooni MMULT NB! Korrutada saab maatrikseid, kus esimese maatrik maatriksi ridade arv Korrutamisfunktsioon on massiivifunktsioon Tulemusmaatriksis on ridade arv sama kui esimeses m maatriksis 1. Leia G3 lahtrisse maatriks A determinant. 2. Loo lahtritesse I2-K4 maatriksi A pöördmaatriks. 3. Liida lahtrisse B12 maatriksite 1 ja 2 ülemine vasakpoolne väärtus ja kiirkopeeri valemit ülejäänud maatriksisse. 4. Leia lahtritesse I12-K14 maatriksite 1 ja 2
Käsuvoo täitmisel rakendatakse kõiki protsessoreid s.t sisse tuleb üks käsk, mida täidavad kõik protsessorid, kuid käske täidetakse erinevate admetega. 1) Vektor protsessor Vektor protsessori puhul on ALU-sid mitu, mis töötavad ühe ja sama operatsiooniga, kuid mis võtavad andmed erinevatest kohtadest. 2) Maatriks protsessor Kõik protsessorid täidavad ühte käsku, kuid erinevate andmetega. Maatrik protsessorit on raskem programmeerida, kuid effektiivsem kui vektor protsessor. MIMD – mitu käsuvoogu ja mitu andmevoogu Kasutatakse juhul kui protsessori tööd on vaja kiirendada 50 – 100 või enam korda. MIMD jaguneb kaheks: 1) multiprotsessor ja 2) multiarvuti. 1) Multiprotsessor Multiprotsessoril eksisteerib üks põhimälu. Selle ühe aadressruumi peal töötab mitu erinevat protsessorit.
annaabi.ee 
