Kompleksarvu trigonomeetriline kuju: z=x +iy= ρcosφ+iρsinφ=ρ(cosφ+isinφ) Järeldus: Kaks trigonomeetrilisel kujul esitatud kompleksarvu on võrdsed siis, kui Kompleksarvude moodulid on võrdsed Kompleksarvude argumentide vahe on 2π kordne Kompleksarvule z=ρ(cosφ−isinφ) vastav kaaskompleksarv on ´z =ρ ( cosφ−isinφ )= ρ(cos (−φ ) +isin(−φ)) . TEHTED TRIGONOMEETRILISEL KUJUL Kompleksarvude z 1=ρ 1 (cos φ 1+isin φ2) ja z 2=ρ2 (cos φ2+ isin φ2) korrutis z 1 z 2=ρ1 ρ2 ( cos φ1 +isin φ2 ) ( cos φ2+ isin φ2 )= ρ1 ρ2 ( ( cos φ1 cos φ2−sin φ2 sin φ2 ) +i ( cos φ1 sin φ2 +sin φ2 cos φ2 ) ) =ρ1 ρ2 ( co
algebraliseks kujuks. Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi mooduliks nimetatakse arvu |z|, mis leitakse j¨argmise seosega: |z| = a2 + b2 . Moodul |z| ≥ 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Kaaskompleksarv Definitsioon Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarvuks nimetatakse kompleksarvu z¯ = a − bi. Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist v˜ ordsel kaugusel ning z ja z¯ on s¨ ummeetrilised reaaltelje suhtes. Teist ja kolmandat j¨ arku determinandid. Crameri valemid. Kompl Tehted kompleksarvudega
3. Lihtsustage (1+i)-(5+2i)+(4-3i) (3+2i)(4+6.5i) (1+2 3 i)(2-3 3 i) (6-7i)(5+i)(5-i) 2i(4+8i)(1+2i) (5+4i)(-2-i)(5-4i)(-2+i) 1 3+i 3 - 5i 1 + 2i 4. Leidke jagatis 1+ i 3-i 2 + 3i 1 + 2i 5. Lahendame võrrandi x3-27=0. Teame, et tegurdub (x-3)(x2+3x+9)=0. 6. Leia kompleksarvu 6i-4 kaaskompleksarv ja vastandkompleksarv. 7. Kujuta arvud -6+8i ja 5-2i graafiliselt ning teisenda trigonomeetrilisele kujule. Edasi liida need trigonomeetrilisel kujul olevad arvud ja saadud vastus teisenda eksponentkujule ning tõsta ruutu. 8. Tee tehted: a) 6cos 45o isin 45 o÷2cos 20oisin 20o o o b) 7e30 i5e70 i
imaginaarühik. pAT 1* 2=r1*r2*(cos(1+2) +i sin(1+2)) n = p Kaaskompleksarv: Jägamine: Kaks kompleksarvu 1 x1 iy1 ja 2 x2 iy1 , mis Sümmeetriline maatriks: z1/z2 = (r1/r2)*(cos(1-2) + i sin(1-2)) Ruutmaatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks maatriksiks, erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest.
Näide 2. Leiame kompleksarvudele 4 - 5i, 3i - 5 ja 9i kaaskompleksarvud. Samuti ei ole reaalarvude hulgas lahendeid üldisemal võrrandil x2 + a = 0, Kuna kaaskompleksarvude reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad vastasmärgi- lised, kus a > 0. siis Selleks, et ka niisuguste võrrandite puhul saaks kasutada mõistet "võrrandi lahend", arvu 4 - 5i kaaskompleksarv on 4 + 5i, laiendati reaalarvude hulka ühe teatava arvuga, mille ruut on võrdne -1-ga. Kuna arvu 3i - 5 = -5 + 3i kaaskompleksarv on -5 - 3i ja ühtegi sellise omadusega reaalarvu ei leidu, siis hakati kujutletavat arvu, mille ruut on arvu 9i kaaskompleksarv on -9i. -1, nimetama imaginaarühikuks 1 ja tähistama tähega i.
(a1 + a2) + i(b1 + b2). Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suur...
= c + di 2) + = ( a + c) + ( b + d) i 3) - = ( a c) + ( b d) i 4) = (ac bd) + (ad + bc) i 5) / = ac + bd/ c2 + d2 + (bc ad) i / c2 + d2 Kompleksarvu = c di nimetatakse lähtekompleksarvu kaaskompleksarvuks = c + di = = (c + di ) (c di ) = c2 + d2 Suurust || = ( c2 + d2 ) nimetatakse kompleksarvu mooduliks. ( ) = ( c2 + d2) = || || = | | Arvu = -c di nimetatakse vastand kompleksarvuks. -= -c +di - vastandkompleksarvu kaaskompleksarv Om1 || = ||= |-| = |-| Om2 ±= ± Om3 = Om4 (/)= / Kompleksarvu kujud. Kompleksarvu saab geomeetriliselt kujutada punktidena tasandil, kus on fikseeritud Carteesiuse ristkoordinaadistik. 1. Algebraline kuju = a + bi 2. Kompleksarvu moodulit saab geomeetriliselt tõlgendada sellele kompleksarvule vastava punkti kaugusena teljestiku algpunktidest.
a ; g( x) d d d d d dx f ( x ) dx = dx F [ g ( x ) ] = dg F [ g ( x ) ] dx g ( x ) = f [ g ( x ) ] dx g ( x ) a . Kompleksarvud z = x + iy kus i 2 = -1 kaaskompleksarv z * = x - iy reaalosa x = Re z imaginaarosa y = Im z trigonomeetriline kuju z = z (cos +i sin ) , i eksponentkuju z=ze , NB! e i =cos +i sin
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ;
Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise valemid. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi (1.3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik
Seega kompleksarvude liitmisel liidetakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. Def. komar'de z1 C ja z2 C vahex z1 - z2 on summa z1 + (-z2). Kompleksarvude lahutamisel lahutatakse reaal- ja imaginaarosad eraldi. NB! i 2 = -1 => i= RJ-1 . Korruta (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = a1a2 + ia1b2 + ia2b1 - b1b2 = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1) ; Def Komar z = a+ib kaaskompleksarvux nimetatakse arvu .z = a- ib. Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegeldus reaaltelje suhtes. JagamineDef. Kompleksarvu z = a + ib moodul |z| defineeritakse valemiga |z| = RJ(a2 + b2) Geomeetriliselt on kompleksarvu moodul teda komplekstasandil kujutava vektori pikkus.Kuna a2 + b2 = |z|2 , siis kehtib võrdus zz = |z|2. Seda võrdust kasutatakse kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul
Kasutades maatrikstehete omadusi, arvutame korrutise z2 z1 = (a2 + b2 i)(a1 + b1 i) = a2 a1 + a2 (b1 i) + (b2 i)a1 ) + (b2 i)(b1 i) = a2 a1 + (a2 b1 )i + (b2 a1 )i + (b2 b1 )i2 = (a2 a1 - b2 b1 ) + (a2 b1 + b2 a1 )i C Muutes tegurite j¨arjekorda, saame kommutatiivsuse z1 z2 = (a1 a2 - b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i = z2 z1 See on ka korrutise z1 z2 u ¨ldvalem. 5 Kaaskompleksarv ja konjugeerimine 5.1 Kaaskompleksarvu m~ oiste Kompleksarvu z = a + bi kaaskompleksarv on z := a - bi. Funkt- siooni z z , s.t kaaskompleksarvu leidmist nimetatakse (komp- leksseks) konjugeerimiseks. N¨ aide (2 + 3i) = 2 - 3i, (-2 - 3i) = -2 + 3i jne. 5.2 T~ olgendusi Geomeetriliselt on kaaskompleksarv antud kompleksarvu peegel- dus reaaltelje suhtes. Maatriksesituses ilmselt z = z T . 5.3 Konjugeerimise omadusi
Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel
leitakse järgmise seosega: |z| = a 2 + b2 . (15.2) Märkus 15.2 Moodul |z| 0 on reaalarv ja see kujutab endast komplekstasandil asuva punkti (a, b) kaugust nullpunktist. Definitsioon 15.6 Kompleksarvu z = a + b i kaaskompleksarvuks (kaaskompleksiks) ni- metatakse kompleksarvu z¯ = a - b i. (15.3) Märkus 15.3 Kaaskompleksarv z¯ asub arvuga z nullpunktist võrdsel kaugusel ning z ja z¯ on sümmeetrilised reaaltelje suhtes. On kerge kontrollida, et 1. |z| = |¯ z |, 2. z · z¯ = (a + b i) · (a - b · i) = a2 + b2 = |z|2 . 15.4 Tehted kompleksarvudega Olgu antud kompleksarvud z1 = a1 + b1 i ja z2 = a2 + b2 i. Siis nende võrdus, summa, vahe, korrutis ja jagatis defineeritakse järgnevalt: 1. z1 = z2 a1 = a2 ja b1 = b2 ; 2
annaabi.ee 
