24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid. 35. Zeno paradoksid. 1. 2. nivoojooneks 3. 5. 6. 7
Koonduvate ridade omadused: Kui read ∑ u n ja ∑ vn on n=1 n=1 u (¿ ¿ n+ v n) ∞ ∞ koonduvad siis rida ∞ on koonduv ja ∑ u n+∑ v n on koonduv ∑¿ n=1 n=1 n=1 ∞ ∞ Kui rida ∑ un on koonduv ja c on konstant siis rida ∑ cu n on n=1 n=1 ∞
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Rakendusi................15 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest
Xq={X : |X|≤q<|x0|} Fourier' teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Kui f(x) on diferentseeritav funktsioon, Fourier' Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada {𝑆𝑛 } on koonduv, st ∃ lim 𝑆𝑛 = 𝑆, kusjuures suurust Kui astmerida hajub punktis x0, siis see astmerida hajub iga x korral, kui |x|>|x0| teisendusega 𝑓̂(𝜉), siis selle funktsiooni tuletise Fourier' teisendus on2𝑖𝜋𝜉𝑓̂(𝜉). Selle abil saab teisendada
x x (n), n 1,2,.... on kõigi naturaalarvude hulk N. Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad, tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat jada nimetatakse hajuvaks. Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (x n), kus xn = a iga n ∈ N korral, 1/x Hajuv jada: , Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3) Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus) lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b Vaja näidata, et a = b a – b = 0 [Fakt Iga ε > 0 |x| < ε x = 0] Näitame, et iga ε > 0 |a - b| < ε Fikseerime ε > 0 Kuna lim xn = a, siis (võttes (*) e = ε/2)
Koonduv jõusüsteem, Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Ülesannete lahendamiseks tuleb süsteem taandad lihtsamale kujule ja leida tasakaalutingimused. Taandamise aluseks on teoreem: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti. Superpositsiooniaksioomi järeldusena võib jõusüsteemis olevad jõud üle kanda nenede mõjusirgete lõikepunkti ja seejärel jõurööpküliku abil asendada nendega ekvivalentse resultandiga Fres. Võib ka joonestada jõukolmnurga (joon2), kus liidetavad jõud kujutatakse teineteise järel, resultant on suunatud esimese vektori algusest teise lõppu.
PIIRKONNAD ERINEVA TEMPERATUURIGA LAHUS- ERINEVA KONTSENTRATSIOONIGA MIKS VALGUSTAB LAMP KAUGEMALT HALVASTI? VALGUSALLIKAST EEMALDUMISEL JAOTUB ENERGIA SUUREMALE PINNALE; KIIRTEMUDEL - VALGUSVIHKUDE KIIRTEMUDEL MUDELDAMISEKS. VALGUSE VALGUSVIHUD: LEVIMISE SUUND - VALGUSKIIREGA PARALLEELNE HAJUV KOONDUV PARALLEELNE KOONDUV VALGUSVIHK VALGUSVIHK - KUI - KUMERLÄÄTSE VÕI VALGUSALLIKAS ON NÕGUSPEEGLI ABIL; VÄGA KAUGEL (PÄIKESE VALGUS); HAJUV VALGUSVIHK - KUI VALGUSALLIKAS ON VÄIKE, KA NÕGUSA LÄÄTSE ABIL; VALGUSE LEVIMISE VALGUSAASTA - KIIRUS - VAHEMAA, MILLE 299792458m/s= VALGUS LÄBIB 1 AASTA JOOKSUL LIGIKAUDU 300000km/h (PÕHJANAELA KAUGUS MAAST 430 VALGUSAASTAT;) MIS ON VARI?
). Järeldus: jäiga keha tasakaal ei muutu, kui kanda jõu rakenduspunkt piki mõjusirget üle keha mistahes teise punkti. 4. Jõurööpküliku aksioom: Kui keha mingis punktis on rakendatud kaks jõudu, siis neid saab keha seisundit muutmata asendada resultandiga, mis võrdub nende geomeetrilise summaga. Aksioom kehtib ka deformeeruva keha juhul. 5. Mõju ja vastumõju aksioom: Kaks keha mõjutavad teineteist võrdvastupidiste jõududega, millel on ühine mõjusirge. 6. Koonduv jõusüsteem: Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Koonduva jõusüsteemi korral on võimalik leida jõud, mis on samaväärne jõusüsteemiga. Saadud resultantjõud on rakendatud vaadeldava süsteemi jõudude mõjusirgete lõikepunkti. 7. Koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres= 0. See on tasakaalutingimus vektorkujul. 8
Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimeetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. TEOORIAKÜSIMUSED nr 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+... Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant) cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. Kuna geomeetriline rida koondub 0 < q < 1 korral ning hajub kui q > 1, siis: Posiitivne rida koondub kui q 1 ja hajub kui
Paraleerne valgusvihk - Paralleelse valgusvihu saamiseks peab valgusallikas olema kasutusel skeem, kus kasutatakse kumerläätse (valguse tekitaja paikneb kumerläätse fookuses) või nõguspeeglit (valguse tekitaja paikneb nõguspeegli fookuses) Koonduv valgusvihk Koonduva valgusvihu jaoks on vaja, et paraleerne valgusvihk läbiks nõgus läätse, sest nõguslääts koondab valgust. Hajuv valgusvihk Hajuva valgusvihu jaoks on vaja, et paraleerne valgusviht läbiks kumerläätse, sest kumerlääts hajutab valgust.
Abs. jäik keha- 2 punkti vaheline kaugus kehas ei muutu Descarte võttis kasutusele koordinaatteljestiku, taustsüsteemi uurimiseks Elastne keha- välisjõudude mõjul keha kuju muutub Ekvivalentsed jõusüsteemid- jõusüsteemid, millel sama mõju vaadeldavale kehale. Kas siis seisab paigal või hakkab liikuma sama kiirendusega Hõõrdetegur- iseloomustab pinna karedust Fh=fN Jõud- kehade vastastikune mõju(otsene/kaudne) Jõu rööpküliku aksioom- 2 ühte punkti rakendatud jõudu võib asendada 1 jõuga, mis rakendatud samasse punkti Tasakaalus olevaks jõusüsteemiks nim jõusüsteemi, mis mõjutades paigalseisvale kehale ei kutsu esile selle liikumist Jõumoment punkti suhtes- vektor, mis võrdub jõu rakenduspunkti kohavektori ja jõuvektori vektorkorrutisega. Jõupaarimoment- vabavektor, risti jõupaari tasandiga ja seda võib lugeda lahendatuks ükskõik mis punkti antud kehal. R=Ruutj. F12+ F22+2 F1F2 cosa Jõusüsteemide tasakaal- R=Fi=0 Mo=Mo(Fi)=0 Koonduv jõusüs...
Abs. jäik keha- 2 punkti vaheline kaugus kehas ei muutu Descarte võttis kasutusele koordinaatteljestiku, taustsüsteemi uurimiseks Elastne keha- välisjõudude mõjul keha kuju muutub Ekvivalentsed jõusüsteemid- jõusüsteemid, millel sama mõju vaadeldavale kehale. Kas siis seisab paigal või hakkab liikuma sama kiirendusega Hõõrdetegur- iseloomustab pinna karedust Fh=fN Jõud- kehade vastastikune mõju(otsene/kaudne) Jõu rööpküliku aksioom- 2 ühte punkti rakendatud jõudu võib asendada 1 jõuga, mis rakendatud samasse punkti Tasakaalus olevaks jõusüsteemiks nim jõusüsteemi, mis mõjutades paigalseisvale kehale ei kutsu esile selle liikumist Jõumoment punkti suhtes- vektor, mis võrdub jõu rakenduspunkti kohavektori ja jõuvektori vektorkorrutisega. Jõupaarimoment- vabavektor, risti jõupaari tasandiga ja seda võib lugeda lahendatuks ükskõik mis punkti antud kehal. R=Ruutj. F12+ F22+2 F1F2 cosa Jõusüsteemide tasakaal- R=Fi=0 Mo=Mo(Fi)=0 Koonduv jõusüs...
koonduvaks. Kui piirväärtus U on lõpmatu või piirväärtus U hoopiski puudub, siis öeldakse et rida hajub. Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 59. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdiväärtuse leidmist lõppsumma järgi. 60. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? Rea koonduvus tarvilik tunnus: Ei garanteeri rea koonduvust, rida võib koonduda kui küsimus jääb lahtiseks (kas on tingimisi koonduv või absoluutselt koonduv). 61. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Koonduvaid ridu võib liikmeti liita ja tulemuseks saadud rida on koonduv. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... ... 62. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste. Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv
· Teema ristilöödud Kristus, neitsi Maarja, jumalaisa, põlvitavad palvetajad · Väljendab Kristuse taassündi. Kolmainsus isa, poeg ja püha vaim · Sümbolid oreooliga jumalaisa, toetab Kristuse keha tähendab ülestõusmist. Arhitektuurne raamistik viitab renessansile. Neitsi Maarja osutab sõrmega Kristusele ainus zest pildil. Tuvi püha vaim. Skelett - surm · Kunstiline lahendus maal kui aken kabelisse. Koonduv kassettlagi. Sümmeetriline kompositsioon, Kristus keskel, hele figuur. Figuurid moodustavad kolmnurga. Koloriit freskolikult mahe, vähe kontrasti nii värvis kui valguses. PAOLO UCCELLO (1397-1475) "San Romano lahing" õp.lk.50 SAN ROMANO LAHING (1450) · praegu Londonis (tempera puutahvlil) · T - Firenzelane väepealik Tolentino võidukas lahingus sienalaste üle. · S- mundrid, lipp · K- perspektiiv sõjarelvade koondumine, surnukeha suund. Rakurss. Hele- tume jagatud
Kui U= või U=- siis öeldakse, et rea summa on või -. 3. Mis on diskonteerimine? Diskonteerimiseks nimetatakse raha nüüdisväärtuse leidmist lõppsumma järgi. Teooriaküsimused nr. 15 1. Rea koonduvuse tarvilik tunnus? Kas selle täidetus tagab alati rea koonduvuse? 2. Kirjeldada koonduvate ridade omadusi. Olgu U ja V koonduvad read, siis U+V on ka koonduv. U=u1+u2+u3+...+ui+... V=v1+v2+v3+...+vi+... U+v = (u1+v1) + (u2+v2)...+(ui+vi)+... Kui rida U on koonduv, on koonduv ka cU (c on suvaline konstant) cU=cu1+cu2+...+cui+... 3. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse Cauchy tunnus. 4. Sõnastada positiivste ridade koonduvuse D'Alemberti tunnus. 5. Rea absoluutse koonduvuse ja tingimisi koonduvuse mõiste? Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida
Esimest järku rekurentne seos: , kus a ja b on konstandid ja n=1,2,.... 9. Milline on teist järku rekurrentne seos? Esitage näide! Teist järku rekurrentseks seoseks nimetatakse seost , kus a,b,c on konstandid. 10. Andke jada piirväärtuse matemaatiline definitsioon ja selgitage seda näite alusel graafiliselt! Mingi kindel jada väärtus, mille ümber jada elemendid paiknevad ning jada ei haju ega koondu. 11. Millised on koonduvate jadade omadused! Koonduv jada läheneb lõplikule piirväärtusele. Omadused: 1. Iga koonduv jada f(n) on tõkestatud, s.t., et leiduvad reaalarvud M ja N, mille korral iga naturaalarvu n > N korral. 2. Kui ja , siis kehtivad võrdused: 2.1 2.2 2.3 2.4 (tingimusel, et ) 12. Leida jada piirväärtus käsitsi! Kontroll mathcadiga: 13. Milline jada on koonduv, hajuv
omadused, jne. Lahendite välja süstemaatiline jaotamine Jaotuspõhimõte: ühetüübiliste ja vähemsobivate lahendusalade grupeerimine ja eraldamine. 1) lahendite otsimine, lahendivälja piiritlemine 2) lahendite grupeerimine 3) lahendite grupeerimine Üldise probleemilahenduse skeem -Formuleeri probleem -Sõnasta nõuded, kriteeriumid -Leia võimalikud lahendid -Hinda ja vali parim Teosta Konvergentne e. koonduv mõtlemine. Probleemile ainsa korrektse lahenduse leidmine. Konvergentset ehk koonduvat mõtlemist rakendatakse ülesannete puhul, mis nõuavad ühe korrektse lahenduse tuletamist olemasolevate teadmiste ja loogilise arutlemise abil. Divergentne e. lahknev mõtlemine. Probleemile paljude erinevate lahenduste leidmine. Divergentset mõtlemist rakendataksegi nende ülesannete puhul, mis eeldavad paljude lahenduste võimalikkust ja isegi vajalikkust.
teinetesit. elektronmagnetlained. Tasalainele vastab paralleelne Ultravalgus- väiksema kiirtekimp, lainepikkusega keralainele hajuv või elektronmagentlained; koonduv kiirtekimp. mõõdukas koguses UV-valgust on inimesele kasulik; osooniaukude pärast jõuab maale rohkem ultravalgust kui
laineline omadus avaldub ruumis levivaelektri-ja magnetvälja perioodilises muutumises. valguslaine on ristlaine.elektriväli ja magnetväli on valguslaine lahutamatud osad. tasalainele vastab paralleelne kiirtekimp, keralainele hajuv või koonduv kiirtekimp. valguseks nimetatakse elektromagnetlaineid, mille lainepikkus vaakumis on vahemikus 380-760nm.Nähtust, kus lained painduvad tõkete taha, nimetatakse difraktsiooniks. Varju piirkonnaks nimetatakse seda ruumiosa, kuhu sirgjooneliselt leviv valgus ei satu.huygensi printsiip-on iga ruumipunkt, kuhu laine jõuab, uus laineallikas, kust kiirgub elementaarlaine.samas faasis olevad lained tugevdavad liitumisel üksteist.
1)konstantse PV jada PV on seesama konstant; 2)kui jada {x n} koondub ja PV=a, siis 2). ∀ u ∈ V α ∈ R||αu||=|α |∗¿∨u∨¿ koondub ka {|xn|},kusjuures selle PV on |a|; 3)Iga koonduv jada on tõkestatud; 4)Kui jada PV≠0, siis teatud elemendist alates on jada liikme abs.v. >|a|/2 ; 5)kui jadad {xn} ja {yn} koonduvad ja üldliikmed rahuldavad võrratust x n≤yn, siis sama
aksioom Aktiivsed jõud koos nende poolt põhjustatud toereaktsioonidega moodustavad välisjõud. 2. Koonduvtasapinnaline jõusüsteem koosneb ühele kehale rakendatud jõududest,millede kandesirged asuvad ühes tasapinnas ja lõikuvad ühes punktis.Kaks lõikuvat sirget määravad ühe tasapinna.Jõuhulk koosneb liidetava jõusüsteemi jõududest,mis kantakse vastavalt suunale ja pikkusele nii,et iga järgneva jõu alguspunkt langeb kokku eelmise jõu lõpuga.Lihtsaim tasapinnaline koonduv jõusüsteem koosneb kolmest jõust. 2.1.Ül lahendus graafanalüütiliselt on trigonomeetria ül.kus kolmnurga kahte külge otsitakse ühe külje ja nurkade järgi.Lahendus põhineb siinus teoreemil, mis ütleb, et kolmnurga külgede ,ja vastasnurkade siinuste suhe on konstant.Ül lahendus lihtsustub, kui õnnestub leida jõukolmnurgaga sarnane kolmnurk konstruktsiooni jooniselt.Graafanalüütilisel lahendusel määratakse sisejõu märgi kindlaks jõuhulknurga ja
Valgusvihku mis moodustab teineteisest eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Valgusvihku mis moodustub paralleelsetest valguskiirtest nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku mis moodustub teineteisele lähenevatest valguskiirtest, nimetatakse koonduvaks valgusvihuks. Valguskiir. Hajuv valgusvihk. Paraleelne valgusvihk. Koonduv valgusvihk. *VALGUSE PEEGELDUMINE Peeglile langeva ja peeglilt peegelduva valgusvihu asemel kasutame valguskiiri neid nimetatakse vastaval langevaks kiireks ja peegelduvaks kiireks. Langemisnurgaks nimetatakse nurka langeva kiire ja peegelpinna ristsirge vahel. Langemis nurka tähistatakse: -ga.
· Kuidas nimetatakse teooriat, mis usub, et valgus koosneb osakestest? korpuskulaarteooria · Mida ei suuda seletada valguse osakesteteooria? Valgusvihid läbivad üksteist takistamatult. · Mida seletab osakesteteooria? Teravate varjude tekkimist. · Mida ei suuda laineteooria seletada? Teravate varjude tekkimist. · Mida seletab laineteooria? Valgusvihkude teineteisest takistamatutläbiminekut analoogia põhjal veelainetega, mis läbivad üksteist segamatult. · Kelle katsed näitasid, et valgusel on lainelised omadused? · Kuidas nimetatakse valguse osakesi? Valguskvantideks e footoniteks. · Kuidas muutuvad elektri- ja magnetväljad? Avaldab perioodilise muutumise. · Millest koosneb valguslaine? Elektriväljast ja magnetväljast. · Miks räägitakse valguslainest ainult elektrivälja muutumise abil? Need käituvad sarnaselt, valguse toimel tekib signaal just elektriväljas. · Mis kiired vastavad tasa...
Füsa KT kordamine 1.Mis on valgus? Valgus on elektromagntlaine, mille lainepikkus on 380-760 nm. 2.Mis on tasa- ja keralaine? Valguslained jagunevad tasalaineteks ja keralaineteks. Tasalainele vastab paralleelne kiirtekimp Keralainele vastab hajuv või koonduv kiirtekimp 3.Seleta mõisted: periood, lainepikkus, sagedus, intensiivsus PERIOOD näitab aega, mis kulub ühe lainepikkuse läbimiseks LAINEPIKKUS näitab kaugust valguslaine kahe samas võnkefaasis oleva punkti vahel SAGEDUS (f)- näitab, mitu täisvõnget teeb laine ajaühikus INTENSIIVSUS (I)- näitab, kui palju energiat valguslaine kannab ajaühikus läbi pinnaühiku 4.Laine levimise kiiruse valem V= *f , V- kiirus - lainepikkus f - sagedus 5
*Tõestus: Fikseerime . Vastavalt piirväärtuse def. Leiduvad arvud n1, n2 N nii, et: n > N1 Xn U(a) - < Xn < a+ n > N2 Yn U(a) - < Yn < a+ Kui N= max(n1; n2),siis vastavalt eeldusele n>N korral - < Xn < Zn < Yn < a + Zn U(a), mis vastavalt piirväärtuse def. annab 7*(Jada tõkestatus. Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0). *Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud. *Tõestus: a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada. b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud. 8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano- Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim
piirväärtus on . 3. Iga koonduv jada on tõkestatud. 2. ¿ a∨≥ a Tõkestatud: leidub arv M>0 , et iga 4
rakkudele ja organitele Humoraalne regulatsioon-elundkondade talituse regultasioon hormoonide vahendusel Immuunsussüsteem-kaitsemehhanism organismi sattunud patogeenide vastu Insuliin-ensüüm, mida toodab pankreas e.kõhunääre juhul, kui vere glükoosisisaldus on kõrge. Kesknärvisüsteem-pea- ja seljaajus-informatsiooni töötlemine Koed-moodustuvad sama talitusega ja struktuurilt sarnased rakud (epiteel-, lihas-, närvi-, sidekude) Kohev sidekude-siduv ja koonduv ülesanne, hoiab organeid paigal Kollageen-sidekohe põhimass, kõige iseloomulik elastseid kiude moodustav valk Kõhrkude-ümbritseb luude otsi, moodustades siledaid ja elastseid pindu Lihaskude-kokkutõmbamine e.kontraktsioon(Silelihaskude, vöötlihaskude). Luukude-organismi tugifunktsioon Mälujälg-püsimällu salvestatud info Neoteenia-pidurdunud areng ja eellaste noorjärgu omaduste säilitamine täiseas Neuraalne regulatsioon-närvisüsteemi vahendusel toimuvaid elundite ja
sidemereaktsioonid on aga passiivsed. Sidemetest vabanemise printsiip- iga seotud keha võib vaadelda vaba kehane, kui ära jätta sidemed ja nende mõju asendada reaktsioonijõududega. Sidemereaktsiooni arvulised väärtused leitakse keha tasakaalutingimuste abil. Toed- seadmed, mis ühendavad keha alusega. Toereaktsioonid- toesidemete reaktsioonid. Koonduv jõusüsteem- kõigi jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Lihtsaim jõusüsteem. Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti. Fres=0 on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Staatikaga määramatu ülesanne- juhtum , kus tundmatute arv on tasakaaluvõrrandite arvust suurem. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem- Kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirge lõikuvad ühes punktis.
käitub peegeldumisseaduse järgi. Karedal pinnal on konaruste mõõtmed suuremad valguse lainepikkusest. Kareda pinna puhul peegeldumisseadus ei kehti kimbule tervikuna, kuid kehtib igale üksikule kiirele. Valguse peegeldumine siledalt ja karedalt pinnalt Peeglid Sellist valgust peegeldavat keha, kus peegeldav pind, on tasapind, nimetatakse tasapeegliks. Kui tasapeeglile langeb paralleelne valgusvihk, siis peale peegeldumist on see valgusvihk paralleelne, kui aga hajuv või koonduv valgusvihk, siis jääb ta hajuvaks või koondavaks ka peale peegeldumist tasapeeglilt. Tasapeegel https://ennuopik.files.wordpress.com/2016/06/02 _peegeldumine_tasapeeglil_foto.jpg Kui valgust peegeldav pind on asub kerapinna siseküljel, on tegu nõguspeegliga, kui aga välisküljel, siis kumerpeegliga. Nii nõgus- kui kumerpeeglile on lihtne joonestada peegelpinna ristsirget selleks tuleb valguse langemispunkt ühendada pikki raadiust peegelpinna langemispunktiga
Teoreem 33.3. Kui read a1+a2+... ja b1+b2+... koonduvad ja nende summad on vastavalt siis koonduvad ka read (a1+b1)+( a2+b2)+... ja (a1-b1)+ (a2-b2)+... ja nende summa on vastavalt Rea koonduvuse tarvilik tingimus, s.t. tingimus, mille mittetäitmisel rida hajub. Teoreem 34.1. Kui rida u1+ u2+...+ un koondub, siis n-i tõkestamatul kasvamisel rea n-ndas liige läheneb nullile. Tõestus: Kuna rida u1+ u2+...+ un on koonduv, siis piirväärtus . Aga (n-1). Lahutan, saan Sn=u1+ u2+...+ un-1+un n=>SnS Sn-1=u1+ u2+...+ un-1 =>Sn-1S Kui rea n-is liige ei lähene nullile n-i tõkestamatul kasvamisel, siis rida hajub. Rõhutame, et vaadeldud tingimus on ainult tarvilik, kuid mitte piisav, s.t. sellest, et rea n-is liige läheneb nullile, ei järeldu veel, et rida koondub, ta võib ka hajuda. 11. Positiivsete liikmetega ridade võrdlemine: teoreemid 35.1 ja 35.2 (teoreem 35
-
def: pos arv M korral näidata 2.liiki+abs.max ja min
suuruse x väärtust, järg x>M ja
(f(x1)=>
n→∞ Elementi b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga ε > 0 leidub δ(ε) > 0, et iga x korral, mis täidab tingimust x ∈ Uδ(a) kehtib f(x) ∈ Uε(b). Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. Konstantse jada piirväärtus on see konstant. Iga ulalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. 3. Koonduva jada piirväärtuse ühesuse tõestus. Iga koonduv jada on tõkestatud. Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud. Kui limn→∞ xn = a ja limn→∞ xn = b, siis a = b. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß’i teoreem. Toestus: Valime ε <= ½ d(b, a), seega Uε(a) ja Uε(b) ei loiku. Vastavalt piirväärtuse definitsioonile
meie silma ainult osa, me näeme neid esemeid. Kas keha paistab meile läikivana või matina, mustana või värvilisena, sõltub juba selle keha pinna omadusest. Paljude taskulampide valgusvihke võib nende peegliraami pööramisegamuuta.On kolme kujuga valgusvihke: · paralleelvalgusvihk, paralleelsete kiirtega · hajuv valgusvihk,laialisuunduvate kiirtega · koonduv valgusvihk,üht punkti suunduvate kiirtega Päike on meist nii kaugel, et Maale langevaid kiiri võib lugeda praktiliselt paralleelseteks. Valguse levimine Valguse levimine allub järgmistele seaduspärasustele: · Valgus levib valgusallikast kõikides suundades. · Ühtlaste omadustega läbipaistvates ainetes(klaas, vesi)levivad valguskiired sirgjooneliselt.See kehtib ka valguse levimise kohta vaakumis.
n s.t. koonduva rea üldliige läheneb nullile, s.o. jada (un ) on nulljada. Järeldus: Kui lim un 0 , siis rida (un ) hajub. Kui lim un = 0 , siis rida (un ) ei pruugi veel koonduda. n n Jada q n =0 n nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Geomeetriline jada on koonduv, kui q < 1 . 1 Jada n n =0 nimetatakse harmooniliseks jadaks. Harmoonilie jada on hajuv. Omadus: Kui read u k =0 k ja v k =0 k on koonduvad, siis suvaliste , R korral on koonduv ka rida
Galilei teleskoop. Objektiiv oli üksik tasakumer lääts, okulaariks tasanõgus lääts. Tekitab näiva kujutise, mida ei ole võimalik nt. fotograafiliselt jäädvustada. Kepleri teleskoobi okulaar on kumerlääts, mille abil saadakse tõeline kujutis. Reflektoril on objektiiviks · nõguspeegel. Newtoni teleskoop. Esimene reaalselt valmisehitatud peegelteleskoop. Objektiiv e. peapeegel on kas sfääriline või paraboolne nõguspeegel, koonduv kiirtekimp suunatakse teleskoobi torust välja optilise telje suhtes 45 kraadise nurga all oleva tasase sekundaarpeegliga. · Gregoriuse teleskoobil on peapeegel sfääriline või paraboolne, sekundaarpeegel on elliptiline nõguspeegel. Kuigi optiline skeem oli pakutud enne Newtoni skeemi, ei võimaldanud 17. sajandil optikatööstuse tase selliseid teleskoope toota. · Cassegraini teleskoobil on peapeegel sfääriline või paraboolne,
MILLINE ON KÕIGE LIHTSAM JA LEVINUM ÕPPIMISMEHHANISM? HARJUMINE (KUI TUGEV JA OOTAMATU STIIMUL KUTSUB ESILE HULGA FÜSIOLOOGILISI REAKTSIOONE E. ORIENTEERUMISREAKTSIOONI; KAOB, KUI STIIMULIL POLE INIMESE SEISUKOHAST TÄHTSUST). KUIDAS TOIMUB ÕPPIMINE KLASSIKALISE JA OPERANTSE TINGIMISE TEEL? MILLE POOLEST NEED SARNANEVAD JA MILLE POOLEST ERINEVAD? KLASSIKALINE ÕPITAKSE TINGIMATUTE JA TINGITUD STIIUMULITE VAHELISI SEOSEID: TINGIMATU STIIMULI KORDUVAL KOOSESINEMISEL ALGSELT NEUTRAALSE STIIMULIGA TEKIB NENDE VAHEL SEOS JA TINGITUD STIIMUL HAKKAB ESILE KUTSUMA TINGITUD REFLEKSI; OPERANTNE KÄITUMINE TULENEB VAJADUSEST REAGEERIDA TEATUD KINDLAL VIISIL. OLULINE ON SAAVUTADA POSITIIVSET JA VÄLTIDA NEGATIIVSET NING SEE ON VÕIMALIK TÄNU SUUTLIKKUSELE ÕPPIDA OMA KÄITUMISE TAGAJÄRGEDEST. MILLISED ON SOTSIAALSE ÕPPIMISE ETAPID (A.BANDURA LIIGITUSE JÄRGI)? MÄRKAMINE: MUDELI JA SELLE OLULISTE KÜLGEDE TÄHELEPANEMINE; KERGEMINI MÄRGATAKSE KÄIT...
xn >M, siis ¨oeldakse, et jada {xn}piirv¨a¨artus on +1ja t¨ahistatakse lim n!+1 xn = +1. Definitsioon 4 Jada, millel on l˜oplik piirv¨a¨artus, nimetatakse koonduvaks jadaks. Definitsioon 5 Jada nimetatakse {xn}nimetatakse ¨ulalt t˜okestatuks, kui leidub arv M, et iga n 2N korral xn 6M. Definitsioon 6 Jada nimetatakse {xn}nimetatakse t˜okestatuks, kui leidub selline arv M >0, et 8n 2N(|xn|6M). Lause 1 Konstantse jada piirv¨a¨artus on see konstant.Lause 2Iga koonduv jada on t˜okestatud. Lause 4 Kui jada {xn}koondub arvuks a, siis selle jada ¨uldliige on esitatav kujul xn = yn + a, kus yn −!0. Lause 5 Iga ¨ulalt t˜okestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Definitsioon 7 Jada {xn}osajadaks {yn}nimetatakse jada, mis on saadud jadast {xn}l˜opliku v˜oi l˜opmatu hulga jada elementide v¨aljaj¨atmise teel. Teoreem 1 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast t˜okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 6 (Cauchy kriteerium)
Valgusvihu, mis moodustab teineteise eemalduvatest valguskiirtest, nimetatakse hajuvaks valgusvihuks. Valgusvihu, mis moodusub paralleelsetest valguskiirtest nimetatakse paralleelseks valgusvihuks. Valgusvihku, mis moodustab teineteisele lähenevatest valguskiirtest, nimetatakse koonduvaks valgusvihuks. Valgusvihk: Esemele langev valgusvihk: Hajuv valgusvihk: Paraleelne valgusvihk: Koonduv valgusvihk: Valguse peeldumine Peegelpinna tähistame joonega. Peeglile langeva ja peeglilt peegelduva valgusvihu asemel kasutame valguskiiri- neid nimetatakse vastavalt langevaks kiireks ja peegeldunud kiireks. Kohta kus valguskiir langeb peegelpinnale, joonistame punktiirjoonega peegelpinnale ristsirge. Langemisnurga moodustavad langev kiir ja pinna ristsirge. Valguse levimise suund on pööratav. Langemisnurgaks nimetatakse nurka langeva kiire ja peegelpinnal ristsirge vahel
x=(t), a b, . Lause2. (x=(t), ()=b, ()=a) N. N. N. 2.20 Päratud integraalid DEF1. Kui f(x)I[a,c] iga c(a,b) korral ja , siis funktsiooni f(x) lõigul [a,b] selleist piirväärtust: nim. päratuks integraaliks. Analoogiliselt defineeritakse ka pärtud integraal juhul, kui funktsioon f(x) on tõkestamata punkti a ümbruses: . N. Seega ntud päratu integraal koondub. DEF2. Kui f(x)I[a,b] iga b>a korral ja , siis . N. See integraal on koonduv. 2.16 Tasandilise kujundi pindala arvutamine N. =[see on ¼ ringist]= II III =() Joone sektori asendame ringi rektoriga, kusjuures (i)=r ja nurk on i. Kui vaadelda ringi pindalat siis 22 (i), i?, Lause. Kui on kõverjooneline sektor, mille rajajoonteks on polaarkordinaatides kõigepealt sirglõik kiirel võrrandiga = ja siis sirglõik kiirel = ja joone =() osa, mis on ja vahel, siis selle piirkonna pindala . 2.17 Joone pikkuse arvutamine
Kokkuvõte Mulgi murdest Mulgi murre on tõenäoliselt kujunenud muistse Sakala hõimumurde baasil ja ajaloo jooksul läbi teinud mitmesuguseid muutusi. Geograafilise asendi ning ühiskondlike ja majanduslike põhjuste tõttu on see lõunaeesti läänerühma moodustav murre mõningal määral mõjusid vastu võtnud naaberaladelt. Varasema administratiivse jaotuse järgi on Mulgi ala liidetud Põhja-Eestiga, tema halduslikeks ja majanduslikeks keskusteks olid Viljandi ja Pärnu, ametlikuks asjaajamiseks põhjaeesti kirjakeel. Hoolimata sellest, et Mulgi murde kujunemine on teatud perioodil toimunud lõunaeesti idapoolsetest murretest lahus, on ta säilitanud iseloomulikud lõunaeesti murdejooned. Mulgi murde piirkonnas on moodustunud kihelkonniti viis eri murrakut, nimelt Halliste, Karksi, Paistu, Tarvastu ja Helme. Need jaotuvad omakorda kahte alarühma: lääne- ja idamulgi murrakud. Mulgi murde omapärased jooned esinevad kõige arv...
6. Mis on jõupaar? Kahe võrdvastupidise parelleeljõu poolt moodustatud jõusüsteem. 7.Jõupaari moment (skeem, arvutamine). Jõupaari moment on võrdne ühe jõu ja jõupaari õla korrutisega. M(F1) = F1*l.Paari moodustavate jõu momentide algebraline summa suvalises tsentris võrdub jõupaari momendiga Kaks ühes tasapinnas asetsevat jõupaari on ekvivalentsed kui nende momendid on geomeetriliselt võrdsed. 8. Mis on koonduv jõusüsteem?Ühes punktis lõikuvate jõudude süsteemi nimetatakse koonduvaks jõusüsteemiks. 9.Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks vajalikud tingimused.Jõusüsteemi tasakaaluks piisab, kui jõudude geomeetriline summa on null (s.t. süsteemi jõududest moodustuks suletud hulknurk või et kõigi süsteemi kuuluvate jõudude algebraline summa igal koordinaatteljel oleks null. 10. Jõusüsteemi resultant
on punkti a ε-ümbrus. Paneme tähele, et lim xn = a ⇔ lim (xn − a) = 0 n→∞ n→∞ ja lim xn = 0 ⇔ lim |xn | = 0 n→∞ n→∞ (selgitada!)z. Omadus 2.1 Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud: kui xn → a ja xn → b, siis a = b. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.2 Koonduv jada on tõkestatud: kui xn → a, siis leiduvad sellised arvud m ja M, et m 6 xn 6 M iga n ∈ N korral. Tõestus. Iseseisvalt!z Omadus 2.3 Kui xn → 0 ja (yn ) on tõkestatud jada, siis xn yn → 0. Tõestus. Iseseisvalt!z Näide 2.1. Lihtsaimaks näiteks koonduvast jadast on konstantne jada (a, a, . . .) , sel juhul on piirväärtuseks arv a. Tõepoolest, iga ε > 0 ning n ∈ N korral kehtib võrratus
Oma pisut eksitava nimetuse sai fresko 18. sajandil : maali põhiteemaks on tegelikult filosoofia (mõningatel andmetel on teos tuntud ka selle nime all) ja seda peetakse tolleaegsete olulisemate ilmalike tõekspidamiste kajastuseks. Tähtsaimal kohal - maali keskpunktis- seisavad kaks antiikaja suurimat filosoofi: Platon ja Aristoteles, kellede tähtsuse toob veelgi paremini esile pildi ülaserva raamistav võlvkaar ning keskele koonduv perspektiiv. Ülejäänud pildil asetsevad inimfiguurid, kelle seas on äratuntavad väga mitmed antiikaja õpetlased, on jaotunud väikesteks gruppideks, mis on omakorda paigutunud pildiruumi suhtes ringikujuliselt. Kompositsioon on renessansiajale kohaselt hästi sümmeetriline: sirged, mööda ehitise detaile jooksvad, horisontaalsed jõujooned; kahel pool all servas teineteist tasakaalustavad inimgrupid ning ülalpool kõrguvad kahel pool Kreeka jumalate Apollo ja Minerva kujud
kriips üleval). x)-f(x) / x = f'(x) + (x), limx0(x)= 0. Arvjada {xn} nim. alt tõkestatuks, kui leidub arv , et iga n N korral xn (punkti asemel Ühepoolsed tuletised: kriips all). f+'(x)= limx0+ f (x+ x )-f(x) / x Lause. Iga koonduv jada on tõkestatud. f-'(x)= limx0- f (x+ x )-f(x) / x Lause. Iga ülalt tõkestatud monotoonselt kasvav jada koondub. Funk-ni f(x) diferintseeruvusest punktis x järeldub selle fun-ni pidevus punktis x, sh f(x) Def. Jada {xn} osajadaks {yn} nim. jada, mis on saadud jadast {xn} lõpliku või lõpmatu hulga D(x) f(x) C(x). jada elementide väljajätmise teel. Bolzano-WeierstraSi teoreem
Geom. rida: u n = aq n -1 aq n -1 = a + aq + aq 2 + ... see rida koondub kui rea tegur q < 1 , ja n =1 hajub kui rea tegur q 1 1 1 Dirichlet' rida: u n = n k , k 2 n =1 n k . Rida on koonduv Arvridade teooria põhiteoreeme Def. Antud rida (u) u n un ja tema n-indaks (un) jääkreaks , nim. rida n =1 u k = n +1 k = u n +1 + u n + 2 + ... + u k + ... Lause: kui arvrida (u) koondub, siis koondub ka iga tema jääk rida . Kui lähterea summa on lim S n = S < siis jääkrea summa on S =S-Sn n
Hea söögiisu tekitaja (väävlit sisaldavad eeterlikud sinepiõlid). - toorelt,- hautatult,- küpsetatult,- keedetult. Magusam kui kaalikas 7. Maapirni päritolu, olulisus, säilitamine ja kasutamine. Kodumaaks on: - Lõuna-Kanada,- USA idaosa. Sisaldab rikkalikult inuliini Nüüdisajal maapirn tervisliku toitumise tähelepanu keskmes. Põhjus peitub maapirni koostise biokeemilises eripäras. Taime süsivesikuliseks varuaineks on mugulatesse koonduv inuliin. Inuliini lagunemisel moodustub fruktoos. See on magusaim looduslik suhkur. Maapirnist saab maitsvaid toite: - keetes või aurutades, - ahjus küpsetades, - grillides. Väga maitsvad on maapirnid värskena: - toorelt krõbistamiseks, - riivituna või õhukeste viiludena salatites. Aurutatud maapirn sulab suus kui sulavõi ja nii eemaldub kergesti ka koor.
Seetõttu kasutatakse seda haiglates mikroorganismide hävitamiseks. Maad katseb selle eest osoonikiht. Päevitami- sel tekkiv pruun pigment nahas kaitseb ultravalguse eest. Valguse levimine Valguse levimiseks nimetatakse valgusenergia kandumist ruumi. Valgusvihud: 1. Hajuv valgusvihk moodustub teineteisest eemalduvatest valguskiirest. 2. Paralleelne valgusvihk moodustub paralleelsetest valguskiirtest. 3. Koonduv valgusvihk moodustub teineteisele lähenevatest valguskiirtest. Valgusel on energiat. Hajuvas valgusvihus olev ese saab seda vähem energiat (valgust), mida kaugemal ta valguallikast on. Koonduvas valgusvihus saab seda rohkem energiat, mida lähemal ta on valguskiirte lõikumiskohale. Paralleelses valgusvihus olev ese saab ühepalju energiat sõltumata eseme ja valgusallika vahelistest kaugustest. Valguse peegeldumine Peegelpinna
(∀ ε > 0 ja ∀ n0 ∈ N : ∀ n > n0 => |xn - c | = 0 < ε) => xn → c 2 Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus 3 Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a| / 2 4 Kui jadad {xn} ja {yn} on koonduvad ja nende jadade üldliikmed rahuldavad iga n ∈ N korral võrratust xn ≤ yn , siis samasugust võrratust rahuldavad ka nende jadade piirväärtused 7 Näidata et koonduv jada on Cauchy jada. Eeldame, et limn→∞xn = a. Olgu ε > 0 suvaline, siis leidub N ∈N omadusega |xn −a| < ε / 2 iga n > N korral. Kui n > N, siis saame |xn+p −xn| = |xn+p −a +a−xn| ≤ |xn+p −a|+|xn −a| < ε /2 + ε /2 = ε seega on{xn}Cauchy jada 8 Näidata, et Cauchy arvjada koondub. S – rea summa ∞ Arvrida ∑ ak koondub parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub naturaalarv N ∈ N, nii et iga n > N k=1 ja p > 0 korral kehtib
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
